Funktion (Mathematik)

Im Mathematik, a Funktion von einem einstellen X zu einem Satz Y zuweist jedem Element von X genau ein Element von Y.^[1] Der Satz X wird genannt Domain der Funktion^[2] und das Set Y wird genannt Codomäne der Funktion.^[3]

Funktionen waren ursprünglich die Idealisierung, wie eine unterschiedliche Menge von einer anderen Menge abhängt. Zum Beispiel die Position von a Planet ist ein Funktion von Zeit. HistorischDas Konzept wurde mit dem ausgearbeitet Infinitesimale Kalkül Ende des 17. Jahrhunderts und bis zum 19. Jahrhundert waren die in Betracht gezogenen Funktionen differenzierbar (Das heißt, sie hatten ein hohes Maß an Regelmäßigkeit). Das Konzept einer Funktion wurde am Ende des 19. Jahrhunderts in Bezug auf die Form formalisiert Mengenlehreund dies vergrößerte die Domänen der Anwendung des Konzepts stark.

Eine Funktion wird am häufigsten durch Buchstaben wie z. f, g und hund der Wert einer Funktion f in einem Element x seiner Domäne wird mit bezeichnet durch f(x); der numerische Wert, der aus dem resultiert Funktionsbewertung Bei einem bestimmten Eingabewert wird durch Ersetzen bezeichnet x mit diesem Wert; Zum Beispiel der Wert von f bei x = 4 wird bezeichnet durch f(4). Wenn die Funktion nicht genannt wird und durch eine dargestellt wird Ausdruck E, der Wert der Funktion beispielsweise, x = 4 kann bezeichnet werden durch E|_{x= 4}. Zum Beispiel der Wert bei 4 der Funktion, die kartiert x zu ${\ displayStyle (x+1)^{2}}$ kann bezeichnet werden durch ${\ displayStyle \ links. (x+1)^{2} \ rechts \ vert _ {x = 4}}$ (was in ... endet 25).

Eine Funktion wird einzigartig durch den Satz aller dargestellt Paare (x, f(x)), genannt Grafik der Funktion, ein beliebtes Mittel zur Veranschaulichung der Funktion.^{[Anmerkung 1][4]} Wenn die Domäne und die Codomäne reelle Zahlensätze sind, kann jedes solche Paar als das betrachtet werden Kartesischen Koordinaten von einem Punkt im Flugzeug.

Funktionen werden in großem Umfang verwendet in Wissenschaft, Ingenieurwesenund in den meisten Bereichen der Mathematik. Es wurde gesagt, dass Funktionen in den meisten Bereichen der Mathematik "die zentralen Untersuchungsobjekte" sind.^[5]

Schematische Darstellung einer Funktion, die metaphorisch als "Maschine" oder "beschrieben wirdFlugschreiber"Das für jeden Eingang ergibt eine entsprechende Ausgabe

Die rote Kurve ist die Grafik einer Funktion, weil jeder vertikale Linie hat genau einen Kreuzungspunkt mit der Kurve.

Eine Funktion, die eine der vier farbigen Formen mit seiner Farbe verbindet.

Definition

Diagramm einer Funktion mit Domäne X = {1, 2, 3} und Codomain Y = {A, b, c, d}, was durch die Menge der geordneten Paare definiert wird {(1, d), (2, c), (3, c)} . Das Bild/Bereich ist der Satz {CD} .

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Dieses Diagramm, das die Gruppe von Paaren darstellt {(1, d), (2, b), (2, c)} , tut nicht eine Funktion definieren. Ein Grund dafür ist, dass 2 das erste Element in mehr als einem geordneten Paar ist. (2, b) und (2, c)von diesem Satz. Zwei weitere Gründe, ebenfalls ausreichend für sich, sind, dass weder 3 noch 4 erste Elemente (Eingaben) eines geordneten Paares darin sind.

A Funktion von einem einstellen X zu einem Satz Y ist eine Zuordnung eines Elements von Y zu jedem Element von X. Der Satz X wird genannt Domain der Funktion und des Satzes Y wird genannt Codomäne der Funktion.

Eine Funktion, ihre Domäne und ihre Codomäne werden durch die Notation deklariert f: X→Yund der Wert einer Funktion f in einem Element x von X, bezeichnet durch f (x), heißt das Bild von x unter f, oder der Wert von f angewendet auf die Streit x.

Funktionen werden auch genannt Karten oder Zuordnungen, obwohl einige Autoren einen gewissen Unterschied zwischen "Karten" und "Funktionen" machen (siehe § Andere Begriffe).

Zwei Funktionen f und g sind gleich, wenn ihre Domänen- und Codomänen -Sets gleich sind und ihre Ausgabetupfer auf die gesamte Domäne einverstanden sind. Formeller, gegebener f: X → Y und g: X → Y, wir haben f = g dann und nur dann, wenn f(x) = g(x) für alle x ∈ X.^{[6][Anmerkung 2]}

Die Domäne und die Codomäne werden nicht immer explizit angegeben, wenn eine Funktion definiert ist, und ohne eine (möglicherweise schwierige) Berechnung kann man nur wissen, dass die Domäne in einem größeren Satz enthalten ist. Typischerweise tritt dies in vor Mathematische Analyse, wo "eine Funktion aus X zu Y " bezieht sich oft auf eine Funktion, die eine ordnungsgemäße Teilmenge aufweist^{[Notiz 3]} von X als Domain. Zum Beispiel kann sich auf eine "Funktion von den Realität zu den Realität" auf a beziehen echt bewertet Funktion von a Echte Variable. Eine "Funktion von den Realität bis zu den Realität" bedeutet jedoch nicht, dass die Domäne der Funktion der gesamte Satz der ist reale Nummern, aber nur, dass die Domäne eine Reihe realer Zahlen ist, die eine nicht leere Offenes Intervall. Eine solche Funktion wird dann a genannt Teilfunktion. Zum Beispiel wenn f ist eine Funktion, die die realen Zahlen als Domäne und Codomäne hat, dann als Funktion, die den Wert zuordnet x zum Wert g(x) = 1/f(x) ist eine Funktion g Von den Realformen bis zu den Realität, deren Domäne das Set der Realität ist x, so dass f(x) ≠ 0.

Das Angebot oder Bild einer Funktion ist der Satz der Bilder von allen Elementen in der Domäne.^{[7][8][9][10]}

Totaler, einheitlicher Beziehung

Jede Teilmenge der kartesisches Produkt von zwei Sätzen X und Y definiert a binäre Beziehung R ⊆ X × Y zwischen diesen beiden Sätzen. Es ist unmittelbar, dass eine willkürliche Beziehung Paare enthalten kann, die gegen die erforderlichen Bedingungen für eine oben angegebene Funktion verstoßen.

Eine binäre Beziehung ist Univalent (auch rechte Einheit genannt) wenn

${\ displayStyle \ forall x \ in x, \ forall y \ in y, \ forall z \ in y, \ quad ((x, y) \ in r \ land (x, z) \ in r) \ impliziert y = impliziert y = z.}$

Eine binäre Beziehung ist gesamt wenn

${\ displaystyle \ forall x \ in x, \ existiert y \ in y, \ quad (x, y) \ in R.}$

A Teilfunktion ist eine binäre Beziehung, die einheitlich ist und a Funktion ist eine binäre Beziehung, die einheitlich und total ist.

Verschiedene Eigenschaften von Funktionen und Funktionszusammensetzung können in der Sprache der Beziehungen neu formuliert werden.^[11] Zum Beispiel ist eine Funktion injektiv Wenn die Gegentliche Beziehung R^T ⊆ Y × X ist einheitlich, wo die umgekehrte Beziehung definiert wird als R^T = {(((y, x) | (x, y) ∈ R}.

Exponentiation festlegen

Die Menge aller Funktionen aus einem Satz ${\ displayStyle x}$ zu einem Satz ${\ displayStyle y}$ wird häufig als bezeichnet als als

${\ displayStyle y^{x},},}$

was gelesen wird als ${\ displayStyle y}$ zur Kraft ${\ displayStyle x}$.

Diese Notation ist die gleiche wie die Notation für die kartesisches Produkt von a Familie von Kopien von ${\ displayStyle y}$ indiziert von ${\ displayStyle x}$:

${\ displayStyle y^{x} = \ prod _ {x \ in x} y.}$

Die Identität dieser beiden Notationen wird durch die Tatsache motiviert, dass eine Funktion ${\ displayStyle f}$ kann mit dem Element des kartesischen Produkts so identifiziert werden, dass die Komponente des Index ${\ displayStyle x}$ ist ${\ displayStyle f (x)}$.

