Ganze Zahl

Das doppelter Takt Symbol, oft verwendet, um den Satz aller Ganzzahlen zu bezeichnen (siehe

ℤ

)

Ein ganze Zahl (von dem Latein ganze Zahl bedeutet "ganz")^[a] wird umgangssprachlich definiert als Nummer das kann ohne a geschrieben werden Bruchkomponente. Zum Beispiel sind 21, 4, 0 und –2048 Ganzzahlen, während 9,75, 5+1/2, und $\sqrt 2$ sind nicht.

Das einstellen von Ganzzahlen besteht aus Null (0), Das Positive natürliche Zahlen (1, 2, 3, ...), auch genannt ganze Zahlen oder Zählen von Zahlen,^[2]^[3] und ihre Additive Inversen (das Negative Ganzzahlen, d.h. –1, –2, –3, ...). Die Menge der Ganzzahlen wird oft mit dem bezeichnet Fettdruck ( $Z$ ) oder Blackboard fett ${\ displayStyle (\ mathbb {z})}$ Brief "z" - ursprünglich ursprünglich für die Deutsch Wort Zahlen ("Zahlen").^[4]^[5]^[6]

${\ displaystyle \ mathbb {z}}$ ist ein Teilmenge des Satzes aller rational Zahlen ${\ displaystyle \ mathbb {q}}$ , was wiederum eine Teilmenge der ist real Zahlen ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ . Wie die natürlichen Zahlen, ${\ displaystyle \ mathbb {z}}$ ist Zähler Unendlich unendlich.

Die Ganzzahlen bilden die kleinsten Gruppe und das kleinste Ring enthält das natürliche Zahlen. Im Algebraische Zahlentheorie, die Ganzzahlen sind manchmal qualifiziert als rationale ganze Zahlen sie vom allgemeinen zu unterscheiden Algebraische Ganzzahlen. In der Tat sind (rationale) Ganzzahlen algebraische ganze Zahlen, die es ebenfalls sind Rationale Zahlen.

Symbol

Das Symbol ${\ displaystyle \ mathbb {z}}$ kann mit Anmerkungen zu verschiedenen Sätzen mit unterschiedlichem Gebrauch unter verschiedenen Autoren bezeichnet werden: ${\ displaystyle \ mathbb {z} ^{+}}$ , ${\ displaystyle \ mathbb {z} _ {+}}$ oder ${\ displaystyle \ mathbb {z} ^{>}}$ Für die positiven Ganzzahlen, ${\ displaystyle \ mathbb {z} ^{0+}}$ oder ${\ displayStyle \ mathbb {z} ^{\ geq}}$ für nicht negative Ganzzahlen und ${\ displaystyle \ mathbb {z} ^{\ neq}}$ für ungleich Null Ganzzahlen. Einige Autoren verwenden ${\ displaystyle \ mathbb {z} ^{*}}$ Für Ganzzahlen ungleich Null, während andere es für nicht negative Ganzzahlen verwenden oder für ${-1, 1}$ (das Gruppe von Einheiten von ${\ displaystyle \ mathbb {z}}$ ). Zusätzlich, ${\ displaystyle \ mathbb {z} _ {p}}$ wird verwendet, um entweder den Satz von zu bezeichnen Ganzzahlen Modulo $p$ (d.h. der Satz von Kongruenzkurse von Ganzzahlen) oder der Satz von $p$ -Adic Ganzzahlen.^[7]^[8]^[9]

Algebraische Eigenschaften

Ganzzahlen können als diskrete, gleichermaßen beabstandete Punkte auf unendlich lange angesehen werden Zahlenlinie. Im obigen, nichtNegativ Ganzzahlen sind in rotem blauen und negativen Ganzzahlen gezeigt.

Wie natürliche Zahlen, ${\ displaystyle \ mathbb {z}}$ ist abgeschlossen unter dem Operationen von Addition und MultiplikationDas heißt, die Summe und das Produkt zweier Zahlen sind eine Ganzzahl. Mit der Einbeziehung der negativen natürlichen Zahlen (und vor allem,0), ${\ displaystyle \ mathbb {z}}$ im Gegensatz zu den natürlichen Zahlen ist auch unter geschlossen unter Subtraktion.^[10]

Die Ganzzahlen bilden a UNITAL RING Das ist im folgenden Sinne das grundlegendste: Für jeden Unenthaltsring gibt es eine einzigartige Homomorphismus Ring von den Ganzzahlen in diesen Ring. Dies Universelles Eigentum, nämlich ein sein Anfangsobjekt in dem Kategorie von Ringencharakterisiert den Ring ${\ displaystyle \ mathbb {z}}$ .

