Georg Cantor

Georg Cantor
Georg Cantor (Porträt).jpg
Kantor, c.1910
Geboren
Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor

3. März 1845
Gestorben 6. Januar 1918 (72 Jahre alt)
Staatsangehörigkeit Deutsch
Alma Mater
Bekannt für Mengenlehre
Ehepartner (en)
Vally Guttmann
(m.1874)
Auszeichnungen Sylvester -Medaille (1904)
Wissenschaftliche Karriere
Felder Mathematik
Institutionen Universität Halle
These De aequationibus secundi gradus indeterminatis (1867)
Doktorand

Georg Ferdinand Ludwig Philipp Cantor (/ˈkæntɔːr/ Kan-Tor, Deutsch: [ˈEːɔʁk ˈfɛʁdinant ˈluːtvɪç ˈfiːlɪp ˈkantɔʁ]; 3. März [O.S. 19. Februar 1845 - 6. Januar 1918[1]) war ein Deutscher Mathematiker. Er spielte eine entscheidende Rolle bei der Schaffung von Mengenlehre, was zu einem geworden ist Grundtheorie in Mathematik. Cantor stellte die Bedeutung von Eins-zu-eins-Korrespondenz zwischen den Mitgliedern von zwei Sätzen definiert unendlich und Geordnete Setsund bewiesen, dass die reale Nummern sind zahlreicher als die natürliche Zahlen. In der Tat impliziert die Beweismethode von Cantor die Existenz eines Unendlichkeit von unendlich. Er definierte das Kardinal und Ordinal- Zahlen und ihre Arithmetik. Cantors Arbeit ist von großem philosophischen Interesse, eine Tatsache, die er sich bewusst war.[2]

Ursprünglich Cantors Theorie von Transfinite Zahlen wurde als kontraintuitiv angesehen-sogar schockierend. Dies führte dazu, Leopold Kronecker und Henri Poincaré[3] und später von Hermann Weyl und L. E. J. Brouwer, während Ludwig Wittgenstein erzogen Philosophische Einwände; sehen Kontroverse um Cantors Theorie. Cantor, ein frommer Lutheraner Christ,[4] glaubte, dass die Theorie ihm von Gott mitgeteilt worden war.[5] Etwas Christliche Theologen (im Speziellen Neo-Scholastik) sah Cantors Arbeit als Herausforderung für die Einzigartigkeit der absoluten Unendlichkeit in der Natur Gottes an[6]- Einmal gleichzeitig die Theorie der transfiniten Zahlen mit Pantheismus[7]- Ein Satz, den Cantor energisch abgelehnt hat. Es ist wichtig zu beachten Johann Baptist Franzelin akzeptierte es als gültige Theorie (nachdem Cantor einige wichtige Klarstellungen gemacht hatte).[8]

Die Einwände gegen Cantors Arbeit waren gelegentlich heftig: Leopold Kronecker"Die öffentliche Opposition und persönliche Angriffe beinhalteten die Beschreibung von Cantor als" wissenschaftlichen Charlatan ", als" Abtrünnigen "und" Korrupter der Jugend ".[9] Kronecker lehnte die Beweise von Cantor ab, dass die algebraischen Zahlen zählbar sind und dass die transzendentalen Nummern unzählige Ergebnisse sind, die jetzt in einem Standard -Mathematik -Lehrplan enthalten sind. Wittgenstein schrieb Jahrzehnte nach Cantors Tod und beklagte, dass die Mathematik "durch und durch die schädlichen Redewendungen der festgelegten Theorie gefahren sei", die er als "völliger Unsinn" entließ, das "lächerlich" und "falsch" ist.[10] Cantors wiederkehrende Depressionsanfälle von 1884 bis zum Ende seines Lebens wurden der feindlichen Haltung vieler seiner Zeitgenossen verantwortlich gemacht.[11] Obwohl einige diese Episoden als wahrscheinliche Manifestationen von a erklärt haben bipolare Störung.[12]

Die harte Kritik wurde durch spätere Auszeichnungen übereinstimmt. Im Jahr 1904 die königliche Gesellschaft Kantor ausgezeichnet Sylvester -Medaille, Die höchste Ehre, die es für die Arbeit in der Mathematik verleihen kann.[13] David Hilbert verteidigte es seine Kritiker, indem er erklärte: "Niemand soll uns aus dem Paradies auslassen, das Cantor geschaffen hat."[14][15]

Leben von Georg Cantor

Jugend und Studien

Cantor, um 1870

Georg Cantor wurde 1845 in der Western Merchant Colony von geboren Sankt PetersburgRussland und erzogen in der Stadt, bis er elf war. Cantor, der älteste von sechs Kindern, wurde als herausragender Geiger angesehen. Sein Großvater Franz Böhm (1788–1846) (der Geiger Joseph Böhm'S Bruder) war ein bekannter Musiker und Solist in einem russischen kaiserlichen Orchester.[16] Cantors Vater war Mitglied der Saint Petersburg Börse; Als er krank wurde, zog die Familie 1856 nach Deutschland, zuerst zu Wiesbaden, dann zu Frankfurtsuche mildere Winter als die von Saint Petersburg. Im Jahr 1860 schloss Cantor ihren Abschluss mit Unterscheidung von der Realschule in Darmstadt; Seine außergewöhnlichen Fähigkeiten in der Mathematik, Trigonometrie Insbesondere wurden notiert. Im August 1862 absolvierte er dann die "Höhere Gewerbeschule Darmstadt", jetzt die Technische Universität Darmstadt.[17][18] Im Jahr 1862 trat Cantor in die ein Schweizer Federal Polytechnic. Nach einem erheblichen Erbe nach dem Tod seines Vaters im Juni 1863,[19] Cantor verlagerte sein Studium auf die Universität Berlin, Teilnahme an Vorlesungen von Leopold Kronecker, Karl Weierstrass und Ernst Kummer. Er verbrachte den Sommer 1866 in der Universität Göttingendann und später ein Zentrum für mathematische Forschung. Cantor war ein guter Student, und er erhielt 1867 seinen Doktortitel.[19][20]

Lehrer und Forscher

Cantor reichte seine ein Dissertation Über die Zahl der Zahlentheorie an der Universität von Berlin im Jahr 1867. Nachdem Cantor kurz in einer Berliner Mädchenschule unterrichtet hatte, nahm sie eine Position bei der Universität Halle, wo er seine gesamte Karriere verbrachte. Er wurde mit der Voraussetzung ausgezeichnet Habilitation für seine These, auch über die Zahlentheorie, die er 1869 bei seiner Ernennung bei Halle University.[20][21]

1874 heiratete Cantor Vally Guttmann. Sie hatten sechs Kinder, das letzte (Rudolph), das 1886 geboren wurde. Cantor konnte eine Familie trotz des bescheidenen akademischen Gehalts dank seines Erbes von seinem Vater unterstützen. Während seiner Flitterwochen in der Harz -Berge, Cantor verbrachte viel Zeit in mathematischen Diskussionen mit Richard Dedekind, den er zwei Jahre zuvor im Schweizer Urlaub getroffen hatte.

Cantor wurde 1872 zum außergewöhnlichen Professor befördert und machte 1879 einen vollständigen Professor.[20][19] Der letztere Rang im Alter von 34 Jahren zu erreichen, war eine bemerkenswerte Leistung, aber Cantor wollte a Stuhl An einer prestigeträchtigeren Universität, insbesondere in Berlin, damals die führende deutsche Universität. Seine Arbeit traf jedoch zu viel Widerstand, um dies möglich zu sein.[22] Kronecker, der bis zu seinem Tod im Jahr 1891 in Berlin Mathematik leitete, fiel sich zunehmend unangenehmer mit der Aussicht, Cantor als Kollegin zu haben.[23] ihn als "Korrupter der Jugend" wahrnehmen, weil er eine jüngere Generation von Mathematikern seine Ideen beigebracht hat.[24] Schlimmer noch, Kronecker, eine gut etablierte Persönlichkeit in der mathematischen Gemeinschaft und Cantors ehemaliger Professor, war mit dem Schub von Cantors Arbeiten nicht einverstanden, seit er die Veröffentlichung der ersten großen Veröffentlichung von Cantor im Jahr 1874 absichtlich verzögerte.[20] Kronecker, jetzt als einer der Gründer der Konstruktiver Standpunkt in der Mathematik, mochte einen Großteil der festgelegten Theorie von Cantor nicht, weil sie die Existenz von Sätzen behauptete, die bestimmte Eigenschaften erfüllen, ohne spezifische Beispiele für Sets zu geben, deren Mitglieder diese Eigenschaften tatsächlich erfüllt haben. Immer wenn Cantor sich für einen Posten in Berlin beantragte, wurde er abgelehnt, und es ging normalerweise um Kronecker.[20] Deshalb glaubte Cantor, dass Kroneckers Haltung es ihm unmöglich machen würde, Halle zu verlassen.