Wann ${\ displayStyle y}$ hat zwei Elemente, ${\ displayStyle y^{x}}$ wird allgemein bezeichnet ${\ displayStyle 2^{x}}$ und genannt das Poweret von X. Es kann mit dem Satz von allen identifiziert werden Untergruppen von ${\ displayStyle x}$durch die Eins-zu-Eins-Korrespondenz, die jeder Untergruppe assoziiert ${\ displayStyle S \ subseteq x}$ die Funktion ${\ displayStyle f}$ so dass ${\ displayStyle f (x) = 1}$ wenn ${\ displayStyle x \ in x}$ und ${\ displayStyle f (x) = 0}$ Andernfalls.

Notation

Es gibt verschiedene Standardmethoden, um Funktionen zu bezeichnen. Die am häufigsten verwendete Notation ist die funktionale Notation, die die erste nachstehend beschriebene Notation ist.

Funktionale Notation

In der funktionalen Notation erhält die Funktion sofort einen Namen, wie z. fund seine Definition ergibt sich aus was f tut das explizite Argument xmit einer Formel in Bezug auf x. Zum Beispiel wird die Funktion, die eine reelle Zahl als Eingabe nimmt und diese Zahl plus 1 ausgibt

${\ displayStyle f (x) = x+1}$.

Wenn in dieser Notation eine Funktion definiert ist, werden ihre Domäne und ihre Codomäne implizit angenommen, um beide zu sein ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$, die Menge der realen Zahlen. Wenn die Formel nicht in allen realen Zahlen bewertet werden kann, wird die Domäne implizit als maximale Teilmenge von angesehen ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ auf die die Formel bewertet werden kann; sehen Domäne einer Funktion.

Ein komplizierteres Beispiel ist die Funktion

${\ displayStyle f (x) = \ sin (x^{2} +1)}$.

In diesem Beispiel die Funktion f Nimmt eine reelle Zahl als Eingabe, weist sie auf, fügt dann 1 zum Ergebnis hinzu, nimmt dann den Sinus des Ergebnisses und gibt das Endergebnis als Ausgabe zurück.

Wenn das Symbol, das die Funktion bezeichnet, aus mehreren Zeichen besteht und keine Unklarheiten auftreten können, können die Klammern der funktionalen Notation weggelassen werden. Zum Beispiel ist es üblich, zu schreiben Sünde x Anstatt von Sünde(x).

Die funktionale Notation wurde zuerst von verwendet von Leonhard Euler 1734.^[12] Einige weit verbreitete Funktionen werden durch ein Symbol dargestellt, das aus mehreren Buchstaben besteht (normalerweise zwei oder drei, im Allgemeinen eine Abkürzung ihres Namens). In diesem Fall a Antiqua wird üblicherweise stattdessen verwendet, wie z. "Sünde"für die Sinusfunktionim Gegensatz zur kursiven Schriftart für Einzelbuchstabensymbole.

Bei der Verwendung dieser Notation trifft man oft auf die Missbrauch der Notation wobei die Notation f(x) kann sich auf den Wert von beziehen f bei x, oder zur Funktion selbst. Wenn die Variable x wurde zuvor deklariert, dann die Notation f(x) eindeutig bedeutet der Wert von f bei x. Ansonsten ist es nützlich, die Notation als beide gleichzeitig zu verstehen. Dadurch kann man die Zusammensetzung von zwei Funktionen bezeichnen f und g auf kurze Weise durch die Notation f(g(x)).

Allerdings unterscheiden f und f(x) Kann in Fällen, in denen Funktionen selbst als Eingaben für andere Funktionen dienen, wichtig werden. (Eine Funktion, die eine andere Funktion als Eingabe nimmt, wird a als a funktional.) Andere Ansätze der folgenden notierten Funktionen, die unten detailliert sind, vermeiden dieses Problem, werden jedoch seltener verwendet.

Pfeil Notation

Die Arrow -Notation definiert die Regel einer Funktion Inline, ohne dass ein Name der Funktion angegeben werden muss. Zum Beispiel, ${\ displayStyle x \ MapSto x+1}$ ist die Funktion, die eine reelle Zahl als Eingabe nimmt und diese Zahl plus 1. Auch 1 eine Domäne und eine Codomäne von ausgibt ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ ist impliziert.

Die Domäne und die Codomäne können ebenfalls explizit angegeben werden, zum Beispiel:

$oder$

Dies definiert eine Funktion sqr Von den Ganzzahlen bis zu den Ganzzahlen, die das Quadrat seines Eingangs zurückgeben.

Angenommen, eine gemeinsame Anwendung der Pfeilnotation ${\ displayStyle f \ colon x \ mal x \ bis y; \; (x, t) \ MapSto f (x, t)}$ ist eine Funktion in zwei Variablen, und wir möchten uns auf a beziehen teilweise angewandte Funktion ${\ displayStyle x \ bis y}$ Erzeugt, indem das zweite Argument auf den Wert festgelegt wird t₀ ohne einen neuen Funktionsnamen einzulegen. Die fragliche Karte könnte bezeichnet werden ${\ displayStyle x \ MapSto F (x, t_ {0})}$ Verwenden der Pfeilnotation. Der Ausdruck ${\ displayStyle x \ MapSto F (x, t_ {0})}$ (Lesen Sie: "Die Karte aufnimmt x zu f(x, t₀)") repräsentiert diese neue Funktion mit nur einem Argument, während der Ausdruck f(x₀, t₀) bezieht sich auf den Wert der Funktion f Bei der Punkt (x₀, t₀).

Indexnotation

Indexnotation wird häufig anstelle einer funktionalen Notation verwendet. Das heißt, anstatt zu schreiben f(x), schreibt man ${\ displayStyle f_ {x}.}$

Dies ist in der Regel bei Funktionen, deren Domäne der Satz der ist natürliche Zahlen. Eine solche Funktion wird a genannt Reihenfolgeund in diesem Fall das Element ${\ displayStyle f_ {n}}$ wird genannt nTH Element der Sequenz.

Die Indexnotation wird häufig auch zur Unterscheidung einiger Variablen verwendet, die genannt werden Parameter aus den "wahren Variablen". Tatsächlich sind Parameter spezifische Variablen, die während der Untersuchung eines Problems als fest angesehen werden. Zum Beispiel die Karte ${\ displayStyle x \ MapSto F (x, t)}$ (siehe oben) würde bezeichnet werden ${\ displayStyle f_ {t}}$ Verwenden der Indexnotation, wenn wir die Sammlung von Karten definieren ${\ displayStyle f_ {t}}$ durch die Formel ${\ displayStyle f_ {t} (x) = f (x, t)}$ für alle ${\ displayStyle x, t \ in x}$.

Punktnotation

In der Notation${\ displayStyle x \ MapSto F (x),},}$ das Symbol x repräsentiert keinen Wert, es ist einfach a Platzhalter das bedeutet, wenn x wird durch einen beliebigen Wert links vom Pfeil ersetzt, es sollte durch den gleichen Wert rechts vom Pfeil ersetzt werden. Deswegen, x kann durch ein Symbol ersetzt werden, oft eine Interpunkt " ⋅ ". Dies kann nützlich sein, um die Funktion zu unterscheiden f(≤) von seinem Wert f(x) bei x.

Zum Beispiel, ${\ displayStyle a (\ cdot)^{2}}$ kann für die Funktion stehen ${\ displaystyle x \ mapstox^{2}}$, und ${\ textstyle \ int _ {a}^{\, (\ cdot)} f (u) \, du}$ kann für eine Funktion stehen, die durch ein Integral mit variabler Obergrenze definiert ist: ${\ textstyle x \ mapsto \ int _ {a}^{x} f (u) \, du}$.

Spezialnotationen

Es gibt andere, spezialisierte Notationen für Funktionen in Unterdisziplinen der Mathematik. Zum Beispiel in Lineare Algebra und Funktionsanalyse, lineare Formen und die Vektoren Sie handeln mit a Doppelpaar das zugrunde liegende zeigen Dualität. Dies ähnelt der Verwendung von Bra -Ket -Notation in Quantenmechanik. Im Logik und die Theorie der Berechnungdie Funktionsnotation von Lambda -Kalkül wird verwendet, um explizit die grundlegenden Funktionsvorstellungen auszudrücken Abstraktion und Anwendung. Im Kategoriestheorie und Homologische Algebra, Netzwerke von Funktionen werden in Bezug auf ihre Art und Weise beschrieben, wie sie und ihre Kompositionen pendeln miteinander verwenden Kommutativdiagramme Dadurch erweitern und verallgemeinern Sie die oben beschriebene Pfeilnotation für Funktionen.

Andere Begriffe

Eine Funktion wird oft auch als a genannt Karte oder ein KartierungAber einige Autoren unterscheiden zwischen dem Begriff "Karte" und "Funktion". Beispielsweise ist der Begriff "Karte" häufig für eine "Funktion" mit einer speziellen Struktur reserviert (z. Karten von Verteilern). Im Speziellen Karte wird oft anstelle von verwendet Homomorphismus Aus Gründen der Prägnanz (z. B.,, lineare Karte oder Karte von G zu H Anstatt von Gruppe Homomorphismus aus G zu H). Einige Autoren^[18] Reservieren Sie das Wort Kartierung Für den Fall, in dem die Struktur der Codomäne ausdrücklich zur Definition der Funktion gehört.

