Galois -Theorie

Gitter Diagramm von Q an die positiven quadratischen Wurzeln von 2 und 3, seine Unterfelder und Galois -Gruppen.

Im Mathematik, Galois -Theorie, ursprünglich eingeführt von Évariste Galoisliefert eine Verbindung zwischen Feldtheorie und Gruppentheorie. Diese Verbindung, die, die Grundsatz der Galois -Theorie, ermöglicht die Reduzierung bestimmter Probleme in der Feldtheorie auf Gruppentheorie, was sie einfacher und einfacher zu verstehen macht.

Galois stellte das Thema für das Studium vor Wurzeln von Polynome. Dies erlaubte ihm, das zu charakterisieren Polynomgleichungen das sind Lösbar durch Radikale In Bezug auf die Eigenschaften der Permutationsgruppe ihrer Wurzeln - eine Gleichung ist Lösbar durch Radikale Wenn seine Wurzeln nur durch eine Formel ausgedrückt werden können, die nur beteiligt ist Ganzzahlen, nDie Wurzelnund die vier grundlegenden Rechenoperationen. Dies verallgemeinert das weitgehend die Abel -Ruffini -Theorem, was behauptet, dass ein allgemeines Polynom des Grades mindestens fünf nicht durch Radikale gelöst werden kann.

Die Galois -Theorie wurde verwendet, um klassische Probleme zu lösen, einschließlich der Angabe, dass zwei Probleme der Antike nicht gelöst werden können, wie sie angegeben wurden (Verdoppelung des Würfels und Den Winkel verkleinern) und charakterisieren die Regelmäßige Polygone das sind konstruktibel (Diese Charakterisierung wurde zuvor durch gegeben GaußAber alle bekannten Beweise, dass diese Charakterisierung vollständig ist, erfordern die Galois -Theorie).

Galois 'Arbeit wurde von veröffentlicht von Joseph Liouville vierzehn Jahre nach seinem Tod. Die Theorie brauchte länger, um bei Mathematikern beliebt zu werden und gut verstanden zu werden.

Die Galois -Theorie wurde verallgemeinert auf Galois -Verbindungen und Grothendiecks Galois -Theorie.

Anwendung auf klassische Probleme

Die Geburt und Entwicklung der Galois -Theorie wurde durch die folgende Frage verursacht, die bis zum Beginn des 19. Jahrhunderts eine der wichtigsten offenen mathematischen Fragen war:

Gibt es eine Formel für die Wurzeln einer fünften (oder höheren) Polynomgleichung in Bezug auf die Koeffizienten des Polynoms, wobei nur die üblichen algebraischen Operationen (Addition, Subtraktion, Multiplikation, Teilung) und Anwendung von Radikalen (Quadratwurzeln, Square -Wurzeln, Wurzeln, Wurzeln, Wurzeln, Subtraktion, Subtraktion, Multiplikation, Abteilung) (Square Roots, Würfelwurzeln usw.)?

Das Abel -Ruffini -Theorem Bietet ein Gegenbeispiel, das beweist, dass es Polynomgleichungen gibt, für die eine solche Formel nicht existieren kann. Galois 'Theorie liefert eine viel vollständigere Antwort auf diese Frage, indem er erklärt, warum es ist möglich, um einige Gleichungen zu lösen, einschließlich aller von vier oder niedriger, in der oben genannten Weise und warum es für die meisten Gleichungen von Fünf oder höher nicht möglich ist. Darüber hinaus bietet es eine Möglichkeit, zu bestimmen, ob eine bestimmte Gleichung gelöst werden kann, die sowohl konzeptionell klar als auch leicht als ein Algorithmus.

Galois 'Theorie gibt auch einen klaren Einblick in Fragen zu Problemen in Kompass und Blindge Konstruktion. Es gibt eine elegante Charakterisierung der Verhältnisse von Längen, die mit dieser Methode konstruiert werden können. Verwenden wird es relativ einfach, solche klassischen Probleme von zu beantworten Geometrie wie

1. Die Regelmäßige Polygone sind konstruktibel?^[1]
2. Warum ist es nicht möglich zu jeden Winkel verstreuen Verwendung einer Kompass und ein Strayged?^[1]
3. Warum ist Verdoppelung des Würfels Mit der gleichen Methode nicht möglich?

