Infinitesimal

Infinitesimals (ε) und Unendlichkeit (ω) auf der Hyperrealzahllinie (ε = 1/ω)

Im Mathematik, ein infinitesimal oder infinitesimale Zahl ist eine Menge, die näher liegt Null als jeder Standard reelle Zahl, aber das ist nicht Null. Das Wort infinitesimal kommt aus einem 17. Jahrhundert Modernes Latein Prägung Infinitesimus, die ursprünglich auf das "bezog"Unendlichkeit-th"Artikel in a Reihenfolge.

Infinitesimals existieren nicht im Standardsystem für reelle Zahl, aber sie existieren in anderen Zahlensystemen, wie dem Surreales Zahlensystem und die Hyperreal -Zahlensystem, was als die realen Zahlen angesehen werden kann, die sowohl durch unendlichsimale als auch unendliche Mengen erhöht werden; Die Augmentationen sind die Reziprokale voneinander.

Infinitesimale Zahlen wurden in der eingeführt Entwicklung von Kalkül, in dem die Derivat wurde zuerst als Verhältnis von zwei infinitesimalen Größen konzipiert. Diese Definition war nicht streng formalisiert. Als sich die Kalkül weiterentwickelte, wurden Infinitesimals durch ersetzt durch Grenzen, die mit den Standard -Realzahlen berechnet werden können.

Infinitesimale wurden im 20. Jahrhundert mit der Popularität mit wiedererlangten Abraham RobinsonEntwicklung von Nicht standardmäßige Analyse und die Hyperreale Zahlen, was nach Jahrhunderten der Kontroverse zeigte, dass eine formale Behandlung von Infinitesimaler Kalkül möglich war. Anschließend entwickelten Mathematiker surreale Zahlen, eine verwandte Formalisierung von unendlichen und infinitesimalen Zahlen, die beide hyperreal beinhalten Kardinal und Ordnungszahlen, was der größte ist Bestellter Feld.

Vladimir Arnold schrieb im Jahr 1990:

Heutzutage ist es bei der Unterrichtsanalyse nicht sehr beliebt, über infinitesimale Mengen zu sprechen. Infolgedessen sind heutige Schüler nicht vollständig in dieser Sprache verfügen. Trotzdem ist es immer noch notwendig, den Befehl darüber zu haben.[1]

Der entscheidende Einblick[Deren?] Für die Herstellung von unendlichen mathematischen Einheiten bestand darin Winkel oder Neigung, auch wenn diese Einheiten unendlich klein waren.[2]

Infinitesimals sind eine grundlegende Zutat in Infinitesimalrechnung wie entwickelt von Leibniz, einschließlich der Gesetz der Kontinuität und die Transzendentales Gesetz der Homogenität. In der gemeinsamen Sprache ist ein infinitesimales Objekt ein Objekt, das kleiner ist als jede realisierbare Messung, jedoch nicht in Null an Größe - oder so klein, dass es auf keinen verfügbaren Mitteln von Null unterschieden werden kann. Daher, wenn es als Adjektiv in der Mathematik verwendet wird, infinitesimal bedeutet unendlich klein, kleiner als jede echte Standardzahl. Infinitesimale werden häufig mit anderen Infinitesimalen ähnlicher Größe verglichen, wie bei der Untersuchung des Ableitung einer Funktion. Eine unendliche Anzahl von Infinitesimals wird summiert, um eine zu berechnen Integral-.

