Fourier-Transformation

Eine Beispielanwendung der Fourier -Transformation besteht darin, die Bestandteile in a zu bestimmen Musical Wellenform. Dieses Bild ist das Ergebnis der Anwendung a Konstant-Q-Transformation (a Fourier-bezogene Transformation) zur Wellenform von a C Major Klavier Akkord. Die ersten drei Peaks links entsprechen den Frequenzen der fundamentale Frequenz des Akkords (c, e, g). Die verbleibenden kleineren Peaks sind höherfrequent Obertöne der grundlegenden Tonhöhen. EIN Pitch -Erkennungsalgorithmus Könnte die relative Intensität dieser Peaks verwenden, um zu schließen, anhand derer der Pianist gedrückt wird.

A Fourier-Transformation (Ft) ist ein mathematisch verwandeln das zersetzt sich Funktionen es hängt davon ab Platz oder Zeit in Funktionen, je nachdem Raumfrequenz oder zeitliche Frequenz. Dieser Prozess wird auch genannt Analyse. Eine Beispielanwendung würde das zerlegen Wellenform eines Musicals Akkord in Begriffe der Intensität seines Bestandteils Stiele. Der Begriff Fourier-Transformation bezieht sich auf beide Frequenzbereich Darstellung und die mathematische Operation Das assoziiert die Repräsentation der Frequenzdomänen mit einer Funktion des Raums oder der Zeit.

Die Fourier -Transformation einer Funktion ist a Komplex-bewertete Funktion den Komplex darstellen Sinusoide Das umfasst die ursprüngliche Funktion. Für jede Frequenz die Größe (absoluter Wert) des Komplexer Wert repräsentiert die Amplitude eines Konstituentenkomplexes Sinus mit dieser Frequenz und der Argument des komplexen Wertes repräsentiert diese komplexen Sinushöhlen Phasenversatz. Wenn keine Frequenz vorhanden ist, hat die Transformation einen Wert von 0 für diese Frequenz. Die Fourier -Transformation beschränkt sich nicht auf Funktionen der Zeit, sondern die Domain der ursprünglichen Funktion wird allgemein als die bezeichnet Zeitdomäne. Das Fourier -Inversionstheorem bietet a Synthese Prozess, der die ursprüngliche Funktion aus seiner Frequenzdomänendarstellung nachgebaut hat.

Das Rote Sinus kann durch Peakamplitude (1), Peak-to-Peak (2) beschrieben werden, RMS (3) und Wellenlänge (4). Die roten und blauen Sinusoide haben einen Phasenunterschied von θ.

${\ displayStyle \ scriptstyle f (t)}}$

${\ displayStyle \ scriptstyle {\ Hat {f}} (\ Omega)}$

${\ displayStyle \ scriptstyle g (t)}}$

${\ displayStyle \ scriptstyle {\ Hat {g}} (\ Omega)}$

${\ displayStyle \ scriptstyle t}$

${\ displayStyle \ scriptstyle \ Omega}$

${\ displayStyle \ scriptstyle t}$

${\ displayStyle \ scriptstyle \ Omega}$

Die obere Reihe zeigt a Einheit Impuls als Funktion der Zeit (f(t)) und seine Fourier -Transformation als Funktion der Frequenz (f(ω)). Die untere Reihe zeigt einen verzögerten Einheitsimpuls als Funktion der Zeit (Zeit (Zeit) (g(t)) und seine Fourier -Transformation als Funktion der Frequenz (ĝ(ω)). Übersetzung (d. H. Verzögerung) im Zeitbereich wird als komplexe Phasenverschiebungen in der Frequenzdomäne interpretiert. Die Fourier -Transformation zersetzt eine Funktion in Eigenfunktionen für die Übersetzungsgruppe. Der imaginäre Teil von ĝ(ω) wird negiert, weil in der Fourier -Transformation ein negativer Vorzeichenexponent verwendet wurde, was der Standard ist, wie aus der Fourier -Reihe abgeleitet, aber das Zeichen spielt keine Rolle für eine Transformation, die nicht umgekehrt wird.

Funktionen, die in der Zeitdomäne lokalisiert sind Unschärferelation. Das kritisch Fall für dieses Prinzip ist das Gaußsche Funktionvon erheblicher Bedeutung in Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistiken sowie in der Untersuchung physikalischer Phänomene ausstellen Normalverteilung (z.B., Diffusion). Die Fourier -Transformation einer Gaußschen Funktion ist eine weitere Gaußsche Funktion. Joseph Fourier stellte die Transformation in seiner Studie von vor Wärmeübertragung, wo Gaußsche Funktionen als Lösungen der Wärmegleichung.

Die Fourier -Transformation kann formell als definiert werden unangemessen Riemann Integral, machen es zu einer Integrale TransformationObwohl diese Definition für viele Anwendungen nicht geeignet ist, die eine ausgefeiltere Integrationstheorie erfordern.^{[Anmerkung 1]} Zum Beispiel verwenden viele relativ einfache Anwendungen die Dirac Delta -Funktion, die formal behandelt werden kann, als wäre es eine Funktion, aber die Rechtfertigung erfordert einen mathematisch ausgefeilteren Standpunkt.^{[Anmerkung 2]}

Die Fourier -Transformation kann auch auf Funktionen mehrerer Variablen auf dem euklidischen Raum verallgemeinert werden, wobei sie eine Funktion von sendet 3-dimensional 'Positionraum' zu einer Funktion von 3-dimensional Impuls (oder eine Funktion von Raum und Zeit für eine Funktion von 4-Momentum). Diese Idee macht die räumliche Fourier -Transformation in der Untersuchung von Wellen sowie in Quantenmechanik, wo es wichtig ist, Wellenlösungen als Funktionen der Position oder des Impulses und manchmal beides darzustellen. Im Allgemeinen sind Funktionen, für die Fourier-Methoden anwendbar sind vektorbewertet.^{[Notiz 3]} Eine weitere Verallgemeinerung ist möglich für Funktionen Gruppen, was neben der ursprünglichen Fourier -Veränderung auf R oder Rⁿ (Als Gruppen unter Hinzufügung angesehen), beinhaltet insbesondere die Diskrete Fourier-Transformation (DTFT, Gruppe = Z), das diskrete Fourier-Transformation (DFT, Gruppe = Z Mod N) und die die Fourierreihe oder zirkuläre Fourier -Transformation (Gruppe = S¹, der Einheitskreis ≈ geschlossenes Finite -Intervall mit identifizierten Endpunkten). Letzteres wird routinemäßig verwendet, um zu handhaben regelmäßige Funktionen. Das Schnelle Fourier-Transformation (FFT) ist ein Algorithmus für die Berechnung des DFT.

Definition

Es gibt einige Gemeinsame Konventionen für die Definition der Fourier -Transformation von a integrierbar Funktion ${\ displayStyle f: \ mathbb {r} \ to \ mathbb {c}}$.^[1][2] Einer von ihnen ist:

Fourier Transform Integral

$oder \ forall \ \ xi \ in \ mathbb {r}.}$

(Gl. 1)

Die Funktion Transformation ${\ displayStyle f (x)}$ bei Frequenz ${\ displayStyle \ xi}$ wird durch die komplexe Zahl angegeben ${\ displayStyle {\ Hat {f}} (\ xi)}$. Bewertung Gl. 1 für alle Werte von ${\ displayStyle \ xi}$ produziert die Frequenzbereich Funktion. Die Fourier -Transformation wird hier durch Hinzufügen von a bezeichnet Zirkumflex zum Symbol der Funktion. Wenn die unabhängige Variable darstellt Zeit (oft bezeichnet von ${\ displayStyle t}$ Anstatt von ${\ displayStyle x}$) Die Transformationsvariable repräsentiert Frequenz (oft bezeichnet von ${\ displayStyle f}$ Anstatt von ${\ displayStyle \ xi}$). Z.B. Wenn die Zeit in gemessen wird Sekundendann ist die Frequenz in Hertz.

Für reale Wert ${\ displayStyle f (x),}$ Gl. 1 hat die Symmetrieeigenschaft ${\ displayStyle {\ Hat {f}} (-\ xi) = {\ Hat {f}}^{*} (\ xi).}.}.$ Es kann daher auf:

${\ displayStyle {\ Hat {f}} (\ xi) = \ links \ {{\ begin {ausgerichtet} & \ int _ {-\ infty}^{\ infty} f (x) \ e^{-i2 \ \ pi \ xi x} \, dx, \ & \ xi \ geq 0 \\ & {\ Hat {f}}^{*} (| \ xi |) & \ xi <0, \\\ end {ausgeteilt}}} \Rechts.}$

was bedeutet, dass Negative Frequenzwerte, ${\ displayStyle \ xi,}$ sind in diesem Zusammenhang unnötig.

Unter geeigneten Bedingungen ${\ displayStyle f}$ kann als Rekombination von dargestellt werden Komplexe Exponentiale aller möglichen Frequenzen:

Fourier -Inversionsintegral

$oder quad \ forall \ x \ in \ mathbb {r},},}$

(Gl. 2)

was für Real-Wert ${\ displayStyle f (x),}$ reduziert zu:

$oder {i2 \ pi \ xi x} \ rechts) d \ xi \\ & = 2 \ int _ {0}^{\ infty} \ links (\ operatorname {re} ({\ Hat {f}} (\ xi) ) \ cdot \ cos (2 \ pi \ xi x)-\ operatorname {im} ({\ Hat {f}} (\ xi)) \ cdot \ sin (2 \ pi \ xi x) \ rechts) d \ xi . \ end {aligned}}}$

Die komplexe Zahl, ${\ displayStyle {\ Hat {f}} (\ xi)}$vermittelt sowohl Amplitude als auch Frequenzphase ${\ displayStyle \ xi}$. Gl. 2 ist als die bekannt Fourier -Inversionstheoremund wurde zuerst in vorgestellt in Fourier Analytische Hitzetheorie,^[3][4] Obwohl ein Beweis für moderne Maßstäbe erst viel später gegeben wurde.^[5][6] Die Funktionen ${\ displayStyle f}$ und ${\ displayStyle {\ Hat {f}}}$ werden oft als als bezeichnet Fourier -Integralpaar oder Fourier -Transformationspaar.^[7]Eine häufige Notation zur Bezeichnung von Transformationspaaren ist:^[8]

$oder$.