1881 Cantors Halle -Kollege Eduard Heine starb und schuf einen freien Stuhl. Halle akzeptierte Cantors Vorschlag, dass es sich an Dedekind angeboten wird, Heinrich M. Weber und Franz Mertens, in dieser Reihenfolge, aber jeder lehnte den Stuhl ab, nachdem er ihn angeboten hatte. Friedrich Wangerin wurde schließlich ernannt, aber er war nie in der Nähe von Cantor.

Im Jahr 1882 ging die mathematische Korrespondenz zwischen Cantor und Dedekind zu Ende, anscheinend aufgrund von Dedekinds Rückgang des Stuhls in Halle.[25] Cantor begann auch eine weitere wichtige Korrespondenz mit Gösta Mittag-Leffler in Schweden und begann bald in Mittag-Lefflers Journal zu veröffentlichen Acta Mathematica. Aber 1885 war Mittag-Leffler besorgt über die philosophische Natur und neue Terminologie in einem Papier, das Kantor unterzogen hatte Acta.[26] Er bat Cantor, das Papier auszuziehen Acta Während es im Beweis war und schrieb, dass es "... ungefähr hundert Jahre zu früh" war. Cantor verfolgte, beschränkte aber dann seine Beziehung und Korrespondenz mit Mittag-Leffler und schrieb an einen Dritten, "hatte Mittag-Leffler seinen Weg, ich sollte bis zum Jahr 1984 warten müssen, was für mich eine zu große Nachfrage schien! .. aber natürlich möchte ich nie wieder etwas darüber wissen Acta Mathematica. "[27]

Cantor erlitt im Mai 1884 seinen ersten bekannten Depressionsanfall.[19][28] Kritik an seiner Arbeit belastete seine Gedanken: Jeder der zweiundfünfzig Briefe, die er 1884 an Mittag-Leffler schrieb, erwähnte Kronecker. Eine Passage aus einem dieser Buchstaben enthüllt den Schaden an Cantors Selbstvertrauen:

... Ich weiß nicht, wann ich zur Fortsetzung meiner wissenschaftlichen Arbeit zurückkehren werde. Im Moment kann ich absolut nichts damit tun und mich auf die notwendigste Pflicht meiner Vorlesungen beschränken. Wie viel glücklicher wäre ich, wissenschaftlich aktiv zu sein, wenn ich nur die notwendige geistige Frische hätte.[29]

Diese Krise veranlasste ihn, sich eher für die Vorlesung über Philosophie als für die Mathematik zu bewerben. Er begann auch eine intensive Studie von Elizabethanische Literaturzu denken, es könnte Beweise dafür geben, dass Francis Bacon schrieb die Stücke, die zugeschrieben werden William Shakespeare (sehen Shakespeare -Urheberschaftsfrage); Dies führte letztendlich zu zwei Broschüren, die 1896 und 1897 veröffentlicht wurden.[30]

Cantor erholte sich bald danach und leistete anschließend weitere wichtige Beiträge, einschließlich seiner diagonales Argument und Satz. Er erreichte jedoch nie wieder den hohen Niveau seiner bemerkenswerten Papiere von 1874 bis 1884, auch nach Kroneckers Tod am 29. Dezember 1891.[20] Er suchte schließlich eine Versöhnung mit Kronecker. Trotzdem blieben die philosophischen Meinungsverschiedenheiten und Schwierigkeiten, die sie teilen, bestehen.

Im Jahr 1889 war Cantor maßgeblich an der Gründung der Gründung der Deutsche Mathematische Gesellschaft[20] und leitete sein erstes Treffen in Halle im Jahr 1891, wo er zum ersten Mal sein diagonales Argument einführte; Sein Ruf war trotz Kroneckers Opposition gegen seine Arbeit stark genug, um sicherzustellen, dass er zum ersten Präsidenten dieser Gesellschaft gewählt wurde. Cantor lud ihn zur Feindseligkeit beiseite, die Kronecker auf ihn ausgestellt hatte, und lud ihn ein, das Treffen anzusprechen, aber Kronecker konnte dies nicht tun, weil seine Frau an einem Skiunfall zu dieser Zeit an Verletzungen starb. Georg Cantor war auch maßgeblich an der Einrichtung des ersten beteiligt Internationaler Kongress der Mathematiker, der 1897 in Zürich, Schweiz, stattfand.[20]

Spätere Jahre und Tod

Nach Cantors Krankenhausaufenthalt von 1884 gibt es keine Aufzeichnungen darüber, dass er sich in irgendeiner befand Sanatorium Wieder bis 1899.[28] Bald nach diesem zweiten Krankenhausaufenthalt starb Cantors jüngster Sohn Rudolph plötzlich am 16. Dezember (Cantor hielt einen Vortrag über seine Ansichten zu. Baconische Theorie und William Shakespeare), und diese Tragödie hat den Kantor seiner Leidenschaft für die Mathematik ausgelöst.[31] Cantor wurde 1903 erneut ins Krankenhaus eingeliefert Julius König am dritten Internationaler Kongress der Mathematiker. Das Papier versuchte zu beweisen, dass die grundlegenden Grundsätze der transfiniten festgelegten Theorie falsch waren. Seit die Zeitung vor seinen Töchtern und Kollegen gelesen worden war, nahm sich Cantor als öffentlich gedemütigt an.[32] Obwohl Ernst Zermelo Weniger als einen Tag später zeigte Königs Beweis gescheitert, Cantor blieb erschüttert und befragte einen Moment Gott.[13] Cantor litt für den Rest seines Lebens unter chronische Depressionen, für die er mehrmals vom Unterrichten von Unterricht und wiederholt auf verschiedene Sanatorien beschränkt war. Die Ereignisse von 1904 gingen in Abständen von zwei oder drei Jahren einer Reihe von Krankenhausaufenthalten voraus.[33] Er gab die Mathematik jedoch nicht vollständig auf und lehrte jedoch die Paradoxien der festgelegten Theorie (Burali-Forti Paradox, Cantors Paradoxon, und Russells Paradox) zu einem Treffen der Deutsche Mathematiker-Vereinigung 1903 und die Teilnahme des Internationalen Kongresses von Mathematikern bei Heidelberg im Jahr 1904.

1911 war Cantor einer der angesehenen ausländischen Gelehrten, die eingeladen waren, am 500. Jahrestag der Gründung des Universität St. Andrews in Schottland. Cantor nahm an und hoffte zu treffen Bertrand Russell, dessen neu veröffentlichte Principia Mathematica Wiederholt zitierte Cantors Arbeit, aber das kam nicht zustande. Im folgenden Jahr verlieh St. Andrews Cantor eine Ehrendoktoration, aber die Krankheit schloss seinen Empfang des Studiums persönlich aus.

