Homologie (Mathematik)

Im Mathematik, Homologie^[1] ist eine allgemeine Methode, um eine Sequenz algebraischer Objekte zu assoziieren, wie z. Abelsche Gruppen oder Modulemit anderen mathematischen Objekten wie z. Topologische Räume. Homologiegruppen wurden ursprünglich in definiert in Algebraische Topologie. Ähnliche Konstruktionen sind in einer Vielzahl anderer Kontexte erhältlich, wie z. Zusammenfassung Algebra, Gruppen, Lügen Sie Algebren, Galois -Theorie, und Algebraische Geometrie.

Die ursprüngliche Motivation für die Definition von Homologiegruppen war die Beobachtung, dass zwei Formen durch Untersuchung ihrer Löcher unterschieden werden können. Zum Beispiel ist ein Kreis keine Festplatte, da der Kreis ein Loch durch ihn hat, während die Scheibe fest ist und die gewöhnliche Kugel kein Kreis ist, da die Kugel ein zweidimensionales Loch einschließt, während der Kreis ein eindimensionales Loch einschließt. Da jedoch ein Loch "nicht da" ist, ist es nicht sofort offensichtlich, wie man ein Loch definiert oder wie man verschiedene Arten von Löchern unterscheidet. Die Homologie war ursprünglich eine strenge mathematische Methode zur Definition und Kategorisierung von Löchern in a vielfältig. Locker gesprochen, a Kreislauf ist ein geschlossener Untermaniflold, a Grenze ist ein Zyklus, der auch die Grenze eines Submanifloldes ist und a Homologieklasse (was ein Loch darstellt) ist eine Äquivalenzklasse von Zyklenmodulogrenzen. Eine Homologieklasse wird somit durch einen Zyklus dargestellt, der nicht die Grenze eines Submaniflusses ist: Der Zyklus repräsentiert ein Loch, nämlich einen hypothetischen Verteiler, dessen Grenze dieser Zyklus sein würde, aber "nicht da".

Es gibt viele verschiedene Homologie -Theorien. Eine bestimmte Art von mathematischem Objekt, wie z. B. ein topologischer Raum oder a Gruppe, kann eine oder mehrere damit verbundene Homologie -Theorien haben. Wenn das zugrunde liegende Objekt eine geometrische Interpretation hat, wie es topologische Räume tun, ist die nDie Homologiegruppe repräsentiert das Verhalten in der Dimension n. Die meisten Homologiegruppen oder Module können als formuliert werden abgeleitete Funktoren auf angemessen Abelsche KategorienMessung des Versagens eines Funkers sein genau. Aus dieser abstrakten Perspektive werden Homologiegruppen durch Objekte von a bestimmt abgeleitete Kategorie.

Hintergrund

Ursprünge

Es kann gesagt werden, dass die Homologie -Theorie mit der Euler Polyeders -Formel beginnen, oder Euler charakteristisch.^[2] Es folgte Riemann's Definition von Gattung und n-Fold Connectedness Numerical Invarianten im Jahr 1857 und Betti'S -Beweis im Jahr 1871 der Unabhängigkeit von "Homologiezahlen" aus der Wahl der Basis.^[3]

Die Homologie selbst wurde entwickelt, um zu analysieren und zu klassifizieren Verteiler nach Ihnen Fahrräder - geschlossene Schleifen (oder allgemeiner Submaniflolds), die auf einer gegebenen n Dimensionaler Verteiler, aber nicht kontinuierlich ineinander verformt.^[4] Diese Zyklen werden manchmal auch als Schnitte angesehen, die wieder zusammengeklebt werden können, oder als Reißverschlüsse, die befestigt und ungeschädigt werden können. Zyklen werden nach Dimension klassifiziert. Zum Beispiel repräsentiert eine auf einer Oberfläche gezogene Linie einen 1-Zyklus, eine geschlossene Schleife oder ${\ displayStyle S^{1}}$ (1-Manuffach), während eine Oberfläche durch einen dreidimensionalen Verteiler ein 2-Zyklus ist.

Oberflächen

Auf gewöhnlich Kugel ${\ displayStyle S^{2}}$, der Kreislauf b im Diagramm kann auf die Pol und sogar an die Äquatorial geschrumpft werden schöner Kreis a Kann auf die gleiche Weise geschrumpft werden. Das Jordan Curve Theorem zeigt, dass jeder willkürliche Zyklus wie z. c kann ähnlich bis zu einem gewissen Punkt geschrumpft werden. Alle Zyklen auf der Kugel können daher kontinuierlich ineinander transformiert werden und gehören zur gleichen Homologieklasse. Sie sollen homolog zu Null sein. Das Schneiden eines Verteilers entlang eines Zyklus, das homolog zu Null ist, unterscheidet den Verteiler in zwei oder mehr Komponenten. Zum Beispiel die Kugel entlangschneiden a produziert zwei Hemisphären.

Dies gilt im Allgemeinen nicht für Zyklen auf anderen Oberflächen. Das Torus ${\ displayStyle t^{2}}$ hat Zyklen, die nicht kontinuierlich ineinander verformt werden können, zum Beispiel im Diagramm keines der Zyklen a, b oder c kann ineinander deformiert werden. Insbesondere Zyklen a und b kann nicht bis zu einem Punkt geschrumpft werden, während Zyklus zyklus c kann und machen es so homolog zu Null.

Wenn die Torusoberfläche beides geschnitten wird a und bEs kann geöffnet und in ein Rechteck oder bequemer ein Quadrat abgeflacht werden. Ein entgegengesetztes Seitenpaar repräsentiert den Schnitt entlang aund das andere entgegengesetzte Paar repräsentiert den Schnitt entlang b.