Geschichte

Vorgeschichte

Galois 'Theorie stammt aus der Studie von Symmetrische Funktionen - Die Koeffizienten von a Monic Polynom sind (bis zum Unterschreiben) die Elementare symmetrische Polynome in den Wurzeln. Zum Beispiel, (x – a) (x – b) = x² - (a + b)x + ab, wo 1, a + b und ab sind die elementaren Polynome von Grad 0, 1 und 2 in zwei Variablen.

Dies wurde zum ersten Mal vom französischen Mathematiker aus dem 16. Jahrhundert formalisiert François Viète, in Viètes Formelnfür den Fall positiver realer Wurzeln. Nach Meinung des britischen Mathematikers aus dem 18. Jahrhundert Charles Hutton,^[2] Die Expression von Koeffizienten eines Polynoms in Bezug auf die Wurzeln (nicht nur für positive Wurzeln) wurde erstmals vom französischen Mathematiker aus dem 17. Jahrhundert verstanden Albert Girard; Hutton schreibt:

... [Girard] war die erste Person, die die allgemeine Lehre der Bildung der Koeffizienten der Mächte aus der Summe der Wurzeln und ihrer Produkte verstand. Er war der erste, der die Regeln entdeckte, um die Befugnisse der Wurzeln jeder Gleichung zusammenzufassen.

In diesem Sinne die Diskriminanz ist eine symmetrische Funktion in den Wurzeln, die die Eigenschaften der Wurzeln widerspiegelt - es ist Null, wenn das Polynom eine Mehrfachwurzel hat, und für quadratische und kubische Polynome ist es positiv, wenn und nur wenn alle Wurzeln real und unterschiedlich und negativ sind Wenn und nur wenn es ein Paar unterschiedlicher komplexer konjugierter Wurzeln gibt. Sehen Diskriminanz: Art der Wurzeln für Details.

Der Kubik Scipione del Ferro, der seine Ergebnisse jedoch nicht veröffentlichte; Diese Methode löste jedoch nur eine Art Kubikgleichung. Diese Lösung wurde dann 1535 von 1535 unabhängig voneinander entdeckt Niccolò Fontana Tartaglia, wer teilte es mit Gerolamo Cardanobitten ihn, es nicht zu veröffentlichen. Cardano erweiterte dies dann auf zahlreiche andere Fälle mit ähnlichen Argumenten; Weitere Informationen finden Sie unter Cardanos Methode. Nach der Entdeckung von Del Ferros Arbeit war er der Ansicht, dass Tartaglias Methode nicht mehr geheim war, und somit veröffentlichte seine Lösung in seinem 1545 Ars Magna.^[3] Sein Schüler Lodovico Ferrari löste das quartische Polynom; Seine Lösung war auch in enthalten Ars Magna. In diesem Buch lieferte Cardano jedoch keine "allgemeine Formel" für die Lösung einer kubischen Gleichung, wie er es auch nicht hatte komplexe Zahlen zu ihm zur Verfügung, noch die algebraische Notation, eine allgemeine kubische Gleichung zu beschreiben. Mit modernen Notation und komplexen Zahlen funktionieren die Formeln in diesem Buch im allgemeinen Fall, aber Cardano wusste das nicht. Es war Rafael Bombelli Wer hat es geschafft zu verstehen, wie man mit komplexen Zahlen arbeitet, um alle Formen der kubischen Gleichung zu lösen.

Ein weiterer Schritt war das Papier von 1770 Réflexions Sur la Réolution Algébrique des équations vom französisch-italienischen Mathematiker Joseph Louis Lagrangein seiner Methode von LaGrange Resolvents, wo er Cardanos und Ferrari -Lösung für Kubik und Quartik analysierte, indem er sie in Bezug Permutationen von den Wurzeln, die ein Hilfspolynom mit niedrigerem Grad ergaben, das ein einheitliches Verständnis der Lösungen lieferte und die Grundlage für die Gruppentheorie und die Galois 'Theorie legte. Entscheidend war jedoch nicht in Betracht gezogen Komposition von Permutationen. Die Methode von LaGrange erstreckte sich nicht auf quintische Gleichungen oder höher, da das Resolvent einen höheren Grad hatte.

