Dann und nur dann, wenn

"IFF" leitet hier weiter. Für andere Verwendungen siehe IFF (Disambiguierung).
"↔" leitet hier weiter. Nicht zu verwechseln mit Bidirektionaler Verkehr.
"⟺" leitet hier weiter. Für andere Verwendungen siehe Pfeil (Symbol).

↔⇔ais
Logische Symbole darstellen IFF  

Im Logik und verwandte Felder wie z. Mathematik und Philosophie, "dann und nur dann, wenn"(verkürzt wie"IFF") ist ein zweikonditionell Logische Binde Zwischen Aussagen, bei denen beide Aussagen wahr oder beide falsch sind.

Das Bindeffekt ist zweikonditionell (eine Erklärung von materielle Äquivalenz),[1] und kann mit dem Standard verglichen werden Material bedingt ("Nur wenn", gleich "if ... dann") kombiniert mit seiner Rückwärts ("if"); daher der Name. Das Ergebnis besteht und nur wenn "-mit seiner bereits bestehenden Bedeutung. Zum Beispiel, P wenn und nur wenn q bedeutet, dass P ist wahr, wann immer Q ist wahr und der einzige Fall, in dem P ist wahr, wenn Q gilt auch, während im Fall von P Wenn qEs könnte andere Szenarien geben, in denen P ist wahr und Q ist falsch.

Zum Schreiben werden häufig als Alternativen zu P "if und nur wenn" q verwendet: "q beinhalten: Q ist notwendig und ausreichend für P, Für P ist es notwendig und ausreichend, dass q, P ist gleichwertig (oder materiell gleichwertig) zu Q (vergleichen mit materielle Implikation), P genau, wenn q, P präzise (oder genau), wenn q, P genau für den Fall q, und P nur für den Fall q.[2] Einige Autoren betrachten "IFF" als ungeeignet im formellen Schreiben;[3] Andere betrachten es als "Grenzfall" und tolerieren seine Verwendung.[4]

Im Logische Formeln, logische Symbole, wie z. und ,[5] werden anstelle dieser Sätze verwendet; sehen § Notation unter.

Definition

Das Wahrheitstabelle von P Q ist wie folgt:[6][7]

Wahrheitstabelle
P Q P Q P Q P  Q
T T T T T
T F F T F
F T T F F
F F T T T

Es entspricht dem, das von der produziert wurde Xnor -Torund gegenüber dem von der produzierten XOR -Tor.[8]

Verwendungszweck

Notation

Die entsprechenden logischen Symbole sind "↔", ",", "",",[5] und "≡",",[9] und manchmal "IFF". Diese werden normalerweise als gleichwertig behandelt. Einige Texte von jedoch Mathematische Logik (insbesondere diejenigen auf Logik erster Ordnung, statt Aussagelogik) Unterscheidet zwischen diesen, in denen das erste ↔ als Symbol in logischen Formeln verwendet wird, während ⇔ im Denken über diese logischen Formeln verwendet wird (z. B. in Metalogic). Im ŁukaSiewicz's Polnische NotationEs ist das Präfix -Symbol 'e'.[10]

Ein weiterer Begriff für die Logische Binde, d.h. das Symbol in logischen Formeln, ist exklusiv nor.

Im Tex, "wenn und nur wenn" als langer Doppelpfeil angezeigt wird: über den Befehl \ iff.[11]

Beweise

In den meisten Logische Systeme, eines beweist Eine Aussage des Formulars "P if q", indem er entweder "if p, dann q" und "if q, dann p" oder "wenn Das Beweisen dieser Aussagen führt manchmal zu einem natürlicheren Beweis, da es keine offensichtlichen Bedingungen gibt, unter denen man direkt auf eine zweikundigende Beweise schließen würde. Eine Alternative ist, die zu beweisen disjunktion "(P und q) oder (nicht p und nicht-q)", was selbst direkt aus einer seiner Disjunkte abgeleitet werden kann-das ist, weil "IFF" ist Wahrheitsfunktional, "P iff q" folgt, ob P und Q sowohl wahr als auch beides falsch sind.

Ursprung von IFF und Aussprache

Die Verwendung der Abkürzung "IFF" erschien erstmals in gedruckter Form in John L. Kelley1955 Buch Allgemeine Topologie.[12] Seine Erfindung wird oft zugeschrieben Paul Halmos, wer schrieb "Ich habe 'IFF' für 'if und nur wenn' erfunden - aber ich konnte nie glauben, dass ich wirklich der erste Erfinder war.[13]

Es ist etwas unklar, wie "IFF" ausgesprochen werden sollte. In der aktuellen Praxis wird das einzelne 'Wort' "iff" fast immer als die vier Wörter "wenn und nur wenn" gelesen. Im Vorwort von jedoch Allgemeine TopologieKelley schlägt vor, dass es anders gelesen werden sollte: "In einigen Fällen, in denen mathematischer Inhalte" wenn und nur wenn "und" und "und" und "und" und " Wohlklang erfordert etwas weniger, das ich Halmos verwende '' 'iff' '. Die Autoren eines diskreten Mathematik -Lehrbuchs schlagen vor:[14] "Sollten Sie wirklich IFF aussprechen müssen Halten Sie sich am 'FF' fest ' so dass die Leute den Unterschied zu 'if' "hören, was bedeutet, dass" IFF "als ausgesprochen werden könnte als als [ɪfː].

