Graph minor

Im Graphentheorie, ein ungerichtete Grafik H wird als a genannt unerheblich der Grafik G wenn H kann aus gebildet werden aus G durch Löschen von Kanten und Eckpunkte und von Vertragskanten.

Die Theorie der Graph -Minderjährigen begann mit Wagners Theorem dass eine Grafik ist Planar Wenn und nur wenn seine Minderjährigen auch die beiden enthalten Komplette Graph K5 Noch der Komplette zweigliedrige Grafik K3,3.[1] Das Robertson -Seymour -Theorem impliziert, dass ein analog Verbotene geringfügige Charakterisierung existiert für jede Eigenschaft von Graphen, die durch Deletionen und Kantenkontraktionen erhalten bleiben.[2] Für jede feste Grafik HEs ist möglich zu testen, ob H ist ein Minderjähriger eines Eingangsdiagramms G in Polynomzeit;[3] Zusammen mit der verbotenen geringfügigen Charakterisierung impliziert dies, dass jede von Deletionen und Kontraktionen bewahrte Grafik in der Polynomzeit erkannt werden kann.[4]

Andere Ergebnisse und Vermutungen, an denen Minderjährige beteiligt sind, umfassen die Graph -Struktur -Theorem, nach denen die Grafiken, die nicht haben H Als Minderjähriger kann durch Kleber einfacherer Stücke gebildet werden, und Hadwigers Vermutung in Bezug auf die Unfähigkeit an Färben Sie eine Grafik zur Existenz eines großen Komplette Graph als Minderjähriger davon. Wichtige Varianten von Graph -Minderjährigen sind die topologischen Minderjährigen und Eintauchminderjährige.

Definitionen

Eine Kantenkontraktion ist eine Operation, die eine Kante aus einem Diagramm entfernt und gleichzeitig die beiden Scheitelpunkte, die sie zum Anschließen verwendet haben, gleichzeitig verschmelzen. Ein ungerichtete Grafik H ist ein Minderjähriger eines anderen ungerichteten Diagramms G wenn ein Graph isomorph zu H kann von erhalten werden von G Durch Vertrag einiger Kanten, das Löschen einiger Kanten und das Löschen einiger isolierter Scheitelpunkte. Die Reihenfolge, in der eine Abfolge solcher Kontraktionen und Deletionen durchgeführt wird G wirkt sich nicht auf die resultierende Grafik aus H.

Grafikminderer werden oft im allgemeineren Kontext von untersucht Matroid -Minderjährige. In diesem Zusammenhang ist es üblich anzunehmen, dass alle Grafiken miteinander verbunden sind, mit Selbstschleifen und Mehrere Kanten erlaubt (das heißt, sie sind es Multigraphen eher als einfache Grafiken); die Kontraktion einer Schleife und die Löschung von a Schnittkante sind verbotene Operationen. Diese Sichtweise hat den Vorteil, dass die Kantenlöschungen das verlassen Rang eines Diagramms unverändert und Randkontraktionen reduzieren den Rang immer um eins.

In anderen Kontexten (wie mit der Studie von Pseudoforests) Es ist sinnvoller, die Löschung einer Schnittkante zu ermöglichen und getrennte Graphen zu ermöglichen, aber Multigraphen zu verbieten. In dieser Variation der graphischen Minor-Theorie wird nach jeder Kantenkontraktion immer ein Diagramm vereinfacht, um seine Selbstschleife und mehrere Kanten zu beseitigen.[5]

Eine Funktion f wird als "Minor-Monotone" bezeichnet, wann immer H ist ein Minderjähriger von G, hat man f(H) ≤ f(G).

