Unendlichkeit

Unendlichkeit ist das, was grenzenlos, endlos oder größer ist als jeder andere natürliche Zahl. Es wird oft mit dem bezeichnet Unendlichkeitssymbol .

Seit der Zeit der Antike Griechen, das philosophische Natur der Unendlichkeit war Gegenstand vieler Diskussionen unter Philosophen. Im 17. Jahrhundert mit der Einführung des Infinity -Symbols[1] und die Infinitesimale Kalkül, Mathematiker begannen mitzuarbeiten unendliche Serie Und was einige Mathematiker (einschließlich L'hôpital und Bernoulli)[2] Als unendlich kleine Mengen angesehen, aber Unendlichkeit wurde weiterhin mit endlosen Prozessen verbunden.[3] Als Mathematiker mit der Fundament des Kalküls zu kämpfen hatten, blieb unklar, ob Unendlichkeit als Zahl oder Größe angesehen werden konnte und wie dies getan werden könnte.[1] Ende des 19. Jahrhunderts, Georg Cantor vergrößerte die mathematische Untersuchung der Unendlichkeit durch Studium Unendliche Sets und unendliche Zahlen, zeigen, dass sie unterschiedliche Größen haben können.[1][4] Wenn beispielsweise eine Linie als Satz aller ihrer Punkte angesehen wird, ihre unendliche Zahl (d. H. Die, die, die Kardinalität der Linie) ist größer als die Anzahl von Ganzzahlen.[5] In dieser Verwendung ist Infinity ein mathematisches Konzept und unendlich mathematische Objekte Kann wie jedes andere mathematische Objekt untersucht, manipuliert und genauso verwendet werden.

Das mathematische Konzept der Unendlichkeit verfeinert und erweitert das alte philosophische Konzept, insbesondere durch die Einführung unendlich viele verschiedene Größen unendlicher Sets. Unter den Axiomen von Zermelo -Fraenkel -Set -Theorie, über die die meisten modernen Mathematik entwickelt werden können, ist die Axiom der Unendlichkeit, was die Existenz von unendlichen Sätzen garantiert.[1] Das mathematische Konzept der Unendlichkeit und die Manipulation unendlicher Sets werden überall in der Mathematik verwendet, auch in Bereichen wie Kombinatorik Das scheint nichts mit ihnen zu tun zu haben. Zum Beispiel, Weses Beweis von Fermats letzter Satz stützt sich implizit auf die Existenz von Sehr große unendliche Sets[6] für die Lösung eines langjährigen Problems, das in Bezug auf angegeben ist Elementararithmetik.

Im Physik und Kosmologie, Ob das Universum unendlich ist ist eine offene Frage.

Geschichte

Alte Kulturen hatten verschiedene Vorstellungen über die Natur der Unendlichkeit. Das Alte Inder und die Griechen definierte Unendlichkeit im präzisen Formalismus nicht wie die moderne Mathematik und näherte sich stattdessen Unendlichkeit als philosophisches Konzept. Folgende Shanti Mantra von dem Brihadaranyaka Upanishad[7] ist ein Beispiel dafür, wie die alten Indianer das Konzept der Unendlichkeit verstanden haben.

Devanagari Englische Transliteration Englische Übersetzung

"
पूपू्णस्य पूपू्णमादाय पूपू्णमेवावशिष्यते ||
ॐ शान्तिः शान्तिः शान्तिः || [8]

oṃ pūrṇam adaḥ pūrṇam idam pūrṇāt pūrṇam udacyate
pūrṇasya pūrṇam ādāya pūrṇam evāvaśiṣyate
oṃ Śāntiḥ Śāntiḥ Śāntiḥ

OM! Das ist unendlich (Mann) und dieses (Universum) ist unendlich.
Der Unendliche geht aus dem Unendlichen aus.
(Dann) die Unendlichkeit vom Unendlichen (Universum) nehmen,
Es bleibt als unendlich (Brahman) allein.
OM! Frieden! Frieden! Frieden!
[9]

