Fourier -Analyse

Bass -Gitarren -Zeitsignal der Open String A Note (55 Hz).

Fourier -Transformation des Bass -Gitarren -Zeitsignals einer Open -String -A -Note (55 Hz). Die Fourier -Analyse zeigt die oszillatorischen Komponenten von Signalen und Funktionen.

Im Mathematik, Fourier -Analyse (/ˈfʊrieɪ, -iər/)^[1] ist das Studium der Art allgemeiner Funktionen kann durch Summen von einfacher dargestellt oder angenähert werden trigonometrische Funktionen. Die Fourier -Analyse wuchs aus der Studie von die Fourierreiheund ist nach benannt nach Joseph Fourier, wer zeigte das, was eine Funktion darstellte als Summe von trigonometrischen Funktionen vereinfacht das Studium stark Wärmeübertragung.

Das Thema Fourier -Analyse umfasst ein riesiges Spektrum der Mathematik. In den Wissenschaften und in der Ingenieurwesen der Prozess des Zersetzens einer Funktion in Schwingung Komponenten werden häufig als Fourier -Analyse bezeichnet, während der Betrieb des Wiederaufbaus der Funktion aus diesen Teilen als bezeichnet wird als Fourier -Synthese. Zum Beispiel festlegen, welche Komponente Frequenzen In einer musikalischen Note werden die Fourier -Transformation einer untersuchten musikalischen Note berechnet. Man könnte dann den gleichen Klang neu synthetisieren, indem man die Frequenzkomponenten, wie in der Fourier-Analyse gezeigt, einbezogen. In der Mathematik der Begriff Fourier -Analyse bezieht sich oft auf das Studium beider Operationen.

Der Zersetzungsprozess selbst wird als a genannt Fourier -Transformation. Seine Ausgabe, die Fourier-Transformation, wird oft einen spezifischeren Namen gegeben, der von der abhängt Domain und andere Eigenschaften der Funktion, die transformiert werden. Darüber Harmonische Analyse. Jeder verwandeln verwendet zur Analyse (siehe Liste der Fourier-bezogenen Transformationen) hat eine entsprechende umgekehrt Transformation, die für die Synthese verwendet werden kann.

Um die Fourier -Analyse zu verwenden, müssen die Daten gleichermaßen beabstandet sein. Es wurden verschiedene Ansätze entwickelt, um ungleich beabstandete Daten zu analysieren, insbesondere die Spektralanalyse am kleinsten Quadrat (LSSA) Methoden, die a verwenden kleinsten Quadrate fit von Sinusoide zu Datenproben, ähnlich der Fourier -Analyse.^[2][3] Die Fourier-Analyse, die am häufigsten verwendete Spektralmethode in der Wissenschaft, steigert im Allgemeinen langperiodische Rauschen in langen Aufzeichnungen über Lackierung. LSSA mildert solche Probleme.^[4]

Anwendungen

Die Fourier -Analyse hat viele wissenschaftliche Anwendungen - in Physik, partielle Differentialgleichungen, Zahlentheorie, Kombinatorik, Signalverarbeitung, digitale Bildverarbeitung, Wahrscheinlichkeitstheorie, Statistiken, Forensik, Optionspreis, Kryptographie, numerische Analyse, Akustik, Ozeanographie, Sonar, Optik, Beugung, Geometrie, Protein Strukturanalyse und andere Bereiche.

Diese breite Anwendbarkeit beruht auf vielen nützlichen Eigenschaften der Transformationen:

• Die Transformationen sind lineare Operatoren und mit der richtigen Normalisierung sind Einheitlich auch (eine Eigenschaft bekannt als als Parsevals Theorem oder allgemeiner wie die Plancherel Theoremund im Allgemeinen durch Pontryagin Dualität).^[5]
• Die Transformationen sind normalerweise invertierbar.
• Das Exponentialfunktionen sind Eigenfunktionen von Unterscheidungwas bedeutet, dass diese Darstellung linear transformiert Differentialgleichung mit Konstante Koeffizienten in gewöhnliche algebraische.^[6] Daher das Verhalten von a Lineares zeitinvariantes System kann bei jeder Frequenz unabhängig analysiert werden.
• Bis zum Faltungssatz, Fourier -Transformationen drehen die komplizierten Faltung Einsatz in eine einfache Multiplikation, was bedeutet, dass sie eine effiziente Möglichkeit bieten, faltungsbasierte Vorgänge wie Signalfilterung zu berechnen, Polynom Multiplikation und Multiplizieren großer Zahlen.^[7]
• Das diskret Die Version der Fourier -Transformation (siehe unten) kann schnell auf Computern verwendet werden Schnelle Fourier-Transformation (FFT) Algorithmen.^[8]