Beispiel

Im folgenden Beispiel wird Grafik H ist ein Minderjähriger der Grafik G:

H. graph H

G. graph G

Das folgende Diagramm zeigt dies. Erstens zuerst einen Untergraphen von konstruieren G Durch Löschen der gestrichelten Kanten (und des resultierenden isolierten Scheitelpunkts) und dann die graue Kante (zusammenführen der beiden Scheitelpunkte, die sie verbindet) zusammenschließen:

transformation from G to H

Haupt Ergebnisse und Vermutungen

Es ist unkompliziert zu überprüfen, ob der Diagramm Minor Beziehung Formen a Teilreihenfolge Auf den Isomorphismusklassen endlicher undirezierter Graphen: Es ist transitiv (ein Minderjähriger eines Minderjährigen von G ist ein Minderjähriger von G sich selbst) und G und H Kann nur Minderjährige voneinander sein, wenn sie isomorph sind, da ein nicht trivialer Nebenbetrieb Kanten oder Scheitelpunkte entfernt. EIN tiefes Ergebnis durch Neil Robertson und Paul Seymour gibt an, dass diese Teilreihenfolge tatsächlich a ist gut quasi ordnen: wenn ein unendlich aufführen (G1, G2,…) von endlichen Graphen wird gegeben, dann gibt es immer zwei Indizes i < j so dass Gi ist ein Minderjähriger von Gj. Eine weitere äquivalente Methode, um dies zu sagen, ist, dass alle Grafiken nur eine begrenzte Anzahl von haben können Minimale Elemente unter der kleinen Bestellung.[6] Dieses Ergebnis erwies sich als eine Vermutung, die früher als Wagners Vermutung bekannt war, danach Klaus Wagner; Wagner hatte es lange früher vermutet, aber erst 1970 veröffentlicht.[7]

Im Verlauf ihres Beweises beweisen Seymour und Robertson auch das Graph -Struktur -Theorem in dem sie für jeden festen Graphen bestimmen Hdie grobe Struktur eines Diagramms, der nicht hat H als Minderjähriger. Die Aussage des Theorems ist selbst lang und involviert, aber kurz gesagt, es wird festgestellt, dass eine solche Grafik die Struktur von a haben muss Clique-Sum von kleineren Grafiken, die auf kleine Weise aus Diagrammen modifiziert werden eingebettet auf Oberflächen von begrenzt Gattung. Somit stellt ihre Theorie grundlegende Verbindungen zwischen Graph Minderjährigen und her Topologische Einbettungen von Grafiken.[8]

Für jede Grafik H, das Einfache H-Minorfreie Grafiken müssen sein spärlichDies bedeutet, dass die Anzahl der Kanten weniger als ein konstantes Vielfachen der Anzahl der Scheitelpunkte ist.[9] Genauer gesagt, wenn H hat h Scheitelpunkte, dann ein einfaches n-Vertex einfach H-Minorfreies Diagramm kann höchstens haben Kanten und einige Kh-Minor-freie Diagramme haben mindestens so viele Kanten.[10] Also wenn H hat h Scheitelpunkte dann H-Minorfreie Grafiken haben durchschnittlich Grad und außerdem Entartung . Zusätzlich die H-Minorfreie Diagramme haben einen Separatorsatz, der dem ähnlich ist Planar -Separator -Theorem Für planare Graphen: für alle festen Hund alle n-Scheitel H-Minorfreies Diagramm GEs ist möglich, eine Teilmenge von zu finden Scheitelpunkte, deren Entfernung spaltet G in zwei (möglicherweise getrennte) Untergraphen mit höchstens 2n⁄3 Scheitelpunkte pro Untergraph.[11] Noch stärker, für alle festen H, H-Minorfreie Grafiken haben Baumbreite .[12]

Das Hadwiger -Vermutung In der Graphentheorie schlägt das vor, dass wenn eine Grafik G enthält kein kleines isomorphes isomorph Komplette Graph an k Scheitelpunkte dann G hat ein richtige Färbung mit k – 1 Farben.[13] Der Fall k = 5 ist eine Wiederholung der Vier Farbsatz. Die Hadwiger -Vermutung wurde nachgewiesen k ≤ 6,[14] ist aber im allgemeinen Fall unbekannt. Bollobás, Catlin & Erdős (1980) Nennen wir es "eines der tiefsten ungelösten Probleme in der Graphentheorie". Ein weiteres Ergebnis in Bezug auf den vierfarbigen Theorem mit Minderjährigen ist das Snark -Theorem Ankündigung von Robertson, Sanders, Seymour und Thomas, eine Stärkung des vierfarbigen Satzes, der vermutet wurde W. T. Tutte und das sagen, dass alle Bridgeleless 3-reguläre Grafik Das erfordert vier Farben in einem Kantenfarbe muss das haben Petersen Graph als Minderjähriger.[15]

