Graphentheorie

A Zeichnung einer Grafik.

Im Mathematik, Graphentheorie ist das Studium von Grafiken, die mathematische Strukturen sind, die verwendet werden, um paarweise Beziehungen zwischen Objekten zu modellieren. Eine Grafik in diesem Zusammenhang besteht aus Eckpunkte (auch genannt Knoten oder Punkte) die durch verbunden sind durch Kanten (auch genannt Links oder Linien). Es wird zwischen Unterscheidung getroffen ungerichtete Grafiken, wo Kanten zwei Scheitelpunkte symmetrisch verknüpfen und Regie Graphen, wo Kanten zwei Scheitelpunkte asymmetrisch verknüpfen. Diagramme sind eines der Hauptstudienobjekte in Diskrete Mathematik.

Definitionen

Die Definitionen in der Graphentheorie variieren. Das Folgende sind einige der grundlegenderen Möglichkeiten, Grafiken und verwandte zu definieren Mathematische Strukturen.

Graph

Ein Diagramm mit drei Scheitelpunkten und drei Kanten.

In einem eingeschränkten, aber sehr gesunden Menschenverstand, den Begriff,^[1][2] a Graph ist ein geordnetes Paar ${\ displayStyle g = (v, e)}$ bestehend aus:

• ${\ displayStyle v}$, a einstellen von Eckpunkte (auch genannt Knoten oder Punkte);
• $oder$, a einstellen von Kanten (auch genannt Links oder Linien), welche sind ungeordnete Paare von Scheitelpunkten (dh eine Kante ist mit zwei unterschiedlichen Eckpunkten verbunden).

Um Unklarheiten zu vermeiden, kann diese Art von Objekt genau als als als Objekt bezeichnet werden Unbekanntes einfaches Diagramm.

Am Rand ${\ displayStyle \ {x, y \}}$, die Eckpunkte ${\ displayStyle x}$ und ${\ displayStyle y}$ werden als die genannt Endpunkte der Kante. Die Kante soll zu beitreten ${\ displayStyle x}$ und ${\ displayStyle y}$ und zu sein Vorfall an ${\ displayStyle x}$ und weiter ${\ displayStyle y}$. Ein Scheitelpunkt kann in einer Grafik existieren und nicht zu einer Kante gehören. Mehrere Kanten, nicht unter der obigen Definition zulässig, sind zwei oder mehr Kanten, die den gleichen zwei Scheitelpunkten verbinden.

In einem allgemeinen Sinne des Begriffs, der mehrere Kanten zulässt,^[3][4] a Graph ist ein bestelltes Triple ${\ displayStyle g = (v, e, \ phi)}$ bestehend aus:

• ${\ displayStyle v}$, a einstellen von Eckpunkte (auch genannt Knoten oder Punkte);
• ${\ displayStyle e}$, a einstellen von Kanten (auch genannt Links oder Linien);
• $oder$, ein Inzidenzfunktion Zuordnen jeder Kante zu einem ungeordnetes Paar von Scheitelpunkten (dh eine Kante ist mit zwei unterschiedlichen Eckpunkten verbunden).

Um Unklarheiten zu vermeiden, kann diese Art von Objekt genau als als als Objekt bezeichnet werden ungerichtet Multigraph.

A Schleife ist eine Kante, die sich einem Scheitelpunkt an sich selbst verbindet. Diagramme, wie in den beiden oben genannten Definitionen definiert ${\ displayStyle x}$ Für sich selbst ist die Kante (für ein ungerichtetes einfaches Diagramm) oder ist auf (für ein ungerichtes Multigraph) festgefallen) ${\ displayStyle \ {x, x \} = \ {x \}}$ das ist nicht in $oder$. Um Schleifen zuzulassen, müssen die Definitionen erweitert werden. Für ungerichtete einfache Grafiken die Definition von ${\ displayStyle e}$ sollte modifiziert werden an ${\ displayStyle e \ subseteq \ {\ {x, y \} \ mid x, y \ in v \}}$. Für ungerichtete Multigraphen die Definition von ${\ displayStyle \ phi}$ sollte modifiziert werden an ${\ displayStyle \ phi: e \ to \ {\ {x, y \} \ mid x, y \ in v \}}$. Um Unklarheiten zu vermeiden, können diese Arten von Objekten aufgerufen werden ungerichtete einfache Grafik, die Schleifen erlauben und ungerichtete Multigraph, die Schleifen erlauben (manchmal auch ungerichtet Pseudograph), beziehungsweise.

${\ displayStyle v}$ und ${\ displayStyle e}$ werden normalerweise als endlich angesehen, und viele der bekannten Ergebnisse sind für unendliche Graphen nicht wahr (oder sind etwas anders) unendlicher Fall. Darüber hinaus, ${\ displayStyle v}$ wird oft als nicht leer angenommen, aber ${\ displayStyle e}$ darf das leere Set sein. Das bestellen einer Grafik ist ${\ displayStyle | v |}$, seine Anzahl der Eckpunkte. Das Größe einer Grafik ist ${\ displayStyle | e |}$, seine Anzahl der Kanten. Das Grad oder Wertigkeit Von einem Scheitelpunkt ist die Anzahl der Kanten, die ihm zugeordnet sind, wobei eine Schleife zweimal gezählt wird. Das Grad eines Diagramms ist das Maximum der Grade seiner Eckpunkte.

