Fraktal

Das Mandelbrot Set: seine Grenze ist eine fraktale Kurve mit Hausdorff -Dimension 2

Zoomen in die Grenze des Mandelbrot -Sets

Im Mathematik, fraktal ist ein Begriff, der zur Beschreibung geometrischer Formen verwendet wird, die eine detaillierte Struktur in willkürlich kleinen Maßstäben enthalten, normalerweise mit a fraktale Dimension streng überschreiten die Topologische Dimension. Viele Fraktale scheinen in verschiedenen Maßstäben ähnlich zu sein, wie in aufeinanderfolgenden Vergrößerungen des Mandelbrot Set.[1][2][3][4] Diese Ausstellung ähnlicher Muster in immer kleinerer Skalen wird genannt Selbstähnlichkeit, auch bekannt als expandierende Symmetrie oder Entfaltungssymmetrie; Wenn diese Replikation in jeder Skala genau gleich ist, wie in der Menger Schwamm,[5] Die Form wird als affine selbstähnlich bezeichnet. Fraktale Geometrie liegt im mathematischen Zweig von Theorie messen.

Eine Möglichkeit, wie Fraktale sich von endlich unterscheiden Geometrische Figuren ist wie sie Skala. Verdoppelung der Kantenlängen eines gefüllten Polygon multipliziert sein Gebiet mit vier, was zwei (das Verhältnis der neuen zur alten Seitenlänge) ist, die bis zur Leistung von zwei (der herkömmlichen Dimension des gefüllten Polygons) angehoben wird. Ebenso, wenn der Radius einer gefüllten Kugel verdoppelt wird, ist es deren Volumen Skalen um acht, was zwei (das Verhältnis des Neuen zum alten Radius) zur Kraft von drei (der konventionellen Dimension der gefüllten Kugel) ist. Wenn jedoch die eindimensionalen Längen eines Fraktals verdoppelt werden, der räumliche Gehalt der fraktalen Skalen durch eine Kraft, die nicht unbedingt ein ist ganze Zahl und ist im Allgemeinen größer als seine konventionelle Dimension.[1] Diese Kraft wird die genannt fraktale Dimension des geometrischen Objekts, um es von der herkömmlichen Dimension zu unterscheiden (die formell als die bezeichnet wird Topologische Dimension).[6]

Analytisch sind viele Fraktale nirgendwo hin differenzierbar.[1][4] Ein unendliches fraktale Kurve kann als so verwandelt durch den Raum anders als eine gewöhnliche Linie konzipiert werden - obwohl es immer noch ist Topologisch 1-dimensionalSeine fraktale Dimension zeigt an, dass es den Raum lokaler effizienter ausfüllt als eine gewöhnliche Linie.[1][6]

Sierpinski Teppich (zu Stufe 6), ein Fraktal mit a Topologische Dimension von 1 und a Hausdorff -Dimension von 1,893
A Liniensegment ist ähnlich zu einem richtigen Teil von sich selbst, aber kaum ein Fraktal.

Ab dem 17. Jahrhundert mit Vorstellungen von Rekursion, Fraktale haben sich durch eine immer strengere mathematische Behandlung bewegt, um die Untersuchung von kontinuierlich aber nicht differenzierbar Funktionen im 19. Jahrhundert durch die wegweisende Arbeit von Bernard Bolzano, Bernhard Riemann, und Karl Weierstrass,[7] und weiter zur Prägung des Wortes fraktal im 20. Jahrhundert mit einem anschließenden Aufbau von Interesse an Fraktalen und computergestützten Modellierung im 20. Jahrhundert.[8][9]