Das Konzept der Infinitesimals wurde ursprünglich um 1670 von beiden eingeführt Nicolaus Mercator oder Gottfried Wilhelm Leibniz.[3] Archimedes benutzte das, was schließlich als die bekannt wurde Methode der Univis In seiner Arbeit Die Methode der mechanischen Theoreme Bereiche von Regionen und Volumina von Festkörpern finden.[4] In seinen formalen veröffentlichten Abhandlungen löste Archimedes das gleiche Problem mit der Erschöpfungsmethode. Das 15. Jahrhundert sah die Arbeit von Nicholas von Cusa, weiterentwickelt im 17. Jahrhundert von Johannes KeplerInsbesondere die Berechnung der Fläche eines Kreises, indem letzteres als unendlich einseitiges Polygon dargestellt wird. Simon StevinDie Arbeit an der Dezimalpräsentation aller Zahlen im 16. Jahrhundert bereitete den Grund für das reale Kontinuum vor. Bonaventura CavalieriDie Methode der Univis führte zu einer Erweiterung der Ergebnisse der klassischen Autoren. Die Methode der Univisen im Zusammenhang mit geometrischen Figuren, die aus Entitäten von bestehen Codimension 1.[Klarstellung erforderlich] John Wallis'S Infinitesimals unterschieden sich von Univis, da er geometrische Figuren in unendlich dünne Bausteine ​​derselben Dimension wie die Abbildung zersetzte und den Grund für allgemeine Methoden des integralen Kalküls vorbereitete. Er nutzte einen Infinitesimal, der bezeichnet wurde 1/∞ in Flächenberechnungen.

Die Verwendung von Infinitesimals durch Leibniz stützte sich auf heuristische Prinzipien wie das Gesetz der Kontinuität: Was für die endlichen Zahlen erfolgreich ist, gelingt auch für die unendlichen Zahlen und umgekehrt; und das transzendentale Gesetz der Homogenität, das Verfahren zum Ersetzen von Ausdrücken mit nicht zugewiesenen Größen durch Ausdrücke, die nur zugewiesene beteiligt sind, spezifiziert. Das 18. Jahrhundert verzeichnete den routinemäßigen Einsatz von Infinitesimals durch Mathematiker wie z. Leonhard Euler und Joseph-Louis Lagrange. Augustin-Louis Cauchy Infinitesimals ausgebeutet, beide bei der Definition Kontinuität in seinem Kurse d'Alalyzeund bei der Definition einer frühen Form von a Dirac Delta -Funktion. Als Kantor und Dedekind entwickelten abstraktere Versionen von Stevins Kontinuum, Paul du Bois-Reymond schrieb eine Reihe von Papieren über infinitesimal angereicherte Kontinua, die auf Wachstumsraten von Funktionen basieren. Du Bois-Reymonds Arbeit inspirierte beide Émile Borel und Thoralf Skolem. Borel verband die Arbeit von Du Bois-Reymond ausdrücklich mit Cauchys Arbeit über Wachstumsraten von Infinitesimals. Skolem entwickelte 1934 die ersten nicht standardmäßigen Arithmetikmodelle Abraham Robinson 1961, der sich entwickelte Nicht standardmäßige Analyse basierend auf früheren Arbeiten von Edwin Hewitt 1948 und Jerzy łoś 1955. die Hyperreals ein infinitesimal angereichertes Kontinuum und das implementieren Übertragungsprinzip implementiert Leibnizs Gesetz der Kontinuität. Das Standardteilfunktion Implementiert Fermat Angemessenheit.

Geschichte der Infinitesimale

Der Begriff der unendlich kleinen Mengen wurde von der diskutiert Eleatic School. Das griechisch Mathematiker Archimedes (c. 287 v. Chr. - c. 212 v. Chr.) In Die Methode der mechanischen Theoremewar der erste, der eine logisch strenge Definition von Infinitesimen vorschlug.[5] Seine Archimedanische Eigenschaft definiert eine Zahl x als unendlich, wenn es die Bedingungen erfüllt |x|> 1, |x|> 1+1, |x|> 1+1+1, ... und infinitesimal if x≠ 0 und ein ähnlicher Satz von Bedingungen gilt für x und die Reziprokale der positiven Ganzzahlen. Ein Zahlensystem gilt als archimedan, wenn es keine unendlichen oder infinitesimalen Mitglieder enthält.