Frühes Griechisch

Die früheste aufgezeichnete Idee der Unendlichkeit in Griechenland kann die von sein Anaximander (c. 610 - c. 546 v. Chr.) a vor-sokratisch Griechischer Philosoph. Er benutzte das Wort Apeion, was "unbegrenzt", "unbestimmt" bedeutet und vielleicht als "unendlich" übersetzt werden kann.[1][10]

Aristoteles (350 v. Chr.) Unterscheidet potenzielle Unendlichkeit aus tatsächliche Unendlichkeit, was er aufgrund der verschiedenen Paradoxien als unmöglich ansah, es schien zu produzieren.[11] Es wurde argumentiert, dass in dieser Ansicht die Hellenistisch Die Griechen hatten einen "Horror der Unendlichen"[12][13] was zum Beispiel erklären würde, warum Euklid (c. 300 v. Chr.) Sagte nicht, dass es eine Unendlichkeit von Primzahlen gibt, sondern "Primzahlen sind mehr als jede zugewiesene Vielzahl von Primzahlen".[14] Es wurde auch beibehalten, dass beim Beweisen der Unendlichkeit der Primzahlen, Euklid "war der erste, der den Horror des Unendlichen überwies".[15] Es gibt eine ähnliche Kontroverse über Euklids Parallele Postulat, manchmal übersetzt

Wenn eine gerade Linie, die über zwei [andere] gerade Linien fällt [der ursprünglichen geraden Linie], dass die [Summe der inneren Winkel] weniger als zwei rechte Winkel beträgt.[16]

Andere Übersetzer bevorzugen jedoch die Übersetzung "Die beiden geraden Linien, wenn sie auf unbestimmte Zeit erzeugt werden ...",[17] Daher vermeiden Sie die Implikation, dass Euklid mit dem Begriff der Unendlichkeit vertraut war. Schließlich wurde behauptet, dass eine Reflexion über Unendlichkeit, die weit davon entfernt ist, einen "Horror des Unendlichen" hervorzurufen, die gesamte frühe griechische Philosophie unterliegt und dass Aristoteles 'potenzieller Unendlichkeit "eine Abweichung aus dem allgemeinen Trend dieser Zeit ist.[18]

Zeno: Achilles und die Schildkröte

Zeno von Elea (c.495 - c.430 v. Chr.) Keine Ansichten bezüglich des Unendlichen. Trotzdem seine Paradoxien,[19] Insbesondere "Achilles und die Schildkröte" waren wichtige Beiträge darin, dass sie die Unzulänglichkeit der populären Konzepte deutlich machten. Die Paradoxe wurden von beschrieben Bertrand Russell als "unermesslich subtil und tiefgreifend".[20]

Achilles Rennen eine Schildkröte und geben dem letzteren einen Vorsprung.

  • Schritt 1: Achilles geht zum Ausgangspunkt der Schildkröte, während die Schildkröte nach vorne geht.
  • SCHRITT 2: Achilles kommt dorthin, wo die Schildkröte am Ende von Schritt 1 war, während die Schildkröte noch weiter geht.
  • SCHRITT 3: Achilles kommt dorthin, wo die Schildkröte am Ende von Schritt 2 war, während die Schildkröte noch weiter geht.
  • Schritt Nr. 4: Achilles kommt dorthin, wo die Schildkröte am Ende von Schritt 3 war, während die Schildkröte noch weiter geht.

Usw.

Anscheinend überholt Achilles die Schildkröte nie, da die Schildkröte, wie viele Schritte er jedoch ausführt, vor ihm bleibt.

Zeno versuchte nicht, sich auf Unendlichkeit zu widmen. Als Mitglied der Eleatik Die Schule, die Bewegung als Illusion betrachtete, sah er es als einen Fehler an, anzunehmen, dass Achilles überhaupt laufen konnten. Nachfolgende Denker, die diese Lösung inakzeptabel fanden, kämpften um über zwei Jahrtausende, um andere Schwächen im Argument zu finden.