Es gibt einige Meinungsverschiedenheiten unter den Mathematikern darüber, wie das Konzept eines Fraktals offiziell definiert werden sollte. Mandelbrot selbst fasste es als "schön, verdammt hart, immer nützlicher. Das sind Fraktale".[10] Offizieller, 1982 definiert Mandelbrot fraktal wie folgt: "Ein Fraktal ist per Definition ein Satz, für den die Hausdorff -Besicovitch Dimension überschreitet die Topologische Dimension. "[11] Später, als er dies als zu restriktiv sah Geometrische Figur Das kann in Teile aufgeteilt werden, von denen jedes (zumindest ungefähr) eine Kopie des Ganzen in reduzierter Größe ist. "[1] Noch später schlug Mandelbrot vor "zu verwenden fraktal ohne pedantische Definition, um zu verwenden fraktale Dimension als generischer Begriff anwendbar auf alle die Varianten ".[12]

Der Konsens unter Mathematikern ist, dass theoretische Fraktale unendlich selbstähnlich sind iteriert und detaillierte mathematische Konstrukte, von denen viele Beispiele wurden formuliert und untersucht.[1][2][3] Fraktale sind nicht auf geometrische Muster beschränkt, können aber auch rechtzeitig Prozesse beschreiben.[5][4][13][14][15][16] Fraktale Muster mit verschiedenen Graden an Selbstähnlichkeit wurden in visuellen, physischen und akustischen Medien untersucht oder untersucht[17] und gefunden in Natur,[18][19][20][21] Technologie,[22][23][24][25] Kunst,[26][27] die Architektur[28] und Gesetz.[29] Fraktale sind im Bereich von besonderer Relevanz Chaostheorie Weil sie in den geometrischen Darstellungen der meisten chaotischen Prozesse (typischerweise entweder als Attraktoren oder als Grenzen zwischen Anziehungsbecken) auftauchen.[30]

Etymologie

Der Begriff "fraktal" wurde vom Mathematiker geprägt Benoît Mandelbrot 1975.[31] Mandelbrot basiert es auf dem Latein frāctus, bedeutet "gebrochen" oder "gebrochen" und verwendete es, um das Konzept des theoretischen Bruchs zu erweitern Maße nach geometrisch Muster in der Natur.[1][32][33]

Einführung

Ein einfacher fraktaler Baum
Ein fraktaler „Baum“ zu elf Iterationen

Das Wort "fraktal" hat oft unterschiedliche Konnotationen für die Laien -Öffentlichkeit im Gegensatz zu Mathematikern, bei denen die Öffentlichkeit mit größerer Wahrscheinlichkeit vertraut ist Fraktale Kunst als das mathematische Konzept. Das mathematische Konzept ist selbst für Mathematiker schwer formal zu definieren, aber wichtige Merkmale können mit einem kleinen mathematischen Hintergrund verstanden werden.

Das Merkmal von "Selbstähnlichkeit" wird beispielsweise leicht durch Analogie zum Vergrößern mit einem Objektiv oder einem anderen Gerät verstanden, das digitale Bilder zoomt, um feinere, bisher unsichtbare, neue Struktur aufzudecken. Wenn dies jedoch an Fraktalen geschieht, wird jedoch keine neuen Details angezeigt. Nichts ändert sich und das gleiche Muster wiederholt sich immer und immer wieder oder für einige Fraktale wird fast das gleiche Muster immer wieder wieder auftaucht. Selbstähnlichkeit selbst ist nicht unbedingt kontraintuitiv (z. B. haben die Menschen informell über Selbstähnlichkeit nachgedacht, wie sie in der unendlich zurückgeblieben in parallelen Spiegeln oder der Homunkulus, der kleine Mann im Kopf des kleinen Mannes im Kopf ...). Der Unterschied für Fraktale besteht darin, dass das reproduzierte Muster detailliert sein muss.[1]: 166, 18[2][32]

Diese Idee, detailliert zu sein fraktale Dimension Größer als seine topologische Dimension bezieht sich beispielsweise darauf, wie ein fraktal Formen werden normalerweise wahrgenommen. Eine geraden Linie zum Beispiel wird herkömmlicherweise als eindimensional verstanden; Wenn eine solche Figur ist Repgeschnitzte In Stücke jeweils 1/3 die Länge des Originals, dann gibt es immer drei gleiche Stücke. Ein solides Quadrat wird als zweidimensional verstanden; Wenn eine solche Figur in beiden Abmessungen in Stücke, die jeweils um den Faktor 1/3 skaliert sind2 = 9 Stücke.