In einem ungerichteten einfachen Grafik der Ordnung nDer maximale Grad jedes Scheitelpunkts ist n - 1 und die maximale Größe des Diagramms ist n(n - 1)/2.

Die Kanten eines ungerichteten einfachen Diagramms zulässigen Schleifen ${\ displayStyle g}$ induzieren eine symmetrische homogene Beziehung ~ auf den Eckpunkten von ${\ displayStyle g}$ das heißt das Adjazenzbeziehung von ${\ displayStyle g}$. Insbesondere für jede Kante ${\ displayStyle (x, y)}$, seine Endpunkte ${\ displayStyle x}$ und ${\ displayStyle y}$ sollen sein benachbart zueinander, was bezeichnet wird ${\ displayStyle x}$ ~ ${\ displayStyle y}$.

Gerichteter Graph

Ein gerichtetes Diagramm mit drei Scheitelpunkten und vier gerichteten Kanten (der Doppelpfeil repräsentiert eine Kante in jeder Richtung).

A gerichteter Graph oder Digraph ist ein Diagramm, in dem Kanten Orientierungen haben.

In einem eingeschränkten, aber sehr gesunden Menschenverstand, den Begriff,^[5] a gerichteter Graph ist ein bestelltes Paar ${\ displayStyle g = (v, e)}$ bestehend aus:

• ${\ displayStyle v}$, a einstellen von Eckpunkte (auch genannt Knoten oder Punkte);
• $oder$, a einstellen von Kanten (auch genannt gerichtete Kanten, gerichtete Links, Regielinien, Pfeile oder Bögen) welche sind bestellte Paare von Scheitelpunkten (dh eine Kante ist mit zwei unterschiedlichen Eckpunkten verbunden).

Um Unklarheiten zu vermeiden, kann diese Art von Objekt genau a bezeichnet werden Direktes einfaches Diagramm.

Am Rand ${\ displayStyle (x, y)}$ Regie von ${\ displayStyle x}$ zu ${\ displayStyle y}$, die Eckpunkte ${\ displayStyle x}$ und ${\ displayStyle y}$ werden als die genannt Endpunkte der Kante, ${\ displayStyle x}$ das Schwanz der Kante und ${\ displayStyle y}$ das Kopf der Kante. Die Kante soll zu beitreten ${\ displayStyle x}$ und ${\ displayStyle y}$ und zu sein Vorfall an ${\ displayStyle x}$ und weiter ${\ displayStyle y}$. Ein Scheitelpunkt kann in einer Grafik existieren und nicht zu einer Kante gehören. Die Kante ${\ displayStyle (y, x)}$ wird genannt umgekehrte Kante von ${\ displayStyle (x, y)}$. Mehrere Kanten, nicht unter der obigen Definition zulässig, sind zwei oder mehr Kanten sowohl mit demselben Schwanz als auch mit demselben Kopf.

In einem allgemeinen Sinne des Begriffs, der mehrere Kanten zulässt,^[5] a gerichteter Graph ist ein bestelltes Triple ${\ displayStyle g = (v, e, \ phi)}$ bestehend aus:

• ${\ displayStyle v}$, a einstellen von Eckpunkte (auch genannt Knoten oder Punkte);
• ${\ displayStyle e}$, a einstellen von Kanten (auch genannt gerichtete Kanten, gerichtete Links, Regielinien, Pfeile oder Bögen);
• $oder }}$, ein Inzidenzfunktion Zuordnen jeder Kante zu einem geordnetes Paar von Scheitelpunkten (dh eine Kante ist mit zwei unterschiedlichen Eckpunkten verbunden).

Um Unklarheiten zu vermeiden, kann diese Art von Objekt genau a bezeichnet werden Regissed Multigraph.

A Schleife ist eine Kante, die sich einem Scheitelpunkt an sich selbst verbindet. Regiegrafische Diagramme, die in den beiden obigen Definitionen definiert sind ${\ displayStyle x}$ Für sich selbst ist die Kante (für ein gerichtetes einfaches Diagramm) oder ist auf (für einen gerichteten Multigraph) festgefallen) ${\ displayStyle (x, x)}$ das ist nicht in $oder$. Um Schleifen zuzulassen, müssen die Definitionen erweitert werden. Für gerichtete einfache Grafiken die Definition von ${\ displayStyle e}$ sollte modifiziert werden an $oder$. Für gerichtete Multigraphen die Definition von ${\ displayStyle \ phi}$ sollte modifiziert werden an $oder$. Um Unklarheiten zu vermeiden, können diese Arten von Objekten genau a bezeichnet werden Regie Directed Simple Graph, die Schleifen erlauben und ein Regie als Multigraph -Genehmigungsschleifen (oder ein Köcher) beziehungsweise.

Die Kanten eines gerichteten einfachen Diagramms zulässigen Schleifen ${\ displayStyle g}$ ist ein homogene Beziehung ~ auf den Eckpunkten von ${\ displayStyle g}$ das heißt das Adjazenzbeziehung von ${\ displayStyle g}$. Insbesondere für jede Kante ${\ displayStyle (x, y)}$, seine Endpunkte ${\ displayStyle x}$ und ${\ displayStyle y}$ sollen sein benachbart zueinander, was bezeichnet wird ${\ displayStyle x}$ ~ ${\ displayStyle y}$.

