Verallgemeinerte Koordinaten

Im analytische Mechanik, Verallgemeinerte Koordinaten sind eine Reihe von Parametern, die zur Darstellung des Status eines Systems in a verwendet werden Konfigurationsraum. Diese Parameter müssen die Konfiguration des Systems relativ zu einem Referenzzustand eindeutig definieren.[1] Das Verallgemeinerte Geschwindigkeiten sind die Zeit Derivate der verallgemeinerten Koordinaten des Systems. Das Adjektiv "verallgemeinert" unterscheidet diese Parameter von der traditionellen Verwendung des Begriffs "Koordinate", auf das sie sich beziehen können Kartesischen Koordinaten

Ein Beispiel für eine verallgemeinerte Koordinate wäre es, die Position eines Pendels unter Verwendung des Winkels des Pendels relativ zu vertikal und nicht durch die X- und Y -Position des Pendels zu beschreiben.

Obwohl es möglicherweise viele mögliche Auswahlmöglichkeiten für verallgemeinerte Koordinaten für ein physikalisches System gibt, werden sie im Allgemeinen ausgewählt, um Berechnungen zu vereinfachen, wie z. B. die Lösung der Bewegungsgleichungen für das System. Wenn die Koordinaten voneinander unabhängig sind, wird die Anzahl der unabhängigen verallgemeinerten Koordinaten durch die Anzahl von definiert Freiheitsgrade vom System.[2][3]

Verallgemeinerte Koordinaten werden mit verallgemeinerten Momenten gepaart, um sie bereitzustellen Kanonische Koordinaten an Phasenraum.

Einschränkungen und Freiheitsgrade

Öffnen Sie gerade Pfad
Offener gebogener Weg F(x, y) = 0
Geschlossener gekrümmter Weg C(x, y) = 0
Eine verallgemeinerte Koordinate (ein Freiheitsgrad) auf den Pfaden in 2d. Es ist nur eine verallgemeinerte Koordinate erforderlich, um Positionen auf der Kurve eindeutig anzugeben. In diesen Beispielen ist diese Variable entweder die Bogenlänge s oder Winkel θ. Beide kartesischen Koordinaten (x, y) sind unnötig, da beide x oder y bezieht sich auf die anderen durch die Gleichungen der Kurven. Sie können auch durch parametrisiert werden durch s oder θ.
Offener gebogener Weg F(x, y) = 0. Mehrere Radiuskreuzungen mit Pfad.
Geschlossener gekrümmter Weg C(x, y) = 0. Selbstintersektion des Pfades.
Die Lichtbogenlänge s Entlang der Kurve ist eine legitime verallgemeinerte Koordinate, da die Position einzigartig bestimmt ist, aber der Winkel θ nicht da es mehrere Positionen für einen einzelnen Wert von gibt θ.

Verallgemeinerte Koordinaten werden normalerweise ausgewählt, um die minimale Anzahl unabhängiger Koordinaten bereitzustellen, die die Konfiguration eines Systems definieren, was die Formulierung von vereinfacht Lagrange's Gleichungen von Bewegung. Es kann jedoch auch auftreten, dass ein nützlicher Satz generalisierter Koordinaten sein kann abhängig, was bedeutet, dass sie von einem oder mehreren verwandt sind Zwang Gleichungen.

Holonomische Einschränkungen

Offen geschwungene Oberfläche F(x, y, z) = 0
Geschlossene gekrümmte Oberfläche S(x, y, z) = 0
Zwei verallgemeinerte Koordinaten, zwei Freiheitsgrade, auf gekrümmten Oberflächen in 3D. Nur zwei Zahlen (u, v) werden benötigt, um die Punkte auf der Kurve anzugeben, eine Möglichkeit für jeden Fall. Die vollen drei Kartesischen Koordinaten (x, y, z) sind nicht notwendig, da zwei die dritte gemäß den Gleichungen der Kurven bestimmt.