Minderjährige Graphfamilien

Weitere Informationen zu Familien mit geringfügigen Graph-Familien, einschließlich einer Liste einiger: Robertson -Seymour -Theorem

Viele Familien von Graphen haben die Eigenschaft, in der sich jedes Minderjährige einer Grafik in einer Grafik befindet F ist auch in F; Eine solche Klasse soll sein geringfügig geschlossen. Zum Beispiel in jedem Planare Graph, oder irgendein Einbettung einer Grafik auf einem festen Topologische Oberflächeweder die Entfernung von Kanten noch die Kontraktion von Kanten können die erhöhen Gattung der Einbettung; Daher planaren Diagramme und die Grafiken, die in alle fixierten Oberflächenfamilien eingebettet sind.

Wenn F ist dann eine geringfügige Familie (wegen der gut quasi ordnungsbezogenen Eigenschaft von Minderjährigen) unter den Grafiken, die nicht gehören F Es gibt ein endliches Set X von kleineren minimalen Graphen. Diese Grafiken sind Verbotene Minderjährige zum F: Eine Grafik gehört zu F Wenn und nur wenn es nicht als geringfügige Grafik in enthält X. Das heißt, jede mit geringfügig geschlossene Familie F kann als Familie von charakterisiert werden X-Minorfreie Grafiken für ein endliches Set X von verbotenen Minderjährigen.[2] Das bekannteste Beispiel für eine Charakterisierung dieses Typs ist Wagners Theorem Charakterisierung der planaren Graphen als Diagramme mit keinem beiden K.5 Noch k3,3 als Minderjährige.[1]

In einigen Fällen können die Eigenschaften der Graphen in einer geringfügigen Familie eng mit den Eigenschaften ihrer ausgeschlossenen Minderjährigen verbunden sein. Zum Beispiel eine kleinere Graph-Familie F hat begrenzt Pathbreite Wenn und nur wenn seine verbotenen Minderjährigen a enthalten Wald,[16] F hat begrenzt Baumtiefe Wenn und nur wenn seine verbotenen Minderjährigen eine disjunkte Vereinigung von enthalten Pfadgrafiken, F hat begrenzt Baumbreite Wenn und nur wenn seine verbotenen Minderjährigen a enthalten Planare Graph,[17] und F hat die lokale Baumbreite begrenzt (eine funktionale Beziehung zwischen Durchmesser und Baumbreite), wenn und nur wenn seine verbotenen Minderjährigen eine enthalten Apex -Diagramm (Ein Diagramm, das durch Entfernen eines einzelnen Scheitelpunkts planar gemacht werden kann).[18] Wenn H kann in der Ebene mit nur einer einzigen Kreuzung gezeichnet werden (dh es hat es Kreuzungsnummer eins) dann der H-Minorfreie Diagramme haben einen vereinfachten Struktursatz, in dem sie als Clique-Sum von planaren Graphen und Graphen der begrenzten Baumbreite gebildet werden.[19] Zum Beispiel beides beides K5 und K3,3 überqueren die Nummer eins und wie Wagner das zeigte K5-Freie Diagramme sind genau die 3-Clique-Sums planarer Graphen und das acht Versorten Wagner graph, während K3,3-Freie Diagramme sind genau die 2-Clique-Sums von planaren Graphen undK5.[20]

Variationen

Topologische Minderjährige

Ein Graph H wird als a genannt topologischer Minderjähriger einer Grafik G wenn ein Unterteilung von H ist isomorph zu einem Untergraph von G.[21] Es ist leicht zu erkennen, dass jeder topologische Moll auch Minderjähriger ist. Das Gegenteil ist jedoch im Allgemeinen nicht wahr (zum Beispiel die Komplette Graph K5 in dem Petersen Graph ist minderjährig, aber nicht topologisch), gilt jedoch für ein Diagramm mit maximaler Grad von nicht mehr als drei.[22]

Die topologische geringfügige Beziehung ist keine gut quasi ordnungsgemäß[23] Und daher gelten das Ergebnis von Robertson und Seymour nicht für topologische Minderjährige. Es ist jedoch unkompliziert, endliche verbotene topologische geringfügige Charakterisierungen aus endlichen verbotenen Kleincharakterisierungen zu konstruieren, indem jeder Zweig ersetzt wird k ausgehende Kanten an jedem Baum an k Blätter, die mindestens zwei Einstiegungen haben.