Die Ränder des Quadrats können dann auf unterschiedliche Weise wieder zusammengeklebt werden. Das Quadrat kann verdreht werden, damit sich die Kanten in die entgegengesetzte Richtung treffen können, wie die Pfeile im Diagramm gezeigt. Bis zur Symmetrie gibt es vier verschiedene Arten, die Seiten zu kleben, die jeweils eine andere Oberfläche erzeugen:

${\ displayStyle k^{2}}$ ist der Klein Flasche, was ein Torus mit einer Wendung ist (die Wendung ist im quadratischen Diagramm als Umkehrung des unteren Pfeils zu sehen). Es ist ein Satz, dass die neu glühende Oberfläche sich selbst intersekt Euklidischer 3-Raum). Wie der Torus, Zyklen a und b kann während dessen nicht geschrumpft werden c kann sein. Aber im Gegensatz zum Torus folgen b Vorwärts runden und zurück kehrt links und rechts um, weil b Überquert die Wendung, die einer Verbindung gegeben wurde. Wenn ein äquidistierender Schnitt auf einer Seite von b wird gemacht, es kehrt auf der anderen Seite zurück und geht ein zweites Mal um die Oberfläche, bevor es zu seinem Startpunkt zurückkehrt, und schneidet eine verdrehte heraus Möbiusband. Da lokales links und rechts auf diese Weise willkürlich neu ausgerichtet werden kann, soll die Oberfläche als Ganzes nicht orientierbar sein.

Das Projektivebene ${\ displayStyle p^{2}}$ hat beide zusammengedreht. Die ungeschnittene Form, im Allgemeinen als die dargestellt Jungenoberfläche, ist visuell komplex, so dass im Diagramm eine hemisphärische Einbettung gezeigt wird A und EIN' werden als der gleiche Punkt identifiziert. Wieder, a und b sind während der Zeit nicht verknüpfbar c ist. Aber diesmal beides a und b Links und rechts umkehren.

Zyklen können verbunden oder zusammengefügt werden wie a und b Auf dem Torus waren es, als es aufgeschnitten und abgeflacht wurde. Im Klein Flaschendiagramm, a geht um einen Weg und - -a geht umgekehrt. Wenn a wird als Schnitt angesehen, dann - -a kann als Kleberoperation betrachtet werden. Einen Schnitt machen und dann erneut zu gleiten, ändert er die Oberfläche nicht, also a + ( -a) = 0.

Aber jetzt betrachten Sie zwei a-Fahrräder. Da die Kleinflasche nicht orientierbar ist, können Sie einen von ihnen bis zur Flasche transportieren (entlang der b-Cycle), und es wird als -zurückkommen -a. Dies liegt daran, dass die Kleinflasche aus einem Zylinder hergestellt wird, dessen a-Cycle -Enden werden mit entgegengesetzten Orientierungen zusammengeklebt. Daher 2a = a + a = a + ( -a) = 0. Dieses Phänomen wird genannt Drehung. In ähnlicher Weise in der projektiven Ebene folgen Sie dem unerschütterlichen Zyklus b Runde zweimal bemerkenswert einen trivialen Zyklus, der kann bis zu einem Punkt geschrumpft werden; das ist, b + b = 0. weil b Muss etwa zweimal befolgt werden, um einen Nullzyklus zu erreichen, soll die Oberfläche einen Torsionskoeffizienten von 2. nach a haben b-Cycle herum zweimal in der Kleinflasche gibt einfach b + b = 2bDa dieser Zyklus in einer torsionsfreien Homologieklasse lebt. Dies entspricht der Tatsache, dass im grundlegenden Polygon der Kleinflasche nur ein Paar Seiten mit einer Verdrehung geklebt wird, während in der projektiven Ebene beide Seiten verdreht werden.

Ein Quadrat ist a Vertraglicher topologischer Raum, was impliziert, dass es eine triviale Homologie hat. Infolgedessen trennen zusätzliche Kürzungen es. Das Quadrat ist nicht die einzige Form in der Ebene, die in eine Oberfläche geklebt werden kann. Zum Beispiel erzeugt zum Beispiel die entgegengesetzten Seiten eines Octagons eine Oberfläche mit zwei Löchern. In der Tat können alle geschlossenen Oberflächen erzeugt werden, indem die Seiten einiger Polygon und aller gleichseitigen Polygone kleben (2n-Gonen) können geklebt werden, um unterschiedliche Verteiler zu machen. Umgekehrt eine geschlossene Oberfläche mit n Unzero-Klassen können in eine 2 geschnitten werdenn-Gon. Variationen sind auch möglich, zum Beispiel kann ein Sechseck auch zu einem Torus geklebt werden.^[5]

Die erste erkennbare Theorie der Homologie wurde von veröffentlicht von Henri Poincaré in seinem wegweisenden Papier "Analyse Situs",", J. Ecole Polytech. (2) 1. 1–121 (1895). Das Papier führte Homologiekurse und -beziehungen ein. Die möglichen Konfigurationen orientierbarer Zyklen werden durch die klassifiziert Betti -Zahlen des Verteilers (Betti -Zahlen sind eine Verfeinerung des Euler -Merkmals). Die Klassifizierung der nicht orientierbaren Zyklen erfordert zusätzliche Informationen zu Torsionskoeffizienten.^[4]

Die vollständige Klassifizierung von 1- und 2-Manifolds ist in der Tabelle angegeben.