${\ displaystyle \ mathbb {z}}$ ist nicht geschlossen unter AufteilungDa der Quotient von zwei Ganzzahlen (z. B. 1 geteilt durch 2) muss keine ganze Zahl sein. Obwohl die natürlichen Zahlen unter geschlossen sind ExponentiationDie Ganzzahlen sind nicht (da das Ergebnis ein Bruchteil sein kann, wenn der Exponent negativ ist).

In der folgenden Tabelle werden einige der grundlegenden Eigenschaften von Addition und Multiplikation für alle Ganzzahlen aufgeführt $a$ , $b$ und $c$ :

Eigenschaften von Addition und Multiplikation bei Ganzzahlen
	Zusatz	Multiplikation
Schließung:	$a + b$ ist eine Ganzzahl	$a \times b$ ist eine Ganzzahl
Assoziativität:	$a + (b + c) = ((a + b) + c$	$a \times (b \times c) = ((a \times b) \times c$
Amtativität:	$a + b = b + a$	$a \times b = b \times a$
Existenz von an Identitätselement:	$a + 0 = a$	$a \times 1 = a$
Existenz von inverse Elemente:	$a + ( - a) = 0$	Die einzigen invertierbaren Ganzzahlen (genannt Einheiten) sind $-1$ und $1$ .
Verbreitung:	$a \times (b + c) = ((a \times b) + (a \times c)$ und $(a + b) \times c = (a \times c) + (b \times c)$
Nein Zero Divisors:		Wenn $a \times b = 0$ , dann $a = 0$ oder $b = 0$ (oder beides)

Die ersten fünf Eigenschaften, die oben für Addition aufgeführt sind ${\ displaystyle \ mathbb {z}}$ , unter zusätzlich, ist ein Abelsche Gruppe. Es ist auch ein zyklische GruppeDa jede Ganzzahl ungleich Null als endliche Summe geschrieben werden kann 1 + 1 + ... + 1 oder (−1) + (−1) + ... + (−1). In der Tat, ${\ displaystyle \ mathbb {z}}$ Unter Hinzufügen ist die nur unendliche zyklische Gruppe - in dem Sinne, dass jede unendliche zyklische Gruppe ist isomorph zu ${\ displaystyle \ mathbb {z}}$ .

Die ersten vier Eigenschaften, die oben für die Multiplikation aufgeführt sind ${\ displaystyle \ mathbb {z}}$ unter multiplikation ist a kommutativem Monoid. Allerdings hat nicht jede Ganzzahl eine multiplikative Inverse (wie es in der Zahl 2 der Fall ist), was bedeutet, dass dies bedeutet ${\ displaystyle \ mathbb {z}}$ Unter Multiplikation ist keine Gruppe.

Alle Regeln aus der oben genannten Eigentumstabelle (mit Ausnahme des letzten), wenn zusammengenommen, sagen Sie das ${\ displaystyle \ mathbb {z}}$ zusammen mit Addition und Multiplikation ist a Gewinnring mit Einheit. Es ist der Prototyp aller Objekte solcher algebraische Struktur. Nur die Gleichheiten von Ausdrücke sind wahr in ${\ displaystyle \ mathbb {z}}$ für alle Werte von Variablen, die in jedem unentgelegenen kommutativen Ring der Fall sind. Bestimmte Unzahlen ungleich Null sind zugeordnet Null in bestimmten Ringen.

Der Mangel an Zero Divisors In den Ganzzahlen (letzte Eigenschaft in der Tabelle) bedeutet der kommutative Ring ${\ displaystyle \ mathbb {z}}$ ist ein Integrale Domäne.