Der englische Mathematiker John Wallis stellte den Ausdruck 1/∞ in seinem Buch von 1655 ein Abhandlung über die Kegelabschnitte. Das Symbol, das den gegenseitigen oder umgekehrten von bezeichnet, ist die symbolische Darstellung des mathematischen Konzepts eines Infinitesimals. In seinem Abhandlung über die Kegelabschnitte, Wallis diskutiert auch das Konzept einer Beziehung zwischen der symbolischen Darstellung von Infinitesimal 1/∞, die er einführte, und dem Konzept der Unendlichkeit, für das er das Symbol ∞ einführte. Das Konzept schlägt a vor Gedankenexperiment eine unendliche Anzahl von Parallelogramme von infinitesimalen Breite, um einen endlichen Bereich zu bilden. Dieses Konzept war der Vorgänger der modernen Integrationsmethode in verwendet in Integralrechnung. Die konzeptionellen Ursprünge des Konzepts des Infinitesimals 1/∞ können bis zum griechischen Philosoph verfolgt werden Zeno von Elea, Deren Zenos Dichotomie -Paradoxon war das erste mathematische Konzept, das die Beziehung zwischen einem endlichen Intervall und einem Intervall betrachtete, das dem eines infinitesimalen Intervalls annähern.

Infinitesimals waren im Europa des 17. Jahrhunderts Gegenstand politischer und religiöser Kontroversen, einschließlich eines von Geistlichen in Rom 1632 in Rom herausgegebenen Infinitesimals.[6]

Vor der Erfindung der Mathematiker der Kalkül konnten Tangentiallinien verwendet werden Pierre de FermatMethode von Angemessenheit und René Descartes' Normalitätsmethode. Es gibt Debatten unter den Wissenschaftlern darüber, ob die Methode infinitesimal oder algebraisch war. Wann Newton und Leibniz erfand die InfinitesimalrechnungSie benutzten Infinitesimals, Newton's Flussmittel und Leibniz ' Differential. Die Verwendung von Infinitesimals wurde als falsch angegriffen Bischof Berkeley In seiner Arbeit Der Analyst.[7] Mathematiker, Wissenschaftler und Ingenieure nutzten weiterhin Infinitesimals, um korrekte Ergebnisse zu erzielen. In der zweiten Hälfte des neunzehnten Jahrhunderts wurde der Kalkül neu formuliert Augustin-Louis Cauchy, Bernard Bolzano, Karl Weierstrass, Kantor, Dedekindund andere benutzen die (ε, δ) -Definition der Grenze und Mengenlehre. Während die Anhänger von Cantor, Dedekind und Weierstrass versuchten, die Analyse von Infinitesimals zu befreien, und ihre philosophischen Verbündeten mögen Bertrand Russell und Rudolf Carnap erklärte, dass Infinitesimals sind Pseudokonzepte, Hermann Cohen und sein Marburg School von Neo-Kantianismus versuchte, eine funktionierende Logik von Infinitesimals zu entwickeln.[8] Die mathematische Untersuchung von Systemen, die Infinitesimals enthalten Levi-Civita, Giuseppe Veronese, Paul du Bois-Reymondund andere, im späten neunzehnten und zwanzigsten Jahrhundert, wie von Philip Ehrlich (2006) dokumentiert. Im 20. Jahrhundert wurde festgestellt, dass Infinitesimals als Grundlage für Kalkül und Analyse dienen konnten (siehe Hyperreale Zahlen).

Eigenschaften erster Ordnung

Wenn Sie die realen Zahlen auf unendliche und infinitesimale Größen erweitern, möchte man normalerweise so konservativ wie möglich sein, wenn keine ihrer elementaren Eigenschaften geändert werden. Dies garantiert, dass so viele vertraute Ergebnisse wie möglich noch verfügbar sind. Normalerweise elementar bedeutet, dass es keine gibt Quantifizierung Über Sets, aber nur über Elemente. Diese Einschränkung ermöglicht Aussagen des Formulars "für eine beliebige Zahl x ..." zum Beispiel des Axioms, das für eine beliebige Zahl aussagtx, x+0 =x"würde noch gelten. Gleiches gilt für die Quantifizierung über mehrere Zahlen, z. B." für alle Zahlenx und y, xy=yx. "Allerdings Aussagen der Form" für jeden einstellen Svon Zahlen ... "kann nicht übertragen werden. Logik mit dieser Einschränkung der Quantifizierung wird als bezeichnet als Logik erster Ordnung.