Wir sehen, dass für gewöhnliche selbstähnliche Objekte n-dimensional ist, dass es, wenn es in Stücke, die jeweils von einem Skala-Faktor von 1/ skaliert sindrEs gibt insgesamt insgesamt rn Stücke. Betrachten Sie nun die Koch -Kurve. Es kann in vier Unterkopien umgewandelt werden, die jeweils durch einen Skala-Faktor von 1/3 skaliert werden. Aus Analogie können wir also die "Dimension" der Koch -Kurve als die eindeutige reelle Zahl betrachten D Das erfüllt 3D = 4. Diese Zahl ist das, was Mathematiker die nennen fraktale Dimension der Koch -Kurve; es ist sicherlich nicht Was konventionell als Dimension einer Kurve wahrgenommen wird (diese Zahl ist nicht einmal eine Ganzzahl!). Im Allgemeinen ist eine wichtige Eigenschaft von Fraktalen, dass sich die fraktale Dimension von der unterscheidet konventionell verstanden Dimension (formell als topologische Dimension bezeichnet).

3D computergenerierter fraktaler

Dies führt auch zum Verständnis eines dritten Merkmals, dass Fraktale als mathematische Gleichungen "nirgendwo sind differenzierbar"In konkreter Sinne bedeutet dies, dass Fraktale nicht auf traditionelle Weise gemessen werden können.[1][4][34] Um herauszufinden und zu versuchen, die Länge einer welligen, nicht fraktalen Kurve zu finden, konnte man gerade Segmente eines Messwerkzeugs klein genug finden, um das Ende über den Wellen zu legen, in denen die Teile klein genug werden könnten, um sich anpassen zu lassen, um sie anzupassen die Kurve in normaler Weise von Messung mit einer Bandmaßnahme. Aber bei der Messung einer unendlich "wackly" fraktalen Kurve wie der Koch-Schneeflocke würde man niemals ein kleines Gerade finden, um sich der Kurve anzupassen Mehr von dem Band messen in die Gesamtlänge, die jedes Mal gemessen wurde, wenn man versuchte, sie fester und enger an die Kurve anzupassen. Das Ergebnis ist, dass man unendliches Band benötigen muss, um die gesamte Kurve perfekt zu bedecken, d. H. Die Schneeflocke hat einen unendlichen Umfang.[1]

Geschichte

A Koch Snowflake ist ein Fraktal, das mit einem gleichseitigen Dreieck beginnt und dann das mittlere Drittel jedes Liniensegments durch ein Paar Liniensegmente ersetzt, die eine gleichseitige Beule bilden
Cantor (ternär) gesetzt.

Die Geschichte der Fraktale verfolgt einen Weg von hauptsächlich theoretischen Studien zu modernen Anwendungen in Computergrafikmit mehreren bemerkenswerten Personen, die kanonische fraktale Formen auf dem Weg beitragen.[8][9] Ein gemeinsames Thema in traditioneller Afrikanische Architektur ist die Verwendung von fraktaler Skalierung, wobei kleine Teile der Struktur größere Teile ähnlich aussehen, wie z. B. ein kreisförmiges Dorf aus kreisförmigen Häusern.[35] Entsprechend PickoverDie Mathematik hinter Fraktalen nahmen im 17. Jahrhundert Gestalt an, als der Mathematiker und der Philosoph Gottfried Leibniz nachgedacht rekursiv Selbstähnlichkeit (Obwohl er den Fehler gemacht hat zu denken, dass nur die gerade Linie war in diesem Sinne selbstähnlich).[36]