Schließlich im Jahr 1821, Augustin-Louis Cauchy lieferte sowohl eine zufriedenstellende Definition einer Grenze als auch einen Beweis dafür, dass 0 << x < 1,[21]

Angenommen, Achilles läuft bei 10 Metern pro Sekunde, die Schildkröte läuft bei 0,1 Meter pro Sekunde und letzteres hat einen 100-Meter-Vorsprung. Die Dauer der Verfolgungsjagd passt mit Cauchys Muster mit a = 10 Sekunden und x = 0,01. Achilles überholt die Schildkröte; es braucht ihn

Früher Inder

Das Jain mathematisch Text Surya Prajnapti (ca. 4. - 3. Jahrhundert v. Chr.) Klassifiziert alle Zahlen in drei Sätze: Aufzählbar, unzählbar und unendlich. Jede davon wurde weiter in drei Ordnungen unterteilt:[22]

  • Aufzählbar: niedrigste, mittlere und höchste
  • Unzählbar: fast unzählbar, wirklich unzählbar und unzählbar unzählbar
  • Unendlich: fast unendlich, wirklich unendlich, unendlich unendlich

17. Jahrhundert

Im 17. Jahrhundert begannen europäische Mathematiker, unendliche Zahlen und unendliche Ausdrücke systematisch zu verwenden. 1655, John Wallis Zuerst die Notation verwendete für eine solche Zahl in seinem De Sectionibus conicis,[23] und nutzte es in Flächenberechnungen, indem sie die Region in die Region aufteilte infinitesimal Breite in der Reihenfolge von [24] Aber in Arithmetica Infinitorum (Auch 1655) zeigt er unendliche Serien, unendliche Produkte und unendliche Braktionen an, indem er einige Begriffe oder Faktoren aufschreibt und dann "& c" wie in "1, 6, 12, 18, 24, usw." angeht.[25]

1699, Isaac Newton schrieb über Gleichungen mit unendlicher Anzahl von Begriffen in seiner Arbeit De Analysi per aequationes numero terminorum infinitas.[26]

Mathematik

Hermann Weyl eröffnete 1930 eine mathematisch-philosophische Adresse mit:[27]

Mathematik ist die Wissenschaft des Unendlichen.

Symbol

Das Infinity -Symbol (manchmal genannt das lemniscat) ist ein mathematisches Symbol, das das Konzept der Unendlichkeit darstellt. Das Symbol ist codiert in Unicode bei U+221E UNENDLICHKEIT (& infin;)[28] und in Latex wie \ unendlich.[29]

Es wurde 1655 von eingeführt von John Wallis,[30][31] Und seit seiner Einführung wurde es auch außerhalb der Mathematik in der modernen Mystik verwendet[32] und literarisch Symbologie.[33]

Infinitesimalrechnung

Gottfried Leibniz, einer der Co-Erfinder von Infinitesimale Kalkül, spekuliert weit über unendliche Zahlen und deren Verwendung in der Mathematik. Für Leibniz waren sowohl Infinitesimals als auch unendliche Mengen ideale Einheiten, nicht von der gleichen Natur wie nennenswerte Mengen, sondern genossen die gleichen Eigenschaften gemäß den Gesetz der Kontinuität.[34][2]

Echte Analyse

Im Echte Analyse, das Symbol , genannt "unendlich", wird verwendet, um einen Unbundgebundenen zu bezeichnen Grenze.[35] Die Notation bedeutet, dass nimmt ohne gebunden zu und bedeutet, dass abnimmt ohne gebunden. Zum Beispiel wenn für jeden, dann[36]

  • bedeutet, dass gebunden keinen endlichen Bereich von zu
  • bedeutet, dass der Bereich unter ist unendlich.
  • bedeutet, dass die Gesamtfläche unter ist endlich und gleich

Unendlichkeit kann auch verwendet werden, um zu beschreiben unendliche Serie, folgendermaßen:

  • bedeutet, dass die Summe der Infinite -Serie konvergiert zu einem echten Wert
  • bedeutet, dass die Summe der Infinite -Serie richtig abweicht bis unendlich, in dem Sinne, dass die Teilsummen ohne gebunden sind.[37]

