Hookes Gesetz

Hookes Gesetz: Die Kraft ist proportional zur Verlängerung

Bourdon -Röhren basieren auf Hookes Gesetz. Die durch Gas erzeugte Kraft Druck Innerhalb des gewickelten Metallröhrchens überspannt es um eine Menge proportional zum Druck.

Das Gleichgewichtsrad Im Kern vieler mechanischer Uhren und Uhren hängt von Hookes Gesetz ab. Da das von der gewickelten Feder erzeugte Drehmoment proportional zum vom Rad gedrehten Winkel ist, haben seine Oszillationen eine nahezu konstante Periode.

Im Physik, Hookes Gesetz ist ein empirisches Gesetz was besagt, dass die Macht ( $F$ ) erforderlich, um a zu erweitern oder zu komprimieren Frühling durch ein gewisses Entfernung ( $x$ ) skaliert linear in Bezug auf diese Entfernung - das heißt, $F s = kx$ , wo $k$ ist ein konstanter Faktor, der für die Feder charakteristisch ist (d. H. ITS, Steifheit), und $x$ ist klein im Vergleich zu der gesamten möglichen Verformung der Feder. Das Gesetz ist nach britischer Physiker aus dem 17. Jahrhundert benannt Robert Hooke. Er erklärte das Gesetz erstmals 1676 als Latein Anagramm.^[1]^[2] Er veröffentlichte die Lösung seines Anagramms 1678^[3] wie: ut tensio, sic vis ("Als Erweiterung, also die Kraft" oder "die Erweiterung ist proportional zur Kraft"). Hooke stellt in den Arbeiten von 1678 fest, dass er sich des Gesetzes seit 1660 bewusst war.

Hookes Gleichung gilt (in gewissem Maße) in vielen anderen Situationen, in denen eine elastisch Körper ist deformiert, wie Wind, der auf einem hohen Gebäude weht, und ein Musiker, der a zupft Saite einer Gitarre. Ein elastischer Körper oder ein Material, für das diese Gleichung angenommen werden kann linear-elastisch oder Hookean.

Hookes Gesetz ist nur ein Lineare Annäherung erster Ordnung auf die wirkliche Reaktion von Federn und anderen elastischen Körpern auf angewandte Kräfte. Es muss letztendlich scheitern, sobald die Kräfte eine gewisse Grenze überschreiten, da kein Material über eine bestimmte Mindestgröße hinaus komprimiert oder über eine maximale Größe über eine dauerhafte Verformung oder eine Änderung des Zustands hinaus gestreckt wird. Viele Material elastische Grenzen sind erreicht.

Andererseits ist das Hooke's Law eine genaue Annäherung für die meisten festen Körper, solange die Kräfte und Verformungen klein genug sind. Aus diesem Grund wird Hooke's Law in allen Zweigen der Wissenschaft und des Ingenieurwesens ausführlich eingesetzt und bildet die Grundlage vieler Disziplinen wie z. Seismologie, Molekulare Mechanik und Akustik. Es ist auch das Grundprinzip hinter dem Federwaage, das Manometer, das Galvanometer, und die Gleichgewichtsrad des mechanische Uhr.

Das moderne Theorie der Elastizität verallgemeinert Hookes Gesetz, um zu sagen, dass das Beanspruchung (Verformung) eines elastischen Objekts oder Materials ist proportional zur betonen darauf angewendet. Da allgemeine Belastungen und Stämme jedoch mehrere unabhängige Komponenten haben können, ist der "Verhältnismäßigkeitsfaktor" möglicherweise nicht mehr nur eine einzige reale Zahl, sondern eher ein lineare Karte (a Tensor) das kann durch a dargestellt werden Matrix realer Zahlen.

In dieser allgemeinen Form ermöglicht das Hooke's Law, die Beziehung zwischen Belastung und Stress für komplexe Objekte in Bezug auf die intrinsischen Eigenschaften der Materialien, aus denen es besteht, abzuleiten. Zum Beispiel kann man das ableiten homogen Stange mit Uniform Kreuzung wird sich wie eine einfache Feder verhalten, wenn sie gestreckt ist, steif $k$ direkt proportional zu seiner Querschnittsfläche und umgekehrt proportional zu seiner Länge.

Formale Definition

Für lineare Quellen

Betrachten Sie ein einfaches helikal Feder, das ein Ende an einem festen Objekt befestigt ist, während das freie Ende von einer Kraft gezogen wird, deren Größe ist $F s$ . Angenommen, die Frühling hat einen Zustand von erreicht Gleichgewicht, wo sich seine Länge nicht mehr ändert. Lassen $x$ Seien Sie die Menge, mit der das freie Ende der Feder von seiner "entspannten" Position vertrieben wurde (wenn es nicht gestreckt wird). Hookes Gesetz besagt, dass das

{\ displayStyle f_ {s} = kx}

oder gleichwertig,

{\ displaystyle x = {\ frac {f_ {s}} {k}}}

wo

k

ist eine positive reelle Zahl, charakteristisch für den Frühling. Darüber hinaus gilt die gleiche Formel, wenn die Feder komprimiert ist, mit

F s

und

x

Beide in diesem Fall negativ. Nach dieser Formel die Graph der angewendeten Kraft

F s

als Funktion der Verschiebung

x

wird eine gerade Linie sein, die durch die verläuft Ursprung, Deren Neigung ist

k

.

Hookes Gesetz für einen Frühling ist manchmal, aber selten, dass er im Konvent angegeben hat, dass $F s$ ist der Wiederherstellungskräfte ausgeübt von der Feder auf dem, was auch immer sein freies Ende zieht. In diesem Fall wird die Gleichung

{\ displayStyle f_ {s} =-kx}

da die Richtung der Wiederherstellung der Kraft der Verschiebung entgegengesetzt ist.

Allgemeine "Scalar" -Federn

Das Frühjahrsgesetz von Hooke gilt normalerweise für jedes elastische Objekt, der willkürliche Komplexität, solange sowohl die Verformung als auch die Spannung durch eine einzelne Zahl ausgedrückt werden können, die sowohl positiv als auch negativ sein kann.

Zum Beispiel, wenn ein an zwei paralleler Platten befestigter Gummiblock von von deformiert wird durch Scherung, anstatt die Scherkraft zu dehnen oder zu komprimieren $F s$ und die seitliche Verschiebung der Platten $x$ gehorchen Hookes Gesetz (für kleine Verformungen).

Hookes Gesetz gilt auch, wenn ein gerader Stahlstange oder ein Betonstrahl (wie der in Gebäuden verwendete) an beiden Enden durch ein Gewicht gebogen wird $F$ an einem Zwischenpunkt platziert. Die Verschiebung $x$ In diesem Fall ist die Abweichung des Strahls, gemessen in transversaler Richtung, relativ zu seiner entladenen Form.

Das Gesetz gilt auch, wenn ein gestreckter Stahldraht durch Ziehen an einem an einem Ende befestigten Hebel verdreht wird. In diesem Fall der Stress $F s$ kann als die auf den Hebel angewendete Kraft genommen werden, und $x$ als die Entfernung, die sie entlang ihres kreisförmigen Pfades bewegte. Oder gleichwertig kann man lassen $F s$ sei der Drehmoment vom Hebel bis zum Ende des Drahtes angewendet, und $x$ Sei der Winkel, nach dem sich dieses Ende dreht. In beiden Fällen $F s$ ist proportional zu $x$ (obwohl die Konstante $k$ ist jeweils anders.)

Vektorformulierung

Im Falle einer helikalen Feder, die über seine gedehnt oder komprimiert ist Achse, die angelegte (oder restaurierende) Kraft und die resultierende Dehnung oder Komprimierung haben die gleiche Richtung (was die Richtung der Achse ist). Daher, wenn $F s$ und $x$ werden definiert als Vektoren, Hooke's Gleichung gilt immer noch und sagt, dass der Kraftvektor der ist Dehnungsvektor multipliziert mit einem festen Skalar.

Allgemeine Tensorform

Einige elastische Körper verformen sich in eine Richtung, wenn sie einer Kraft mit einer anderen Richtung ausgesetzt sind. Ein Beispiel ist ein horizontaler Holzstrahl mit nicht quadratischem rechteckiger Querschnitt, der durch eine Querlast gebeugt wird, die weder vertikal noch horizontal ist. In solchen Fällen die Größe der Verschiebung $x$ wird proportional zur Größe der Kraft sein $F s$ , solange die Richtung der letzteren gleich bleibt (und sein Wert ist nicht zu groß); Also die Skalarversion von Hooke's Law $F s = - kx$ wird halten. Die Kraft und Verschiebung Vektoren wird keine skalaren Vielfachen voneinander sein, da sie unterschiedliche Richtungen haben. Darüber hinaus das Verhältnis $k$ Zwischen ihren Größen hängt von der Richtung des Vektors ab $F s$ .