Für andere gemeinsame Konventionen und Notationen, einschließlich der Verwendung der Winkelfrequenz ω anstelle von gewöhnliche Häufigkeit ξ, sehen Andere Konventionen und Andere Notationen unter. Das Fourier -Transformation am euklidischen Raum wird separat behandelt, in der die Variable x repräsentiert oft Position und ξ Schwung. Die in diesem Artikel ausgewählten Konventionen sind die von denen von Harmonische Analyseund sind als die einzigartigen Konventionen charakterisiert, so dass die Fourier -Transformation beides ist Einheitlich an L² und ein Algebra -Homomorphismus von L¹ zu L^∞, ohne die Lebesgue -Maßnahme zu renormalisieren.^[9]

Es gibt viele andere Charakterisierungen der Fourier -Transformation. Zum Beispiel verwendet man die Stein -von Neumann Theorem: Die Fourier -Transformation ist die einzigartige Einheit Intertwiner Für die symplectischen und euklidischen Schrödinger -Darstellungen der Heisenberg -Gruppe.

Geschichte

Im Jahr 1822 behauptete Fourier (siehe Joseph Fourier § Die analytische Hitzetheorie) dass jede Funktion, ob kontinuierlich oder diskontinuierlich, in eine Reihe von Sinus erweitert werden kann.^[10] Diese wichtige Arbeit wurde von anderen korrigiert und erweitert, um die Grundlage für die verschiedenen Formen der seitdem verwendeten Fourier -Transformation zu schaffen.

Einführung

Funktion f (in rot) wird zuerst in seine aufgelöst die Fourierreihe: Eine Summe von sinusförmigen Wellen (in Blau). Diese Sinusoide werden dann über das Frequenzspektrum verteilt und als Peaks dargestellt (Dirac Delta Funktionen) im Frequenzbereich. Die Frequenzdomänendarstellung der Funktion (f) ist die Sammlung dieser Gipfel.

Obwohl die Fourierreihe kann darstellen periodisch Wellenformen als Summe von harmonisch verwandt Sinusoide, Fourier -Serie kann nicht darstellen Nicht periodisch Wellenformen. Die Fourier -Transformation kann jedoch darstellen Nicht periodisch Wellenformen auch. Es erreicht dies, indem es a anwendet Begrenzungsprozess die Zeit der Wellenform zu verlängern zu Unendlichkeit und dann das als periodische Wellenform zu behandeln.^[11]

In der Untersuchung der Fourier -Reihe repräsentieren die Fourier -Koeffizienten die Amplitude jeder harmonisch verwandt Sinusoid in der Fourier -Reihe einer periodischen Funktion vorhanden f. In ähnlicher Weise repräsentiert die Fourier -Transformation die Amplitude und Phase von jeder Sinus in einer (möglicherweise nichtperiodischen) Funktion vorhanden f.

Die Fourier -Transformation verwendet eine Integral- (oder "kontinuierliche Summe"), die Eigenschaften von ausnutzt Sinus und Cosinus die Amplitude und Phase jeder Sinus in einer Fourier -Serie wiederherstellen. Die inverse Fourier -Transformation rekombiniert diese Wellen unter Verwendung eines ähnlichen Integrals, um die ursprüngliche Funktion zu reproduzieren.

Verwendung komplexer Sinusoide zur Darstellung echter Sinusoide

Um die Mathematik zu vereinfachen, ist es wünschenswert, die Fourier -Serie als Summe von zu schreiben Komplexe Exponentiale (sehen Fourier -Serie § Exponentielle Form). Jeder komplexe exponentielle oder komplexer Sinus Der Häufigkeit ξ kann mit Verwendung ausgedrückt werden Eulers Formel als Summe einer Cosinuswelle der Frequenz ξ Für die reale Komponente plus eine Sinuswelle auch der Frequenz ξ Für die imaginäre Komponente:

$oder }$

Das Ausdrücken echter Sinusoide als komplexe Sinusoide macht es für die Fourier -Koeffizienten notwendig ${\ displayStyle c_ {n}}$komplex bewertet werden, hat jedoch den Vorteil, alle erforderlichen Informationen über jede Häufigkeit kompakt darzustellen. Die übliche Interpretation dieser komplexen Zahl ist das ${\ displayStyle \ links \ vert c_ {n} \ rechts \ vert}$ (es ist Größe) gibt die Amplitude und ${\ displayStyle \ arg (c_ {n})}$ (es ist Streit) gibt die Phase des komplexen Sinusus für diesen Koeffizienten.

Veranschaulichung eines komplexen Exponentials in Dreidimensionen. Die eigentliche Komponente ist eine Cosinus -Welle. Die imaginäre Komponente ist eine Sinuswelle. Zusammen bilden sie eine Helix. Die Negation der Frequenz kann als Änderung der Veränderung verstanden werden Händigkeit der Helix; Drehung mit der entgegengesetzten Ausrichtung, jedoch mit der gleichen Anzahl von Rotationen pro Sekunde.

Diese komplexen Exponentiale können haben negative Frequenz. Zum Beispiel beide komplexen Sinusoide e^2πisto und e^–2πisto Vervollständigen Sie einen Zyklus pro Einheit von x, aber die erste stellt eine positive Frequenz dar, während die zweite eine negative Frequenz darstellt. Positive Frequenz kann als rotierend gegen den Uhrzeigersinn über die verstanden werden Komplexe Ebene Während die negative Frequenz als drehend im Uhrzeigersinn um die komplexe Ebene verstanden werden kann. Wenn komplexe Sinusoide als interpretiert werden Wendel In Dreidimensionen (wobei die dritte Dimension die imaginäre Komponente ist) ändert sich die Negation der Frequenz einfach verändert einfach die Händigkeit der Helix.^[12]

Echte Sinus- und Cosinus -Wellen können aus der komplexen exponentiellen Darstellung von Sinusoiden gewonnen werden. Zum Beispiel a Folge der Formel von Euler ermöglicht das Ausdrücken von Cosinus und Sinuswellen als realer oder imaginärer Teil eines komplexen Sinusoids oder als gewichtete Summe von zwei komplexen Sinusoiden entgegengesetzter Frequenz:

$oder {2}} e^{2 \ pi i \ xi x}+{\ tfrac {1} {2}} e^{-2 \ pi i \ xi x}, \\\ sin (2 \ pi \ xi x ) & = \ operatorname {im} \ links (e^{2 \ pi i \ xi x} \ rechts) = {\ tfrac {1} {2i}} e^{2 \ pi i \ xi}-{{\ tfrac {1} {2i}} e^{-2 \ pi i \ xi x}. \ end {ausgerichtet}}}$

Folglich eine allgemeine Form jeder wirklichen Sinusoid (mit Frequenz ξ, Phasenverschiebung θund Amplitude A) kann als Summe von zwei komplexen Sinusoiden entgegengesetzter Frequenz ausgedrückt werden (ξ und -ξ) aber gleiche Größe (A/2) und mit der Phasenverschiebung θ Eingebettet in beide komplexen Koeffizienten:

${\ displayStyle {\ begin {ausgerichtet} a \ cos (2 \ pi \ xi x+\ theta) & = {\ tfrac {a} {2}} e^{2 \ pi i \ xi x+i \ theta}+++ oder x}+{\ tfrac {ae^{-i \ theta}} {2}} e^{-2 \ pi i \ xi x}. \ end {ausgerichtet}}}}$

Daher kann angesehen werden, dass jeder reale Sinus (und reale Signal) aus einer positiven und negativen Frequenz besteht, deren imaginäre Komponenten abbrechen, deren reale Komponenten jedoch gleichermaßen dazu beitragen, das reale Signal zu bilden.

Um die Verwendung komplexer Zahlen und negativer Frequenzen zu vermeiden, die Sinus und Cosinus transformiert Zusammen kann als äquivalente alternative Form der Fourier -Transformation verwendet werden.

Fourier -Transformation für Funktionen, die außerhalb eines Intervalls Null sind

Es besteht eine enge Verbindung zwischen der Definition der Fourier -Serie und der Fourier -Transformation für Funktionen f das sind null außerhalb eines Intervalls. Für eine solche Funktion können wir ihre Fourier -Serie in jedem Intervall berechnen, das die Punkte enthält, wo f ist nicht Null. Die Fourier -Transformation ist auch für eine solche Funktion definiert. Wenn wir die Länge des Intervalls erhöhen, in dem wir die Fourier -Serie berechnen f beginnt der inversen Fourier -Transformation zu ähneln. Genauer gesagt, nehmen Sie an T ist groß genug, dass das Intervall [ - T/2, T/2] enthält das Intervall, in dem f ist nicht Null. Dann ist die nTH -Serienkoeffizient c_n wird gegeben durch:

$oder , e^{-2 \ pi i \ links ({\ frac {n} {t}} \ rechts) x} \, dx.}$

Wenn Sie dies mit der Definition der Fourier -Transformation vergleicht, folgt, dass:

$oder$

seit f(x) ist null draußen [ - T/2, T/2]. Somit sind die Fourier -Koeffizienten gleich den Werten der Fourier -Transformation, die auf einem Raster der Breite abgetastet wurde 1/T, multipliziert mit der Gitterbreite 1/T.

Unter geeigneten Bedingungen die Fourier -Reihe von f entspricht der Funktion f. Mit anderen Worten, f kann geschrieben werden:

$oder rechts) x} = \ sum _ {n =-\ infty}^{\ infty} {\ Hat {f}} (\ xi _ {n}) \ e^{2 \ pi i \ xi _ {n} x } \ Delta \ xi,}$

wobei die letzte Summe einfach die erste Summe ist, die mit den Definitionen umgeschrieben wurde ξ_n = n/T, und Δξ = n + 1/T − n/T = 1/T.