Zusätzlich zur Definition einer Grenze kann Infinity auch als Wert im erweiterten reellen Zahlensystem verwendet werden. Punkte beschriftet und kann zum hinzugefügt werden topologischer Raum der realen Zahlen, die den Zweipunkt produzieren Kompaktifikation der realen Zahlen. Das Hinzufügen von algebraischen Eigenschaften zu diesem gibt uns die erweiterte reelle Zahlen.[38] Wir können auch behandeln und wie das gleiche, was zum Ein-Punkte-Kompaktifikation der realen Zahlen, die die sind Echte projektive Linie.[39] Projektive Geometrie bezieht sich auch auf a Linie in Unendlichkeit in der Ebene Geometrie a Flugzeug im Unendlichen im dreidimensionalen Raum und a Hyperebene bei Unendlichkeit für General Maße, jeweils bestehend aus Punkte auf unendlich.[40]

Komplexe Analyse

Durch Stereografische ProjektionDie komplexe Ebene kann auf eine Kugel "gewickelt" werden, wobei der obere Punkt der Kugel der Unendlichkeit entspricht. Dies nennt man die Riemann Sphere.

Im Komplexe Analyse das Symbol , bezeichnet "unendlich", bezeichnet einen unsignierten Unendlichen Grenze. bedeutet, dass die Größe von wächst über jeden zugewiesenen Wert hinaus. EIN Punkt gekennzeichnet kann der komplexen Ebene als addiert werden topologischer Raum das geben Ein-Punkte-Kompaktifikation der komplexen Ebene.[41] In diesem Fall ist der resultierende Raum ein eindimensional Komplexer Verteiler, oder Riemann Oberfläche, genannt die erweiterte komplexe Ebene oder die Riemann Sphere. Arithmetische Operationen, die den oben genannten für die erweiterten reellen Zahlen ähneln, können ebenfalls definiert werden, obwohl es in den Vorzeichen keine Unterscheidung gibt (was zu einer Ausnahme führt, dass Unendlichkeit nicht zu sich selbst hinzugefügt werden kann). Andererseits ermöglicht diese Art von Unendlichkeit Durch Null teilen, nämlich für jede Komplexzahl ungleich Null. In diesem Zusammenhang ist es oft nützlich zu berücksichtigen Meromorphe Funktionen als Karten in die Riemann -Kugel nehmen den Wert von an den Polen. Die Domäne einer komplexen Funktion kann erweitert werden, um auch den Punkt in Unendlichkeit zu enthalten. Ein wichtiges Beispiel für solche Funktionen ist die Gruppe von Möbius -Transformationen (sehen Möbius -Transformation § Übersicht).

Nicht standardmäßige Analyse

Infinitesimals (ε) und Unendlichkeit (ω) auf der Hyperrealzahllinie (1/ε = ω/1)

Die ursprüngliche Formulierung von Infinitesimale Kalkül durch Isaac Newton und Gottfried Leibniz verwendet infinitesimal Mengen. Im 20. Jahrhundert wurde gezeigt, dass diese Behandlung auf einen strengen Stand durch verschiedene Logische Systeme, einschließlich glatte Infinitesimalanalyse und Nicht standardmäßige Analyse. In letzterem sind Infinitesimals invertierbar und ihre Inversen sind unendliche Zahlen. Die Unendlichkeiten in diesem Sinne sind Teil von a Hyperreales Feld; Es gibt keine Äquivalenz zwischen ihnen wie mit dem Kantorianer Transfinite. Wenn H beispielsweise in diesem Sinne eine unendliche Zahl ist, sind H+H = 2H und H+1 unterschiedliche unendliche Zahlen. Dieser Ansatz zu Nicht standardmäßiger Kalkül ist voll entwickelt in Keiler (1986).