In der Forensik verwenden Laborinfrarotspektrophotometer eine Fourier -Transform -Analyse zur Messung der Lichtwellenlängen, bei denen ein Material im Infrarotspektrum absorbiert wird. Die FT -Methode wird verwendet, um die gemessenen Signale zu dekodieren und die Wellenlängendaten aufzuzeichnen. Und durch die Verwendung eines Computers werden diese Fourier-Berechnungen schnell durchgeführt, so dass ein computergestütztes FT-IR-Instrument in Sekundenschnelle ein Infrarot-Absorptionsmuster erzeugen kann, das mit dem eines Prisminstruments vergleichbar ist.^[9]

Die Fourier -Transformation ist auch als kompakte Darstellung eines Signals nützlich. Zum Beispiel, JPEG Komprimierung verwendet eine Variante der Fourier -Transformation (Diskrete Cosinus -Transformation) von kleinen quadratischen Teilen eines digitalen Bildes. Die Fourier -Komponenten jedes Quadrats werden auf niedriger abgerundet arithmetische Präzisionund schwache Komponenten werden vollständig beseitigt, so dass die verbleibenden Komponenten sehr kompakt gespeichert werden können. Bei der Bildrekonstruktion wird jedes Bildquadrat aus den aufbewahrten ungefähren Fourier-transformierten Komponenten wieder zusammengestellt, die dann umgekehrt transformiert werden, um eine Näherung des Originalbildes zu erzeugen.

Im SignalverarbeitungDie Fourier -Transformation nimmt oft a Zeitfolgen oder eine Funktion von kontinuierliche Zeitund ordnet es in a Frequenzbereich. Das heißt, es braucht eine Funktion von der Zeitdomäne in die Frequenz Domain; es ist ein Zersetzung einer Funktion in Sinusoide von verschiedenen Frequenzen; im Fall von a die Fourierreihe oder diskrete Fourier-Transformation, die Sinusoide sind Harmonische der grundlegenden Häufigkeit der analysierten Funktion.

Wenn eine Funktion ${\ displayStyle s (t)}$ ist eine Funktion der Zeit und repräsentiert eine physische SignalDie Transformation hat eine Standardinterpretation als Frequenzspektrum des Signals. Das Größe der resultierenden komplexen Funktionen ${\ displayStyle s (f)}$ bei Frequenz ${\ displayStyle f}$ repräsentiert die Amplitude einer Frequenzkomponente, deren Anfangsphase wird durch den Winkel von gegeben ${\ displayStyle s (f)}$ (Polar Koordinaten).

Fourier -Transformationen beschränken sich nicht auf Funktionen der Zeit und zeitliche Frequenzen. Sie können gleichermaßen zur Analyse angewendet werden räumlich Frequenzen und in der Tat für nahezu jeder Funktionsbereich. Dies rechtfertigt ihre Verwendung in so unterschiedlichen Zweigen wie Bildverarbeitung, Wärmeleitung, und automatische Kontrolle.

Bei der Verarbeitung von Signalen wie z. Audio-, Radiowellen, Lichtwellen, Seismische Wellenund sogar Bilder, Fourier -Analyse können Schmalbandkomponenten einer Verbindungswellenform isolieren und sie zur leichteren Nachweis oder Entfernung konzentrieren. Eine große Familie von Signalverarbeitungstechniken besteht aus Fourier-Transformation eines Signals, manipuliert die Fourier-transformierten Daten auf einfache Weise und die Umkehrung der Transformation.^[10]

Einige Beispiele sind:

• Ausgleich von Audioaufnahmen mit einer Reihe von Bandpassfilter;
• Digitaler Funkempfang ohne a Superheterodyne Schaltung, wie in einem modernen Handy oder Funkscanner;
• Bildverarbeitung periodisch oder anisotrop Artefakte wie Jaggies aus Interlaced Videostreifen Artefakte aus Luftbauer Fotografie, oder Wellenmuster von Funkfrequenzstörungen in einer Digitalkamera;
• Kreuzkorrelation von ähnlichen Bildern für die Ko-Ausrichtung;
• Röntgenkristallographie eine Kristallstruktur aus ihrem Beugungsmuster zu rekonstruieren;
• Fourier-Transform-Ionen-Zyklotron-Resonanz Massenspektrometrie zur Bestimmung der Masse von Ionen aus der Frequenz der Zyklotronbewegung in einem Magnetfeld;
• Viele andere Formen der Spektroskopie, einschließlich Infrarot und Kernspinresonanz Spektroskopien;
• Erzeugung von Klang Spektrogramme Wird verwendet, um Geräusche zu analysieren;
• Passiv Sonar Wird verwendet, um Ziele basierend auf Maschinengeräuschen zu klassifizieren.

Varianten der Fourier -Analyse

Eine Fourier-Transformation und 3 Variationen, die durch periodische Stichproben (im Intervall t) und/oder periodische Summierung (im Intervall p) der zugrunde liegenden Zeitdomänenfunktion verursacht werden. Die relative rechnerische Leichtigkeit der DFT -Sequenz und die Einsicht, in die sie gewährt werden S(f) Machen Sie es zu einem beliebten Analysetool.

(Kontinuierliche) Fourier -Transformation

Meistens der unqualifizierte Begriff Fourier-Transformation bezieht sich auf die Transformation von Funktionen eines kontinuierlichen real Argument, und es erzeugt eine kontinuierliche Funktion der Frequenz, bekannt als a Häufigkeitsverteilung. Eine Funktion wird in eine andere umgewandelt und die Operation ist reversibel. Wenn die Domäne der Eingangsfunktion (anfängliche) Funktion ist (Zeit (t), und die Domäne der Ausgangsfunktion ist (endgültig) gewöhnliche Häufigkeit, die Funktionsveränderung s(t) bei Frequenz f wird durch die komplexe Nummer angegeben:

$oder$

Bewertung dieser Menge für alle Werte von f produziert die Frequenzbereich Funktion. Dann s(t) kann als Rekombination von dargestellt werden Komplexe Exponentiale aller möglichen Frequenzen:

$oder$

Welches ist die inverse Transformelformel. Die komplexe Zahl, S(f)vermittelt sowohl Amplitude als auch Frequenzphase f.

Sehen Fourier-Transformation Für viel mehr Informationen, einschließlich:

• Konventionen für die Amplitudennormalisierung und Frequenzskalierung/Einheiten
• Eigenschaften transformieren
• tabellarische Transformationen spezifischer Funktionen
• Eine Erweiterung/Verallgemeinerung für Funktionen mehrerer Dimensionen, wie z. B. Bilder.

die Fourierreihe

Die Fourier -Transformation einer periodischen Funktion, s_P(t)mit Periode P, wird zu einer Dirac -Kamm Funktion, moduliert durch eine Sequenz von Komplex Koeffizienten:

$oder t} \, dt, \ quad k \ in \ mathbb {z},},},}$ (wo ∫_P ist das Integral über ein beliebiges Längenintervall P).

Die inverse Transformation, bekannt als die Fourierreihe, ist eine Darstellung von s_P(t) In Bezug auf eine Summierung einer potenziell unendlichen Anzahl harmonisch verwandter Sinusoide oder Komplexe exponentielle Funktionen, jeweils eine Amplitude und Phase, die durch einen der Koeffizienten angegeben ist:

$oder ] \, \ delta \ links (f-{\ frac {k} {p} \ \ rechts) \ rechts \} \ \ = \ \ \ sum _ {k =-\ Infty}^{\ infty} s [k) ] \ cdot e^{i2 \ pi {\ frac {k} {p}} t}.}$

Irgendein s_P(t) kann als ausgedrückt werden periodische Summierung einer anderen Funktion, s(t):

$oder$

und die Koeffizienten sind proportional zu Proben von S(f) in diskreten Intervallen von 1/P:

$oder$^[EIN]

Beachten Sie, dass alle s(t) deren Transformation die gleichen diskreten Stichprobenwerte aufweist, kann in der periodischen Summierung verwendet werden. Eine ausreichende Bedingung für die Erholung s(t) (und deshalb S(f)) Aus nur diesen Proben (d. H. Aus der Fourier-Serie) ist der Teil ungleich Null von s(t) auf ein bekanntes Dauerintervall beschränkt sein P, das ist die Frequenzdomäne dual der Nyquist -Shannon -Probenahme Theorem.

