Endliche Gruppe

Im Zusammenfassung Algebra, a endliche Gruppe ist ein Gruppe Deren zugrunde liegender Satz ist endlich. Es entstehen häufig endliche Gruppen, wenn diese Objekte eine Symmetrie mathematischer oder physischer Objekte berücksichtigen, wenn diese Objekte nur eine endliche Anzahl von Strukturverzögerungstransformationen zulassen. Wichtige Beispiele für endliche Gruppen sind zyklische Gruppen und Permutationsgruppen.

Die Studie von endlichen Gruppen war ein wesentlicher Bestandteil von Gruppentheorie Da entstand es im 19. Jahrhundert. Ein Hauptstudienbereich war die Klassifizierung: die Klassifizierung endlicher einfacher Gruppen (diejenigen ohne nicht trivial Normale Untergruppe) wurde 2004 fertiggestellt.

Geschichte

Während des 20. Jahrhunderts untersuchten die Mathematiker einige Aspekte der Theorie endlicher Gruppen, insbesondere der Tiefe, insbesondere der Lokale Theorie von endlichen Gruppen und der Theorie von lösbar und Nilpotent -Gruppen.[1][2] Infolgedessen die vollständige Klassifizierung endlicher einfacher Gruppen wurde erreicht, was bedeutet, dass alle diese einfache Gruppen aus denen alle endlichen Gruppen gebaut werden können, sind jetzt bekannt.

In der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts wie Mathematiker wie Chevalley und Steinberg Auch erhöhte unser Verständnis von endlichen Analoga von Klassische Gruppenund andere verwandte Gruppen. Eine solche Gruppenfamilie ist die Familie von Allgemeine lineare Gruppen Über endliche Felder.

Es treten häufig endliche Gruppen auf, wenn Sie in Betracht ziehen Symmetrie von mathematischen oder physischen Objekten, wenn diese Objekte nur eine begrenzte Anzahl von Strukturverschreibungen zugeben. Die Theorie von Lügengruppen, die als umgegangen werden kann "kontinuierliche Symmetrie", wird stark von der Assoziierten beeinflusst Weylgruppen. Dies sind endliche Gruppen, die durch Reflexionen generiert werden Euklidischer Raum. Die Eigenschaften endlicher Gruppen können somit bei Themen wie z. B. eine Rolle spielen theoretische Physik und Chemie.[3]

Beispiele

Permutationsgruppen

Hauptartikel: Permutationsgruppe
A Cayley -Graph der symmetrischen Gruppe S4

Das Symmetrische Gruppe Sn auf einen endliche Menge von n Symbole sind die Gruppe deren Elemente alle sind Permutationen des n Symbole, und wessen Gruppenbetrieb ist der Komposition solcher Permutationen, die als behandelt werden Bijektive Funktionen von der Menge von Symbolen zu sich selbst.[4] Weil dort sind n! (n Fakultät) Mögliche Permutationen eines Satzes von n Symbole folgt, dass die bestellen (die Anzahl der Elemente) der symmetrischen Gruppe sn ist n!

Zyklische Gruppen

Hauptartikel: Zyklische Gruppe

Eine zyklische Gruppe zn ist eine Gruppe, die alle Elemente Kräfte eines bestimmten Elements sind a wo an = a0 = e, Die Identität. Eine typische Erkenntnis dieser Gruppe ist der Komplex nth Wurzeln der Einheit. Senden a zu einem primitive Wurzel der Einheit gibt einen Isomorphismus zwischen den beiden. Dies kann mit jeder endlichen zyklischen Gruppe erfolgen.