Mengenlehre

Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen einem unendlichen Satz und seiner ordnungsgemäßen Untergruppe

Eine andere Form der "Unendlichkeit" sind die Ordinal- und Kardinal Unendlichkeit der festgelegten Theorie - ein System von Transfinite Zahlen zuerst entwickelt von Georg Cantor. In diesem System ist der erste transfinite Kardinal Aleph-Null (0) die Kardinalität des Satzes von natürliche Zahlen. Diese moderne mathematische Konzeption des quantitativen Unendlichen, das Ende des 19. Jahrhunderts aus Werken von Cantor, entwickelt wurde, Gottlob Frege, Richard Dedekind und andere - die Idee von Sammlungen oder Sätzen verwenden.[1]

Dedekinds Ansatz bestand im Wesentlichen darin, die Idee von zu übernehmen Eins-zu-eins-Korrespondenz als Standard zum Vergleich der Größe der Sätze und zur Ablehnung der Ansicht von Galileo (abgeleitet von Euklid) dass das Ganze nicht die gleiche Größe wie der Teil haben kann. (Siehe jedoch Galileos Paradox Wo Galileo zu dem Schluss kommt, dass positive Ganzzahlen nicht mit der Untergruppe von positiven verglichen werden können Square Gauner Da beide unendlichen Sets sind.) Ein unendlicher Satz kann einfach als eine definiert werden, die die gleiche Größe hat wie mindestens eines seiner richtig Teile; Dieser Begriff der Unendlichkeit wird genannt Dedekind Infinite. Das Diagramm nach rechts gibt ein Beispiel: Die linke Hälfte der unteren blauen Linie anzeigen als unendliche Punktesätze, kann eins zu eins (grüne Korrespondenzen) auf die höhere blaue Linie abgebildet werden und wiederum, wiederum an die gesamte untere blaue Linie (rote Korrespondenzen); Daher hat die gesamte untere blaue Linie und ihre linke Hälfte die gleiche Kardinalität, d. H. "Größe".

Cantor definierte zwei Arten von unendlichen Zahlen: Ordnungszahlen und Kardinalzahlen. Ordinale Zahlen charakterisieren geordnet Sätze oder Zählen werden zu einem beliebigen Stopppunkt weitergeführt, einschließlich Punkte, nachdem bereits eine unendliche Zahl gezählt wurde. Verallgemeinerung endlicher und (gewöhnlicher) unendlicher Verallgemeinerung Sequenzen die Karten aus dem Positiv sind Ganzzahlen führt zu Zuordnungen von Ordinalzahlen zu transfiniten Sequenzen. Kardinalnummern definieren die Größe der Sätze, was bedeutet, wie viele Mitglieder sie enthalten, und können standardisiert werden, indem die erste ordinale Anzahl einer bestimmten Größe ausgewählt wird, um die Kardinalzahl dieser Größe darzustellen. Die kleinste ordinale Unendlichkeit ist die der positiven Ganzzahlen, und jeder Satz, der die Kardinalität der Ganzzahlen hat, ist Zähler Unendlich unendlich. Wenn ein Set zu groß ist, um mit den positiven Ganzzahlen in eins zu eins Korrespondenz zu versehen, heißt es, es heißt es unzähliger. Die Ansichten von Cantor herrschte herzlich und die moderne Mathematik akzeptiert die tatsächliche Unendlichkeit als Teil einer konsistenten und kohärenten Theorie.[42][43][Seite benötigt] Bestimmte erweiterte Zahlensysteme wie die Hyperrealzahlen enthalten die gewöhnlichen (endlichen) Zahlen und unendliche Anzahl unterschiedlicher Größen.

Kardinalität des Kontinuums

Eines der wichtigsten Ergebnisse von Cantor war, dass die Kardinalität des Kontinuums ist größer als die der natürlichen Zahlen ; Das heißt, es gibt mehr reelle Zahlen R als natürliche Zahlen N. Cantor zeigte das nämlich .[44]

Das Kontinuumshypothese gibt an, dass es keine gibt Kardinalzahl Zwischen der Kardinalität der Realität und der Kardinalität der natürlichen Zahlen, das heißt, .