Cantor ging 1913 in den Ruhestand, lebte in Armut und litt unter Unterernährung während Erster Weltkrieg.[34] Die öffentliche Feier seines 70. Geburtstages wurde wegen des Krieges abgesagt. Im Juni 1917 betrat er zum letzten Mal in ein Sanatorium und schrieb ständig an seine Frau, die darum bat, nach Hause zu gehen. Georg Cantor hatte am 6. Januar 1918 einen tödlichen Herzinfarkt im Sanatorium, wo er das letzte Jahr seines Lebens verbracht hatte.[19]

Mathematische Arbeit

Cantors Arbeit zwischen 1874 und 1884 ist der Ursprung von Mengenlehre.[35] Vor dieser Arbeit war das Konzept eines Satzes eine ziemlich elementare, die seit Beginn der Mathematik implizit verwendet wurde Aristoteles. Niemand hatte erkannt, dass die festgelegte Theorie nicht triviale Inhalte hatte. Vor Cantor gab es nur endliche Sets (die leicht zu verstehen sind) und "das Unendliche" (was als Thema für philosophische als für mathematische Diskussionen angesehen wurde). Indem es beweist, dass es (unendlich) viele mögliche Größen für unendliche Sets gibt, stellte Cantor fest, dass die festgelegte Theorie nicht trivial war und sie untersucht werden musste. Mengenlehre ist gekommen, um die Rolle von a zu spielen Grundtheorie in der modernen Mathematik in dem Sinne, dass es die Aussagen über mathematische Objekte (z. B. Zahlen und Funktionen) aus allen traditionellen Bereichen der Mathematik (wie z. Algebra, Analyse, und Topologie) in einer einzigen Theorie und liefert einen Standardsatz von Axiomen, um sie zu beweisen oder zu widerlegen. Die grundlegenden Konzepte der festgelegten Theorie werden jetzt in der Mathematik verwendet.[36]

In einem seiner frühesten Zeitungen,[37] Cantor hat bewiesen, dass der Satz von reale Nummern ist "zahlreicher" als der Satz von natürliche Zahlen; Dies zeigte zum ersten Mal, dass es unendliche Sätze von verschiedenen gibt Größen. Er war auch der erste, der die Bedeutung von von Bedeutung schätzte Eins-zu-eins-Korrespondenzen (im Folgenden bezeichnet "1-zu-1-Korrespondenz") in der festgelegten Theorie. Er benutzte dieses Konzept, um zu definieren endlich und Unendliche Sets, das letztere unterteilt in renumerable (oder zählich unendlich) sets und Nicht konnenerbare Sets (unzählige unendliche Sätze).[38]

Cantor entwickelte wichtige Konzepte in Topologie und ihre Beziehung zu Kardinalität. Zum Beispiel zeigte er, dass die Cantor -Set, entdeckt von Henry John Stephen Smith im Jahr 1875,[39] ist Nirgendwo dicht, hat aber die gleiche Kardinalität wie der Satz aller reellen Zahlen, während die Rationals sind überall dicht, aber zählbar. Er zeigte auch, dass alle zählbaren dichten lineare Bestellungen ohne Endpunkte sind bestellungs isomorph zum Rationale Zahlen.

Cantor führte grundlegende Konstruktionen in der festgelegten Theorie ein, wie die Leistungssatz eines Satzes A, das ist der Satz aller möglichen Untergruppen von A. Er bewies später, dass die Größe des Stromssatzes von A ist streng größer als die Größe von A, sogar wenn A ist ein unendliches Set; Dieses Ergebnis wurde bald als bekannt als Cantors Theorem. Cantor entwickelte eine ganze Theorie und Arithmetik von unendlichen Sätzen, genannt Kardinäle und Ordinale, die die Arithmetik der natürlichen Zahlen erweiterte. Seine Notation für die Kardinalnummern war der hebräische Brief (Aleph) mit einem natürlichen Zahlen -Index; Für die Ordinals verwendete er den griechischen Buchstaben ω (Omega). Diese Notation wird heute noch verwendet.

Das Kontinuumshypothese, eingeführt von Cantor, wurde von präsentiert von David Hilbert Als erste von ihm 23 offene Probleme in seiner Adresse am 1900 Internationaler Kongress der Mathematiker in Paris. Die Arbeit von Cantor zog auch über Hilberts berühmtes Encomium über eine günstige Bekanntmachung hinaus.[15] Der US -Philosoph Charles Sanders Peirce Lobte Cantors Set -Theorie und nach öffentlichen Vorträgen, die Cantor auf dem ersten internationalen Kongress der Mathematiker in Zürich gehalten hat, 1897, Adolf Hurwitz und Jacques Hadamard Auch beide drückten ihre Bewunderung aus. Auf diesem Kongress erneuerte Cantor seine Freundschaft und Korrespondenz mit Dedekind. Ab 1905 korrespondierte Cantor seinem britischen Bewunderer und Übersetzer Philip Jourdain in der Geschichte von Mengenlehre und über Cantors religiöse Ideen. Dies wurde später veröffentlicht, ebenso wie einige seiner Expository -Werke.

Zahlentheorie, trigonometrische Serien und Ordinale

Cantors erste zehn Papiere waren eingeschaltet Zahlentheorie, sein These -Thema. Auf Vorschlag von Eduard Heine, der Professor in Halle, Cantor, wandte sich an Analyse. Heine schlug vor, dass Cantor löst ein offenes Problem Das hatte sich entgangen Peter Gustav Lejeune Dirichlet, Rudolf Lipschitz, Bernhard Riemannund Heine selbst: die Einzigartigkeit der Darstellung von a Funktion durch Trigonometrische Serie. Cantor löste dieses Problem im Jahr 1869. Als er an diesem Problem arbeitete n in dem nth abgeleitete Set Sn eines Satzes S von Nullen einer trigonometrischen Serie. Mit einer trigonometrischen Serie F (x) mit S Als seine Nullen hatte Cantor ein Verfahren entdeckt, das eine weitere trigonometrische Serie produzierte, die es hatte S1 als seine Nullen, wo S1 ist der Satz von Punkte begrenzen von S. Wenn SK+1 ist der Satz von Grenzpunkten von Skund dann konnte er eine trigonometrische Serie konstruieren, deren Nullen sind SK+1. Weil die Sets Sk wurden geschlossen, sie enthielten ihre Grenzpunkte und den Schnittpunkt der unendlichen abnehmenden Sequenz von Sätzen S, S1, S2, S3, ... bildete ein Limit -Set, das wir jetzt anrufen würden Sωund dann bemerkte er das Sω müsste auch eine Reihe von Grenzpunkten haben Sω+1, usw. Er hatte Beispiele, die für immer weitergingen, und hier war eine natürlich vorkommende unendliche Sequenz von unendlichen Zahlen ω, ω+1, ω+2, ...[40]

Zwischen 1870 und 1872 veröffentlichte Cantor mehr Artikel über trigonometrische Serien und auch ein Papier, das definiert irrationale Zahlen wie Konvergente Sequenzen von Rationale Zahlen. Dedekind, mit dem sich Cantor 1872 anfreundete, zitierte dieses Papier später in diesem Jahr in der Zeitung, in der er seine berühmte Definition von realen Zahlen zum ersten Mal darlegte Dedekind schneidet. Während Cantor den Begriff der Zahl durch sein revolutionäres Konzept der unendlichen Kardinalität erweiterte, war er paradoxerweise den Theorien von Theorien gegen Infinitesimals seiner Zeitgenossen Otto Stolz und Paul du Bois-Reymond, beschreiben sie sowohl als "Greuel" als auch als "Cholera Bacillus der Mathematik".[41] Cantor veröffentlichte auch einen fehlerhaften "Beweis" der Inkonsistenz von Infinitesimals.[42]

Mengenlehre

Eine Illustration von Cantors diagonales Argument für die Existenz von unzählige Sets.[43] Die Sequenz unten kann in der unendlichen Liste der oben genannten Sequenzen nirgendwo auftreten.