In solchen Fällen gibt es jedoch oft eine feste lineare Beziehung Zwischen den Kraft- und Deformationsvektoren, solange sie klein genug sind. Nämlich gibt es eine Funktion $κ$ von Vektoren bis hin zu Vektoren, so dass $F = κ (X)$ , und $κ (α X 1 + β X 2) = α κ (X 1) + β κ (X 2)$ für echte Zahlen $α$ , $β$ und alle Verschiebungsvektoren $X 1$ , $X 2$ . Eine solche Funktion wird als A (zweiter Ordnung) bezeichnet Tensor.

In Bezug auf ein willkürliches Kartesisches KoordinatensystemDie Kraft- und Verschiebungsvektoren können durch 3 × 1 dargestellt werden Matrizen realer Zahlen. Dann der Tensor $κ$ Das Verbinden kann durch eine 3 × 3 -Matrix dargestellt werden $κ$ von echten Koeffizienten, das, wenn multipliziert Beim Verschiebungsvektor gibt der Kraftvektor:

\mathbf {F} \,=\,{\begin{bmatrix}F_{1}\\F_{2}\\F_{3}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{ bmatrix} \ kappa _ {11} & \ kappa _ {12} & \ kappa _ {13} \\ kappa _ {21} & \ kappa _ {22} & \ kappa _ {23} \\ kappa _ _ {{{{{{{{{{22). 31} & \ kappa _ {32} & \ kappa _ {33} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} x_ {1} \\ x_ {2} \\ x_ {3} \ end {batrix}}}}}}}}} {batrix}}}} {bmatrix}}} {bmatrix}}} {bmatrix}}} {bmatrix}}}} {batrix}}}} {batrix}}} {bmatrix {batrix}} {bmatrix {3 {bmatrix} {}} {bmatrix {bmatrix {bmatrix} {33 {32} &} &}}} \, = \, {\ Boldsymbol {\ kappa}} \ mathbf {x}

Das ist,

{\ displaystyle f_ {i} = \ kappa _ {i1} x_ {1}+\ kappa _ {i2} x_ {2}+\ kappa _ {i3} x_ {3}}

zum

i = 1, 2, 3

. Daher das Gesetz von Hooke

F = κ X

kann gesagt werden, auch wenn

X

und

F

sind Vektoren mit variablen Richtungen, außer dass die Steifheit des Objekts ein Tensor ist

κ

eher als eine einzige reelle Zahl

k

.

Hookes Gesetz für kontinuierliche Medien

(a) Schema eines Polymer -Nanospring. Der Spulenradius R, Tonhöhe, P, Länge der Feder, L und die Anzahl der Kurven N beträgt 2,5 & mgr; m, 2,0 μm, 13 & mgr; m bzw. 4. Elektronenmikroskopische Aufnahmen der Nanospring vor dem Laden (B-E), gedehnt (f), komprimiert (g), gebogen (h) und wiederhergestellt (i). Alle Maßstabsbalken sind 2 μm. Die Feder folgte einer linearen Reaktion gegen angewandte Gewalt, was die Gültigkeit des Hookeschen Gesetzes im Nanoskala zeigt.^[4]

Die Spannungen und Stämme des Materials in a kontinuierlich elastisches Material (wie ein Gummiblock, die Wand von a Kesseloder eine Stahlstange) sind durch eine lineare Beziehung verbunden, die dem Frühlingsgesetz von Hooke mathematisch ähnelt und häufig mit diesem Namen bezeichnet wird.

Der Dehnungszustand in einem festen Medium um einen bestimmten Punkt kann jedoch nicht von einem einzelnen Vektor beschrieben werden. Das gleiche Materialpaket, egal wie klein, kann gleichzeitig entlang verschiedener Richtungen komprimiert, gedehnt und geschert werden. Ebenso können die Spannungen in diesem Paket sofort drücken, zogen und scheren.

Um diese Komplexität zu erfassen, muss der relevante Zustand des Mediums um einen Punkt durch Tensoren von zwei Sekunden und Ordnung dargestellt werden, die Dehnungszensor $ε$ (anstelle der Verschiebung $X$ ) und die Spannungstensor $σ$ (Ersetzen der restaurierenden Kraft $F$ ). Das Analogon von Hookes Frühlingsgesetz für kontinuierliche Medien ist dann

oder

wo

c

ist ein Tensor vierter Ordnung (dh eine lineare Karte zwischen Tensoren zweiter Ordnung), die normalerweise die genannt werden Steifheitstensor oder Elastizität Tensor. Man kann es auch schreiben als

oder

wo der Tensor

s

, genannt Compliance -Tensor, repräsentiert die Umkehrung der linearen Karte.

In einem kartesischen Koordinatensystem können die Spannungs- und Dehntentensoren durch 3 × 3 Matrizen dargestellt werden

oder & \ varepsilon _ {22} & \ varepsilon _ {23} \\\ varepsilon _ {31} & \ varepsilon _ {32} & \ varepsilon _ {33} \ end {bmatrix}}}} \ \ qquad {{bmatrix}} \ \ qquad {{{bmatrix}} \ \ qquad {{{bmatrix}} \ \ \ qquad {{{{{{{{{boldybol oder } & \ sigma _ {23} \\\ sigma _ {31} & \ sigma _ {32} & \ sigma _ {33} \ end {bMatrix}}}

Eine lineare Zuordnung zwischen den neun Zahlen zu sein

σ ij

und die neun Zahlen

ε KL

, der Steifigkeitstensor

c

wird durch eine Matrix von dargestellt

3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81

reale Nummern

c ijkl

. Hookes Gesetz sagt dann das

oder

wo

i, j = 1,2,3

.

Alle drei Tensoren variieren im Allgemeinen von Punkt zu Punkt im Medium und können auch mit der Zeit variieren. Der Stammzussor $ε$ Legt ledig $σ$ Gibt die Kräfte an, die benachbarte Parzellen des Mediums aufeinander ausüben. Daher sind sie unabhängig von der Zusammensetzung und dem physischen Zustand des Materials. Der Steifheitspannung $c$ Andererseits ist eine Eigenschaft des Materials und hängt oft von physikalischen Zustandsvariablen wie Temperatur ab. Druck, und Mikrostruktur.

Aufgrund der inhärenten Symmetrien von $σ$ , $ε$ , und $c$ , nur 21 elastische Koeffizienten der letzteren sind unabhängig.^[5] Diese Zahl kann durch die Symmetrie des Materials weiter reduziert werden: 9 für eine Orthorhombisch Kristall, 5 für eine sechseckig Struktur und 3 für a kubisch Symmetrie.^[6] Zum isotrop Medien (die die gleichen physikalischen Eigenschaften in irgendeiner Richtung haben), $c$ kann auf nur zwei unabhängige Zahlen reduziert werden, die Massenmodul $K$ und die Schermodul $G$ , die den Widerstand des Materials gegen Volumenänderungen bzw. die Scherverformungen quantifizieren.

Analoge Gesetze

Da Hooke's Law eine einfache Verhältnismäßigkeit zwischen zwei Größen ist, sind seine Formeln und Konsequenzen mathematisch denen vieler anderer physikalischer Gesetze ähnlich, z. B. diejenigen, die die Bewegung von beschreiben Flüssigkeiten, oder der Polarisation von a Dielektrikum durch eine elektrisches Feld.

Insbesondere die Tensorgleichung $σ = cε$ Das Zusammenhang mit elastischen Spannungen mit Stämmen ist der Gleichung völlig ähnlich $τ = με̇$ in Bezug auf die Viskose Stress -Tensor $τ$ und die Dehnungsrate -Tensor $ε$ in Strömungen von viskoös Flüssigkeiten; Obwohl der erstere sich bezieht statisch Spannungen (im Zusammenhang mit Menge von Verformungen), während letztere auf dynamisch Spannungen (im Zusammenhang mit dem Bewertung Verformung).

Maßeinheiten

Im SI-Einheiten, Verschiebungen werden in Metern (m) und Kräfte in gemessen Newtons (N oder kg · m/s²). Daher die Federkonstante $k$ und jedes Element des Tensors $κ$ , wird in Newtons pro Meter (N/m) oder Kilogramm pro Sekunde (kg/s) gemessen²).

Für kontinuierliche Medien jedes Element des Spannungstensors $σ$ ist eine Kraft geteilt durch einen Bereich; Es wird daher in Druckeinheiten gemessen, nämlich Pascals (Pa oder n/m², oder kg/(m · s²). Die Elemente des Sehnstammzussesors $ε$ sind dimensionlos (Verschiebungen geteilt durch Entfernungen). Daher die Einträge von $c ijkl$ werden auch in Druckeinheiten ausgedrückt.