Für ein System von N Partikel in 3d Echter Koordinatenraum, das Positionsvektor von jedem Partikel kann als 3- geschrieben werdenTupel in Kartesischen Koordinaten:

Jeder der Positionsvektoren kann bezeichnet werden rk wo k = 1, 2, ..., N Beschriftet die Partikel. EIN Holonomische Einschränkung ist ein Einschränkungsgleichung der Form für Partikel k[4][NB 1]

Das verbindet alle 3 räumlichen Koordinaten dieses Partikels miteinander, sodass sie nicht unabhängig sind. Die Einschränkung kann sich mit der Zeit ändern, also Zeit t wird explizit in den Einschränkungsgleichungen erscheinen. Zu jedem Zeitpunkt wird eine Koordinate aus den anderen Koordinaten bestimmt, z. wenn xk und zk werden gegeben, dann auch yk. Eine Einschränkungsgleichung zählt als eines Zwang. Wenn es gibt C Einschränkungen hat jeder eine Gleichung, also wird es geben C Einschränkungsgleichungen. Für jedes Partikel gibt es nicht unbedingt eine Einschränkungsgleichung, und wenn das System keine Einschränkungen gibt, gibt es keine Einschränkungsgleichungen.

Bisher wird die Konfiguration des Systems durch 3 definiertN Mengen, aber C Koordinaten können beseitigt werden, eine Koordinate aus jeder Einschränkungsgleichung. Die Anzahl der unabhängigen Koordinaten ist n = 3NC. (Im D Dimensionen, die ursprüngliche Konfiguration wäre erforderlich Nd Koordinaten und die Reduzierung durch Einschränkungen Mittelwerte n = NdC). Es ist ideal, die minimale Anzahl von Koordinaten zu verwenden, die erforderlich sind, um die Konfiguration des gesamten Systems zu definieren und gleichzeitig die Einschränkungen des Systems zu nutzen. Diese Mengen sind als bekannt als Verallgemeinerte Koordinaten In diesem Zusammenhang bezeichnet qj(t). Es ist bequem, sie in eine zu sammeln n-Tupel

Welches ist ein Punkt in der Konfigurationsraum vom System. Sie sind alle unabhängig voneinander und jeder ist eine Funktion der Zeit. Geometrisch können sie Längen entlang gerader Linien sein oder Lichtbogenlängen entlang Kurven oder Winkel; Nicht unbedingt kartesische Koordinaten oder andere Standards orthogonale Koordinaten. Es gibt einen für jeden FreiheitsgradDaher entspricht die Anzahl der verallgemeinerten Koordinaten der Anzahl der Freiheitsgrade, n. Ein Freiheitsgrad entspricht einer Menge, die die Konfiguration des Systems verändert, zum Beispiel den Winkel eines Pendels oder die Lichtbogenlänge, die von einer Perle entlang eines Drahtes durchquert wird.

Wenn es möglich ist, aus den Einschränkungen so viele unabhängige Variablen wie Freiheitsgrade zu finden, können diese als verallgemeinerte Koordinaten verwendet werden.[5] Der Positionsvektor rk von Partikeln k ist eine Funktion aller n Verallgemeinerte Koordinaten (und durch sie der Zeit),[6][7][8][5][NB 2]

und die verallgemeinerten Koordinaten können als Parameter angesehen werden, die mit der Einschränkung verbunden sind.

Die entsprechenden Zeitderivate von q sind die verallgemeinerten Geschwindigkeiten,

(Jeder Punkt über eine Menge zeigt einen an Zeitderivat). Der Geschwindigkeitsvektor vk ist der Gesamtableitung von rk in Bezug auf die Zeit

und hängt so im Allgemeinen von den verallgemeinerten Geschwindigkeiten und Koordinaten ab. Da wir frei sind, die Anfangswerte der verallgemeinerten Koordinaten und Geschwindigkeiten getrennt anzugeben, sind die verallgemeinerten Koordinaten separat qj und Geschwindigkeiten DQj/dt kann als behandelt werden als unabhängige Variablen.

