Hyperreale Nummer

Infinitesimals (ε) und Unendlichkeit (ω) auf der Hyperrealzahllinie (1/ε = ω/1)

Im Mathematik, das System von Hyperreale Zahlen ist eine Art zu behandeln unendlich und infinitesimal (unendlich kleine, aber ungleich Null) Mengen. Die Hyperreals, oder Nicht standardmäßige Realis, *R, sind ein Verlängerung des reale Nummern R Das enthält Zahlen, die größer als alles der Form der Form sind

(für jede endliche Anzahl von Begriffen).

Solche Zahlen sind unendlich und ihre Reziprokale sind Infinitesimals. Der Begriff "hyperreal" wurde von eingeführt von Edwin Hewitt 1948.[1]

Die Hyperrealzahlen erfüllen die Übertragungsprinzip, eine strenge Version von Leibniz Heuristik Gesetz der Kontinuität. Das Transferprinzip besagt, dass wahr wahr ist erste Bestellung Aussagen über R sind auch in * gültigR. Zum Beispiel die Kommutativgesetz von Addition, x+y = y+x, hält für die Hyperreden genauso wie für die Realität; seit R ist ein Echtes geschlossenes Feld, so ist *R. Seit für alle Ganzzahlen nman hat auch für alle Hyperinteger H. Das Transferprinzip für Ultrapower ist eine Folge von Łoś 'Theorem von 1955.

Bedenken hinsichtlich der Solidität von Argumenten, die Infinitesimals betreffen Archimedes Ersetzen solcher Beweise durch andere mit anderen Techniken wie dem Erschöpfungsmethode.[2] In den 1960ern, Abraham Robinson bewiesen, dass die Hyperrealds logisch konsistent waren, wenn und nur wenn die Realität wäre. Dies legte die Befürchtung aus, dass jeder Beweis, an dem Infinitesimals beteiligt waren, nicht stand, vorausgesetzt, sie wurden nach den logischen Regeln, die Robinson beschrieb, manipuliert.

Die Anwendung von Hyperrealzahlen und insbesondere das Übertragungsprinzip auf Probleme von Analyse wird genannt Nicht standardmäßige Analyse. Eine unmittelbare Anwendung ist die Definition der grundlegenden Analysekonzepte wie die Derivat und Integral- direkt, ohne durch logische Komplikationen mehrerer Quantifizierer zu bestehen. Somit die Ableitung von f(x) wird für ein Infinitesimal , wo st (·) das bezeichnet Standardteilfunktion, die jedes endliche Hyperreal auf das nächste Real "abrundet". In ähnlicher Weise wird das Integral als Standardteil eines geeigneten definiert unendliche Summe.

Das Transferprinzip

Die Idee des Hyperrealsystems besteht darin, die realen Zahlen zu verlängern R ein System bilden *R Dazu gehören infinitesimale und unendliche Zahlen, ohne jedoch die elementaren Algebra -Axiome zu ändern. Jede Aussage der Form "für eine beliebige Zahl x ...", die für die Realität gilt, gilt auch für die Hyperreals. Zum Beispiel das Axiom, das "für eine beliebige Zahl x, x+0 =x"Gilt immer noch. Gleiches gilt für Quantifizierung über mehrere Zahlen, z. B. "für alle Zahlen x und y, xy=yx. "Diese Fähigkeit, Aussagen von den Realität zu den Hyperreals zu übertragen Übertragungsprinzip. Aussagen der Form "für jeden einstellen Zahlen S ... "dürfen nicht übertragen werden. Die einzigen Eigenschaften, die sich zwischen den Realität und den Hyperreden unterscheiden Sets, oder andere höhere Strukturen wie Funktionen und Beziehungen, die typischerweise aus Sätzen konstruiert werden. Jede reale Menge, Funktion und Beziehung hat ihre natürliche hyperreale Erweiterung und erfüllt die gleichen Eigenschaften erster Ordnung. Die Arten der logischen Sätze, die dieser Quantifizierungsbeschränkung befolgen, werden als Aussagen in bezeichnet Logik erster Ordnung.