Das Fehlen multiplikativer Inversen, was der Tatsache entspricht, dass ${\ displaystyle \ mathbb {z}}$ ist nicht unter der Abteilung geschlossen, bedeutet, dass ${\ displaystyle \ mathbb {z}}$ ist nicht a aufstellen. Das kleinste Feld, das die Ganzzahlen als Subring ist das Feld von Rationale Zahlen. Der Prozess der Konstruktion der Rationals aus den Ganzzahlen kann nachgeahmt werden, um die zu bilden Fraktionenfeld einer beliebigen integralen Domäne. Und zurück, beginnend von einem Algebraikumfeld (eine Erweiterung rationaler Zahlen), ITS Ring of Ganzzahlen kann extrahiert werden, einschließlich ${\ displaystyle \ mathbb {z}}$ wie es Subring.

Obwohl die gewöhnliche Aufteilung nicht definiert ist ${\ displaystyle \ mathbb {z}}$ Die Abteilung "mit Rest" ist auf ihnen definiert. Es wird genannt Euklidische Divisionund besitzt das folgende wichtige Eigentum: zwei Ganzzahlen gegeben $a$ und $b$ mit $b \neq 0$ Es gibt einzigartige ganze Zahlen $q$ und $r$ so dass $a = q \times b + r$ und $0 \leq r < | b |$ , wo $| b |$ bezeichnet die absoluter Wert von $b$ . Die ganze Zahl $q$ wird genannt Quotient und $r$ wird genannt Rest der Teilung von $a$ durch $b$ . Das Euklidischer Algorithmus Für das Computer Größte gemeinsame Divisoren Arbeiten nach einer Abfolge euklidischer Abteilungen.

Das oben oben sagt das ${\ displaystyle \ mathbb {z}}$ ist ein Euklidische Domäne. Dies impliziert das ${\ displaystyle \ mathbb {z}}$ ist ein Hauptdomäne der Hauptdomäneund jede positive Ganzzahl kann als Produkte von geschrieben werden Primzahlen in einem (n im Wesentlichen einzigartig Weg.^[11] Dies ist das Grundsatz der Arithmetik.

Ordentheoretische Eigenschaften

${\ displaystyle \ mathbb {z}}$ ist ein Total bestelltes Set ohne Ober- oder Untergrenze. Die Bestellung von ${\ displaystyle \ mathbb {z}}$ wird gegeben durch: $: ... -3 <-2 <-1 <0 <1 <2 <3 <... ...$ Eine Ganzzahl ist positiv Wenn es größer ist als Null, und Negativ Wenn es weniger als Null ist. Null ist definiert als weder negativ noch positiv.

Die Reihenfolge der Ganzzahlen ist auf folgende Weise mit den algebraischen Operationen kompatibel:

wenn $a < b$ und $c < d$ , dann $a + c < b + d$
wenn $a < b$ und $0 << c$ , dann $AC < BC$ .

So folgt das ${\ displaystyle \ mathbb {z}}$ zusammen mit der oben genannten Bestellung ist ein bestelltes Ring.

Die Ganzzahlen sind die einzigen nicht trivialen total bestellt Abelsche Gruppe deren positive Elemente sind geordnet.^[12] Dies entspricht der Aussage, dass alle Noetherian Bewertungsring ist entweder a aufstellen-oder ein diskreter Bewertungsring.

Konstruktion

Rote Punkte repräsentieren geordnete Paare von natürliche Zahlen. Verknüpfte rote Punkte sind Äquivalenzklassen, die die Blue Ganzzahlen am Ende der Linie darstellen.

In der Grundschulunterricht werden Ganzzahlen oft intuitiv als (positive) natürliche Zahlen definiert. Nullund die Negationen der natürlichen Zahlen. Diese Definitionsstil führt jedoch zu vielen verschiedenen Fällen (jede arithmetische Operation muss für jede Kombination von Ganzzahlarten definiert werden) und macht es mühsam zu beweisen, dass Ganzfrüchten den verschiedenen Arithmetikgesetzen befolgen.^[13] Daher in der modernen set-theoretischen Mathematik eine abstraktere Konstruktion^[14] Es wird häufig häufig verwendet, um arithmetische Operationen ohne einen Fall zu definieren.^[15] Die Ganzzahlen können somit formell als die konstruiert werden Äquivalenzklassen von bestellte Paare von natürliche Zahlen $(a, b)$ .^[16]