In seinen Schriften verwendete Leibniz den Begriff "fraktionelle Exponenten", beklagte jedoch, dass "Geometrie" sie noch nicht wusste.[1]: 405 Nach verschiedenen historischen Berichten befassten sich nach diesem Zeitpunkt nur wenige Mathematiker mit den Problemen und der Arbeit derjenigen, die sich hauptsächlich wegen des Widerstandes gegen so unbekannte aufstrebende Konzepte verdeckt, die manchmal als mathematische "Monster" bezeichnet wurden.[34][8][9] Daher war es erst zwei Jahrhunderte vergangen am 18. Juli 1872 Karl Weierstrass präsentierte die erste Definition von a Funktion mit einer Graph Das würde heute als Fraktal angesehen, das nicht mit dem Nichts gehtintuitiv Eigentum, überall zu sein kontinuierlich aber Nirgendwo differenzierbar an der Royal Preußischen Akademie der Wissenschaften.[8]: 7[9]

Darüber hinaus wird der Quotientenunterschied mit zunehmender Summierungsindex willkürlich groß.[37] Nicht lange danach im Jahr 1883, Georg Cantor, der an Vorträgen von Weierstrass teilnahm,[9] veröffentlichte Beispiele von Untergruppen der realen Linie bekannt als als Kantorsets, die ungewöhnliche Eigenschaften hatten und jetzt als Fraktale anerkannt werden.[8]: 11–24 Auch im letzten Teil dieses Jahrhunderts, Felix Klein und Henri Poincaré führte eine Kategorie von Fraktal vor, die als "selbstinvers" Fraktale bezeichnet wurde.[1]: 166

A Julia Set, ein Fraktal, das mit dem Mandelbrot -Set zusammenhängt
A Sierpinski -Dichtung kann durch einen fraktalen Baum erzeugt werden.

Einer der nächsten Meilensteine ​​kam 1904, wann Helge von Koch, erweitern die Ideen von Poincaré und unzufrieden mit der abstrakten und analytischen Definition von Weierstrass, gab eine geometrischere Definition, einschließlich handgezeichneter Bilder einer ähnlichen Funktion, die jetzt als The als The genannt wird Koch Snowflake.[8]: 25[9] Ein weiterer Meilenstein kam ein Jahrzehnt später im Jahr 1915, als Wacław Sierpiński baute sein berühmtes Dreieck Dann, ein Jahr später, seine Teppich. Bis 1918 zwei französische Mathematiker, Pierre Fatou und Gaston JuliaObwohl er unabhängig arbeitet, kam es im Wesentlichen gleichzeitig bei Ergebnissen, die beschreiben, was jetzt als fraktales Verhalten angesehen wird, das mit der Kartierung verbunden ist komplexe Zahlen und iterative Funktionen und zu weiteren Ideen zu weiteren Vorstellungen über Attraktoren und Repelloren (d. H. Punkte, die andere Punkte anziehen oder abstellen), die für die Untersuchung von Fraktalen sehr wichtig geworden sind.[4][8][9]

Sehr kurz nach dieser Arbeit wurde bis März 1918 eingereicht, Felix Hausdorff erweiterte die Definition von "Dimension", die erheblich für die Entwicklung der Definition von Fraktalen, um Sets nicht abzüglich Dimensionen zu ermöglichen.[9] Die Idee selbstähnlicher Kurven wurde weiter von Paul Lévy, wer in seinem Papier von 1938 Ebenen- oder Raumkurven und Oberflächen, die aus Teilen bestehen, die dem Ganzen ähnelnbeschrieben eine neue fraktale Kurve, die Lévy C -Kurve.[Anmerkungen 1]

A seltsamer Attraktor das zeigt Multifraktal Skalierung
Dreieck für einheitliches Massenzentrum fraktal
2x 120 Grad rekursiv Ifs