Allgemeine Anwendung auf elastische Materialien

Spannungs-Dehnungskurve für kohlenstoffarme Stahl, was die Beziehung zwischen dem zeigt betonen (Kraft pro Bereich der Einheit) und Beanspruchung (resultierende Komprimierung/Dehnung, als Verformung bezeichnet). Das Hooke -Gesetz gilt nur für den Teil der Kurve zwischen dem Ursprung und dem Ertragspunkt (2).

1: Ultimative Stärke
2: Ertragsfestigkeit (Ertragspunkt)
3: Bruch
4: Härtung der Belastung Region
5: Neckern Region
A: offensichtlicher Stress (F/A₀)
B: Tatsächlicher Stress (F/A)

Objekte, die ihre ursprüngliche Form schnell wiedererlangen, nachdem sie durch eine Kraft deformiert wurden, wobei die Moleküle oder Atome ihres Materials in den anfänglichen Zustand des stabilen Gleichgewichts zurückkehren, folgen häufig dem Gesetz von Hooke.

Das Hooke's Law gilt nur für einige Materialien unter bestimmten Belastungsbedingungen. Stahl zeigt in den meisten technischen Anwendungen linear-elastisches Verhalten; Hookes Gesetz ist für seine gesamte gültig Elastizitätsbereich (d. h. für Spannungen unterhalb der Ertragsfestigkeit). Für einige andere Materialien wie Aluminium gilt das Hookesche Gesetz nur für einen Teil des Elastizitätsbereichs. Für diese Materialien a Proportionalgrenze Spannung wird definiert, unter denen die mit der linearen Näherung verbundenen Fehler vernachlässigbar sind.

Gummi gilt allgemein als "nicht-hookisches" Material, da seine Elastizität stressabhängig und empfindlich gegenüber Temperatur- und Belastungsrate ist.

Verallgemeinerungen des Hookes Gesetzes für den Fall von große Verformungen wird von Modellen von bereitgestellt Neo-hookische Feststoffe und Mooney -Rivlin Feststoffe.

Abgeleitete Formeln

Spannungsstress eines einheitlichen Balkens

Eine Stange von irgendeiner elastisch Material kann als linear angesehen werden Frühling. Die Stange hat Länge $L$ und Querschnittsfläche $A$ . Es ist Zugspannung $σ$ ist linear proportional zu seiner fraktionalen Ausdehnung oder Dehnung $ε$ bis zum Elastizitätsmodul $E$ :

{\ displayStyle \ sigma = e \ varepsilon.}

Der Elastizitätsmodul kann oft als konstant angesehen werden. Im Gegenzug,

{\ displaystyle \ varepsilon = {\ frac {\ delta l} {l}}}

(das heißt die fraktionelle Veränderung der Länge) und seitdem

{\ displaystyle \ sigma = {\ frac {f} {a}} \ ,,}

es folgt dem:

oder

Die Änderung der Länge kann ausgedrückt werden als

{\ displayStyle \ delta l = \ varepsilon l = {\ frac {fl} {ae}} \ ,.}

Federsenergie

Die potentielle Energie $U El (x)$ in einer Frühling gespeichert wird von gegeben von

oder

Dies entsteht aus der Addition der Energie, die nötig ist, um die Feder inkrementell zu komprimieren. Das heißt, das Integral der Kraft über die Verschiebung. Da die äußere Kraft die gleiche allgemeine Richtung wie die Verschiebung hat, ist die potentielle Energie einer Feder immer nicht negativ.

Dieses Potenzial $U El$ kann als visualisiert werden Parabel auf der $UX$ -plane so, dass $UEl(x) = .mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} 1/2kx2$ . Da ist die Feder positiv gedehnt $x$ -Direktion nimmt die potentielle Energie parabolisch zu (dasselbe passiert, wenn die Feder komprimiert wird). Da sich die Änderung der potenziellen Energie in einer konstanten Geschwindigkeit ändert:

oder

Beachten Sie, dass die Änderung der Änderung in

U

ist konstant, auch wenn die Verschiebung und Beschleunigung Null sind.

Entspannte Kraftkonstanten (generalisierte Konformitätskonstanten)

Entspannte Kraftkonstanten (die Umkehrung der verallgemeinerten Konformitätskonstanten) sind für molekulare Systeme einzigartig definiert, im Gegensatz zu den üblichen "starre" Kraftkonstanten, und daher ermöglicht ihre Verwendung, dass aussagekräftige Korrelationen zwischen Kraftfeldern vorgenommen werden können, die für die Forderung berechnet werden können Reaktanten, transition statesund Produkte von a chemische Reaktion. So wie das potenzielle Energie Kann in den internen Koordinaten als quadratische Form geschrieben werden, sodass es auch in Bezug auf generalisierte Kräfte geschrieben werden kann. Die resultierenden Koeffizienten werden als Konformitätskonstanten bezeichnet. Eine direkte Methode zur Berechnung der Konformitätskonstante für eine interne Koordinate eines Moleküls, ohne dass die Normalmodusanalyse durchgeführt werden muss.^[7] Die Eignung entspannter Kraftkonstanten (inverse Compliance -Konstanten) als kovalente Bindung Stärkedeskriptoren wurden bereits 1980 nachgewiesen. Kürzlich wurde auch die Eignung als nichtkovalente Bindungsstärkedeskriptoren nachgewiesen.^[8]

Harmonischer Oszillator

Eine Masse, die durch eine Feder aufgehängt ist, ist das klassische Beispiel eines harmonischen Oszillators

Eine Masse $m$ Am Ende einer Frühling verbunden ist ein klassisches Beispiel für a harmonischer Oszillator. Durch leichtes Ziehen an der Masse und dann wird das System eingestellt, wird das System eingestellt sinusförmig oszillierende Bewegung über die Gleichgewichtsposition. In dem Maße, in dem die Frühling dem Gesetz von Hooke folgt und dass man vernachlässigen kann Reibung und die Masse der Feder bleibt die Amplitude der Schwingung konstant; und sein Frequenz $f$ wird unabhängig von seiner Amplitude sein, bestimmt nur durch die Masse und die Steifheit der Feder:

{\ displayStyle f = {\ frac {1} {2 \ pi}} {\ sqrt {\ frac {k} {m}}}}

Dieses Phänomen ermöglichte die Konstruktion genau mechanische Uhren und Uhren, die auf Schiffe und Menschen Taschen getragen werden könnten.

Rotation im Schwerkraftfreier Raum

Wenn die Masse $m$ wurden an einer Feder mit Kraft konstant befestigt $k$ und im freien Raum drehen, die Federspannung ( $F t$ ) würde das erforderliche liefern Zentripetalkraft ( $F c$ ):

oder

Seit

F t = F c

und

x = r

, dann:

{\ displayStyle k = m \ Omega ^{2}}

Angesichts dessen

ω = 2π f

Dies führt zu derselben Frequenzgleichung wie oben:

{\ displayStyle f = {\ frac {1} {2 \ pi}} {\ sqrt {\ frac {k} {m}}}}

Lineare Elastizitätstheorie für kontinuierliche Medien

Beachten Sie das Einstein -Summierungskonvention Die Summierung auf wiederholten Indizes wird unten verwendet.

Isotrope Materialien

Isotrope Materialien sind durch Eigenschaften gekennzeichnet, die unabhängig von der Richtung im Raum sind. Physikalische Gleichungen mit isotropen Materialien müssen daher unabhängig von dem Koordinatensystem sein, das sie darstellt, um sie darzustellen. Der Dehnungszensor ist ein symmetrischer Tensor. Seit der verfolgen Von jedem Tensor ist unabhängig von jedem Koordinatensystem, die vollständigste koordinatenfreie Zersetzung eines symmetrischen Tensors besteht darin, sie als Summe eines konstanten Tensors und eines Traaceless Symmetrischen Tensors darzustellen.^[9] Also in Indexnotation:

{\ displayStyle \ varepsilon _ {ij} = \ links ({\ tfrac {1} {3}} \ varepsilon _ {kk} \ delta _ {ij} \ rechts)+\ links (\ varepsilon _ {{ij}-{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{). \ tfrac {1} {3}} \ varepsilon _ {kk} \ delta _ {ij} \ rechts)}

wo

δ ij

ist der Kronecker Delta. In direkter Tensornotation:

oder oder \operatorname {dev} ({\boldsymbol {\varepsilon }})={\boldsymbol {\varepsilon }}-\operatorname {vol} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}

wo

I

ist der Identität Tensor zweiter Ordnung.

Der erste Term auf der rechten Seite ist der konstante Tensor, auch bekannt als der volumetrischer Dehnungszensorund der zweite Term ist der Traaceless Symmetrische Tensor, auch als der bekannt Deviatorischer Stammzussor oder Scherzensor.

Die allgemeinste Form des Hookeschen Gesetzes für isotrope Materialien kann jetzt als lineare Kombination dieser beiden Tensoren geschrieben werden:

oder -{\ tfrac {1} {3}} \ varepsilon _ {kk} \ delta _ {ij} \ right) \,; \ qquad {\ Boldsymbol {\ sigma}} = 3K \ operatornname {vol} ({{vol} ({vol} oder

wo

K

ist der Massenmodul und

G

ist der Schermodul.

