Geometrie

Geometrie (aus Altgriechisch γεωμετρία (Geōmetría)'Landmessung'; aus γῆ (Gê)'Erde, Land' und μέτρον (Métron)'a mess') ist mit, mit Arithmetik, einer der ältesten Zweige von Mathematik. Es befasst sich mit Eigenschaften des Raums wie Entfernung, Form, Größe und relativer Position von Figuren.[1] Ein Mathematiker, der auf dem Gebiet der Geometrie arbeitet Geometer.
Bis zum 19. Jahrhundert war die Geometrie fast ausschließlich zugewiesen Euklidische Geometrie,[a] das schließt die Vorstellungen von ein Punkt, Linie, Flugzeug, Distanz, Winkel, auftauchen, und Kurveals grundlegende Konzepte.[2]
Während des 19. Jahrhunderts vergrößerte mehrere Entdeckungen dramatisch den Bereich der Geometrie. Eine der ältesten derartigen Entdeckungen ist Gauß' Theorema Egregium ("bemerkenswerter Theorem"), das ungefähr behauptet, dass die Gaußsche Krümmung einer Oberfläche ist unabhängig von allen bestimmten Einbettung in einem Euklidischer Raum. Dies impliziert, dass Oberflächen untersucht werden können intrinsisch, das heißt als eigenständige Räume und wurde in die Theorie von erweitert Verteiler und Riemannian Geometrie.
Später im 19. Jahrhundert schien es, dass Geometrien ohne die Parallele Postulat (Nichteuklidische Geometrien) kann entwickelt werden, ohne einen Widerspruch einzuführen. Die Geometrie, die zugrunde liegt generelle Relativität ist eine berühmte Anwendung der nichteuklidischen Geometrie.
Seitdem wurde der Umfang der Geometrie stark erweitert, und das Feld wurde in vielen Teilfeldern aufgeteilt, die von den zugrunde liegenden Methoden abhängen -Differentialgeometrie, Algebraische Geometrie, Computergeometrie, Algebraische Topologie, Diskrete Geometrie (auch bekannt als Kombinatorische Geometrie) usw. - oder auf den Eigenschaften euklidischer Räume, die ignoriert werden -projektive Geometrie Das berücksichtigt nur die Ausrichtung von Punkten, aber nicht Entfernung und Parallelität, affine Geometrie Das lässt das Konzept des Winkels und der Entfernung aus, Endliche Geometrie das lässt aus Kontinuität, und andere.
Die Geometrie hat ursprünglich entwickelt, um die physikalische Welt zu modellieren, und hat Anwendungen in fast allen Wissenschaftenund auch in Kunst, die Architektur, und andere Aktivitäten, die mit dem Zusammenhang stehen Grafik.[3] Die Geometrie hat auch Anwendungen in Bereichen der Mathematik, die anscheinend nichts miteinander zu tun haben. Zum Beispiel sind Methoden der algebraischen Geometrie von grundlegender Bedeutung in Weses Beweis von Fermats letzter Satz, ein Problem, das in Bezug auf angegeben wurde Elementararithmetikund blieb mehrere Jahrhunderte ungelöst.
Geschichte

Die frühesten aufgezeichneten Anfänge der Geometrie können auf die Antike zurückgeführt werden Mesopotamien und Ägypten im 2. Jahrtausend v. Chr.[4][5] Frühe Geometrie war eine Sammlung empirisch entdeckter Prinzipien in Bezug Vermessung, Konstruktion, Astronomieund verschiedene Kunsthandwerk. Die frühesten bekannten Texte zur Geometrie sind die ägyptisch Rhind Papyrus (2000–1800 v. Chr.) Und Moskauer Papyrus (um 1890 v. Chr.) Und die Babylonische Tontafeln, wie zum Beispiel Plimpton 322 (1900 v. Chr.). Zum Beispiel gibt der Moskauer Papyrus eine Formel zur Berechnung des Volumens einer verkürzten Pyramide an oder frustum.[6] Spätere Tontabletten (350–50 v. Chr.) Zeigen, dass babylonische Astronomen implementiert sind Trapez Verfahren zur Berechnung der Position von Jupiter und Bewegung Innerhalb zeitlicher Geschwindigkeitsraum. Diese geometrischen Verfahren erwarteten die Oxford Taschenrechner, einschließlich der mittlerer Geschwindigkeitssheorem, bis 14 Jahrhunderte.[7] Südlich von Ägypten die Alte Nubier etablierte ein System der Geometrie, einschließlich früher Versionen von Sonnenuhren.[8][9]
Im 7. Jahrhundert v. Chr. griechisch Mathematiker Thales of Miletus verwendete Geometrie, um Probleme wie die Berechnung der Höhe der Pyramiden und die Entfernung der Schiffe vom Ufer zu lösen. Ihm wird die erste Verwendung deduktiver Argumentation zugeschrieben, die für die Geometrie angewendet wird, indem er vier Folgerungen abgeleitet hat Thales 'Satz.[10] Pythagoras etablierte die Pythagoreischule, was mit dem ersten Beweis dessen zugeschrieben wird Satz des Pythagoras,[11] Obwohl die Aussage des Satzes eine lange Geschichte hat.[12][13] Eudoxus (408 - C. 355 v. Chr.) Entwickelte die Erschöpfungsmethode, was die Berechnung von Bereichen und Volumina von krummlinigen Figuren ermöglichte,[14] sowie eine Theorie der Verhältnisse, die das Problem von vermieden hat in nicht vergleichbare Größen, was es nachfolgende Geometer ermöglichte, erhebliche Fortschritte zu erzielen. Um 300 v. Chr. Wurde die Geometrie von Euclid revolutioniert, dessen Elemente, weithin als das erfolgreichste und einflussreichste Lehrbuch aller Zeiten, angesehen,[15] eingeführt Mathematische Strenge durch die Axiomatische Methode und ist das früheste Beispiel für das noch heute in Mathematik verwendete Format, das der Definition, des Axioms, des Satzes und des Beweises. Obwohl der größte Teil des Inhalts der Elemente waren bereits bekannt, Euklid arrangierte sie zu einem einzigen, kohärenten logischen Rahmen.[16] Das Elemente war allen gebildeten Menschen im Westen bis zur Mitte des 20. Jahrhunderts bekannt und sein Inhalt wird heute noch in Geometriekursen unterrichtet.[17] Archimedes (c. 287–212 v. Chr.) Von Syrakus benutzte die Erschöpfungsmethode um die zu berechnen Bereich unter dem Bogen von a Parabel mit dem Summierung einer unendlichen Serieund gab bemerkenswert genaue Annäherungen von Pi.[18] Er studierte auch das Spiral- seinen Namen tragen und Formeln für die erhalten Bände von Oberflächen der Revolution.