Nicht-kronomische Einschränkungen

Ein mechanisches System kann sowohl für die verallgemeinerten Koordinaten als auch der Derivate Einschränkungen beinhalten. Einschränkungen dieses Typs werden als nicht-Holonomisch bezeichnet. Nicht-Holonomische Einschränkungen erster Ordnung haben die Form

Ein Beispiel für eine solche Einschränkung ist ein Rollrad oder eine Messerkante, die die Richtung des Geschwindigkeitsvektors einschränkt. Nicht-Holonomische Einschränkungen können auch Ableitungen nächster Ordnung wie generalisierte Beschleunigungen beinhalten.

Physikalische Mengen in verallgemeinerten Koordinaten

Kinetische Energie

Die Gesamtsumme kinetische Energie des Systems ist die Energie der Bewegung des Systems, definiert als[9]

in welchem ​​· das ist das Skalarprodukt. Die kinetische Energie ist nur eine Funktion der Geschwindigkeiten vk, nicht die Koordinaten rk sich. Im Gegensatz dazu ist eine wichtige Beobachtung[10]

Dies zeigt, dass die kinetische Energie im Allgemeinen eine Funktion der verallgemeinerten Geschwindigkeiten, Koordinaten und Zeit ist, wenn die Einschränkungen auch mit der Zeit variieren. T = T(q, dq/dt, t).

In dem Fall sind die Einschränkungen für die Partikel zeitunabhängig, dann sind alle teilweisen Derivate in Bezug auf die Zeit Null und die kinetische Energie ist a Homogene Funktion von Grad 2 in den verallgemeinerten Geschwindigkeiten.

Trotzdem für den zeitunabhängigen Fall ist dieser Ausdruck gleichbedeutend mit der Einnahme des Zeilenelement quadratisch von der Flugbahn für Partikel kAnwesend

und dividieren durch das quadratische Unterschied in der Zeit, dt2, um die Geschwindigkeit des Partikels zu erhalten k. Für zeitunabhängige Einschränkungen reicht es daher aus, das Linienelement zu kennen, um schnell die kinetische Energie von Partikeln und damit die Lagrange zu erhalten.[11]

Es ist aufschlussreich, die verschiedenen Fälle von Polarkoordinaten in 2D und 3D aufgrund ihres häufigen Aussehens zu sehen. In 2d Polar Koordinaten (r, θ),

in 3d Zylindrische Koordinaten (r, θ, z),

in 3d Sphärische Koordinaten (r, θ, φ),

Verallgemeinerter Schwung

Das Verallgemeinerter Schwung "kanonisch konjugiert zu "die Koordinate qi wird definiert von

Wenn der Lagrange L tut nicht von einer Koordinate abhängen qiund dann folgt aus den Euler -Lagrange -Gleichungen, dass der entsprechende verallgemeinerte Impuls a sein wird Konservierte Menge, weil das Zeitderivat Null ist, was impliziert, dass der Impuls eine Konstante der Bewegung ist;

Beispiele

Perle auf einem Draht

Perlen, um einen reibungslosen Draht zu bewegen. Der Draht übt eine Reaktionskraft aus C auf der Perle, um es auf dem Draht zu halten. Die Nicht-Konstruktionskraft N In diesem Fall ist die Schwerkraft. Beachten Sie, dass die anfängliche Position des Drahtes zu unterschiedlichen Bewegungen führen kann.

Für eine Perle, die auf einem reibungslosen Drahtschieber nur zur Schwerkraft im 2D -Raum gleitet, kann die Einschränkung auf der Perle in der Form angegeben werden f(r) = 0, wobei die Position der Perle geschrieben werden kann r = (x(s), y(s)), in welchem s ist ein Parameter, der, der Bogenlänge s entlang der Kurve von irgendeinem Punkt am Draht. Dies ist eine geeignete Wahl der verallgemeinerten Koordinate für das System. Nur eines Die Koordinate wird anstelle von zwei benötigt, da die Position der Perle durch eine Zahl parametrisiert werden kann. sund die Einschränkungsgleichung verbindet die beiden Koordinaten x und y; Beide wird voneinander bestimmt. Die Einschränkungskraft ist die Reaktionskraft, die der Draht auf die Perle ausübt, um sie am Draht zu halten, und die nicht bekonstant angelegte Kraft ist die Schwerkraft, die auf die Perle wirkt.