Der Beginn der festgelegten Theorie als Zweig der Mathematik wird oft durch die Veröffentlichung von gekennzeichnet Cantors Papier von 1874,[35] "Ueber Ein -Eigenschaft des Inegriffes Aller Reellen Algebraschen Zahlen" ("Auf einem Eigentum der Sammlung aller realen algebraischen Zahlen").[44] Dieses Papier war das erste, das einen strengen Beweis dafür lieferte, dass es mehr als eine Art von Unendlichkeit gab. Bisher wurden alle unendlichen Sammlungen implizit angenommen äquinumisch (Das heißt, "dieselbe Größe" oder die gleiche Anzahl von Elementen).[45] Cantor hat bewiesen, dass die Sammlung realer Zahlen und die Sammlung von positiven Ganzzahlen sind nicht gleichbleibend. Mit anderen Worten, die realen Zahlen sind nicht zählbar. Sein Beweis unterscheidet sich von der diagonales Argument dass er 1891 gab.[46] Der Artikel von Cantor enthält auch eine neue Konstruktionsmethode Transzendentale Zahlen. Transzendentale Zahlen wurden zuerst von konstruiert von Joseph Liouville 1844.[47]

Cantor errichtete diese Ergebnisse mit zwei Konstruktionen. Seine erste Konstruktion zeigt, wie man das Reale schreibt Algebraische Zahlen[48] Als ein Reihenfolge a1, a2, a3Mit anderen Worten, die wirklichen algebraischen Zahlen sind zählbar. Cantor beginnt seine zweite Konstruktion mit einer Reihe realer Zahlen. Mit dieser Sequenz konstruiert er verschachtelte Intervalle Deren Überschneidung Enthält eine reelle Zahl, nicht in der Sequenz. Da jede Abfolge von reellen Zahlen verwendet werden kann, um ein reales Nicht -in der Sequenz zu konstruieren, können die realen Zahlen nicht als Sequenz geschrieben werden - dh die realen Zahlen sind nicht zählbar. Durch die Anwendung seiner Konstruktion auf die Abfolge realer algebraischer Zahlen produziert Cantor eine transzendentale Zahl. Cantor weist darauf hin, dass seine Konstruktionen mehr beweisen - nämlich einen neuen Beweis für das Theorem von Liouville: Jedes Intervall enthält unendlich viele transzendentale Zahlen.[49] Der nächste Artikel von Cantor enthält eine Konstruktion, die beweist, dass die Reihe von transzendentalen Zahlen die gleiche "Leistung" (siehe unten) wie die Realzahlen hat.[50]

Zwischen 1879 und 1884 veröffentlichte Cantor eine Reihe von sechs Artikeln in Mathematische Annalen Das bildete zusammen eine Einführung in seine festgelegte Theorie. Gleichzeitig gab es wachsende Opposition gegen Cantors Ideen, angeführt von Leopold Kronecker, der mathematische Konzepte nur dann zugab, wenn sie in einem konstruiert werden könnten endlich Anzahl der Schritte aus den natürlichen Zahlen, die er als intuitiv angegeben hatte. Für Kronecker war die Infinitätenhierarchie von Cantor unzulässig, seit er das Konzept von akzeptierte tatsächliche Unendlichkeit würde die Tür für Paradoxe öffnen, die die Gültigkeit der Mathematik als Ganzes in Frage stellen würden.[51] Cantor stellte auch die vor Cantor -Set während dieser Zeit.

Das fünfte Papier in dieser Serie ","Grundlagen Einer Allgemeinen Mannigfaltigiteilslehre " (""Grundlagen einer allgemeinen Theorie der Aggregate "), veröffentlicht 1883,[52] war der wichtigste der sechs und wurde auch als separat veröffentlicht Monographie. Es enthielt Cantors Antwort auf seine Kritiker und zeigte, wie die Transfinite Zahlen waren eine systematische Erweiterung der natürlichen Zahlen. Es beginnt mit der Definition geordnet Sets. Ordnungszahlen werden dann als Bestellarten gut geordneter Sets eingeführt. Cantor definiert dann die Zugabe und Multiplikation der Kardinal und Ordnungszahlen. 1885 erweiterte Cantor seine Theorie der Bestellentypen, so dass die Ordnungszahlen einfach zu einem Sonderfall von Auftragstypen wurden.

1891 veröffentlichte er ein Papier mit seinem eleganten "diagonalen Argument" für die Existenz eines unzähligen Satzes. Er wandte die gleiche Idee an, um zu beweisen Cantors Theorem: das Kardinalität der Leistungsmenge eines Satzes A ist streng größer als die Kardinalität von A. Dies etablierte den Reichtum der Hierarchie der unendlichen Sets und der der Kardinal und Ordinale Arithmetik Dieser Kantor hatte definiert. Sein Argument ist grundlegend für die Lösung der Halting problem und der Beweis von Gödels erster Unvollständigkeitstheorem. Cantor schrieb über die Goldbach -Vermutung 1894.

Passage von Georg Cantors Artikel mit seiner festgelegten Definition

In den Jahren 1895 und 1897 veröffentlichte Cantor ein zweiteiliges Papier in Mathematische Annalen unter Felix KleinRedaktion; Dies waren seine letzten bedeutenden Arbeiten in der Set -Theorie.[53] Das erste Papier beginnt mit der Definition von Set, Teilmengeusw. auf eine Weise, die jetzt weitgehend akzeptabel wäre. Die Kardinal- und Ordinalarithmetik werden überprüft. Cantor wollte, dass das zweite Papier einen Beweis für die Kontinuumshypothese enthielt, musste sich aber mit der Ausstellung seiner Theorie von entscheiden Geordnete Sets und Ordnungszahlen. Cantor versucht das zu beweisen, wenn A und B sind Sets mit A Äquivalent zu einer Untergruppe von B und B entspricht einer Untergruppe von A, dann A und B sind äquivalent. Ernst Schröder hatte diesen Theorem ein bisschen früher angegeben, aber sein Beweis und sein Cantors war fehlerhaft. Felix Bernstein lieferte in seiner Doktorarbeit von 1898 einen korrekten Beweis; daher der Name Cantor -Bernstein -Schwöder -Theorem.

Eins-zu-eins-Korrespondenz

Eine bijektive Funktion

Cantors 1874 Crelle Papier war der erste, der den Begriff eines 1-zu-1-Korrespondenz, obwohl er diesen Satz nicht benutzte. Dann suchte er nach einer 1-zu-1-Korrespondenz zwischen den Punkten der Punkte Einheitsquadrat und die Punkte einer Einheit Liniensegment. In einem Brief von 1877 an Richard Dedekind bewies Cantor ein weit stärker Ergebnis: Für jede positive Ganzzahl nEs gibt eine 1-zu-1 n-Dimensionaler Raum. Über diesen Discovery Cantor schrieb Cantor an Dedekind: "Je le vois, mais je ne le crois pas!"(" Ich sehe es, aber ich glaube es nicht! ")[54] Das Ergebnis, das er so erstaunlich fand, hat Auswirkungen auf die Geometrie und den Begriff von Abmessungen.

1878 reichte Cantor ein weiteres Papier an Crelle's Journal ein, in dem er genau das Konzept einer 1-zu-1-Korrespondenz definierte und den Begriff von "vorstellte"Energie"(ein Begriff, von dem er genommen hat Jakob Steiner) oder "Äquivalenz" von Mengen: Zwei Sätze sind äquivalent (haben die gleiche Leistung), wenn es eine 1-zu-1-Korrespondenz zwischen ihnen gibt. Kantor definiert Zählbare Sets (oder renumerable Sätze) als Sätze, die in eine 1-zu-1-Korrespondenz mit dem eingesetzt werden können natürliche Zahlenund bewiesen, dass die rationalen Zahlen legierbar sind. Er hat das auch bewiesen n-Dimensional Euklidischer Raum Rn hat die gleiche Kraft wie die reale Nummern R, ebenso wie ein zäher unendlich unendlich Produkt von Kopien von R. Während er als Konzept den freien Einsatz von Zählbarkeit nutzte, schrieb er erst 1883 das Wort "zählbar" Abmessungenund betonen, dass seine sein Kartierung zwischen den Einheitsintervall und das Einheitsplatz war kein kontinuierlich eines.

Dieses Papier unzufrieden Kroneecker und Cantor wollten es zurückziehen; Dedekind überredete ihn jedoch, dies nicht zu tun und Karl Weierstrass unterstützte seine Veröffentlichung.[55] Trotzdem hat Cantor Crelle nie wieder etwas eingereicht.