indisch Mathematiker leisteten auch viele wichtige Beiträge in der Geometrie. Das Satapatha Brahmana (3. Jahrhundert v. Chr.) Enthält Regeln für rituelle geometrische Konstruktionen, die dem ähnlich sind Sulba Sutras.[19] Entsprechend (Hayashi 2005, p. 363), die Śulba Sūtras enthalten "den frühesten vorhandenen verbalen Ausdruck des pythagoräischen Theorems der Welt, obwohl er den alten Babylonier bereits bekannt war. Sie enthalten Listen von Pythagoräische Dreifachungen,[20] welche sind bestimmte Fälle von Diophantinengleichungen.[21] In dem Bakhshali ManuskriptEs gibt eine Handvoll geometrischer Probleme (einschließlich Problemen mit unregelmäßigen Feststoffen). Das Bakhshali -Manuskript "verwendet auch ein Dezimalstellen -Wert -System mit einem Punkt für Null."[22] Aryabhata's Aryabhatiya (499) umfasst die Berechnung von Bereichen und Volumina.Brahmagupta schrieb seine astronomische Arbeit Brāhma Sphuṭa Siddhānta In 628. Kapitel 12 mit 66 enthält Sanskrit Verse, wurde in zwei Abschnitte unterteilt: "Grundvorgänge" (einschließlich Würfelwurzeln, Brüche, Verhältnis und Proportion sowie Tauschhandel) und "praktische Mathematik" (einschließlich Mischung, mathematische Serien, Flugzeugfiguren, Stapelsteine, Sägen von Holz und Hacken von Getreide).[23] Im letzteren Abschnitt erklärte er seinen berühmten Satz auf den Diagonalen von a zyklischer Viereck. Kapitel 12 enthielt auch eine Formel für den Bereich eines zyklischen Viereckers (eine Verallgemeinerung von Herons Formel) sowie eine vollständige Beschreibung von Rationale Dreiecke (d.h. Dreiecke mit rationalen Seiten und rationalen Bereichen).[23]
In dem Mittelalter, Mathematik im mittelalterlichen Islam insbesondere zur Entwicklung der Geometrie beigetragen Algebraische Geometrie.[24][25] Al-Mahani (geb. 853) konzipierte die Idee, geometrische Probleme wie das Duplizieren des Würfels auf Probleme in der Algebra zu reduzieren.[26] Thābit ibn Qurra (bekannt als tbbit in Latein) (836–901) behandelt Arithmetik Operationen angewendet auf Verhältnisse von geometrischen Mengen und zur Entwicklung von beigetragen analytische Geometrie.[27] Omar Khayyám (1048–1131) fanden geometrische Lösungen an Kubikgleichungen.[28] Die Theoreme von Ibn al-Haytham (Alhazen), Omar Khayyam und Nasir al-din al-tusi an Vierecke, einschließlich der Lambert Quadrilateral und Saccheri Viereckwaren frühe Ergebnisse in Hyperbolische Geometrieund zusammen mit ihren alternativen Postulaten wie z. Playfair's AxiomDiese Arbeiten hatten einen erheblichen Einfluss auf die Entwicklung der nichteuklidischen Geometrie unter späteren europäischen Geometern, einschließlich Witzel (c. 1230 - C. 1314), Gersonides (1288–1344), Alfonso, John Wallis, und Giovanni Girolamo Saccheri.[zweifelhaft ][29]
Im frühen 17. Jahrhundert gab es zwei wichtige Entwicklungen in der Geometrie. Das erste war die Erstellung von analytischer Geometrie oder Geometrie mit Koordinaten und Gleichungen, durch René Descartes (1596–1650) und Pierre de Fermat (1601–1665).[30] Dies war ein notwendiger Vorläufer für die Entwicklung von Infinitesimalrechnung und eine genaue quantitative Wissenschaft von Physik.[31] Die zweite geometrische Entwicklung dieses Zeitraums war die systematische Studie von projektive Geometrie durch Girard Desargues (1591–1661).[32] Projektive Geometriestudien Eigenschaften von Formen, die unverändert unterliegen Projektionen und Abschnitte, besonders wenn sie sich miteinander beziehen künstlerische Perspektive.[33]
Zwei Entwicklungen in der Geometrie im 19. Jahrhundert veränderten die Art und Weise, wie sie zuvor untersucht worden war.[34] Dies war die Entdeckung von Nichteuklidische Geometrien von Nikolai Ivanovich Lobachevsky, János Bolyai und Carl Friedrich Gauß und der Formulierung von Symmetrie als zentrale Überlegung in der Erlangen -Programm von Felix Klein (die die euklidischen und nichteuklidischen Geometrien verallgemeinerte). Zwei der Meistergeometer der Zeit waren Bernhard Riemann (1826–1866), die hauptsächlich mit Tools von arbeiten Mathematische Analyseund die Einführung der Riemann Oberfläche, und Henri Poincaréder Gründer von Algebraische Topologie und die geometrische Theorie von Dynamische Systeme. Als Folge dieser wichtigen Veränderungen in der Konzeption der Geometrie wurde das Konzept des "Raums" zu etwas Richs und Abwechslung und zum natürlichen Hintergrund für Theorien als unterschiedlich wie Komplexe Analyse und klassische Mechanik.[35]
Hauptkonzepte
Das Folgende sind einige der wichtigsten Konzepte in der Geometrie.[2][36][37]
Axiome