Topologische Merkmale geschlossener, unbegrenzter 1- und 2-Manuffach^[6]

Vielfältig		Euler Nr., χ	Orientierbarkeit	Betti -Zahlen			Torsionskoeffizient (1-dimensional)
Symbol[5]	Name			b0	b1	b2
${\ displayStyle S^{1}}$	Kreis (1-Manifold)	0	Orientierbar	1	1	—	-
${\ displayStyle S^{2}}$	Kugel	2	Orientierbar	1	0	1	Keiner
${\ displayStyle t^{2}}$	Torus	0	Orientierbar	1	2	1	Keiner
${\ displayStyle p^{2}}$	Projektivebene	1	Nicht orientierbar	1	0	0	2
${\ displayStyle k^{2}}$	Klein Flasche	0	Nicht orientierbar	1	1	0	2
	2-hölziger Torus	–2	Orientierbar	1	4	1	Keiner
	g-Bemerzter Torus (g ist der Gattung)	2 - 2g	Orientierbar	1	2g	1	Keiner
	Sphäre mit c Crosscaps	2 - c	Nicht orientierbar	1	c - 1	0	2
	2-Maniform mit g Löcher und c Crosscaps (c > 0)	2 − (2g + c)	Nicht orientierbar	1	(2g + c) − 1	0	2

Anmerkungen

1. Für eine nicht orientierbare Oberfläche entspricht ein Loch zwei Cross-Caps.
2. Jede 2-Manifold ist die verbundene Summe von g Tori und c Projektive Flugzeuge. Für die Sphäre ${\ displayStyle S^{2}}$, g = c = 0.

Verallgemeinerung

Ein Verteiler mit Grenze oder offenem Verteiler unterscheidet sich topologisch von einem geschlossenen Verteiler und kann durch einen Schnitt in einem geeigneten geschlossenen Verteiler erzeugt werden. Zum Beispiel die Festplatte oder 2-Ball ${\ displayStyle b^{2}}$ wird durch einen Kreis begrenzt ${\ displayStyle S^{1}}$. Es kann erzeugt werden, indem ein trivialer Zyklus in einem 2-Manufsprälge geschnitten und das Stück entfernt wird, die Kugel durchstechen und die Punktion breit gestreckt oder durch Schneiden der Projektebene. Es kann auch als Füllung des Kreises in der Ebene angesehen werden.

Wenn zwei Zyklen kontinuierlich ineinander verformt werden können, erzeugt das Schneiden entlang der gleichen Form wie das Schneiden am anderen, bis zu etwas Biegung und Dehnung. In diesem Fall sollen die beiden Zyklen sein homolog oder im selben liegen Homologieklasse. Wenn ein Zyklus kontinuierlich in eine Kombination anderer Zyklen deformiert werden kann, ist das Schneiden am Anfangszyklus gleich wie das Schneiden der Kombination anderer Zyklen. Zum Beispiel entspricht das Schneiden einer Abbildung 8 dem Schneiden der beiden Lappen. In diesem Fall soll die Abbildung 8 der Summe ihrer Lappen homolog sein.

Zwei offene Verteiler mit ähnlichen Grenzen (bis zu etwas Biegen und Dehnen) können zusammengeklebt werden, um einen neuen Verteiler zu bilden, der ihre verbundene Summe ist.

Diese geometrische Analyse von Verteilern ist nicht streng. Auf der Suche nach erhöhter Strenge entwickelte Poincaré die simple Homologie eines dreizigen Mannigfaltigkeits und schuf das, was heute genannt wird Kettenkomplex.^[7][8] Diese Kettenkomplexe (seit stark verallgemeinerten) bilden die Grundlage für die meisten modernen Homologiebehandlungen.

In solchen Behandlungen muss ein Zyklus nicht kontinuierlich sein: Ein 0-Zyklus ist ein Satz von Punkten, und das Schneiden entlang dieses Zyklus entspricht der Durchstechen des Verteilers. Ein 1-Zyklus entspricht einem Satz geschlossener Schleifen (ein Bild des 1-Maniflusses ${\ displayStyle S^{1}}$). Auf einer Oberfläche ergibt das Schneiden eines 1-Zyklus entweder getrennte Teile oder eine einfachere Form. Ein 2-Zyklus entspricht einer Sammlung eingebetteter Oberflächen wie einer Kugel oder eines Torus und so weiter.

Emmy Noether und unabhängig, Leopold Vietoris und Walther Mayer Weiterentwickelte die Theorie der algebraischen Homologiegruppen im Zeitraum 1925–28.^[9][10][11] Das neue Kombinatorische Topologie formell behandelte topologische Klassen als Abelsche Gruppen. Homologische Gruppen sind endlich abelsche Gruppen, und Homologieklassen sind Elemente dieser Gruppen. Die Betti-Zahlen des Verteilers sind der Rang des freien Teils der Homology-Gruppe, und die nicht orientierbaren Zyklen werden durch den Torsionsteil beschrieben.

Die anschließende Verbreitung von Homologiemagnungen brachte eine Änderung der Terminologie und des Standpunkts von "kombinatorischer Topologie" zu "zu".Algebraische Topologie".^[12] Die algebraische Homologie bleibt die Hauptmethode zur Klassifizierung von Verteilern.^[13]

Informelle Beispiele

Die Homologie von a topologischer Raum X ist ein Satz von Topologische Invarianten von X dargestellt durch sein Homologiegruppen

bei dem die ${\ displayStyle k^{\ rm {th}}}$ Homology Group ${\ displayStyle H_ {k} (x)}$ beschreibt informell die Anzahl von Löcher in X mit einer k-Dimensionale Grenze. Ein 0-dimensional-Grenzen-Loch ist einfach eine Lücke zwischen zwei Komponenten. Folglich, ${\ displayStyle H_ {0} (x)}$ beschreibt die Pfadkontrollekomponenten von X.^[14]