Verwendung in Definitionen

Technisch gesehen sind Definitionen "wenn und nur wenn" Aussagen; Einige Texte - wie Kelleys Allgemeine Topologie - Befolgen Sie die strengen Anforderungen der Logik und verwenden Sie "wenn und nur wenn" oder " IFF in Definitionen neuer Begriffe.[15] Diese logisch korrekte Verwendung von "if und nur wenn" relativ ungewöhnlich und übersieht die sprachliche Tatsache, dass das "if" einer Definition als Bedeutung "wenn und nur wenn" interpretiert wird. Die Mehrheit der Lehrbücher, Forschungsarbeiten und Artikel (einschließlich englischer Wikipedia -Artikel) folgt der sprachlichen Konvent hat eine endliche Unterbeziehung ").[16]

Unterscheidung von "if" und "nur wenn"

  • "Madison wird die Früchte essen wenn es ist ein Apfel." (gleichwertig "Nur wenn Madison wird die Früchte essen, kann es ein Apfel sein? " oder "Madison wird die Früchte essen ← Die Frucht ist ein Apfel "))
    Dies besagt, dass Madison Früchte essen wird, die Äpfel sind. Es schließt jedoch nicht die Möglichkeit aus, dass Madison auch Bananen oder andere Arten von Früchten frisst. Alles, was sicher bekannt ist, ist, dass sie alle Äpfel essen wird, auf denen sie passiert. Dass die Frucht ein Apfel ist, ist ein reicht aus Zustand für Madison, um die Früchte zu essen.
  • "Madison wird die Früchte essen nur wenn es ist ein Apfel." (gleichwertig "Wenn Madison wird die Früchte essen, dann ist es ein Apfel. " oder "Madison wird die Früchte essen → Die Frucht ist ein Apfel "))
    Dies besagt, dass die einzige Frucht, die Madison essen wird, ein Apfel ist. Es schließt jedoch nicht die Möglichkeit aus, dass Madison einen Apfel ablehnt, wenn er im Gegensatz zu (1) zur Verfügung gestellt wird, wobei Madison einen verfügbaren Apfel essen muss. In diesem Fall ist eine bestimmte Frucht ein Apfel a notwendig Zustand für Madison, es zu essen. Es ist kein ausreichender Zustand, da Madison möglicherweise nicht alle Äpfel frisst, die ihr gegeben wird.
  • "Madison wird die Früchte essen dann und nur dann, wenn es ist ein Apfel." (gleichwertig "Madison wird die Früchte essen ↔ Die Frucht ist ein Apfel "))
    Diese Aussage macht deutlich, dass Madison alle und nur die Früchte, die Äpfel sind, essen wird. Sie wird keinen Apfel unessen machen und sie wird keine andere Art von Obst essen. Dass eine bestimmte Frucht ein Apfel ist notwendig und ein reicht aus Zustand für Madison, um die Früchte zu essen.

Genug ist das Gegenteil der Notwendigkeit. Das heißt gegeben P→Q (d. h. wenn P dann Q), P wäre eine ausreichende Bedingung für Q, und Q wäre eine notwendige Bedingung für P. Auch gegeben P→Q, es stimmt, dass ¬q→¬p (wo ¬ der Negationsoperator ist, d. H. "Nicht"). Dies bedeutet, dass die Beziehung zwischen P und Q, gegründet von P→Q, kann im Folgenden, alle äquivalenten Wege ausgedrückt werden:

P ist ausreichend für Q
Q ist notwendig für P
¬q ist ausreichend für ¬p
¬p ist notwendig für ¬q

Nehmen Sie beispielsweise das erste Beispiel oben, das heißt P→Q, wo P ist "Die fragliche Frucht ist ein Apfel" und Q ist "Madison wird die fragliche Früchte essen". Das Folgende sind vier äquivalente Möglichkeiten, genau diese Beziehung auszudrücken:

Wenn die fragliche Frucht ein Apfel ist, wird Madison ihn essen.
Nur wenn Madison die fragliche Früchte frisst, ist es ein Apfel.
Wenn Madison die fragliche Früchte nicht frisst, ist es kein Apfel.
Nur wenn die fragliche Frucht kein Apfel ist, wird Madison es nicht essen.

Hier kann das zweite Beispiel in Form von angezeigt werden wenn, dann Als "wenn Madison die fragliche Früchte frisst, dann ist es ein Apfel"; In Verbindung mit dem ersten Beispiel stellen wir fest, dass das dritte Beispiel als "Wenn die fragliche Frucht ein Apfel ist, wird Madison ihn essen. und Wenn Madison die Früchte isst, dann ist es ein Apfel. "

In Bezug auf Euler -Diagramme

  • A is a proper subset of B. A number is in A only if it is in B; a number is in B if it is in A.