Anwendungen

Das von Wikipedia Editors (Kanten) gebildete Netzwerkdiagramm, das zu verschiedenen Wikipedia -Sprachversionen (Scheitelpunkten) während eines Monats im Sommer 2013 beiträgt.^[6]

Diagramme können verwendet werden, um viele Arten von Beziehungen und Prozessen in physikalischer, biologischer,^[7][8] Soziale und Informationssysteme.^[9] Viele praktische Probleme können durch Grafiken dargestellt werden. Betonung ihrer Anwendung auf reale Systeme, den Begriff Netzwerk wird manchmal definiert, um einen Diagramm zu bedeuten, in dem Attribute (z. B. Namen) den Eckpunkten und Kanten zugeordnet sind, und das Subjekt, das reale Systeme als Netzwerk ausdrückt und versteht Netzwerkwissenschaft.

Informatik

Der Zweig von Informatik bekannt als Datenstrukturen Verwendet Diagramme, um Netzwerke der Kommunikation, Datenorganisation, Computergeräte, den Berechnungsfluss usw. darzustellen Webseite kann durch ein gerichteter Diagramm dargestellt werden, in dem die Eckpunkte Webseiten und gerichtete Kanten darstellen Links von einer Seite zur anderen. Ein ähnlicher Ansatz kann zu Problemen in den sozialen Medien verfolgt werden.^[10] Reisen, Biologie, Computerchipdesign, Abbildung des Fortschreitens von neuro-degenerativen Erkrankungen,^[11][12] und viele andere Felder. Die Entwicklung von Algorithmen Grafiken zu behandeln, ist daher von großem Interesse an Informatik. Das Transformation von Graphen wird oft formalisiert und dargestellt durch Graph -Umschreiben von Systemen. Ergänzend zu Graphtransformation Systeme, die sich auf regelbasierte In-Memory-Manipulation von Grafiken konzentrieren, sind Grafikdatenbanken ausgerichtet auf Transaktion-sicher, hartnäckig Speichern und Abfragen von Graph-strukturierte Daten.

Linguistik

Graphentheoretische Methoden in verschiedenen Formen haben sich als besonders nützlich erwiesen in Linguistik, da sich die natürliche Sprache oft gut für diskrete Struktur eignet. Traditionell, Syntax und kompositorische Semantik folgen baumbasierte Strukturen, deren Ausdruckskraft in der liegt Prinzip der Kompositionalität, modelliert in einer hierarchischen Grafik. Zeitgenössische Ansätze wie kopfgetriebene Phrasenstruktur Grammatik Modellieren Sie die Syntax der natürlichen Sprache mithilfe Typisierte Merkmalsstrukturen, welche sind Regie acyclische Graphen. Innerhalb lexikalische SemantikDas Modellierungswort Bedeutung ist insbesondere dann einfacher, wenn ein bestimmtes Wort in Bezug auf verwandte Wörter verstanden wird. Semantische Netzwerke sind daher wichtig in Computerlinguistik. Dennoch andere Methoden in der Phonologie (z. Optimalitätstheorie, was verwendet Gitterdiagramme) und Morphologie (z. B. Morphologie des Finite-Zustands, verwendet, Finite-State-Wandler) sind bei der Analyse der Sprache als Diagramm üblich. In der Tat hat die Nützlichkeit dieses Gebiets der Mathematik zur Linguistik Organisationen wie gezielt getragen Textgraphensowie verschiedene "Netz" -Projekte wie z. Wordnet, Verbnet, und andere.

Physik und Chemie

Die Graphentheorie wird auch verwendet, um Moleküle in zu untersuchen Chemie und Physik. Im Physik der kondensierten MaterieDie dreidimensionale Struktur komplizierter simulierter Atomstrukturen kann quantitativ untersucht werden, indem Statistiken zu graphentheoretischen Eigenschaften im Zusammenhang mit der Topologie der Atome gesammelt werden. Auch die Feynman -Grafiken und Berechnungsregeln zusammenfassen Quantenfeldtheorie In einem Formular in engem Kontakt mit den experimentellen Zahlen möchte man verstehen. "^[13] In der Chemie ist ein Diagramm ein natürliches Modell für ein Molekül, in dem sich Scheitelpunkte darstellen Atome und Kanten Fesseln. Dieser Ansatz wird speziell bei der Computerverarbeitung molekularer Strukturen verwendet Chemische Herausgeber zur Datenbanksuche. Im Statistische PhysikDiagramme können lokale Verbindungen zwischen interagierenden Teilen eines Systems und der Dynamik eines physischen Prozesses auf solchen Systemen darstellen. In ähnlicher Weise in Rechenneurowissenschaften Diagramme können verwendet werden, um funktionelle Verbindungen zwischen Gehirnbereichen darzustellen, die interagieren, um verschiedene kognitive Prozesse zu entwickeln, bei denen die Eckpunkte verschiedene Bereiche des Gehirns und die Kanten die Verbindungen zwischen diesen Bereichen darstellen. Die Graphentheorie spielt eine wichtige Rolle bei der elektrischen Modellierung elektrischer Netzwerke. Hier sind Gewichte mit dem Widerstand der Drahtsegmente verbunden, um elektrische Eigenschaften von Netzwerkstrukturen zu erhalten.^[14] Diagramme werden auch verwendet, um die Mikroskala-Kanäle von darzustellen poröses Material, in dem die Eckpunkte die Poren darstellen und die Kanten die kleineren Kanäle darstellen, die die Poren verbinden. Chemische Graphentheorie verwendet die Molekulargrafik als Mittel zum Modellieren von Molekülen. Diagramme und Netzwerke sind hervorragende Modelle, um Phasenübergänge und kritische Phänomene zu untersuchen und zu verstehen. Die Entfernung von Knoten oder Kanten führt zu einem kritischen Übergang, bei dem das Netzwerk in kleine Cluster einbricht, was als Phasenübergang untersucht wird. Dieser Zusammenbruch wird durch untersucht Perkolationstheorie.^[15]