Das Transferprinzip bedeutet dies jedoch nicht R und *R identisches Verhalten haben. Zum Beispiel in * in *R Es gibt ein Element ω so dass

Aber es gibt keine solche Zahl in R. (Mit anderen Worten, *R ist nicht Archimedan.) Dies ist möglich, weil die Nichtdage von ω kann nicht als Erklärung erster Ordnung ausgedrückt werden.

Verwendung in der Analyse

Kalkül mit algebraischen Funktionen

Informelle Notationen für nicht reale Größen sind in zwei Kontexten historisch in Kalkül aufgetreten: als Infinitesimals wie dxund als Symbol ∞, zum Beispiel in Grenzen der Integration von verwendet Unbewegliche Integrale.

Als Beispiel für das Übertragungsprinzip die Aussage, die für jede Zahl ungleich Null x, 2xx, gilt für die realen Zahlen, und es befindet sich in der Form, die vom Übertragungsprinzip erforderlich ist, sodass es auch für die Hyperrealzahlen gilt. Dies zeigt, dass es nicht möglich ist, ein generisches Symbol wie ∞ für alle unendlichen Mengen im Hyperrealsystem zu verwenden. Die unendlichen Größen unterscheiden sich in der Größe von anderen unendlichen Größen und Infinitesimals von anderen Infinitesimen.

In ähnlicher Weise ist die lässige Verwendung von 1/0 = ∞ ungültig, da das Übertragungsprinzip für die Aussage gilt, dass die Teilung durch Null undefiniert ist. Das strenge Gegenstück einer solchen Berechnung wäre, dass 1/ε unendlich ist, wenn & epsi; unendlich unendlich infinitesimal ist.

Für jede endliche Hyperrealzahl x, es ist Standardteil, st (x), ist definiert als die eindeutige reelle Zahl, die sich nur infinitesimal davon unterscheidet. Die Ableitung einer Funktion y(x) ist nicht als als definiert als als DY/DX aber als Standardteil des entsprechenden Differenzquotienten.

Zum Beispiel um das zu finden Derivat f'(x) des Funktion f(x) =x2, Lassen dx Seien Sie ein Infinitesimal ohne Null. Dann,

Die Verwendung des Standardteils in der Definition des Derivats ist eine strenge Alternative zur traditionellen Praxis, das Quadrat einer infinitesimalen Menge zu vernachlässigen. Doppelzahlen sind ein Zahlensystem, das auf dieser Idee basiert. Nach der dritten Zeile der obigen Differenzierung wäre die typische Methode von Newton bis zum 19. Jahrhundert einfach, das einfach zu verwerfen dx2 Begriff. Im Hyperrealsystem,dx2≠ 0, seitdem dx ist ungleich Null und das Übertragungsprinzip kann auf die Aussage angewendet werden, dass das Quadrat einer beliebigen Null -Zahl ungleich Null ist. Die Menge dx2 ist unendlich klein im Vergleich zu dx; Das heißt, das Hyperreale System enthält eine Hierarchie von infinitesimalen Größen.

Integration

Eine Möglichkeit, ein bestimmtes Integral im Hyperrealsystem zu definieren a, a + dx, a + 2DX, ..., a + NDX, wo dx ist infinitesimal, n ist unendlich Hypernaturalund die unteren und oberen Integrationsgrenzen sind a und b=a+n dx.[3]

Eigenschaften

Die Hyperreals *R für Mann Bestellter Feld die Realität enthält R Als ein Unterfeld. Im Gegensatz zu den Realität bilden die Hyperreden keinen Standard metrischer Raum, aber aufgrund ihrer Bestellung tragen sie eine Topologie bestellen.