Die Intuition ist das $(a, b)$ steht für das Ergebnis des Subtrahierens $b$ aus $a$ .^[16] Um unsere Erwartungen zu bestätigen, das 1 - 2 und 4 - 5 Bezeichnen Sie die gleiche Zahl, wir definieren eine Äquivalenzbeziehung $~$ Auf diesen Paaren mit der folgenden Regel:

{\ displayStyle (a, b) \ sim (c, d)}

Genau wann

{\ displayStyle a+d = b+c.}

Addition und Multiplikation von Ganzzahlen können in Bezug auf die äquivalenten Operationen zu den natürlichen Zahlen definiert werden.^[16] durch die Nutzung $[(a, b)]$ zu bezeichnen, wie die Äquivalenzklasse mit $(a, b)$ Als Mitglied hat man:

{\ displayStyle [(a, b)]+[(c, d)]: = [(a+c, b+d)].}

{\ displayStyle [(a, b)] \ cdot [(c, d)]: = [(ac+bd, ad+bc)].}

Die Negation (oder additive Inverse) einer Ganzzahl wird erhalten, indem die Reihenfolge des Paares umgekehrt wird:

{\ displayStyle -[(a, b)]: = [(b, a)].}

Daher kann die Subtraktion als Zugabe des additiven Invers definiert werden:

{\ displayStyle [(a, b)]-[(c, d)]: = [(a+d, b+c)].}

Die Standardbestellung der Ganzzahlen ist gegeben von:

{\ displayStyle [(a, b)] <[(c, d)]}

dann und nur dann, wenn

{\ displayStyle a+d <b+c.}

Es ist leicht zu verifizieren, dass diese Definitionen unabhängig von der Wahl der Vertreter der Äquivalenzklassen sind.

Jede Äquivalenzklasse hat ein einzigartiges Mitglied, das von der Form ist $(n, 0)$ oder $(0,, n)$ (oder beides gleichzeitig). Die natürliche Zahl $n$ wird mit der Klasse identifiziert $[(n, 0)]$ (d. H. Die natürlichen Zahlen sind eingebettet in die Ganzzahlen durch MAP -Senden $n$ zu $[(n, 0)]$ ) und die Klasse $[(0, n)]$ ist bezeichnet $- n$ (Dies deckt alle verbleibenden Klassen ab und gibt der Klasse $[(0,0)]$ ein zweites Mal seitdem $-0 = 0.$

Daher, $[(a, b)]$ wird bezeichnet durch

oder

Wenn die natürlichen Zahlen mit den entsprechenden Ganzzahlen identifiziert werden (unter Verwendung der oben genannten Einbettung), schafft diese Konvention keine Unklarheit.

Diese Notation erholt das Vertraute Darstellung der Ganzzahlen als ${..., -2, -1, 0, 1, 2, ...}$ .

Einige Beispiele sind:

{\ displayStyle {\ begin {ausgerichtet} 0 & = [(0,0)] & = [(1,1)] & = \ cdots && = [(k)] \\ 1 & = [(1,0) ] & = [(2,1)] & = \ cdots && = [(k+1, k)] \\-1 & = [(0,1)] & = [(1,2)] & = \ cdots && = [(k, k+1)] \\ 2 & = [(2,0)] & = [(3,1)] & = \ cdots && = [(k+2, k)] \\-2 & = [(0,2)] & = [(1,3)] & = \ cdots && = [(k, k+2)]. \ End {ausgerichtet}}}

In der theoretischen Informatik werden andere Ansätze für die Konstruktion von Ganzzahlen verwendet von Automatisierte Theoremprover und Begriff schreiben Motoren neu. Ganzzahlen sind als dargestellt als algebraische Begriffe gebaut unter Verwendung einiger grundlegender Operationen (z. B.,, Null, Succ, Pred) und möglicherweise verwenden natürliche Zahlen, von denen angenommen wird, dass sie bereits konstruiert sind (beispielsweise die Verwendung Peano -Ansatz).