Ein eindimensionales Kugel ${\ displayStyle S^{1}}$ ist ein Kreis. Es verfügt über eine einzelne verbundene Komponente und ein eindimensionales Gradloch, aber keine höherdimensionalen Löcher. Die entsprechenden Homologiegruppen werden als angegeben

wo ${\ displaystyle \ mathbb {z}}$ ist die Gruppe von Ganzzahlen und ${\ displayStyle \ {0 \}}$ ist der triviale Gruppe. Die Gruppe ${\ displayStyle H_ {1} \ links (s^{1} \ right) = \ mathbb {z}}$ repräsentiert a Endlich generierte Abelian-Gruppemit einer einzigen Generator Darstellung des in einem Kreis enthaltenen eindimensionalen Lochs.^[15]

Ein zweidimensionaler Kugel ${\ displayStyle S^{2}}$ hat eine einzelne verbundene Komponente, keine eindimensionalen Grenzenlöcher, ein zweidimensionales Gradloch und keine höherdimensionalen Löcher. Die entsprechenden Homologiegruppen sind^[15][16]

Im Allgemeinen für eine n-Dimensionale Kugel ${\ displayStyle S^{n},},}$Die Homologiegruppen sind

Ein zweidimensionaler Ball ${\ displayStyle b^{2}}$ ist eine solide Scheibe. Es hat eine einzelne, mit Pfad verbundene Komponente, aber im Gegensatz zum Kreis keine höherdimensionalen Löcher. Die entsprechenden Homologiegruppen sind alle trivial, bis auf ${\ displayStyle H_ {0} \ links (b^{2} \ right) = \ mathbb {z}}$. Im Allgemeinen für eine n-Dimensionaler Ball ${\ displaystyle b^{n},},}$^[15]

Das Torus ist definiert als a Produkt von zwei Kreisen ${\ displayStyle t = s^{1} \ Times S^{1}}$. Der Torus verfügt über eine einzelne, mit Pfad verbundene Komponente, zwei unabhängige eindimensionale Löcher (durch Kreise in Rot und Blau angegeben) und ein zweidimensionales Loch als Innere des Torus. Die entsprechenden Homologiegruppen sind^[17]

Die beiden unabhängigen 1-dimensionalen Löcher bilden unabhängige Generatoren in einer endlich generierten Abelschen Gruppe, ausgedrückt als die als die Produktgruppe ${\ displaystyle \ mathbb {z} \ times \ mathbb {z}.}$

Für die Projektivebene P, eine einfache Berechnung zeigt (wo ${\ displaystyle \ mathbb {z} _ {2}}$ ist der zyklische Gruppe von Order 2):^[18]

${\ displayStyle H_ {0} (p) = \ mathbb {z}}$ Entspricht wie in den vorherigen Beispielen der Tatsache, dass es eine einzelne verbundene Komponente gibt. ${\ displayStyle H_ {1} (p) = \ mathbb {z} _ {2}}$ ist ein neues Phänomen: Intuitiv entspricht es der Tatsache, dass es eine einzelne nicht kontrahierbare "Schleife" gibt, aber wenn wir die Schleife zweimal machen, wird es auf Null vertraglich. Dieses Phänomen heißt Drehung.

Konstruktion von Homologiegruppen

Der folgende Text beschreibt einen allgemeinen Algorithmus für die Konstruktion der Homologiegruppen. Für den Leser kann es einfacher sein, sich zuerst einige einfache Beispiele anzusehen: Graph Homology und Einfachere Homologie.

Die allgemeine Konstruktion beginnt mit einem Objekt wie einem topologischen Raum X, auf welcher zuerst ein definiert a Kettenkomplex C(X) codieren Informationen zu X. Ein Kettenkomplex ist eine Folge von Abelschen Gruppen oder Modulen ${\ displaystyle c_ {0}, c_ {1}, c_ {2}, \ ldots}$. verbunden über Homomorphismen ${\ displaystyle \ partial _ {n}: c_ {n} \ to c_ {n-1},},},},}$ die genannt werden Grenzbetreiber.^[17] Das ist,

$oder -1} {\ Overset {\ partial _ {n-1}} {\ longrightarrow \,}} \ dotsb {\ overset {\ partial _ {2}} {\ longilrew \,}} C_ {1} {{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\ \ \ \ \ {\ \ \ \ {\ \ \ {\ \ \ {\ \ {\ oder$

wo 0 die triviale Gruppe bezeichnet und ${\ displayStyle c_ {i} \ äquiv 0}$ zum i < 0. It is also required that the composition of any two consecutive boundary operators be trivial. That is, for all nAnwesend

${\ displaystyle \ partial _ {n} \ circ \ partial _ {n+1} = 0_ {n+1, n-1},}$

d.h. die konstante Karte, die jedes Element von sendet ${\ displayStyle c_ {n+1}}$ zur Gruppenidentität in ${\ displayStyle c_ {n-1}.}$

Die Aussage, dass die Grenze einer Grenze trivial ist $oder$, wo ${\ displayStyle \ mathrm {im} (\ partial _ {n+1})}$ bezeichnet die Bild des Grenzbetreibers und ${\ displayStyle \ Ker (\ partial _ {n})}$ es ist Kernel. Elemente von ${\ displayStyle b_ {n} (x) = \ mathhrm {im} (\ partial _ {n+1})}$ werden genannt Grenzen und Elemente von ${\ displayStyle z_ {n} (x) = \ Ker (\ partial _ {n})}$ werden genannt Fahrräder.