Die Verwendung des bestimmten Artikel das in der Phrase Die Hyperrealzahlen ist insofern etwas irreführend, als es kein einzigartiges geordnetes Feld gibt, auf das in den meisten Behandlungen verwiesen wird. Ein Papier von 2003 von 2003 von Vladimir Kanovei und Saharon Shelah[4] zeigt, dass es eine definierbare, zähe gibt gesättigt (Bedeutung ω gesättigt, aber natürlich nicht zählbar) Elementarerweiterung der Realität, die daher einen guten Anspruch auf den Titel von haben das Hyperreale Zahlen. Darüber hinaus ist das Feld, das durch die ultrapowere Konstruktion aus dem Raum aller realen Sequenzen erhalten wird, bis zum Isomorphismus einzigartig, wenn man das annimmt Kontinuumshypothese.

Der Zustand, ein hyperreales Feld zu sein Echtes geschlossenes Feld streng enthalten R. Es ist auch stärker als das, a zu sein Superreal Field im Sinne von Dales und Holz.[5]

Entwicklung

Die Hyperreden können entweder axiomatisch oder durch konstruktivere Methoden entwickelt werden. Die Essenz des axiomatischen Ansatzes besteht darin, (1) die Existenz von mindestens einer infinitesimalen Zahl und (2) die Gültigkeit des Transferprinzips zu behaupten. Im folgenden Unterabschnitt geben wir einen detaillierten Überblick über einen konstruktiveren Ansatz. Diese Methode ermöglicht es, die Hyperreals zu konstruieren, wenn ein set-theoretisches Objekt bezeichnet wird Ultrafilter, aber der Ultrafilter selbst kann nicht explizit konstruiert werden.

Von Leibniz nach Robinson

Wann Newton und (explizit) Leibniz Einführte Unterschiede verwendeten sie infinitesimalen und diese wurden immer noch als nützlich von späteren Mathematikern angesehen, z. Euler und Cauchy. Trotzdem wurden diese Konzepte von Anfang an als verdächtig angesehen, insbesondere von George Berkeley. Berkeleys Kritik konzentrierte sich auf eine wahrgenommene Veränderung der Hypothese in der Definition des Derivats in Bezug dx wird zu Beginn der Berechnung als ungleich Null angenommen und zu seiner Schlussfolgerung verschwinden (siehe Geister der abgestellten Mengen für Details). In den 1800er Jahren Infinitesimalrechnung wurde durch die Entwicklung des (ε, δ) -Definition der Grenze durch BolzanoCauchy, Weierstrassund andere, Infinitesimals wurden weitgehend aufgegeben, obwohl erforscht in Nichtarchimedäe Felder Fortsetzung (Ehrlich 2006).

In den 1960er Jahren Abraham Robinson zeigten, wie unendlich große und infinitesimale Zahlen streng definiert und zur Entwicklung des Feldes von verwendet werden können Nicht standardmäßige Analyse.[6] Robinson entwickelte seine Theorie nicht konstruktiv, verwenden Modelltheorie; Es ist jedoch möglich, nur mit Verwendung fortzufahren Algebra und Topologieund beweisen das Transferprinzip als Folge der Definitionen. Mit anderen Worten Hyperrealzahlen an sichAbgesehen von ihrer Verwendung in der nicht standardmäßigen Analyse haben sie keine notwendige Beziehung zur Modelltheorie oder zur Logik erster Ordnung, obwohl sie durch die Anwendung von modell theoretischen Techniken aus der Logik entdeckt wurden. Hyper-reale Felder wurden tatsächlich ursprünglich von Hewitt (1948) von rein algebraischen Techniken unter Verwendung einer ultrapoweren Konstruktion eingeführt.