Der Quintische hatte fast nachweislich keine allgemeinen Lösungen von Radikalen von Paolo Ruffini 1799, dessen wichtige Einblicke in die Verwendung waren Permutation Gruppen, nicht nur eine einzige Permutation. Seine Lösung enthielt eine Lücke, die Cauchy als Nebenfach betrachtete, obwohl dies erst in der Arbeit des norwegischen Mathematikers geflickt wurde Niels Henrik Abel, der 1824 einen Beweis veröffentlichte und so die Festlegung des Abel -Ruffini -Theorem.

Während Ruffini und Abel feststellten, dass die Allgemeines quintisch konnte nicht gelöst werden, einige besondere Quintics können gelöst werden, wie z. x⁵ - 1 = 0und das genaue Kriterium, durch das a gegeben Quintisches oder höheres Polynom könnte als lösbar bestimmt werden oder nicht, wurde durch gegeben Évariste Galois, wer zeigte, ob ein Polynom lösbar war oder nicht, entspricht der Frage Galois -Gruppe - hatte eine bestimmte Struktur - in modernen Begriffen, ob es ein war oder nicht Lösbare Gruppe. Diese Gruppe war immer lösbar für Polynome von vier oder weniger, aber nicht immer für Polynome von Five Five Five Five and größer, was erklärt, warum es keine allgemeine Lösung in höheren Grad gibt.

Galois 'Schriften

Ein Porträt von Évariste Galois im Alter von ungefähr 15 Jahren

1830 untergelegt Galois (im Alter von 18 Jahren) dem der vorgelegten Pariser Akademie der Wissenschaften eine Memoiren zu seiner Theorie der Solvabilität durch Radikale; Galois 'Papier wurde letztendlich 1831 als zu skizzenhaft und für die Erkrankung in Bezug auf die Wurzeln der Gleichung anstelle ihrer Koeffizienten abgelehnt. Galois starb dann 1832 in einem Duell und seine Zeitung ","Mémoire sur les Bedingungen de résolubilité des équations par radicaux", blieb bis 1846 unveröffentlicht, als es veröffentlicht wurde von Joseph Liouville Begleitet von einigen seiner eigenen Erklärungen.^[4] Vor dieser Veröffentlichung kündigte Liouville Galois 'Ergebnis der Akademie in einer Rede, die er am 4. Juli 1843 hielt.^[5] Laut Allan Clark ersetzt Galois 'Charakterisierung "die Arbeit von Abel und Ruffini dramatisch".^[6]

Nachwirkungen

Galois 'Theorie war für seine Zeitgenossen notorisch schwierig zu verstehen, insbesondere auf das Niveau, auf dem sie sie erweitern konnten. In seinem Kommentar von 1846 hat Liouville beispielsweise den gruppentheoretischen Kern der Galois 'Methode völlig verpasst.^[7] Joseph Alfred Serret Wer einige von Liouvilles Gesprächen besuchte, enthielt Galois 'Theorie in seinem 1866 (dritten Ausgabe) seines Lehrbuchs Kurse d'Algèbre supérieure. Pupille des Serrets, Camille Jordan, hatte ein noch besseres Verständnis in seinem Buch von 1870 widerspiegelt Merkmale des Substitutions et des équations Algébriquen. Außerhalb Frankreichs blieb Galois 'Theorie für einen längeren Zeitraum dunkel. In Britannien, Cayley Es war nicht einmal die tiefe Tiefe und die beliebten britischen Algebra -Lehrbücher zu erfassen, die Galois 'Theorie bis weit nach der Jahrhundertwende erwähnt hatte. In Deutschland konzentrierten sich Kroneckers Schriften mehr auf Abels Ergebnis. Dedekind schrieb wenig über Galois 'Theorie, lehrte aber 1858 in Göttingen und zeigte ein sehr gutes Verständnis.^[8] Eugen NettoBücher der 1880er Jahre, basierend auf Jordanien Merkmale, machte die Galois -Theorie für ein breiteres deutsches und amerikanisches Publikum zugänglich Heinrich Martin Weber1895 Algebra -Lehrbuch.^[9]

Permutationsgruppe Ansatz

Bei einem Polynom kann es sein, dass einige der Wurzeln durch verschiedene verbunden sind algebraische Gleichungen. Zum Beispiel kann es das sein, dass für zwei der Wurzeln sagen soll A und B, das A² + 5B³ = 7. Die zentrale Idee von Galois 'Theorie ist zu berücksichtigen Permutationen (oder Umstände) der Wurzeln so, dass irgendein Algebraische Gleichung, die von den Wurzeln erfüllt werden, ist immer noch zufrieden Nachdem die Wurzeln durchdrungen sind. Ursprünglich wurde die Theorie für algebraische Gleichungen entwickelt, deren Koeffizienten sind Rationale Zahlen. Es erstreckt sich natürlich auf Gleichungen mit Koeffizienten in jedem aufstellenDies wird jedoch in den einfachen Beispielen unten nicht berücksichtigt.