Kontinuumshypothese

Cantor war der erste, der formulierte, was später als das bekannt wurde Kontinuumshypothese oder CH: Es gibt keinen Satz, dessen Kraft größer ist als die der Naturals und weniger als die der Realität (oder gleichwertig, die Kardinalität der Realität ist exakt Aleph-eins und nicht nur wenigstens Aleph-eins). Cantor glaubte, dass die Kontinuumshypothese wahr und viele Jahre lang versucht wurde beweisen Es, vergeblich. Seine Unfähigkeit, die Kontinuumshypothese zu beweisen, verursachte ihm erhebliche Angst.[11]

Der Schwierigkeitsgrad, den Cantor bei der Nachweis der Kontinuumshypothese hatte, wurde durch spätere Entwicklungen im Bereich der Mathematik unterstrichen: ein Ergebnis von 1940 von 1940 von Kurt Gödel und ein 1963 von 1963 von Paul Cohen zusammen implizieren, dass die Kontinuumshypothese weder nachgewiesen noch mit Standard bewirtschaftet werden kann Zermelo -Fraenkel -Set -Theorie Plus der Axiom der Wahl (Die Kombination als "als" bezeichnet "ZFC").[56]

Absoluter unendlicher, gut ordnungsender Theorem und Paradoxe

Im Jahr 1883 teilte Cantor das Unendliche in den Transfinite und die absolut.[57]

Das Transfinite ist in großer Größe erhöht, während das Absolute nicht abnehmbar ist. Beispielsweise ist ein ordinales α transfinit, da es auf α+1 erhöht werden kann. Andererseits bilden die Ordnungen eine absolut unendliche Sequenz, die nicht erhöht werden kann, da es keine größeren Ordinals gibt, die sie ergänzen können.[58] 1883 stellte Cantor auch die vor Gutes Prinzip "Jeder Satz kann gut geordnet werden" und erklärte, dass es sich um ein "Denkgesetz" handelt.[59]

Cantor erweiterte seine Arbeit über den absoluten Infinite, indem er sie in einem Beweis verwendete. Um 1895 begann er, sein gutes Prinzip als Theorem zu betrachten, und versuchte, dies zu beweisen. 1899 schickte er Dedekind einen Beweis für den äquivalenten Aleph -Theorem: Die Kardinalität jedes unendlichen Sets ist ein Aleph.[60] Zunächst definierte er zwei Arten von Multiplikationen: konsistente Multiplikationen (Sätze) und inkonsistente Multiplikationen (absolut unendliche Multiplikationen). Als nächstes ging er davon aus, dass die Ordnungen einen Satz bilden, bewiesen haben, dass dies zu einem Widerspruch führt, und kam zu dem Schluss, dass die Ordnungen eine inkonsistente Multiplizität bilden. Er nutzte diese inkonsistente Multiplizität, um den Aleph -Theorem zu beweisen.[61] 1932 kritisierte Zermelo den Bau in Cantors Beweis.[62]

Cantor vermieden Paradoxien durch Erkenntnis, dass es zwei Arten von Multiplikationen gibt. Wenn angenommen wird, dass die Ordnungen einen Satz bilden, impliziert der daraus resultierende Widerspruch nur, dass die Ordnungen eine inkonsistente Multiplizität bilden. Im Gegensatz, Bertrand Russell behandelte alle Sammlungen als Sets, was zu Paradoxien führt. In Russells Set -Theorie bilden die Ordnungen einen Satz, daher impliziert der daraus resultierende Widerspruch, dass die Theorie ist inkonsistent. Von 1901 bis 1903 entdeckte Russell drei Paradoxe, was implizierte, dass seine festgelegte Theorie inkonsistent ist: die Burali-Forti Paradox (was gerade erwähnt wurde), Cantors Paradoxon, und Russells Paradox.[63] Russell nannte Paradoxes danach Cesare Burali-Forti und Cantor, obwohl keiner von ihnen glaubte, Paradoxe gefunden zu haben.[64]

1908 veröffentlichte Zermelo Sein Axiom -System für die festgelegte Theorie. Er hatte zwei Motivationen für die Entwicklung des Axiom -Systems: die Paradoxe zu beseitigen und seinen Beweis für das zu sichern ordnungsgemäßer Theorem.[65] Zermelo hatte diesen Satz 1904 mit dem bewiesen Axiom der Wahl, aber sein Beweis wurde aus verschiedenen Gründen kritisiert.[66] Seine Reaktion auf die Kritik umfasste sein Axiom-System und ein neuer Beweis für den gut ordnungsgemäßen Theorem. Seine Axiome unterstützen diesen neuen Beweis und beseitigen die Paradoxien, indem sie die Bildung von Mengen einschränken.[67]

Im Jahr 1923, John von Neumann entwickelte ein Axiom -System, das die Paradoxien durch Verwendung eines ähnlichen Ansatzes wie Cantors eliminiert - nämlich durch die Identifizierung von Sammlungen, die keine Sätze sind und sie unterschiedlich behandeln. Von Neumann erklärte, dass a Klasse ist zu groß, um ein Satz zu sein, wenn es mit der Klasse aller Sätze in eins zu eins Korrespondenz gebracht werden kann. Er definierte einen Satz als eine Klasse, die ein Mitglied einer Klasse ist, und erklärte das Axiom: Eine Klasse ist nicht ein Satz, wenn und nur dann eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen ihm und der Klasse aller Sätze. Dieses Axiom impliziert, dass es sich bei diesen großen Klassen um keine Sätze handelt, was die Paradoxien beseitigt, da sie keine Mitglieder einer Klasse sein können.[68] Von Neumann verwendete auch sein Axiom, um den gut ordnungsfähigen Theorem zu beweisen: Wie Cantor nahm er an, dass die Ordnungen einen Satz bilden. Der daraus resultierende Widerspruch impliziert, dass die Klasse aller Ordnungen kein Satz ist. Dann liefert sein Axiom eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen dieser Klasse und der Klasse aller Sätze. Diese Korrespondenz orientiert die Klasse aller Sätze, was den gut ordnungsgemäßen Theorem impliziert.[69] 1930 definierte Zermelo Modelle der festgelegten Theorie, die von Neumanns Axiom befriedigen.[70]

Philosophie, Religion, Literatur und Kantors Mathematik

Das Konzept der Existenz eines tatsächliche Unendlichkeit war ein wichtiges gemeinsames Anliegen in den Bereichen Mathematik, Philosophie und Religion. Aufbewahrung der Orthodoxie Von der Beziehung zwischen Gott und Mathematik, obwohl nicht in der gleichen Form wie von seinen Kritikern, war ein langes Anliegen von Cantors.[71] Er sprach sich direkt an diese Kreuzung zwischen diesen Disziplinen in der Einführung in seine Grundlagen Einer Allgemeinen Mannigfaltigiteulehre, wo er die Verbindung zwischen seiner Sicht auf das Unendliche und der philosophischen betonte.[72] Für Cantor waren seine mathematischen Ansichten intrinsisch mit ihren philosophischen und theologischen Implikationen verbunden - er identifizierte das Absolut unendlich mit Gott,[73] und er betrachtete seine Arbeit an transfiniten Zahlen, um ihm direkt von Gott mitgeteilt worden zu sein, der Cantor ausgewählt hatte, um sie der Welt zu enthüllen.[5] Er war ein frommer Lutheraner, dessen explizite christliche Überzeugungen seine Wissenschaftsphilosophie prägten.[74] Joseph Dauben hat die Wirkung der christlichen Überzeugungen von Cantor auf die Entwicklung der transfiniten festgelegten Theorie verfolgt.[75][76]