Diese Hypothese kann innerhalb der weithin akzeptierten nicht nachgewiesen oder widerlegt werden Zermelo -Fraenkel -Set -Theoriesogar unter Annahme des Axiom der Wahl.[45]

Kardinalarithmetik kann verwendet werden, um nicht nur die Anzahl der Punkte in a zu zeigen reelle Zahlenzeile entspricht der Anzahl der Punkte in jedem Segment dieser Linie, aber auch, dass dies gleich der Anzahl der Punkte in einer Ebene und tatsächlich in jedem ist endlich-dimensional Platz.

Die ersten drei Schritte einer fraktalen Konstruktion, deren Grenze a ist Raumfüllungskurveund zeigt, dass es in einer eindimensionalen Linie so viele Punkte gibt wie in einem zweidimensionalen Quadrat.

Das erste dieser Ergebnisse zeigt sich beispielsweise die Tangente Funktion, die a liefert Eins-zu-eins-Korrespondenz zwischen den Intervall ( π/2, π/2) und R.

Das zweite Ergebnis wurde von Cantor im Jahr 1878 bewiesen, wurde aber erst 1890 intuitiv, wann Giuseppe Peano stellte die vor Raumfüllungskurven, gekrümmte Linien, die sich genug drehen und sich drehen, um das gesamte Quadrat zu füllen, oder Würfel, oder Hypercube, oder endlich-dimensionaler Raum. Diese Kurven können verwendet werden, um eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen den Punkten auf einer Seite eines Quadrats und den Punkten auf dem Quadrat zu definieren.[46]

Geometrie

Bis zum Ende des 19. Jahrhunderts wurde Infinity selten in diskutiert Geometrie, außer im Kontext von Prozessen, die ohne Begrenzung fortgesetzt werden könnten. Zum Beispiel a Linie war das, was jetzt genannt wird Liniensegmentmit dem Vorbehalt, dass man es so weit erweitern kann, wie man es will; aber es erweitern unendlich war nicht in Frage. In ähnlicher Weise galt eine Linie normalerweise nicht aus unendlich vielen Punkten, sondern war ein Ort, an dem ein Punkt platziert werden kann. Selbst wenn es unendlich viele mögliche Positionen gibt, könnten nur eine begrenzte Anzahl von Punkten auf eine Linie platziert werden. Ein Zeuge davon ist der Ausdruck "der Ort von ein Punkt das erfüllt einige Eigentum "(Singular), wo moderne Mathematiker im Allgemeinen" das Set von die Punkte das hat das Eigentum "(Plural).

Eine der seltenen Ausnahmen eines mathematischen Konzepts, das beteiligt ist tatsächliche Unendlichkeit war projektive Geometrie, wo Punkte auf unendlich werden zu der hinzugefügt Euklidischer Raum zum Modellieren der Perspektive Wirkung, der zeigt parallele Linien sich überschneiden "in Unendlichkeit". Mathematisch haben Punkte bei Infinity den Vorteil, dass man einige Sonderfälle nicht berücksichtigen kann. Zum Beispiel in a Projektivebene, zwei unterschiedliche Linien Schnittpunkt in genau einem Punkt, während es ohne Punkte in unendlichem Punkt keine Schnittpunkte für parallele Linien gibt. Daher müssen parallele und nichtparallele Linien in der klassischen Geometrie getrennt untersucht werden, während sie in der projektiven Geometrie nicht unterschieden werden müssen.

Vor der Verwendung von Mengenlehre für die Grundlage der MathematikPunkte und Linien wurden als unterschiedliche Wesenheiten angesehen, und ein Punkt könnte sein befindet sich auf einer Linie. Mit der universellen Verwendung der festgelegten Theorie in der Mathematik hat sich die Sichtweise dramatisch geändert: Eine Zeile wird jetzt als als betrachtet der Satz seiner Punkteund man sagt, dass ein Punkt gehört zu einer Linie Anstatt von befindet sich auf einer Linie (Die letztere Phrase wird jedoch noch verwendet).

Insbesondere in der modernen Mathematik sind Zeilen Unendliche Sets.