Einige Autoren wie z. Serge Lang,^[19] Verwenden Sie "Funktion" nur, um sich auf Karten zu beziehen, für die die Codomäne ist eine Untergruppe der real oder Komplex Zahlen und verwenden Sie den Begriff Kartierung für allgemeinere Funktionen.

In der Theorie von Dynamische Systeme, eine Karte bezeichnet eine Evolutionsfunktion verwendet zum Erstellen Diskrete dynamische Systeme. Siehe auch Poincaré -Karte.

Welche Definition von Karte wird verwendet, verwandte Begriffe wie Domain, Codomäne, injektiv, kontinuierlich haben die gleiche Bedeutung wie für eine Funktion.

Angabe einer Funktion

Eine Funktion beigefügt ${\ displayStyle f}$per Definition zu jedem Element ${\ displayStyle x}$ der Domäne der Funktion ${\ displayStyle f}$Es ist ein eindeutiges Element zugeordnet, den Wert ${\ displayStyle f (x)}$ von ${\ displayStyle f}$ bei ${\ displayStyle x}$. Es gibt verschiedene Möglichkeiten, zu spezifizieren oder zu beschreiben, wie ${\ displayStyle x}$ bezieht sich auf ${\ displayStyle f (x)}$sowohl explizit als auch implizit. Manchmal ein Theorem oder ein Axiom Behauptet die Existenz einer Funktion mit einigen Eigenschaften, ohne sie genauer zu beschreiben. Oft wird die Spezifikation oder Beschreibung als Definition der Funktion bezeichnet ${\ displayStyle f}$.

Durch Auflistungsfunktionswerte

Bei einem endlichen Satz kann eine Funktion definiert werden, indem die Elemente der Codomäne aufgeführt sind, die den Elementen der Domäne zugeordnet sind. Zum Beispiel wenn ${\ displayStyle a = \ {1,2,3 \}}$dann kann man eine Funktion definieren ${\ displayStyle f \ colon a \ bis \ mathbb {r}}$ durch ${\ displayStyle f (1) = 2, f (2) = 3, f (3) = 4.}$

Durch eine Formel

Funktionen werden oft durch a definiert Formel das beschreibt eine Kombination von Rechenoperationen und zuvor definierte Funktionen; Eine solche Formel ermöglicht das Berechnen des Wertes der Funktion aus dem Wert eines beliebigen Elements der Domäne. Zum Beispiel im obigen Beispiel, ${\ displayStyle f}$ kann durch die Formel definiert werden ${\ displayStyle f (n) = n+1}$, zum ${\ displayStyle n \ in \ {1,2,3 \}}$.

Wenn eine Funktion auf diese Weise definiert wird, ist die Bestimmung ihrer Domäne manchmal schwierig. Wenn die Formel, die die Funktion definiert, Spaltungen enthält, müssen die Werte der Variablen, für die ein Nenner Null ist, von der Domäne ausgeschlossen werden. Für eine komplizierte Funktion führt die Bestimmung der Domäne durch die Berechnung der Nullen von Hilfsfunktionen. In ähnlicher Weise, wenn Quadratwurzeln treten in der Definition einer Funktion von vor ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ zu ${\ displaystyle \ mathbb {r},},}$ Die Domäne ist im Satz der Werte der Variablen enthalten, für die die Argumente der Quadratwurzeln nicht negativ sind.

Zum Beispiel, ${\ displayStyle f (x) = {\ sqrt {1+x^{2}}}}$ definiert eine Funktion ${\ displaystyle f \ colon \ mathbb {r} \ to \ mathbb {r}}$ deren Domain ist ${\ displaystyle \ mathbb {r},},}$ Weil ${\ displayStyle 1+x^{2}}$ ist immer positiv, wenn x ist eine reelle Zahl. Auf der anderen Seite, ${\ displayStyle f (x) = {\ sqrt {1-x^{2}}}}$ Definiert eine Funktion von den Realität bis zu den Realität, deren Domäne auf das Intervall reduziert wird [–1, 1]. (In alten Texten wurde eine solche Domäne die genannt Domäne der Definition der Funktion.)

Funktionen werden oft durch die Natur von Formeln klassifiziert, die sie definieren:

• A quadratische Funktion ist eine Funktion, die geschrieben werden kann ${\ displayStyle f (x) = ax^{2}+bx+c,}$ wo a, b, c sind Konstanten.
• Allgemeiner a Polynomfunktion ist eine Funktion, die durch eine Formel definiert werden kann, die nur Ergänzungen, Subtraktionen, Multiplikationen und beinhaltet Exponentiation zu nichtnegativen Ganzzahlen. Zum Beispiel, ${\ displayStyle f (x) = x^{3} -3x-1,}$ und ${\ displayStyle f (x) = (x-1) (x^{3} +1)+2x^{2} -1.}$
• A rationale Funktion ist dasselbe, mit auch zulässigen Abteilungen, wie z. ${\ displayStyle f (x) = {\ frac {x-1} {x+1}},},},}$ und $oder$
• Ein Algebraische Funktion ist dasselbe mit nDie Wurzeln und Wurzeln von Polynomen auch erlaubt.
• Ein Elementarfunktion^{[Anmerkung 4]} ist dasselbe mit Logarithmen und Exponentialfunktionen erlaubt.

Umgekehrte und implizite Funktionen

Eine Funktion ${\ displayStyle f \ colon x \ bis y,}$ mit Domain X und Codomain Y, ist Bijektiv, wenn für jeden y in YEs gibt ein und nur ein Element x in X so dass y = f(x). In diesem Fall die Umkehrfunktion von f ist die Funktion ${\ displayStyle f^{-1} \ colon y \ bis x}$ das karten ${\ displayStyle y \ in y}$ zum Element ${\ displayStyle x \ in x}$ so dass y = f(x). Zum Beispiel die Natürlicher Logarithmus ist eine bijektive Funktion von den positiven reellen Zahlen zu den reellen Zahlen. Es hat somit eine umgekehrte, genannt die Exponentialfunktion, das ordnet die realen Zahlen auf die positiven Zahlen zu.

Wenn eine Funktion ${\ displayStyle f \ colon x \ bis y}$ ist nicht bijektiv, es kann auftreten, dass man Teilmengen auswählen kann ${\ displayStyle e \ subseteq x}$ und ${\ displayStyle f \ subseteq y}$ so dass das Beschränkung von f zu E ist eine Bijektion von E zu Fund hat somit eine Umkehrung. Das inverse trigonometrische Funktionen sind so definiert. Zum Beispiel die Cosinusfunktion induziert durch Einschränkung eine Bijection aus dem Intervall [0,, π] auf das Intervall [–1, 1]und seine umgekehrte Funktion, genannt Arccosine, Karten [–1, 1] auf zu [0,, π]. Die anderen inversen trigonometrischen Funktionen sind ähnlich definiert.

Allgemeiner gegeben, gegeben a binäre Beziehung R zwischen zwei Sätzen X und Y, Lassen E eine Untergruppe von sein X so dass für jeden ${\ displayStyle x \ in e,}$ es gibt einige ${\ displayStyle y \ in y}$ so dass x r y. Wenn man ein Kriterium hat, das die Auswahl eines solchen Erlaubten ermöglicht y für jeden ${\ displayStyle x \ in e,}$ Dies definiert eine Funktion ${\ displayStyle f \ colon e \ bis y,}$ genannt implizite Funktion, weil es implizit durch die Beziehung definiert wird R.

Zum Beispiel die Gleichung der Einheitskreis ${\ displaystyle x^{2}+y^{2} = 1}$ definiert eine Beziehung zu reellen Zahlen. Wenn –1 < x < 1 Es gibt zwei mögliche Werte von y, ein positiv und ein negativ. Zum x = ± 1Diese beiden Werte werden beide gleich 0. Andernfalls gibt es keinen möglichen Wert von y. Dies bedeutet, dass die Gleichung zwei implizite Funktionen mit der Domäne definiert [–1, 1] und jeweilige Codomänen [0, +∞) und (−∞, 0].

In diesem Beispiel kann die Gleichung in gelöst werden y, geben ${\ displayStyle y = \ pm {\ sqrt {1-x^{2}}},},},},},},},},},},},},},}$ In komplizierteren Beispielen ist dies jedoch unmöglich. Zum Beispiel die Beziehung ${\ displayStyle y^{5}+y+x = 0}$ Definiert y als implizite Funktion von x, genannt Radikal bringen, was hat ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ als Domain und Reichweite. Das Bring -Radikal kann nicht in Bezug auf die vier arithmetischen Operationen ausgedrückt werden und nDie Wurzeln.

Das implizite Funktionssheorem Bietet mild Differenzierbarkeit Bedingungen für die Existenz und Einzigartigkeit einer impliziten Funktion in der Nachbarschaft eines Punktes.