Sozialwissenschaften

Graphentheorie in der Soziologie: Moreno Soziogramm (1953).^[16]

Die Graphentheorie wird auch in großer Bedeutung in Soziologie zum Beispiel zum Beispiel zu Messen Sie das Prestige der Akteure oder zu erkunden Gerüchte ausbreiteninsbesondere durch die Verwendung von Analyse des sozialen Netzwerks Software. Unter dem Dach der sozialen Netzwerke befinden sich viele verschiedene Arten von Grafiken.^[17] Bekanntschafts- und Freundschaftsgrafiken beschreiben, ob sich die Menschen kennen. Beeinflussen Sie Grafiken Modell, ob bestimmte Personen das Verhalten anderer beeinflussen können. Schließlich modellieren sich die Kollaboration, ob zwei Personen auf eine bestimmte Weise zusammenarbeiten, z. B. zusammen in einem Film zusammenzugehen.

Biologie

Ebenso ist die Graphentheorie nützlich in Biologie und Erhaltungsbemühungen, bei denen ein Scheitelpunkt Regionen darstellen kann, in denen bestimmte Arten existieren (oder bewohnt) und die Kanten Migrationspfade oder Bewegung zwischen den Regionen darstellen. Diese Informationen sind wichtig, wenn Sie die Zuchtmuster betrachten oder die Ausbreitung von Krankheiten, Parasiten oder wie Änderungen an der Bewegung andere Arten beeinflussen können.

Grafiken werden auch häufig in verwendet Molekularbiologie und Genomik Datensätze mit komplexen Beziehungen zu modellieren und zu analysieren. Zum Beispiel werden graphbasierte Methoden häufig verwendet, um Zellen zu Zelltypen in zusammenzuklusten Einzelzelltranskriptomanalyse. Eine andere Verwendung besteht darin, Gene oder Proteine ​​in a zu modellieren Weg und untersuchen die Beziehungen zwischen ihnen, wie Stoffwechselwege und Genregulierungsnetzwerke.^[18] Evolutionsbäume, ökologische Netzwerke und hierarchische Clusterbildung von Genexpressionsmustern werden ebenfalls als Graphenstrukturen dargestellt.

Die Graphentheorie wird auch in verwendet Connectomics;^[19] Nervensysteme können als Graphen angesehen werden, bei dem die Knoten Neuronen und die Kanten die Verbindungen zwischen ihnen sind.

Mathematik

In der Mathematik sind Diagramme in der Geometrie und bestimmten Teilen der Topologie nützlich, wie z. Knotentheorie. Algebraische Graphentheorie hat enge Verbindungen mit Gruppentheorie. Die algebraische Graphentheorie wurde auf viele Bereiche angewendet, einschließlich dynamischer Systeme und Komplexität.

Andere Themen

Eine Diagrammstruktur kann erweitert werden, indem jeder Kante des Diagramms ein Gewicht zugewiesen wird. Grafiken mit Gewichten oder gewichtete Grafikenwerden verwendet, um Strukturen darzustellen, in denen paarweise Verbindungen einige numerische Werte aufweisen. Wenn beispielsweise ein Diagramm ein Straßennetz darstellt, können die Gewichte die Länge jeder Straße darstellen. Mit jeder Kante können mehrere Gewichte verbunden sein, einschließlich Entfernung (wie im vorherigen Beispiel), Reisezeit oder Geldkosten. Solche gewichteten Grafiken werden üblicherweise zum Programmieren von GPS und der Reiseplanungssuchmaschinen verwendet, die Flugzeiten und Kosten vergleichen.

Geschichte

Das Problem der Königsberg Bridge

Das Papier geschrieben von Leonhard Euler auf der Sieben Brücken von Königsberg und 1736 veröffentlicht wird als erstes Papier in der Geschichte der Graphentheorie.^[20] Dieses Papier sowie das von geschrieben von von Vandermonde auf der Ritterproblem, weitergeführt mit dem Analyse Situs eingeführt von Leibniz. Eulers Formel über die Anzahl der Kanten, Eckpunkte und Gesichter eines konvexen Polyeders wurde untersucht und durch verallgemeinert von Cauchy^[21] und L'Huilier,^[22] und repräsentiert den Beginn des Zweigs der Mathematik, bekannt als als Topologie.

Mehr als ein Jahrhundert nach Eulers Papier über die Brücken von Königsberg und während Auflistung stellte das Konzept der Topologie ein, Cayley wurde durch ein Interesse an analytischen Formen geleitet, die sich aus ergeben Differentialrechnung Um eine bestimmte Klasse von Grafiken zu untersuchen, die Bäume.^[23] Diese Studie hatte viele Auswirkungen auf theoretische Chemie. Die Techniken, die er verwendete, betrifft hauptsächlich die Aufzählung von Graphen mit bestimmten Eigenschaften. Die auflistende Graphentheorie ergab sich dann aus den Ergebnissen von Cayley und den grundlegenden Ergebnissen, die von veröffentlicht wurden Pólya zwischen 1935 und 1937. Diese wurden durch verallgemeinert durch De bruijn 1959 verband Cayley seine Ergebnisse mit Bäumen mit zeitgenössischen Studien zur chemischen Zusammensetzung.^[24] Die Verschmelzung von Ideen aus der Mathematik mit denen aus Chemie begann das, was Teil der Standardterminologie der Graphentheorie geworden ist.