Die Debatte unter Mathematikern entstand aus gegensätzlichen Ansichten in der Philosophie der Mathematik In Bezug auf die Art der tatsächlichen Unendlichkeit. Einige hielten der Ansicht fest, dass Unendlichkeit eine Abstraktion war, die nicht mathematisch legitim war und ihre Existenz bestritt.[77] Mathematiker aus drei großen Denkschulen (Konstruktivismus und seine zwei Ableger, Intuitionismus und Finitismus) gegen die Theorien von Cantor in dieser Angelegenheit. Für Konstruktivisten wie Kronecker beruht diese Ablehnung der tatsächlichen Unendlichkeit auf grundlegende Meinungsverschiedenheiten mit der Idee, dass nicht konstruktive Beweise wie das diagonale Argument von Cantor sind ausreichend ein Beweis dafür, dass etwas existiert und stattdessen das festhält konstruktive Beweise sind erforderlich. Der Intuitionismus lehnt auch die Idee ab, dass die tatsächliche Unendlichkeit jeglicher Art von Realität ist, aber über einen anderen Weg als Konstruktivismus zur Entscheidung kommt. Erstens beruht das Argument von Cantor auf der Logik, um die Existenz von transfiniten Zahlen als tatsächliche mathematische Einheit zu beweisen, während Intuitionisten der Ansicht sind, dass mathematische Einheiten nicht auf logische Aussagen reduziert werden können, die stattdessen in den Intuitionen des Geistes entstehen.[78] Zweitens wird der Begriff der Unendlichkeit als Ausdruck der Realität selbst im Intuitionismus nicht zugelassen, da der menschliche Geist einen unendlichen Satz nicht intuitiv konstruieren kann.[79] Mathematiker wie L. E. J. Brouwer und speziell Henri Poincaré adoptierte an Intuitionist Haltung gegen Cantors Arbeit. Endlich, Wittgenstein'S -Angriffe waren endistisch Intension einer Reihe von Kardinal- oder Realzahlen mit seiner Verlängerungdamit das Konzept der Regeln zur Generierung eines Satzes mit einem tatsächlichen Satz.[10]

Einige christliche Theologen sahen Cantors Arbeit als Herausforderung für die Einzigartigkeit der absoluten Unendlichkeit in der Natur Gottes an.[6] Im Speziellen, Neo-Thomist Die Denker sahen die Existenz einer tatsächlichen Unendlichkeit, die aus etwas anderem als Gott bestand, als "Gottes ausschließlichen Anspruch auf höchste Unendlichkeit".[80] Cantor glaubte fest, dass diese Ansicht eine Fehlinterpretation der Unendlichkeit war, und war überzeugt, dass die festgelegte Theorie dazu beitragen konnte, diesen Fehler zu korrigieren:[81] "... die transfiniten Arten sind genauso zur Verfügung der Absichten des Schöpfers und seines absoluten grenzenlosen Willens zur Verfügung gestellt wie die endlichen Zahlen."[82]. Es ist zu beachten, dass der prominente neokolastische deutsche Philosoph Constantin Gutberlet zugunsten einer solchen Theorie entschied, dass es sich nicht der Natur Gottes widersetzte.[8]

Cantor glaubte auch, dass seine Theorie der transfiniten Zahlen beides entspricht Materialismus und Determinismus- und war schockiert, als er merkte, dass er das einzige Fakultätsmitglied in Halle war, das tat nicht halten an deterministischen philosophischen Überzeugungen.[83]

Für Cantor war es wichtig, dass seine Philosophie eine "organische Erklärung" der Natur und in seinem 1883 lieferte GrundlagenEr sagte, dass eine solche Erklärung nur durch die Stütze auf die Ressourcen der Philosophie von Spinoza und Leibniz kommen könne.[84] Bei diesen Behauptungen wurde Cantor möglicherweise von FA beeinflusst worden Trendelenburg, dessen Vorlesungskurse er in Berlin besuchte, und in Cantor einen lateinischen Kommentar zu Buch 1 von Spinoza's produzierte Ethica. FA Trendelenburg war auch der Prüfer von Cantor's Habilitationsschrift.[85][86]

1888 veröffentlichte Cantor seine Korrespondenz mit mehreren Philosophen über die philosophischen Implikationen seiner festgelegten Theorie. In einem umfassenden Versuch, andere christliche Denker und Behörden zu überzeugen, seine Ansichten zu übernehmen, hatte Cantor mit christlichen Philosophen wie korrespondiert wie Tilman Pesch und Joseph honbeim,[87] sowie Theologen wie Kardinal Johann Baptist Franzelin, der einst antwortete, indem er die Theorie der transfiniten Zahlen mit gleichermaßen Pantheismus.[7] Obwohl dieser Kardinal die Theorie später aufgrund einiger Klarstellungen von Cantor als gültig akzeptierte.[8] Cantor schickte sogar einen Brief direkt an Papst Leo XIII selbst und sprach sich mehrere Broschüren an ihn an.[81]

Cantors Philosophie über die Natur der Zahlen führte ihn dazu, einen Glauben an die Freiheit der Mathematik zu bekräftigen, Konzepte abzuhalten und zu beweisen, abgesehen vom Bereich physischer Phänomene, als Ausdrücke in einer inneren Realität. Die einzigen Einschränkungen dazu metaphysisch System sind, dass alle mathematischen Konzepte keinen internen Widerspruch haben müssen und dass sie aus vorhandenen Definitionen, Axiomen und Theoremen folgen müssen. Dieser Glaube wird in seiner Behauptung zusammengefasst, dass "die Essenz der Mathematik seine Freiheit ist".[88] Diese Ideen parallel zu denen von Edmund Husserl, wen Cantor in Halle getroffen hatte.[89]

Inzwischen war Cantor selbst heftig gegen Infinitesimals, beschreiben sie sowohl als "Greuel" als auch als "Cholera Bacillus der Mathematik".[41]

Cantors Papier von 1883 enthüllt, dass er sich dessen bewusst war Opposition Seine Ideen begegneten: "... Mir ist klar, dass ich mich in diesem Unterfangen in eine gewisse Opposition gegen die Ansichten in die mathematische Unendliche und Meinungen, die häufig über die Natur der Zahlen verteidigt wurden, eingesetzt werden."[90]

Daher widmet er sich viel Platz, um seine frühere Arbeit zu rechtfertigen, und behauptet, dass mathematische Konzepte frei eingeführt werden können, solange sie frei sind Widerspruch und definiert in Bezug auf zuvor akzeptierte Konzepte. Er zitiert auch Aristoteles, René Descartes, George Berkeley, Gottfried Leibniz, und Bernard Bolzano auf unendlich. Stattdessen lehnte er immer stark ab Kant'S Philosophie, im Bereich sowohl der Philosophie der Mathematik als auch der Metaphysik. Er teilte B. Russells Motto "Kant oder Cantor" und definierte Kant "Yonder Sophistical Philistin, der so wenig Mathematik kannte".[91]

Cantors Abstammung

Der Titel auf der Gedenkplaque (auf Russisch): "In diesem Gebäude wurde und lebte und lebte er von 1845 bis 1854 der große Mathematiker und Schöpfer von Set Theory Georg Cantor", Vasilievsky Island, Sankt Petersburg.

Cantors Großeltern väterlicherseits stammten aus Kopenhagen und floh nach Russland aus der Störung der napoleonische Kriege. Es gibt sehr wenig direkte Informationen zu ihnen.[92] Cantors Vater, Georg Waldemar Cantor, wurde in der erzogen Lutheraner Mission in Saint Petersburg und seine Korrespondenz mit seinem Sohn zeigen beide als fromme Lutheraner. Über Georg Waldemars Herkunft oder Bildung ist nur sehr wenig bekannt.[93] Cantors Mutter, Maria Anna Böhm, war ein Österreichisch-ungarischer Geboren in Saint Petersburg und getauft römisch katholisch; Sie konvertierte zu Protestantismus bei der Heirat. Es gibt jedoch einen Brief von Cantors Bruder Louis an ihre Mutter, in dem es heißt:

Mögen Wir Zehnmal von Juden Abstammen und Ich im Prinzip Noch so Sehr für Geilberechtigung der Hebräer Sein, im sozialen LeBen Sind Mir Christen Lieber ...[93]

("Auch wenn wir zehnmal von Juden abstammen, und obwohl ich im Prinzip vollständig zugunsten der Gleichberechtigung der Hebräer bin, bevorzuge ich im sozialen Leben Christen ..."), die gelesen werden könnten, um das zu implizieren, dass das impliziert Sie war von jüdischer Abstammung.[94]

Laut Biographen Eric Temple Bell, Cantor war jüdischer Abstammung, obwohl beide Elternteile getauft wurden.[95] In einem Artikel von 1971 mit dem Titel "Auf dem Weg zu einer Biographie von Georg Cantor" erwähnt der britische Historiker der Mathematik Ivor Grattan-Guinness (Annalen der Wissenschaft 27, S. 345–391, 1971), dass er keine Beweise für jüdische Vorfahren finden konnte. (Er gibt auch an, dass Cantors Frau Vally Guttmann jüdisch war).