Diese zweite Summe ist a Riemann Sum. Indem man T → ∞ Es wird zum Integral für die inverse Fourier -Transformation wie oben ausgedrückt. Unter geeigneten Bedingungen kann dieses Argument präzise gemacht werden.^[13]

Beispiel

Die folgenden Zahlen liefern eine visuelle Darstellung, wie die Fourier -Transformation misst, ob in einer bestimmten Funktion eine Frequenz vorhanden ist. Die dargestellte Funktion f(t) = cos (6π)t) e^−πt2 oszilliert bei 3Hz (wenn t misst Sekunden) und tendiert schnell auf 0 (der zweite Faktor in dieser Gleichung ist eine Hüllfunktion Das formt den kontinuierlichen Sinus in einen kurzen Impuls. Seine allgemeine Form ist a Gaußsche Funktion). Diese Funktion wurde speziell für eine echte Fourier -Transformation ausgewählt, die leicht dargestellt werden kann. Das erste Bild enthält seine Grafik. Um zu berechnen ${\ displayStyle {\ Hat {f}} (3)}$ Wir müssen integrieren e^–2πi(3t)f(t). Das zweite Bild zeigt die Handlung der realen und imaginären Teile dieser Funktion. Der eigentliche Teil des Integrals ist fast immer positiv, denn wenn f(t) ist negativ, der eigentliche Teil von e^–2πi(3t) ist auch negativ. Weil sie mit der gleichen Geschwindigkeit schwingen, wann f(t) ist positiv, auch der eigentliche Teil von e^–2πi(3t). Das Ergebnis ist, dass Sie, wenn Sie den tatsächlichen Teil des Integrals integrieren, eine relativ große Anzahl erhalten (in diesem Fall 1/2). Andererseits, wenn Sie versuchen, eine nicht vorhandene Frequenz zu messen, wie in dem Fall, wenn wir uns ansehen ${\ displayStyle {\ Hat {f}} (5)}$Sie sehen, dass sowohl reale als auch imaginäre Komponente dieser Funktion zwischen positiven und negativen Werten, wie im dritten Bild dargestellt, schnell variieren. In diesem Fall schwingt der Integrand so schnell genug, damit das Integral sehr klein ist und der Wert für die Fourier -Transformation für diese Frequenz nahezu Null ist.

Die allgemeine Situation mag etwas komplizierter sein als diese, aber im Geiste ist das Fourier -Transformation, wie viel von einer individuellen Frequenz in einer Funktion vorhanden ist f(t).

• 

  Originalfunktion mit Oszillation 3 Hz.

• 

  Reale und imaginäre Teile von Integrand für Fourier -Transformation bei 3 Hz

• 

  Reale und imaginäre Teile von Integrand für Fourier -Transformation bei 5 Hz

• 

  Größe der Fourier -Transformation, mit 3 und 5 Hz markiert.

Eigenschaften der Fourier -Transformation

Hier nehmen wir an f(x), g(x) und h(x) sind Integrierbare Funktionen: Lebesgue-messenbar Auf der realen Linie befriedigend:

$$oder$$

Wir bezeichnen die Fourier -Transformationen dieser Funktionen als f(ξ), ĝ(ξ) und ĥ(ξ) beziehungsweise.

Grundeigenschaften

Die Fourier -Transformation hat die folgenden grundlegenden Eigenschaften:^[14]

Linearität

Für jeden komplexe Zahlen a und b, wenn h(x) = af (x) + BG(x), dann ĥ(ξ) = a · f(ξ) + b · ĝ(ξ).

Übersetzung / Zeitverschiebung

Animation, die die Fourier -Transformation eines zeitverschiebten Signals zeigt. [Oben] Das ursprüngliche Signal (gelb) ist kontinuierlich verändert (blau). [Unten] Die resultierende Fourier -Transformation der Zeitverschiebung des Signals. Beachten Sie, wie sich die Komponenten mit höherer Frequenz in der komplexen Ebene schneller drehen als die Komponenten mit niedrigerer Frequenz.

Für jeden reelle Zahl x₀, wenn h(x) = f(x − x₀), dann ĥ(ξ) = e^{–2πix₀ξ} f(ξ).

Modulation / Frequenzverschiebung

Für jeden reelle Zahl ξ₀, wenn h(x) = e^2πixsto₀ f(x), dann ĥ(ξ) = f(ξ − ξ₀).

Zeitskalierung

Für einen ungleich Null reelle Zahl a, wenn h(x) = f(Axt), dann

$$oder ).}$$

Der Fall a = –1 führt zum zeitlich umgekehrt Eigentum, welches heißt: wenn h(x) = f( -x), dann ĥ(ξ) = f( -ξ).

Konjugation

Wenn h(x) = f(x), dann

$${\ displayStyle {\ Hat {H}} (\ xi) = {\ overline {{\ Hat {f}} (-\ xi)}}.}$$

Insbesondere wenn, wenn f ist real, dann hat man das Realitätszustand

$${\ displayStyle {\ Hat {f}} (-\ xi) = {\ overline {{\ Hat {f}} (\ xi)}},},}$$

das ist, f ist ein Hermitische Funktion. Und wenn f ist dann rein imaginär

$${\ displaystyle {\ Hat {f}} (-\ xi) =-{\ overline {{\ Hat {f}} (\ xi)}}.}$$

Realer und imaginärer Teil in der Zeit

• Wenn ${\ displayStyle h (x) = \ re {(f (x))}}$, dann $oder } (-\ xi)}} \ rechts)}$.
• Wenn ${\ displayStyle h (x) = \ im {(f (x))}}$, dann $oder } (-\ xi)}} \ rechts)}$.

Die Nullfrequenzkomponente

Ersetzen ξ = 0 In der Definition erhalten wir

$$oder$$

Das ist das gleiche wie das Integral von f über all seine Domäne und wird auch als Durchschnittswert bezeichnet oder Gleichstrombias der Funktion.

Invertierbarkeit und Periodizität

Unter geeigneten Bedingungen für die Funktion ${\ displayStyle f}$Es kann von seiner Fourier -Transformation geborgen werden ${\ displayStyle {\ Hat {f}}}$. In der Tat bezeichnen Sie den Fourier -Transformationsoperator von ${\ displaystyle {\ mathcal {f}}}$, Also ${\ displaystyle {\ mathcal {f}} f: = {\ Hat {f}}}$Für geeignete Funktionen dreht die Fourier -Transformation zweimal einfach die Funktion an: ${\ displayStyle ({\ mathcal {f}}^{2} f) (x) = f (-x)}$, was als "Umkehrzeit" interpretiert werden kann. Da die Umkehrzeit zwei proiodisch ist, wenden Sie sich diese zweimal aus ${\ displaystyle {\ mathcal {f}}^{4} (f) = f}$Daher ist der Fourier-Transformationsoperator vier proiodisch, und ähnlich kann die inverse Fourier-Transformation erhalten werden, indem die Fourier-Transformation dreimal angewendet wird: ${\ displaystyle {\ mathcal {f}}^{3} ({\ Hat {f}}) = f}$. Insbesondere die Fourier -Transformation ist invertierbar (unter geeigneten Bedingungen).

Genauer gesagt, das Definieren der Paritätsbetreiber ${\ displaystyle {\ mathcal {p}}}$ so dass ${\ displayStyle ({\ mathcal {p}} f) (x) = f (-x)}$, wir haben:

${\ displayStyle {\ begin {ausgerichtet} {\ mathcal {f}}^{0} & = \ mathrm {id}, \\ {\ mathcal {f}}^{1} & = {\ mathcal {f}}}} \\ {\ mathcal {f}}^{2} & = {\ mathcal {p}}, \\ {\ mathcal {f}}^{3} & = {\ mathcal {f {f} {-1-1 } = {\ mathcal {p}} \ circ {\ mathcal {f}} = {\ mathcal {f}} \ circ {\ mathcal {p}}, \\ {\ mathcal {f} {4} & = \ mathhrm {id} \ end {ausgerichtet}}}$

Diese Gleichheiten der Operatoren erfordern eine sorgfältige Definition des Funktionsraums der betreffenden Funktionen und definieren die Gleichheit von Funktionen (Gleichheit an jedem Punkt? Gleichheit fast überall?) und Definieren der Gleichheit der Operatoren - das heißt, die Topologie des fraglichen Funktionsraums und des betreffenden Bedienungsraums zu definieren. Diese sind nicht für alle Funktionen zutreffen, sondern unter verschiedenen Bedingungen, die der Inhalt der verschiedenen Formen der Fourier -Inversionstheorem.

Diese vierfache Periodizität der Fourier-Transformation ähnelt einer Drehung der Ebene um 90 °, insbesondere wenn die zweifache Iteration eine Umkehrung ergibt, und tatsächlich kann diese Analogie präzise gemacht werden. Während die Fourier -Transformation einfach als Umschalten der Zeitdomäne und der Frequenzdomäne interpretiert werden kann, wobei die inverse Fourier -Transformation sie nach hinten umschaltet, kann sie geometrischer als Drehung um 90 ° in der interpretiert werden Zeit -Frequenz -Domäne (Betrachten Sie die Zeit als die x-Axis und Frequenz als die y-Axis), und die Fourier -Transformation kann auf die verallgemeinert werden Fractional Fourier -Transformation, die Rotationen nach anderen Winkeln beinhalten. Dies kann weiter verallgemeinert werden Lineare kanonische Transformationen, die als die Aktion der Wirkung visualisiert werden können Spezielle lineare Gruppe Sl₂(R) in der Zeit -Frequenz -Ebene mit der erhaltenen symplectischen Form, die der entspricht Unschärferelation, unter. Dieser Ansatz ist besonders untersucht in Signalverarbeitung, unter Zeit -Frequenz -Analyse.

Einheiten und Dualität

Die Frequenzvariable muss umgekehrte Einheiten zu den Einheiten der Domäne der ursprünglichen Funktion (typischerweise benannt t oder x). Zum Beispiel wenn t wird in Sekunden gemessen, ξ sollte in Zyklen pro Sekunde sein. Wenn die Zeitskala in 2 -Einheiten von 2 liegtπ Sekunden, dann ein weiterer griechischer Brief ω wird normalerweise stattdessen verwendet, um darzustellen Winkelfrequenz (wo ω = 2πξ) in Einheiten von Radians pro Sekunde. Wenn verwendet x für Längeneinheiten dann ξ muss in umgekehrter Länge sein, z. B.,, Wellenzahlen. Das heißt, es gibt zwei Versionen der realen Linie: eine, die das ist Angebot von t und gemessen in Einheiten von T und der anderen, was der Bereich von ist ξ und gemessen in umgekehrten Einheiten zu den Einheiten von t. Diese beiden unterschiedlichen Versionen der realen Linie können nicht miteinander gleichgesetzt werden. Daher geht die Fourier -Transformation von einem Funktionsraum zu einem anderen Funktionsraum: Funktionen mit einer anderen Definitionsdomäne.