Die ultrapowere Konstruktion

Wir werden über ein hyperreales Feld über konstruieren Sequenzen von Realität.[7] Tatsächlich können wir Sequenzen komponentius hinzufügen und multiplizieren. zum Beispiel:

und analog zur Multiplikation. Dies verwandelt den Satz solcher Sequenzen in a Gewinnring, was in der Tat ein echtes ist Algebra A. Wir haben eine natürliche Einbettung von R in A Durch die Identifizierung der realen Zahl r mit der Sequenz (r, r, r,…) Und diese Identifizierung bewahrt die entsprechenden algebraischen Operationen der Realität. Die intuitive Motivation besteht beispielsweise darin, eine infinitesimale Zahl unter Verwendung einer Sequenz darzustellen, die sich Null nähert. Die Umkehrung einer solchen Sequenz würde eine unendliche Zahl darstellen. Wie wir weiter unten sehen werden, treten die Schwierigkeiten auf, weil die Notwendigkeit für den Vergleich solcher Sequenzen in einer Weise definiert werden muss, obwohl sie zwangsläufig etwas willkürlich sein müssen, aber selbstkonsistent und gut definiert sein müssen. Zum Beispiel haben wir möglicherweise zwei Sequenzen, die sich in ihrer ersten unterscheiden n Mitglieder, aber danach gleich; Solche Sequenzen sollten eindeutig als die gleiche Hyperrealzahl angesehen werden. In ähnlicher Weise die meisten Sequenzen oszillieren nach dem Zufallsprinzip Für immer, und wir müssen eine Möglichkeit finden, eine solche Sequenz zu nehmen und sie als Beispiel zu interpretieren , wo ist eine bestimmte infinitesimale Zahl.

Das Vergleich von Sequenzen ist daher eine heikle Angelegenheit. Wir könnten zum Beispiel versuchen, eine Beziehung zwischen Sequenzen in Komponenten zu definieren:

Aber hier stoßen wir in Schwierigkeiten, da einige Einträge der ersten Sequenz möglicherweise größer sind als die entsprechenden Einträge der zweiten Sequenz, und einige andere sind möglicherweise kleiner. Daraus folgt, dass die auf diese Weise definierte Beziehung nur a ist Teilreihenfolge. Um dies zu umgehen, müssen wir angeben, welche Positionen wichtig sind. Da es unendlich viele Indizes gibt, möchten wir keine endlichen Indizes. Eine konsistente Auswahl der Indexsätze, die von keinem freien Bereich gegeben sind Ultrafilter U auf der natürliche Zahlen; Diese können als Ultrafilter charakterisiert werden, die keine endlichen Sets enthalten. (Die gute Nachricht ist, dass das Zorns Lemma garantiert die Existenz vieler solcher solcher U; Die schlechte Nachricht ist, dass sie nicht explizit konstruiert werden können.) Wir denken an U als Auszeichnung der Indizes, die "Materie" herausgegriffen haben: Wir schreiben (a0, a1, a2, ...) ≤ (b0, b1, b2, ...) wenn und nur wenn die Menge der natürlichen Zahlen { n: anbn } ist in U.

Das ist ein Gesamtvorbestellung und es wird zu a Gesamtbestellung Wenn wir uns einig sind, nicht zwischen zwei Sequenzen zu unterscheiden a und b wenn ab und ba. Mit dieser Identifikation das geordnete Feld *R von Hyperreals wird konstruiert. Aus algebraischer Sicht,, U ermöglicht es uns, eine entsprechende zu definieren Maximales Ideal I im kommutativen Ring A (nämlich der Satz der Sequenzen, die in einem Element von verschwinden U) und dann definieren *R wie A/I; als die Quotient eines kommutativen Rings durch ein maximales Ideal, *R ist ein Feld. Dies ist auch notiert A/Udirekt in Bezug auf den freien Ultrafilter U; Die beiden sind gleichwertig. Die Maximalität von I folgt aus der Möglichkeit einer Sequenz aKonstruktion einer Sequenz b Invertieren der Nicht-Null-Elemente von a und seine Nulleinträge nicht verändern. Wenn das Set auf welchem a verschwindet nicht in U, das Produkt ab wird mit der Nummer 1 identifiziert, und jeder ideale, der 1 enthält 1 muss sein A. Im resultierenden Feld diese a und b sind Inversen.