Das resultierende erweiterte Zahlensystem kann nicht mit den Realität in allen Eigenschaften zustimmen, die durch Quantifizierung über Sets ausgedrückt werden können, da das Ziel darin besteht, ein nichtarchimedäisches System zu konstruieren, und das archimedische Prinzip kann durch Quantifizierung über Sätze ausgedrückt werden. Man kann konservativ jede Theorie, einschließlich Realis, einschließlich der festgelegten Theorie, erweitern, um Infinitesimale einzubeziehen, indem nur eine zähe unendliche Liste von Axiomen hinzugefügt wird, die behaupten, dass eine Zahl kleiner als 1/2, 1/3, 1/4 usw. ist. Ebenso das Vollständigkeit Es kann nicht erwartet werden, dass Eigentum überträgt, da die Realität das einzigartige vollständige geordnete Feld bis zum Isomorphismus sind.

Wir können drei Ebenen unterscheiden, auf denen ein nicht archimimedanisches Zahlensystem Eigenschaften erster Ordnung mit denen der Realität kompatibel sein könnte:

  1. Ein Bestellter Feld Folgen Sie allen üblichen Axiomen des realen Zahlensystems, die in Logik erster Ordnung angegeben werden können. Zum Beispiel die Amtativität Axiom x+y=y+x hält.
  2. A Echtes geschlossenes Feld Hat alle Eigenschaften des realen Zahlensystems erster Ordnung, unabhängig davon, ob sie normalerweise als axiomatisch angesehen werden, für Aussagen, bei denen die grundlegenden geordneten Feldbeziehungen +, × und ≤ sind. Dies ist eine stärkere Bedingung, als den geordneten Feld-Axiomen zu befolgen. Insbesondere enthält man zusätzliche Eigenschaften erster Ordnung, wie die Existenz einer Wurzel für jedes Polynom mit ungeraden Grad. Zum Beispiel muss jede Zahl a haben Kubikwurzel.
  3. Das System könnte alle Eigenschaften erster Ordnung des reellen Zahlensystems für Aussagen haben, die beteiligt sind irgendein Beziehungen (unabhängig davon, ob diese Beziehungen mit+, × und ≤ ausgedrückt werden können). Zum Beispiel müsste es eine geben Sinus Funktion, die für unendliche Eingaben gut definiert ist; Gleiches gilt für jede wirkliche Funktion.

Systeme in Kategorie 1 am schwachen Ende des Spektrums sind relativ einfach zu konstruieren, ermöglichen jedoch keine vollständige Behandlung der klassischen Analyse unter Verwendung von Infinitesimals im Geiste von Newton und Leibniz. Zum Beispiel die Transzendentale Funktionen werden in Bezug auf unendliche begrenzende Prozesse definiert, und daher gibt es in der Regel keine Möglichkeit, sie in Logik erster Ordnung zu definieren. Wenn wir die analytische Stärke des Systems durch Übergabe an die Kategorien 2 und 3 erhöhen, stellen wir fest, dass der Geschmack der Behandlung tendenziell weniger konstruktiv wird, und es wird schwieriger, etwas Konkretes über die hierarchische Struktur von Infinitäten und Infinitesimen zu sagen.