    A ist eine ordnungsgemäße Teilmenge von B. Eine Zahl ist in A Nur wenn es in ist B; Eine Zahl ist in B Wenn es in ist in A.

  • C is a subset but not a proper subset of B. A number is in B if and only if it is in C, and a number is in C if and only if it is in B.

    C ist eine Teilmenge, aber keine ordnungsgemäße Teilmenge von B. Eine Zahl ist in B Wenn und nur wenn es in ist Cund eine Zahl ist in C Wenn und nur wenn es in ist B.

Euler -Diagramme Zeigen Sie logische Beziehungen zwischen Ereignissen, Eigenschaften und so weiter. "P nur wenn q", "wenn p dann q" und "p → q" bedeuten, dass p ist a Teilmenge, entweder richtig oder unangemessen, von Q. "P wenn q", "wenn Wenn und nur, wenn p "beide bedeuten, dass die Mengen p und q miteinander identisch sind.

Allgemeiner Nutzung

IFF wird auch außerhalb des Logikfelds verwendet. Wo immer die Logik angewendet wird, besonders in mathematisch Diskussionen hat es die gleiche Bedeutung wie oben: Es ist eine Abkürzung für dann und nur dann, wenn, was darauf hinweist, dass eine Aussage beides ist notwendig und ausreichend für die anderen. Dies ist ein Beispiel für Mathematischer Jargon (obwohl, wie oben erwähnt, wenn wird häufiger verwendet als IFF in Definitionserklärungen).

Die Elemente von X sind Alles nur die Elemente von Y Mittel: "für jeden z in dem Diskursbereich, z ist in X dann und nur dann, wenn z ist in Y. "

Siehe auch

Verweise

  1. ^ Copi, I. M.; Cohen, C.; Flage, D. E. (2006). Essentials der Logik (Zweite Ausgabe). Upper Saddle River, NJ: Pearson Education. p. 197. ISBN 978-0-13-238034-8.
  2. ^ Weisstein, Eric W. "Iff." Von MathWorld-eine Wolfram-Webressource. http://mathworld.wolfram.com/iff.html
  3. ^ Z.B. Daepp, Ulrich; Gorkin, Pamela (2011), Lesen, Schreiben und Beweisen: Ein genauerer Blick auf die Mathematik, Bachelortexte in Mathematik, Springer, p. 52, ISBN 9781441994790, Es kann zwar ein Echtzeitsprüfer sein, aber wir empfehlen es nicht im formellen Schreiben.
  4. ^ Rothwell, Edward J.; Cloud, Michael J. (2014), Engineering Writing By Design: Erstellen formeller Dokumente mit dauerhaftem Wert, CRC Press, p. 98, ISBN 9781482234312, Es ist häufig im mathematischen Schreiben
  5. ^ a b Peil, Timothy. "Konditionals und Biconditionals". web.mnstate.edu. Abgerufen 4. September 2020.
  6. ^ p <=> q. Wolfram | Alpha
  7. ^ Dann und nur dann, wenn, UHM Abteilung für Mathematik, Theoreme, die die Form "p if und nur q" haben, sind in Mathematik sehr geschätzt. Sie geben die so genannten "notwendigen und ausreichenden" Bedingungen und geben völlig gleichwertig und hoffentlich interessante neue Wege, um genau dasselbe zu sagen.
  8. ^ "XOR/XNOR/ODD Parity/sogar Parity Gate". www.cburch.com. Abgerufen 22. Oktober 2019.
  9. ^ Weisstein, Eric W. "Äquivalent". mathworld.wolfram.com. Abgerufen 4. September 2020.
  10. ^ "Jan łukasiewicz> łukasiewicz 'Klammern oder polnische Notation (Stanford Encyclopedia of Philosophy)". Plato.stanford.edu. Abgerufen 22. Oktober 2019.
  11. ^ "Latex: Symbol". Kunst der Problemlösung. Abgerufen 22. Oktober 2019.
  12. ^ Allgemeine Topologie, Neuausgabe ISBN978-0-387-90125-1
  13. ^ Nicholas J. Higham (1998). Handbuch zum Schreiben für die mathematischen Wissenschaften (2. Aufl.). SIAM. p. 24. ISBN 978-0-89871-420-3.
  14. ^ Maurer, Stephen B.; Ralston, Anthony (2005). Diskrete algorithmische Mathematik (3. Aufl.). Boca Raton, Fla.: CRC Press. p. 60. ISBN 1568811667.
  15. ^ Zum Beispiel von Allgemeine Topologie, p. 25: "Ein Satz ist zählbar Iff ist es endlich oder zäher unendlich. "
  16. ^ Krantz, Steven G. (1996), Ein Grundieren des mathematischen Schreibens, American Mathematical Society, p.71, ISBN 978-0-8218-0635-7

Externe Links