Unendliche Dimension

Das Vektorräume das passieren in klassisch Geometrie habe immer eine endliche Abmessungen, im Allgemeinen zwei oder drei. Dies wird jedoch nicht durch die abstrakte Definition eines Vektorraums impliziert, und Vektorräume der unendlichen Dimension können berücksichtigt werden. Dies ist normalerweise der Fall in Funktionsanalyse wo Funktionsräume sind im Allgemeinen Vektorräume der unendlichen Dimension.

In der Topologie können einige Konstruktionen erzeugen Topologische Räume der unendlichen Dimension. Insbesondere ist dies der Fall von Iterierte Schleifenräume.

Fraktale

Die Struktur von a fraktal Das Objekt wird in seinen Vergrößerungen wiederholt. Fraktale können auf unbestimmte Zeit vergrößert werden, ohne ihre Struktur zu verlieren und "glatt" zu werden. Sie haben unendliche Umfang und können unendliche oder endliche Bereiche haben. Ein solcher fraktale Kurve mit einem unendlichen Umfang und endlicher Fläche ist das Koch Snowflake.

Mathematik ohne Unendlichkeit

Leopold Kronecker war skeptisch gegenüber dem Begriff der Unendlichkeit und wie seine Mitmathematiker es in den 1870er und 1880er Jahren benutzten. Diese Skepsis wurde in der entwickelt Philosophie der Mathematik genannt Finitismus, eine extreme Form der mathematischen Philosophie in den allgemeinen philosophischen und mathematischen Schulen von Konstruktivismus und Intuitionismus.[47]

Physik

Im Physik, Annäherungen von reale Nummern werden für kontinuierlich Messungen und natürliche Zahlen werden für diskret Messungen (d. H. Zählen). Konzepte von unendlichen Dingen wie einem unendlichen Flugzeugwelle existieren, aber es gibt keine experimentellen Mittel, um sie zu generieren.[48]

Kosmologie

Der erste veröffentlichte Vorschlag, dass das Universum 1576 von Thomas Digges stammt.[49] Acht Jahre später, im Jahr 1584, der italienische Philosoph und Astronom Giordano Bruno schlug ein unbegrenztes Universum in vor Auf das unendliche Universum und die Welten: "Unzählige Sonnen existieren; unzählige Erden drehen sich in ähnlicher Weise um diese Sonnen mit der Art und Weise, wie sich die sieben Planeten um unsere Sonne drehen. Lebewesen leben in diesen Welten."[50]

Kosmologen haben lange zu entdecken, ob es in unserem physischen Unendlichkeit gibt Universum: Gibt es eine unendliche Anzahl von Sternen? Hat das Universum unendliches Volumen? Macht Raum "mach für immer so weiter"? Dies ist immer noch eine offene Frage von Kosmologie. Die Frage, unendlich zu sein, ist logisch von der Frage der Grenzen getrennt. Die zweidimensionale Oberfläche der Erde ist beispielsweise endlich und hat jedoch keine Kante. Wenn man in Bezug auf die Krümmung der Erde in einer geraden Linie fährt, kehrt man schließlich zu dem genauen Ort zurück, von dem man startete. Zumindest im Prinzip könnte das Universum ähnlich sein Topologie. Wenn ja, könnte man irgendwann zu dem Ausgangspunkt zurückkehren, nachdem man lange genug in einer geraden Linie durch das Universum gereist ist.[51]

Die Krümmung des Universums kann durch gemessen werden Multipole Momente im Spektrum der Kosmische Hintergrundstrahlung. Bisher Analyse der von der aufgezeichneten Strahlungsmuster WMAP Raumschiff deutet darauf hin, dass das Universum eine flache Topologie hat. Dies würde mit einem unendlichen physikalischen Universum übereinstimmen.[52][53][54]

Das Universum könnte jedoch endlich sein, auch wenn seine Krümmung flach ist. Eine einfache Möglichkeit, dies zu verstehen, besteht darin, zweidimensionale Beispiele zu berücksichtigen, z. B. Videospiele, bei denen Elemente, die einen Bildschirmrand hinterlassen, auf dem anderen wieder auftauchen. Die Topologie solcher Spiele ist Toroidal und die Geometrie ist flach. Viele mögliche begrenzte, flache Möglichkeiten bestehen auch für dreidimensionale Raum.[55]