Zahlensysteme, die Infinitesimals enthalten

Formelle Serie

Laurent -Serie

Ein Beispiel aus der oben genannten Kategorie 1 ist das Feld von Laurent -Serie mit einer begrenzten Anzahl von Begriffen negativer Kraft. Zum Beispiel wird die Laurent -Serie, die nur aus dem konstanten Term 1 bestehtx wird als der einfachste Infinitesimal angesehen, aus dem die anderen Infinitesimals konstruiert werden. Es wird eine Wörterbuchordnung verwendet, was der Berücksichtigung höherer Befugnisse von entsprichtx als vernachlässigbar im Vergleich zu niedrigeren Kräften. David O. groß[9] bezeichnet dieses System als Super-Reals, nicht um mit dem verwechselt zu werden Superreal -Nummer System von Dales und Woodin. Da eine Taylor -Serie mit einer Laurent -Serie als Argument noch eine Laurent -Serie bewertet wird, kann das System verwendet werden, um transzendentale Funktionen zu berechnen, wenn sie analytisch sind. Diese Infinitesimals haben unterschiedliche Eigenschaften erster Ordnung als die Realität, da beispielsweise das grundlegende Infinitesimalx hat keine quadratische Wurzel.

Das Levi-Civita-Feld

Das Levi-Civita-Feld ähnelt der Laurent -Serie, ist aber algebraisch geschlossen. Zum Beispiel hat das grundlegende Infinitesimal X eine quadratische Wurzel. Dieses Feld ist reich genug, um eine erhebliche Menge an Analyse durchzuführen, aber seine Elemente können immer noch auf einem Computer in dem gleichen Sinne dargestellt werden, dass reelle Zahlen im Gleitpunkt dargestellt werden können.[10]

Transserien

Das Feld von Transserien ist größer als das Levi-Civita-Feld.[11] Ein Beispiel für eine Transserien ist:

Wo für die Bestellung x wird als unendlich angesehen.

Surreale Zahlen

Conway's surreale Zahlen in Kategorie 2 fallen, außer dass die surrealen Zahlen a richtige Klasse und kein Set,[12] Sie sind ein System, das in verschiedenen Größen von Zahlen so reich wie möglich ist, aber nicht unbedingt aus Bequemlichkeit bei der Analyse, in dem Sinne, dass jedes geordnete Feld ein Unterfeld der surrealen Zahlen ist.[13] Es gibt eine natürliche Erweiterung der exponentiellen Funktion auf die surrealen Zahlen.[14]: CH. 10

Hyperreals

Die am weitesten verbreitete Technik für den Umgang mit Infinitesimals sind die Hyperreals, die von entwickelt wurden von Abraham Robinson In den 1960ern. Sie fallen oben in die Kategorie 3, nachdem sie auf diese Weise konzipiert worden waren, damit alle klassischen Analysen aus den Realität übertragen werden können. Diese Eigenschaft, alle Beziehungen auf natürliche Weise übertragen zu können Übertragungsprinzip, bewiesen von Jerzy łoś Im Jahr 1955 hat die transzendentale Funktion SIN beispielsweise ein natürliches Gegenstück *sin, der einen Hyperrealeingang nimmt und einen hyperrealen Ausgang erbringt, und in ähnlicher Weise die natürliche Anzahl von natürlichen Zahlen Hat ein natürliches Gegenstück , die sowohl endliche als auch unendliche Ganzzahlen enthält. Ein Satz wie z. überträgt zu den Hyperreals als .

Superreals

Das Superreal -Nummer System von Dales und Woodin ist eine Verallgemeinerung der Hyperreden. Es unterscheidet sich von dem von dem von definierten Super-Real-System durch David Tall.

Doppelzahlen

Im Lineare Algebra, das Doppelzahlen Erweitern Sie die Realität, indem Sie ein Infinitesimal angrenzen, das neue Element ε mit der Eigenschaft ε2 = 0 (das heißt ε ist Nilpotent). Jede Dual -Zahl hat die Form z = a + bε mit a und b einzigartig bestimmte reelle Zahlen sein.

Eine Anwendung von Dualnummern ist Automatische Differenzierung. Diese Anwendung kann auf Polynome in N -Variablen verallgemeinert werden Außenalgebra eines n-dimensionalen Vektorraums.