Verschiedene Forscher haben postuliert, dass die frühen Ermittler ohne die Hilfe moderner Computergrafiken auf das beschränkt waren, was sie in manuellen Zeichnungen darstellen konnten. Daher fehlten die Mittel, um die Schönheit zu visualisieren und einige der Auswirkungen vieler der von ihnen entdeckten Muster zu schätzen (die Julia Set zum Beispiel konnte nur durch einige Iterationen als sehr einfache Zeichnungen visualisiert werden.[1]: 179[34][9] Dies änderte sich jedoch in den 1960er Jahren, wann Benoit Mandelbrot begann über Selbstähnlichkeit in Papieren wie zu schreiben, z. B. Wie lange dauert die Küste Großbritanniens? Statistische Selbstähnlichkeit und fraktionale Dimension,[38][39] die auf früheren Arbeiten basiert von Lewis Fry Richardson.

1975[32] Mandelbrot verfestigte Hunderte von Jahren des Denkens und der mathematischen Entwicklung bei der Prägung des Wortes "fraktal" und illustrierte seine mathematische Definition mit auffälligen computerkonstruierten Visualisierungen. Diese Bilder, wie sein Kanonisch Mandelbrot Set, eroberte die populäre Vorstellungskraft; Viele von ihnen basierten auf Rekursion, was zur populären Bedeutung des Begriffs "fraktal" führte.[40][34][8][36]

1980,, Loren Carpenter gab eine Präsentation am Siggraph wo er seine Software zur Generierung und Renderung von fraktal erzeugten Landschaften einführte.[41]

Definition und Eigenschaften

Eine oft zitierte Beschreibung, die Mandelbrot veröffentlichte, um geometrische Fraktale zu beschreiben Geometrische Figur Das kann in Teile aufgeteilt werden, von denen jedes (zumindest ungefähr) eine Kopie des Ganzen in reduzierter Größe ist. "[1] Dies ist im Allgemeinen hilfreich, aber begrenzt. Autoren sind sich der genauen Definition von nicht einig fraktal, aber meistens näher auf die grundlegenden Ideen der Selbstähnlichkeit und die ungewöhnlichen Beziehungsfraktale mit dem Raum, in dem sie eingebettet sind, erläutern.[1][5][2][4][42]

Ein Punkt vereinbart ist, dass fraktale Muster durch gekennzeichnet sind durch Fraktale Abmessungenaber während diese Zahlen quantifizieren Komplexität (d. H. Wenn sie sich mit sich ändernder Skala ändern) beschreiben noch Einzelheiten, wie bestimmte fraktale Muster konstruiert werden können.[43] Als Mandelbrot 1975 das Wort "fraktal" prägte, tat er dies, um ein Objekt zu bezeichnen, dessen Hausdorff -Besicovitch Dimension ist größer als seine Topologische Dimension.[32] Diese Anforderung wird jedoch nicht von erfüllt von Raumfüllungskurven so wie die Hilbert -Kurve.[Anmerkungen 2]

Aufgrund der Probleme, eine Definition für Fraktale zu finden, argumentieren einige, dass Fraktale überhaupt nicht streng definiert werden sollten. Entsprechend Falken, Fraktale sollten nur allgemein durch ein Gestalt der folgenden Merkmale gekennzeichnet sein.[2]