Verwenden der Beziehungen zwischen den ElastizitätsmodulDiese Gleichungen können auch auf verschiedene andere Arten ausgedrückt werden. Eine gemeinsame Form des Hookeschen Gesetzes für isotrope Materialien, das in direkter Tensor -Notation ausgedrückt wird, ist^[10] $oder oder }}$ wo $λ = K - 2 / 3 G = c 1111 - 2 c 1212$ und $μ = G = c 1212$ sind die Lamékonstanten, $I$ ist der zweitrangige Identitätstensor und I ist der symmetrische Teil des Identitätstensors der vierten Rang. In Indexnotation:

oder qquad c_ {ijkl} = \ lambda \ delta _ {ij} \ delta _ {kl}+\ mu \ links (\ delta _ {ik} \ delta _ {jK }\Rechts)}

Die inverse Beziehung ist^[11]

oder \ mu)}} \ operatorname {tr} ({\ boldSymbol {\ sigma}}) \ mathbf {i} = {\ frac {1} {2g}} {\ Boldsymbol {\ sigma}}}+\ links ({{\ \ FRAC {1} {9K}}-{\ frac {1} {6g}} \ rechts) \ operatorname {tr} ({\ Boldsymbol {\ sigma}}) \ mathbf {i}}

Daher der Compliance -Tensor in der Beziehung

ε = s : σ

ist

oder {1} {2 \ mu}} {\ mathsf {i}} = \ links ({\ frac {1} {9k}}-{\ frac {1} {6g} \ rechts) \ mathbf {i} \ \ \ \ {6g} \ rechts) \ mathbf {i} \ \ \ {6g} \ rechde) otimes \ mathbf {i} +{\ frac {1} {2g}} {\ mathsf {i}}}

Bezüglich Elastizitätsmodul und Poissons Verhältnis, Hookes Gesetz für isotrope Materialien kann dann als ausgedrückt werden als

oder _ {ij}) {\ big)} \,; \ qquad {\ Boldsymbol {\ varepsilon}} = {\ frac {1} {e}} {\ big (} {\ boldensymbol (\ operatorname {tr} ({\ Boldsymbol {\ sigma}}) \ mathbf {i} -{\ boldsymbol {\ sigma}} {{\ big) {\ frac {1+ \ nu} {e}}}}}}}}} oder

Dies ist die Form, in der der Stamm in Bezug auf den Spannungstensor in der Technik ausgedrückt wird. Der Ausdruck in erweiterter Form ist

{\ displayStyle {\ begin {ausgerichtet} \ varepsilon _ {11} & = {\ frac {1} {e} {\ big (} \ sigma _ {11}-\ nu (\ sigma _ {22}+\ Sigma _ {33}) {\ big)} \\\ varepsilon _ {22} & = {\ frac {1} {e} {\ big (} \ sigma _ {22}-\ nu (\ sigma _ {{{{{{{ 11}+\ sigma _ {33}) {\ big)} \\\ varepsilon _ {33} & = {\ frac {1} {e}} {\ big (} \ sigma _ {33}-\ nu ( \ sigma _ {11}+\ sigma _ {22}) {\ big)} \\\ varepsilon _ {12} & = {\ frac {1} {2g}} \ sigma _ {12} \,; \ qquad \ varepsilon _ {13} = {\ frac {1} {2g}} \ sigma _ {13} \,; \ qquad \ varepsilon _ {23} = {\ frac {1} {2g}} \ sigma _ {{{{{{{{{{{23) } \ end {aligned}}}

wo

E

ist Elastizitätsmodul und

ν

ist Poissons Verhältnis. (Sehen 3-D-Elastizität).

Ableitung des Hookes Gesetz in drei Dimensionen

Die dreidimensionale Form des Hookeschen Gesetzes kann unter Verwendung von Poisson-Verhältnis und der eindimensionalen Form des Hookeschen Gesetzes wie folgt abgeleitet werden. Betrachten Sie die Dehnung und die Spannungsbeziehung als Überlagerung von zwei Effekten: Dehnung in Richtung der Last (1) und Schrumpfung (durch die Last verursacht) in senkrechten Richtungen (2 und 3).

oder \ frac {\ nu} {e}} \ sigma _ {1} \ ,, \\\ varepsilon _ {3} '& =-{\ frac {\ nu} {e} \ sigma _ {1} \ \, \ end {ausgerichtet}}}

wo

ν

ist Poissons Verhältnis und

E

ist Young's Modul.

Wir erhalten ähnliche Gleichungen wie die Lasten in Richtungen 2 und 3,

oder & = {\ frac {1} {e}} \ sigma _ {2} \ ,, \\\ varepsilon _ {3} '' & =-{\ frac {\ nu} {e} \ sigma _ {2 nu} {e} \ sigma _ {{2 } \ ,, \ end {ausgerichtet}}}

und

oder '' & =-{\ frac {\ nu} {e}} \ sigma _ {3} \ ,, \\\ varepsilon _ {3} '' '& = {\ frac {1} {e}} \ sigma _ {3} \,. \ End {ausgerichtet}}}

Summieren der drei Fälle zusammen ( $ε i = ε i' + ε i " + ε i ‴$ ) wir bekommen

{\ displaystyle {\ begin {ausgerichtet} \ varepsilon _ {1} & = {\ frac {1} {e} {\ big (} \ sigma _ {1}-\ nu (\ sigma _ {2}+\ sigma _{3}){\big )}\,,\\\varepsilon _{2}&={\frac {1}{E}}{\big (}\sigma _{2}-\nu (\ Sigma _ {1}+\ sigma _ {3}) {\ big)} \ ,, \\\ varepsilon _ {3} & = {\ frac {1} {e}} {\ big (} \ sigma _ {{{{E) 3}-\ nu (\ sigma _ {1}+\ sigma _ {2}) {\ big)} \ ,, \ end {ausgerichtet}}}

oder durch Hinzufügen und Subtrahieren eines

νσ

oder _ {1}+\ sigma _ {2}+\ sigma _ {3}) {\ big)} \ ,, \\\ varepsilon _ {2} & = {\ frac {1} {e} {{\ big big big big big big big big {{\ frac {1 {e} {{\ big big big big big {2 big big big {2 big big) (} (1+ \ nu) \ sigma _ {2}-\ nu (\ sigma _ {1}+\ sigma _ {2}+\ sigma _ {3}) {\ big)} \ ,, \\\\ varepsilon _ {3} & = {\ frac {1} {e}} {\ big (} (1+ \ nu) \ sigma _ {3}-\ nu (\ sigma _ {1}+\ sigma _ {2 2) }+\ sigma _ {3}) {\ big)} \ ,, \ end {ausgerichtet}}}}

und weiter kommen wir durch die Lösung

σ 1

oder }+\ sigma _ {2}+\ sigma _ {3}) \ ,.}

Berechnung der Summe

oder nu) (\ sigma _ {1}+\ sigma _ {2}+\ sigma _ {3})-3 \ nu (\ sigma _ {1}+\ sigma _ {2}+\ sigma _ {3})) oder +\ sigma _ {2}+\ sigma _ {3} & = {\ frac {e} {1-2 \ nu}} (\ varepsilon _ {1}+\ varepsilon _ {2}+\ varepsilon _ {3 }) \ end {aligned}}}

und sie durch die Gleichung ersetzen, die gelöst wurde

σ 1

gibt

oder nu) (1-2 \ nu)}} (\ varepsilon _ {1}+\ varepsilon _ {2}+\ varepsilon _ {3}) \\ & = 2 \ mu \ varepsilon _ {1}+\ lambda (((( \ varepsilon _ {1}+\ varepsilon _ {2}+\ varepsilon _ {3}) \ ,, \ end {ausgerichtet}}}

wo

μ

und

λ

sind die Lamé -Parameter.

Eine ähnliche Behandlung der Richtungen 2 und 3 ergibt das Hookesche Gesetz in drei Dimensionen.