Euklid verfolgte einen abstrakten Ansatz für die Geometrie in seiner Elemente,[38] Eines der einflussreichsten Bücher, die jemals geschrieben wurden.[39] Euclid stellte sicher ein Axiome, oder Postulateprimäre oder selbstverständliche Eigenschaften von Punkten, Linien und Flugzeugen.[40] Er leitete durch mathematisches Denken streng andere Eigenschaften ab. Das charakteristische Merkmal von Euklids Ansatz zur Geometrie war seine Genauigkeit, und es wurde als bekannt als axiomatisch oder Synthetik Geometrie.[41] Zu Beginn des 19. Jahrhunderts die Entdeckung von Nichteuklidische Geometrien durch Nikolai Ivanovich Lobachevsky (1792–1856), János Bolyai (1802–1860), Carl Friedrich Gauß (1777–1855) und andere[42] führte zu einer Wiederbelebung des Interesse an dieser Disziplin und im 20. Jahrhundert, David Hilbert (1862–1943) verwendeten axiomatische Argumentation, um eine moderne Grundlage für die Geometrie zu schaffen.[43]
Objekte
Punkte
Punkte werden im Allgemeinen als grundlegende Objekte für den Aufbau der Geometrie angesehen. Sie können durch die Eigenschaften definiert werden, die sie haben müssen, wie in Euklids Definition als "das, was keinen Teil hat",[44] oder in synthetische Geometrie. In der modernen Mathematik werden sie im Allgemeinen als definiert als Elemente von a einstellen genannt Platz, was selbst ist axiomatisch definiert.
Mit diesen modernen Definitionen wird jede geometrische Form als eine Reihe von Punkten definiert. Dies ist bei der synthetischen Geometrie nicht der Fall, bei dem eine Linie ein weiteres grundlegendes Objekt ist, das nicht als die Menge der Punkte angesehen wird, durch die sie vergeht.
Es gibt jedoch moderne Geometrien, in denen Punkte keine primitiven Objekte sind oder auch ohne Punkte.[45][46] Eine der ältesten derartigen Geometrien ist Whiteheads punktfreie Geometrie, formuliert von Alfred North Whitehead 1919–1920.
Linien
Euklid beschrieb eine Linie als "breitlose Länge", die "gleichermaßen in Bezug auf die Punkte auf sich selbst liegt".[44] In der modernen Mathematik ist das Konzept einer Linie angesichts der Vielzahl der Geometrien eng mit der Art und Weise verbunden, wie die Geometrie beschrieben wird. Zum Beispiel in analytische Geometrie, eine Linie in der Ebene wird oft als die Anzahl von Punkten definiert, deren Koordinaten eine gegebene erfüllen lineare Gleichung,[47] aber in einer abstrakteren Umgebung, wie z. InzidenzgeometrieEine Linie kann ein unabhängiges Objekt sein, das sich von den Punkten unterscheidet, die darauf liegen.[48] In der Differentialgeometrie a geodät ist eine Verallgemeinerung des Begriffs einer Linie zu gekrümmte Räume.[49]
Flugzeuge
In der euklidischen Geometrie a Flugzeug ist eine flache, zweidimensionale Oberfläche, die sich unendlich erstreckt;[44] Die Definitionen für andere Arten von Geometrien sind Verallgemeinerungen davon. Flugzeuge werden in vielen Bereichen der Geometrie verwendet. Zum Beispiel können Flugzeuge als studiert werden Topologische Oberfläche ohne Bezug auf Entfernungen oder Winkel;[50] es kann als ein untersucht werden Offine Space, wo Kollinearität und Verhältnisse untersucht werden können, aber nicht Entfernungen;[51] es kann als die untersucht werden Komplexe Ebene Verwenden von Techniken von Komplexe Analyse;[52] usw.
Winkel
Euklid definiert ein Flugzeug Winkel Als Neigung zueinander in einer Ebene von zwei Zeilen, die sich treffen, und nicht in Bezug aufeinander liegen.[44] In modernen Begriffen ist ein Winkel die von zwei gebildete Figur Strahlen, genannt Seiten des Winkels, der einen gemeinsamen Endpunkt teilen, genannt der Scheitel des Winkels.[53]