  • Selbstähnlichkeit, einschließlich:
  • Genaue Selbstähnlichkeit: auf allen Maßstäben identisch, wie die Koch Snowflake
  • Quasi-Selbstähnlichkeit: ungefähr das gleiche Muster in verschiedenen Maßstäben; Kann kleine Kopien des gesamten Fraktals in verzerrten und degenerierten Formen enthalten; z. B. die Mandelbrot SetSatelliten sind Annäherungen des gesamten Satzes, aber nicht genaue Kopien.
  • Statistische Selbstähnlichkeit: Wiederholt ein Muster stochistisch So werden numerische oder statistische Maßnahmen in der gesamten Skalen erhalten; z.B., zufällig erzeugte Fraktale wie das bekannte Beispiel der Küste Großbritanniens Für das würde man nicht erwarten, dass ein Segment skaliert und so ordentlich wiederholt wird wie die wiederholte Einheit, die Fraktale wie die Koch -Schneeflocke definiert.[4]
  • Qualitative Selbstähnlichkeit: wie in einer Zeitreihe[13]
  • Multifraktal Skalierung: gekennzeichnet durch mehr als eine fraktale Dimension oder Skalierungsregel
  • Feine oder detaillierte Struktur in willkürlich kleinen Maßstäben. Eine Folge dieser Struktur ist, dass Fraktale haben können emergente Eigenschaften[44] (Bezogen auf das nächste Kriterium in dieser Liste).
  • Unregelmäßigkeit lokal und global, die in der Sprache der traditionellen Sprache nicht leicht beschrieben werden kann Euklidische Geometrie anders als als Grenze von a rekursiv definierte Sequenz von Stufen. Bei Bildern von fraktalen Mustern wurde dies durch Phrasen wie "sanft häufen von Oberflächen" und "Wirbel bei Wirbel" ausgedrückt.[6];sehen Gemeinsame Techniken zur Erzeugung von Fraktalen

Als Gruppe bilden diese Kriterien Richtlinien für den Ausschluss bestimmter Fälle, z. Eine gerade Linie zum Beispiel ist selbstähnlich, aber nicht fraktal, da sie keine Details gibt und in der euklidischen Sprache ohne Rekursion leicht beschrieben werden kann.[1][4]

Gemeinsame Techniken zur Erzeugung von Fraktalen

Selbstähnliches Verzweigungsmuster modelliert in Silico Verwendung L-Systems Prinzipien[21]

Bilder von Fraktalen können durch erstellt werden Fraktale Erzeugungsprogramme. Wegen dem Schmetterling-EffektEine kleine Änderung einer einzelnen Variablen kann eine haben unberechenbar Ergebnis.

Ein von a erzeugter Fraktal Finite Unterteilung Regel für ein Wechsellink

Anwendungen

Simulierte Fraktale

Fraktale Muster wurden ausführlich modelliert, wenn auch aufgrund der praktischen Grenzen der physischen Zeit und des Raums in einer Reihe von Skalen und nicht unendlich. Modelle können theoretische Fraktale simulieren oder natürliche Phänomene mit fraktalen Merkmalen. Die Ausgaben des Modellierungsprozesses können sehr künstlerische Renderings, Ausgaben für die Untersuchung oder Benchmarks für sein Fraktale Analyse. Einige spezifische Anwendungen von Fraktalen auf Technologie sind aufgeführt anderswo. Bilder und andere Modellierungsausgaben werden normalerweise als "Fraktale" bezeichnet, auch wenn sie keine streng fraktalen Eigenschaften haben, z. Diese können auch Berechnung oder Anzeige umfassen Artefakte die keine Eigenschaften von wahren Fraktalen sind.

Modellierte Fraktale können Geräusche sein,[17] Digitale Bilder, elektrochemische Muster, Tagesrhythmus,[50] usw. In physikalischem dreidimensionalem Raum wurden fraktale Muster rekonstruiert[24]: 10 und praktisch oft genannt ""in Silico"Modellierung.[47] Modelle von Fraktalen werden im Allgemeinen mit Verwendung erstellt Fraktalerzeugende Software Das implementiert Techniken wie die oben beschriebenen.[4][13][24] Als eine Illustration, Bäume, Farne, Zellen des Nervensystems,[21] Blut- und Lungengefäßatur,[47] und andere Verzweigungen Muster in der Natur kann auf einem Computer durch rekursive Verwendung modelliert werden Algorithmen und L-Systems Techniken.[21]