In Matrixform kann das Hooke's Law für isotrope Materialien geschrieben werden

oder \ 2 \ varepsilon _ {12} \ end {bmatrix} \ \, = \, {\ begin {bmatrix} \ varepsilon _ {11} \\\ Varepsilon _ {22} \\\ Varepsilon _ {33} _ {33} gamma _ {23} \\\ gamma _ {13} \\\ gamma _ {12} \ end {bmatrix}} \, = \, {\ frac {1} {e} {\ begin {bmatrix} 1 &- \nu &-\nu &0&0&0\\-\nu &1&-\nu &0&0&0\\-\nu &-\nu &1&0&0&0\\0&0&0&2+2\nu &0&0\\0&0&0&0&2+2\nu &0\\0&0&0&0&0&2+2\nu \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {11} \\ sigma _ {22} \\\ sigma _ {33} \\ sigma _ {23} \\ sigma _ _ {13} \\\ Sigma _ {12} \ end {bmatrix}}}

wo

γ ij = 2 ε ij

ist der Engineering -Scherdehnung. Die inverse Beziehung kann geschrieben werden als

{\ displayStyle {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {11} \\\ sigma _ {22} \\\ sigma _ {33} \\ Sigma _ {23} \\\ Sigma _ {13} \\\\\ Sigma _ {12} \ end {bmatrix}} \, = \, {\ frac {e} {(1+ \ nu) (1-2 \ nu)}} {\ begin {bmatrix} 1- \ nu & \ nu &\nu &0&0&0\\\nu &1-\nu &\nu &0&0&0\\\nu &\nu &1-\nu &0&0&0\\0&0&0&{\frac {1-2\nu }{2}}&0&0\\0&0&0&0& oder \\\ varepsilon _ {22} \\\ Varepsilon _ {33} \\ 2 \ varepsilon _ {23} \\ 2 \ varepsilon _ {13} \\ 2 \ varepsilon _ {12} \ end {batrix}}}}}

Dies kann dank der Lamé -Konstanten vereinfacht werden:

{\ displayStyle {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {11} \\\ sigma _ {22} \\\ sigma _ {33} \\ Sigma _ {23} \\\ Sigma _ {13} \\\\\ sigma _{12}\end{bmatrix}}\,=\,{\begin{bmatrix}2\mu +\lambda &\lambda &\lambda &0&0&0\\\lambda &2\mu +\lambda &\lambda &0&0&0\ \\lambda &\lambda &2\mu +\lambda &0&0&0\\0&0&0&\mu &0&0\\0&0&0&0&\mu &0\\0&0&0&0&0&\mu \end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\ \ varepsilon _ {22} \\\ varepsilon _ {33} \\ 2 \ varepsilon _ {23} \\ 2 \ varepsilon _ {13} \\ 2 \ varepsilon _ {12} \ end {bmatrix}}}}

In der Vektornotation wird dies

oder } \\\ Sigma _ {13} & \ sigma _ {23} & \ sigma _ {33} \ end {bmatrix}} \, = \, 2 \ mu {\ begin {bmatrix} \ varepsilon _ {11 {11} & 11 {11} & 11 {11} &} & 11 {11} &} & 11 {11} &} & 11 {11} &} & 11 {11} &} &} & 11 {11} &} &} & {11 {11} &} & {11 {11} &} & {11 {11 {11} &} & {11 {11} & {11 {11} & {11} &} & {11} & \ varepsilon _ {12} & \ varepsilon _ {13} \\\ varepsilon _ {12} & \ varepsilon _ {22} & \ varepsilon _ {23} \\\ Varepsilon _ {13} & \ varepsilon _ {23 {23 {23 {23 {23 {23 {23 {23 {23 {23 {23 {23 {23 {23 {23 {23 {23 {23 {23). & \ varepsilon _ {33} \ end {bmatrix}}+\ lambda \ mathbf {i} \ links (\ varepsilon _ {11}+\ varepsilon _ {22}+\ varepsilon _ {33 \ \ rechts)}}}

wo

I

ist der Identitätstensor.

Flugzeugspannung

Unter Flugzeugspannung Bedingungen, $σ 31 = σ 13 = σ 32 = σ 23 = σ 33 = 0$ . In diesem Fall nimmt Hookes Gesetz das Formular an

oder -\ nu ^{2}}} {\ begin {bmatrix} 1 & \ nu & 0 \\\ nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & {\ frac {1- \ nu} {2 {}} {{bmatrix} {{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{\ \ \ \ {{{\. Bmatrix} \ varepsilon _ {11} \\\ varepsilon _ {22} \\ 2 \ varepsilon _ {12} \ end {bmatrix}}}

In der Vektornotation wird dies

oder frac {e} {1- \ nu ^{2}} \ \ links ((1- \ nu) {\ begin {bmatrix} \ varepsilon _ {11} & \ varepsilon _ {12} \\\\\\ Varepsilon _ {12 }&\varepsilon _{22}\end{bmatrix}}+\nu \mathbf {I} \left(\varepsilon _{11}+\varepsilon _{22}\right)\right)}

Die inverse Beziehung wird normalerweise in reduzierter Form geschrieben

oder E}} {\ begin {bmatrix} 1 &-\ nu & 0 \\-\ nu & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2+2 \ nu \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {11} \\ sigma _ {22} \\\ Sigma _ {12} \ end {bMatrix}}}

Ebene

Unter Ebene Bedingungen, $ε 31 = ε 13 = ε 32 = ε 23 = ε 33 = 0$ . In diesem Fall nimmt Hookes Gesetz das Formular an

oder 1+ \ nu) (1-2 \ nu)}} {\ begin {bmatrix} 1- \ nu & \ nu & 0 \\\ nu & 1- \ nu & 0 \\ 0 & 0 & {\ Frac {1-2 \ nu} Oder

Anisotrope Materialien

Die Symmetrie der Cauchy Stress Tensor ( $σ ij = σ ji$ ) und die verallgemeinerten Hookes Gesetze ( $σ ij = c ijkl ε KL$ ) impliziert, dass $c ijkl = c Jikl$ . In ähnlicher Weise die Symmetrie der Infinitesimaler Stamm Tensor impliziert, dass $c ijkl = c ijlk$ . Diese Symmetrien werden die genannt kleinere Symmetrien des Steifheitstensors c. Dies reduziert die Anzahl der elastischen Konstanten von 81 auf 36.

Wenn zusätzlich, da der Verschiebungsgradient und der Cauchy -Spannung arbeits konjugiert sind, kann die Stress -Dehnungs -Beziehung aus einer Funktionsdichte der Dehnungssenergie abgeleitet werden (funktional ( $U$ ), dann

oder U} {\ partial \ varepsilon _ {ij} \ partial \ varepsilon _ {kl}}} \ ,.}

Die Willkür der Differenzierungsordnung impliziert das

c ijkl = c Klij

. Diese werden die genannt Hauptsymmetrien des Steifigkeitspanns. Dies reduziert die Anzahl der elastischen Konstanten von 36 auf 21. Die Haupt- und Kleinsymmetrien zeigen, dass der Steifheitstensor nur 21 unabhängige Komponenten aufweist.

Matrixdarstellung (Steifheitstensor)

Es ist oft nützlich, die anisotrope Form des Hookes Gesetzes in Matrixnotation auszudrücken, auch genannt Voigt Notation. Zu diesem Zweck nutzen wir die Symmetrie der Spannungs- und Dehntensoren und exprimieren sie als sechsdimensionale Vektoren in einem orthonormalen Koordinatensystem ( $e 1, e 2, e 3$ ) wie

oder _ {23} \\\ Sigma _ {13} \\\ Sigma _ {12} \ end {bMatrix}} \, \ äquiv \, {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {1} \\ sigma _ {{{{{_ 2} \\\ Sigma _ {3} \\\ Sigma _ {4} \\\ Sigma _ {5} \\ Sigma _ {6} \ end {bMatrix}} \,; \ qquad [{\ boldsymbol {{{{{{{{{{{{{{{{ \varepsilon }}]\,=\,{\begin{bmatrix}\varepsilon _{11}\\\varepsilon _{22}\\\varepsilon _{33}\\2\varepsilon _{23}\\2 \ varepsilon _ {13} \\ 2 \ varepsilon _ {12} \ end {bmatrix}} \, \ äquiv \, {\ begin {bmatrix} \ varepsilon _ {1} \\\ varepssilon _ {2} varepsilon _ {3} \\\ varepsilon _ {4} \\\ varepsilon _ {5} \\\ varepsilon _ {6} \ end {bMatrix}}}