Glatte Infinitesimalanalyse

Synthetische Differentialgeometrie oder glatte Infinitesimalanalyse Wurzeln in Kategoriestheorie. Dieser Ansatz weicht von der in der konventionellen Mathematik verwendeten klassischen Logik ab, indem es die allgemeine Anwendbarkeit des Gesetz der ausgeschlossenen Mitte - d. H., nicht (ab) muss nicht bedeuten a = b. EIN Nilsquare oder Nilpotent Infinitesimal kann dann definiert werden. Dies ist eine Nummer x wo x2 = 0 ist wahr, aber x = 0 muss nicht gleichzeitig wahr sein. Da ist die Hintergrundlogik intuitionistische LogikEs ist nicht sofort klar, wie dieses System in Bezug auf die Klassen 1, 2 und 3 klassifiziert werden kann. Intuitionistische Analoga dieser Klassen müssten zuerst entwickelt werden.

Infinitesimale Delta -Funktionen

Cauchy verwendete ein Infinitesimal Um einen Einheitsimpuls aufzuschreiben, unendlich hohe und schmale Delta-Funktionen des Dirac-Typs befriedigend In einer Reihe von Artikeln im Jahr 1827 siehe Laugwitz (1989). Cauchy definierte einen Infinitesimal im Jahr 1821 (Kurse d'Alalyze) in Bezug auf eine Sequenz, die sich um Null kümmert. Nämlich eine solche Nullsequenz wird zu einem Infinitesimal in Cauchy und Lazare Carnot's terminology.

Moderne set-theoretische Ansätze ermöglichen es man, Infinitesimals über die zu definieren Ultrapower Konstruktion, bei der eine Nullsequenz im Sinne eines Äquivalenzklassenmodulos eine in Bezug auf eine geeignete Beziehung zu einem Infinitesimal wird Ultrafilter. Der Artikel von Yamashita (2007) enthält die Bibliographie über Moderne Dirac Delta Funktionen im Kontext eines infinitesimal angereicherten Kontinuums, das von dem bereitgestellt wurde Hyperreals.

Logische Eigenschaften

Die Methode zur Konstruktion von Infinitesimen der Art, die in der nicht standardmäßigen Analyse verwendet wird Modell und welche Sammlung von Axiome werden verwendet. Wir betrachten hier Systeme, in denen es infinitesimalen nachgewiesen werden können.

1936 Maltsev bewiesen das Kompaktheitstheorem. Dieser Satz ist grundlegend für die Existenz von Infinitesimals, da es beweist, dass es möglich ist, sie zu formalisieren. Eine Folge dieses Satzes ist, dass bei einem Zahlensystem, in dem es wahr ist, für jede positive Ganzzahl n Es gibt eine positive Zahl x so dass 0 <<<x<1/nund dann gibt es eine Erweiterung dieses Zahlensystems, in dem es wahr ist, dass es eine positive Zahl gibt x so dass für jede positive Ganzzahl n Wir haben 0 <<<<<x<1/n. Die Möglichkeit, "für jeden" und "Es gibt es zu" wechseln, ist entscheidend. Die erste Aussage gilt in den realen Zahlen, wie in ZFC Mengenlehre: Für jede positive Ganzzahl n Es ist möglich, eine reelle Zahl zwischen 1// zu findenn und Null, aber diese reelle Zahl hängt davon ab n. Hier wählt man n Zuerst findet man das entsprechende x. Im zweiten Ausdruck besagt die Aussage, dass es eine gibt x (mindestens eine), zuerst ausgewählt, was zwischen 0 und 1//////n für jeden n. In diesem Fall x ist infinitesimal. Dies gilt nicht in den realen Zahlen (R) gegeben durch ZFC. Der Satz beweist jedoch, dass es ein Modell (ein Zahlensystem) gibt, in dem dies wahr ist. Die Frage ist: Was ist dieses Modell? Was sind seine Eigenschaften? Gibt es nur ein solches Modell?