Verwenden von Differentialkalkül

Viele Funktionen können definiert werden als die antiderivativ einer anderen Funktion. Dies ist der Fall von der Natürlicher Logarithmus, das ist das Antiderivieren von 1/x das ist 0 für x = 1. Ein weiteres häufiges Beispiel ist das Fehlerfunktion.

Allgemeiner viele Funktionen, einschließlich der meisten Spezialfunktionen, kann als Lösungen von definiert werden Differentialgleichung. Das einfachste Beispiel ist wahrscheinlich das Exponentialfunktion, was definiert werden kann als die eindeutige Funktion, die gleich ihrer Ableitung ist und den Wert 1 für nimmt x = 0.

Power -Serie Kann verwendet werden, um Funktionen auf der Domäne zu definieren, in der sie konvergieren. Zum Beispiel die Exponentialfunktion wird gegeben von $oder$. Da die Koeffizienten einer Reihe jedoch ziemlich willkürlich sind, ist eine Funktion, die die Summe einer konvergenten Reihe ist, im Allgemeinen anders definiert, und die Abfolge der Koeffizienten ist das Ergebnis einer Berechnung basierend auf einer anderen Definition. Anschließend kann die Power -Serie verwendet werden, um die Domäne der Funktion zu vergrößern. Normalerweise ist eine Funktion für eine reale Variable die Summe seiner Taylor -Serie In einigen Intervall ermöglicht diese Power -Serie die Domäne sofort auf eine Teilmenge der komplexe Zahlen, das Scheibe der Konvergenz der Serie. Dann Analytische Fortsetzung ermöglicht das Vergrößern der Domäne, um fast das Ganze aufzunehmen Komplexe Ebene. Dieser Prozess ist die Methode, die im Allgemeinen zur Definition der verwendet wird Logarithmus, das exponentiell und die trigonometrische Funktionen einer komplexen Zahl.

Durch Wiederauftreten

Funktionen, deren Domäne die nichtnegativen Ganzzahlen sind, bekannt als Sequenzen, werden oft definiert von Wiederholungsbeziehungen.

Das Fakultät Funktionen auf den nichtnegativen Ganzzahlen (${\ displayStyle n \ MapSto n!}$) ist ein grundlegendes Beispiel, da es durch die Rezidivbeziehung definiert werden kann

${\ displayStyle n! = n (n-1)! \ quad {\ text {für}} \ quad n> 0,}$

und der Anfangszustand

${\ displayStyle 0! = 1.}$

Eine Funktion darstellen

A Graph wird üblicherweise verwendet, um ein intuitives Bild einer Funktion zu verleihen. Als Beispiel dafür, wie ein Diagramm hilft, eine Funktion zu verstehen, ist es leicht zu erkennen, ob eine Funktion zunimmt oder abnimmt. Einige Funktionen können auch durch dargestellt werden durch Balkendiagramme.

Diagramme und Diagramme

Die Funktionsabbildung jedes Jahr zu seiner US -amerikanischen Kraftfahrzeug -Todesanzahl, die als a gezeigt wird Liniendiagramm

Die gleiche Funktion, die als Balkendiagramm angezeigt wird

Eine Funktion beigefügt ${\ displayStyle f \ colon x \ bis y,}$ es ist Graph ist formell der Satz

${\ displayStyle g = \ {(x, f (x)) \ mid x \ in x \}.}$

Im häufigsten Fall wo X und Y sind Untergruppen der reale Nummern (oder kann mit solchen Untergruppen identifiziert werden, z. Intervalle), ein Element ${\ displayStyle (x, y) \ in g}$ kann mit einem Punkt mit Koordinaten identifiziert werden x, y in einem 2-dimensionalen Koordinatensystem, z. das Kartesische Ebene. Teile davon können a erzeugen Handlung Das repräsentiert (Teile) der Funktion. Die Verwendung von Plots ist so allgegenwärtig, dass auch sie als die genannt werden Grafik der Funktion. Grafische Darstellungen von Funktionen sind auch in anderen Koordinatensystemen möglich. Zum Beispiel die Grafik der Quadratfunktion

${\ displayStyle x \ MapSto x^{2},},}$

bestehend aus allen Punkten mit Koordinaten ${\ displayStyle (x, x^{2})}$ zum ${\ displaystyle x \ in \ mathbb {r},},}$ Ergibt, wenn er in kartesischen Koordinaten dargestellt wird, die bekannten Parabel. Wenn dieselbe quadratische Funktion ${\ displayStyle x \ MapSto x^{2},},}$ mit dem gleichen formalen Diagramm, der aus Zahlenpaaren besteht Polar Koordinaten ${\ displayStyle (r, \ theta) = (x, x^{2}),},},}$ Die erhaltene Handlung ist Fermat's Spirale.

Tische

Eine Funktion kann als Werte Tabelle dargestellt werden. Wenn die Domäne einer Funktion endlich ist, kann die Funktion auf diese Weise vollständig angegeben werden. Zum Beispiel die Multiplikationsfunktion ${\ displaystyle f \ colon \ {1, \ ldots, 5 \}^{2} \ to \ mathbb {r}}$ definiert als ${\ displayStyle f (x, y) = xy}$ kann durch das Vertraute dargestellt werden Multiplikationstabelle

Wenn andererseits die Domäne einer Funktion kontinuierlich ist, kann eine Tabelle die Werte der Funktion bei bestimmten Werten der Domäne angeben. Wenn ein Zwischenwert erforderlich ist, Interpolation Kann verwendet werden, um den Wert der Funktion zu schätzen. Beispielsweise kann ein Teil einer Tabelle für die Sinusfunktion wie folgt angegeben werden, wobei die Werte auf 6 Dezimalstellen abgerundet werden:

Vor dem Aufkommen von Handheld -Taschenrechnern und PCs wurden solche Tabellen häufig für Funktionen wie Logarithmen und trigonometrische Funktionen erstellt und veröffentlicht.

Balkendiagramm

Balkendiagramme werden häufig zur Darstellung von Funktionen verwendet, deren Domäne ein endlicher Satz ist, die natürliche Zahlen, oder der Ganzzahlen. In diesem Fall ein Element x der Domäne wird durch eine dargestellt Intervall des x-achis und der entsprechende Wert der Funktion, f(x), wird durch a dargestellt Rechteck deren Basis ist das Intervall, das entspricht x und deren Größe ist f(x) (Möglicherweise negativ, in diesem Fall erstreckt sich die Balken unter dem x-Achse).

Allgemeine Eigenschaften

In diesem Abschnitt werden allgemeine Eigenschaften von Funktionen beschrieben, die unabhängig von bestimmten Eigenschaften der Domäne und der Codomäne sind.

Standardfunktionen

Es gibt eine Reihe von Standardfunktionen, die häufig auftreten:

• Für jeden Satz X, Es gibt eine einzigartige Funktion, die als die genannt wird leere Funktion, oder leere Karte, von dem leeres Set zu X. Die Grafik einer leeren Funktion ist der leere Satz.^{[Anmerkung 5]} Die Existenz der leeren Funktion ist eine Konvention, die für die Kohärenz der Theorie und zur Vermeidung von Ausnahmen über den leeren Satz in vielen Aussagen erforderlich ist.
• Für jeden Satz X Und jeder Singleton -Set {s}Es gibt eine einzigartige Funktion von X zu {s}, was jedes Element von ordnet X zu s. Dies ist eine Übersicht (siehe unten), es sei denn X ist das leere Set.
• Eine Funktion beigefügt ${\ displayStyle f \ colon x \ bis y,}$ das kanonische Überwachung von f auf sein Bild ${\ displayStyle f (x) = \ {f (x) \ mid x \ in x \}}$ ist die Funktion von X zu f(X) das karten x zu f(x).
• Für jeden Teilmenge A eines Satzes X, das Einschlusskarte von A hinein X ist die injektive (siehe unten) Funktion, die jedes Element von ordnet A zu sich selbst.
• Das Identitätsfunktion auf einem Set X, oft bezeichnet durch Ich würde_X, ist die Aufnahme von X in sich.

Funktionszusammensetzung

Mit zwei Funktionen ${\ displayStyle f \ colon x \ bis y}$ und ${\ displayStyle g \ colon y \ bis z}$ so dass die Domäne von g ist die Codomäne von f, ihr Komposition ist die Funktion ${\ displaystyle g \ circ f \ colon x \ rightarrow z}$ definiert von

${\ displayStyle (g \ circ f) (x) = g (f (x)).}$

Das heißt, der Wert von ${\ displayStyle g \ circ f}$ wird durch die erste Bewerbung erhalten f zu x erhalten y = f(x) und dann bewerben g zum Ergebnis y erhalten g(y) = g(f(x)). In der Notation ist die zuerst angewendete Funktion immer rechts geschrieben.