Dann der Steifheitstensor (c) kann ausgedrückt werden als

oder {2211}&c_{2222}&c_{2233}&c_{2223}&c_{2231}&c_{2212}\\c_{3311}&c_{3322}&c_{3333}&c_{3323}&c_{3331}&c_{3312}\ \c_{2311}&c_{2322}&c_{2333}&c_{2323}&c_{2331}&c_{2312}\\c_{3111}&c_{3122}&c_{3133}&c_{3123}&c_{3131}&c_{3112 } \\ c_ {1211} & c_ {1222} & c_ {1233} & c_ {1223} & c_ {1231} & c_ {1212} \ end {Bmatrix}} \, \ äquiv \, {{\ begin {{bmatrix {{11 {c_ {{{{BMATRIX {BMATRIX} {11 {12} & c_ {13} & c_ {14} & c_ {15} & c_ {16} \\ c_ {12} & c_ {22} & c_ {23} & c_ {24} & c_ {25} & c_ {26} \\ c_ {13 {13 } & C_ {23} & c_ {33} & c_ {34} & c_ {35} & c_ {36} \\ c_ {14} & c_ {24} & c_ {34} & c_ {44} & c_ {45} & c_ {46 {46 {46} {15} & c_ {25} & c_ {35} & c_ {45} & c_ {55} & c_ {56} \\ c_ {16} & c_ {26} & c_ {36} & c_ {46} & c_ {56} & c_ {66 {66} Ende {BMatrix}}}

und Hookes Gesetz ist geschrieben als

oder = C_ {ij} \ varepsilon _ {j} \ ,.}

Ebenso der Compliance -Tensor (s) kann geschrieben werden als

oder {2211}&s_{2222}&s_{2233}&2s_{2223}&2s_{2231}&2s_{2212}\\s_{3311}&s_{3322}&s_{3333}&2s_{3323}&2s_{3331}&2s_{3312}\ \2s_{2311}&2s_{2322}&2s_{2333}&4s_{2323}&4s_{2331}&4s_{2312}\\2s_{3111}&2s_{3122}&2s_{3133}&4s_{3123}&4s_{3131}&4s_{3112 }\\2s_{1211}&2s_{1222}&2s_{1233}&4s_{1223}&4s_{1231}&4s_{1212}\end{bmatrix}}\,\equiv \,{\begin{bmatrix}S_{11}&S_ {12} & s_ {13} & s_ {14} & s_ {15} & s_ {16} \\ s_ {12} & s_ {22} & s_ {23} & s_ {24} & s_ {25} & s_ {26} \ s_ {13 {13 } & S_ {23} & s_ {33} & s_ {34} & s_ {35} & s_ {36} \\ s_ {14} & s_ {24} & s_ {34} & s_ {44} & s_ {45} & s_ {46 {46 {46 {46} {15}&S_{25}&S_{35}&S_{45}&S_{55}&S_{56}\\S_{16}&S_{26}&S_{36}&S_{46}&S_{56}&S_{66}\ Ende {BMatrix}}}

Änderung des Koordinatensystems

Wenn ein lineares elastisches Material von einer Referenzkonfiguration zu einem anderen gedreht wird, ist das Material in Bezug auf die Drehung symmetrisch, wenn die Komponenten des Steifigkeitstensors in der gedrehten Konfiguration mit den Komponenten in der Referenzkonfiguration nach der Beziehung zusammenhängen^[12]

oder

wo

l ab

sind die Komponenten eines Orthogonale Rotationsmatrix

[L]

. Die gleiche Beziehung gilt auch für Inversionen.

In der Matrixnotation bezieht sich die transformierte Basis (gedreht oder invertiert) mit der Referenzbasis nach

{\ displayStyle [\ mathbf {e} _ {i} '] = [l] [\ mathbf {e} _ {i}]}

dann

oder

Außerdem, wenn das Material in Bezug auf die Transformation symmetrisch ist

[L]

dann

oder j}) = 0 \ ,.}

Orthotrope Materialien

Orthotrope Materialien drei haben senkrecht Symmetrieebenen. Wenn die Basisvektoren ( $e 1, e 2, e 3$ ) sind Normalen für die Symmetrieebenen, dann implizieren die Koordinaten -Transformationsbeziehungen dies

oder Sigma _ {6} \ end {bmatrix}} \, = \, {\ begin {bmatrix} c_ {11} & c_ {12} & c_ {13} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\C_{13}&C_{23}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{55}&0\\0&0&0&0&0&C_{66}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _ {1} \\\ varepsilon _ {2} \\\ varepsilon _ {3} \\\ varepsilon _ {4} \\\ Varepsilon _ {5}}}}} {6} {bmatrix}}}}

Die Umkehrung dieser Beziehung wird üblicherweise als geschrieben als^[13]^{[Seite benötigt]}

oder \ 2 \ varepsilon _ {xy} \ end {bmatrix} \ \, = \, {\ begin {bmatrix} {\ frac {1} {e_ {x}} &-{\ frac {\ nu _ {Yx {Yx} } {E_ {y}}} &-{\ frac {\ nu _ {zx}} {e_ {z}}} & 0 & 0 & 0 \\-{\ frac {\ nu _ {xy} {e_ {x {x}}}}}}} {{x {x}}} & {\ frac {1} {e_ {y}}} &-{\ frac {\ nu _ {zy} {e_ {z}} _ {zy} {e_ {z}}} & 0 & 0 & 0 \\-{\ frac {\ nu _ {xz} {{{{{{{{{{{{{{ E_ {x}}} &-{\ frac {\ nu _ {yz}} {e_ {y}} & {\ frac {1} {e_ {z}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {{{{{1 {1 {1 {1 {1 {1} {G_ {yz}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & {\ frac {1} {g_ {zx}}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {\ Frac {1} {g_ {xy}}}}}}}}}} \\ end \ begin {bmatrix} \ sigma _ {xx} \\\ sigma _ {yy} \\ sigma _ {zz} \\\ sigma _ {yz} \\ sigma _ {zx} \\ sigma _ {xy _ {xy } \ end {bmatrix}}}

wo

$E i$ ist der Elastizitätsmodul entlang der Achse $i$
$G ij$ ist der Schermodul in Richtung $j$ auf der Ebene, deren Normalität in Richtung ist $i$
$ν ij$ ist der Poissons Verhältnis Das entspricht einer Kontraktion in Richtung $j$ Wenn eine Erweiterung in Richtung angewendet wird $i$ .

Unter Flugzeugspannung Bedingungen, $σ zz = σ ZX = σ yz = 0$ , Hookes Gesetz für ein orthotropes Material nimmt die Form an

oder \ frac {1} {e_ {x}}} &-{\ frac {\ nu _ {yx}} {e_ {y}}} & 0 \\-{\ frac {\ nu _ {xy} {e_ {{{{{{{{{{{ x}}} & {\ frac {1} {e_ {y}}} & 0 \\ 0 & 0 & {\ frac {1} {g_ {xy}} \ end {bmatrix} {{xy {bmatrix} \ \ siigma _ oder

Die inverse Beziehung ist

{\ displaystyle {\ begin {bmatrix} \ sigma _ {xx} \\\ sigma _ {yy} \\\ sigma _ {xy} \ end {bmatrix} \, = \ {\ frac {1 {1 {1 {1 {1 {1 {1 1 -\ nu _ {xy} \ nu _ {yx}}} {\ begin {bmatrix} e_ {x} & \ nu _ {yx} e_ {x} & 0 \\ nu {xy} e_ {y {y} & e_ {y}&0\\0&0&G_{xy}(1-\nu _{xy}\nu _{yx})\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\varepsilon _{xx}\\\varepsilon _{ yy} \\ 2 \ varepsilon _ {xy} \ end {bmatrix}} \ ,.}

Die transponierte Form der obigen Steifigkeitsmatrix wird häufig auch verwendet.

Transvers isotrope Materialien

A transvers isotrop Material ist symmetrisch in Bezug auf eine Rotation um eine Symmetrieachse. Für ein solches Material, wenn $e 3$ ist die Achse der Symmetrie, Hookes Gesetz kann ausgedrückt werden als

oder Sigma _ {6} \ end {bmatrix}} \, = \, {\ begin {bmatrix} c_ {11} & c_ {12} & c_ {13} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\C_{13}&C_{13}&C_{33}&0&0&0\\0&0&0&C_{44}&0&0\\0&0&0&0&C_{44}&0\\0&0&0&0&0&{\frac {C_{11}-C_{12}}{2}} \ end {bmatrix}} {\ begin {bmatrix} \ varepsilon _ {1} \\\ varepsilon _ {2} \\\\ varepsilon _ {3} \\\ Varepsilon _ {4} \\ \\\ varepsilon _ {6} \ end {bmatrix}}}

Häufiger die $x \equiv e 1$ Die Achse wird als Achse der Symmetrie angesehen und das inverse Hookes Gesetz wird geschrieben als^[14]

oder \ 2 \ varepsilon _ {xy} \ end {bmatrix} \ \, = \, {\ begin {bmatrix} {\ frac {1} {e_ {x}} &-{\ frac {\ nu _ {Yx {Yx} } {E_ {y}}} &-{\ frac {\ nu _ {zx}} {e_ {z}}} & 0 & 0 & 0 \\-{\ frac {\ nu _ {xy} {e_ {x {x}}}}}}} {{x {x}}} & {\ frac {1} {e_ {y}}} &-{\ frac {\ nu _ {zy} {e_ {z}} _ {zy} {e_ {z}}} & 0 & 0 & 0 \\-{\ frac {\ nu _ {xz} {{{{{{{{{{{{{{ E_ {x}}} &-{\ frac {\ nu _ {yz}} {e_ {y}} & {\ frac {1} {e_ {z}} & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {{{{{1 {1 {1 {1 {1 {1} {G_ {yz}}} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & {\ frac {1} {g_ {xz}}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & {\ Frac {1} {g_ {xy}}}}}}}}}} \\ end \ begin {bmatrix} \ sigma _ {xx} \\\ sigma _ {yy} \\ sigma _ {zz} \\\ sigma _ {yz} \\ sigma _ {zx} \\ sigma _ {xy _ {xy } \ end {bmatrix}}}

Universal Elastic Anisotropy Index

Den Grad der Anisotropie jeder Klasse zu erfassen, a Universal Elastic Anisotropy Index (AU)^[15] wurde formuliert. Es ersetzt die Zener -Verhältnis, was für geeignet ist für Kubikkristalle.