In einem Brief an geschrieben an Paul Tannery Im Jahr 1896 (Paul Tannery, Memoires Scientifique 13 Korrespondenz, Gauthier-Villars, Paris, 1934, S. 306) erklärt Cantor, dass seine Großeltern väterlicherseits Mitglieder der sephardischen jüdischen Gemeinde Kopenhagen waren. Specifically, Cantor states in describing his father: "Er ist aber in Kopenhagen geboren, von israelitischen Eltern, die der dortigen portugisischen Judengemeinde...." ("He was born in Copenhagen of Jewish (lit: 'Israelite') parents from the Lokale portugiesisch-jüdische Gemeinschaft. ")[96] Außerdem der Großonkel von Cantors mütterlichem Großarzt,[97] ein ungarischer Geiger Josef Böhm, wurde als jüdisch beschrieben,[98] Dies kann bedeuten, dass Cantors Mutter zumindest teilweise aus der ungarischen jüdischen Gemeinde abstammt.[99]

In einem Brief an Bertrand Russell, Cantor beschrieb seine Abstammung und Selbstwahrnehmung wie folgt:

Weder mein Vater noch meine Mutter waren aus deutschem Blut, der erste war eine Däe, die in Kopenhagen, meiner Mutter der österreichischen Hungarer Descension, getragen wurde. Sie müssen wissen, Sir, dass ich nicht ein bin regulär nur Germain, denn ich bin am 3. März 1845 in Saint Peterborough, der Hauptstadt Russlands, geboren, aber ich ging mit meinem Vater, meiner Mutter, meinen Brüdern und meinen elf Jahren im Jahr 1856 nach Deutschland.[100]

In den 1930er Jahren gab es dokumentierte Aussagen, die diese jüdische Vorfahren in Frage stellten:

Häufiger [d. H. Als die Abstammung der Mutter] wurde die Frage erörtert, ob Georg Cantor jüdischer Herkunft war. Darüber wird es in einer Mitteilung des dänischen Genealogischen Instituts in Kopenhagen aus dem Jahr 1937 über seinen Vater berichtet: "Es wird hiermit ausgesagt, dass Georg Woldemar Cantor, geboren 1809 oder 1814, nicht in den Registern der jüdischen Gemeinde vorhanden ist, und nicht vorhanden ist, und nicht in den Registern der jüdischen Gemeinschaft vorhanden ist, und nicht dass er ohne Zweifel kein Jude war ... "[93]

Biografien

Bis in die 1970er Jahre waren die Haupt akademischen Veröffentlichungen zu Cantor zwei kurze Monographien von Arthur Moritz Schönflies (1927)-größtenteils die Korrespondenz mit Mittag-Leffler-und Fraenkel (1930). Beide waren in der zweiten und dritten Hand; Weder hatte viel über sein persönliches Leben. Die Lücke wurde größtenteils von gefüllt von Eric Temple Bell's Männer der Mathematik (1937), was einer der modernen Biographen von Cantor als "vielleicht das am häufigsten gelesene moderne Buch über das beschreibt Geschichte der Mathematik"und als" eines der schlimmsten ".[101] Bell präsentiert Cantors Beziehung zu seinem Vater als Ödipal, Cantors Unterschiede mit Kronecker als Streit zwischen zwei Juden und Cantors Wahnsinn als romantische Verzweiflung über sein Versagen, die Akzeptanz für seine Mathematik zu gewinnen. Grattan-Guinness (1971) stellte fest, dass keine dieser Behauptungen wahr war, aber sie können in vielen Büchern der Zwischenzeit aufgrund des Fehlens einer anderen Erzählung gefunden werden. Es gibt andere Legenden, die unabhängig von Bell - einschließlich eines, das Cantors Vater ein Facken bezeichnet und von unbekannten Eltern nach Saint Petersburg verschifft wurde.[102] Eine Kritik an Bells Buch ist in enthalten Joseph Dauben's Biographie.[103] Schreibt Dauben:

Cantor widmete einige seiner vituperativsten Korrespondenz sowie einen Teil der Beiträge, anzugreifen, was er irgendwann als das bezeichnete 'infinitesimal Cholera Bacillus der Mathematik ', die sich durch die Arbeit von Deutschland ausgebreitet hatte Thomae, Du Bois Reymond und Stolz, um italienische Mathematik zu infizieren ... jede Akzeptanz von Infinitesimals bedeutete zwangsläufig, dass seine eigene Zahlentheorie unvollständig war. So akzeptieren Sie die Arbeit von Thomae, Du Bois-Reymond, Stolz und Veronesisch war die Perfektion von Cantors eigener Schöpfung zu leugnen. Verständlicherweise startete Cantor eine gründliche Kampagne, um die Arbeit von Veronese auf jede erdenkliche Weise zu diskreditieren.[104]

