Hypercube

Perspektivprojektionen

Würfel (3-Kube)	Tesseract (4-Kube)

Im Geometrie, a Hypercube ist ein n-Dimensional Analogon von a Quadrat (n = 2) und ein Würfel (n = 3). Es ist ein abgeschlossen, kompakt, konvex Figur, deren 1-Skelett besteht aus Gruppen von Gegenteil parallel Liniensegmente in jedem der Raum ausgerichtet Maße, aufrecht zueinander und gleicher Länge. Ein Einheit Hypercube längst diagonal in n Die Dimensionen sind gleich ${\ displayStyle {\ sqrt {n}}}$.

Ein n-Dimensionales Hypercube wird häufiger als als n-Würfel oder manchmal als ein n-Dimensionaler Würfel. Der Begriff Polytop messen (Ursprünglich aus Elte, 1912)^[1] wird auch verwendet, insbesondere in der Arbeit von H. S. M. Coxeter Wer bezeichnet auch die Hypercubes das γn Polytope.^[2]

Der Hypercube ist der Sonderfall von a Hyperrectangle (auch als ein bezeichnet N-ARTHOTOP).

A Einheit Hypercube ist ein Hypercube, dessen Seite eine Länge hat Einheit. Oft der Hypercube, dessen Ecken (oder Eckpunkte) sind die 2ⁿ Punkte in Rⁿ mit jeder Koordinate gleich 0 oder 1 heißt das Einheit Hypercube.

Konstruktion

Ein Diagramm, das zeigt, wie ein Tesseract von einem Punkt erstellt wird.

Eine Animation, die zeigt, wie ein Tesseract von einem Punkt erstellt wird.

Ein Hypercube kann definiert werden, indem die Anzahl der Dimensionen einer Form erhöht wird:

0 - Ein Punkt ist ein Hypercube der Dimension Null.

1 - Wenn man diesen Punkt um eine Einheitslänge bewegt, wird ein Leitungssegment ausgezeichnet, bei dem es sich um eine Einheit -Hypercube der Dimension handelt.

2 - Wenn man dieses Liniensegment in a bewegt aufrecht Richtung von sich selbst; Es fegt ein 2-dimensionales Quadrat aus.

3 -Wenn man die quadratische Länge mit einer Einheit in die Richtung senkrecht zur Ebene bewegt, auf der sie liegt, erzeugt sie einen dreidimensionalen Würfel.

4 -Wenn man den Würfel mit einer Einheitslänge in die vierte Dimension bewegt, erzeugt er eine 4-dimensionale Einheit-Hypercube (eine Einheit Tesseract).

Dies kann auf eine beliebige Anzahl von Dimensionen verallgemeinert werden. Dieser Prozess des Ausgangsvolumens kann mathematisch als mathematisch formalisiert werden Minkowski -Summe: das d-Dimensionales Hypercube ist die Minkowski -Summe von d gegenseitig senkrechte Leitungssegmente mit Einheitslängen und ist daher ein Beispiel für a Zonotop.

Die 1-Skelett eines Hypercube ist a Hypercube -Diagramm.

Scheitelpunktkoordinaten

Projektion von a rotieren Tesseract.

Ein Einheit Hypercube der Dimension ${\ displayStyle n}$ ist der konvexer Rumpf von allen Punkten, deren ${\ displayStyle n}$ Kartesischen Koordinaten sind jeweils gleich beiden ${\ displayStyle 0}$ oder ${\ displayStyle 1}$. Dieser Hypercube ist auch das kartesisches Produkt ${\ displayStyle [0,1]^{n}}$ von ${\ displayStyle n}$ Kopien der Einheit Intervall ${\ displayStyle [0,1]}$. Eine andere Einheit Hypercube, die auf den Ursprung des Umgebungsraums zentriert ist, kann von diesem von a erhalten werden Übersetzung. Es ist der konvexe Rumpf der Punkte, deren Vektoren kartesischer Koordinaten sind

${\ displaystyle \ links (\ pm {\ frac {1} {2}}, \ pm {\ frac {1} {2}}, \ cdots, \ pm {\ frac {1} {2}} \ rechts) \! \ !.}$

Hier das Symbol ${\ displayStyle \ pm}$ bedeutet, dass jede Koordinate entweder gleich ist ${\ displayStyle 1/2}$ oder zu ${\displaystyle -1/2}$. Diese Einheit Hypercube ist auch das kartesische Produkt ${\ displayStyle [-1/2,1/2]^{n}}$. Jede Einheit Hypercube hat eine Kantenlänge von ${\ displayStyle 1}$ und ein ${\ displayStyle n}$-Dimensionales Volumen von ${\ displayStyle 1}$.