Es gibt tatsächlich viele Möglichkeiten, eine solche zu konstruieren eindimensional linear bestellt Die Anzahl von Zahlen, aber im Grunde gibt es zwei verschiedene Ansätze:

1) Erweitern Sie das Zahlensystem so, dass es mehr Zahlen als die realen Zahlen enthält.
2) Erweitern Sie die Axiome (oder erweitern Sie die Sprache), so dass die Unterscheidung zwischen den Infinitesimals und nicht-Infinitesimals in den realen Zahlen selbst gemacht werden kann.

1960,, Abraham Robinson gab eine Antwort nach dem ersten Ansatz. Der erweiterte Satz heißt die Hyperreals und enthält Zahlen weniger im absoluten Wert als jede positive reelle Zahl. Die Methode kann als relativ komplex angesehen werden, beweist jedoch, dass Infinitesimale im Universum der ZFC -Set -Theorie existieren. Die realen Zahlen werden als Standardzahlen bezeichnet und die neuen nicht realen Hyperreden werden genannt Nicht standardmäßig.

1977 Edward Nelson gab eine Antwort nach dem zweiten Ansatz. Die ausgedehnten Axiome sind IST, das entweder für vorhanden ist Interne Set -Theorie oder für die Initialen der drei zusätzlichen Axiome: Idealisierung, Standardisierung, Übertragung. In diesem System sind wir der Ansicht, dass die Sprache so erweitert wird, dass wir Fakten über Infinitesimals ausdrücken können. Die realen Zahlen sind entweder Standard oder nicht standardmäßig. Ein Infinitesimal ist eine nicht standardmäßige reelle Zahl, die weniger als jeder positive Standard -Echtzahl ist.

2006 entwickelte Karel Hrbacek eine Erweiterung des Ansatzes von Nelson, bei dem die realen Zahlen in (unendlich) vielen Ebenen geschichtet sind; d.h. auf der koarssten Ebene gibt es weder Infinitesimals noch unbegrenzte Zahlen. Infinitesimals sind auf einem feineren Niveau und es gibt auch Infinitesimals in Bezug auf dieses neue Niveau und so weiter.

Infinitesimals im Unterricht

Berechnungslehrbücher basierend auf Infinitesimals umfassen den Klassiker Kalkül leicht gemacht durch Silvanus P. Thompson (Mit dem Motto "Was ein Narren kann, kann man einen anderen können"[15]) und der deutsche Text Mathematik Fur Mittlere Technische Fachschulen der Maschinenindustrie Von R. Neuendorff.[16] Pionierarbeiten basierend auf Abraham RobinsonInfinitesimals enthalten Texte von Stroyan (Datierung von 1972) und Howard Jerome Keisler (Elementarkalkül: Ein infinitesimaler Ansatz). Die Schüler beziehen sich leicht auf den intuitiven Begriff eines infinitesimalen Unterschieds 1- "0,999 ...", wo" 0,999 ... "unterscheidet sich von seiner Standardbedeutung als realer Zahl 1 und wird als unendlich terminierende verlängerte Dezimalzahl neu interpretiert, die streng weniger als 1 ist.[17][18]

Ein weiterer Elementarkalkültext, der die von Robinson entwickelte Theorie der Infinitesimals verwendet, ist Infinitesimale Kalkül von Henle und Kleinberg, ursprünglich 1979 veröffentlicht.[19] Die Autoren führen die Sprache der Logik erster Ordnung ein und demonstrieren die Konstruktion eines Modells erster Ordnung der Hyperrealzahlen. Der Text bietet eine Einführung in die Grundlagen des integralen und differentiellen Kalküls in einer Dimension, einschließlich Sequenzen und Funktionserien. In einem Anhang behandeln sie auch die Erweiterung ihres Modells an die HyperhyperReal und zeigen einige Anwendungen für das erweiterte Modell.

Ein elementarer Kalkültext, der auf einer glatten unendlichen Analyse basiert, ist Bell, John L. (2008). Ein Primer der Infinitesimalanalyse, 2. Auflage. Cambridge University Press. ISBN 9780521887182.