Finite abelsche Gruppen

Hauptartikel: Finite Abelian Group

Ein Abelsche Gruppe, also called a Gemeinschaftsgruppe, ist ein Gruppe in dem das Ergebnis der Anwendung der Gruppe Betrieb zu zwei Gruppenelementen hängt nicht von ihrer Ordnung ab (das Axiom von Amtativität). Sie sind nach nachgewiesen Niels Henrik Abel.[5]

Eine willkürliche endliche Abelsche Gruppe ist isomorph zu einer direkten Summe endlicher zyklischer Gruppen von Prime Power Order, und diese Aufträge werden einzigartig bestimmt, wodurch ein vollständiges System von Invarianten bildet. Das Automorphismusgruppe einer endlichen Abelschen Gruppe kann direkt in Bezug auf diese Invarianten beschrieben werden. Die Theorie wurde erstmals in der Arbeit von 1879 entwickelt Georg Frobenius und Ludwig Stickelberger und wurde später sowohl vereinfacht als auch verallgemeinert, um endlich erzeugte Module über eine Haupt -ideale Domäne zu erzeugen und ein wichtiges Kapitel von zu bilden Lineare Algebra.

Gruppen von Lügentypen

Hauptartikel: Gruppe von Lügentypen

A Gruppe von Lügentypen ist ein Gruppe eng verwandt mit der Gruppe G(k) von rationalen Punkten einer reduktiven Lineare algebraische Gruppe G mit Werten in der aufstellen k. Endliche Gruppen von Lügentyp geben den Großteil des Nicht -Abelianischen Finite einfache Gruppen. Sonderfälle umfassen die Klassische Gruppen, das Chevalley -Gruppen, die Steinberg -Gruppen und die Suzuki -Re -Gruppen.

Endliche Gruppen von Lügentypen gehörten zu den ersten Gruppen, die in der Mathematik in Betracht gezogen wurden zyklisch, symmetrisch und abwechselnd Gruppen mit dem projektive spezielle lineare Gruppen über prime endliche Felder, PSL (2, p) konstruiert durch Évariste Galois In den 1830er Jahren. Die systematische Erforschung endlicher Gruppen von Lügentyp begann mit mit Camille JordanTheorem, dass die projektive Speziale lineare Gruppe PSL (2, q) ist einfach für q ≠ 2, 3. Dieser Satz verallgemeinert sich auf projektive Gruppen höherer Dimensionen und ergibt eine wichtige PSL der unendlichen Familie (n, q) von Finite einfache Gruppen. Andere klassische Gruppen wurden von untersucht von Leonard Dickson Zu Beginn des 20. Jahrhunderts. In den 1950ern Claude Chevalley erkannte, dass nach einer angemessenen Neuformulierung viele Theoreme über Halbverkleidungsgruppen Geben Sie Analoga für algebraische Gruppen auf einem willkürlichen Feld ein k, führt zum Konstruktion von dem, was heute genannt wird Chevalley -Gruppen. Darüber hinaus erwiesen sich die entsprechenden Gruppen wie bei kompakten einfachen Lügengruppen als nahezu einfach als abstrakte Gruppen (als abstrakte Gruppen (Titten Einfachheitstheorem). Obwohl es seit dem 19. Jahrhundert bekannt war, gibt es andere endliche einfache Gruppen (zum Beispiel, Mathieu -Gruppen) allmählich bildete sich ein Glaube, dass fast alle endlichen einfachen Gruppen durch geeignete Erweiterungen von Chevalley zusammen mit zyklischen und alternierenden Gruppen berücksichtigt werden können. Darüber hinaus die Ausnahmen, die Sporadische Gruppen, teilen Sie viele Eigenschaften mit den endlichen Gruppen von Lügentypen und insbesondere können basierend auf ihrem konstruiert und charakterisiert werden Geometrie im Sinne von Titten.

Der Glaube ist jetzt ein Satz geworden - der Klassifizierung endlicher einfacher Gruppen. Die Inspektion der Liste der endlichen einfachen Gruppen zeigt, dass Gruppen von Lüge über a endliches Feld Fügen Sie alle endlichen einfachen Gruppen als die zyklischen Gruppen, die abwechselnden Gruppen, die, die ein, die Tittengruppeund die 26 Sporadische einfache Gruppen.