Das ${\ displayStyle n}$-Dimensionales Hypercube, der als konvexer Rumpf der Punkte mit Koordinaten erhalten wurde ${\ displayStyle (\ pm 1, \ pm 1, \ cdots, \ pm 1)}$ oder gleichwertig wie das kartesische Produkt ${\ displayStyle [-1,1]^{n}}$ wird auch häufig aufgrund der einfacheren Form seiner Scheitelpunktkoordinaten berücksichtigt. Seine Kantenlänge ist ${\ displayStyle 2}$, und sein ${\ displayStyle n}$-Dimensionales Volumen ist ${\ displayStyle 2^{n}}$.

Gesichter

Jedes Hypercube gibt als Gesichter Hypercubes einer niedrigeren Dimension in seiner Grenze zu. Eine Hypercube der Dimension ${\ displayStyle n}$ zu ${\ displayStyle 2n}$ Facetten oder Gesichter der Dimension ${\ displayStyle n-1}$: a (${\ displayStyle 1}$-Dimensional) Liniensegment hat ${\ displayStyle 2}$ Endpunkte; a (${\ displayStyle 2}$-Dimensionales) Quadrat ${\ displayStyle 4}$ Seiten oder Kanten; a ${\ displayStyle 3}$-Dimensionaler Würfel hat ${\ displayStyle 6}$ quadratische Gesichter; a (${\ displayStyle 4}$-Dimensional) Tesseract hat ${\ displayStyle 8}$ Dreidimensionaler Würfel als Facetten. Die Anzahl der Eckpunkte eines Hypercube der Dimension ${\ displayStyle n}$ ist ${\ displayStyle 2^{n}}$ (ein üblicher, ${\ displayStyle 3}$-Dimensionaler Würfel hat ${\ displayStyle 2^{3} = 8}$ Scheitelpunkte zum Beispiel).

Die Anzahl der Anzahl der ${\ displayStyle m}$-Dimensionale Hypercubes (gerade als als bezeichnet als als ${\ displayStyle m}$-Cuben von hier an) in der Grenze von einem enthalten ${\ displayStyle n}$-Cube ist

${\ displayStyle e_ {m, n} = 2^{n-m} {n \ wählen m}}$,^[3] wo ${\ displayStyle {n \ wählen Sie m} = {\ frac {n!} {m! \, (n-m)!}}}$ und ${\ displayStyle n!}$ bezeichnet die Fakultät von ${\ displayStyle n}$.

Zum Beispiel die Grenze von a ${\ displayStyle 4}$-Cube (${\ displayStyle n = 4}$) enthält ${\ displayStyle 8}$ Würfel (${\ displayStyle 3}$-Würfel), ${\ displayStyle 24}$ Quadrate (${\ displayStyle 2}$-Würfel), ${\ displayStyle 32}$ Liniensegmente (${\ displayStyle 1}$-Cuben) und ${\ displayStyle 16}$ Scheitelpunkte (${\ displayStyle 0}$-Würfel). Diese Identität kann durch ein einfaches kombinatorisches Argument nachgewiesen werden: für jedes der der ${\ displayStyle 2^{n}}$ Scheitelpunkte des Hypercube gibt es ${\ displayStyle {\ tbinom {n} {m}}}$ Möglichkeiten zur Auswahl einer Sammlung von ${\ displayStyle m}$ Kanten, der diesen Scheitelpunkt fällt. Jede dieser Sammlungen definiert eine der ${\ displayStyle m}$-Dimensionale Gesichter, die dem betrachteten Scheitelpunkt fällt. Tun Sie dies für alle Scheitelpunkte des Hypercube, jeweils jeder der ${\ displayStyle m}$-Dimensionale Gesichter des Hypercube werden gezählt ${\ displayStyle 2^{m}}$ Zeiten, da es so viele Scheitelpunkte hat und wir teilen müssen ${\ displayStyle 2^{n} {\ tbinom {n} {m}}}$ durch diese Nummer.

Die Anzahl der Facetten des Hypercube kann verwendet werden, um die zu berechnen ${\ displayStyle (n-1)}$-Dimensionales Volumen seiner Grenze: Dieses Volumen ist ${\ displayStyle 2n}$ mal das Volumen von a ${\ displayStyle (n-1)}$-Dimensionales Hypercube; das ist, ${\ displayStyle 2ns^{n-1}}$ wo ${\ displayStyle S}$ ist die Länge der Kanten des Hypercube.