Funktionen, die sich um Null kümmern

In einem verwandten, aber etwas unterschiedlichen Sinne, der sich aus der ursprünglichen Definition von "Infinitesimal" als unendlich geringe Menge entwickelte, wurde der Begriff auch verwendet, um auf eine Funktion zu bezeichnen, die sich auf Null kümmert. Genauer gesagt Loomis und Sternberg's Fortgeschrittener Kalkül definiert die Funktionsklasse von Infinitesimals, als Teilmenge von Funktionen zwischen normierten Vektorräumen durch

,

sowie zwei verwandte Klassen (sehen Big-o Notation) durch

, und

.[20]

Die festgelegten Einschlüsse im Allgemeinen halten. Dass die Einschlüsse ordnungsgemäß sind, wird durch die realen Funktionen einer realen Variablen demonstriert , , und :

aber und .

Als Anwendung dieser Definitionen eine Zuordnung zwischen normierten Vektorräumen ist definiert als differenzierbar bei Wenn da ein ... ist [d. H. Eine begrenzte lineare Karte ] so dass

in einer Nachbarschaft von . Wenn eine solche Karte existiert, ist sie einzigartig; Diese Karte heißt die Differential und wird bezeichnet durch ,[21] zusammen mit der traditionellen Notation für die klassische (wenn auch logisch fehlerhafte) Vorstellung eines Differentials als unendlich kleines "Stück" von F. Diese Definition stellt eine Verallgemeinerung der üblichen Definition der Differenzabilität für vektorwerte Funktionen von (offenen Teilmengen) euklidischen Räumen dar.

Array von Zufallsvariablen

Lassen sei a Wahrscheinlichkeitsraum und lass . Eine Anordnung von zufällige Variablen wird für jeden infinitesimal bezeichnet , wir haben:[22]

Der Begriff des infinitesimalen Arrays ist in einigen zentralen Grenzwertbildern von wesentlicher Bedeutung und kann durch die Monotonizität des Erwartungsbetreibers leicht beobachtet werden, dass jedes Array zufriedenstellend ist Lindebergs Zustand ist infinitesimal und spielt somit eine wichtige Rolle in Lindebergs zentraler Limit -Theorem (eine Verallgemeinerung der Zentralgrenze Theorem).

Siehe auch

Anmerkungen

  1. ^ Arnolʹd, V. I. Huygens und Barrow, Newton und Hooke. Pioniere in der mathematischen Analyse und Katastrophenentheorie von Evolents bis zu Quasicristalle. Übersetzt aus dem Russen von Eric J. F. Primrose. Birkhäuser Verlag, Basel, 1990. p. 27
  2. ^ Bell, John L. (6. September 2013). "Kontinuität und Infinitesimals". Stanford Encyclopedia of Philosophy.
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  21. ^ Diese Notation darf nicht mit den vielen anderen unterschiedlichen Verwendungen von verwechselt werden d In Kalkül, die alle lose mit dem klassischen Begriff des Differentials wie "ein infinitesimal kleines Stück etwas annehmen" zusammenhängen: (1) im Ausdruck, Zeigt die Integration von Riemann-Stieltjes in Bezug auf die Integratorfunktion an ; (2) im Ausdruck , symbolisiert die Lebesgue -Integration in Bezug auf eine Maßnahme ; (3) im Ausdruck , dv zeigt die Integration in Bezug auf das Volumen an; (4) im Ausdruck , der Buchstabe d repräsentiert den Außenleitungsoperator und so weiter ....
  22. ^ Barczyk, Adam; Janssen, Arnold; Pauly, Markus (2011). "Die Asymptotik der L-Statistik für Nicht-I.D. Variablen mit schweren Schwänzen" (PDF). Wahrscheinlichkeit und mathematische Statistik. 31 (2): 285–299. Archiviert (PDF) vom Original am 2019-08-21.

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