Im Algemeinen, ξ muss immer als ein sein lineare Form Auf dem Raum seiner Domäne, das heißt, dass die zweite reale Linie die ist Doppeler Raum der ersten wirklichen Linie. Siehe den Artikel über Lineare Algebra Für eine formellere Erklärung und weitere Details. Diese Sichtweise wird in Verallgemeinerungen der Fourier -Transformation zu allgemeiner Verallgemeinerung wesentlich Symmetriegruppen, einschließlich des Falls der Fourier -Serie.

Dass es niemanden bevorzugt (oft sagt man "No Canonical Way"), um die beiden Versionen der realen Linie zu vergleichen, die an der Fourier -Transformation beteiligt sind - die Einheiten auf einer Zeile zwingen die Skala der Einheiten nicht auf Die andere Linie - ist der Grund für die Fülle der konkurrierenden Konventionen zur Definition der Fourier -Transformation. Die verschiedenen Definitionen, die sich aus verschiedenen Auswahlmöglichkeiten von Einheiten ergeben, unterscheiden sich durch verschiedene Konstanten.

Lassen ${\ displayStyle {\ Hat {f}} _ {1} (\ xi)}$ Seien Sie die Form der Fourier -Transformation in Bezug auf die gewöhnliche Frequenz ξ.

Da ${\ displayStyle \ xi = {\ tfrac {\ omega} {2 \ pi}}}$, die alternative Form ${\ displayStyle {\ Hat {f}} _ {3} (\ omega)}$ (die Fourier Transform § Andere Konventionen Ruft die nicht unangenehme Form in Winkelfrequenz auf) hat keinen Faktor in ihrer Definition

${\ displayStyle {\ begin {ausgerichtet} {\ Hat {f}} _ {3} (\ Omega) \ & {\ stackrel {\ math mathrm {def}} {=} \ \ \ int _ {-\ \ \ inty}^ oder }} \ rechts) \ end {ausgerichtet}}}$

hat aber einen Faktor von ${\ displayStyle {\ tfrac {1} {2 \ pi}}}$ in seiner entsprechenden Inversionsformel

${\ displayStyle {\ begin {ausgerichtet} f (x) & = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {-\ infty}^{\ infty} {\ Hat {f} _ {33 } (\ Omega) \ cdot e^{i \ Omega \ cdot x} \, d \ Omega. \ end {ausgerichtet}}}$

Eine alternative Form ${\ displayStyle {\ Hat {f}} _ {2} (\ omega)}$ (die Fourier Transform § Andere Konventionen Ruft die einheitliche Form in Winkelfrequenz auf) hat einen Faktor von ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}}}}}}$ in seiner Definition

$oder Oder$

und hat auch den gleichen Faktor von ${\ displaystyle {\ tfrac {1} {\ sqrt {2 \ pi}}}}}}}$ in seiner entsprechenden Inversionsformel, die eine symmetrische Beziehung hervorruft

$oder } _ {2} (\ omega) \ cdot e^{i \ omega \ cdot x} \, d \ Omega. \ End {ausgerichtet}}}$

In anderen Konventionen hat die Fourier -Transformation i in der Exponent statt −iund umgekehrt für die Inversionsformel. Effektiv definiert${\ displayStyle e^{i2 \ pi \ xi x}, \ xi> 0}$als negative Frequenz, weil die entsprechende spektrale Komponente ist ${\ displayStyle {\ Hat {f}} (-\ xi).}$ Viele der Identitäten, die die Fourier -Transformation betreffen i Lassen Sie es ersetzt durch −i. Seien Sie sich seitdem bewusst, um weitere Verwirrung hinzuzufügen Elektroingenieure Verwenden Sie den Brief i zu repräsentieren aktuell, ihre Form der Transformation verwendet typischerweise den Buchstaben j für die imaginäre Einheit Anstatt von i.

Beim Benutzen Dimensionslose EinheitenDie konstanten Faktoren sind möglicherweise nicht einmal in der Transformationsdefinition geschrieben. Zum Beispiel in Wahrscheinlichkeitstheorie, die charakteristische Funktion Φ der Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion f einer zufälligen Variablen X des kontinuierlichen Typs wird ohne negatives Zeichen im Exponential und seit den Einheiten von definiert x werden ignoriert, es gibt keine 2π entweder:

$oder$

(In der Wahrscheinlichkeitstheorie und in mathematischen Statistiken wird die Verwendung des Fourier - Schichtstransformation bevorzugt, da so viele zufällige Variablen nicht von kontinuierlicher Art sind und keine Dichtefunktion besitzen, und man muss nicht Funktionen behandeln, aber keine Funktionen, aber Verteilungen, d.h. Maßnahmen, die "Atome" besitzen.)

Aus der höheren Sicht von Gruppenfiguren, was viel abstrakter ist, all diese willkürlichen Entscheidungen verschwinden, wie im späteren Abschnitt dieses Artikels erläutert wird, der den Begriff der Fourier -Transformation einer Funktion auf a behandelt lokal kompakte Abelsche Gruppe.

Einheitliche Kontinuität und die Riemann -Lebesgue Lemma

Das rechteckige Funktion ist Lebesgue integrierbar.

Das SINC -FunktionDas ist die Fourier -Transformation der rechteckigen Funktion, ist begrenzt und kontinuierlich, aber nicht integrierbar.

Die Fourier-Transformation kann in einigen Fällen für nicht integrierbare Funktionen definiert werden, aber die Fourier-Transformationen integrierbarer Funktionen haben mehrere starke Eigenschaften.

Die Fourier -Transformation f von jeder integrierbaren Funktion f ist gleichmäßig kontinuierlich und^[15]

$oder$

Bis zum Riemann -Lebesgue Lemma,^[16]

$oder$

Jedoch, ${\ displayStyle {\ Hat {f}}}$ muss nicht integrierbar sein. Zum Beispiel die Fourier -Transformation der rechteckige Funktion, was integrierbar ist, ist das SINC -Funktion, was nicht ist Lebesgue integrierbar, weil es Unbewegliche Integrale analog zur Wechselharmonische Serie, in einer Summe zu konvergieren, ohne zu sein absolut konvergent.

Es ist im Allgemeinen nicht möglich, die zu schreiben inverse Transformation Als ein Lebesgue Integral. Aber wenn beide f und ${\ displayStyle {\ Hat {f}}}$ sind integrierbar, die inverse Gleichheit

$oder$

hält fast überall. Das heißt, die Fourier -Transformation ist injektiv an L¹(R). (Doch wenn f ist kontinuierlich, dann gilt die Gleichheit für jeden x.))

Plancherel Theorem und Parsevals Theorem

Lassen f(x) und g(x) integrierbar sein und lassen f(ξ) und ĝ(ξ) Sei ihre Fourier -Transformationen. Wenn f(x) und g(x) sind auch quadratisch integrierbarDann folgt die Parseval -Formel:^[17]

$oder \ int _ {-\ inty}^{\ infty} {\ Hat {f}} (\ xi) {\ overline {{\ Hat {g}} (\ xi)}} \, d \ xi,}$

wo die Bar bezeichnet Komplexe Konjugation.

Das Plancherel Theorem, was aus den oben genannten folgt, gibt das an, dass^[18]

$oder _ {-\ Infty}^{\ infty} \ links | {\ Hat {f}} (\ xi) \ rechts |^{2} \, d \ xi.}$

Plancherel's Theorem ermöglicht es, die Fourier -Transformation durch ein Kontinuitätsargument auf a zu erweitern Einheitlicher Betreiber an L²(R). An L¹(R) ∩ L²(R)Diese Erweiterung stimmt mit der ursprünglichen Fourier -Transformation überein, die auf definiert ist L¹(R)so vergrößern die Domäne der Fourier -Transformation zu L¹(R) + L²(R) (und folglich zu L^p(R) zum 1 ≤ p ≤ 2). Der Theorem von Plancherel hat die Interpretation in den Wissenschaften, dass die Fourier -Transformation die bewahrt Energie der ursprünglichen Menge. Die Terminologie dieser Formeln ist nicht ganz standardisiert. Parsevals Theorem wurde nur für die Fourier -Serie bewiesen und wurde erstmals von Lyapunov bewiesen. Aber Parsevals Formel ist auch für die Fourier -Transformation sinnvoll, und obwohl es im Kontext der Fourier -Transformation von Plancherel nachgewiesen wurde, wird sie immer noch oft als Parsevals Formel oder Parsevals Beziehung oder sogar Parsevals Theorem bezeichnet.

Sehen Pontryagin Dualität für eine allgemeine Formulierung dieses Konzepts im Kontext lokal kompakter Abelschen Gruppen.

Poisson Summationsformel

Die Poisson -Summationsformel (PSF) ist eine Gleichung, die die bezieht die Fourierreihe Koeffizienten der periodische Summierung einer Funktion zu Werten der kontinuierlichen Fourier -Transformation der Funktion. Die Poisson -Summationsformel besagt, dass für ausreichend regelmäßige Funktionen fAnwesend

${\ displaystyle \ sum _ {n} {\ Hat {f}} (n) = \ sum _ {n} f (n).}$

Es verfügt über eine Vielzahl nützlicher Formen, die durch die Anwendung der Skalierung und Zeitverschiebungseigenschaften der Fourier-Transformation von der grundlegenden Eigenschaften der Fourier-Transformation abgeleitet werden. Die Formel verfügt über Anwendungen in Engineering, Physik und Zahlentheorie. Die Frequenz-Domäne-Dual der Standard-Poisson-Summierungsformel wird auch als die genannt Diskrete Fourier-Transformation.

Die Poisson -Summierung ist im Allgemeinen mit der Physik von regelmäßigen Medien wie Wärmeleitung auf einem Kreis verbunden. Die grundlegende Lösung der Wärmegleichung auf einem Kreis wird a genannt Theta -Funktion. Es wird in verwendet Zahlentheorie Um die Transformationseigenschaften von Theta -Funktionen zu beweisen, die sich als Art von Art herausstellen Modulare Formund es ist allgemeiner mit der Theorie von verbunden Automatische Formen wo es auf einer Seite der erscheint Selberg Trace -Formel.