Diese Zahlen können auch vom Linear generiert werden Rezidivbeziehung

${\ displayStyle e_ {m, n} = 2e_ {m, n-1}+e_ {m-1, n-1} \!}$, mit ${\ displayStyle e_ {0,0} = 1}$, und ${\ displayStyle e_ {m, n} = 0}$ Wenn ${\ displayStyle n <m}$, ${\ displayStyle n <0}$, oder ${\ displayStyle m <0}$.

Wenn Sie beispielsweise ein Quadrat über seine 4 Scheitelpunkte erweitern, wird pro Scheitelpunkt ein zusätzliches Leitungssegment (Kante) hinzugefügt. Hinzufügen des gegenüberliegenden Quadrats, um einen Würfel zu bilden, liefert ${\ displayStyle e_ {1,3} = 12}$ Liniensegmente.

Nummer ${\ displayStyle e_ {m, n}}$ von ${\ displayStyle m}$-Dimensionale Gesichter von a ${\ displayStyle n}$-Dimensionales Hypercube (Sequenz A038207 in dem Oeis))

			m	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
n	n-Würfel	Namen	Schläfli Koxeter	Scheitel 0-Face	Rand 1-Face	Gesicht 2-Face	Zelle 3-Face	4-Face	5-Face	6-Face	7-Face	8-Face	9-Face	10-Face
0	0-Kube	Punkt Monon	()	1
1	1-Cube	Liniensegment Dion[4]	{}	2	1
2	2-Kube	Quadrat Tetragon	{4}	4	4	1
3	3-Kube	Würfel Hexaheder	{4,3}	8	12	6	1
4	4-Kube	Tesseract Oktachoron	{4,3,3}	16	32	24	8	1
5	5-Kube	Pernakt Deca-5-Tope	{4,3,3,3}	32	80	80	40	10	1
6	6-Kube	Hexerakt Dodeca-6-Tope	{4,3,3,3,3}	64	192	240	160	60	12	1
7	7-Kube	Hepterakt Tetredeca-7-Tope	{4,3,3,3,3,3}	128	448	672	560	280	84	14	1
8	8-Kube	Octeract Hexadeca-8-Tope	{4,3,3,3,3,3,3}	256	1024	1792	1792	1120	448	112	16	1
9	9-Kube	Umgeführt Oktadeca-9-Tope	{4,3,3,3,3,3,3,3}	512	2304	4608	5376	4032	2016	672	144	18	1
10	10-cube	Dekerakt ICOSA-10-Tope	{4,3,3,3,3,3,3,3,3}	1024	5120	11520	15360	13440	8064	3360	960	180	20	1

Grafiken

Ein n-Würfel kann in einem regulären 2 projiziert werdenn-Gonales Polygon durch a schief orthogonale Projektion, hier vom Liniensegment bis zum 16-Kube gezeigt.

Petrie Polygon Orthografische Projektionen

Liniensegment	Quadrat	Würfel	Tesseract
5-Kube	6-Kube	7-Kube	8-Kube
9-Kube	10-cube	11-Kube	12-Kube
13-Kube	14-Kube	15-Kube	16-Kube

Verwandte Familien von Polytopen

Die Hypercubes sind eine der wenigen Familien von Regelmäßige Polytope die in einer beliebigen Anzahl von Dimensionen dargestellt werden.

Das Hypercube (Offset) Familie ist eine von drei Regelmäßiges Polytop Familien, beschriftet von Koxeter wie γ_n. Die anderen beiden sind die Hypercube Dual -Familie, die Cross-Polytope, beschriftet als β_n, und die Einfaches, beschriftet als α_n. Eine vierte Familie, die unendliche Tessellationen von Hypercubes, er beschriftete als als δ_n.

Eine andere verwandte Familie von Semiregular und einheitliche Polytope ist der Demihypercubes, die aus Hypercubes mit alternativen Scheitelpunkten gelöscht werden und konstruiert werden und Simplex Facetten in den Lücken hinzugefügt, die als als gekennzeichnet sind Hγ_n.

n-Kuschs können mit ihren Dual (die) kombiniert werden Cross-Polytope) um zusammengesetzte Polytope zu bilden:

• In zwei Dimensionen erhalten wir das Oktagrammic Sternfigur {8/2},
• In drei Dimensionen erhalten wir die Cube und Oktaeder,
• In vier Dimensionen erhalten wir die Tesseract und 16-Zelle.