Es gibt mindestens zehn solcher Konstruktionen unterschriebener Zahlen.^[17] Diese Konstruktionen unterscheiden sich in mehrfacher Hinsicht: die Anzahl der für die Konstruktion verwendeten grundlegenden Operationen, die Anzahl (normalerweise zwischen 0 und 2) und die Argumente, die von diesen Operationen akzeptiert werden; Das Vorhandensein oder Fehlen natürlicher Zahlen als Argumente einiger dieser Operationen und die Tatsache, dass diese Operationen freie Konstruktoren sind oder nicht, d. H. Die gleiche Ganzzahl kann nur mit einem oder vielen algebraischen Begriffen dargestellt werden.

Die Technik für den Bau von Ganzzahlen, die oben in diesem Abschnitt vorgestellt werden Paar ${\ displayStyle (x, y)}$ Das dauert als Argumente zwei natürliche Zahlen ${\ displayStyle x}$ und ${\ displayStyle y}$ und gibt eine Ganzzahl zurück (gleich zu ${\ displayStyle x-y}$ ). Diese Operation ist nicht kostenlos, da die Ganzzahl 0 geschrieben werden kann Paar(0,0) oder Paar(1,1) oder Paar(2,2) usw. Diese Konstruktionstechnik wird von der verwendet Beweisassistent Isabelle; Viele andere Tools verwenden jedoch alternative Konstruktionstechniken, die auf freien Konstruktoren basieren, die einfacher sind und in Computern effizienter implementiert werden können.

Informatik

Eine Ganzzahl ist oft primitiv Datentyp in Computersprachen. Ganzzahl -Datentypen können jedoch nur a darstellen Teilmenge Von allen Ganzzahlen, da praktische Computer von endlicher Kapazität sind. Auch im gemeinsamen Zwei ergänzt Darstellung, die inhärente Definition von Schild unterscheidet zwischen "negativ" und "nicht negativ" und nicht zwischen "negativ, positiv und 0". (Es ist jedoch sicherlich möglich, dass ein Computer feststellt int oder Ganzzahl in mehreren Programmiersprachen (wie z. Algol68, C, Java, Delphi, etc.).

Darstellungen von Ganzzahlen variabler Länge, wie z. Bignums, kann jede Ganzzahl speichern, die in den Speicher des Computers passt. Andere Ganzzahl -Datentypen werden mit einer festen Größe implementiert, normalerweise eine Anzahl von Bits, die eine Leistung von 2 (4, 8, 16 usw.) oder eine unvergessliche Anzahl von Dezimalstellen (z. B. 9 oder 10) sind.

Kardinalität

Das Kardinalität von der Menge der ganzen Zahlen ist gleich zu $ℵ 0$ (Aleph-Null). Dies wird leicht durch den Bau von a demonstriert Bijection, das heißt eine Funktion, die ist injektiv und surjektiv aus ${\ displaystyle \ mathbb {z}}$ zu ${\ displaystyle \ mathbb {n} = \ {0,1,2, ... \}.}$ Eine solche Funktion kann definiert werden als

oder Fälle}}}

mit Graph (Set der Paare ${\ displayStyle (x, f (x))}$ ist

{... (-4,8), (-3,6), (-2,4), (-1,2), (0,0), (1,1), (2,3). (3,5), ...}

.

Es ist Umkehrfunktion wird definiert von

oder

mit Diagramm

{(0, 0), (1, 1), (2, -1), (3, 2), (4, -2), (5, -3), ...}

.

Siehe auch

Zahlensysteme

Komplex

{\ displayStyle: \; \ mathbb {c}}

Real

{\ displayStyle: \; \ mathbb {r}}

Rational

{\ displayStyle: \; \ mathbb {q}}

Ganze Zahl

{\ displayStyle: \; \ mathbb {z}}

Natürlich

{\ displayStyle: \; \ mathbb {n}}

Null: 0

Einer: 1

Primzahlen

Zusammengesetzte Zahlen

Negative Ganzzahlen

Fraktion

Finite Decimal
Dyadisch (endlich binär)
Dezimal wiederholen

Irrational

Algebraisch irrational

Transzendental

Imaginär

Fußnoten

^ Ganze ZahlDie erste wörtliche Bedeutung im Latein ist "unberührt", von in ("nicht") plus Tangere ("berühren"). "Ganzes" stammt aus dem gleichen Ursprung über die Französisch Wort vorhandenwas beides bedeutet gesamte und ganze Zahl.^[1]