Seit jeder Kettengruppe C_n Ist Abelian alle Untergruppen normal. Dann weil ${\ displayStyle \ Ker (\ partial _ {n})}$ ist eine Untergruppe von C_n, ${\ displayStyle \ Ker (\ partial _ {n})}$ ist Abelian und seitdem $oder$ deshalb ${\ displayStyle \ mathrm {im} (\ partial _ {n+1})}$ ist ein Normale Untergruppe von ${\ displayStyle \ Ker (\ partial _ {n})}$. Dann kann man das erstellen Quotientsgruppe

$oder }(X),}$

genannt nDie Homologiegruppe von X. Die Elemente von H_n(X) werden genannt Homologiekurse. Jede Homologieklasse ist eine Äquivalenzklasse über Zyklen und zwei Zyklen in derselben Homologieklasse sollen sein homolog.^[19]

Ein Kettenkomplex soll sein genau Wenn das Bild der (n+1) Die Karte ist immer gleich dem Kern des Kerns des nTH MAP. Die homologischen Gruppen von X Messen Sie daher "wie weit" der Kettenkomplex, der mit dem zugeordnet ist X ist aus genau zu sein.^[20]

Das Reduzierte Homologiegruppen eines Kettenkomplexes C(X) werden als Homologien des erweiterten Kettenkomplexes definiert^[21]

$oder -1} {\ Overset {\ partial _ {n-1}} {\ longrightarrow \,}} \ dotsb {\ overset {\ partial _ {2}} {\ longilrew \,}} C_ {1} {{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\ \ \ \ \ {\ \ \ \ {\ \ \ {\ \ \ {\ \ {\ oder$

wo der Grenzbetreiber ${\ displayStyle \ Epsilon}$ ist

$oder$

für eine Kombination ${\ displaystyle \ sum n_ {i} \ sigma _ {i},},},}$ von Punkten ${\ displaystyle \ sigma _ {i},},}$ welche sind die festen Generatoren von C₀. Die reduzierten Homologiemagnungen ${\ displayStyle {\ tilde {h}} _ {i} (x)}$ koinzidieren ${\ displayStyle H_ {i} (x)}$ zum ${\ displayStyle i \ neq 0.}$ Das Extra ${\ displaystyle \ mathbb {z}}$ Im Kettenkomplex repräsentiert die eindeutige Karte ${\ displayStyle [\ leereSet] \ longrightarrow x}$ vom leeren Simplex nach X.

Berechnung des Zyklus ${\ displayStyle z_ {n} (x)}$ und Grenze ${\ displayStyle b_ {n} (x)}$ Gruppen sind normalerweise ziemlich schwierig, da sie eine sehr große Anzahl von Generatoren haben. Andererseits gibt es Werkzeuge, die die Aufgabe erleichtern.

Das Einfachere Homologie Gruppen H_n(X) von a Einfacher Komplex X werden mit dem simplecial Chain -Komplex definiert C(X), mit C_n(X) das freie Abelian -Gruppe generiert von der n-Implices of X. Sehen Einfachere Homologie für Details.

Das Singular Homology Gruppen H_n(X) werden für jeden topologischen Raum definiert Xund stimme den simple -homologischen Gruppen für einen simple -Komplex zu.

Kohomologie -Gruppen ähneln formal ähnlich wie Homology -Gruppen: Man beginnt mit a Cochain -Komplex, das ist der gleiche wie ein Kettenkomplex, dessen Pfeile jetzt bezeichnet werden ${\ displayStyle d_ {n},},}$ in Richtung Zunahme zeigen n eher als abzunehmen n; dann die Gruppen ${\ displayStyle \ ker \ links (d^{n} \ rechts) = z^{n} (x)}$ von Kokyos und ${\ displayStyle \ mathrm {im} \ links (d^{n-1} \ right) = b^{n} (x)}$ von Coboundaries Folgen Sie aus der gleichen Beschreibung. Das nDie Kohomologiegruppe von X ist dann die Quotientsgruppe

${\ displayStyle h^{n} (x) = z^{n} (x)/b^{n} (x),},}$

in Analogie mit dem nTH Homology Group.

Homology vs. Homotopy

Homotopiegruppen sind ähnlich wie Homologiegruppen darin, dass sie "Löcher" in einem topologischen Raum darstellen können. Es besteht eine enge Verbindung zwischen der ersten Homotopy -Gruppe ${\ displayStyle \ pi _ {1} (x)}$ und die erste Homologiegruppe ${\ displayStyle H_ {1} (x)}$: Letzteres ist das Abelianisierung der ehemaligen. Daher wird gesagt, dass "Homologie eine kommutative Alternative zur Homotopie ist".^{[22]: 4:00} Die höheren Homotopiegruppen sind Abelian und beziehen sich auf Homologiegruppen von der Hurewicz Theorem, kann aber weitaus komplizierter sein. Zum Beispiel die Homotopiegruppen von Kugeln sind schlecht verstanden und im Gegensatz zu der oben angegebenen unkomplizierten Beschreibung für die Homology -Gruppen im Gegensatz zu den Homologie -Gruppen nicht bekannt.

Als Beispiel lassen Sie X sei der Figur Acht. Seine erste Homotopy -Gruppe ${\ displayStyle \ pi _ {1} (x)}$ ist die Gruppe von gerichteten Schleifen, die an einem vorgegebenen Punkt beginnen und enden (z. B. ihr Zentrum). Es entspricht dem freie Gruppe von Rang 2, was nicht kommutativ ist: Das Schleifen im linken Zyklus und dann rund rechts unterscheidet sich von dem Zyklus um den bis rechtlichen Zyklus und dann um den linken Zyklus. Im Gegensatz dazu seine erste Homologiemarztgruppe ${\ displayStyle H_ {1} (x)}$ ist die Gruppe der Schnitte in einer Oberfläche. Diese Gruppe ist kommutativ, da (informell) den Zyklus links abschneidet und der bis zum Rechtszyklus zu dem gleichen Ergebnis wie dem rechten Zyklus und dann dem linken Zyklus.