Sehen die Fourierreihe Weitere Informationen, einschließlich der historischen Entwicklung.

Diskrete Fourier-Transformation (DTFT)

Das DTFT ist das mathematische Dual der Time-Domain-Fourier-Serie. Somit ein Konvergier periodische Summierung In der Frequenzdomäne kann durch eine Fourier -Reihe dargestellt werden, deren Koeffizienten Stichproben einer verwandten kontinuierlichen Zeitfunktion sind:

$oder } {T}} \ rechts) \ äquiv \ overbrace {\ sum _ {n =-\ infty}^{\ infty} s [n] \ cdot e^{-i2 \ pi fnt}^{\ text {Fourier Serie (dtft)}}} _ {\ text {poisson summierungsformel}} = {\ mathcal {f}} \ links \ {\ sum _ {n =-\ infty}^{\ unendy} s [n] \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \} Delta (t-nt) \ right \}, \,}$

Das ist als DTFT bekannt. Und so kam es dass der Dtft des s[n] Sequenz ist auch die Fourier-Transformation des modulierten Dirac -Kamm Funktion.^[B]

Die Fourier -Serienkoeffizienten (und inverse Transformation) werden definiert durch:

${\ displayStyle s [n] \ \ triangleq \ t \ int _ {\ frac {1} {t}} , df = t \ unterbrace {\ int _ {-\ infty}^{\ inty} s (f) \ cdot e^{i2 \ pi fnt} \, df} _ {\ triangleq \, s (nt)}. }$

Parameter T entspricht dem Stichprobenintervall, und diese Fourier -Serie kann jetzt als Form der anerkannt werden Poisson Summationsformel. Daher haben wir das wichtige Ergebnis, dass bei einer diskreten Datensequenz, s[n], ist proportional zu Proben einer zugrunde liegenden kontinuierlichen Funktion, s(t)Man kann eine periodische Summierung der kontinuierlichen Fourier -Transformation beobachten, S(f). Beachten Sie, dass alle s(t) Mit den gleichen diskreten Stichprobenwerten erzeugt man die gleiche DTFT, aber unter bestimmten idealisierten Bedingungen kann man sich theoretisch wiederholen S(f) und s(t) exakt. Ein ausreichender Zustand für die perfekte Genesung ist, dass der Teil ungleich Null von S(f) auf ein bekanntes Frequenzintervall der Breite beschränkt sein 1/T. Wenn dieses Intervall ist [ - 1/2T, 1/2T]Die zutreffende Rekonstruktionsformel ist die Whittaker -Shannon -Interpolationsformel. Dies ist ein Eckpfeiler im Fundament von digitale Signalverarbeitung.

Ein weiterer Grund, an dem man interessiert ist S_1/T(f) ist, dass es oft einen Einblick in die Menge an gibt Aliasing verursacht durch den Stichprobenprozess.

Anwendungen des DTFT sind nicht auf abgetastete Funktionen beschränkt. Sehen Diskrete Fourier-Transformation Weitere Informationen zu diesem und anderen Themen erhalten Sie, einschließlich:

• Normalisierte Frequenzeinheiten
• Fenster (Finite-Length-Sequenzen)
• Eigenschaften transformieren
• tabellarische Transformationen spezifischer Funktionen

Diskrete Fourier -Transformation (DFT)

Ähnlich wie eine Fourier -Serie, das DTFT einer periodischen Sequenz, s_N[n]mit Periode N, wird zu einer Dirac -Kammfunktion, die durch eine Sequenz komplexer Koeffizienten moduliert wird (siehe DTFT § Periodische Daten):

$oder {Z},}$ (wo Σ_n ist die Summe über eine beliebige Längesequenz N).

Das S[k] Sequenz ist das, was üblicherweise als die bekannt ist DFT von einem Zyklus von s_N. Es ist auch N-periodisch, daher ist es nie notwendig, mehr als zu berechnen als N Koeffizienten. Die inverse Transformation, auch bekannt als a Diskrete Fourier -Serie, wird gegeben durch:

$oder },}$ wo Σ_k ist die Summe über eine beliebige Längesequenz N.