Verweise

^ Evans, Nick (1995). "A-Quantifizierer und Umfang". In Bach, Emmon W. (Hrsg.). Quantifizierung in natürlichen Sprachen. Dordrecht, Niederlande; Boston, MA: KLUWER Academic Publishers. p. 262. ISBN 978-0-7923-3352-4.
^ Weisstein, Eric W. "Zählernummer". Mathord.
^ Weisstein, Eric W. "Ganze Zahl". Mathord.
^ Weisstein, Eric W. "Ganze Zahl". mathworld.wolfram.com. Abgerufen 11. August 2020.
^ Miller, Jeff (29. August 2010). "Früheste Verwendung von Symbolen der Zahlentheorie". Archiviert von das Original am 31. Januar 2010. Abgerufen 20. September 2010.
^ Peter Jephson Cameron (1998). Einführung in Algebra. Oxford University Press. p. 4. ISBN 978-0-19-850195-4. Archiviert Aus dem Original am 8. Dezember 2016. Abgerufen 15. Februar 2016.
^ Keith Pledger und Dave Wilkins, "Edexcel AS und A Level Modular Mathematics: Core Mathematics 1" Pearson 2008
^ LK Turner, FJ Budden, D Knighton, "Advanced Mathematics", Buch 2, Longman 1975.
^ Weisstein, Eric W. "Z^*". Mathord.
^ "Ganzzahl | Mathematik". Enzyklopädie Britannica. Abgerufen 11. August 2020.
^ Serge, Lang (1993). Algebra (3. Aufl.). Addison-Wesley. S. 86–87. ISBN 978-0-201-55540-0.
^ Warner, Seth (2012). Moderne Algebra. Dover Bücher über Mathematik. Courier Corporation. Satz 20.14, p. 185. ISBN 978-0-486-13709-4. Archiviert Aus dem Original am 6. September 2015. Abgerufen 29. April 2015..
^ Mendelson, Elliott (2008). Zahlensysteme und die Grundlagen der Analyse. Dover Bücher über Mathematik. Courier Dover Publications. p. 86. ISBN 978-0-486-45792-5. Archiviert Aus dem Original am 8. Dezember 2016. Abgerufen 15. Februar 2016..
^ Ivorra Castillo: Algebra
^ Frobisher, Len (1999). Lernen, Nummer zu lehren: Ein Handbuch für Schüler und Lehrer in der Grundschule. Die Stanley Thornes unterrichten primäre Mathematikserien. Nelson Thornes. p. 126. ISBN 978-0-7487-3515-0. Archiviert Aus dem Original am 8. Dezember 2016. Abgerufen 15. Februar 2016..
^ ^a ^b ^c Campbell, Howard E. (1970). Die Struktur der Arithmetik. Appleton-Century-Crofts. p.83. ISBN 978-0-390-16895-5.
^ Garavel, Hubert (2017). Bei der am besten geeigneten Axiomatisierung der signierten Ganzzahlen. Nach der Voraussetzungen des 23. Internationalen Workshops über algebraische Entwicklungstechniken (Watt'2016). Vorlesungsnotizen in Informatik. Vol. 10644. Springer. S. 120–134. doi:10.1007/978-3-319-72044-9_9. ISBN 978-3-319-72043-2. Archiviert Aus dem Original am 26. Januar 2018. Abgerufen 25. Januar 2018.

Quellen

Bell, E.T., Männer der Mathematik. New York: Simon & Schuster, 1986. (Hardcover; ISBN0-671-46400-0)/(Taschenbuch; ISBN0-671-62818-6)
HERTEIN, I.N., Themen in Algebra, Wiley; 2 Ausgabe (20. Juni 1975), ISBN0-471-01090-1.
Mac Lane, Saunders, und Garrett Birkhoff; Algebra, American Mathematical Society; 3. Auflage (1999). ISBN0-8218-1646-2.

Externe Links

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[2] Ganze ZahlDie erste wörtliche Bedeutung im Latein ist "unberührt", von in ("nicht") plus Tangere ("berühren"). "Ganzes" stammt aus dem gleichen Ursprung über die Französisch Wort vorhandenwas beides bedeutet gesamte und ganze Zahl.^[1]

[1] Evans, Nick (1995). "A-Quantifizierer und Umfang". In Bach, Emmon W. (Hrsg.). Quantifizierung in natürlichen Sprachen. Dordrecht, Niederlande; Boston, MA: KLUWER Academic Publishers. p. 262. ISBN 978-0-7923-3352-4.