Diese Permutationen zusammen bilden a Permutationsgruppe, auch die genannt Galois -Gruppe des Polynoms, das in den folgenden Beispielen explizit beschrieben wird.

Quadratische Gleichung

Bedenke die quadratische Gleichung

${\ displayStyle x^{2} -4x+1 = 0.}$

Durch Verwendung der quadratische FormelWir stellen fest, dass die beiden Wurzeln sind

$oder$

Beispiele für algebraische Gleichungen durch A und B enthalten

${\ displayStyle a+b = 4,}$

und

${\ displayStyle ab = 1.}$

Wenn wir austauschen A und B In einer der letzten beiden Gleichungen erhalten wir eine weitere wahre Aussage. Zum Beispiel die Gleichung A + B = 4 wird B + A = 4. Es ist allgemeiner wahr, dass dies für sich gilt jeder möglich algebraische Beziehung zwischen A und B so dass alles Koeffizienten sind rational; Das heißt in irgendeiner Beziehung A und B ergibt eine andere wahre Beziehung. Dies ergibt sich aus der Theorie von Symmetrische Polynome, was in diesem Fall durch Formelmanipulationen ersetzt werden kann, die die betreffen Binomialsatz.

Man könnte das erheben A und B werden durch die algebraische Gleichung verwandt A − B - 2√3 = 0, was nicht wahr bleibt, wenn A und B werden ausgetauscht. Diese Beziehung wird hier jedoch nicht berücksichtigt, da sie den Koeffizienten hat –2√3 welches ist nicht rational.

Wir schließen daraus, dass die Galois -Gruppe des Polynoms x² - 4x + 1 besteht aus zwei Permutationen: die Identität Permutation, die verlässt A und B unberührt und die Transposition Permutation, die sich austauscht A und B. Es ist ein zyklische Gruppe der Bestellung zwei und deshalb isomorph zu Z/2Z.

Eine ähnliche Diskussion gilt für alle quadratischen Polynom Axt² + BX + c, wo a, b und c sind rationale Zahlen.

• Wenn das Polynom zum Beispiel rationale Wurzeln hat x² - 4x + 4 = ((x - 2)², oder x² - 3x + 2 = ((x - 2) (x - 1)Dann ist die Galois -Gruppe trivial; Das heißt, es enthält nur die Identitätpermutation. In diesem Beispiel, wenn A = 2 und B = 1 dann A − B = 1 ist nicht mehr wahr, wenn A und B werden ausgetauscht.
• Wenn es zwei hat irrational Wurzeln zum Beispiel x² - 2Dann enthält die Galois -Gruppe zwei Permutationen, genau wie im obigen Beispiel.

Quart -Gleichung

Betrachten Sie das Polynom

${\ displaystyle x^{4} -10x^{2} +1,}$

was auch als geschrieben werden kann als

${\ displayStyle \ links (x^{2} -5 \ rechts)^{2} -24.}$

Wir möchten die Galois -Gruppe dieses Polynoms erneut über dem Feld von beschreiben Rationale Zahlen. Das Polynom hat vier Wurzeln:

$oder =-{\ sqrt {2}}+{\ sqrt {3}}, \\ d & =-{\ sqrt {2}}-{\ sqrt {3}}.$

Es gibt 24 mögliche Möglichkeiten, diese vier Wurzeln zu durchdringen, aber nicht alle diese Permutationen sind Mitglieder der Galois -Gruppe. Die Mitglieder der Galois -Gruppe müssen jede algebraische Gleichung mit rationalen Koeffizienten bewahren A, B, C und D.

Unter diesen Gleichungen haben wir:

$oder$

Daraus folgt, wenn φ ist eine Permutation, die zur Galois -Gruppe gehört, wir müssen:

$oder (A)}}, \\\ varphi (d) & =-\ varphi (a). \ End {ausgerichtet}}}$

Dies impliziert, dass die Permutation durch das Bild von gut definiert ist Aund dass die Galois -Gruppe 4 Elemente hat, nämlich:

(A, B, C, D) → (A, B, C, D)

(A, B, C, D) → (B, A, D, C)

(A, B, C, D) → (C, D, A, B)

(A, B, C, D) → (D, C, B, A)

Dies impliziert, dass die Galois -Gruppe für die isomorph ist Klein vier Gruppen.