Das Feld A/U ist ein Ultrapower von R. Da enthält dieses Feld R es hat Kardinalität Zumindest die der Kontinuum. Seit A hat Kardinalität

Es ist auch nicht größer als und hat daher die gleiche Kardinalität wie R.

Eine Frage, die wir uns stellen könnten, ist, ob, wenn wir einen anderen kostenlosen Ultrafilter ausgewählt hätten V, das Quotientsfeld A/U wäre isomorph als bestelltes Feld zu A/V. Diese Frage stellt sich heraus Kontinuumshypothese; in ZFC Mit der Kontinuumshypothese können wir beweisen, dass dieses Feld einzigartig ist Bestellen Sie den Isomorphismusund in ZFC mit der Negation der Kontinuumshypothese können wir beweisen, dass es nicht isomorphe Felderpaare gibt, die beide zählich indexierte Ultrapowere der Realität haben.

Weitere Informationen zu dieser Konstruktionsmethode finden Sie unter Ultraprodukt.

Ein intuitiver Ansatz für die ultrapowere Konstruktion

Das Folgende ist eine intuitive Art, die Hyperrealzahlen zu verstehen. Der hier verfolgte Ansatz ist dem in dem Buch von sehr nahe bei Goldblatt.[8] Denken Sie daran, dass die auf Null konvergierenden Sequenzen manchmal unendlich klein bezeichnet werden. Dies sind in gewissem Sinne fast die Infinitesimals; Die wahren Infinitesimals enthalten bestimmte Klassen von Sequenzen, die eine Sequenz enthalten, die auf Null konvergiert.

Lassen Sie uns sehen, woher diese Klassen kommen. Betrachten Sie zunächst die Sequenzen der reellen Zahlen. Sie bilden a RingDas heißt, man kann sie multiplizieren, hinzufügen und subtrahieren, aber nicht unbedingt durch ein Element ungleich Null teilen. Die realen Zahlen werden als konstante Sequenzen angesehen, die Sequenz ist Null, wenn sie identisch Null ist, dh,, an= 0 für alle n.

In unserem Ring von Sequenzen kann man bekommen ab= 0 mit keinem a= 0 Nor b= 0. Somit, wenn für zwei Sequenzen hat man ab= 0, mindestens einer von ihnen sollte null deklariert werden. Überraschenderweise gibt es eine konsequente Möglichkeit, dies zu tun. Infolgedessen bilden die Äquivalenzklassen von Sequenzen, die sich durch eine Sequenz unterscheiden, die Null erklärt, ein Feld, das als Hyperreal bezeichnet wird aufstellen. Es wird die Infinitesimals zusätzlich zu den gewöhnlichen reellen Zahlen sowie unendlich großen Zahlen (die Reziprokale von Infinitesimalen, einschließlich derjenigen, die durch Sequenzen, die in Unendlichkeit abweichen, dargestellt, dargestellt, enthalten. Auch jedes Hyperreal, das nicht unendlich groß ist, wird einem gewöhnlichen Real unendlich nahe sein, mit anderen Worten, es wird die Summe eines gewöhnlichen Realen und eines Infinitesimals sein.

Diese Konstruktion ist parallel zum Bau der Realität aus den Rationalen durch Kantor. Er begann mit dem Ring des Cauchy -Sequenzen von Rationalen und deklarierte alle Sequenzen, die auf Null konvergieren, um Null zu sein. Das Ergebnis ist die Realität. Um die Konstruktion von Hyperreals fortzusetzen, berücksichtigen Sie die Null -Sätze unserer Sequenzen, dh die , das ist, ist der Satz von Indizes für welche . Es ist klar, dass wenn dann die Vereinigung von und ist N (die Menge aller natürlichen Zahlen), also:

  1. Eine der Sequenzen, die an zwei ergänzenden Sätzen verschwinden, sollte null erklärt werden
  2. Wenn wird null deklariert, sollte auch null erklärt werden, egal was passiert ist.
  3. Wenn beides und werden dann null deklariert sollte auch null deklariert werden.