Wann s_N[n] wird als a ausgedrückt periodische Summierung einer anderen Funktion:

$oder$ und ${\ displayStyle s [n] \, \ triangleq \, s (nt),},}$^[C]

Die Koeffizienten sind proportional zu Proben von S_1/T(f) in Disrates -Intervallen von 1/P = 1/Nt:

$oder$^[D]

Umgekehrt, wenn man eine willkürliche Zahl berechnen möchte (N) von diskreten Proben eines Zyklus eines kontinuierlichen DTFT, S_1/T(f)Es kann durch Berechnen der relativ einfachen DFT von erfolgen s_N[n], wie oben definiert. In den meisten Fällen, N wird gleich der Länge des Teils ungleich Null von ausgewählt s[n]. Zunehmen N, bekannt als Nullpadding oder Interpolation, führt zu enger verteilten Proben eines Zyklus von S_1/T(f). Abnehmen N, verursacht Überlappung (Hinzufügen) in der Zeitdomäne (analog zu Aliasing), was der Dezimierung im Frequenzbereich entspricht. (sehen Diskrete Fourier-Transformation § L = N × i) In den meisten Fällen von praktischem Interesse die s[n] Sequenz repräsentiert eine längere Sequenz, die durch die Anwendung einer endlichen Länge abgeschnitten wurde Fensterfunktion oder FIR -Filter Array.

Der DFT kann mit a berechnet werden Schnelle Fourier-Transformation (FFT) Algorithmus, der ihn zu einer praktischen und wichtigen Transformation auf Computern macht.

Sehen Diskrete Fourier-Transformation Für viel mehr Informationen, einschließlich:

• Eigenschaften transformieren
• Anwendungen
• tabellarische Transformationen spezifischer Funktionen

Zusammenfassung

Bei periodischen Funktionen umfassen sowohl die Fourier -Transformation als auch die DTFT nur einen diskreten Satz von Frequenzkomponenten (Fourier -Serien), und die Transformationen divergieren bei diesen Frequenzen. Eine übliche Praxis (nicht oben diskutiert) ist es, diese Abweichung durch zu bewältigen Dirac Delta und Dirac -Kamm Funktionen. Die gleichen spektralen Informationen können jedoch nur aus einem Zyklus der periodischen Funktion erkennen, da alle anderen Zyklen identisch sind. In ähnlicher Weise können Finite-Duration-Funktionen als Fourier-Serie dargestellt werden, ohne dass die Periodizität der inversen Transformation ein bloßes Artefakt ist.

Es ist in der Praxis für die Dauer von üblich s(•) auf den Zeitraum begrenzt sein, P oder N. Diese Formeln erfordern diese Bedingung jedoch nicht.

s(t) Transformationen (kontinuierliche Zeit)

	Kontinuierliche Frequenz	Diskrete Frequenzen
Verwandeln	$oder$	$oder \ frac {1} {p}} \ int _ {-\ inty}^{\ infty} s (t) \ cdot e^{-i2 \ pi {\ frac {k} {p} T} \, dt dt \ äquiv {\ frac {1} {p}} \ int _ {p} s_ {p} (t) \ cdot e^{-i2 \ pi {\ frac {k} {p} t} \, dt}$
Umgekehrt	$oder$	$oder } T}} _ {\ text {Poisson Summationsformel (Fourier -Serie)}} \,}$

s(nt) Transformationen (diskrete Zeit)

	Kontinuierliche Frequenz	Diskrete Frequenzen
Verwandeln	${\ displayStyle \ unterbrace {{\ frac {1} {t}} s _ {\ frac {1} {t}} (f) \, \ triangleq \, \ sum _ {n =-\ tiNty} } s (nt) \ cdot e^{-i2 \ pi fnt}} _ {\ text {poisson summationsformel (dtft)}}}$	$oder ^{S [k]} \, & \ triangleq \, \ sum _ {n =-\ inty}^{\ infty} s (nt) \ cdot e^{-i2 \ pi {\ frac {kN} {n }}}\\&\equiv \underbrace {\sum _{n}s_{P}(nT)\cdot e^{-i2\pi {\frac {kn}{N}}}} _{\text{ Dft}} \, \ end {ausgerichtet}}}$
Umgekehrt	${\ displayStyle s (nt) = t \ int _ {\ frac {1} {t}} {\ frac {1} {t}} s _ {\ frac {1} {t} (f) \ cdot e^ {i2 \ pi fnt} \, df}$ $oder frac {1}{T}}\ S_{\frac {1}{T}}(f)\cdot e^{i2\pi ft}\,df} _{\text{inverse Fourier transform}}\,}$	$oder \ frac {kN} {n}}}} ^{\ text {inverse dft}} \\ & = {\ tfrac {1} {p}} \ sum _ {k} s _ {\ frac {1 {t}} {t} } \ links ({\ frac {k} {p}} \ rechts) \ cdot e^{i2 \ pi {\ frac {kN} {n}}} \ end {ausgerichtet}}}$