Moderner Ansatz nach Feldtheorie

Im modernen Ansatz beginnt man mit einem Feldverlängerung L/K (lesen "L Über K") und untersucht die Gruppe von Automorphismen von L das Fix K. Siehe den Artikel über Galois -Gruppen Weitere Erläuterungen und Beispiele.

Die Verbindung zwischen den beiden Ansätzen ist wie folgt. Die Koeffizienten des fraglichen Polynoms sollten aus dem Basisfeld ausgewählt werden K. Das obere Feld L Sollte das Feld sein, das durch die Wurzeln des betreffenden Polynoms an das Basisfeld gewonnen wird. Jede Permutation der Wurzeln, die algebraische Gleichungen wie oben beschrieben respektieren L/K, und umgekehrt.

Im ersten obigen Beispiel untersuchten wir die Erweiterung Q(√3)/Q, wo Q ist das Feld von Rationale Zahlen, und Q(√3) ist das Feld erhalten von Q durch angrenzende √3. Im zweiten Beispiel untersuchten wir die Erweiterung Q(A,B,C,D)/Q.

Der moderne Ansatz gegenüber dem Ansatz der Permutationsgruppe hat mehrere Vorteile.

• Es ermöglicht eine weitaus einfachere Aussage der Grundsatz der Galois -Theorie.
• Die Verwendung von anderen Basisfeldern als Q ist in vielen Bereichen der Mathematik von entscheidender Bedeutung. Zum Beispiel in Algebraische ZahlentheorieMan macht die Galois -Theorie oft mithilfe Zahlenfelder, endliche Felder oder Lokale Felder als Basisfeld.
• Es ermöglicht es, in unendliche Erweiterungen leichter zu untersuchen. Auch dies ist wichtig in der algebraischen Zahlentheorie, in der man beispielsweise oft die diskutiert Absolute Galois -Gruppe von Q, definiert als Galois -Gruppe von K/Q wo K ist ein algebraischer Schließung von Q.
• Es ermöglicht die Berücksichtigung von Untrennbare Erweiterungen. Dieses Problem entsteht nicht im klassischen Rahmen, da immer implizit angenommen wurde, dass Arithmetik charakteristisch Null, aber ungleich Null -Merkmal entsteht häufig in der Zahlentheorie und in Algebraische Geometrie.
• Es entfernt das ziemlich künstliche Vertrauen in die Verfolgung von Wurzeln von Polynomen. Das heißt, verschiedene Polynome können dieselben Verlängerungsfelder ergeben, und der moderne Ansatz erkennt den Zusammenhang zwischen diesen Polynomen.

Lösbare Gruppen und Lösung durch Radikale

Die Vorstellung von a Lösbare Gruppe in Gruppentheorie Ermöglicht es, festzustellen, ob ein Polynom in Radikalen lösbar ist, je nachdem, ob seine Galois -Gruppe die Eigenschaft der Solvabilität hat. Im Wesentlichen jede Feldverlängerung L/K entspricht a Faktorgruppe in einem Kompositionsserie der Galois -Gruppe. Wenn eine Faktorgruppe in der Kompositionsserie ist zyklisch von Ordnung n, und wenn in der entsprechenden Felderweiterung L/K das Feld K Enthält bereits a Primitive nDie Wurzel der Einheitdann ist es eine radikale Erweiterung und die Elemente von L kann dann mit dem ausgedrückt werden nDie Wurzel eines Elements von K.

Wenn alle Faktorgruppen in seiner Kompositionsserie zyklisch sind, heißt die Galois -Gruppe lösbarund alle Elemente des entsprechenden Feld Q).

Einer der großen Triumphe der Galois -Theorie war der Beweis, den für jeden n > 4Es gibt Polynome des Grades n die durch Radikale nicht lösbar sind (dies wurde unabhängig voneinander nachgewiesen, indem eine ähnliche Methode verwendet wird, durch Niels Henrik Abel ein paar Jahre zuvor und ist das Abel -Ruffini -Theorem) und eine systematische Möglichkeit zum Testen, ob ein spezifisches Polynom durch Radikale lösbar ist. Der Abel -Ruffini -Satz resultiert aus der Tatsache, dass für n > 4 das Symmetrische Gruppe S_n enthält ein einfach, nicht cyclisch, Normale Untergruppe, nämlich die Wechselgruppe A_n.