Induzierte Minderjährige

Ein Graph H wird als ein genannt Moll induziert einer Grafik G Wenn es aus einem induzierten Untergraphen von erhalten werden kann G durch Vertragskanten. Andernfalls, G wird gesagt, dass H-induziert minderfrei.[24]

Moll eintauchen

Eine Grafikoperation genannt Heben ist zentral in einem Konzept genannt Eintauchen. Das Heben ist eine Operation an benachbarten Kanten. Mit drei Eckpunkten v, u, und w, wo (v, u) und (u, w) sind Kanten in der Grafik, das Heben von vuwoder gleichwertig (v, u), (u, w) ist der Betrieb, der die beiden Kanten löscht (v, u) und (u, w) und fügt die Kante hinzu (v, w). Für den Fall wo (v, w) war schon anwesend, v und w wird nun mit mehr als einer Kante verbunden, und daher ist dieser Vorgang von sich aus ein Multi-Graph-Operation.

In dem Fall, in dem eine Grafik H kann aus einer Grafik erhalten werden G durch eine Folge von Hebevorgängen (auf G) und dann einen isomorphen Untergraphen zu finden, sagen wir das H ist ein Immersionsmoll von G. Es gibt noch eine andere Möglichkeit, Eintauchminderjährige zu definieren, was dem Hebebetrieb entspricht. Wir sagen das H ist ein Immersionsmoll von G Wenn es eine Injektivzuordnung von Scheitelpunkten in gibt H Scheitelpunkte in G wo die Bilder benachbarter Elemente von H sind in Verbindung in G durch Edge-Disjoint-Pfade.

Die Immersion-Moll-Beziehung ist ein gut quasi ordentlicher Bestand an den endlichen Graphen, und daher gilt das Ergebnis von Robertson und Seymour für Eintauchminderjährige. Dies bedeutet außerdem, dass jede mit Immersion mit geringfügig geschlossene Familie durch eine endliche Familie verbotener Eintauchminderjähriger gekennzeichnet ist.

Im Grafikzeichnung, Eintauchminderjährige entstehen als die Planarisationen von Nicht planare Graphen: Aus einer Zeichnung eines Diagramms in der Ebene mit Kreuzungen kann man ein Immersionsmoll bilden, indem jeder Kreuzungspunkt durch einen neuen Scheitelpunkt ersetzt wird und dabei auch jede Kreuzung in einen Pfad unterteilt. Auf diese Weise können Zeichnungsmethoden für planare Graphen auf nicht-planare Graphen erweitert werden.[25]

Flache Minderjährige

A Moll flach einer Grafik G ist ein Minderjähriger, in dem die Kanten von G die zu einer Nebenform ausgewählt wurden, um eine Sammlung von disjunkten Untergraphen mit niedrig Durchmesser. Flache Minderjährige interpolieren zwischen den Theorien von Graph -Minderjährigen und Subgraphen, in diesen flachen Minderjährigen mit hoher Tiefe übereinstimmen mit der üblichen Art von Graph, während die flachen Minderjährigen mit Tiefe Null genau die Subgraphen sind.[26] Sie ermöglichen es auch, dass die Theorie der Graph -Minderjährigen auf Klassen von Grafiken wie die erweitert wird 1-planare Graphen das sind nicht geschlossen, wenn es darum geht, Minderjährige zu nehmen.[27]