Symmetrieeigenschaften

Wenn die realen und imaginären Teile einer komplexen Funktion in ihre zersetzt werden sogar und seltsame Teile, Es gibt vier Komponenten, die unten mit den Unterlagen Re, RO, IE und IO bezeichnet werden. Und es gibt eine Eins-zu-Eins-Zuordnung zwischen den vier Komponenten einer komplexen Zeitfunktion und den vier Komponenten seiner komplexen Frequenztransformation:^[11]

$oder _ {\ text {ie}}} &+& \ unterbrace {i \ s _ {_ {\ text {io}}} \\ & {\ bigg \ updownarrow} {\ mathcal {f} {\ {\ bigg \ Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow }{\mathcal {F}}&&\ \ {\Bigg \Updownarrow } oder & is _ {\ text {IE}} &+& s _ {\ text {ro}} \ end {Array}}}$

Daraus sind zum Beispiel verschiedene Beziehungen offensichtlich:

• Die Transformation einer realgenannten Funktion (s_BETREFFEND + s_Ro) ist der Sogar symmetrisch Funktion S_BETREFFEND + i S_Io. Umgekehrt impliziert eine gleichmäßig symmetrische Transformation eine echte Zeitdomäne.
• Die Transformation einer imaginärer Wert (i s_Dh + i s_Io) ist der Seltsame symmetrisch Funktion S_Ro + i S_Dhund das Gegenteil ist wahr.
• Die Transformation einer gleichmäßigen Funktion (s_BETREFFEND + i s_Io) ist die realbewertete Funktion S_BETREFFEND + S_Round das Gegenteil ist wahr.
• Die Transformation einer ungeraden symmetrischen Funktion (s_Ro + i s_Dh) ist die imaginär betrachtete Funktion i S_Dh + i S_Iound das Gegenteil ist wahr.

Geschichte

Eine frühe Form der harmonischen Serie stammt aus der Alten Babylonische Mathematik, wo sie zur Berechnung verwendet wurden Ephemerides (Tabellen astronomischer Positionen).^{[12][13][14][15]}

Die klassischen griechischen Konzepte von Aufschub und Epizycle in dem Ptolemäisches System der Astronomie waren mit der Fourier -Serie verwandt (siehe Aufschub- und Epicycle -§ mathematischer Formalismus).

In der Neuzeit wurden Varianten der diskreten Fourier -Transformation verwendet von Alexis Clairaut 1754, um eine Umlaufbahn zu berechnen,^[16] die als erste Formel für die DFT beschrieben wurde,^[17] und im Jahr 1759 von Joseph Louis LagrangeIn der Berechnung der Koeffizienten einer trigonometrischen Serie für eine vibrierende Schnur.^[17] Technisch gesehen war Clairauts Arbeit eine nur Cosinus-Serie (eine Form von Diskrete Cosinus -Transformation), während Lagranges Arbeit eine Sinus-Serie war (eine Form von Diskrete Sinustransformation); Ein echter Cosinus+Sinus -DFT wurde von verwendet Gauß im Jahr 1805 für Trigonometrische Interpolation von Asteroid Umlaufbahnen.^[18] Euler und Lagrange diskretisierten das Problem der vibrierenden String, wobei die heutigen Proben genannt werden würden.^[17]

Eine frühe moderne Entwicklung für die Fourier -Analyse war das Papier von 1770 Réflexions Sur la Réolution Algébrique des équations von LaGrange, was in der Methode von LaGrange Resolvents verwendete eine komplexe Fourier -Zerlegung, um die Lösung eines Kubikums zu untersuchen:^[19] Lagrange transformierte die Wurzeln x₁, x₂, x₃ in die Resolvents:

$oder Zeta ^{2} x_ {3} \\ r_ {3} & = x_ {1}+\ zeta ^{2} x_ {2}+\ zeta x_ {3} \ end {ausgeteilt}}}$

wo ζ ist ein Kubikum Wurzel der Einheit, das ist die DFT von Order 3.