Hauptbetümer

Lagrange's Theorem

Hauptartikel: Lagrange's Theorem (Gruppentheorie)

Für jede endliche Gruppe G, das bestellen (Anzahl der Elemente) von jedem Untergruppe H von G trennen die Reihenfolge von G. Der Satz ist nach benannt Joseph-Louis Lagrange.

Sylow Theorems

Hauptartikel: Sylow Theorems

Dies liefert ein teilweise Gegenteil zum Theorem von LaGrange, das Informationen darüber gibt, wie viele Untergruppen einer bestimmten Bestellung in enthalten sind G.

Cayleys Theorem

Hauptartikel: Cayleys Theorem

Cayleys Theorem, named in honour of Arthur Cayley, gibt an, dass jeder Gruppe G ist isomorph zu einem Untergruppe des Symmetrische Gruppe Einwirken auf G.[6] Dies kann als Beispiel für das verstanden werden Gruppenaktion von G auf die Elemente von G.[7]

Burnside's Theorem

Hauptartikel: Burnside's Theorem

Burnside's Theorem in Gruppentheorie stellt fest, dass wenn G ist eine endliche Gruppe von bestellen paqb, wo p und q sind Primzahlen, und a und b sind nicht negativ Ganzzahlen, dann G ist lösbar. Daher jeder Nicht-Abelianer endliche einfache Gruppe hat Ordnung durch mindestens drei verschiedene Primzahlen teilbar.

Feit -Thompson -Theorem

Das Feit -Thompson -Theorem, oder Odd Order Theorem, gibt an, dass jede endliche Gruppe of odd bestellen ist lösbar. Es wurde von bewiesen von Walter Feit und John Griggs Thompson(1962, 1963))

Klassifizierung endlicher einfacher Gruppen

Das Klassifizierung endlicher einfacher Gruppen ist ein Satz, der angibt, dass jeder endliche einfache Gruppe gehört zu einer der folgenden Familien:

Die endlichen einfachen Gruppen können als die grundlegenden Bausteine ​​aller endlichen Gruppen angesehen werden, in einer Weise, die an die Art und Weise erinnert, wie die Primzahlen sind die grundlegenden Bausteine ​​der natürliche Zahlen. Das Jordan -Hölder -Theorem ist eine genauere Art, diese Tatsache über endliche Gruppen zu sagen. Ein signifikanter Unterschied in Bezug auf den Fall von jedoch Ganzzahlfaktorisierung ist, dass solche "Bausteine" nicht unbedingt eine eindeutige Gruppe bestimmen, da es möglicherweise viele nicht isomorphe Gruppen mit demselben gibt Kompositionsserie oder anders ausdrücken, die Verlängerungsproblem hat keine einzigartige Lösung.

Der Beweis des Theorems besteht aus Zehntausenden von Seiten in mehreren hundert Zeitschriftenartikeln, die von etwa 100 Autoren verfasst wurden, die größtenteils zwischen 1955 und 2004 veröffentlicht wurden. Gorenstein (d.1992), Lyons, und Solomon veröffentlichen nach und nach eine vereinfachte und überarbeitete Version des Beweises.

Anzahl der Gruppen einer bestimmten Bestellung

Bei einer positiven Ganzzahl nEs ist keineswegs eine routinemäßige Angelegenheit zu bestimmen, wie viele Isomorphismus Arten von Gruppen von bestellen n es gibt. Jede Gruppe von Prime Ordnung ist zyklisch, Weil Lagrange's Theorem Impliziert, dass die zyklische Untergruppe, die von einer seiner Nicht-Identitätselemente erzeugt wird, die gesamte Gruppe ist. Wenn n ist das Quadrat eines Primes, dann gibt es genau zwei mögliche Isomorphismus -Arten von Reihengruppen nbeide sind Abelian. Wenn n ist eine höhere Leistung eines Primes, dann Ergebnisse von Graham Higman und Charles Sims Geben Sie asymptotisch korrekte Schätzungen für die Anzahl der Isomorphismus -Arten von Ordnung Gruppen an nund die Zahl wächst sehr schnell mit zunehmender Leistung.