Paritätsbedingungen

Eine alternative und äquivalente Definition eines Diagramms ist das H ist ein Minderjähriger von G Wann immer die Eckpunkte von H kann durch eine Sammlung von Scheitelpunkt-Disjoint-Teilbäumen von dargestellt werden G, so dass, wenn zwei Scheitelpunkte angrenzend sind HEs gibt eine Kante mit seinen Endpunkten in den entsprechenden zwei Bäumen in G. Ein seltsamer Minderjähriger schränkt diese Definition ein, indem diese Unterbälde Paritätsbedingungen hinzufügen. Wenn H wird durch eine Sammlung von Unterbäumen von dargestellt G Wie oben, dann H ist ein seltsamer Minderjähriger von G Wann immer es möglich ist, den Eckpunkten von zwei Farben zuzuweisen G so, dass jede Kante von G Innerhalb eines Unterbaums ist richtig gefärbt (seine Endpunkte haben unterschiedliche Farben) und jede Kante von G Dies stellt eine Adjazenz zwischen zwei Teilbällen dar, die monochromatisch ist (beide Endpunkte sind die gleiche Farbe). Im Gegensatz zu den üblichen Grafikminderjährigen sind Grafiken mit verbotenen minderjährigen Minderjährigen nicht unbedingt spärlich.[28] Das Hadwiger -Vermutung, das k-Chromatic Graphen enthalten notwendigerweise k-Scheitel Komplette Diagramme als Minderjährige wurde auch aus Sicht von ungeraden Minderjährigen untersucht.[29]

Eine andere paritätsbasierte Erweiterung des Begriffs von Graph-Minderjährigen ist das Konzept eines zweipartitischen Molls, das a produziert Bipartitale Grafik Immer wenn das Startdiagramm zweivArtit ist. Ein Graph H ist ein zweipartnerer Moll einer anderen Grafik G Wann immer H kann von erhalten werden von G Durch das Löschen von Scheitelpunkten, das Löschen von Kanten und ein Zusammenbruch von Scheitelpunkten, die entlang a in der Entfernung zwei voneinander sind peripherer Zyklus der Grafik. Eine Form von Wagners Theorem Gilt für zweigliedrige Minderjährige: ein zweigliedriges Diagramm G ist ein Planare Graph Wenn und nur wenn es nicht das hat Dienstprogrammdiagramm K3,3 als zweipartner Moll.[30]

Algorithmen

Das Problem von entscheiden ob eine Grafik G enthält H als Minderjähriger ist NP-Vervollständigung im Allgemeinen; Zum Beispiel wenn, wenn H ist ein Zyklusdiagramm mit der gleichen Anzahl von Eckpunkten wie G, dann H ist ein Minderjähriger von G dann und nur dann, wenn G enthält ein Hamilton -Zyklus. Allerdings wann G ist Teil der Eingabe aber H ist festgelegt, es kann in Polynomzeit gelöst werden. Insbesondere die Laufzeit zum Testen, ob H ist ein Minderjähriger von G In diesem Fall ist O(n3), wo n ist die Anzahl der Eckpunkte in G und die Big O Notation verbirgt eine Konstante, die über die Übererexponentials abhängt H;[3] Seit dem Ergebnis der ursprünglichen Graph -Minors wurde dieser Algorithmus verbessert O(n2) Zeit.[31] Durch die Anwendung des Polynomzeitalgorithmus zum Testen, ob ein bestimmtes Diagramm eine der verbotenen Minderjährigen enthält, ist es theoretisch möglich, die Mitglieder einer geringfügigen Familie in einer geringfügigen Familie zu erkennen Polynomzeit. Dieses Ergebnis wird in der Praxis nicht verwendet, da die versteckte Konstante so groß ist (benötigt drei Schichten von Knuths Up-Arrow-Notation auszudrücken) um eine Anwendung auszuschließen und sie zu einem a zu machen Galaktischer Algorithmus.[32] Um dieses Ergebnis konstruktiv anzuwenden, ist es notwendig zu wissen, was die verbotenen Minderjährigen der Graph -Familie sind.[4] In einigen Fällen sind die verbotenen Minderjährigen bekannt oder können berechnet werden.[33]

Für den Fall wo H ist ein fest Planare Graphund dann können wir in einer linearen Zeit in einem Eingangsdiagramm testen G ob H ist ein Minderjähriger von G.[34] In Fällen, wo H ist nicht fest, schnellere Algorithmen sind in dem Fall bekannt, wo G ist planar.[35]