Insbesondere der Begriff "Graph" wurde von eingeführt von Sylvester in einer Zeitung, die 1878 in veröffentlicht wurde Natur, wo er eine Analogie zwischen "quantischen Invarianten" und "Co-Varianten" von Algebra- und Molekulardiagrammen zeichnet:^[25]

"[...] Jeder invariante und ko-variante wird somit durch a Graph präzise identisch mit a Kekuléan Diagramm oder Chemikographie. […] Ich gebe eine Regel für die geometrische Multiplikation von Graphen. d.h. zum Bau a Graph zum Produkt von In- oder Co-Varianten, deren getrennte Grafiken angegeben sind. […] "(Kursivschrift wie im Original).

Das erste Lehrbuch in der Grafikentheorie wurde von geschrieben von Dénes kőnigund 1936 veröffentlicht.^[26] Ein weiteres Buch von Frank Harary, veröffentlicht 1969, wurde "weltweit als endgültiges Lehrbuch zu diesem Thema" betrachtet.^[27] und ermöglichte Mathematiker, Chemiker, Elektroingenieure und Sozialwissenschaftler, miteinander zu sprechen. Harary spendete alle Lizenzgebühren, um die zu finanzieren Pólya -Preis.^[28]

Eines der berühmtesten und anregendsten Probleme in der Graphentheorie ist die vier Farbprobleme: "Stimmt es, dass eine Karte, die in der Ebene gezogen wurde, ihre Regionen mit vier Farben färben kann, so dass zwei Regionen mit einem gemeinsamen Rand unterschiedliche Farben haben?" Dieses Problem wurde zuerst von gestellt Francis Guthrie Im Jahr 1852 und sein erstes schriftliches Protokoll befindet sich in einem Brief von De Morgan adressiert an Hamilton das selbe Jahr. Es wurden viele falsche Beweise vorgeschlagen, einschließlich der von Cayley, Kempe, und andere. Die Studie und die Verallgemeinerung dieses Problems durch Tait, Heawood, Ramsey und Hadwiger führte zur Untersuchung der Farben der Diagramme, die auf Oberflächen mit willkürlicher Weise eingebettet sind Gattung. Taits Neuformulierung führte zu einer neuen Klasse von Problemen, die Faktorisierungsproblemebesonders untersucht von Petersen und Kőnig. Die Werke von Ramsey auf Farbfarbeln und insbesondere die Ergebnisse, die durch erzielt wurden Turán 1941 war der Ursprung eines anderen Zweigs der Graphentheorie, Extremalische Graphentheorie.

Das vier Farbproblem blieb mehr als ein Jahrhundert lang ungelöst. 1969 Heinrich Heesch veröffentlichte eine Methode zur Lösung des Problems mit Computern.^[29] Ein computergestützter Beweis, der 1976 von produziert wurde von Kenneth Appel und Wolfgang Haken macht grundlegende Verwendung des von Heesch entwickelten "Entladens" -Berießung.^[30][31] Der Beweis bestand darin, die Eigenschaften von 1.936 Konfigurationen nach Computer zu überprüfen, und wurde zu diesem Zeitpunkt aufgrund seiner Komplexität nicht vollständig akzeptiert. Ein einfacherer Beweis unter Berücksichtigung von nur 633 Konfigurationen wurde zwanzig Jahre später von gegeben Robertson, Seymour, Sanders und Thomas.^[32]

Die autonome Entwicklung der Topologie von 1860 und 1930 befruchtet die Graphentheorie zurück durch die Werke von Jordanien, Kuratowski und Whitney. Ein weiterer wichtiger Faktor der gemeinsamen Entwicklung der Graphentheorie und Topologie kam aus der Verwendung der Techniken der modernen Algebra. Das erste Beispiel für eine solche Verwendung kommt von der Arbeit des Physikers Gustav Kirchhoff, der 1845 seine veröffentlichte Kirchhoffs Schaltungsgesetze zur Berechnung der Stromspannung und aktuell in Stromkreise.

Die Einführung von probabilistischen Methoden in der Graphentheorie, insbesondere in der Untersuchung von Erdős und Rényi Von der asymptotischen Wahrscheinlichkeit der Graphenkonnektivität führte zu einem weiteren Zweig, der als bekannt als Zufällige Graphentheorie, was eine fruchtbare Quelle für graphentheoretische Ergebnisse war.

Darstellung

Eine Grafik ist eine Abstraktion von Beziehungen, die in der Natur entstehen. Daher kann es nicht an eine bestimmte Darstellung gekoppelt werden. Die Art und Weise, wie es dargestellt wird, hängt von dem Grad der Bequemlichkeit ab, die diese Darstellung für eine bestimmte Anwendung vorsieht. Die häufigsten Darstellungen sind das visuelle, bei dem normalerweise Scheitelpunkte durch Kanten gezeichnet und verbunden werden, und die Tabelle, in denen Zeilen einer Tabelle Informationen über die Beziehungen zwischen den Scheitelpunkten innerhalb des Diagramms liefern.