Siehe auch

Anmerkungen

  1. ^ Grattan-Guinness 2000, p. 351.
  2. ^ Das biografische Material in diesem Artikel stammt hauptsächlich aus Dauben 1979. Grattan-Guinness 1971, und Purkert und Ilgauds 1985 sind nützliche zusätzliche Quellen.
  3. ^ Dauben 2004, p. 1.
  4. ^ Dauben, Joseph Warren (1979). Georg Cantor seine Mathematik und Philosophie des Unendlichen. Princeton University Press. S. Einführung. ISBN 9780691024479.
  5. ^ a b Dauben 2004, S. 8, 11, 12–13.
  6. ^ a b Dauben 1977, p. 86; Dauben 1979, S. 120, 143.
  7. ^ a b Dauben 1977, p. 102.
  8. ^ a b c Dauben 1979, Chpt. 6.
  9. ^ Dauben 2004, p. 1; Dauben 1977, p. 89 15n.
  10. ^ a b Rodych 2007.
  11. ^ a b Dauben 1979, p. 280: "... Die Tradition wurde von populär gemacht durch Arthur Moritz Schönflies Die anhaltende Kritik von Kronecker und die Unfähigkeit von Cantor beschuldigte, seine Kontinuumshypothese zu bestätigen, "für Cantors wiederkehrende Depressionen.
  12. ^ Dauben 2004, p. 1. Der Text enthält ein Zitat von 1964 von Psychiater Karl Pollitt, einem der untersuchten Ärzte von Cantor in Halle Nervenklinik, der sich auf Cantor bezieht Geisteskrankheit als "cyclische manische Depression".
  13. ^ a b Dauben 1979, p. 248.
  14. ^ Hilbert (1926, p. 170): "AUS DEM Paradies, Das Cantor Unreschaffen, Soll uns Niemand Vertreiben Könnnen." (Im wahrsten Sinne des Wortes: "Aus dem Paradies, das Cantor für uns geschaffen hat, darf niemand in der Lage sein, uns zu vertreiben.")
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  27. ^ Dauben 1979, p. 139.
  28. ^ a b Dauben 1979, p. 282.
  29. ^ Dauben 1979, p. 136; Grattan-Guinness 1971, S. 376–377. Brief vom 21. Juni 1884.
  30. ^ Dauben 1979, S. 281–283.
  31. ^ Dauben 1979, p. 283.
  32. ^ Für eine Diskussion über Königs Papier siehe Dauben 1979, S. 248–250. Zur Reaktion von Cantor siehe Dauben 1979, S. 248, 283.
  33. ^ Dauben 1979, S. 283–284.
  34. ^ Dauben 1979, p. 284.
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  37. ^ Cantor 1874
  38. ^ A Zählbar ist ein Set, das entweder endlich oder renumerisch ist; Die renumerbaren Sätze sind daher die unendlichen zählbaren Sätze. Diese Terminologie wird jedoch nicht allgemein befolgt, und manchmal "demumerierbar" wird als Synonym für "zählbar" verwendet.
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  43. ^ Dies folgt genau dem ersten Teil von Cantors Papier von 1891 von 1891.
  44. ^ Cantor 1874. Englische Übersetzung: Ewald 1996, S. 840–843.
  45. ^ Zum Beispiel geometrische Probleme von Galileo und John Duns Scotus schlug vor, dass alle unendlichen Sets gleichbleibig waren - siehe Moore, A. W. (April 1995). "Eine kurze Geschichte der Unendlichkeit". Wissenschaftlicher Amerikaner. 272 (4): 112–116 (114). Bibcode:1995sciam.272d.112m. doi:10.1038/ScientificAmerican0495-112.
  46. ^ Dafür und weitere Informationen über die mathematische Bedeutung von Cantors Arbeit in der festgelegten Theorie siehe z. B.. Supples 1972.
  47. ^ Liouville, Joseph (13. Mai 1844). Ein Voraussatz der Existenz des Nombres Transzendanten.
  48. ^ Die echten algebraischen Zahlen sind die realen Wurzeln von Polynom Gleichungen mit ganze Zahl Koeffizienten.
  49. ^ Weitere Informationen zu Cantors Artikel finden Sie unter Georg Cantors erstes Set Theory -Artikel und Gray, Robert (1994). "Georg Cantor und transzendentale Zahlen" (PDF). Amerikanischer mathematischer Monat. 101 (9): 819–832. doi:10.2307/2975129. JStor 2975129.. Gray (S. 821–822) beschreibt ein Computerprogramm, das die Konstruktionen von Cantor verwendet, um eine transzendentale Zahl zu generieren.
  50. ^ Die Konstruktion von Cantor beginnt mit dem Satz von Transzendenten T und entfernt eine zählbare Teilmenge {tn} (zum Beispiel, tn=e/ n). Nennen Sie diesen Satz T0. Dann T= T0∪ {tn} = T0∪ {t2n-1} ∪ {t2n}. Die Realitätsgruppe R= T∪ {an} = T0∪ {tn} ∪ {an} wo an ist die Abfolge realer algebraischer Zahlen. Also beides T und R sind die Vereinigung von drei paarweise disjunkt Sets: T0 und zwei zählbare Sets. Eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz zwischen T und R wird durch die Funktion gegeben: f(t) =t wenn tT0, f(t2n-1) =tn, und f(t2n) =an. Cantor wendet seine Konstruktion tatsächlich eher auf die Irrationale als auf die Transzendenten an, wusste jedoch, dass er für jeden Satz gilt, der durch zähe viele Zahlen aus dem Satz von Realität entfernt wird ((Cantor 1879, p. 4).
  51. ^ Dauben 1977, p. 89.
  52. ^ Cantor 1883.
  53. ^ Cantor (1895), Cantor (1897). Die englische Übersetzung ist Cantor 1955.
  54. ^ Wallace, David Foster (2003). Alles und mehr: eine kompakte Geschichte der Unendlichkeit. New York: W. W. Norton und Company. p.259. ISBN 978-0-393-00338-3.
  55. ^ Dauben 1979, S. 69, 324 63n. Das Papier war im Juli 1877 eingereicht worden. Dedekind unterstützte es, verzögerte jedoch ihre Veröffentlichung aufgrund von Kroneckers Opposition. Weierstrass unterstützte es aktiv.
  56. ^ Einige Mathematiker betrachten diese Ergebnisse als das Problem und lassen sich höchstens zulassen, dass es möglich ist, die formalen Folgen von CH oder seiner Negation oder der Axiome zu untersuchen, die eine davon implizieren. Andere suchen weiterhin nach "natürlichen" oder "plausiblen" Axiomen, die, wenn sie zu ZFC hinzugefügt werden, entweder einen Beweis oder eine Widerlegung von CH oder sogar für direkte Beweise für oder gegen CH selbst erlauben. Zu den prominentesten davon gehört W. Hugh Woodin. Eines der letzten Papiere von Gödel argumentiert, dass das CH falsch ist und das Kontinuum Kardinalität ALEPH-2 hat.
  57. ^ Cantor 1883, S. 587–588; Englische Übersetzung: Ewald 1996, S. 916–917.
  58. ^ Hallett 1986, S. 41–42.
  59. ^ Moore 1982, p. 42.
  60. ^ Moore 1982, p. 51. Nachweis der Äquivalenz: Wenn ein Satz gut geordnet ist, ist seine Kardinalität ein Aleph, da die Alephs die Kardinäle gut geordneter Sets sind. Wenn die Kardinalität eines Sets ein Aleph ist, kann er gut geordnet werden, da zwischen ihm und dem gut geordneten Satz den Aleph eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz gibt.
  61. ^ Hallett 1986, S. 166–169.
  62. ^ Cantors Beweis, was a ist Beweis durch Widerspruch, beginnt mit der Annahme, dass es einen Satz gibt S deren Kardinalität ist kein Aleph. Eine Funktion von den Ordnern bis S wird durch die sukzessive Auswahl verschiedener Elemente von konstruiert S Für jede Ordinal. Wenn dieser Konstruktion die Elemente ausgeht, ordnet die Funktion das Set gut auf S. Dies impliziert, dass die Kardinalität von S ist ein Aleph, der der Annahme überlegt S. Daher ordnet die Funktion alle Ordnungen eins zu eins zu S. Die Funktionen Bild ist eine inkonsistente Untermultimatik in Sso das Set S ist eine inkonsistente Multiplizität, die ein Widerspruch ist. Zermelo kritisierte die Konstruktion von Cantor: "Die Intuition der Zeit wird hier auf einen Prozess angewendet, der über die gesamte Intuition hinausgeht, und eine fiktive Einheit wird ausgesetzt, von der angenommen wird, dass es machen könnte, dass es machen könnte aufeinanderfolgend willkürliche Entscheidungen. "(Hallett 1986, S. 169–170.)
  63. ^ Moore 1988, S. 52–53; Moore und Garciadiego 1981, S. 330–331.
  64. ^ Moore und Garciadiego 1981, S. 331, 343; Purkert 1989, p. 56.
  65. ^ Moore 1982, S. 158–160. Moore argumentiert, dass letzteres seine Hauptmotivation war.
  66. ^ Moore widmet dieser Kritik ein Kapitel: "Zermelo und seine Kritiker (1904–1908)", " Moore 1982, S. 85–141.
  67. ^ Moore 1982, S. 158–160. Zermelo 1908, S. 263–264; Englische Übersetzung: Van Heijenoort 1967, p. 202.
  68. ^ Hallett 1986, S. 288, 290–291. Cantor hatte darauf hingewiesen, dass inkonsistente Multiplikationen der gleichen Einschränkung ausgesetzt sind: Sie können keine Mitglieder einer Multiplizität sein. (Hallett 1986, p. 286.)
  69. ^ Hallett 1986, S. 291–292.
  70. ^ Zermelo 1930; Englische Übersetzung: Ewald 1996, S. 1208–1233.
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  92. ^ Z.B.Die einzige Beweise von Grattan-Guinness für das Todesdatum des Großvaters ist, dass er Papiere über das Engagement seines Sohnes unterschrieb.
  93. ^ a b c Purkert und Ilgauds 1985, p. fünfzehn.
  94. ^ Weitere Informationen finden Sie unter: Dauben 1979, p. 1 und Notizen; Grattan-Guinness 1971, S. 350–352 und Notizen; Purkert und Ilgauds 1985; Der Brief ist von Aczel 2000, S. 93–94, von Louis 'Reise nach Chicago im Jahr 1863. Es ist auf Deutsch, wie auf Englisch, nicht eindeutig, ob der Empfänger enthalten ist.
  95. ^ Männer der Mathematik: Das Leben und Errungenschaften der großen Mathematiker von Zeno bis Poincaré, 1937, E. T. Bell
  96. ^ Gerberei, Paul (1934) Memoires Scientifique 13 Korrespondenz, Gauthier-Villars, Paris, p. 306.
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  101. ^ Grattan-Guinness 1971, p. 350.
  102. ^ Grattan-Guinness 1971 (Zitat von S. 350, Anmerkung), Dauben 1979, p. 1 und Notizen. (Bells jüdische Stereotypen scheinen aus einigen Nachkriegsausgaben entfernt worden zu sein.)
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Verweise

Literaturverzeichnis

Ältere Quellen zu Cantors Leben sollten mit Vorsicht behandelt werden. Siehe Sektion § Biografien Oben.

Primärliteratur in Englisch

Primärliteratur in Deutsch

Sekundärliteratur

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Externe Links