Beziehung zu (n−1) -Implices

Die Grafik der n-Hypercube's Ränder sind isomorph zum Hasse -Diagramm des (n−1)-Simplex's Gesichtsgitter. Dies kann durch die Ausrichtung der Orientierung gesehen werden n-Hypercube so, dass zwei gegenüberliegende Scheitelpunkte vertikal liegen und der ((n−1) -Implex selbst bzw. das Nullpolytop. Jeder Scheitelpunkt, der mit dem oberen Scheitelpunkt verbunden istn–1) -Implex-Facetten (n–2 Gesichter) und jeder Scheitelpunkt, der mit diesen Scheitelpunkten zu einem der Simplex -Karten verbunden ist n–3 Gesichter usw. und die Scheitelpunkte, die mit der unteren Scheitelpunktkarte mit den Eckpunkte des Simplex verbunden sind.

Diese Beziehung kann verwendet werden, um das Gesichtsgitter eines (n–1) -Implex effizient, da die für allgemeinen Polytope anwendbaren Gesichtsgitter-Aufzählungsalgorithmen rechenintensiver sind.

Verallgemeinerte Hypercubes

Regulär Komplexe Polytope kann definiert in Komplex Hilbert Raum genannt Verallgemeinerte Hypercubes, γ^p
_n = _p{4}₂{3}...₂{3}₂, oder ... Echte Lösungen existieren mit p = 2, d.h. γ²
_n = γ_n = ₂{4}₂{3}...₂{3}₂ = {4,3, .., 3}. Zum p > 2, sie existieren in ${\ displaystyle \ mathbb {c} ^{n}}$. Die Facetten sind verallgemeinert (n−1) -Cube und die Scheitelpunktfigur sind regelmäßig Simplexes.

Das regelmäßiges Vieleck Umfang in diesen orthogonalen Projektionen wird als a genannt Petrie Polygon. Die verallgemeinerten Quadrate (n = 2) werden mit Kanten als rot und blau abwechselnde Farbe angezeigt p-Edges, während der höhere n-Kusche werden mit schwarz beschriebenem Zeichnen gezeichnet p-Edges.

Die Anzahl der m-Face -Elemente in a p-generalisiert n-Cube sind: ${\ displayStyle p^{n-m} {n \ wählen M}}$. Das ist pⁿ Eckpunkte und pn Facetten.^[5]

Verallgemeinerte Hypercubes

	p= 2		p= 3	p= 4	p= 5	p= 6	p= 7	p= 8
${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{2}}$	γ2 2 = {4} = 4 Scheitelpunkte	${\ displaystyle \ mathbb {c} ^{2}}$	γ3 2 = 9 Scheitelpunkte	γ4 2 = 16 Scheitelpunkte	γ5 2 = 25 Eckpunkte	γ6 2 = 36 Eckpunkte	γ7 2 = 49 Eckpunkte	γ8 2 = 64 Eckpunkte
${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{3}}$	γ2 3 = {4,3} = 8 Scheitelpunkte	${\ displaystyle \ mathbb {c} ^{3}}$	γ3 3 = 27 Scheitelpunkte	γ4 3 = 64 Eckpunkte	γ5 3 = 125 Eckpunkte	γ6 3 = 216 Eckpunkte	γ7 3 = 343 Eckpunkte	γ8 3 = 512 Eckpunkte
${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{4}}$	γ2 4 = {4,3,3} = 16 Scheitelpunkte	${\ displaystyle \ mathbb {c} ^{4}}$	γ3 4 = 81 Eckpunkte	γ4 4 = 256 Eckpunkte	γ5 4 = 625 Eckpunkte	γ6 4 = 1296 Eckpunkte	γ7 4 = 2401 Eckpunkte	γ8 4 = 4096 Eckpunkte
${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{5}}$	γ2 5 = {4,3,3,3} = 32 Scheitelpunkte	${\ displaystyle \ mathbb {c} ^{5}}$	γ3 5 = 243 Eckpunkte	γ4 5 = 1024 Eckpunkte	γ5 5 = 3125 Eckpunkte	γ6 5 = 7776 Eckpunkte	γ7 5 = 16.807 Eckpunkte	γ8 5 = 32.768 Eckpunkte
${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{6}}$	γ2 6 = {4,3,3,3,3} = 64 Eckpunkte	${\ displaystyle \ mathbb {c} ^{6}}$	γ3 6 = 729 Eckpunkte	γ4 6 = 4096 Eckpunkte	γ5 6 = 15.625 Eckpunkte	γ6 6 = 46.656 Eckpunkte	γ7 6 = 117.649 Eckpunkte	γ8 6 = 262.144 Eckpunkte
${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{7}}$	γ2 7 = {4,3,3,3,3,3} = 128 Eckpunkte	${\ displaystyle \ mathbb {c} ^{7}}$	γ3 7 = 2187 Eckpunkte	γ4 7 = 16.384 Eckpunkte	γ5 7 = 78.125 Eckpunkte	γ6 7 = 279.936 Eckpunkte	γ7 7 = 823.543 Eckpunkte	γ8 7 = 2.097.152 Eckpunkte
${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{8}}$	γ2 8 = {4,3,3,3,3,3,3} = 256 Eckpunkte	${\ displaystyle \ mathbb {c} ^{8}}$	γ3 8 = 6561 Eckpunkte	γ4 8 = 65.536 Eckpunkte	γ5 8 = 390.625 Eckpunkte	γ6 8 = 1.679.616 Eckpunkte	γ7 8 = 5.764.801 Eckpunkte	γ8 8 = 16.777.216 Eckpunkte