Visuelle: Grafikzeichnung

Diagramme werden normalerweise visuell dargestellt, indem für jeden Scheitelpunkt einen Punkt oder ein Kreis zeichnet und eine Linie zwischen zwei Scheitelpunkten zeichnet, wenn sie durch eine Kante verbunden sind. Wenn die Grafik gerichtet ist, wird die Richtung durch Zeichnen eines Pfeils angezeigt. Wenn das Diagramm gewichtet wird, wird das Gewicht am Pfeil hinzugefügt.

Eine Diagrammzeichnung sollte nicht mit dem Diagramm selbst (der abstrakten, nicht visuellen Struktur) verwechselt werden, da es verschiedene Möglichkeiten gibt, die Grafikzeichnung zu strukturieren. Alles, was zählt, ist, welche Scheitelpunkte anhand der anderen angeschlossen sind, wie viele Kanten und nicht das genaue Layout. In der Praxis ist es oft schwierig zu entscheiden, ob zwei Zeichnungen dieselbe Grafik darstellen. Abhängig von der Problemdomäne sind einige Layouts möglicherweise besser geeignet und leichter zu verstehen als andere.

Die Pionierarbeit von W. T. Tutte war sehr einflussreich zum Thema Graphenzeichnung. Unter anderem führte er die Verwendung linearer algebraischer Methoden ein, um Graphenzeichnungen zu erhalten.

Die Grafikzeichnung kann auch Probleme umfassen, die sich mit dem befassen Kreuzungsnummer und seine verschiedenen Verallgemeinerungen. Die Kreuzungszahl eines Diagramms ist die minimale Anzahl von Kreuzungen zwischen Kanten, die eine Zeichnung des Graphen in der Ebene enthalten muss. Für ein Planare GraphDie Kreuzungsnummer ist per Definition Null. Zeichnungen auf anderen Oberflächen als das Flugzeug werden ebenfalls untersucht.

Es gibt andere Techniken, um ein Diagramm von Scheitelpunkten und Kanten zu visualisieren, einschließlich Kreispackungen, Kreuzungsdiagrammund andere Visualisierungen der Adjazenzmatrix.

Tabelle: Diagrammdatenstrukturen

Die tabellarische Darstellung eignet sich gut für Computeranwendungen. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, Grafiken in einem Computersystem zu speichern. Das Datenstruktur verwendet hängt sowohl von der Grafikstruktur als auch von der ab Algorithmus Wird zur Manipulation des Diagramms verwendet. Theoretisch kann man zwischen Listen- und Matrixstrukturen unterscheiden, aber in konkreten Anwendungen ist die beste Struktur häufig eine Kombination aus beiden. Listenstrukturen werden oft bevorzugt für spärliche Grafiken da sie kleinere Speicheranforderungen haben. Matrix Strukturen dagegen bieten einen schnelleren Zugriff für einige Anwendungen, können jedoch große Mengen an Speicher verbrauchen. Implementierungen von spärlichen Matrixstrukturen, die für moderne parallele Computerarchitekturen effizient sind, sind ein Gegenstand der aktuellen Untersuchung.^[33]

Listenstrukturen enthalten die Kantenlisteeine Reihe von Eckpunktpaaren und die Adjazenzliste, die die Nachbarn jedes Scheitelpunkts separat auflistet: Ähnlich wie die Kantenliste, hat jeder Scheitelpunkt eine Liste, von der sie sich angrenzt.

Matrixstrukturen umfassen die Inzidenzmatrix, eine Matrix von 0 und 1, deren Zeilen Scheitelpunkte darstellen und deren Spalten Kanten darstellen, und die Adjazenzmatrix, in denen sowohl die Zeilen als auch die Spalten durch Scheitelpunkte indiziert werden. In beiden Fällen gibt A 1 zwei benachbarte Objekte an und ein 0 zeigt zwei nicht adjaziente Objekte an. Das Gradmatrix Zeigt den Grad der Eckpunkte an. Das Laplace -Matrix ist eine modifizierte Form der Adjazenzmatrix, die Informationen über die enthält Grad der Eckpunkte und ist in einigen Berechnungen nützlich, z. Kirchhoffs Theorem auf die Anzahl der Bäume überspannen einer Grafik. Das Entfernungsmatrix, wie die Adjazenzmatrix, hat sowohl ihre Zeilen als auch die Spalten von Scheitelpunkten indiziert, aber anstatt eine 0 oder eine 1 in jeder Zelle zu enthalten, enthält sie die Länge von a kürzester Weg zwischen zwei Eckpunkten.

Probleme

Aufzählung

Es gibt eine große Literatur zu Grafische Aufzählung: Das Problem des Zählens von Graphen, die angegebene Bedingungen erfüllen. Einige dieser Arbeiten finden sich in Harary und Palmer (1973).

Subgraphen, induzierte Subgraphen und Minderjährige

Ein häufiges Problem, das genannt wird Problem mit Subgraphisomorphismus, findet eine feste Grafik als Untergraph in einer gegebenen Grafik. Ein Grund, an einer solchen Frage interessiert zu sein, ist, dass viele viele Grapheigenschaften sind erblich Für Untergraphen, was bedeutet, dass eine Grafik die Eigenschaft hat, wenn und nur wenn alle Untergraphen sie auch haben. Leider ist es oft eine, maximale Untergraphen einer bestimmten Art zu finden NP-Complete-Problem. Zum Beispiel:

• Das Finden des größten vollständigen Untergraphen wird als die genannt Clique Problem (NP-Complete).