Thermodynamische Basis

Lineare Deformationen elastischer Materialien können als angenähert werden adiabatisch. Unter diesen Bedingungen und für quasistatische Prozesse die Erstes Gesetz der Thermodynamik Für einen deformierten Körper kann ausgedrückt werden als

{\ displayStyle \ delta w = \ delta u}

wo

ΔU

ist die Zunahme von innere Energie und

ΔW

ist der Arbeit von externen Kräften erledigt. Die Arbeit kann in zwei Begriffe unterteilt werden

oder

wo

ΔW s

ist die Arbeit von erledigt von Oberflächenkräfte während

ΔW b

ist die Arbeit von erledigt von Körperkräfte. Wenn

δ u

ist ein Variation des Verschiebungsfeldes

u

Im Körper können die beiden externen Arbeitsbegriffe als ausgedrückt werden als

oder mathrm {b}} = \ int _ {\ omega} \ mathbf {b} \ cdot \ delta \ mathbf {u} \, dv}

wo

t

ist die Oberfläche Traktion Vektor,

b

ist der Körperkraftvektor,

Ω

repräsentiert den Körper und

\partial Ω

repräsentiert seine Oberfläche. Verwenden der Beziehung zwischen dem Cauchy Stress und die Oberflächentraktion,

t = n \cdot σ

(wo

n

Ist das Gerät nach außen normal zu

\partial Ω

), wir haben

{\ displaystyle \ delta w = \ delta u = \ int _ {\ partial \ omega} (\ mathbf {n} \ cdot {\ boldSymbol {\ sigma}) \ cdot \ delta \ mathbf {u} \, DS+\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ int _ {\ omega} \ mathbf {b} \ cdot \ delta \ mathbf {u} \, dv \ ,.}

Umwandlung der Oberflächenintegral in ein Volumenintegral über die Abweichungstheorem gibt

oder \ delta \ mathbf {u} {\ big)} \, dv \ ,.}

Verwendung der Symmetrie des Cauchy -Stresses und der Identität

oder } \ links (\ mathbf {a} ^{\ mathsf {t}}: \ nabla \ mathbf {b} +\ mathbf {a}: (\ nabla \ \ mathbf {b}) Rechts)}

Wir haben die folgenden

oder \ nabla \ delta \ mathbf {u})^{\ mathsf {t}} \ rechts)+\ links (\ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}}+\ mathb {b} \ rechts) \ cdot \ delta \ delta \ delta \ mathbf {u} \ rechts) \, dv \ ,.}

Aus der Definition von Beanspruchung und aus den Gleichungen von Gleichgewicht wir haben

oder \ mathsf {t}} \ rechts) \,; \ qquad \ nabla \ cdot {\ boldsymbol {\ sigma}}+\ mathbf {b} = \ mathbf {0} \ ,.}

Daher können wir schreiben

oder

und daher die Variation in der innere Energie Dichte wird gegeben durch

oder

Ein elastisch Material ist definiert als eine, bei der die gesamte interne Energie gleich der ist potenzielle Energie der inneren Kräfte (auch die genannt elastische Dehnungssenergie). Daher ist die innere Energiedichte eine Funktion der Stämme,

U 0 = U 0 (ε)

und die Variation der inneren Energie kann ausgedrückt werden als

oder

Da die Variation der Dehnung willkürlich ist, ist die Spannungs -Dehnungs -Beziehung eines elastischen Materials gegeben durch

oder

Für ein lineares elastisches Material die Menge

\partial U 0 / \partial ε

ist eine lineare Funktion von

ε

und kann daher als ausgedrückt werden als

oder

wo c ist ein Tensor der vierten Rang von Materialkonstanten, auch die genannt Steifheitstensor. Wir können sehen, warum c Muss ein Tensor des vierten Rangs sein, indem er feststellt, dass für ein lineares elastisches Material,

{\ displayStyle {\ frac {\ partial} {\ partial {\ boldSymbol {\ varepsilon}}} {\ boldsymbol {\ sigma}} ({\ boldensymbol {{\ varepssilon}}} {{\ text {{{\}}}}} {\ text {{\ varepssilon}}}) {\ mathsf {c}} \ ,.}

In der Indexnotation

oder

Die rechte Seite Konstante erfordert vier Indizes und ist eine Menge in der vierten Rang. Wir können auch erkennen, dass diese Menge ein Tensor sein muss, da es sich um eine lineare Transformation handelt, die den Dehnungs -Tensor zum Spannungstensor bringt. Wir können auch zeigen, dass die Konstante den Tensor-Transformationsregeln für Tensoren des vierten Rangs befolgt.

Siehe auch

Anmerkungen

^ Das Anagramm wurde in alphabetischer Reihenfolge gegeben, CeiIinosSsttuurepräsentieren Ut tensio, sic vis - "Als Erweiterung, also die Kraft": Petroski, Henry (1996). Erfindung durch Design: Wie Ingenieure von Gedanken zu etwas bekommen. Cambridge, MA: Harvard University Press. p.11. ISBN 978-0674463684.
^ Sehen http://civil.lindahall.org/design.shtml, wo man auch ein Anagramm finden kann Catenar.
^ Robert Hooke, De Potentia Restitutiva oder Frühling. Erklären Sie die Kraft der Federkörper, London, 1678.
^ Ushiba, Shota; Masui, Kyoko; Taguchi, Natsuo; Hamano, Tomoki; Kawata, Satoshi; Shoji, Satoru (2015). "Größenabhängige Nanomechanik von Spulenfedern geformte Polymer -Nanodrähte". Wissenschaftliche Berichte. 5: 17152. Bibcode:2015natsr ... 517152U. doi:10.1038/srep17152. PMC 4661696. PMID 26612544.
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Externe Links