Unterscheidung

Vermuten f(x) ist eine absolut kontinuierliche differenzierbare Funktion und beide f und sein Derivat f' sind integrierbar. Dann wird die Fourier -Transformation des Derivats gegeben

$oder pi i \ xi {\ Hat {f}} (\ xi).}$

Allgemeiner die Fourier -Transformation der nTH Derivat f⁽ⁿ⁾ wird gegeben von

$oder f (x) \ rechts \} = (2 \ pi i \ xi)^{n} {\ Hat {f}} (\ xi).}$

Durch die Anwendung der Fourier -Transformation und Verwenden dieser Formeln einige einige gewöhnliche Differentialgleichungen Kann in algebraische Gleichungen umgewandelt werden, die viel einfacher zu lösen sind. Diese Formeln entstehen auch die Faustregel "f(x) ist glatt dann und nur dann, wenn f(ξ) fällt schnell auf 0 für |ξ| → ∞"Durch die Verwendung der analogen Regeln für die inverse Fourier -Transformation kann man auch sagen"f(x) fällt schnell auf 0 für |x| → ∞ dann und nur dann, wenn f(ξ) ist glatt. "

Faltungssatz

Die Fourier -Transformation bedeutet zwischen Faltung und Multiplikation von Funktionen. Wenn f(x) und g(x) sind integrierbare Funktionen mit Fourier -Transformationen f(ξ) und ĝ(ξ) Dann wird die Fourier -Transformation der Faltung durch das Produkt der Fourier -Transformationen angegeben f(ξ) und ĝ(ξ) (Unter anderen Konventionen für die Definition der Fourier -Transformation kann ein konstanter Faktor erscheinen).

Das bedeutet, dass wenn:

$oder$

wo ∗ bezeichnet die Faltungsoperation, dann:

$oder$

Im Lineare Zeitinvariante (LTI) Systemtheorie, es ist üblich zu interpretieren g(x) als die impulsive Reaktion eines LTI -Systems mit Eingabe f(x) und Ausgabe h(x), da er das ersetzt hat Einheitsimpuls zum f(x) ergibt h(x) = g(x). In diesem Fall, ĝ(ξ) repräsentiert die Frequenzgang vom System.

Umgekehrt, wenn f(x) kann als Produkt von zwei quadratisch integrierbaren Funktionen zersetzt werden p(x) und q(x)dann die Fourier -Transformation von f(x) wird durch die Faltung der jeweiligen Fourier -Transformationen gegeben p(ξ) und q(ξ).

Cross-Correlation-Theorem

Auf analoge Weise kann gezeigt werden, dass wenn h(x) ist der Kreuzkorrelation von f(x) und g(x):

${\ displayStyle h (x) = (f \ stern g) (x) = \ int _ {-\ inty}^{\ infty} {\ overline {f (y)}} g (x+y) \, dy }$

dann die Fourier -Transformation von h(x) ist:

$oder$

Als Sonderfall die Autokorrelation der Funktion f(x) ist:

${\ displayStyle h (x) = (f \ stern f) (x) = \ int _ {-\ inty}^{\ infty} {\ overline {f (y)}} f (x+y) \, dy }$

für welche

$oder {f}} (\ xi) \ rechts |^{2}.}$

Eigenfunktionen

Eine wichtige Wahl einer orthonormalen Grundlage für L²(R) wird durch die Hermite -Funktionen gegeben

$oder mathrm {er} _ {n} \ links (2x {\ sqrt {\ pi}} \ rechts),},}$

wo Er_n(x) sind die "probabilistischen" " Hermite Polynome, definiert als

$oder dx}} \ rechts)^{n} e^{-{\ frac {x^{2}} {2}}}}$

Nach dieser Übereinkommen für die Fourier -Transformation haben wir das

${\ displayStyle {\ Hat {\ psi}} _ {n} (\ xi) = (-i)^{n} \ psi _ {n} (\ xi)}$.

Mit anderen Worten, die Hermite -Funktionen bilden eine vollständige orthonormal System von Eigenfunktionen für die Fourier -Transformation auf L²(R).^[14] Diese Wahl der Eigenfunktionen ist jedoch nicht einzigartig. Es gibt nur vier verschiedene Eigenwerte der Fourier -Transformation (± 1 und ±i) und jede lineare Kombination von Eigenfunktionen mit demselben Eigenwert ergibt eine weitere Eigenfunktion. Infolgedessen ist es möglich, sich zu zersetzen L²(R) als direkte Summe von vier Leerzeichen H₀, H₁, H₂, und H₃ wo die Fourier -Transformation wirkt Er_k Einfach durch Multiplikation von i^k.

Da der vollständige Satz von Hermite -Funktionen eine Auflösung der Identität liefert, kann die Fourier -Transformation durch eine solche Summe von Begriffen dargestellt werden, die von den oben genannten Eigenwerten gewichtet werden, und diese Summen können explizit summiert werden. Dieser Ansatz zur Definition der Fourier -Transformation wurde zuerst von durchgeführt Norbert Wiener.^[19] Unter anderem verringern die Hermite -Funktionen sowohl in Frequenz- als auch in Zeitbereiche exponentiell schnell und werden daher verwendet, um eine Verallgemeinerung der Fourier -Transformation zu definieren, nämlich die Fractional Fourier -Transformation in der Zeit -Frequenz -Analyse verwendet.^[20] Im PhysikDiese Transformation wurde von vorgestellt von Edward Condon.^[21]

Verbindung mit der Heisenberg -Gruppe

Das Heisenberg -Gruppe ist ein gewisses Gruppe von Einheitliche Betreiber auf der Hilbert Raum L²(R) von quadratisch integrierbaren Komplexfunktionen f auf der realen Linie, erzeugt durch die Übersetzungen (T_y f) (x) = f (x + y) und Multiplikation von e^2πixsto, (M_ξ f) (x) = e^2πixsto f (x). Diese Betreiber pendeln nicht wie ihr (Gruppen-) Kommutator

$oder xi} f (x)}$

das ist eine Multiplikation durch die Konstante (unabhängig von x) e^2πIyac ∈ U(1) (das Kreisgruppe von Einheitsmodul -Komplexzahlen). Als abstrakte Gruppe ist die Heisenberg-Gruppe die dreidimensionale Gruppe Lügengruppe von dreifachen (x, ξ, z) ∈ R² × U(1)mit dem Gruppengesetz

$oder \ links (x_ {1}+x_ {2}, \ xi _ {1}+\ xi _ {2}, t_ {1} t_ {2} e^{2 \ pi i \ links (x_ {1} \ xi _ {1}+x_ {2} \ xi _ {2}+x_ {1} \ xi _ {2} \ rechts)} \ rechts).}$

Bezeichnen die Heisenberg -Gruppe durch H₁. Das obige Verfahren beschreibt nicht nur die Gruppenstruktur, sondern auch einen Standard Einheitliche Darstellung von H₁ auf einem Hilbert -Raum, den wir bezeichnen, von dem wir bezeichnen ρ: H₁ → B(L²(R)). Definieren Sie den linearen Automorphismus von R² durch

$oder$

so dass J² = -I. Dies J kann auf einen einzigartigen Automorphismus von ausgedehnt werden H₁:

${\ displayStyle j \ links (x, \ xi, t \ rechts) = \ links (-\ xi, x, te^{-2 \ pi ix \ xi} \ rechts).}.}$

Laut dem Stein -von Neumann Theorem, die einheitlichen Darstellungen ρ und ρ ∘ j sind ordnungsgemäß gleichwertig, daher gibt es einen einzigartigen Intertwiner W ∈ U(L²(R)) so dass

${\ displaystyle \ rho \ circ j = w \ rho w^{*}.}$

Dieser Bediener W ist die Fourier -Transformation.

Viele der Standardeigenschaften der Fourier -Transformation sind unmittelbare Folgen dieses allgemeineren Rahmens.^[22] Zum Beispiel das Quadrat der Fourier -Transformation, W², ist ein Intertwiner, der mit verbunden ist J² = -Iund so haben wir (W²f) (x) = f ( -x) ist die Reflexion der ursprünglichen Funktion f.

Komplexe Domäne

Das Integral- Für die Fourier -Transformation

$oder$

kann für untersucht werden für Komplex Werte seines Arguments ξ. Abhängig von den Eigenschaften von fDies kann möglicherweise überhaupt nicht von der realen Achse konvergieren, oder sie kann zu a konvergieren Komplex analytische Funktion für alle Werte von ξ = σ + iτ, oder etwas dazwischen.^[23]

Das Paley -Wiener -Theorem sagt, dass f ist glatt (d. H., n-Times differenzierbar für alle positiven Ganzzahlen n) und kompakt unterstützt, wenn und nur wenn f (σ + iτ) ist ein Holomorphe Funktion für das es gibt a Konstante a > 0 so dass für jeden ganze Zahl n ≥ 0Anwesend

$oder$

für einige Konstante C. (In diesem Fall, f wird unterstützt [ -a, a].) Dies kann dadurch zum Ausdruck gebracht werden f ist ein gesamte Funktion welches ist schnell abnimmt in σ (für fest τ) und von exponentiellem Wachstum in τ (gleichmäßig in σ).^[24]

(Wenn f ist nicht glatt, aber nur L², die Erklärung gilt immer noch vor n = 0.^[25]) Der Raum solcher Funktionen von a Komplexe Variable wird Paley - Wiener -Raum genannt. Dieser Satz wurde auf halbisimples verallgemeinert Lügengruppen.^[26]

Wenn f wird auf der Halblinie unterstützt t ≥ 0, dann f soll "kausal" sein, weil die Impulsantwortfunktion eines körperlich realisierbaren Filter Muss diese Eigenschaft haben, da keine Wirkung seiner Ursache vorausgehen kann. Paley Und Wiener zeigte das dann f erstreckt sich auf a Holomorphe Funktion auf der komplexen unteren Halbebene τ < 0 das tendiert zu Null als τ geht in unendlich.^[27] Das Gegenteil ist falsch und es ist nicht bekannt, wie man die Fourier -Transformation einer kausalen Funktion charakterisiert.^[28]

Laplace-Transformation

Die Fourier -Transformation f(ξ) ist mit dem verwandt Laplace-Transformation F(s), was auch für die Lösung von verwendet wird Differentialgleichung und die Analyse von Filter.