Die rekursive Natur einiger Muster ist in bestimmten Beispielen offensichtlich - ein Zweig von einem Baum oder a Wedel von einem Farn ist eine Miniaturreplik des Ganzen: nicht identisch, aber ähnlich in der Natur. In ähnlicher Weise wurden zufällige Fraktale verwendet, um viele sehr unregelmäßige reale Objekte zu beschreiben/zu erzeugen. Eine Einschränkung der Modellierungsfraktale besteht darin, dass die Ähnlichkeit eines fraktalen Modells mit einem natürlichen Phänomen nicht beweist, dass das zu modellierte Phänomen durch einen Prozess gebildet wird, der den Modellierungsalgorithmen ähnelt.

Natürliche Phänomene mit fraktalen Merkmalen

Ungefähre Fraktale in der Natur zeigen Selbstähnlichkeit gegenüber erweiterten, aber endlichen Skalenbereichen. Die Verbindung zwischen Fraktalen und Blättern wird derzeit verwendet, um zu bestimmen, wie viel Kohlenstoff in Bäumen enthalten ist.[51] Zu den Phänomenen, von denen bekannt ist, dass sie fraktale Merkmale haben, gehören:

Fraktale in der Zellbiologie

Fraktale treten häufig im Bereich lebender Organismen auf, in denen sie durch Verzweigungen und andere komplexe Musterbildung entstehen. Ian Wong und Mitarbeiter haben gezeigt, dass migrierende Zellen durch Clustering Fraktale bilden können und Verzweigung. [71] Nervenzellen Funktionen durch Prozesse an der Zelloberfläche mit Phänomenen, die durch weitgehend erhöhtes Verhältnis von Oberfläche zu Volumen verstärkt werden. Infolgedessen werden häufig Nervenzellen zu fraktalen Mustern festgestellt.[72] Diese Prozesse sind in der Zelle von entscheidender Bedeutung Physiologie und anders Pathologien.[73]

Es wurde auch festgestellt, dass sich mehrere subzelluläre Strukturen zu Fraktalen zusammensetzen. Diego Krapf hat gezeigt, dass durch Verzweigungsprozesse die Aktin Filamente in menschlichen Zellen sammeln sich zu fraktalen Mustern.[56] Ebenso zeigte Matthias Weiss, dass die endoplasmatisches Retikulum Zeigt fraktale Funktionen an.[74] Das derzeitige Verständnis ist, dass Fraktale in der Zellbiologie allgegenwärtig sind Proteine, zu Organellen, zu ganzen Zellen.

In kreativen Werken

Seit 1999 haben zahlreiche wissenschaftliche Gruppen eine fraktale Analyse auf über 50 Gemälden durchgeführt, die von erstellt wurden Jackson Pollock's (1912–1956), indem man Farbe direkt auf horizontale Leinwände gießt.[75][76] [77]

In jüngster Zeit wurde eine fraktale Analyse verwendet, um eine Erfolgsrate von 93% bei der Unterscheidung von Real von Nachahmungsfollocks zu erzielen.[78] Kognitive Neurowissenschaftler haben gezeigt, dass Pollocks Fraktale bei Beobachtern dieselbe Stressreduktion wie computergenerierte Fraktale und Fraktale der Natur induzieren.[79]

Decalcomania, eine Technik, die von Künstlern wie verwendet wird, z. Max Ernst, kann fraktalähnliche Muster erzeugen.[80] Es geht darum, Farbe zwischen zwei Oberflächen zu drücken und sie auseinander zu ziehen.