Im Euklidische Geometrie, Winkel werden verwendet, um zu studieren Polygone und Dreieckeund bilden auch ein eigenes Studienobjekt.[44] Die Untersuchung der Winkel eines Dreiecks oder der Winkel in a Einheitskreis bildet die Grundlage von Trigonometrie.[54]
Im Differentialgeometrie und Infinitesimalrechnung, die Winkel zwischen Ebenenkurven oder Raumkurven oder Oberflächen kann mit dem berechnet werden Derivat.[55][56]
Kurven
A Kurve ist ein 1-dimensionales Objekt, das gerade sein kann (wie eine Linie) oder nicht; Kurven im 2-dimensionalen Raum werden genannt Ebenenkurven und diejenigen im dreidimensionalen Raum werden genannt Raumkurven.[57]
In der Topologie wird eine Kurve durch eine Funktion von einem Intervall der reellen Zahlen zu einem anderen Raum definiert.[50] In der Differentialgeometrie wird dieselbe Definition verwendet, aber die Definitionsfunktion muss differenzierbar sein [58] Algebraische Geometriestudien Algebraische Kurven, die definiert als als Algebraische Sorten von Abmessungen eines.[59]
Oberflächen

A auftauchen ist ein zweidimensionales Objekt wie eine Kugel oder Paraboloid.[60] Im Differentialgeometrie[58] und Topologie,[50] Oberflächen werden durch zweidimensionale "Patches" beschrieben (oder Nachbarschaften) die von zusammengebaut werden von Diffeomorphismen oder Homomorphismen, beziehungsweise. In der algebraischen Geometrie werden Oberflächen durch beschrieben Polynomgleichungen.[59]
Verteiler
A vielfältig ist eine Verallgemeinerung der Konzepte von Kurve und Oberfläche. Im Topologie, ein Verteiler ist a topologischer Raum wo jeder Punkt einen hat Nachbarschaft das ist homomorph zum euklidischen Raum.[50] Im Differentialgeometrie, a Differenzierbarer Verteiler ist ein Raum, an dem sich jede Nachbarschaft befindet diffomorph zum euklidischen Raum.[58]
Verteiler werden in großem Umfang in der Physik verwendet, einschließlich in generelle Relativität und Stringtheorie.[61]
Länge, Fläche und Volumen
Länge, Bereich, und Volumen Beschreiben Sie die Größe oder das Ausmaß eines Objekts in einer Dimension, zwei Dimension bzw. drei Dimensionen.[62]
Im Euklidische Geometrie und analytische GeometrieDie Länge eines Liniensegments kann häufig durch die berechnet werden Satz des Pythagoras.[63]
Fläche und Volumen können als grundlegende Größen definiert werden, die von der Länge getrennt sind, oder sie können als Längen in einer Ebene oder in einem dreidimensionalen Raum beschrieben und berechnet werden.[62] Mathematiker haben viele explizit gefunden Formeln für den Bereich und Formeln für Volumen von verschiedenen geometrischen Objekten. Im Infinitesimalrechnung, Bereich und Volumen können in Bezug auf definiert werden Integrale, so wie die Riemann Integral[64] oder der Lebesgue Integral.[65]
Metriken und Maßnahmen

Das Konzept der Länge oder Entfernung kann verallgemeinert werden, was zur Idee von führt Metriken.[66] Zum Beispiel die Euklidische Metrik misst den Abstand zwischen Punkten in der Euklidische Ebene, während Hyperbolische Metrik misst die Entfernung in der Hyperbolische Ebene. Andere wichtige Beispiele für Metriken sind die Lorentz Metrik von Spezielle Relativität und das Semi-Riemannsche Metriken von generelle Relativität.[67]
In eine andere Richtung werden die Konzepte von Länge, Fläche und Volumen um verlängert Theorie messen, die Methoden zur Zuordnung einer Größe untersuchen oder messen zu Sets, wo die Maßnahmen Regeln entsprechen, die denen des klassischen Bereichs und des Klassikers ähnlich sind.[68]
Kongruenz und Ähnlichkeit
Kongruenz und Ähnlichkeit sind Konzepte, die beschreiben, wenn zwei Formen ähnliche Eigenschaften aufweisen.[69] In der euklidischen Geometrie wird Ähnlichkeit verwendet, um Objekte mit der gleichen Form zu beschreiben, während die Kongruenz verwendet wird, um Objekte zu beschreiben, die sowohl in Größe als auch in Form gleich sind.[70] HilbertIn seiner Arbeit zur Schaffung einer strengeren Grundlage für Geometrie behandelte die Kongruenz als einen undefinierten Begriff, dessen Eigenschaften definiert werden durch Axiome.
Kongruenz und Ähnlichkeit werden in verallgemeinert Transformationsgeometrie, die die Eigenschaften geometrischer Objekte untersucht, die durch verschiedene Arten von Transformationen erhalten bleiben.[71]
Kompass- und Geradekonstruktionen
Klassische Geometer achten besonders darauf, geometrische Objekte zu konstruieren, die auf andere Weise beschrieben wurden. Klassischerweise sind die einzigen Instrumente, die in den meisten geometrischen Konstruktionen verwendet werden Kompass und Longere.[b] Außerdem musste jede Konstruktion in einer begrenzten Anzahl von Schritten abgeschlossen sein. Einige Probleme erwiesen sich jedoch als schwierig oder unmöglich, allein mit diesen Mitteln zu lösen, und geniale Konstruktionen verwenden NeusisEs wurden Parabel und andere Kurven oder mechanische Geräte gefunden.
Abmessungen