Ein Sonderfall von Subgraphisomorphismus ist der Graph Isomorphismus Problem. Es wird gefragt, ob zwei Diagramme isomorph sind. Es ist nicht bekannt, ob dieses Problem NP-Vervollständigung ist oder ob es in Polynomzeit gelöst werden kann.

Ein ähnliches Problem ist das Finden induzierte Subgraphen in einer gegebenen Grafik. Wiederum sind einige wichtige Grapheneigenschaften in Bezug auf induzierte Subgraphen erblich, was bedeutet, dass eine Grafik nur dann eine Eigenschaft hat, wenn alle induzierten Subgraphen sie auch haben. Das Finden maximaler induzierter Subgraphen einer bestimmten Art ist auch häufig NP-Vervollständigung. Zum Beispiel:

• Finden Sie den größten, zücktenlosen induzierten Subgraphen oder unabhängiger Satz wird genannt Unabhängiges Problem (NP-Complete).

Noch ein solches Problem, das geringfügige Containment -Problem, besteht darin, eine feste Grafik als Minderjährige eines bestimmten Diagramms zu finden. EIN unerheblich oder die Subkontraktion eines Diagramms ist ein Diagramm, das durch Einnahme eines Untergraphen und Vertragsrandes (oder keine) Kanten erhalten wird. Viele Grafikeigenschaften sind für Minderjährige erblich, was bedeutet, dass eine Grafik eine Eigenschaft hat, wenn alle Minderjährigen sie auch haben. Zum Beispiel, Wagners Theorem Zustände:

• Ein Diagramm ist Planar Wenn es als Minderjähriger weder das enthält Komplette zweigliedrige Grafik K_3,3 (Siehe Drei-Kottage-Problem) noch die vollständige Grafik K₅.

Ein ähnliches Problem, das Problem der Unterabteilung Unterteilung einer bestimmten Grafik. EIN Unterteilung oder Homomorphismus eines Diagramms ist ein Diagramm, das durch Unterteilen einiger (oder keine) Kanten erhalten wird. Die Unterteilung der Unterteilung bezieht sich auf Grafikeigenschaften wie z. Planarität. Zum Beispiel, Kuratowskis Theorem Zustände:

• Ein Diagramm ist Planar Wenn es als Unterteilung enthält und auch die Komplette zweigliedrige Grafik K_3,3 Noch der Komplette Graph K₅.

Ein weiteres Problem bei der Unterteilung der Unterteilung ist das Kelmans -seymour -Vermutung:

• Jeder 5-Vertex-verbunden Grafik, das nicht ist Planar enthält ein Unterteilung des 5-rottenx Komplette Graph K₅.

Eine andere Klasse von Problemen hat mit dem Ausmaß zu tun, in dem verschiedene Arten und Verallgemeinerungen von Graphen durch ihre bestimmt werden Point-Deleted-Untergraphen. Zum Beispiel:

• Das Rekonstruktion Vermutung

Grafikfarbe

Viele Probleme und Theoreme in der Graphentheorie haben mit verschiedenen Arten des Färbens zu tun. In der Regel ist man daran interessiert, ein Diagramm zu färben, damit keine zwei benachbarten Scheitelpunkte die gleiche Farbe oder mit anderen ähnlichen Einschränkungen haben. Man kann auch in Betracht ziehen, Kanten zu färben (möglicherweise, damit keine zwei überfälligen Kanten dieselbe Farbe haben) oder andere Variationen. Zu den berühmten Ergebnissen und Vermutungen in Bezug auf Grafikfarbe gehören Folgendes:

• Vierfarbiger Theorem
• Starker perfekter Diagrammsatz
• ERDős -Faber -Lovász -Vermutung (ungelöst)
• Gesamtfärbung Vermutung, auch genannt BehzadVermutung (ungelöst)
• Listen Sie die Farbvermutung auf (ungelöst)
• Hadwiger -Vermutung (Graphentheorie) (ungelöst)

Abhängigkeit und Vereinigung

Einschränkungsmodellierungstheorien betreffen Familien von gerichteten Graphen, die von a zusammenhängen Teilreihenfolge. In diesen Anwendungen werden Diagramme nach Spezifität geordnet, was bedeutet, dass eingeschränktere Diagramme - die spezifischer sind und somit eine größere Menge an Informationen enthalten - von den allgemeineren Subsmen subsumiert werden. Die Operationen zwischen Grafiken umfassen die Bewertung der Richtung einer Subsums -Beziehung zwischen zwei Diagrammen, wenn überhaupt, und die Vereinigung von Graphen. Die Vereinigung von zwei Argumentgraphen ist definiert als der allgemeinste Diagramm (oder die Berechnung davon), die mit den Eingängen übereinstimmt (d. H. Enthält alle Informationen), wenn ein solches Diagramm vorhanden ist; Effiziente Vereinigungalgorithmen sind bekannt.

Für Einschränkungen, die streng streng sind ZusammensetzungDie Diagrammvereinigung ist die ausreichende Erfüllbarkeit und Kombinationsfunktion. Bekannte Anwendungen umfassen automatischer Theorem -Beweis und modellieren die Ausarbeitung der sprachlichen Struktur.