Kybernetiker Ron Eglash hat vorgeschlagen, dass die fraktale Geometrie und Mathematik in der Verbreitung Afrikanische Kunst, Spiele, Divination, Handel und Architektur. Kreishäuser erscheinen in Kreisen von Kreisen, rechteckigen Häusern in Rechtecken von Rechtecken und so weiter. Solche Skalierungsmuster finden sich auch in afrikanischen Textilien, Skulpturen und sogar in Cornrow -Frisuren.[27][81] Hokky Situngkir schlug auch die ähnlichen Eigenschaften in der indonesischen traditionellen Kunst vor, Batik, und Ornamente in traditionellen Häusern gefunden.[82][83]

Ethnomathematischer Ron Eglash hat das geplante Layout von erörtert Benin City Verwenden von Fraktalen als Grundlage, nicht nur in der Stadt selbst und in den Dörfern, sondern auch in den Räumen der Häuser. Er kommentierte: "Als die Europäer zum ersten Mal nach Afrika kamen, betrachteten sie die Architektur sehr unorganisiert und somit primitiv. Es kam ihnen nie in den Sinn, dass die Afrikaner möglicherweise eine Form von Mathematik verwendet haben, die sie noch nicht einmal entdeckt hatten."[84]

In einem Interview mit 1996 mit Michael Silverblatt, David Foster Wallace gab zu, dass die Struktur des ersten Entwurfs von Unendlicher Scherz Er gab seinem Redakteur Michael Pietsch inspiriert von Fraktalen, insbesondere von der Sierpinski -Dreieck (a.k.a. Sierpinski -Dichtung), aber der bearbeitete Roman ist "eher wie eine einseitige Sierpinsky -Dichtung".[26]

Einige Werke des niederländischen Künstlers M. C. Escher, wie zum Beispiel Kreisgrenze III, enthalten Formen, die in Unendlichkeit wiederholt werden, die immer kleiner werden, wenn sie sich den Kanten nähern, in einem Muster, das immer gleich aussieht, wenn sie eingezoomt werden.

Physiologische Reaktionen

Menschen scheinen besonders gut für die Verarbeitung fraktaler Muster mit D-Werten zwischen 1,3 und 1,5 zu sein.[85] Wenn Menschen fraktale Muster mit D -Werten zwischen 1,3 und 1,5 anzeigen, verringert dies tendenziell physiologische Stress.[86][87]

Anwendungen in der Technologie

Siehe auch

Anmerkungen

  1. ^ Das Originalpapier, Lévy, Paul (1938). "Les Courbes Flugzeuge OU Gauches et les oberflächen Composées de Partys Semblables au Tout". Journal de l'école Polytechnique: 227–247, 249–291., wird übersetzt in Edgar, Seiten 181–239.
  2. ^ Die Hilbert -Kurve -Karte ist keine HomomorphismusDaher bewahrt es keine topologische Dimension. Die topologische Dimension und die Hausdorff -Dimension des Bildes der Hilbert -Karte in R2 sind beide 2. Beachten Sie jedoch, dass die topologische Dimension der Graph der Hilbert -Karte (ein Set in R3) ist 1.

Verweise

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  • Lesmoir-Gordon, Nigel; Die Farben der Unendlichkeit: Die Schönheit, die Kraft und das Gefühl von Fraktalen. 2004. ISBN1-904555-05-5 (Das Buch enthält eine verwandte DVD der Arthur C. Clarke Dokumentarfilm Einführung in das fraktale Konzept und die Mandelbrot Set.))
  • Liu, Huajie; Fraktale Kunst, Changsha: Hunan Science and Technology Press, 1997, ISBN9787535722348.
  • Gouyet, Jean-François; Physik und fraktale Strukturen (Vorwort von B. mandelbrot); Masson, 1996. ISBN2-225-85130-1 und New York: Springer-Verlag, 1996. ISBN978-0-387-94153-0. Vergriffen. Verfügbar in PDF -Version bei. "Physik und fraktale Strukturen" (auf Französisch). Jfgouyet.fr. Abgerufen 17. Oktober, 2010.
  • Falconer, Kenneth (2013). Fraktale, eine sehr kurze Einführung. Oxford University Press.

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