Wo die traditionelle Geometrie die Abmessungen 1 (a) erlaubte Linie), 2 (a Flugzeug) und 3 (unsere Umgebungswelt konzipiert AS dreidimensionaler Raum) Mathematiker und Physiker haben verwendet Höhere Dimensionen seit fast zwei Jahrhunderten.[72] Ein Beispiel für eine mathematische Verwendung für höhere Dimensionen ist die Konfigurationsraum eines physischen Systems, das eine Dimension entspricht, die dem System entspricht Freiheitsgrade. Beispielsweise kann die Konfiguration einer Schraube von fünf Koordinaten beschrieben werden.[73]
Im Allgemeine TopologieDas Konzept der Dimension wurde aus erweitert natürliche Zahlenzu unendlicher Dimension (Hilbert Räumezum Beispiel) und positiv reale Nummern (in Fraktale Geometrie).[74] Im Algebraische Geometrie, das Dimension einer algebraischen Sorte hat eine Reihe von anscheinend unterschiedlichen Definitionen erhalten, die in den häufigsten Fällen alle gleichwertig sind.[75]
Symmetrie

Das Thema von Symmetrie In der Geometrie ist fast so alt wie die Wissenschaft der Geometrie selbst.[76] Symmetrische Formen wie die Kreis, Regelmäßige Polygone und Platonische Feststoffe für viele alte Philosophen tiefe Bedeutung hatte[77] und wurden vor dem Zeitpunkt der Euklid ausführlich untersucht.[40] Symmetrische Muster treten in der Natur auf und wurden in einer Vielzahl von Formen künstlerisch gerendert, einschließlich der Grafik von Leonardo da Vinci, M. C. Escher, und andere.[78] In der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts wurde die Beziehung zwischen Symmetrie und Geometrie intensiv untersucht. Felix Klein's Erlangen -Programm verkündete, dass in einem sehr genauen Sinne Symmetrie durch den Begriff einer Transformation ausgedrückt wurde Gruppebestimmt, welche Geometrie ist.[79] Symmetrie in klassisch Euklidische Geometrie wird dargestellt von Kongruenzen und starre Bewegungen, während in projektive Geometrie Eine analoge Rolle wird von gespielt Kollineationen, Geometrische Transformationen Das nimmt gerade Linien in gerade Linien.[80] Allerdings war es in den neuen Geometrien von Bolyai und Lobachevsky, Riemann, Clifford und Klein und Sophus Lüge Diese Kleins Idee, eine Geometrie über ihre zu definieren Symmetriegruppe'Fand seine Inspiration.[81] Sowohl diskrete als auch kontinuierliche Symmetrien spielen eine herausragende Rolle in der Geometrie, die erstere in Topologie und Geometrische Gruppentheorie,[82][83] Letzteres in Lüge Theorie und Riemannian Geometrie.[84][85]
Eine andere Art von Symmetrie ist das Prinzip von Dualität in projektive Geometrieunter anderen Feldern. Dieses Meta-Phänomen kann ungefähr wie folgt beschrieben werden: in jedem Satz, Austausch Punkt mit Flugzeug, beitreten mit Treffen, besteht in mit enthält, und das Ergebnis ist ein ebenso wahrer Satz.[86] Eine ähnliche und eng verwandte Form der Dualität besteht zwischen a Vektorraum und sein Doppeler Raum.[87]
Zeitgenössische Geometrie
Euklidische Geometrie
Euklidische Geometrie ist Geometrie in seinem klassischen Sinne.[88] Da es den Raum der physischen Welt modelliert, wird es in vielen wissenschaftlichen Bereichen verwendet, wie z. Mechanik, Astronomie, Kristallographie,[89] und viele technische Felder, wie z. Ingenieurwesen,[90] die Architektur,[91] Geodäsie,[92] Aerodynamik,[93] und Navigation.[94] Der obligatorische Bildungslehrplan der Mehrheit der Nationen umfasst die Untersuchung euklidischer Konzepte wie z. Punkte, Linien, Flugzeuge, Winkel, Dreiecke, Kongruenz, Ähnlichkeit, Feste Figuren, Kreise, und analytische Geometrie.[36]
Differentialgeometrie