Es kann passieren, dass eine Funktion f für das das Fourier -Integral überhaupt nicht auf der realen Achse konvergiert, hat dennoch eine komplexe Fourier -Transformation, die in einer Region der Region definiert ist Komplexe Ebene.

Zum Beispiel wenn f(t) ist von exponentiellem Wachstum, d. H.,

${\ displaystyle \ vert f (t) \ vert <ce^{a \ vert t \ vert}}$

Für einige Konstanten C, a ≥ 0, dann^[29]

$oder$

für alle konvergent 2πτ < −a, ist der Zweiseitige Laplace-Transformation von f.

Die üblichere Version ("einseitig") der Laplace-Transformation ist

${\ displayStyle f (s) = \ int _ {0}^{\ infty} f (t) e^{-st} \, dt.}$

Wenn f ist dann auch kausal und analytisch: dann: ${\ displayStyle {\ Hat {f}} (i \ tau) = f (-2 \ pi \ tau).}$ Wenn Sie die Fourier -Transformation in die komplexe Domäne erweitern, bedeutet dies daher die Laplace -Transformation als Sonderfall bei kausalen Funktionen - aber mit der Änderung der Variablen s = 2πisto.

Aus einem anderen, vielleicht klassischer Standpunkt beinhaltet die Laplace -Transformation nach seiner Form einen zusätzlichen exponentiellen regulierenden Term, mit dem sie außerhalb der imaginären Linie konvergieren kann, wo die Fourier -Transformation definiert wird. Als solches kann es für die höchsten exponentiell unterschiedlichen Serien und Integrale konvergieren, während die ursprüngliche Fourier -Zersetzung nicht kann, was die Analyse von Systemen mit unterschiedlichen oder kritischen Elementen ermöglicht. Zwei besondere Beispiele aus der linearen Signalverarbeitung sind die Konstruktion von Allpass-Filternetzwerken aus kritischen Kamm- und Minderungsfiltern über die exakte Pole-Null-Stornierung am Einheitskreis. Solche Entwürfe sind in der Audioverarbeitung üblich, bei denen eine stark nichtlineare Phasenreaktion wie in Reverb gesucht wird.

Wenn erweiterte Impulsreaktionen für die Impuls für die Signalverarbeitung nach Signalverarbeitungsarbeiten gesucht werden, besteht der einfachste Weg, sie zu produzieren, eine Schaltung, die eine divergierende Zeitreaktion erzeugt und dann seine Divergenz durch eine verzögerte entgegengesetzte und kompensierende Reaktion aufsaugt. Dort lässt nur der Zwischenschaltkreis eine klassische Fourier-Beschreibung zu, die kritisch ist. Beide Schaltkreise an der Seite sind instabil und geben keine konvergente Fourier -Zersetzung zu. Sie geben jedoch eine Laplace-Domänebeschreibung mit identischen Halbplanen der Konvergenz in der komplexen Ebene (oder im diskreten Fall der Z-Ebene) zu, wobei ihre Effekte abbrechen.

In der modernen Mathematik wird die Laplace -Transformation herkömmlich unter den Aegis Fourier -Methoden subsumiert. Beide werden von der weitaus allgemeineren und abstrakteren Idee von subsumiert Harmonische Analyse.

Inversion

Wenn f ist komplex analytisch für a ≤ τ ≤ b, dann

${\ displayStyle \ int _ {-\ inty}^{\ infty} {\ Hat {f}} (\ sigma +ia) e^{2 \ pi i \ xi t} \, d \ sigma = \ int _ {{{\ xi t} \, d \ sigma -\ Infty}^{\ Infty} {\ Hat {f}} (\ sigma +ib) e^{2 \ pi i \ xi t} \, d \ sigma}$

durch Cauchys integraler Theorem. Daher kann die Fourier -Inversionsformel die Integration in verschiedenen Zeilen parallel zur realen Achse verwenden.^[30]

Theorem: If f(t) = 0 zum t < 0, und |f(t)| < Ce^a|t| Für einige Konstanten C, a > 0, dann

$oder \ sigma,}$

für jeden τ < − a/2π.

Dieser Satz impliziert das Mellin -Inversionsformel Für die Laplace -Transformation,^[29]

$oder$

für jeden b > a, wo F(s) ist die Laplace -Transformation von f(t).

Die Hypothesen können wie in den Ergebnissen von Carleman und Jagd geschwächt werden f(t) e^−bei Sein L¹, unter der Vorraussetzung, dass f ist von begrenzten Variationen in einer geschlossenen Nachbarschaft von t (vgl. Dirichlet-Dini-Theorem), der Wert von f bei t is taken to be the arithmetisches Mittel der linken und rechten Grenzen und vorausgesetzt, dass die Integrale im Sinne der Cauchy -Hauptwerte genommen werden.^[31]

L² Versionen dieser Inversionsformeln sind ebenfalls verfügbar.^[32]

Fourier -Transformation am euklidischen Raum

Die Fourier -Transformation kann in einer beliebigen Anzahl von Dimensionen definiert werden n. Wie bei dem eindimensionalen Fall gibt es viele Konventionen. Für eine integrierbare Funktion f(x)Dieser Artikel nimmt die Definition an:

${\ displayStyle {\ Hat {f}} ({\ boldsymbol {\ xi}}) = {\ mathcal {f}} (f) ({\ mathbb {r } ^{n}} f (\ mathbf {x}) e ^{-2 \ pi i \ mathbf {x} \ cdot {\ boldSymbol {\ xi}} \, d \ mathbf {x}}}}}}} \, d \ mathbf {x}}$

wo x und ξ sind n-Dimensional Vektoren, und x · ξ ist der Skalarprodukt der Vektoren. Alternative, ξ kann als Zugehörigkeit zur Doppelvektorraum ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n \ star}}$In diesem Fall wird das Punktprodukt zum Kontraktion von x und ξ, normalerweise geschrieben als ⟨x, ξ⟩.

Alle oben aufgeführten grundlegenden Eigenschaften halten für die fest n-Dimensional Fourier Transform, ebenso wie Plancherel und Parsevals Theorem. Wenn die Funktion integrierbar ist, ist die Fourier -Transformation immer noch gleichmäßig kontinuierlich und die Riemann -Lebesgue Lemma hält.^[16]

Unschärferelation

Im Allgemeinen desto konzentrierter f(x) ist, desto mehr verbreitete sich seine Fourier -Transformation f(ξ) muss sein. Insbesondere kann die Skalierungseigenschaft der Fourier -Transformation als sagen gesehen werden: Wenn wir eine Funktion drücken x, seine Fourier -Transformation erstreckt sich in ξ. Es ist nicht möglich, sowohl eine Funktion als auch ihre Fourier -Transformation willkürlich zu konzentrieren.

Der Kompromiss zwischen der Verdichtung einer Funktion und ihrer Fourier-Transformation kann in Form eines formalisiert werden Unschärferelation durch Betrachten einer Funktion und ihrer Fourier -Transformation als konjugierte Variablen in Bezug auf die Sympplektische Form auf der Zeit -Frequenz -Domäne: aus der Sicht der Lineare kanonische TransformationDie Fourier -Transformation ist die Drehung um 90 ° im Bereich der Frequenz und bewahrt die Sympplektische Form.

Vermuten f(x) ist ein integrierbares und quadratisch integrierbar Funktion. Nehmen wir das ohne Verlust der Allgemeinheit an f(x) ist normalisiert:

$oder$

Es folgt aus dem Plancherel Theorem das f(ξ) ist auch normalisiert.

Die Ausbreitung x = 0 kann von der gemessen werden Dispersion um Null^[33] definiert von

$oder$

Wahrscheinlicher Hinsicht ist dies das Zweiter Moment von |f(x)|² ungefähr null.

Das Unsicherheitsprinzip besagt, dass wenn f(x) ist absolut kontinuierlich und die Funktionen x·f(x) und f'(x) sind dann quadratisch integrierbar^[14]

$oder$.

Die Gleichheit wird nur in dem Fall erreicht

$oder Daher {\ Hat {f}} (\ xi) & = \ sigma c_ {1} \, e ^{-\ pi \ sigma ^{2} \ xi ^{2} \ end {ausgeteilt}}}}$

wo σ > 0 ist willkürlich und C₁ = ⁴√2/√σ so dass f ist L²-Normalisiert.^[14] Mit anderen Worten, wo f ist a (normalisiert) Gaußsche Funktion mit Varianz σ², zentriert bei Null, und seine Fourier -Transformation ist eine Gaußsche Funktion mit Varianz σ^–2.

Tatsächlich impliziert diese Ungleichheit:

$oder \ int _ { -\ inty}^{\ infty} (\ xi -\ xi _ {0})^{2} \ links | {\ Hat {f}} (\ xi) \ rechts |^{2} \ , d \ xi \ right) \ geq {\ frac {1} {16 \ pi ^{2}}}}}$

für jeden x₀, ξ₀ ∈ R.^[13]

Im Quantenmechanik, das Schwung und Position Wellenfunktionen sind Fourier -Transformationspaare zu einem Faktor von Plancks Konstante. Bei dieser konstanten ordnungsgemäß berücksichtigten Ungleichheit wird die obige Ungleichheit zur Aussage der Heisenberg Unsicherheitsprinzip.^[34]

Ein stärkeres Unsicherheitsprinzip ist das Hirschman Unsicherheitsprinzip, was ausgedrückt wird als:

${\ displaystyle h \ links (\ links | f \ rechts |^{2} \ rechts)+H \ links (\ links | {\ Hat {f}} \ rechts |^{2} \ rechts) \ Geq \ log \ links ({\ frac {e} {2}} \ rechts)}$

wo H(p) ist der Differentialentropie des Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion p(x):

$oder$

wo sich die Logarithmen in jeder Basis befinden können, die konsistent ist. Die Gleichheit wird wie im vorherigen Fall für einen Gaußschen erreicht.