Anmerkungen

  1. ^ a b Lovász (2006), p. 77; Wagner (1937a).
  2. ^ a b Lovász (2006), Satz 4, p. 78; Robertson & Seymour (2004).
  3. ^ a b Robertson & Seymour (1995).
  4. ^ a b Fellows & Langston (1988).
  5. ^ Lovász (2006) ist inkonsistent darüber, ob Sie Selbstschleifen und mehrere Nebenbezirke zulassen sollen: Er schreibt über p. 76 Diese "parallele Kanten und Schleifen sind erlaubt", aber auf p. 77 Er gibt an, dass "ein Diagramm ein Wald ist, wenn es nur dann das Dreieck enthält K3 Als Minderjähriger "stimmt nur für einfache Grafiken.
  6. ^ Diestel (2005), Kapitel 12: Minderjährige, Bäume und WQO; Robertson & Seymour (2004).
  7. ^ Lovász (2006), p. 76.
  8. ^ Lovász (2006), S. 80–82; Robertson & Seymour (2003).
  9. ^ Mader (1967).
  10. ^ Kostochka (1982); Kostochka (1984); Thomason (1984); Thomason (2001).
  11. ^ Alon, Seymour & Thomas (1990); Plotkin, Rao & Smith (1994); Reed & Wood (2009).
  12. ^ Grohe (2003)
  13. ^ Hadwiger (1943).
  14. ^ Robertson, Seymour & Thomas (1993).
  15. ^ Thomas (1999); Pegg (2002).
  16. ^ Robertson & Seymour (1983).
  17. ^ Lovász (2006), Satz 9, p. 81; Robertson & Seymour (1986).
  18. ^ Eppstein (2000); Demaine & Hajiaghayi (2004).
  19. ^ Robertson & Seymour (1993); Demaine, Hajiaghayi & Thilikos (2002).
  20. ^ Wagner (1937a); Wagner (1937b); Hall (1943).
  21. ^ Diestel 2005, p. 20
  22. ^ Diestel 2005, p. 22
  23. ^ Ding (1996).
  24. ^ Błasiok et al.
  25. ^ Buchheim et al. (2014).
  26. ^ Nešetřil & Ossona de Mendez (2012).
  27. ^ Nešetřil & Ossona de Mendez (2012), S. 319–321.
  28. ^ Kawarabayashi, Ken-ichi; Reed, Bruce; Wollan, Paul (2011), "Der Graph Minor -Algorithmus mit Paritätsbedingungen", 52. jährliches IEEE -Symposium für Fundamente der Informatik, Institute of Electrical and Electronics Engineers, S. 27–36, doi:10.1109/focs.2011.52, S2CID 17385711.
  29. ^ Geelen, Jim; Gerards, Bert; Reed, Bruce; Seymour, Paul; Vetta, Adrian (2009), "Auf der ungeraden Minor-Variante der Hadwigers Vermutung", Journal of Combinatorial Theory, Serie B, 99 (1): 20–29, doi:10.1016/j.jctb.2008.03.006, HERR 2467815.
  30. ^ Chudnovsky, Maria; Kalai, Gil; Nevo, Eran; Novik, Isabella; Seymour, Paul (2016), "Bipartite Minderjährige", Journal of Combinatorial Theory, Serie B, 116: 219–228, Arxiv:1312.0210, doi:10.1016/j.jctb.2015.08.001, HERR 3425242, S2CID 14571660.
  31. ^ Kawarabayashi, Kobayashi & Reed (2012).
  32. ^ Johnson, David S. (1987). "Die NP-Completness-Spalte: Eine laufende Anleitung (Ausgabe 19)". Journal of Algorithmen. 8 (2): 285–303. Citeseerx 10.1.1.114.3864. doi:10.1016/0196-6774 (87) 90043-5.
  33. ^ Bodlaender, Hans L. (1993). "Ein Touristenführer durch Baumbreite" (PDF). Acta Cybernetica. 11: 1–21. Siehe Ende von Abschnitt 5.
  34. ^ Bodlaender, Hans L. (1993). "Ein Touristenführer durch Baumbreite" (PDF). Acta Cybernetica. 11: 1–21. Erster Absatz nach Satz 5.3
  35. ^ Adler, Iolde; Dorn, Frederic; Fomin, Fedor V.; Sau, Ignasi; Thilikos, Dimitrios M. (2012-09-01). "Schnelle geringfügige Tests in planaren Graphen" (PDF). Algorithmus. 64 (1): 69–84. doi:10.1007/s00453-011-9563-9. ISSN 0178-4617. S2CID 6204674.

Verweise

Externe Links