Differentialgeometrie verwendet Techniken von Infinitesimalrechnung und Lineare Algebra Probleme in der Geometrie zu untersuchen.[95] Es hat Anwendungen in Physik,[96] Ökonometrie,[97] und Bioinformatik,[98] unter anderen.
Insbesondere ist die unterschiedliche Geometrie von Bedeutung für Mathematische Physik wegen Albert Einstein's generelle Relativität Postulierung, dass die Universum ist gebogen.[99] Differentialgeometrie kann entweder sein intrinsisch (was bedeutet, dass die von ihnen berücksichtigten Räume sind glatte Verteiler deren geometrische Struktur wird von a bestimmt Riemannsche Metrik, was bestimmt, wie Entfernungen in der Nähe jedes Punktes gemessen werden) oder extrinsisch (wo das untersuchte Objekt Teil eines flachen Umgebungsflates ist).[100]
Nichteuklidische Geometrie
Die euklidische Geometrie war nicht die einzige historische Form der untersuchten Geometrie. Sphärische Geometrie wird seit langem von Astronomen, Astrologen und Navigatoren verwendet.[101]
Immanuel Kant argumentierte, dass es nur einen gibt, absolut, Geometrie, von der bekannt ist, dass sie wahr ist a priori durch eine innere Fakultät: Euklidische Geometrie war synthetisch a priori.[102] Diese Ansicht wurde zunächst etwas herausgefordert von Denker wie Saccheri, dann schließlich durch die revolutionäre Entdeckung von umgekippt Nichteuklidische Geometrie in den Werken von Bolyai, Lobachevsky und Gauss (die seine Theorie nie veröffentlicht haben).[103] Sie zeigten das gewöhnlich Euklidischer Raum ist nur eine Möglichkeit für die Entwicklung der Geometrie. Eine breite Vision des Themas der Geometrie wurde dann von ausgedrückt Riemann in seinem Vorlesungsvortrag von 1867 von 1867 Über die Hypothesen, Welche der Geometrie Zu Grunde Liegen (Auf den Hypothesen, auf denen die Geometrie basiert),[104] erst nach seinem Tod veröffentlicht. Riemanns neue Idee des Weltraums erwies sich als entscheidend in Albert Einstein's Allgemeine Relativitätstheorie. Riemannian Geometrie, die sehr allgemeine Räume betrachtet, in denen der Begriff der Länge definiert wird, ist eine Hauptstütze der modernen Geometrie.[81]
Topologie

Topologie befasst sich das Feld mit den Eigenschaften von kontinuierliche Zuordnungen,[105] und kann als Verallgemeinerung der euklidischen Geometrie angesehen werden.[106] In der Praxis bedeutet Topologie häufig mit groß angelegten Eigenschaften von Räumen, wie z. Verbundenheit und Kompaktheit.[50]
Das Gebiet der Topologie, das im 20. Jahrhundert eine massive Entwicklung verzeichnete, ist in einem technischen Sinne eine Art von Art von Transformationsgeometrie, in welchen Transformationen sind Homomorphismen.[107] Dies wurde oft in Form des Sprichworts "Topologie ist Gummi-Blatt-Geometrie" ausgedrückt. Teilfelder der Topologie umfassen Geometrische Topologie, Differentialtopologie, Algebraische Topologie und Allgemeine Topologie.[108]
Algebraische Geometrie

Das Feld von Algebraische Geometrie entwickelt aus dem Kartesische Geometrie von Koordinaten.[109] Es wurde periodische Wachstumsperioden unterzogen, begleitet von der Schaffung und Studie von projektive Geometrie, Birational Geometrie, Algebraische Sorten, und kommutative Algebraunter anderem.[110] Von den späten 1950er Jahren bis Mitte der 1970er Jahre hatte es sich einer großen grundlegenden Entwicklung unterzogen, hauptsächlich aufgrund der Arbeit von Arbeiten Jean-Pierre Serre und Alexander Grothendieck.[110] Dies führte zur Einführung von Pläne und größere Betonung auf topologisch Methoden, einschließlich verschiedener Kohomologie -Theorien. Eine von sieben Millennium Preisprobleme, das Hodge -Vermutungist eine Frage in der algebraischen Geometrie.[111] Weses 'Beweis für Fermats letzten Satz Verwendet erweiterte Methoden der algebraischen Geometrie zur Lösung eines langjährigen Problems von Zahlentheorie.
Im Allgemeinen untersucht die algebraische Geometrie Geometrie unter Verwendung von Konzepten in kommutative Algebra wie zum Beispiel multivariate Polynome.[112] Es hat Anwendungen in vielen Bereichen, einschließlich Kryptographie[113] und Stringtheorie.[114]
Komplexe Geometrie
Komplexe Geometrie Untersucht die Art der geometrischen Strukturen Komplexe Ebene.[115][116][117] Komplexe Geometrie liegt am Schnittpunkt der Differentialgeometrie, der algebraischen Geometrie und der Analyse von Mehrere komplexe Variablenund hat Anwendungen gefunden Stringtheorie und Spiegelsymmetrie.[118]
Komplexe Geometrie erschien erstmals als ein deutlicher Studienbereich in der Arbeit von Bernhard Riemann in seinem Studium von Riemann -Oberflächen.[119][120][121] Die Arbeit im Geiste von Riemann wurde von der durchgeführt Italienische Schule der algebraischen Geometrie in den frühen 1900ern. Die zeitgenössische Behandlung komplexer Geometrie begann mit der Arbeit von Jean-Pierre Serre, wer stellte das Konzept von vor Scheiben zum Thema und beleuchtete die Beziehungen zwischen komplexer Geometrie und algebraischer Geometrie.[122][123] Die primären Studienobjekte in der komplexen Geometrie sind Komplexe Verteiler, Komplexe algebraische Sorten, und Komplexe analytische Sorten, und Holomorphe Vektorbündel und zusammenhängende Scheiben über diese Räume. Besondere Beispiele für in der komplexe Geometrie untersuchte Räume umfassen Riemann -Oberflächen und Calabi -Yau -Verteilerund diese Räume finden Verwendungen in der String -Theorie. Im Speziellen, Weltblätter von Saiten werden von Riemann -Oberflächen modelliert, und Superstring -Theorie prognostiziert, dass die zusätzlichen 6 Dimensionen von 10 dimensional Freizeit Kann durch Kalabi -Yau -Verteiler modelliert werden.
Diskrete Geometrie