Arten der Homologie

Die verschiedenen Arten der Homologie -Theorie ergeben sich aus der Kartierung von Functors von verschiedenen Kategorien mathematischer Objekte bis zur Kategorie der Kettenkomplexe. In jedem Fall definiert die Zusammensetzung des Funktors von Objekten zu Kettenkomplexen und des Functors von Kettenkomplexen zu Homologiegruppen den Gesamthomologie -Funkktor für die Theorie.^[23]

Einfachere Homologie

Das motivierende Beispiel kommt von Algebraische Topologie: das Einfachere Homologie von a Einfacher Komplex X. Hier die Kettengruppe C_n ist der freie Abelian -Gruppe oder Modul, dessen Generatoren die sind n-Dimensionalorientierte Simplexe von X. Die Orientierung wird durch Bestellung des Komplexes erfasst Eckpunkte und ein orientiertes Simplex ausdrücken ${\ displayStyle \ sigma}$ als an n-tupel ${\ displayStyle (\ sigma [0], \ sigma [1], \ dots, \ sigma [n])}$ seiner in zunehmend Reihenfolge aufgeführten Eckpunkte (d. H. ${\ displaystyle \ sigma [0] <\ sigma [1] <\ cdots <\ sigma [n]}$ in der Scheitelpunktordnung des Komplexes, wo ${\ displayStyle \ sigma [i]}$ ist der ${\ displayStyle i}$Der Scheitelpunkt erscheint im Tupel). Die Zuordnung ${\ displaystyle \ partial _ {n}}$ aus C_n zu C_{n - 1} wird genannt Grenzzuordnung und sendet den Simplex

${\ displayStyle \ sigma = (\ sigma [0], \ sigma [1], \ dots, \ sigma [n])}$

zum formelle Summe

$oder -1], \ sigma [i+1], \ dots, \ sigma [n] \ rechts),}$

das wird als 0 angesehen, wenn ${\ displayStyle n = 0.}$ Dieses Verhalten der Generatoren führt zu einem Homomorphismus auf alle C_n folgendermaßen. Ein Element gegeben ${\ displayStyle c \ in c_ {n}}$schreibe es als Summe der Generatoren ${\ textstyle c = \ sum _ {\ sigma _ {i} \ in x_ {n}} m_ {i} \ sigma _ {i},},}$ wo ${\ displayStyle x_ {n}}$ ist der Satz von n-implexe in X und die m_i sind Koeffizienten aus dem Ring C_n ist überdacht (normalerweise Ganzzahlen, sofern nicht anders angegeben). Dann definieren

$oder$

Die Dimension der n-Th Homologie von X Es stellt sich heraus, dass es sich um die Anzahl der "Löcher" in handelt X in Dimension n. Es kann durch Putschen berechnet werden Matrix Darstellungen dieser Grenzzuordnungen in Smith Normale Form.

Singular Homology

Wenn man ein simplicial Homology -Beispiel als Modell verwendet, kann man a definieren Singular Homology für jeden topologischer Raum X. Ein Kettenkomplex für X wird definiert durch Einnahme C_n Um die freie Abelsche Gruppe (oder das freie Modul) zu sein, dessen Generatoren alle sind kontinuierlich Karten von n-Dimensional Einfaches hinein X. Die Homomorphismen ∂_n entstehen aus den Grenzkarten von Simplexen.

Gruppenhomologie

Im Zusammenfassung Algebra, man verwendet Homologie, um zu definieren abgeleitete Funktorenzum Beispiel die Torfunktionen. Hier beginnt man mit einem kovarianten additiven Fischfisch F und ein Modul X. Der Kettenkomplex für X wird wie folgt definiert: Finden Sie zuerst ein kostenloses Modul ${\ displayStyle f_ {1}}$ und ein surjektiv Homomorphismus ${\ displayStyle p_ {1}: f_ {1} \ to X.}$ Dann findet man ein kostenloses Modul ${\ displayStyle f_ {2}}$ und ein surjektiver Homomorphismus ${\ displayStyle p_ {2}: f_ {2} \ to \ ker \ links (p_ {1} \ rechts).}$ Fortsetzung auf diese Weise eine Abfolge freier Module ${\ displayStyle f_ {n}}$ und Homomorphismen ${\ displayStyle p_ {n}}$ kann definiert werden. Durch Anwenden des Funkers F Zu dieser Sequenz erhält man einen Kettenkomplex; Die Homologie ${\ displayStyle H_ {n}}$ von diesem Komplex hängt nur von davon ab F und X und ist per Definition das n-D -abgeleiteten Funkern von F, angewendet X.

Eine häufige Verwendung der Homologie der Gruppe (CO) ${\ displayStyle h^{2} (g, m)}$ist die Klassifizierung des möglichen Klassifizierens Verlängerungsgruppen E die eine gegebene enthalten G-Modul M Als ein Normale Untergruppe und haben eine Selbstverständlichkeit Quotientsgruppe G, so dass ${\ displayStyle g = e/m.}$

Andere Homologie -Theorien

Homologiefunktionen

Kettenkomplexe bilden a Kategorie: Ein Morphismus aus dem Kettenkomplex (${\ displayStyle d_ {n}: a_ {n} \ to a_ {n-1}}$) zum Kettenkomplex (${\ displayStyle e_ {n}: b_ {n} \ to b_ {n-1}}$) ist eine Sequenz von Homomorphismen ${\ displayStyle f_ {n}: a_ {n} \ to b_ {n}}$ so dass ${\ displayStyle f_ {n-1} \ circ d_ {n} = e_ {n} \ circ f_ {n}}$ für alle n. Das n-Th Homologie H_n kann als Kovariante angesehen werden Functor von der Kategorie der Kettenkomplexe bis zur Kategorie der Abelschen Gruppen (oder Module).