Konvertierungsformeln
Homogene isotrope lineare elastische Materialien haben ihre elastischen Eigenschaften, die von zwei Moduls unter diesen eindeutig bestimmt werden. Daher kann bei zwei beliebigen anderen der elastischen Modul nach diesen Formeln berechnet werden, die sowohl für 3D -Materialien (erster Teil der Tabelle) als auch für 2D -Materialien (zweiter Teil) bereitgestellt werden.
3D -Formeln	${\ displayStyle k = \,}$	${\ displayStyle e = \,}$	${\ displayStyle \ lambda = \,}$	${\ displayStyle g = \,}$	${\ displayStyle \ nu = \,}$	${\ displayStyle m = \,}$	Anmerkungen
${\ displayStyle (k, \, e)}$			${\ displaystyle {\ tfrac {3k (3k-e)} {9k-e}}}$	${\ displayStyle {\ tfrac {3ke} {9k-e}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {3k-e} {6k}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {3k (3k+e)} {9k-e}}}$
${\ displayStyle (k, \, \ lambda)}$		${\ displaystyle {\ tfrac {9k (k- \ lambda)} {3k- \ lambda}}}$		${\ displaystyle {\ tfrac {3 (k- \ lambda)} {2}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {\ lambda} {3k- \ lambda}}}}}$	${\ displayStyle 3k-2 \ lambda \,},}$
${\ displayStyle (k, \, g)}$		${\ displaystyle {\ tfrac {9kg} {3k+g}}}$	${\ displayStyle k-{\ tfrac {2g} {3}}}$		${\ displaystyle {\ tfrac {3k-2g} {2 (3k+g)}}}$	${\ displayStyle K+{\ tfrac {4g} {3}}}$
${\ displayStyle (k, \, \ nu)}$		${\ displayStyle 3k (1-2 \ nu) \,},}$	${\ displaystyle {\ tfrac {3k \ nu} {1+ \ nu}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {3k (1-2 \ nu)} {2 (1+ \ nu)}}}$		${\ displaystyle {\ tfrac {3k (1- \ nu)} {1+ \ nu}}}$
${\ displayStyle (k, \, m)}$		${\ displaystyle {\ tfrac {9k (m-k)} {3k+m}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {3k-m} {2}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {3 (m-k)} {4}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {3k-m} {3k+m}}}$
${\ displayStyle (e, \, \ lambda)}$	${\ displaystyle {\ tfrac {e +3 \ lambda +r} {6}}}$			${\ displaystyle {\ tfrac {e-3 \ lambda +r} {4}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {2 \ lambda} {e +\ lambda +r}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {e- \ lambda +r} {2}}}$	${\ displayStyle r = {\ sqrt {e ^{2} +9 \ lambda ^{2}+2e \ lambda}}}$
${\ displayStyle (e, \, g)}$	${\ displaystyle {\ tfrac {eg} {3 (3g-e)}}}$		${\ displaystyle {\ tfrac {g (e-2g)} {3g-e}}}$		${\ displayStyle {\ tfrac {e} {2g}}-1}$	${\ displaystyle {\ tfrac {g (4g-e)} {3g-e}}}$
${\ displayStyle (e, \, \ nu)}$	${\ displaystyle {\ tfrac {e} {3 (1-2 \ nu)}}}$		${\ displayStyle {\ tfrac {e \ nu} {(1+ \ nu) (1-2 \ nu)}}}$	${\ displayStyle {\ tfrac {e} {2 (1+ \ nu)}}}$		${\ displayStyle {\ tfrac {e (1- \ nu)} {(1+ \ nu) (1-2 \ nu)}}}$
${\ displayStyle (e, \, m)}$	${\ displayStyle {\ tfrac {3m-e+s} {6}}}$		${\ displayStyle {\ tfrac {m-e+s} {4}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {3m+e-s} {8}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {e-m+s} {4m}}}$		${\ displayStyle s = \ pm {\ sqrt {e^{2}+9m^{2} -10em}}}$ Es gibt zwei gültige Lösungen. Das Pluszeichen führt zu ${\ displayStyle \ nu \ geq 0}$ . Das Minuszeichen führt zu ${\ displayStyle \ nu \ leq 0}$ .
${\ displayStyle (\ lambda, \, g)}$	${\ displaystyle \ lambda +{\ tfrac {2g} {3}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {g (3 \ lambda +2g)} {\ lambda +g}}}$			${\ displaystyle {\ tfrac {\ lambda} {2 (\ lambda +g)}}}$	${\ displaystyle \ lambda +2g \,}$
${\ displayStyle (\ lambda, \, \ nu)}$	${\ displaystyle {\ tfrac {\ lambda (1+ \ nu)} {3 \ nu}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {\ lambda (1+ \ nu) (1-2 \ nu)} {\ nu}}}$		${\ displaystyle {\ tfrac {\ lambda (1-2 \ nu)} {2 \ nu}}}$		${\ displaystyle {\ tfrac {\ lambda (1- \ nu)} {\ nu}}}$	Kann nicht verwendet werden, wenn ${\ displayStyle \ nu = 0 \ leftrightarrow \ lambda = 0}$
${\ displayStyle (\ lambda, \, m)}$	${\ displaystyle {\ tfrac {m+2 \ lambda} {3}}}$	${\ displayStyle {\ tfrac {(m- \ lambda) (m+2 \ lambda)} {m+\ lambda}}}$		${\ displaystyle {\ tfrac {m- \ lambda} {2}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {\ lambda} {m+\ lambda}}}}$
${\ displayStyle (g, \, \ nu)}$	${\ displaystyle {\ tfrac {2g (1+ \ nu)} {3 (1-2 \ nu)}}}$	${\ displayStyle 2g (1+ \ nu) \,},}$	${\ displaystyle {\ tfrac {2g \ nu} {1-2 \ nu}}}$			${\ displaystyle {\ tfrac {2g (1- \ nu)} {1-2 \ nu}}}$
${\ displayStyle (g, \, m)}$	${\ displayStyle m-{\ tfrac {4g} {3}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {g (3m-4g)} {m-g}}}$	${\ displayStyle M-2g \,}$		${\ displayStyle {\ tfrac {m-2g} {2m-2g}}}$
${\ displayStyle (\ nu, \, m)}$	${\ displaystyle {\ tfrac {m (1+ \ nu)} {3 (1- \ nu)}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {m (1+ \ nu) (1-2 \ nu)} {1- \ nu}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {m \ nu} {1- \ nu}}}$	${\ displaystyle {\ tfrac {m (1-2 \ nu)} {2 (1- \ nu)}}}$
2D -Formeln	${\ displayStyle K _ {\ mathhrm {2d}} = \,},}$	${\ displayStyle e _ {\ mathrm {2d}} = \,},}$	${\ displayStyle \ lambda _ {\ mathrm {2d}} = \,},}$	${\ displayStyle g _ {\ mathrm {2d}} = \,},}$	${\ displayStyle \ nu _ {\ mathrm {2d}} = \,}$	${\ displayStyle m _ {\ mathrm {2d}} = \,},}$	Anmerkungen
$oder$			$oder 2d}}}}}$	$oder$	$oder$	$oder$
$oder$		$oder {\ mathhrm {2d}}}}}$		$oder$	$oder$	$oder$
$oder$		$oder$	$oder$		$oder$	$oder$
$oder$		$oder$	$oder$	$oder$		$oder$
$oder$	$oder$		$oder 2d}}}}}$		$oder$	$oder$
$oder$	$oder$		$oder {2d}})}}}$	$oder$		$oder$
${\ displayStyle (\ lambda _ {\ mathrm {2d}}, \, g _ {\ mathrm {2d})}$	$oder$	$oder {\ mathhrm {2d}}}}}$			$oder$	$oder$
$oder$	$oder$	$oder {\ mathhrm {2d}}}}}$		$oder$		$oder$	Kann nicht verwendet werden, wenn $oder$
$oder$	$oder$	$oder$	$oder$			$oder$
$oder$	$oder$	$oder$	$oder$		$oder$

[1] Das Anagramm wurde in alphabetischer Reihenfolge gegeben, CeiIinosSsttuurepräsentieren Ut tensio, sic vis - "Als Erweiterung, also die Kraft": Petroski, Henry (1996). Erfindung durch Design: Wie Ingenieure von Gedanken zu etwas bekommen. Cambridge, MA: Harvard University Press. p.11. ISBN 978-0674463684.

[2] Sehen http://civil.lindahall.org/design.shtml, wo man auch ein Anagramm finden kann Catenar.

[3] Robert Hooke, De Potentia Restitutiva oder Frühling. Erklären Sie die Kraft der Federkörper, London, 1678.

[4] Ushiba, Shota; Masui, Kyoko; Taguchi, Natsuo; Hamano, Tomoki; Kawata, Satoshi; Shoji, Satoru (2015). "Größenabhängige Nanomechanik von Spulenfedern geformte Polymer -Nanodrähte". Wissenschaftliche Berichte. 5: 17152. Bibcode:2015natsr ... 517152U. doi:10.1038/srep17152. PMC 4661696. PMID 26612544.

[5] Belen'kii; Salaev (1988). "Deformationseffekte in Schichtkristallen". USPEKHI Fizicheskikh Nauk. 155 (5): 89. doi:10.3367/ufnr.0155.198805c.0089.

[6] MoUhat, Félix; Coudert, François-Xavier (5. Dezember 2014). "Notwendige und ausreichende elastische Stabilitätsbedingungen in verschiedenen Kristallsystemen". Physische Bewertung b. 90 (22): 224104. Arxiv:1410.0065. Bibcode:2014phrvb..90v4104m. doi:10.1103/PhysRevB.90.224104. ISSN 1098-0121. S2CID 54058316.

[7] Vijay Madhav, M.; Manogaran, S. (2009). "Ein Relook bei den Konformitätskonstanten in redundanten internen Koordinaten und einigen neuen Erkenntnissen". J. Chem. Phys. 131 (17): 174112–174116. Bibcode:2009jchph.131q4112v. doi:10.1063/1.3259834. PMID 19895003.

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[9] Symon, Keith R. (1971). "Kapitel 10". Mechanik. Lesen, Massachusetts: Addison-Wesley. ISBN 9780201073928.

[Simo98-10] Simo, J. C.; Hughes, T. J. R. (1998). Recheninelastizität. Springer. ISBN 9780387975207.

[Milton02-11] Milton, Graeme W. (2002). Die Theorie der Verbundwerkstoffe. Cambridge -Monographien über angewandte und rechnerische Mathematik. Cambridge University Press. ISBN 9780521781251.

[Slaughter-12] Slaughter, William S. (2001). Die linearisierte Elastizitätstheorie. Birkhäuser. ISBN 978-0817641177.

[Boresi-13] Boresi, A. P.; Schmidt, R. J.; Sidebottom, O. M. (1993). Fortgeschrittene Mechanik von Materialien (5. Aufl.). Wiley. ISBN 9780471600091.

[Tan-14] Tan, S. C. (1994). Spannungskonzentrationen in laminierten Verbundwerkstoffen. Lancaster, PA: Technomic Publishing Company. ISBN 9781566760775.

[15] Ranganathan, S.I.; Ostoja-Starzewski, M. (2008). "Universal Elastic Anisotropy Index". Physische Überprüfungsbriefe. 101 (5): 055504–1–4. Bibcode:2008phrvl.101e5504r. doi:10.1103/PhysRevlett.101.055504. PMID 18764407.

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