Nehmen wir an, der Draht ändert seine Form mit der Zeit, indem sie sich beugen. Dann sind die Einschränkungsgleichung und die Position des Partikels jeweils

was jetzt beide von der Zeit abhängen t Aufgrund der sich ändernden Koordinaten, wenn der Draht seine Form ändert. Die Mitteilungszeit erscheint implizit über die Koordinaten und explizit in den Einschränkungsgleichungen.

Einfaches Pendel

Einfaches Pendel. Da die Stange starr ist, wird die Position des Bob nach der Gleichung eingeschränkt f(x, y) = 0, die Einschränkungskraft C ist die Spannung in der Stange. Wieder die Nichtkonstruktionskraft N In diesem Fall ist die Schwerkraft.
Dynamisches Modell eines einfachen Pendels.

Die Beziehung zwischen der Verwendung verallgemeinerter Koordinaten und kartesischer Koordinaten zur Charakterisierung der Bewegung eines mechanischen Systems kann durch die Betrachtung der eingeschränkten Dynamik eines einfachen Pendels veranschaulicht werden.[12][13]

Eine einfache Pendel besteht aus einer Masse, die an einem Drehpunkt hängt, so dass es gezwungen ist, sich auf einem Radius -Kreis L zu bewegen. Die Position der Masse wird durch den Koordinatenvektor definiert r= (x, y) gemessen in der Ebene des Kreises, so dass y in vertikaler Richtung ist. Die Koordinaten x und y sind durch die Gleichung des Kreises verwandt

Das schränkt die Bewegung von M. diese Gleichung auch eine Einschränkung der Geschwindigkeitskomponenten dar,

Führen Sie nun den Parameter θ ein, der die Winkelposition von m aus der vertikalen Richtung definiert. Es kann verwendet werden, um die Koordinaten x und y so zu definieren, dass

Die Verwendung von θ zur Definition der Konfiguration dieses Systems vermeidet die Einschränkung, die durch die Gleichung des Kreises bereitgestellt wird.

Beachten Sie, dass die Schwerkraft, die auf die Masse m wirkt, in den üblichen kartesischen Koordinaten formuliert ist,

wobei G die Beschleunigung der Schwerkraft ist.

Das Virtuelle Arbeit der Schwerkraft auf der Masse m wie sie der Flugbahn folgt r wird gegeben von

Die Variation r kann in Bezug auf die Koordinaten x und y oder in Bezug auf den Parameter θ berechnet werden,

Somit wird die virtuelle Arbeit durch gegeben

Beachten Sie, dass der Koeffizient von y ist die Y-Komponente der angewendeten Kraft. Ebenso der Koeffizient von θ ist als die bekannt Verallgemeinerte Kraft entlang der verallgemeinerten Koordinate θ, gegeben durch

Um die Analyse abzuschließen, betrachten Sie die kinetische Energie der Masse unter Verwendung der Geschwindigkeit,

Also,

D'Alemberts Form des Prinzips der virtuellen Arbeit Für das Pendel in Bezug auf die Koordinaten x und y werden durch, gegeben,

Dies ergibt die drei Gleichungen

In den drei Unbekannten, x, y und λ.

Mit dem Parameter θ nehmen diese Gleichungen die Form an

was wird,

oder

Diese Formulierung ergibt eine Gleichung, da es einen einzelnen Parameter und keine Einschränkungsgleichung gibt.

Dies zeigt, dass der Parameter θ eine verallgemeinerte Koordinate ist, die genauso verwendet werden kann wie die kartesische Koordinaten X und Y, um das Pendel zu analysieren.