Sinus und Cosinus transformiert

Fouriers ursprüngliche Formulierung der Transformation verwendete keine komplexen Zahlen, sondern Sinus und Cosinus. Statistiker und andere verwenden diese Form immer noch. Eine absolut integrierbare Funktion f Für die Fourier -Inversion gilt, kann in Bezug auf echte Frequenzen erweitert werden (vermeiden negative Frequenzen, die manchmal als schwer zu interpretierend angesehen werden, physisch zu interpretieren^[35]) λ durch

$oder pi \ lambda t) {\ bigr)} \, d \ lambda.}$

Dies wird als Expansion als trigonometrisches Integral oder eine Fourier -Integralerweiterung bezeichnet. Die Koeffizienten funktionieren a und b kann unter Verwendung von Varianten der Fourier Cosinus -Transformation und der Fourier -Sinus -Transformation gefunden werden (die Normalisierung sind wiederum nicht standardisiert):

$oder$

und

$oder$

Ältere Literatur bezieht sich auf die beiden Transformationsfunktionen, die Fourier Cosinus -Transformation, aund die Fourier -Sinus -Transformation, b.

Die Funktion f kann von der Sinus- und Cosinus -Transformation mit Verwendung von Verwendung erhalten werden

$oder (\ tau -t) {\ bigr)} \, d \ tau \, d \ lambda.}$

zusammen mit trigonometrischen Identitäten. Dies wird als Fourier -Integralformel bezeichnet.^{[29][36][37][38]}

Sphärische Harmonische

Lass den Satz von homogen harmonisch Polynome Grad k an Rⁿ bezeichnet werden durch A_k. Der Satz A_k besteht aus dem solide sphärische Harmonische Grad k. Die soliden sphärischen Harmonischen spielen eine ähnliche Rolle bei höheren Dimensionen wie die Hermite -Polynome in der Dimension. Speziell, wenn f(x) = e^{−π |x|2}P(x) für einige P(x) in A_k, dann f(ξ) = i^−k f(ξ). Lassen Sie das Set H_k die Schließung sein L²(Rⁿ) lineare Kombinationen von Funktionen der Form f(|x|)P(x) wo P(x) ist in A_k. Der Raum L²(Rⁿ) ist dann eine direkte Summe der Räume H_k und die Fourier -Transformationskarten jeden Raum H_k für sich selbst und ist möglich, die Wirkung der Fourier -Transformation auf jedem Raum zu charakterisieren H_k.^[16]

Lassen f(x) = f₀(|x|)P(x) (mit P(x) in A_k), dann

${\ displayStyle {\ Hat {f}} (\ xi) = f_ {0} (| \ xi |) p (\ xi)}$

wo

$oder F_ {0} (s) j _ {\ frac {n+2k-2} {2}} (2 \ pi rs) s^{\ frac {n+2k} {2}} \, ds.}$

Hier J_{(n + 2k - 2)/2} bezeichnet die Bessel -Funktion der ersten Art mit Ordnung n + 2k - 2/2. Wann k = 0 Dies ergibt eine nützliche Formel für die Fourier -Transformation einer radialen Funktion.^[39] Dies ist im Wesentlichen das Hankel -Transformation. Darüber hinaus gibt es eine einfache Rekursion in Bezug auf die Fälle n + 2 und n^[40] Ermöglicht die Berechnung, z. B. die dreidimensionale Fourier-Transformation einer radialen Funktion aus der eindimensionalen.

Beschränkungsprobleme

In höheren Dimensionen wird es interessant zu studieren Beschränkungsprobleme Für die Fourier -Transformation. Die Fourier -Transformation einer integrierbaren Funktion ist kontinuierlich und die Einschränkung dieser Funktion zu jedem Satz ist definiert. Aber für eine quadratintegrierbare Funktion könnte die Fourier-Transformation ein allgemeiner sein Klasse von quadratischen integrierbaren Funktionen. Als solche die Einschränkung der Fourier -Transformation von a L²(Rⁿ) Die Funktion kann nicht auf Maßnahmen von Maßnahme 0 definiert werden. Es handelt sich immer noch um ein aktives Studienbereich L^p zum 1 < p < 2. Überraschenderweise ist es in einigen Fällen möglich, die Einschränkung einer Fourier -Transformation zu einem Satz zu definieren S, bereitgestellt S hat Krümmung ungleich Null. Der Fall wann S ist die Einheitskugel in Rⁿ ist von besonderem Interesse. In diesem Fall die Tomas -Stein Restriktionstheorem stellt fest, dass die Einschränkung der Fourier in die Einheitskugel in Rⁿ ist ein begrenzter Operator auf L^p bereitgestellt 1 ≤ p ≤ 2n + 2/n + 3.

Ein bemerkenswerter Unterschied zwischen der Fourier -Transformation in 1 Dimension und höheren Dimensionen betrifft den teilweisen Summenoperator. Betrachten Sie eine zunehmende Sammlung messbarer Sets E_R indiziert von R ∈ (0, ∞): wie Radiusbälle R am Ursprung zentriert oder Seitenwürfel 2R. Für eine bestimmte integrierbare Funktion fBetrachten Sie die Funktion f_R definiert von:

$oder Quad x \ in \ mathbb {r} ^{n}.}$

Angenommen darüber f ∈ L^p(Rⁿ). Zum n = 1 und 1 < p < ∞, wenn man nimmt E_R = ( -R, R), dann f_R konvergiert zu f in L^p wie R tendiert zur Unendlichkeit, durch die Begrenzung der Hilbert Transform. Naiv man kann hoffen, dass das gleiche gilt für n > 1. Für den Fall, dass E_R wird als Würfel mit Seitenlänge angesehen Rdann hält die Konvergenz noch. Ein weiterer natürlicher Kandidat ist der euklidische Ball E_R = {{ξ: |ξ| < R}. Damit dieser teilweise Summenoperator konvergieren kann, ist es erforderlich L^p(Rⁿ). Zum n ≥ 2 Es ist ein berühmter Satz von Charles Fefferman dass der Multiplikator für den Einheitsball niemals begrenzt wird, es sei denn p = 2.^[19] In der Tat, wenn p ≠ 2Dies zeigt, dass dies nicht nur darf f_R nicht konvergieren zu zu konvergieren f in L^p, aber für einige Funktionen f ∈ L^p(Rⁿ), f_R ist nicht einmal ein Element von L^p.

Fourier -Transformation auf Funktionsräumen

An L^p Räume

An L¹

Die Definition der Fourier -Transformation durch die Integralformel

$oder }$

ist gültig für integrierbare Lebesgue -Funktionen f; das ist, f ∈ L¹(Rⁿ).

Die Fourier -Transformation F: L¹(Rⁿ) → L^∞(Rⁿ) ist ein begrenzter Bediener. Dies folgt aus der Beobachtung, dass

${\displaystyle \left\vert {\hat {f}}(\xi )\right\vert \leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}\vert f(x)\vert \,dx, }$

was zeigt, dass es es ist Operatornorm wird durch 1. in der Tat entspricht es 1, was beispielsweise aus dem gesehen werden kann Transformation der rechte Funktion. Das Bild von L¹ ist eine Untergruppe des Raums C₀(Rⁿ) von kontinuierlichen Funktionen, die bei unendlich zu Null (die Riemann -Lebesgue Lemma), obwohl es nicht der gesamte Raum ist. In der Tat gibt es keine einfache Charakterisierung des Bildes.

An L²

Da die kompakt unterstützten reibungslosen Funktionen integrierbar und dicht sind L²(Rⁿ), das Plancherel Theorem ermöglicht es uns, die Definition der Fourier -Transformation auf allgemeine Funktionen in zu erweitern L²(Rⁿ) durch Kontinuitätsargumente. Die Fourier -Transformation in L²(Rⁿ) wird nicht mehr von einem gewöhnlichen Lebesgue -Integral angegeben, obwohl es von einem berechnet werden kann Unbeschwerde Integral, hier bedeutet das für eine L² Funktion fAnwesend

$oder \ xi} \, dx}$

wo die Grenze in der gewonnen wird L² Sinn. (Im Allgemeinen können Sie eine Folge von Funktionen übernehmen, die sich im Schnittpunkt befinden L¹ und L² und das konvergiert zu f in dem L²-norm und definieren Sie die Fourier -Transformation von f als die L² -Limit der Fourier -Transformationen dieser Funktionen.^[41]))

Viele der Eigenschaften des Fourier verwandeln sich in L¹ übertragen zu L², durch ein geeignetes begrenzendes Argument.

Außerdem, F: L²(Rⁿ) → L²(Rⁿ) ist ein Einheitlicher Betreiber.^[42] Damit ein Bediener einheitlich ist, reicht es aus, zu zeigen, dass er bijektiv ist und das innere Produkt bewahrt. In diesem Fall folgen diese aus dem Fourier -Inversionstheorem in Kombination mit der Tatsache, dass für jeden f, g ∈ L²(Rⁿ) wir haben

$oder {\ mathcal {f}} f (x) g (x) \, dx.}$

Insbesondere das Bild von L²(Rⁿ) ist selbst unter der Fourier -Transformation.

Auf andere L^p

Die Definition der Fourier -Transformation kann auf Funktionen in erweitert werden L^p(Rⁿ) zum 1 ≤ p ≤ 2 durch Zerlegen solcher Funktionen in einen fetten Schwanzteil in L² plus ein fettem Körperteil in L¹. In jedem dieser Räume die Fourier -Transformation einer Funktion in L^p(Rⁿ) ist in L^q(Rⁿ), wo q = p/p - 1 ist das Hölder -Konjugat von p (bis zum Hausdorff -Young -Ungleichheit). Ausgenommen jedoch p = 2Das Bild ist nicht leicht zu charakterisieren. Weitere Erweiterungen werden technischer. Die Fourier -Transformation der Funktionen in L^p für den Bereich 2 < p < ∞ erfordert die Untersuchung von Verteilungen.^[15] In der Tat kann gezeigt werden, dass es Funktionen gibt L^p mit p > 2 so dass die Fourier -Transformation nicht als Funktion definiert wird.^[16]

Temperierte Verteilungen

Man könnte in Betracht ziehen, die Domäne der Fourier -Transformation zu vergrößern L¹ + L² unter Berücksichtigung von Verallgemeinerte Funktionen, oder Verteilungen. Eine Verteilung auf Rⁿ ist ein kontinuierlicher linearer Funktional auf dem Raum C_c(Rⁿ) von kompakt unterstützten reibungslosen Funktionen, ausgestattet mit einer geeigneten Topologie. Die Strategie besteht dann darin, die Wirkung der Fourier -Transformation zu berücksichtigen C_c(Rⁿ) und zu Verteilungen nach Dualität übergeben. Die Behinderung dazu ist, dass die Fourier -Transformation nicht zugeordnet ist C_c(Rⁿ) zu C_c(Rⁿ). In der Tat die Fourier -Transformation eines Elements in C_c(Rⁿ) kann nicht auf einem offenen Satz verschwinden; Siehe die obige Diskussion über das Unsicherheitsprinzip. Der rechte Raum hier ist der etwas größere Raum von Schwartz funktioniert. Die Fourier -Transformation ist ein Automorphismus auf dem Schwartz -Raum als topologischer Vektorraum und induziert somit einen Automorphismus auf seinem doppelten Raum der temperierten Verteilungen.^[16] Die temperierten Verteilungen umfassen alle oben genannten integrierbaren Funktionen sowie gut erzogene Funktionen des polynomialen Wachstums und der Verteilungen der kompakten Unterstützung.