Die Zusammensetzung ${\ displayStyle g \ circ f}$ ist ein Betrieb Bei Funktionen, die nur definiert sind, wenn die Codomäne der ersten Funktion die Domäne der zweiten ist. Auch wenn beides ${\ displayStyle g \ circ f}$ und ${\ displayStyle f \ circ g}$ Erfüllen Sie diese Bedingungen, die Zusammensetzung ist nicht unbedingt kommutativdas heißt die Funktionen ${\ displayStyle g \ circ f}$ und ${\ displayStyle f \ circ g}$ muss nicht gleich sein, kann aber unterschiedliche Werte für dasselbe Argument liefern. Zum Beispiel lassen f(x) = x² und g(x) = x + 1, dann ${\ displayStyle g (f (x)) = x^{2} +1}$ und ${\ displayStyle f (g (x)) = (x+1)^{2}}$ stimme nur für zu ${\ displayStyle x = 0.}$

Die Funktionszusammensetzung ist assoziativ in dem Sinne, wenn einer von ${\ displayStyle (h \ circ g) \ circ f}$ und ${\ displayStyle h \ circ (g \ circ f)}$ ist definiert, dann ist auch der andere definiert und sie sind gleich. So schreibt man

$oder$

Das Identitätsfunktionen ${\ displayStyle \ operatorname {id} _ {x}}$ und ${\ displayStyle \ operatorname {id} _ {y}}$ sind jeweils a richtige Identität und ein Links Identität für Funktionen von X zu Y. Das heißt, wenn f ist eine Funktion mit Domäne Xund Codomain Y, hat man$oder$

• 

  Eine zusammengesetzte Funktion g(f(x)) kann als Kombination von zwei "Maschinen" sichtbar gemacht werden.

• 

  Ein einfaches Beispiel für eine Funktionszusammensetzung

• 

  Eine weitere Komposition. In diesem Beispiel, (g∘f) (c) = #.

Bild und Vorab

Lassen ${\ displayStyle f \ colon x \ to y.}$ Das Bild unter f eines Elements x der Domäne X ist f(x).^[7] Wenn A ist jede Teilmenge von X, dann ist die Bild von A unter f, bezeichnet f(A), ist die Teilmenge der Codomäne Y bestehend aus allen Bildern von Elementen von A,^[7] das ist,

${\ displayStyle f (a) = \ {f (x) \ mid x \ in a \}.}$

Das Bild von f ist das Bild der gesamten Domäne, das heißt, f(X).^[20] Es wird auch das genannt Angebot von f,^{[7][8][9][10]} Obwohl der Begriff Angebot kann sich auch auf die Codomäne beziehen.^[10][20][21]

Andererseits die umgekehrtes Bild oder Vorbereitung unter f eines Elements y der Codomäne Y ist die Menge aller Elemente der Domäne X deren Bilder unter f gleich y.^[7] In Symbolen das Vorbild von y wird bezeichnet durch ${\ displayStyle f^{-1} (y)}$ und wird durch die Gleichung gegeben

${\ displayStyle f^{-1} (y) = \ {x \ in x \ mid f (x) = y \}.}$

Ebenso das Vorbild einer Untergruppe B der Codomäne Y ist der Satz der Vorbereitungen der Elemente von BDas heißt, es ist die Teilmenge der Domäne X bestehend aus allen Elementen von X deren Bilder gehören zu B.^[7] Es ist bezeichnet durch ${\ displayStyle f^{-1} (b)}$ und wird durch die Gleichung gegeben

${\ displayStyle f^{-1} (b) = \ {x \ in x \ mid f (x) \ in b \}.}$

Zum Beispiel das Vorbild von ${\ displayStyle \ {4,9 \}}$ unter dem Quadratfunktion ist das Set ${\ displayStyle \ {-3, -2,2,3 \}}$.

Per Definition einer Funktion das Bild eines Elements x der Domäne ist immer ein einzelnes Element der Codomäne. Das Vorbild ${\ displayStyle f^{-1} (y)}$ eines Elements y des Codomäne kann sein leer oder eine beliebige Anzahl von Elementen enthalten. Zum Beispiel wenn f ist die Funktion von den Ganzzahlen zu sich selbst, die jede Ganzzahl auf 0 ordnet, dann auf 0 ${\ displayStyle f^{-1} (0) = \ mathbb {z}}$.

Wenn ${\ displayStyle f \ colon x \ bis y}$ ist eine Funktion, A und B sind Untergruppen von X, und C und D sind Untergruppen von YDann hat man die folgenden Eigenschaften:

• ${\ displayStyle a \ subseteq b \ longrightarrow f (a) \ subseteq f (b)}$
• $oder$
• ${\ displayStyle a \ subseteq f^{-1} (f (a))}$
• ${\ displayStyle c \ supseteq f (f^{-1} (c))}$
• ${\ displayStyle f (f^{-1} (f (a))) = f (a)}$
• ${\ displayStyle f^{-1} (f (f^{-1} (c))) = f^{-1} (c)}$

Das Vorbild von f eines Elements y der Codomäne wird manchmal in einigen Kontexten aufgerufen Faser von y unter f.

Wenn eine Funktion f hat eine Umkehrung (siehe unten), diese Inverse wird bezeichnet ${\ displayStyle f^{-1}.}$ In diesem Fall ${\ displayStyle f^{-1} (c)}$ kann entweder das Bild von bezeichnen ${\ displayStyle f^{-1}}$ oder das Vorbild von f von C. Dies ist kein Problem, da diese Sätze gleich sind. Die Notation ${\ displayStyle f (a)}$ und ${\ displayStyle f^{-1} (c)}$ kann bei Sätzen, die einige Teilmengen als Elemente enthalten, eindeutig sein, wie z. ${\ displayStyle \ {x, \ {x \} \}.}$ In diesem Fall kann beispielsweise einige Sorgfalt erforderlich sein, indem Sie quadratische Klammern verwenden ${\ displayStyle f [a], f^{-1} [c]}$ Für Bilder und Vorsätze von Teilmengen und gewöhnlichen Klammern für Bilder und Vorbereitungen von Elementen.

Injizierende, surjektive und bijektive Funktionen

Lassen ${\ displayStyle f \ colon x \ bis y}$ eine Funktion sein.

Die Funktion f ist injektiv (oder eins zu eins, oder ist ein Injektion) wenn f(a) ≠ f(b) Für zwei verschiedene Elemente a und b von X.^[20][22] Äquivalent, f ist injizieren, wenn und nur wenn, für einen ${\ displayStyle y \ in y,}$ das Vorbild ${\ displayStyle f^{-1} (y)}$ enthält höchstens ein Element. Eine leere Funktion ist immer injektiv. Wenn X ist dann nicht das leere Set, dann f ist injiziert, wenn und nur wenn es eine Funktion gibt ${\ displayStyle g \ colon y \ bis x}$ so dass ${\ displayStyle g \ circ f = \ operatorname {id} _ {x},},}$ das heißt, wenn f hat ein inverse links.^[22] Nachweisen: Wenn f ist injiziert, um zu definieren g, man wählt ein Element ${\ displayStyle x_ {0}}$ in X (was existiert als X soll nicht leer sein),^{[Anmerkung 6]} und man definiert g durch ${\ displayStyle g (y) = x}$ wenn ${\ displayStyle y = f (x)}$ und ${\ displayStyle g (y) = x_ {0}}$ wenn ${\ displayStyle y \ nicht \ in f (x).}$ Umgekehrt, wenn ${\ displayStyle g \ circ f = \ operatorname {id} _ {x},},}$ und ${\ displayStyle y = f (x),}$ dann ${\ displayStyle x = g (y),}$ und somit ${\ displayStyle f^{-1} (y) = \ {x \}.}$

Die Funktion f ist surjektiv (oder auf zu, oder ist a Umfrage) Wenn sein Bereich ${\ displayStyle f (x)}$ entspricht seiner Codomäne ${\ displayStyle y}$, das ist, wenn für jedes Element ${\ displayStyle y}$ des Codomäne gibt es ein Element ${\ displayStyle x}$ der Domäne so dass ${\ displayStyle f (x) = y}$ (Mit anderen Worten, das Vorbild ${\ displayStyle f^{-1} (y)}$ von jedem ${\ displayStyle y \ in y}$ ist nicht leer).^[20][23] Wenn, wie üblich in der modernen Mathematik, die Axiom der Wahl wird dann angenommen f ist surjektiv, wenn und nur wenn es eine Funktion gibt ${\ displayStyle g \ colon y \ bis x}$ so dass ${\ displayStyle f \ circ g = \ operatorname {id} _ {y},},}$ das heißt, wenn f hat ein Richtig inverse.^[23] Das Axiom der Wahl ist erforderlich, weil, wenn f ist surjektiv, man definiert g durch ${\ displayStyle g (y) = x,}$ wo ${\ displayStyle x}$ ist ein willkürlich ausgewählt Element von ${\ displayStyle f^{-1} (y).}$

Die Funktion f ist Bijektiv (oder ist a Bijection oder ein Eins-zu-eins-Korrespondenz) Wenn es sowohl injektiv als auch surjektiv ist.^[20][24] Das ist, f ist bijektiv, wenn, für irgendeine ${\ displayStyle y \ in y,}$ das Vorbild ${\ displayStyle f^{-1} (y)}$ Enthält genau ein Element. Die Funktion f ist bijektiv, wenn und nur wenn es eine zulässt Umkehrfunktiondas heißt eine Funktion ${\ displayStyle g \ colon y \ bis x}$ so dass ${\ displayStyle g \ circ f = \ operatorname {id} _ {x}}$ und ${\ displayStyle f \ circ g = \ operatorname {id} _ {y}.}$^[24] (Im Gegensatz zum Fall von Überprüfungen erfordert dies nicht das Axiom der Wahl; der Beweis ist unkompliziert).