Beziehung zur Exponentiation

Jede positive Ganzzahl, die zu einer anderen positiven Ganzzahl -Macht angehoben wird Figure Zahl entsprechend einem n-Cube mit einer Reihe von Dimensionen, die dem Exponential entsprechen. Zum Beispiel ergibt der Exponent 2 a Quadratzahl oder "perfektes Quadrat", das in eine quadratische Form mit einer Seitenlänge angeordnet werden kann, die der der Basis entspricht. In ähnlicher Weise ergibt der Exponent 3 Ein perfekter Würfel, eine Ganzzahl, die mit einer Seitenlänge der Basis in eine Würfelform angeordnet werden kann. Infolgedessen wird der Akt der Erhöhung einer Zahl auf 2 oder 3 häufiger als "als" bezeichnet "Quadrat"bzw." Cubing ". Die Namen von Hypercubes höherer Ordnung scheinen jedoch nicht gemeinsam für höhere Leistungen zu verwenden.

Siehe auch

• Hypercube -Verbindungsnetzwerk von Computerarchitektur
• Hyperoctaedrische Gruppedie Symmetriegruppe des Hypercube
• Hypersphere
• Simplex
• Parallelotop
• Kreuzigung (Corpus Hypercubus) (berühmte Kunstwerke)

Anmerkungen

Verweise

• Bowen, J. P. P. (April 1982). "Hypercube". Praktisches Computer. 5 (4): 97–99. Archiviert von das Original am 2008-06-30. Abgerufen 30. Juni, 2008.
• Coxeter, H. S. M. (1973). Regelmäßige Polytope (3. Aufl.). §7.2. Siehe Abbildung Abb. 7-2C: Dover. pp.122-123. ISBN 0-486-61480-8.{{}}: CS1 Wartung: Standort (Link) p. 296, Tabelle I (III): Regelmäßige Polytope, drei reguläre Polytope in n Maße (n≥ 5)
• Hill, Frederick J.; Gerald R. Peterson (1974). Einführung in die Schalttheorie und das logische Design: zweite Ausgabe. New York: John Wiley & Sons. ISBN 0-471-39882-9. Vgl. Kapitel 7.1 "Kubische Darstellung von Booleschen Funktionen", wobei der Begriff von "Hypercube" als Mittel zur Demonstration eines Abstand-1-Codes eingeführt wird (Code (Graucode) Wie die Scheitelpunkte eines Hypercube und dann der Hypercube mit seinen so gekennzeichneten Eckpunkt Veitch -Diagramm oder Karnaugh -Karte.

Externe Links

• Weisstein, Eric W. "Hypercube". Mathord.
• Weisstein, Eric W. "Hypercube Graphs". Mathord.
• www.4d-screen.de (Rotation von 4D-7D-Kube)
• Drehung eines Hypercube von Enrique Zeleny, Wolfram Demonstrationsprojekt.
• Stereoskopische animierte Hypercube
• Rudy Rucker und Farideh Dormishian's Hypercube Downloads
• A001787 Anzahl der Kanten in einem n-dimensionalen Hypercube. bei Oeis