Wenn der Kettenkomplex vom Objekt abhängt X auf kovariante Weise (was bedeutet, dass jeder Morphismus ${\ displayStyle x \ bis y}$ induziert einen Morphismus aus dem Kettenkomplex von X zum Kettenkomplex von Y), dann ist die H_n sind kovariante Funkern aus der Kategorie, die X gehört zu der Kategorie der Abelschen Gruppen (oder Module).

Der einzige Unterschied zwischen Homologie und Kohomologie Ist das in der Kohomologie die Kettenkomplexe von a kontravariant Art und Weise auf X, und das daher die Homologiebruppen (die genannt werden Kohomologiegruppen in diesem Zusammenhang und bezeichnet von Hⁿ) bilden kontravariant Funkder aus der Kategorie, die X gehört zu der Kategorie von Abelschen Gruppen oder Modulen.

Eigenschaften

Wenn (${\ displayStyle d_ {n}: a_ {n} \ to a_ {n-1}}$) ist ein Kettenkomplex, so dass fast endlich viele A_n sind Null und die anderen sind endlich erzeugte abelsche Gruppen (oder endlichdimensionale Vektorräume), dann können wir die definieren Euler charakteristisch

${\ displayStyle \ chi = \ sum (-1)^{n} \, \ mathrm {rank} (a_ {n})}$

(Verwendung der Rang Im Fall von Abelschen Gruppen und der Hamel -Dimension Im Fall von Vektorräumen). Es stellt sich heraus, dass das Euler -Merkmal auch auf der Ebene der Homologie berechnet werden kann:

${\ displayStyle \ chi = \ sum (-1)^{n} \, \ mathrm {Rank} (H_ {n})}$

und insbesondere in der algebraischen Topologie bietet dies zwei Möglichkeiten, die wichtige Invariante zu berechnen ${\ displayStyle \ chi}$ Für das Objekt X das führte zum Kettenkomplex.

Jeder kurze genaue Sequenz

$oder$

von Kettenkomplexen führt zu a lange genaue Sequenz von Homologiegruppen

$oder } (B) \ bis h_ {n-1} (c) \ bis h_ {n-2} (a) \ to \ cdots}$

Alle Karten in dieser langen exakten Sequenz werden durch die Karten zwischen den Kettenkomplexen mit Ausnahme der Karten induziert ${\ displayStyle H_ {n} (c) \ bis H_ {n-1} (a)}$ Letztere werden genannt Homomorphismen verbinden und werden von der bereitgestellt Zick-Zack-Lemma. Diese Lemma kann auf zahlreiche Weise auf Homologie angewendet werden Relative Homologie und Mayer-Vietoris-Sequenzen.

Anwendungen

Anwendung in reiner Mathematik

Bemerkenswerte Theoreme, die mithilfe der Homologie nachgewiesen wurden, enthalten Folgendes:

• Das Brouwer Fixpunkt -Theorem: Wenn f ist eine kontinuierliche Karte aus dem Ball Bⁿ Für sich selbst gibt es dann einen Fixpunkt ${\ displayStyle a \ in b^{n}}$ mit ${\ displayStyle f (a) = a.}$
• Invarianz der Domäne: Wenn U ist ein Offene Teilmenge von ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n}}$ und ${\ displaystyle f: u \ to \ mathbb {r} ^{n}}$ ist ein injektiv kontinuierliche Karte, dann ${\ displayStyle v = f (u)}$ ist offen und f ist ein Homomorphismus zwischen U und V.
• Das Haariger Ball Theorem: Jedes kontinuierliche Vektorfeld auf der 2-Fhäre (oder allgemeiner die 2k-Sphere für jeden ${\ displayStyle K \ Geq 1}$) verschwindet irgendwann.
• Das Borsuk -ulam -Theorem: irgendein kontinuierliche Funktion von einem n-Kugel hinein Euklidisch n-Platz Karten ein paar Paare Antipodalpunkte zum gleichen Punkt. (Zwei Punkte auf einer Kugel werden als Antipodal bezeichnet, wenn sie sich in genau entgegengesetzten Richtungen von der Kugelmitte befinden.)
• Invarianz der Dimension: Wenn nicht leere Untergruppen offener Teilmengen ${\ displayStyle u \ subseteq \ mathbb {r} ^{m}}$ und ${\ displayStyle v \ subseteq \ mathbb {r} ^{n}}$ sind dann homeomorph ${\ displayStyle m = n.}$^[24]

Anwendung in Wissenschaft und Ingenieurwesen

Im Topologische Datenanalyse, Datensätze werden als als angesehen Punktwolke Probenahme eines Verteilers oder Algebraische Sorte eingebettet in Euklidischer Raum. Durch die Verknüpfung der nächsten Nachbarnpunkte in der Wolke in eine Triangulation wird eine simple -Näherung des Verteilers erzeugt und seine simple -homologische Homologie kann berechnet werden. Das Finden von Techniken zur robusten Berechnung der Homologie unter Verwendung verschiedener Triangulationsstrategien über mehrere Längenskalen ist das Thema von anhaltende Homologie.^[25]