Doppelpendel

Die Vorteile verallgemeinerter Koordinaten werden durch die Analyse von a erkennbar Doppelpendel. Für die beiden Massen mi, i = 1, 2, lass ri= (xi, yi), i = 1, 2 definieren ihre beiden Flugbahnen. Diese Vektoren erfüllen die beiden Einschränkungsgleichungen,

und

Die Formulierung der LaGrange -Gleichungen für dieses System liefert sechs Gleichungen in den vier kartesischen Koordinaten xi, yi I = 1, 2 und die beiden Lagrange -Multiplikatoren λi, i = 1, 2, die aus den beiden Einschränkungsgleichungen entstehen.

Stellen Sie nun die verallgemeinerten Koordinaten θ eini i = 1,2, die die Winkelposition jeder Masse des Doppelpendels aus der vertikalen Richtung definieren. In diesem Fall haben wir

Die auf die Massen wirkende Schwerkraft wird gegeben durch,

wobei G die Beschleunigung der Schwerkraft ist. Daher die virtuelle Arbeit der Schwerkraft an den beiden Massen, wenn sie den Flugbahnen folgen rii = 1,2 ist gegeben von

Die Variationen δri I = 1, 2 kann so berechnet werden

Somit wird die virtuelle Arbeit durch gegeben

und die verallgemeinerten Kräfte sind

Berechnen Sie die kinetische Energie dieses Systems

Euler -Lagrange -Gleichung Ergeben Sie zwei Gleichungen in den unbekannten verallgemeinerten Koordinaten θi i = 1, 2, gegeben von[14]

und

Die Verwendung der verallgemeinerten Koordinaten θi I = 1, 2 liefert eine Alternative zur kartesischen Formulierung der Dynamik des Doppelpendels.

Sphärisches Pendel

Sphärischer Pendel: Winkel und Geschwindigkeiten.

Für ein 3D -Beispiel a sphärisches Pendel mit konstanter Länge l frei zu schwingen in jede winkelische Richtung, die der Schwerkraft unterliegt, kann die Einschränkung am Pendel Bob in der Form angegeben werden

wo die Position des Pendelbobs geschrieben werden kann

in welchem ​​(θ, φ) sind die sphärische polare Winkel Weil sich der Bob in der Oberfläche einer Kugel bewegt. Die Position r wird entlang der Suspensionspunkt für den Bob gemessen, hier als behandelt Punktpartikel. Eine logische Wahl der verallgemeinerten Koordinaten zur Beschreibung der Bewegung sind die Winkel (θ, φ). Anstelle von drei werden nur zwei Koordinaten benötigt, da die Position des Bob durch zwei Zahlen parametrisiert werden kann und die Einschränkungsgleichung die drei Koordinaten verbindet x, y, z Jeder von ihnen wird also aus den anderen beiden bestimmt.

Verallgemeinerte Koordinaten und virtuelle Arbeit

Das Prinzip der virtuellen Arbeit gibt an, dass die virtuelle Arbeit der angewandten Kräfte für alle virtuellen Bewegungen des Systems aus diesem Zustand null ist, wenn sich ein System im statischen Gleichgewicht befindet, null ist Null W = 0 für jede Variation r.[15] Bei der formulierten Verallgemeinerungskoordinaten entspricht dies der Anforderung, dass die verallgemeinerten Kräfte für eine virtuelle Verschiebung Null sind, dh Fi= 0.

Lassen Sie die Kräfte auf das System sein Fj, j = 1, ..., m auf Punkte mit kartesischen Koordinaten angewendet werden rj, j = 1, ..., m, dann ist die virtuelle Arbeit, die durch eine virtuelle Verschiebung aus der Gleichgewichtsposition erzeugt wird

wo δrj, j = 1, ..., m Bezeichnen Sie die virtuellen Verschiebungen jedes Punktes im Körper.