Abhängig von der Primfaktorisierung von nEs können einige Einschränkungen auf die Struktur von Ordengruppen platziert werden ninfolgedessen beispielsweise von Ergebnissen wie dem Sylow Theorems. Zum Beispiel jede Gruppe von Ordnung pq ist zyklisch, wenn q < p sind Primzahlen mit p - 1 nicht teilbar durch q. Für einen notwendigen und ausreichenden Zustand siehe zyklische Zahl.

Wenn n ist Quadratfree, dann jede Gruppe von Ordnung n ist lösbar. Burnside's Theorem, bewiesen Gruppenfiguren, gibt an, dass jede Gruppe von Ordnung n ist lösbar, wenn n ist durch weniger als drei verschiedene Primzahlen teilbar, d. H. Wenn n = paqb, wo p und q sind Primzahlen und a und b sind nicht negative Ganzzahlen. Bis zum Feit -Thompson -Theorem, was einen langen und komplizierten Beweis hat, jede Gruppe von Ordnung n ist lösbar, wenn n ist ungerade.

Für jede positive Ganzzahl n, die meisten Gruppen von Ordnung n sind lösbar. Um dies für eine bestimmte Reihenfolge zu sehen, ist normalerweise nicht schwierig (zum Beispiel gibt es bis zum Isomorphismus eine nicht lösbare Gruppe und 12 lösbare Gruppen von Ordnung 60), aber der Beweis dafür für alle Bestellungen verwendet die Klassifizierung endlicher einfacher Gruppen. Für jede positive Ganzzahl n Es gibt höchstens zwei einfache Ordnung Gruppen von Ordnung nund es gibt unendlich viele positive Ganzzahlen n wofür es zwei nicht iisomorphe einfache Reihengruppen gibt n.

Tabelle verschiedener Gruppen von Ordnung n

Hauptartikel: OEIS: A000001, Oeis: A000688, und Oeis: A060689
Befehl n # Gruppen[8] Abelian Nicht-Abelianer
0 0 0 0
1 1 1 0
2 1 1 0
3 1 1 0
4 2 2 0
5 1 1 0
6 2 1 1
7 1 1 0
8 5 3 2
9 2 2 0
10 2 1 1
11 1 1 0
12 5 2 3
13 1 1 0
14 2 1 1
15 1 1 0
16 14 5 9
17 1 1 0
18 5 2 3
19 1 1 0
20 5 2 3
21 2 1 1
22 2 1 1
23 1 1 0
24 15 3 12
25 2 2 0
26 2 1 1
27 5 3 2
28 4 2 2
29 1 1 0
30 4 1 3

Siehe auch

Verweise

  1. ^ Aschbacher, Michael (2004). "Der Status der Klassifizierung der endlichen einfachen Gruppen" (PDF). Mitteilungen der American Mathematical Society. Vol. 51, Nr. 7. S. 736–740.
  2. ^ Daniel Gorenstein (1985), "der riesige Theorem", Wissenschaftlicher Amerikaner, 1. Dezember 1985, vol. 253, Nr. 6, S. 104–115.
  3. ^ Gruppentheorie und ihre Anwendung auf Chemie Die Chemistry Libretextexts Library
  4. ^ Jacobson 2009, p. 31
  5. ^ Jacobson 2009, p. 41
  6. ^ Jacobson 2009, p. 38
  7. ^ Jacobson 2009, p. 72, Ex. 1
  8. ^ Humphreys, John F. (1996). Ein Kurs in der Gruppentheorie. Oxford University Press. S. 238–242. ISBN 0198534590. Zbl 0843.20001.

Weitere Lektüre

Externe Links