Jede Funktion ${\ displayStyle f \ colon x \ bis y}$ vielleicht faktorisiert als Komposition ${\ displayStyle i \ circ s}$ von einer Umfrage gefolgt von einer Injektion, wo s ist die kanonische Überwachung von X auf zu f(X) und i ist die kanonische Injektion von f(X) hinein Y. Dies ist das kanonische Faktorisierung von f.

"Eins zu eins" und "auf" sind Begriffe, die in der älteren englischen Sprachliteratur häufiger waren. "Injektiv", "surjektiv" und "bijektiv" wurden ursprünglich im zweiten Viertel des 20. Jahrhunderts von den französischen Wörtern geprägt Bourbaki -Gruppe und ins Englische importiert. Als Vorsicht ist "eine Eins-zu-Eins-Funktion" injiziert, während sich eine "Eins-zu-Eins-Korrespondenz" auf eine bijektive Funktion bezieht. Auch die Aussage "f Karten X auf zu Y" unterscheidet sich von "f Karten X hinein B", da impliziert der erstere das f ist surjektiv, während letztere keine Behauptung über die Natur von macht f. In einer komplizierten Argumentation kann der Unterschied von einem Buchstaben leicht übersehen werden. Aufgrund der verwirrenden Natur dieser älteren Terminologie haben sich diese Begriffe im Vergleich zu den bourbakischen Begriffen, die auch den Vorteil haben, symmetrischer zu sein, die Popularität abgenommen.

Einschränkung und Erweiterung

Wenn ${\ displayStyle f \ colon x \ bis y}$ ist eine Funktion und S ist eine Teilmenge von X, dann ist die Beschränkung von ${\ displayStyle f}$ zu S, bezeichnet ${\ displayStyle f | _ {s}}$, ist die Funktion von S zu Y definiert von

${\ displayStyle f | _ {s} (x) = f (x)}$

für alle x in S. Einschränkungen können verwendet werden, um teilweise zu definieren umgekehrte Funktionen: Wenn da ein ... ist Teilmenge S der Domäne einer Funktion ${\ displayStyle f}$ so dass ${\ displayStyle f | _ {s}}$ ist injektiv, dann die kanonische Überwachung von ${\ displayStyle f | _ {s}}$ auf sein Bild ${\ displayStyle f | _ {s} (s) = f (s)}$ ist eine Bijection und hat somit eine umgekehrte Funktion von ${\ displayStyle f (s)}$ zu S. Eine Anwendung ist die Definition von inverse trigonometrische Funktionen. Zum Beispiel die Kosinus Funktion ist injiziert, wenn sie auf die beschränkt ist Intervall [0,, π]. Das Bild dieser Einschränkung ist das Intervall [–1, 1]und so hat die Einschränkung eine umgekehrte Funktion von [–1, 1] zu [0,, π], Was heisst Arccosine und wird bezeichnet Arccos.

Funktionsbeschränkung kann auch zum Zusammenkleben von Funktionen zusammen verwendet werden. Lassen ${\ textstyle x = \ bigcup _ {i \ in i} u_ {i}}$ die Zersetzung von sein X Als ein Union von Untergruppen und nehmen Sie an, dass eine Funktion ${\ displayStyle f_ {i} \ colon u_ {i} \ to y}$ ist auf jedem definiert ${\ displayStyle u_ {i}}$ so dass für jedes Paar ${\ displayStyle i, j}$ von Indizes, die Einschränkungen von ${\ displayStyle f_ {i}}$ und ${\ displayStyle f_ {j}}$ zu ${\ displayStyle u_ {i} \ cap u_ {j}}$ sind gleich. Dann definiert dies eine einzigartige Funktion ${\ displayStyle f \ colon x \ bis y}$ so dass ${\ displayStyle f | _ {u_ {i}} = f_ {i}}$ für alle i. So funktioniert es auf Verteiler sind festgelegt.

Ein Verlängerung einer Funktion f ist eine Funktion g so dass f ist eine Einschränkung von g. Eine typische Verwendung dieses Konzepts ist der Prozess von Analytische Fortsetzung, das ermöglicht die Erweiterung von Funktionen, deren Domäne ein kleiner Teil der ist Komplexe Ebene zu Funktionen, deren Domäne fast die gesamte komplexe Ebene ist.

Hier ist ein weiteres klassisches Beispiel für eine Funktionserweiterung, die beim Studium auftritt Homographien des echte Linie. EIN Homographie ist eine Funktion ${\ displayStyle h (x) = {\ frac {ax+b} {cx+d}}}$ so dass Anzeige − BC ≠ 0. Seine Domäne ist die Menge von allen reale Nummern anders als ${\ displayStyle -d/c,}$ und sein Bild ist der Satz aller reellen Zahlen von unterschiedlich als ${\ displayStyle a/c.}$ Wenn man die reale Linie auf die ausdehnt projektiv erweiterte reale Linie Durch Einbeziehung ∞, man kann sich erstrecken h zu einer Bijektion von der erweiterten realen Linie zu sich selbst durch Einstellung ${\ displayStyle H (\ inty) = a/c}$ und ${\ displayStyle H (-d/c) = \ infty}$.

Multivariate Funktion

Eine binäre Operation ist ein typisches Beispiel für eine bivariate Funktion, die jedem Paar zuweist ${\ displayStyle (x, y)}$ das Ergebnis ${\ displayStyle x \ circy}$.

A Multivariate Funktion, oder Funktion mehrerer Variablen ist eine Funktion, die von mehreren Argumenten abhängt. Solche Funktionen werden üblicherweise auftreten. Zum Beispiel ist die Position eines Autos auf einer Straße eine Funktion der Zeitreise und seiner Durchschnittsgeschwindigkeit.

Formell eine Funktion von Funktion von n Variablen sind eine Funktion, deren Domäne ein Satz von ist n-Tupel. Zum Beispiel Multiplikation von Ganzzahlen ist eine Funktion von zwei Variablen, oder bivariate Funktion, deren Domäne der Satz aller Paare (2-Tupel) von Ganzzahlen ist und deren Codomäne der Satz von Ganzzahlen ist. Das gleiche gilt für jeden Binäroperation. Allgemeiner jeder mathematische Operation wird als multivariate Funktion definiert.

Das kartesisches Produkt ${\ displaystyle x_ {1} \ times \ cdots \ times x_ {n}}$ von n Sets ${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}$ ist der Satz von allen n-Tupel ${\ displayStyle (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})}$ so dass ${\ displaystyle x_ {i} \ in x_ {i}}$ für jeden i mit ${\ displayStyle 1 \ leq i \ leq n}$. Daher eine Funktion von n Variablen sind eine Funktion

${\ displayStyle f \ colon u \ bis y,}$

wo die Domäne U hat die Form

${\ displayStyle u \ subseteq x_ {1} \ times \ cdots \ times x_ {n}.}.$

Bei Verwendung von Funktionsnotation lässt man normalerweise die Klammern, die Tupel umgeben, und schreiben ${\ displayStyle f (x_ {1}, x_ {2})}$ Anstatt von ${\ displayStyle f ((x_ {1}, x_ {2})).}$

Für den Fall, in dem alle ${\ displaystyle x_ {i}}$ sind gleich dem Satz ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ von reale Nummernman hat a Funktion mehrerer realer Variablen. Wenn die ${\ displaystyle x_ {i}}$ sind gleich dem Satz ${\ displaystyle \ mathbb {c}}$ von komplexe Zahlenman hat a Funktion mehrerer komplexer Variablen.

Es ist üblich, auch Funktionen zu berücksichtigen, deren Codomäne ein Produkt von Sets ist. Zum Beispiel, Euklidische Division Karten Sie jedes Paar (a, b) von Ganzzahlen mit b ≠ 0 zu einem Paar Ganzzahlen genannt die Quotient und die Rest:

$oder \ Times \ mathbb {z} \\ (a, b) & \ mapsto (\ operatorname {quotient} (a, b), \ operatorname {Rest} (a, b)). \ end {ausgerichtet}}}}$

Die Codomäne kann auch a sein Vektorraum. In diesem Fall spricht man von a Vektor-bewertete Funktion. Wenn die Domäne in a enthalten ist Euklidischer Raum, oder allgemeiner a vielfältig, eine vektorwerte Funktion wird oft als a genannt Vektorfeld.