Nehmen Sie nun an, dass jedes Δrj hängt von den verallgemeinerten Koordinaten ab qi, i = 1, ..., n, dann

und

Das n Bedingungen

sind die verallgemeinerten Kräfte, die auf das System wirken? Kane[16] zeigt, dass diese verallgemeinerten Kräfte auch in Bezug auf das Verhältnis von Zeitderivaten formuliert werden können,

wo vj ist die Geschwindigkeit des Anwendungspunkts der Kraft Fj.

Damit die virtuelle Arbeit für eine willkürliche virtuelle Verschiebung Null ist, muss jede der verallgemeinerten Kräfte Null sein, dh

Siehe auch

Anmerkungen

  1. ^ Einige Autoren setzen die Einschränkungsgleichungen mit einigen Einschränkungsgleichungen (z. B. Pendel) auf eine Konstante, andere setzen sie auf Null. Es macht keinen Unterschied, da die Konstante auf einer Seite der Gleichung Null abziehen kann. Auch in Lagranges Gleichungen der ersten Art werden nur die Derivate benötigt.
  2. ^ Einige Autoren, z. Hand & Finch Nehmen Sie die Form des Positionsvektors für Partikel an k, wie hier gezeigt, als Bedingung für die Einschränkung dieses Partikels, um holonomisch zu sein.

Verweise

  1. ^ Ginsberg 2008Anwesendp. 397, §7.2.1 Auswahl der verallgemeinerten Koordinaten
  2. ^ Farid M. L. Amirouche (2006). "§2.4: Verallgemeinerte Koordinaten". Grundlagen der Multikörperdynamik: Theorie und Anwendungen. Springer. p. 46. ISBN 0-8176-4236-6.
  3. ^ Florian Scheck (2010). "§5.1 Verteiler verallgemeinerter Koordinaten". Mechanik: Aus Newtons Gesetzen bis zum deterministischen Chaos (5. Aufl.). Springer. p. 286. ISBN 978-3-642-05369-6.
  4. ^ Goldstein 1980, p. 12
  5. ^ a b Kibble & Berkshire 2004, p. 232
  6. ^ Torby 1984, p. 260
  7. ^ Goldstein 1980, p. 13
  8. ^ Hand & Finch 2008, p. fünfzehn
  9. ^ Torby 1984, p. 269
  10. ^ Goldstein 1980, p. 25
  11. ^ Landau & Lifshitz 1976, p. 8
  12. ^ Greenwood, Donald T. (1987). Prinzipien der Dynamik (2. Aufl.). Prentice Hall. ISBN 0-13-709981-9.
  13. ^ Richard Fitzpatrick, Newtonsche Dynamik, http://farside.ph.utexas.edu/teaching/336k/newton/newtonhtml.html.
  14. ^ Eric W. Weisstein, Doppelpendel, Scienceworld.wolfram.com. 2007
  15. ^ Torby 1984
  16. ^ T. R. Kane und D. A. Levinson, Dynamik: Theorie und Anwendungen, McGraw-Hill, New York, 1985

Bibliographie zitierter Referenzen

  • Ginsberg, Jerry H. (2008). Technische Dynamik (3. Aufl.). Cambridge UK: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-88303-0.
  • Goldstein, Herbert; Poole, Charles; Safko, John (2002). Klassische Mechanik (3. Aufl.). San Francisco, CA: Addison Wesley. ISBN 0-201-65702-3.
  • Hand, Louis n.; Finch, Janet D. (1998). Analytische Mechanik. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 978-0521575720.
  • Kibble, T.W.B; Berkshire, F. H. (2004). Klassische Mechanik (5. Aufl.). River Edge NJ: Imperial College Press. ISBN 1860944248.
  • Landau, L. D.; Lifshitz, E. M. (1976). Mechanik (Dritter Aufl.). Oxford. ISBN 978-0750628969.
  • Torby, Bruce (1984). "Energiemethoden". Erweiterte Dynamik für Ingenieure. HRW -Serie in Maschinenbau. Vereinigte Staaten von Amerika: CBS College Publishing. ISBN 0-03-063366-4.