Jetzt ist die Idee, ein paar zu spielen U von Untergruppen X von N und das zu erklären dann und nur dann, wenn gehört U. Aus den oben genannten Bedingungen kann man sehen:

  1. Von zwei komplementären Mengen, zu denen einer gehört U
  2. Jeder Satz mit einer Teilmenge, die gehört Ugehört auch zu U.
  3. Eine Schnittstelle von zwei beliebigen Sätzen zu U gehört U.
  4. Schließlich wollen wir das nicht leeres Set zu etwas gehören U Weil dann alles gehören würde U, wie jeder Satz den leeren Satz als Teilmenge hat.

Jede Familie von Sets, die erfüllt (2–4), wird als a genannt Filter (Ein Beispiel: Die Ergänzungen zu den endlichen Sätzen werden als die genannt Fréchet -Filter und es wird in der üblichen Grenztheorie verwendet). Wenn (1) auch gilt, wird u genannt Ultrafilter (Weil Sie ihm keine Sets hinzufügen können, ohne es zu brechen). Das einzig explizit bekannte Beispiel eines Ultrafilters ist die Familie von Sätzen, die ein bestimmtes Element enthalten (in unserem Fall beispielsweise die Zahl 10). Solche Ultrafilter werden als trivial bezeichnet, und wenn wir es in unserer Konstruktion verwenden, kehren wir zu den gewöhnlichen realen Zahlen zurück. Jeder Ultrafilter, der einen endlichen Satz enthält, ist trivial. Es ist bekannt, dass jeder Filter auf einen Ultrafilter ausgedehnt werden kann, aber der Beweis verwendet die Axiom der Wahl. Die Existenz eines nicht trivialen Ultrafilters (der Ultrafilter Lemma) kann als zusätzliches Axiom hinzugefügt werden, da es schwächer ist als das Axiom der Wahl.

Wenn wir nun einen nicht trivialen Ultrafilter (eine Erweiterung des Fréchet -Filters) nehmen und unsere Konstruktion durchführen, erhalten wir die Hyperrealzahlen als Ergebnis.

Wenn ist eine echte Funktion einer echten Variablen dann Natürlich erstreckt sich eine hyperreale Funktion einer hyperrealen Variablen durch Zusammensetzung:

wo bedeutet "die Äquivalenzklasse der Sequenz Im Vergleich zu unserem Ultrafilter "befinden sich zwei Sequenzen in derselben Klasse, wenn der Nullsatz ihres Unterschieds zu unserem Ultrafilter gehört.

Alle arithmetischen Ausdrücke und Formeln sind für Hyperreals sinnvoll und gilt, wenn sie für die gewöhnlichen Reale zutreffen. Es stellt sich heraus, dass alle endlichen (das heißt, so dass Für einige gewöhnliche Realität ) Hyperreal wird von der Form sein wo ist ein gewöhnlicher (als Standard genannt) real und ist ein Infinitesimal. Es kann durch die Bisektionsmethode nachgewiesen werden, um den Bolzano-Zwischens-Theorem zu beweisen, das Eigentum (1) von Ultrafiltern ist entscheidend.