Ein nicht lösliches quintisches Beispiel

Für das Polynom f(x) = x⁵ − x - 1, die einsame echte Wurzel x = 1.1673 ... ist algebraisch, aber nicht ausdrucksvoll in Bezug auf Radikale. Die anderen vier Wurzeln sind komplexe Zahlen.

Van der Waerden^[10] zitiert das Polynom f(x) = x⁵ − x - 1. Bis zum Rationaler Wurzel Theorem Dies hat keine rationalen Nullen. Es gibt auch nicht lineare Faktoren Modulo 2 oder 3.

Die Galois -Gruppe von f(x) Modulo 2 ist zyklisch von Order 6, weil f(x) Modulo 2 Faktoren in Polynome von Ordnungen 2 und 3,, (x² + x + 1) (x³ + x² + 1).

f(x) Modulo 3 hat keinen linearen oder quadratischen Faktor und ist daher nicht reduzierbar. Somit enthält seine Modulo 3 Galois -Gruppe ein Element der Ordnung 5.

Es ist bekannt^[11] Dass ein Galois -Gruppenmodulo a Prime für eine Untergruppe der Galois -Gruppe über die Rationals isomorph ist. Eine Permutationsgruppe für 5 Objekte mit Elementen der Bestellungen 6 und 5 muss die symmetrische Gruppe sein S₅, was daher die Galois -Gruppe von ist f(x). Dies ist eines der einfachsten Beispiele für ein nicht lösliches quintisches Polynom. Entsprechend Serge Lang, Emil Artin war dieses Beispiel gern.^[12]

Inverse Galois -Problem

Das Inverse Galois -Problem ist eine Feldverlängerung mit einer bestimmten Galois -Gruppe zu finden.

Solange man das nicht auch angibt BodenfeldDas Problem ist nicht sehr schwierig und alle endlichen Gruppen treten als Galois -Gruppen auf. Um dies anzuzeigen, kann man wie folgt vorgehen. Wählen Sie ein Feld K und eine endliche Gruppe G. Cayleys Theorem sagt, dass G ist (bis zum Isomorphismus) eine Untergruppe der Symmetrische Gruppe S auf die Elemente von G. Wählen Sie Unbestimmtheit {x_α}, eine für jedes Element α von Gund anging sie an K das Feld bekommen F = K({{x_α}). Innerhalb enthalten F ist das Feld L symmetrisch rationale Funktionen in dem {x_α}. Die Galois -Gruppe von F/L ist S, durch ein grundlegendes Ergebnis von Emil Artin. G Handlungen auf F durch Einschränkung der Wirkung von S. Wenn die Festes Feld dieser Aktion ist Mdann von der Grundsatz der Galois -Theorie, die Galois -Gruppe von F/M ist G.

Auf der anderen Seite ist es ein offenes Problem, ob jede endliche Gruppe die Galois -Gruppe einer Feldverlängerung des Feldes ist Q der rationalen Zahlen. Igor Shafarevich bewies, dass jede lösbare endliche Gruppe die Galois -Gruppe einer Erweiterung von ist Q. Verschiedene Menschen haben das inverse Galois-Problem für ausgewählte Nicht-Abelianer gelöst einfache Gruppen. Die Existenz von Lösungen wurde für alle außer einem (möglicherweise möglicherweise "gezeigt (Mathieu -Gruppe M₂₃) der 26 sporadischen einfachen Gruppen. Es gibt sogar ein Polynom mit integralen Koeffizienten, deren Galois -Gruppe die ist Monstergruppe.