Im SensornetzwerkeSensoren können Informationen über ein Ad-hoc-Netzwerk kommunizieren, das sich zeitlich dynamisch ändert. Um den globalen Kontext dieser lokalen Messungen und Kommunikationspfade zu verstehen, ist es nützlich, die Homologie der Homologie zu berechnen Netzwerktopologie zum Beispiel Löcher in der Berichterstattung bewerten.^[26]

Im Dynamische Systeme Theorie in PhysikPoincaré war einer der ersten, der das Zusammenspiel zwischen dem betrachtete Invariante vielfältig eines dynamischen Systems und seiner topologischen Invarianten. Morse -Theorie bezieht die Dynamik eines Gradientenflusss auf einem Verteiler beispielsweise auf seine Homologie. Floer -Homologie erweiterte dies auf unendlich-dimensionale Verteiler. Das Kam Theorem stellte das fest regelmäßige Umlaufbahnen kann komplexen Flugbahnen folgen; Insbesondere können sie sich bilden Zöpfe Das kann mit Floer -Homologie untersucht werden.^[27]

In einer Klasse von Finite -Elemente -Methoden, Grenzwertprobleme Für Differentialgleichungen, die die betreffen Hodge-Raplace-Betreiber Möglicherweise müssen beispielsweise in topologisch nicht triviale Bereiche gelöst werden elektromagnetische Simulationen. In diesen Simulationen wird die Lösung unterstützt, indem die Behebung der Fixierung unterstützt wird Kohomologieklasse der Lösung basierend auf den gewählten Randbedingungen und der Homologie der Domäne. FEM -Domänen können trianguliert werden, aus denen die simple -homologische Homologie berechnet werden kann.^[28][29]

Software

Für die Zwecke der Berechnung von Homologiegruppen von Finite -Cell -Komplexen wurden verschiedene Softwarepakete entwickelt. Linbox ist ein C ++ Bibliothek zur Durchführung schneller Matrixoperationen, einschließlich Smith Normale Form; Es schnitt sich mit beiden zusammen Lücke und Ahorn. Chomp, Capd :: Redhom und Perseus sind auch in C ++ geschrieben. Alle drei implementieren Vorverarbeitungalgorithmen basierend auf Einfach-Homotopie-Äquivalenz und Diskrete Morse -Theorie Durchführung von Homologie-Präsentierende Reduktionen der Eingangszellkomplexe, bevor sie auf Matrixalgebra zurückgreifen. Kenzo ist in lispend geschrieben und kann zusätzlich zur Homologie auch verwendet werden, um zu generieren Präsentationen von Homotopie Gruppen von endlichen Einfachkomplexen. GMSH Beinhaltet einen Homologie -Löser für endliche Elemente, die erzeugen können Kohomologie Basen, die direkt von Finite -Elemente -Software verwendet werden können.^[28]

Siehe auch

• Betti -Nummer
• Kreislaufraum
• De Rham -Kohomologie
• Eilenberg -Steenrod -Axiome
• Außergewöhnliche Homologie -Theorie
• Homologische Algebra
• Homologische Vermutungen in kommutativen Algebra
• Homologische Konnektivität
• Homologische Dimension
• Homotopy -Gruppe
• Künneth Theorem
• Liste der Kohomologie -Theorien - hat auch eine Liste von Homologie -Theorien
• Poincaré Dualität

Anmerkungen

Verweise

• Cartan, Henri Paul; Eilenberg, Samuel (1956). Homologische Algebra. Princeton Mathematical Series. Vol. 19. Princeton University Press. ISBN 9780674079779. OCLC 529171.
• Eilenberg, Samuel; Moore, J. C. (1965). Grundlagen der relativen homologischen Algebra. Memoiren der American Mathematical Society -Nummer. Vol. 55. American Mathematical Society. ISBN 9780821812556. OCLC 1361982.
• Gowers, Timothy; Barrow-Green, Juni; Anführer, Imre, Hrsg. (2010), Der Princeton -Begleiter der Mathematik, Princeton University Press, ISBN 9781400830398.
• Hatcher, A. (2002), Algebraische Topologie, Cambridge University Press, ISBN 0-521-79540-0. Detaillierte Diskussion von Homologie -Theorien für vereinfachende Komplexe und Verteiler, einzigartige Homologie usw.
• Hilton, Peter (1988), "Eine kurze, subjektive Geschichte der Homologie- und Homotopie -Theorie in diesem Jahrhundert", Mathematikmagazin, Mathematical Association of America, 60 (5): 282–291, doi:10.1080/0025570x.1988.11977391, JStor 2689545
• Richeson, D. (2008), Eulers Juwel: Die Polyederformel und die Geburt der Topologie, Princeton Universität.
• Spanier, Edwin H. (1966), Algebraische Topologie, Springer, p. 155, ISBN 0-387-90646-0.
• Stillwell, John (1993), Klassische Topologie und kombinatorische Gruppentheorie, Springer, doi:10.1007/978-1-4612-4372-4_6, ISBN 978-0-387-97970-0.
• Teicher, M., ed. (1999), Das Erbe von Emmy Noether, Israel Mathematical Conference Proceedings, Bar-Ilan University/American Mathematical Society/Oxford University Press, ISBN 978-0-19-851045-1, OCLC 223099225
• Weibel, Charles A. (1999), "28. Geschichte der homologischen Algebra" (PDF), in James, I. M. (Hrsg.), Geschichte der TopologieElsevier, ISBN 9780080534077.

Externe Links

• Homology Group bei Encyclopaedia of Mathematics
• [1] N.J. Windberger Intro in die algebraische Topologie, letzte sechs Vorträge mit einem einfachen Intro in die Homologie
• [2] Algebraische Topologie Allen Hatcher - Kapitel 2 über Homologie