Diskrete Geometrie ist ein Thema, das enge Verbindungen mit hat Konvexe Geometrie.[124][125][126] Es handelt sich hauptsächlich um Fragen der relativen Position einfacher geometrischer Objekte wie Punkte, Linien und Kreisen. Beispiele sind die Untersuchung von Kugelpackungen, Triangulationen, die Kneser-Poulsen-Vermutung usw.[127][128] Es teilt viele Methoden und Prinzipien mit Kombinatorik.
Computergeometrie
Computergeometrie befasst sich mit Algorithmen und ihre Implementierungen zum Manipulieren geometrischer Objekte. Wichtige Probleme haben die historisch gesehen das einbezogen Problem mit reisenden Verkäufern, Mindestüberschreitende Bäume, Entfernung der versteckten Line, und Lineares Programmieren.[129]
Obwohl es ein junger Geometriebereich ist, hat es viele Anwendungen in Computer Vision, Bildverarbeitung, computergestütztes Design, medizinische Bildgebung, etc.[130]
Geometrische Gruppentheorie

Geometrische Gruppentheorie Verwendet groß angelegte geometrische Techniken zum Studium endlich erzeugte Gruppen.[131] Es ist eng mit verbunden mit Niedrigdimensionale Topologiewie in Grigori PerelmanBeweise der Geometrisierungsvermeidung, der den Beweis des Beweises enthielt Poincaré -Vermutung, a Millennium -Preisproblem.[132]
Die geometrische Gruppentheorie dreht sich oft um die Cayley -Graph, was eine geometrische Darstellung einer Gruppe ist. Andere wichtige Themen sind Quasi-Isometrien, Gromov-hyperbolische Gruppen, und rechtwinkelte Kunstgruppen.[131][133]
Konvexe Geometrie
Konvexe Geometrie Ermittlungen konvex Formen im euklidischen Raum und seine abstrakteren Analoga, häufig unter Verwendung von Techniken von Echte Analyse und Diskrete Mathematik.[134] Es hat enge Verbindungen zu Konvexe Analyse, Optimierung und Funktionsanalyse und wichtige Anwendungen in Zahlentheorie.
Die konvexe Geometrie stammt aus der Antike.[134] Archimedes gab die erste bekannte genaue Definition von Konvexität. Das isoperimetrisches Problem, ein wiederkehrendes Konzept in der konvexen Geometrie, wurde auch von den Griechen untersucht, einschließlich Zenodorus. Archimedes, Plato, Euklid, und später Kepler und Koxeter alle studiert konvexe Polytope und ihre Eigenschaften. Aus dem 19. Jahrhundert haben Mathematiker andere Bereiche konvexer Mathematik untersucht, darunter höherdimensionale Polytope, Volumen und Oberfläche konvexer Körper, Gaußsche Krümmung, Algorithmen, Fliesen und Gitter.
Anwendungen
Die Geometrie hat Anwendungen in vielen Bereichen gefunden, von denen einige nachstehend beschrieben werden.
Kunst

Mathematik und Kunst hängen auf verschiedene Weise zusammen. Zum Beispiel die Theorie von Perspektive zeigten, dass die Geometrie mehr als nur die metrischen Eigenschaften von Abbildungen gibt: Perspektive ist der Ursprung von projektive Geometrie.[135]
Künstler haben seit langem Konzepte von verwendet Anteil im Design. Vitruv entwickelte eine komplizierte Theorie von Ideale Proportionen für die menschliche Figur.[136] Diese Konzepte wurden von Künstlern verwendet und angepasst Michelangelo zu modernen Comic -Künstlern.[137]
Das Goldener Schnitt ist ein besonderer Anteil, der eine kontroverse Rolle in der Kunst hatte. Oft behauptet, das ästhetisch ansprechendste Verhältnis von Längen zu sein, wird häufig angegeben, dass es in berühmte Kunstwerke einbezogen wird, obwohl die zuverlässigsten und eindeutigsten Beispiele von den Künstlern, die sich dieser Legende bewusst sind, absichtlich gemacht wurden.[138]
Fliesenoder Tessellationen wurden in der Geschichte in der Geschichte verwendet. Islamische Kunst nutzt häufig Tessellationen, ebenso wie die Kunst von M. C. Escher.[139] Eschers Arbeit benutzte auch Hyperbolische Geometrie.
Cézanne Fortgeschrittene die Theorie, dass alle Bilder aus dem aufgebaut werden können Kugel, das Kegel, und die Zylinder. Dies wird heute noch in der Kunsttheorie verwendet, obwohl die genaue Liste der Formen vom Autor zu Autor variiert.[140][141]
Die Architektur
Die Geometrie hat viele Anwendungen in der Architektur. Tatsächlich wurde gesagt, dass die Geometrie im Kern des architektonischen Designs liegt.[142][143] Anwendungen der Geometrie auf die Architektur umfassen die Verwendung von projektive Geometrie erschaffen erzwungene Perspektive,[144] die Verwendung von Kegelabschnitte beim Konstruktion von Kuppeln und ähnlichen Objekten,[91] die Verwendung von Tessellationen,[91] und die Verwendung von Symmetrie.[91]
Physik
Das Feld von Astronomieinsbesondere in Bezug auf die Zuordnung der Positionen von Sterne und Planeten auf der himmlische Sphäre und die Beschreibung der Beziehung zwischen den Bewegungen himmlischer Körpers zu beschreiben, diente als wichtige Quelle für geometrische Probleme im Laufe der Geschichte.[145]
Riemannian Geometrie und Pseudo-riemannian Geometrie werden in verwendet generelle Relativität.[146] Stringtheorie nutzt mehrere Geometrievarianten,[147] ebenso wie Quanteninformationstheorie.[148]
Andere Bereiche der Mathematik