In Kalkül

Die Idee der Funktion, beginnend im 17. Jahrhundert, war für die Neuen von grundlegender Bedeutung Infinitesimale Kalkül (sehen Geschichte des Funktionskonzepts). Zu dieser Zeit nur, echt bewertet Funktionen von a Echte Variable wurden in Betracht gezogen und alle Funktionen wurden angenommen glatt. Aber die Definition wurde bald erweitert auf Funktionen mehrerer Variablen und zu Funktionen einer komplexen Variablen. In der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts wurde die mathematisch strenge Definition einer Funktion eingeführt, und funktionierte mit willkürlichen Domänen und Codomänen.

Funktionen werden jetzt in allen Bereichen der Mathematik verwendet. In Einführungszeiten InfinitesimalrechnungWenn das Wort Funktion Wird ohne Qualifikation verwendet, bedeutet dies eine realbewertete Funktion einer einzelnen realen Variablen. Die allgemeinere Definition einer Funktion wird normalerweise in College -Studenten im zweiten oder dritten Jahr mit eingeführt STENGEL Majors, und in ihrem letzten Jahr werden sie in einem größeren, strengeren Umfeld in Kursen wie Calcül vorgestellt, z. Echte Analyse und Komplexe Analyse.

Echte Funktion

Grafik einer linearen Funktion

Graph einer Polynomfunktion, hier eine quadratische Funktion.

Graph von zwei trigonometrischen Funktionen: Sinus und Kosinus.

A echte Funktion ist ein echt bewertet Funktion einer realen Variablen, das heißt eine Funktion, deren Codomäne die ist Feld der realen Zahlen und deren Domain ein Satz von ist reale Nummern das enthält an Intervall. In diesem Abschnitt werden diese Funktionen einfach genannt Funktionen.

Die Funktionen, die am häufigsten in der Mathematik und ihren Anwendungen berücksichtigt werden, haben eine gewisse Regelmäßigkeit, dh sie sind kontinuierlich, differenzierbar, und sogar analytisch. Diese Regelmäßigkeit versichert, dass diese Funktionen durch ihre visualisiert werden können Grafiken. In diesem Abschnitt sind alle Funktionen in einem Intervall differenzierbar.

Funktionen genießen punktuelle Operationendas heißt, wenn f und g sind Funktionen, ihre Summe, ihr Unterschied und ihr Produkt sind Funktionen, die definiert werden durch

$oder f \ cdot g) (x) & = f (x) \ cdot g (x) \\\ end {ausgerichtet}}.}$

Die Domänen der resultierenden Funktionen sind die Überschneidung der Bereiche von f und g. Der Quotient von zwei Funktionen wird ähnlich definiert durch

${\ displaystyle {\ frac {f} {g}} (x) = {\ frac {f (x)} {g (x)}},},}$

Die Domäne der resultierenden Funktion wird jedoch durch Entfernen der Nullen von g aus dem Schnittpunkt der Bereiche von f und g.

Das Polynomfunktionen werden definiert von Polynomeund ihre Domäne ist die gesamte Reihe realer Zahlen. Sie beinhalten ständige Funktionen, lineare Funktionen und quadratische Funktionen. Rationale Funktionen sind Quotienten von zwei Polynomfunktionen, und ihre Domäne ist die reelle Zahlen, wobei eine begrenzte Anzahl von ihnen entfernt wurde, um zu vermeiden Durch Null teilen. Die einfachste rationale Funktion ist die Funktion ${\ displayStyle x \ MapSto {\ frac {1} {x}},},}$ deren Grafik ist a Hyperbelund deren Domäne das Ganze ist echte Linie außer 0.

Das Derivat einer wirklich differenzierbaren Funktion ist eine reale Funktion. Ein antiderivativ einer kontinuierlichen realen Funktion ist eine reale Funktion, die die ursprüngliche Funktion als Ableitung hat. Zum Beispiel die Funktion ${\ displayStyle x \ MapSto {\ frac {1} {x}}}$ ist kontinuierlich und sogar differenzierbar in den positiven realen Zahlen. Somit ein antiderivatives, das den Wert Null für nimmt x = 1, ist eine differenzierbare Funktion, die als die genannt wird Natürlicher Logarithmus.

Eine echte Funktion f ist monoton in einem Intervall, wenn das Zeichen von ${\ displaystyle {\ frac {f (x) -f (y)} {x-y}}}$ hängt nicht von der Wahl von ab x und y in der Pause. Wenn die Funktion im Intervall differenzierbar ist, ist sie monoton, wenn das Vorzeichen des Derivats im Intervall konstant ist. Wenn eine echte Funktion f ist monoton in einem Intervall I, es hat eine Umkehrfunktion, was eine echte Funktion mit der Domäne ist f(I) und Bild I. Das ist wie inverse trigonometrische Funktionen werden in Bezug auf definiert trigonometrische Funktionen, wo die trigonometrischen Funktionen monoton sind. Ein weiteres Beispiel: Der natürliche Logarithmus ist in den positiven reellen Zahlen monoton und sein Bild ist die gesamte reale Zeile; Daher hat es eine umgekehrte Funktion, die a ist Bijection zwischen den realen Zahlen und den positiven reellen Zahlen. Diese Inverse ist das Exponentialfunktion.

Viele andere wirkliche Funktionen werden entweder durch die definiert implizite Funktionssheorem (Die inverse Funktion ist eine bestimmte Instanz) oder als Lösungen von Differentialgleichung. Zum Beispiel die Sinus und die Kosinus Funktionen sind die Lösungen der Lineare Differentialgleichung

${\ displayStyle y ''+y = 0}$

so dass

$oder cos x} {\ partial x}} (0) = 0.}$

Vektor-bewertete Funktion

Wenn die Elemente der Codomäne einer Funktion sind VektorenDie Funktion soll eine vektorwerte Funktion sein. Diese Funktionen sind besonders in Anwendungen nützlich, z. B. modellieren physikalische Eigenschaften. Zum Beispiel die Funktion, die jedem Punkt einer Flüssigkeit in Verbindung steht Geschwindigkeitsvektor ist eine vektorwerte Funktion.

Einige vektorwerte Funktionen werden auf einer Teilmenge von definiert ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n}}$ oder andere Räume, die geometrisch oder topologisch Eigentum von ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n}}$, wie zum Beispiel Verteiler. Diese vektorwertigen Funktionen erhalten den Namen Vektorfelder.

Funktionsraum

Im Mathematische Analyse, und genauer gesagt in Funktionsanalyse, a Funktionsraum ist ein Satz von skalarer Wert oder vektorwerte Funktionen, die eine bestimmte Eigenschaft teilen und a Topologischer Vektorraum. Zum Beispiel das Reale glatte Funktionen mit einer Kompakte Unterstützung (Das heißt, sie sind außerhalb einiger Null Kompaktsatz) bilden einen Funktionsraum, der auf der Grundlage der Theorie von liegt Verteilungen.

Funktionsräume spielen eine grundlegende Rolle bei der fortgeschrittenen mathematischen Analyse, indem sie die Verwendung ihrer algebraischen und topologisch Eigenschaften für die Untersuchung der Eigenschaften von Funktionen. Zum Beispiel alle Theoreme der Existenz und Einzigartigkeit von Lösungen von gewöhnliche oder partielle Differentialgleichungen Ergebnis der Untersuchung von Funktionsräumen.

Mehrwerte Funktionen

Zusammen bilden die beiden Quadratwurzeln aller nichtnegativen reellen Zahlen eine einzige glatte Kurve.

Verschiedene Methoden zur Angabe von Funktionen realer oder komplexer Variablen beginnen mit einer lokalen Definition der Funktion an einem Punkt oder an a Nachbarschaft von einem Punkt, und erweitern Sie dann die Funktion durch Kontinuität auf eine viel größere Domäne. Häufig für einen Ausgangspunkt ${\ displayStyle x_ {0},},}$ Es gibt mehrere mögliche Startwerte für die Funktion.

Zum Beispiel bei der Definition des Quadratwurzel als umgekehrte Funktion der quadratischen Funktion für jede positive reelle Zahl ${\ displayStyle x_ {0},},}$ Es gibt zwei Möglichkeiten für den Wert der Quadratwurzel, von denen einer positiv und bezeichnet ist ${\ displayStyle {\ sqrt {x_ {0}}},},}$ und eine andere, die negativ und bezeichnet ist ${\ displayStyle -{\ sqrt {x_ {0}}}.}$ Diese Entscheidungen definieren zwei kontinuierliche Funktionen, sowohl die nichtnegativen reellen Zahlen als Domäne als auch die nichtnegativen oder die nichtpositiven reellen Zahlen als Bilder. Wenn man sich die Grafiken dieser Funktionen ansieht, kann man zusammen sehen, dass sie zusammen eine einzelne bilden glatte Kurve. Es ist daher oft nützlich, diese beiden Quadratwurzelfunktionen als eine einzelne Funktion zu betrachten, die zwei Werte für positiv enthält x, ein Wert für 0 und keinen Wert für negativ x.