Das Konzept der Unendlichkeit erstreckt sich auch auf die Multiversum Hypothese, die, wenn sie von Astrophysikern wie erklärt werden Michio Kakustellt fest, dass es eine unendliche Anzahl und Vielfalt von Universen gibt.[56]

Logik

Im Logik, ein unendlich zurückgeblieben Das Argument ist "eine unverwechselbar philosophische Art von Argument, die vorstellen, zu zeigen, dass eine These defekt ist, weil sie eine unendliche Reihe erzeugt, wenn entweder (Form A) keine solche Serie existiert oder (Form b) es existieren würde, der These die Rolle fehlen würde (die Rolle ( z. B. der Rechtfertigung), dass es spielen soll. "[57]

Computer

Das IEEE Floating-Punkt Standard (IEEE 754) Gibt einen positiven und negativen Unendlichkeitswert (und auch) an unbestimmt Werte). Diese sind definiert als Ergebnis von arithmetischer Überlauf, Durch Null teilenund andere außergewöhnliche Operationen.[58]

Etwas Programmiersprachen, wie zum Beispiel Java[59] und J,[60] Ermöglichen Sie dem Programmierer einen expliziten Zugriff auf die positiven und negativen Unendlichkeitswerte als Sprachkonstanten. Diese können als verwendet werden als Größte und kleinste Elemente, wie sie (jeweils) größer als alle anderen Werte vergleichen. Sie haben verwendet Sentinel -Werte in Algorithmen Einbeziehung Sortierung, Suche, oder Fenster.

In Sprachen, die nicht die größten und am wenigsten Elemente haben, aber zulassen Überlastung von Relationale OperatorenEs ist für einen Programmierer möglich schaffen die größten und kleinsten Elemente. In Sprachen, die keinen expliziten Zugriff auf solche Werte aus dem Ausgangszustand des Programms ermöglichen, implementieren Sie jedoch den Gleitpunkt DatentypDie Unendlichkeitswerte können als Ergebnis bestimmter Operationen weiterhin zugänglich und nutzbar sein.

In der Programmierung, eine Endlosschleife ist ein Schleife deren Ausstiegszustand niemals erfüllt ist und somit unbegrenzt ausgeführt wird.

Kunst, Spiele und kognitive Wissenschaften

Perspektive Kunstwerk nutzt das Konzept von Fluchtpunkte, grob entsprechend mathematisch Punkte auf unendlich, befindet sich in unendlicher Entfernung vom Beobachter. Auf diese Weise können Künstler Gemälde schaffen, die Raum, Entfernungen und Formen realistisch rendern.[61] Künstler M.C. Escher ist ausdrücklich dafür bekannt, das Konzept der Unendlichkeit in seiner Arbeit auf diese und andere Weise zu verwenden.

Variationen von Schach Auf einem unbegrenzten Brett werden gespielt werden genannt unendliches Schach.[62][63]

Kognitiver Wissenschaftler George Lakoff betrachtet das Konzept der Unendlichkeit in Mathematik und Wissenschaften als Metapher. Diese Perspektive basiert auf der grundlegenden Metapher von Infinity (BMI), definiert als immer größere Sequenz <1,2,3, ...>.[64]

Das Symbol wird oft romantisch verwendet, um die ewige Liebe darzustellen. Zu diesem Zweck werden verschiedene Arten von Schmuck in die Unendlichkeitsform gestaltet.

Das Regenbogeninfinitätssymbol ist ein beliebtes Symbol für die Darstellung von neurodivergierenden Menschen, insbesondere für Menschen mit Autismus.[65] Dieses Symbol wurde als repräsentativer für autistische Personen als das zuvor verwendete Puzzle-Stück übernommen.[66]

Siehe auch

Verweise

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Literaturverzeichnis

Quellen

Externe Links