Infinitesimalrechnung wurde stark von Geometrie beeinflusst.[30] Zum Beispiel die Einführung von Koordinaten durch René Descartes und die gleichzeitigen Entwicklungen von Algebra markierte eine neue Stufe für die Geometrie, da geometrische Figuren wie z. Ebenenkurven könnte jetzt vertreten werden analytisch in Form von Funktionen und Gleichungen. Dies spielte eine Schlüsselrolle bei der Entstehung von Infinitesimale Kalkül Im 17. Jahrhundert. Die analytische Geometrie ist nach wie vor eine Hauptstütze des Calculus- und Kalkül-Lehrplans.[149][150]
Ein weiterer wichtiger Anwendungsbereich ist Zahlentheorie.[151] Im Altes Griechenland das Pythagoräer betrachtete die Rolle von Zahlen in der Geometrie. Die Entdeckung in nicht vergleichbarer Längen widersprach jedoch ihren philosophischen Ansichten.[152] Seit dem 19. Jahrhundert wurde die Geometrie zur Lösung von Problemen in der Zahlentheorie verwendet, zum Beispiel durch die Geometrie der Zahlen oder in jüngerer Zeit, Schema -Theorie, was verwendet wird in Wiles 'Beweis für Fermats letzten Satz.[153]
Siehe auch
Listen
- Liste der Geometer
- Kategorie: Algebraische Geometer
- Kategorie: Differentialgeometer
- Kategorie: Geometer
- Kategorie: Topologen
- Liste der Formeln in der Elementargeometrie
- Liste der Geometrie -Themen
- Liste wichtiger Veröffentlichungen in der Geometrie
- Listen der Mathematikthemen
verwandte Themen
- Beschreibende Geometrie
- Endliche Geometrie
- Flachland, ein Buch von geschrieben von Edwin Abbott Abbott ungefähr zwei- und dreidimensionaler Raum, um das Konzept von vier Dimensionen zu verstehen
- Liste der interaktiven Geometrie -Software
Andere Felder
Anmerkungen
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"Drei Wissenschaftler, Ibn al-Haytham, Khayyam und Al-Tusi, hatten den beträchtlichsten Beitrag zu diesem Zweig der Geometrie geleistet, dessen Bedeutung nur im 19. Jahrhundert vollständig anerkannt wurde was sie betrachteten, unter der Annahme, dass einige der Winkel dieser Figuren von stumpfen Akut waren, verkörperten die ersten Theoreme des hyperbolischen und der elliptischen Geometrien. Ihre anderen Vorschläge zeigten, dass verschiedene geometrische Aussagen dem euklidischen Postulat V entsprachen. Wichtig, dass diese Wissenschaftler die gegenseitige Verbindung zwischen diesem Postulat und der Summe der Winkel eines Dreiecks und eines Vierecks hergestellt haben. Durch ihre Werke über die Theorie paralleler Linien arabische Mathematiker beeinflussten die relevanten Untersuchungen ihrer europäischen Gegenstücke direkt Beweisen Sie das Postulat auf parallelen Linien - von Witelo, den polnischen Wissenschaftlern des 13. Jahrhunderts, gemacht, während Überarbeiten von Ibn al-Haythams Buch der Optik (Kitab al-Manazir) - war zweifellos von arabischen Quellen ausgelöst. Die Beweise des jüdischen Gelehrten Levi Ben Gerson, der in Südfrankreich lebte, und von der oben genannten Alfonso aus Spanien im 14. Jahrhundert an die Demonstration von Ibn Al-Haytham grenzen. Oben haben wir das gezeigt Pseudo-Tusi-Ausstellung von Euklid hatte sowohl J. Wallis's als auch G. Saccheris Studien zur Theorie paralleler Linien angeregt. "
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Weitere Lektüre
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Externe Links
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.- A Geometrie Kurs von Wikiversität
- Ungewöhnliche Geometrieprobleme
- Das Mathematikforum - Geometrie
- Naturevorinstitionen - Stifte und Seile Geometrie in Stonehenge
- Der mathematische Atlas - Geometrische Bereiche der Mathematik
- "4000 Jahre Geometrie", Vortrag von Robin Wilson bei Gresham College, 3. Oktober 2007 (verfügbar für MP3- und MP4 -Download sowie eine Textdatei)
- Finitismus in der Geometrie bei der Stanford Encyclopedia of Philosophy
- Der Geometrie -Schrottplatz
- Interaktive Geometriereferenz mit Hunderten von Applets
- Dynamische Geometrie -Skizzen (mit einigen Studierenden Erkundungen)
- Geometrieklassen bei Khan Akademie