Routenprobleme

• Hamiltonian Path Problem
• Minimum Spanning Tree
• Routeninspektionsproblem (auch als "chinesisches Postmanproblem" bezeichnet)
• Sieben Brücken von Königsberg
• Kürzestes Pfadproblem
• Steinerbaum
• Drei-Kottage-Problem
• Problem mit reisenden Verkäufern (Np-hard)

Netzwerkfluss

Es gibt zahlreiche Probleme, die sich insbesondere aus Anwendungen ergeben, die mit verschiedenen Vorstellungen von zu tun haben fließt in Netzwerken, zum Beispiel:

• Max Flow Min Cut -Theorem

Sichtbarkeitsprobleme

• Museumsschutzproblem

Probleme abdecken

Probleme abdecken in Diagrammen können sich auf verschiedene beziehen Deckungsprobleme festlegen auf Teilmengen von Scheitelpunkten/Subgraphen.

• Dominierender Satz Das Problem ist der Sonderfall von Set -Deckungsproblemen, bei dem die Sets geschlossen sind Nachbarschaften.
• Scheitelpunktabdeckungsproblem ist der Sonderfall von Set Cover -Problem, bei dem Sätze abdecken, die alle Kanten sind.
• Das ursprüngliche Set -Cover -Problem, das auch als Schlagset bezeichnet wird, kann als Scheitelpunktabdeckung in einem Hypergraph beschrieben werden.

Zersetzungsprobleme

Die Zersetzung, definiert als Partitionation des Kantensatzes eines Diagramms (mit so vielen Scheitelpunkten, die die Kanten jedes Teils der Partition begleiten), hat eine Vielzahl von Fragen. Oft besteht das Problem darin, einen Diagramm in Subgraphen isomorph zu einem festen Graphen zu zerlegen. Zum Beispiel ein vollständiges Diagramm in Hamiltonsche Zyklen zerlegt. Andere Probleme geben eine Familie von Graphen an, in die ein bestimmtes Diagramm zersetzt werden sollte, z. B. eine Familie von Zyklen oder eine vollständige Grafik zersetzen K_n hinein n - 1 angegebene Bäume mit 1, 2, 3, ..., n - 1 Kanten.

Einige spezifische untersuchte Zersetzungsprobleme sind:

• Arborizität, eine Zersetzung in so wenige Wälder wie möglich
• Zyklus -Doppelabdeckung, eine Zersetzung in eine Sammlung von Zyklen, die jede Kante genau zweimal bedecken
• Kantenfarbe, eine Zersetzung in so wenige Übereinstimmungen wie möglich
• Grafikfaktorisierung, eine Zersetzung von a Regelmäßige Grafik in regelmäßige Untergraphen gegebener Grad

Grafikklassen

Viele Probleme beinhalten die Charakterisierung der Mitglieder verschiedener Grafiken. Einige Beispiele für solche Fragen finden Sie unten:

• Aufzählung die Mitglieder einer Klasse
• Charakterisierung einer Klasse in Bezug auf Verbotene Unterstrukturen
• Ermittlung von Beziehungen zwischen Klassen (z. B. bedeutet eine Eigenschaft von Graphen eine andere)
• Effizient finden Algorithmen zu sich entscheiden Mitgliedschaft in einer Klasse
• Finden Darstellungen Für Mitglieder einer Klasse

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

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• Harary, Frank (1969). Graphentheorie. Lesen, Massachusetts: Addison-Wesley.
• Harary, Frank; Palmer, Edgar M. (1973). Grafische Aufzählung. New York, New York: Akademische Presse.
• Mahadev, N. V. R.; Peled, Uri N. (1995). Schwellengrafiken und verwandte Themen. Nordholland.
• Newman, Mark (2010). Netzwerke: Eine Einführung. Oxford University Press.
• Kepner, Jeremy; Gilbert, John (2011). Graphalgorithmen in der Sprache der linearen Algebra. Philadelphia, Pennsylvania: Siam. ISBN 978-0-898719-90-1.

Externe Links

• "Graphentheorie", Enzyklopädie der Mathematik, EMS Press, 2001 [1994]
• Graphentheorie -Tutorial
• Eine durchsuchbare Datenbank mit kleinen verbundenen Graphen
• Bildgalerie: Grafiken Bei der Wayback -Maschine (Archiviert am 6. Februar 2006)
• Präzise, ​​kommentierte Liste der Graphentheorieressourcen für Forscher
• ROCs - Eine Graphentheorie IDE
• Das soziale Leben der Router -Nichttechnisches Papier, in dem Diagramme von Menschen und Computern diskutiert werden
• Graphentheorie -Software - Tools zum Unterrichten und Lernen der Graphentheorie
• Online -Bücher und Bibliotheksressourcen in Ihrer Bibliothek und in anderen Bibliotheken zur Graphentheorie
• Eine Liste von Graph -Algorithmen mit Referenzen und Links zu Grafikbibliotheksimplementierungen

Online -Lehrbücher

• Phasenübergänge bei kombinatorischen Optimierungsproblemen, Abschnitt 3: Einführung in Grafiken (2006) von Hartmann und Weigt
• Digraphen: Theoriealgorithmen und Anwendungen 2007 von Jorgen Bang-Jensen und Gregory Gutin
• Graphentheorie von Reinhard Diestel