Eigenschaften von infinitesimalen und unendlichen Zahlen

Die endlichen Elemente F von *R Form a Lokalringund tatsächlich a Bewertungsring, mit dem einzigartigen maximalen Ideal S die Infinitesimals sein; der Quotient F/S ist isomorph für die Realität. Daher haben wir eine homomorph Mapping, ST (x), aus F zu R Deren Kernel besteht aus den Infinitesimals und die jedes Element sendet x von F zu einer einzigartigen reellen Zahl, deren Unterschied zu x in ist S; Das heißt, ist infinitesimal. Einen anderen Weg, jeder endlich Die nicht standardmäßige reelle Zahl ist "sehr nahe" an eine eindeutige reelle Zahl, in dem Sinne, dass wenn x ist ein endliches, nicht standardmäßiges real, dann gibt es ein und nur eine reelle Zahl ST (x) so dass x- ST (x) ist infinitesimal. Diese Nummer ST (x) wird das genannt Standardteil von x, konzeptionell gleich wie x zur nächsten reellen Zahl. Diese Operation ist ein Bestellvorstellungs-Homomorphismus und daher sowohl algebraisch als auch theoretisch gut erzogen. Es ist Bestellversicherung, wenn auch nicht isotonisch; d.h. impliziert , aber impliziert nicht .

  • Wir haben, wenn beides x und y sind endlich,
  • Wenn x ist endlich und nicht unendlich.
  • x ist real, wenn und nur wenn

Die Karte ST ist kontinuierlich in Bezug auf die Ordertopologie über die endlichen Hyperreden; in der Tat ist es lokal konstant.

Hyperreale Felder

Vermuten X ist ein Tychonoff -Raum, auch t genannt3.5 Raum und c (X) ist die Algebra der kontinuierlichen realvaluierten Funktionen auf X. Vermuten M ist ein Maximales Ideal in c (X). Dann ist die Faktoralgebra A = C (X)/M ist ein völlig bestelltes Feld F die Realität enthält. Wenn F streng enthält R dann M wird als a genannt Hyperreales Ideal (Terminologie aufgrund Hewitt (1948)) und F a Hyperreales Feld. Beachten Sie, dass die Kardinalität von keine Annahme getroffen wird F ist größer als R; Es kann in der Tat die gleiche Kardinalität haben.

Ein wichtiger Sonderfall ist der Ort, an dem die Topologie auf X ist der Diskrete Topologie; in diesem Fall X kann mit a identifiziert werden Kardinalzahl κ und C (X) mit der echten Algebra Rκ von Funktionen von κ bis R. Die Hyperrealfelder, die wir in diesem Fall erhalten, werden genannt Ultrapower von R und sind identisch mit den Ultrapowers, die über frei konstruiert wurden Ultrafilter in der Modelltheorie.

Siehe auch

Verweise

  1. ^ Hewitt (1948), p. 74, wie in Keisler (1994) berichtet
  2. ^ Ball, p. 31
  3. ^ Keiser
  4. ^ Kanovei, Vladimir; Shelah, Saharon (2004), "Ein definierbares nicht standardmäßiges Modell der Realität" (PDF), Zeitschrift für symbolische Logik, 69: 159–164, Arxiv:Math/0311165, doi:10.2178/JSL/1080938834, archiviert von das Original (PDF) Am 2004-08-05, abgerufen 2004-10-13
  5. ^ Woodin, W. H.; Dales, H. G. (1996), Super-Real Fields: Total bestellte Felder mit zusätzlicher Struktur, Oxford: Clarendon Press, ISBN 978-0-19-853991-9
  6. ^ Robinson, Abraham (1996), Nicht standardmäßige Analyse, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04490-3. Die klassische Einführung in die nicht standardmäßige Analyse.
  7. ^ Loeb, Peter A. (2000), "Eine Einführung in die nicht standardmäßige Analyse", Nicht standardmäßige Analyse für den arbeitenden Mathematiker, Mathematik. Appl., Vol. 510, Dordrecht: Kluwer Acad. Publ., S. 1–95
  8. ^ Goldblatt, Robert (1998), Vorträge über die Hyperreals: Eine Einführung in die nicht standardmäßige Analyse, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98464-3

Weitere Lektüre

Externe Links