[MathWorld_CountingNumber-3] Weisstein, Eric W. "Zählernummer". Mathord.

[MathWorld_WholeNumber-4] Weisstein, Eric W. "Ganze Zahl". Mathord.

[5] Weisstein, Eric W. "Ganze Zahl". mathworld.wolfram.com. Abgerufen 11. August 2020.

[6] Miller, Jeff (29. August 2010). "Früheste Verwendung von Symbolen der Zahlentheorie". Archiviert von das Original am 31. Januar 2010. Abgerufen 20. September 2010.

[Cameron1998-7] Peter Jephson Cameron (1998). Einführung in Algebra. Oxford University Press. p. 4. ISBN 978-0-19-850195-4. Archiviert Aus dem Original am 8. Dezember 2016. Abgerufen 15. Februar 2016.

[edexcelc1-8] Keith Pledger und Dave Wilkins, "Edexcel AS und A Level Modular Mathematics: Core Mathematics 1" Pearson 2008

[9] LK Turner, FJ Budden, D Knighton, "Advanced Mathematics", Buch 2, Longman 1975.

[10] Weisstein, Eric W. "Z^*". Mathord.

[11] "Ganzzahl | Mathematik". Enzyklopädie Britannica. Abgerufen 11. August 2020.

[12] Serge, Lang (1993). Algebra (3. Aufl.). Addison-Wesley. S. 86–87. ISBN 978-0-201-55540-0.

[13] Warner, Seth (2012). Moderne Algebra. Dover Bücher über Mathematik. Courier Corporation. Satz 20.14, p. 185. ISBN 978-0-486-13709-4. Archiviert Aus dem Original am 6. September 2015. Abgerufen 29. April 2015..

[14] Mendelson, Elliott (2008). Zahlensysteme und die Grundlagen der Analyse. Dover Bücher über Mathematik. Courier Dover Publications. p. 86. ISBN 978-0-486-45792-5. Archiviert Aus dem Original am 8. Dezember 2016. Abgerufen 15. Februar 2016..

[15] Ivorra Castillo: Algebra

[16] Frobisher, Len (1999). Lernen, Nummer zu lehren: Ein Handbuch für Schüler und Lehrer in der Grundschule. Die Stanley Thornes unterrichten primäre Mathematikserien. Nelson Thornes. p. 126. ISBN 978-0-7487-3515-0. Archiviert Aus dem Original am 8. Dezember 2016. Abgerufen 15. Februar 2016..

[Campbell-1970-p83-17] Campbell, Howard E. (1970). Die Struktur der Arithmetik. Appleton-Century-Crofts. p.83. ISBN 978-0-390-16895-5.

[18] Garavel, Hubert (2017). Bei der am besten geeigneten Axiomatisierung der signierten Ganzzahlen. Nach der Voraussetzungen des 23. Internationalen Workshops über algebraische Entwicklungstechniken (Watt'2016). Vorlesungsnotizen in Informatik. Vol. 10644. Springer. S. 120–134. doi:10.1007/978-3-319-72044-9_9. ISBN 978-3-319-72043-2. Archiviert Aus dem Original am 26. Januar 2018. Abgerufen 25. Januar 2018.

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Nummer Systeme
Zählbare Sets	Natürliche Zahlen( ${\ displaystyle \ mathbb {n}}$ ) Ganzzahlen( ${\ displaystyle \ mathbb {z}}$ ) Rationale Zahlen( ${\ displaystyle \ mathbb {q}}$ ) Konstruktible Zahlen Algebraische Zahlen( ${\ displaystyle \ mathbb {a}}$ ) Perioden Berechnbare Zahlen Arithmetische Zahlen Theoretisch definierbare Zahlen Gaußsche Ganzzahlen
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Teilt Typen	Über ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ : Split-Komplex-Zahlen Split-Quaternions Split-Octonions Über ${\ displaystyle \ mathbb {c}}$ : Bicomplex -Zahlen Biquaternions Bioctonions
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