Eine Reihe von Autoren, insbesondere Jean Le Rond d'Alembert, und Carl Friedrich Gauß Gebraucht Trigonometrische Serie das studieren Wärmegleichung,^[20] Aber die Durchbruchsentwicklung war das Papier von 1807 Mémoire Sur la Propagation de la Chaleur Dans Les Corps korrigiert durch Joseph Fourier, dessen entscheidender Einblick war, modellieren zu modellieren alle Funktionen von trigonometrischen Serien, die die Fourier -Serie einführen.

Historiker sind aufgeteilt, wie viel man Lagrange und andere für die Entwicklung der Fourier -Theorie zuschreiben soll: Daniel Bernoulli und Leonhard Euler hatte trigonometrische Darstellungen von Funktionen eingeführt, und Lagrange hatte der Wellengleichung die Fourier -Serie -Lösung gegeben, sodass Fouriers Beitrag hauptsächlich die mutige Behauptung war, dass eine willkürliche Funktion durch eine Fourier -Serie dargestellt werden konnte.^[17]

Die anschließende Entwicklung des Feldes ist als bekannt als Harmonische Analyseund ist auch eine frühe Instanz von Repräsentationstheorie.

Der erste Fast Fourier Transform (FFT) -Algorithmus für die DFT wurde um 1805 von entdeckt Carl Friedrich Gauß Bei der Interpolation der Messungen der Umlaufbahn der Asteroiden Juno und PallasObwohl dieser bestimmte FFT -Algorithmus häufiger auf seine modernen Wiederentdecker zugeschrieben wird Cooley und Tukey.^[18][16]

Zeit -Frequenz -Transformationen

Im Signalverarbeitung Begriffe, eine Funktion (der Zeit) ist eine Darstellung eines Signals mit perfektem Signal Zeitauflösung, aber keine Frequenzinformationen, während die Fourier -Transformation perfekt ist Frequenzauflösung, aber keine Zeitinformationen.

Als Alternativen zur Fourier -Transformation, in Zeit -Frequenz -AnalyseMan verwendet Zeit -Frequenz -Transformationen, um Signale in einem Formular mit einigen Zeitinformationen und Frequenzinformationen darzustellen - von der UnschärferelationEs gibt einen Kompromiss zwischen diesen. Dies können Verallgemeinerungen der Fourier -Transformation sein, wie die Kurzzeit-Fourier-Transformation, das Gabor -Transformation oder Fractional Fourier -Transformation (Frft) oder können unterschiedliche Funktionen verwenden, um Signale wie in darzustellen Wavelet transformiert und Chirplet transformiertmit dem Wavelet -Analog der (kontinuierlichen) Fourier -Transformation ist die kontinuierliche Wavelet -Transformation.

Fourier verwandelt sich in willkürlichen lokal kompakten Abelschen topologischen Gruppen

Die Fourier -Varianten können auch auf willkürliche Transformationen verallgemeinert werden lokal kompakt Abelian Topologische Gruppen, die in studiert werden Harmonische Analyse; Dort nimmt die Fourier -Transformation Funktionen für eine Gruppe für Funktionen in der Dual -Gruppe. Diese Behandlung ermöglicht auch eine allgemeine Formulierung der Faltungssatz, was Fourier -Transformationen bezieht und Konvolutionen. Siehe auch die Pontryagin Dualität Für die verallgemeinerten Grundlagen der Fourier -Transformation.

Spezifischer, Fourier -Analyse kann an Cosets durchgeführt werden.^[21] Sogar diskrete Cosets.

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Weitere Lektüre

Externe Links

• Tabellen mit integralen Transformationen bei Eqworld: Die Welt der mathematischen Gleichungen.
• Eine intuitive Erklärung der Fourier -Theorie von Steven Lehar.
• Vorträge zur Bildverarbeitung: Eine Sammlung von 18 Vorträgen im PDF -Format von der Vanderbilt University. Die Vorlesung 6 befindet sich auf der 1- und 2-D-Fourier-Transformation. Vorträge 7–15 nutzen es., von Alan Peters
• Moriarty, Philip; Bowley, Roger (2009). "Σ -Summe (und Fourier -Analyse)". 60 Symbole. Brady Haran für die Universität von Nottingham.