Im vorhergehenden Beispiel ist eine Wahl, die positive Quadratwurzel, natürlicher als die andere. Dies ist im Allgemeinen nicht der Fall. Zum Beispiel die Betrachtung des implizite Funktion das karten y zu einem Wurzel x von ${\ displaystyle x^{3} -3x-y = 0}$ (Siehe Abbildung rechts). Zum y = 0 Man kann entweder wählen ${\ displayStyle 0, {\ sqrt {3}}, {\ text {oder}}-{\ sqrt {3}}}-{\ sqrt {3}}}$ zum x. Bis zum implizite FunktionssheoremJede Wahl definiert eine Funktion; Für den ersten ist die (maximale) Domäne das Intervall [–2, 2] Und das Bild ist [–1, 1]; Für den zweiten ist die Domäne [–2, ∞) Und das Bild ist [1, ∞); Für den letzten ist die Domain (−∞, 2] Und das Bild ist (−∞, −1]. Da die drei Grafiken zusammen eine glatte Kurve bilden und es keinen Grund für die Bevorzugung einer Wahl gibt, werden diese drei Funktionen häufig als einzeln betrachtet Mehrwertfunktion von y Das hat drei Werte für –2 < y < 2und nur ein Wert für y ≤ –2 und y ≥ –2.

Die Nützlichkeit des Konzepts der mehrwertigen Funktionen ist bei der Betrachtung komplexer Funktionen in der Regel klarer Analysefunktionen. Die Domäne, auf die eine komplexe Funktion erweitert werden kann Analytische Fortsetzung besteht im Allgemeinen aus fast dem Ganzen Komplexe Ebene. Wenn Sie jedoch die Domäne um zwei verschiedene Wege erweitern, erhält man häufig unterschiedliche Werte. Wenn Sie beispielsweise die Domäne der Quadratwurzelfunktion auf einen Pfad komplexer Zahlen mit positiven imaginären Teilen erweitern, wird man erhältlich i für die Quadratwurzel von –1; Wenn man beim Ausdehnen durch komplexe Zahlen mit negativen imaginären Teilen erhält −i. Es gibt im Allgemeinen zwei Möglichkeiten, das Problem zu lösen. Man kann eine Funktion definieren, die nicht ist kontinuierlich entlang einer Kurve, genannt a Astgeschnitten. Eine solche Funktion wird als die genannt Hauptwert der Funktion. Der andere Weg ist zu beachten, dass man a hat Mehrwertfunktion, was überall analytisch ist, außer auf isolierte Singularitäten, deren Wert jedoch "springen" kann, wenn man einer geschlossenen Schleife um eine Singularität folgt. Dieser Sprung heißt das Monodromie.

In den Grundlagen der Mathematik und der festgelegten Theorie

Die Definition einer Funktion, die in diesem Artikel angegeben ist einstellenDa die Domäne und die Codomäne einer Funktion ein Satz sein müssen. Dies ist kein Problem in der üblichen Mathematik, da es im Allgemeinen nicht schwierig ist, nur Funktionen zu berücksichtigen, deren Domäne und Codomäne Sätze sind, die gut definiert sind, auch wenn die Domäne nicht explizit definiert ist. Es ist jedoch manchmal nützlich, allgemeinere Funktionen zu berücksichtigen.

Zum Beispiel die Singleton -Set kann als Funktion betrachtet werden ${\ displayStyle x \ MapSto \ {x \}.}$ Die Domäne würde alle Sätze enthalten und wäre daher kein Satz. In der üblichen Mathematik vermeidet man diese Art von Problem, indem man eine Domäne angibt, was bedeutet, dass man viele Singleton -Funktionen hat. Bei der Festlegung von Grundlagen der Mathematik muss man jedoch Funktionen verwenden, deren Domäne, Codomäne oder beide nicht angegeben sind, und einige Autoren, häufig Logiker, geben genaue Definition für diese schwach spezifizierten Funktionen.^[25]

Diese verallgemeinerten Funktionen können für die Entwicklung einer Formalisierung der entscheidend sein Grundlagen der Mathematik. Zum Beispiel, Von Neumann -Bernays -Gödel -Set -Theorie, ist eine Erweiterung der festgelegten Theorie, in der die Sammlung aller Sätze a ist Klasse. Diese Theorie umfasst die Ersatz Axiom, was angegeben werden kann als: wenn X ist ein Set und F ist dann eine Funktion F[X] Ist ein Satz.

In Informatik

Im Computerprogrammierung, a Funktion ist im Allgemeinen ein Stück a Computer Programm, die Geräte Das abstrakte Funktionskonzept. Das heißt, es ist eine Programmeinheit, die für jeden Eingang einen Ausgang erzeugt. Jedoch in vielen Programmiersprachen jeder Subroutine wird als Funktion bezeichnet, auch wenn keine Ausgabe vorliegt und wenn die Funktionalität einfach darin besteht, einige Daten in der zu ändern Computerspeicher.

Funktionelle Programmierung ist der Programmierparadigma bestehend darin, Programme zu erstellen, indem nur Unterprogramme verwendet werden, die sich wie mathematische Funktionen verhalten. Zum Beispiel, if_then_else ist eine Funktion, die drei Funktionen als Argumente nimmt und je nach Ergebnis der ersten Funktion (Stimmt oder FALSCH), gibt das Ergebnis der zweiten oder der dritten Funktion zurück. Ein wichtiger Vorteil der funktionalen Programmierung besteht darin, dass es einfacher macht Programmnachweise, als basierend auf einer gut gegründeten Theorie, die Lambda -Kalkül (siehe unten).

Mit Ausnahme der computersprachigen Terminologie hat "Funktion" die übliche mathematische Bedeutung in Informatik. In diesem Bereich ist ein Eigentum von großem Interesse das Berechnbarkeit einer Funktion. Für dieses Konzept und dem verwandten Konzept von einer präzisen Bedeutung zu geben Algorithmus, mehrere Berechnungsmodelle wurden eingeführt, die alten Sein sind Allgemeine rekursive Funktionen, Lambda -Kalkül und Turing Maschine. Der grundlegende Theorem von Computerbarkeitstheorie ist, dass diese drei Berechnungsmodelle den gleichen Satz von berechnungsbaren Funktionen definieren und dass alle anderen Berechnungsmodelle, die jemals vorgeschlagen wurden, dieselben rechenfunktionen oder eine kleinere definieren. Das These der Kirche und tätige These ist die Behauptung, dass jede philosophisch akzeptable Definition von a berechnungsbare Funktion definiert auch die gleichen Funktionen.

Allgemeine rekursive Funktionen sind Teilfunktionen Von Ganzzahlen bis hin zu Ganzzahlen, die aus definiert werden können

• ständige Funktionen,
• Nachfolger, und
• Projektion Funktionen

über die Betreiber

• Komposition,
• primitive Rekursion, und
• Minimierung.

Obwohl sie nur für Funktionen von Ganzzahlen bis hin zu Ganzzahlen definiert sind, können sie jede rechenbare Funktion als Folge der folgenden Eigenschaften modellieren:

• Eine Berechnung ist die Manipulation endlicher Sequenzen von Symbolen (Ziffern von Zahlen, Formeln, ...).
• Jede Folge von Symbolen kann als Abfolge von codiert werden Bits,
• Eine Bitsequenz kann als die interpretiert werden binäre Darstellung einer Ganzzahl.

Lambda -Kalkül ist eine Theorie, die berechnete Funktionen ohne Verwendung definiert Mengenlehreund ist der theoretische Hintergrund der funktionalen Programmierung. Es besteht aus Bedingungen das sind entweder Variablen, Funktionsdefinitionen (-terms) oder Anwendungen von Funktionen auf Begriffe. Begriffe werden durch einige Regeln manipuliert (die α-äquivalenz, die β-Reduktion und die η-Konversion), die die sind Axiome der Theorie und kann als Berechnungsregeln interpretiert werden.

In seiner ursprünglichen Form enthält Lambda Calculus nicht die Konzepte der Domäne und des Codomäne einer Funktion. Grob gesagt wurden sie in der Theorie unter dem Namen von eingeführt Typ in Typed Lambda Calculus. Die meisten Arten von typisierten Lambda -Kalkül können weniger Funktionen definieren als nicht -lambda -Kalkül.

Siehe auch

Unterseite

Verallgemeinerungen

verwandte Themen

Anmerkungen

Verweise

Quellen

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Weitere Lektüre

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Externe Links

• "Funktion", Enzyklopädie der Mathematik, EMS Press, 2001 [1994]
• Die Wolfram -Funktionsseite gibt Formeln und Visualisierungen vieler mathematischer Funktionen.
• NIST Digitale Bibliothek mathematischer Funktionen