Untrennbare Erweiterungen

In der oben genannten Form, einschließlich insbesondere die Grundsatz der Galois -TheorieDie Theorie betrachtet nur Galois -Erweiterungen, die insbesondere trennbar sind. Allgemeine Feldverlängerungen können in ein Trennbar aufgeteilt werden, gefolgt von a rein untrennbare Feldverlängerung. Für eine rein untrennbare Erweiterung F / KEs gibt eine Galois -Theorie, in der die Galois -Gruppe durch die ersetzt wird Vektorraum von Ableitungen, ${\ displayStyle der_ {k} (f, f)}$, d.h. K-lineare Endomorphismen von F Befriedigung der Leibniz -Regel. In dieser Korrespondenz ein Zwischenfeld E wird zugewiesen ${\ displayStyle der_ {e} (f, f) \ subset der_ {k} (f, f)}$. Umgekehrt a Unterraum ${\ displayStyle v \ subset der_ {k} (f, f)}$ Die Befriedigung der geeigneten weiteren Bedingungen wird auf die Erregung der Befriedigung der Erkrankungen zugeordnet ${\ displaystyle \ {x \ in f, f (x) = 0 \ \ forall f \ in v \}}$. Unter der Annahme ${\ displayStyle f^{p} \ subset k}$, Jacobson (1944) zeigten, dass dies eine Eins-zu-Eins-Korrespondenz festlegt. Die von Jacobson auferlegte Bedingung wurde von entfernt von Brantner & Waldron (2020), durch Angeben einer Korrespondenz mit Vorstellungen von abgeleitete algebraische Geometrie.

Siehe auch

• Galois -Gruppe Weitere Beispiele
• Grundsatz der Galois -Theorie
• Differentiale Galois -Theorie Für eine Galois -Theorie der Differentialgleichungen
• Grothendiecks Galois -Theorie Für eine enorme Verallgemeinerung der Galois -Theorie
• Topologische Galois -Theorie
• Artin -Schitter -Theorie, ein Unterfeld der Galois-Theorie

Anmerkungen

Verweise

• Artin, Emil (1998) [1944]. Galois -Theorie. Dover. ISBN 0-486-62342-4.
• Bewersdorff, Jörg (2006). Galois -Theorie für Anfänger: Eine historische Perspektive. Die mathematische Student -Bibliothek. Vol. 35. American Mathematical Society. doi:10.1090/STML/035. ISBN 0-8218-3817-2. S2CID 118256821.
• Brantner, Lukas; Waldron, Joe (2020), Rein untrennbar Galois -Theorie I: Der grundlegende Theorem, Arxiv:2010.15707
• Cardano, Gerolamo (1545). Artis Magnæ (PDF) (in Latein).
• Edwards, Harold M. (1984). Galois -Theorie. Springer-Verlag. ISBN 0-387-90980-x. (Galois 'Originalpapier mit umfangreichem Hintergrund und Kommentar.)
• Funkhouser, H. Gray (1930). "Ein kurzer Bericht über die Geschichte der symmetrischen Funktionen von Wurzeln von Gleichungen". Amerikanischer mathematischer Monat. 37 (7): 357–365. doi:10.2307/2299273. JStor 2299273.
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• Jacobson, Nathan (1944), "Galois -Theorie von rein untrennbaren Feldern von Exponent One", Amer. J. Math., 66 (4): 645–648, doi:10.2307/2371772, JStor 2371772
• Jacobson, Nathan (1985). Basisalgebra i (2. Aufl.). W. H. Freeman. ISBN 0-7167-1480-9. (Kapitel 4 gibt eine Einführung in den feld-theoretischen Ansatz zur Galois-Theorie.)
• Janelidze, G.; Borceux, Francis (2001). Galois -Theorien. Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-80309-0. (Dieses Buch führt den Leser in die Galois -Theorie von vor Grothendieckund einige Verallgemeinerungen, die zu Galois führen Gruppoide.))
• Lang, Serge (1994). Algebraische Zahlentheorie. Berlin, New York: Springer-Verlag. ISBN 978-0-387-94225-4.
• Postnikov, M. M. (2004). Grundlagen der Galois -Theorie. Dover Publications. ISBN 0-486-43518-0.
• Rotman, Joseph (1998). Galois -Theorie (2. Aufl.). Springer. ISBN 0-387-98541-7.
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• Van der Waerden, Bartel Leendert (1931). Moderne Algebra (auf Deutsch). Berlin: Springer.. englische Übersetzung (von der 2. überarbeiteten Ausgabe): Moderne Algebra. New York: Frederick Ungar. 1949. (Später in englischer Spring von Springer unter dem Titel "Algebra" neu veröffentlicht.)

Externe Links

• Die Wörterbuchdefinition von Galois -Theorie bei wiktionary
• Medien im Zusammenhang mit der Galois -Theorie bei Wikimedia Commons