Für die Definition der Fourier -Transformation einer temperierten Verteilung lassen Sie f und g integrierbare Funktionen sein und lassen f und ĝ Sei ihre Fourier -Transformationen jeweils. Dann folgt die Fourier -Transformation die folgende Multiplikationsformel,^[16]

$oder (x) {\ Hat {g}} (x) \, dx.}$

Jede integrierbare Funktion f definiert (induziert) eine Verteilung T_f durch die Beziehung

${\ displayStyle t_ {f} (\ varphi) = \ int _ {\ mathbb {r} ^{n}} f (x) \ varphi (x) \, dx}$

Für alle Schwartz -Funktionen φ. Es ist also sinnvoll, Fourier -Transformation zu definieren T_f von T_f durch

$oder$

Für alle Schwartz -Funktionen φ. Dies auf alle temperierten Verteilungen auszudehnen T Gibt die allgemeine Definition der Fourier -Transformation an.

Verteilungen können differenziert und die oben genannte Kompatibilität der Fourier-Transformation mit Differenzierung und Faltung gilt für temperierte Verteilungen.

Verallgemeinerungen

Fourier -Stieltjes -Transformation

Die Fourier -Transformation einer endlichen Borel -Maßnahme μ an Rⁿ wird gegeben durch:^[43]

$oder$

Diese Transformation genießt weiterhin viele Eigenschaften der Fourier -Transformation integrierbarer Funktionen. Ein bemerkenswerter Unterschied ist, dass die Riemann -Lebesgue Lemma Fehler für Maßnahmen.^[15] Für den Fall, dass Dμ = f(x) dxund dann reduziert sich die obige Formel auf die übliche Definition für die Fourier -Transformation von f. Für den Fall, dass μ ist die Wahrscheinlichkeitsverteilung einer zufälligen Variablen zugeordnet XDie Fourier -Schicht -Transformation ist eng mit dem verwandt charakteristische Funktion, aber die typischen Konventionen in der Wahrscheinlichkeitstheorie nehmen e^ixsto Anstatt von e^–2πixsto.^[14] Für den Fall, wenn die Verteilung a hat Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion Diese Definition reduziert sich auf die Fourier -Transformation, die auf die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion angewendet wird, wiederum mit einer anderen Wahl der Konstanten.

Die Fourier -Transformation kann verwendet werden, um eine Charakterisierung von Maßnahmen zu erzeugen. Bochners Theorem Charakterisiert, welche Funktionen als Fourier -Schicht -Transformation eines positiven Maßes am Kreis auftreten können.^[15]

Außerdem die Dirac Delta -Funktion, obwohl keine Funktion, ist eine endliche Borel -Maß. Seine Fourier -Transformation ist eine konstante Funktion (deren spezifischer Wert von der Form der verwendeten Fourier -Transformation abhängt).

Kaniadakis κ-Fourier-Transformation

Das Kaniadakis κ-Fourier-Transformation ist eine κ-Deformation der Fourier-Transformation, die mit dem verbunden ist Kaniadakis Statistik, was definiert wird als:^[44]

${\displaystyle {\cal {F}}_{\kappa }[f(x)](\omega )={1 \over {\sqrt {2\,\pi }}}\int \limits _{-\ infty }\limits ^{+\infty }f(x)\,{\exp(-i\,x_{\{\kappa \}}\,\omega _{\{\kappa \}}) \over { \ sqrt {1+ \ kappa ^{2} \, x ^{2}}}} \, dx}$

wo $oder$ ist ein κ-Numeber und ${\ displayStyle 0 \ leq | \ kappa | <1}$ ist der entropische Index mit dem verknüpft Kaniadakis Entropie und ${\ displayStyle 0 \ leq | \ kappa | <1}$ ist der entropische Index, der dem zugeordnet ist Kaniadakis Entropie.

Das κ-Fourier-Transformation basiert auf der κ-Fourier-Serie,^[45] in der die klassische Fourier -Serie und die Fourier -Transformation in der besonderen Fall sind ${\ displaystyle \ kappa \ rightarrow 0}$ Grenzfall. Diese Transformation führt ein asymptotisch logarithmisch-periodisches Verhalten (oder κ-deformierte Phase durch Deforminh ${\ displayStyle \ Omega}$) und ein Dämpfungsfaktor nach einem Wavelet-ähnlichen Verhalten (${\ displaystyle {\ sqrt {1+ \ kappa ^{2} \, x ^{2}}}}$).

Lokal kompakte Abelsche Gruppen

Die Fourier -Transformation kann auf eine lokal kompakte Abelsche Gruppe verallgemeinert werden. Eine lokal kompakte Abelsche Gruppe ist eine Abelsche Gruppe Das ist gleichzeitig a lokal kompakt Hausdorff topologischer Raum so dass der Gruppenbetrieb kontinuierlich ist. Wenn G ist eine lokal kompakte Abelsche Gruppe, sie hat eine übersetzende invariante Maßnahme μ, genannt Haar -Maßnahme. Für eine lokal kompakte Abelsche Gruppe G, die Menge der irreduziblen, d. H. Eindimensionalen, einheitlichen Darstellungen werden als ITS bezeichnet Figuren. Mit seiner natürlichen Gruppenstruktur und der Topologie der punktgenannten Konvergenz, der Zeichensatz von Zeichen Ĝ ist selbst eine lokal kompakte Abelsche Gruppe, die als die genannt Pontryagin Dual von G. Für eine Funktion f in L¹(G), seine Fourier -Transformation wird durch definiert durch^[15]

$oder \ Hat {g}}.}$

Die Riemann -Lebesgue Lemma hält in diesem Fall; f(ξ) ist eine Funktion, die in Unendlichkeit verschwindet Ĝ.

Das Fourier verwandelt sich T= R/z ist ein Beispiel; hier T ist eine lokal kompakte Abelsche Gruppe und die Haar -Maßnahme μ an T kann als Lebesgue -Maßnahme auf [0,1) betrachtet werden. Betrachten Sie die Darstellung von T auf der komplexen Ebene C Das ist ein 1-dimensionaler komplexer Vektorraum. Es gibt eine Gruppe von Darstellungen (die seitdem nicht reduzierbar sind C ist 1-dim) $oder$ wo ${\ displayStyle e_ {k} (x) = e^{2 \ pi ikx}}$ zum ${\ displayStyle x \ in t}$.

Der Charakter einer solchen Darstellung, das ist die Spur von ${\ displayStyle e_ {k} (x)}$ für jeden ${\ displayStyle x \ in t}$ und ${\ displayStyle k \ in z}$, ist ${\ displayStyle e^{2 \ pi ikx}}$ selbst. Bei der Darstellung der endlichen Gruppe die Charaktertabelle der Gruppe G sind Zeilen von Vektoren, so dass jede Reihe der Charakter einer irreduziblen Darstellung von ist Gund diese Vektoren bilden eine orthonormale Grundlage für den Raum der Klassenfunktionen G zu C von Schurs Lemma. Jetzt die Gruppe T ist nicht mehr endlich, aber immer noch kompakt und bewahrt die orthonormale Charaktertabelle. Jede Zeile der Tabelle ist die Funktion ${\ displayStyle e_ {k} (x)}$ von ${\ displayStyle x \ in t,}$ und das innere Produkt zwischen zwei Klassenfunktionen (alle Funktionen sind Klassenfunktionen seitdem T ist Abelian) ${\ displayStyle f, g \ in l^{2} (t, d \ mu)}$ ist definiert als $oder (y)}$ mit dem Normalisierungsfaktor ${\ displayStyle | t | = 1}$. Die Sequenz ${\ displayStyle \ {e_ {k} \ mid k \ in z \}}$ ist eine orthonormale Grundlage für den Raum der Klassenfunktionen ${\ displayStyle l^{2} (t, d \ mu)}$.

Für jede Darstellung V einer endlichen Gruppe G, ${\ displaystyle \ chi _ {v}}$ kann als Spannweite ausgedrückt werden $oder$ (${\ displayStyle v_ {i}}$ sind die Irreps von G), so dass $oder chi _ {v} (g) {\ overline {\ chi}} _ {v_ {i}} (g)}$. Ähnlich für ${\ displayStyle g = t}$ und ${\ displayStyle f \ in l^{2} (t, d \ mu)}$, ${\ textstyle f (x) = \ sum _ {k \ in z} {\ Hat {f}} (k) e_ {k}}$. Das Pontriagin Dual ${\ displayStyle {\ Hat {t}}}$ ist ${\ displayStyle \ {e_ {k} \} (k \ in z)}$ und für ${\ displayStyle f \ in l^{2} (t, d \ mu)}$, $oder }$ ist seine Fourier -Transformation für ${\ displayStyle e_ {k} \ in {\ Hat {t}}}$.

Gelfand Transform

Die Fourier -Transformation ist auch ein Sonderfall von Gelfand Transform. In diesem speziellen Kontext hängt es eng mit der oben definierten Pontryagin -Dualitätskarte zusammen.

Einen Abelianer gegeben lokal kompakt Hausdorff Topologische Gruppe G, wie zuvor, wir betrachten den Raum L¹(G), definiert mit einer Haar -Maßnahme. Mit Faltung als Multiplikation, L¹(G) ist ein Abelianer Banach Algebra. Es hat auch eine Involution * gegeben durch