Finite -Elemente -Methode

Visualisierung der Art und Weise, wie ein Auto in einem asymmetrischen Absturz unter Verwendung der Finite -Elemente -Analyse verformt

Das Finite -Elemente -Methode (Fem) ist eine beliebte Methode zur numerischen Lösung Differentialgleichung entstehen im Ingenieurwesen und mathematische Modellierung. Typische Problembereiche sind die traditionellen Bereiche von Strukturanalyse, Wärmeübertragung, Flüssigkeitsströmung, Massentransport und elektromagnetisches Potential.

Die Fem ist ein General numerische Methode zum Lösen partielle Differentialgleichungen in zwei oder drei Raumvariablen (d. H. Einige Grenzwertprobleme). Um ein Problem zu lösen, unterteilt das FEM ein großes System in kleinere, einfachere Teile, die genannt werden endliche Elemente. Dies wird durch einen bestimmten Raum erreicht Diskretisierung in den Raumabmessungen, die durch den Bau von a umgesetzt werden Gittergewebe des Objekts: Die numerische Domäne für die Lösung, die eine begrenzte Anzahl von Punkten hat. Die Formulierung der Finite -Elemente -Methode eines Grenzwertproblems führt schließlich zu einem System von algebraische Gleichungen. Die Methode nähert sich der unbekannten Funktion über die Domäne.^[1] Die einfachen Gleichungen, die diese endlichen Elemente modellieren, werden dann in ein größeres Gleichungssystem zusammengestellt, das das gesamte Problem modelliert. Das FEM nähert sich dann eine Lösung, indem sie eine zugehörige Fehlerfunktion über die minimiert Variationskalkül.

Studieren oder Analysieren Ein Phänomen mit FEM wird oft als bezeichnet als Finite -Elemente -Analyse (Fea).

Grundlegendes Konzept

Fem Gittergewebe Erstellt von einem Analyst vor der Suche nach einer Lösung für a magnetisch Problem mit FEM -Software. Farben zeigen an, dass der Analyst in diesem Fall die Materialeigenschaften für jede Zone festgelegt hat, a Leitung Drahtspule in Orange; a ferromagnetisch Komponente (vielleicht Eisen) in hellblau; und Luft in Grau. Obwohl die Geometrie einfach erscheinen mag, wäre es sehr schwierig, das Magnetfeld für dieses Setup ohne FEM -Software zu berechnen Gleichungen allein.

FEM -Lösung für das Problem links mit a zylindrisch geformt Magnetschild. Das ferromagnetisch Zylindrischer Teil schützt den Bereich im Zylinder durch Auslenke des Magnetfeldes erstellt durch die Spule (rechteckiger Bereich rechts). Die Farbe repräsentiert die Amplitude des Magnetflußdichte, wie durch die Skala in der legalen Legende angezeigt, die rote hohe Amplitude ist. Der Bereich innerhalb des Zylinders ist die niedrige Amplitude (dunkelblau, mit weit verteilten Linien mit magnetischem Fluss), was darauf hindeutet, dass der Schild so ausgeführt wird, wie er ausgelegt war.

Die Unterteilung einer ganzen Domäne in einfachere Teile hat mehrere Vorteile:^[2]

Genaue Darstellung der komplexen Geometrie
Einbeziehung unterschiedlicher Materialeigenschaften
Einfache Darstellung der Gesamtlösung
Erfassung lokaler Effekte.

Die typische Arbeit aus der Methode beinhaltet:

Teilen Sie die Domäne des Problems in eine Sammlung von Subdomänen, wobei jede Subdomäne durch eine Reihe von Elementgleichungen auf das ursprüngliche Problem dargestellt wird
systematisch rekombieren alle Mengen von Elementgleichungen in ein globales Gleichungssystem für die endgültige Berechnung.

Das globale Gleichungssystem hat Lösungstechniken bekannt und kann aus dem berechnet werden Anfangswerte des ursprünglichen Problems, um eine numerische Antwort zu erhalten.

Im ersten Schritt oben sind die Elementgleichungen einfache Gleichungen, die lokal die zu untersuchenden ursprünglichen komplexen Gleichungen annähern, bei denen die ursprünglichen Gleichungen häufig sind partielle Differentialgleichungen (PDE). Um die Näherung in diesem Prozess zu erklären, wird die Finite -Elemente -Methode üblicherweise als Sonderfall von eingeführt Galerkin -Methode. Der Prozess in mathematischer Sprache besteht darin, ein Integral der zu konstruieren Innenprodukt des Restes und der Gewichtsfunktionen und setzen Sie das Integral auf Null. In einfachen Worten ist es ein Verfahren, das den Annäherungsfehler minimiert, indem Versuchsfunktionen in die PDE eingebaut werden. Der Rest ist der Fehler, der durch die Versuchsfunktionen verursacht wird, und die Gewichtsfunktionen sind Polynom Näherungsfunktionen, die den Rest projizieren. Der Prozess beseitigt alle räumlichen Derivate aus der PDE

eine Menge von algebraische Gleichungen zum Gleichgewichtszustand Probleme,
eine Menge von gewöhnliche Differentialgleichungen zum vorübergehend Probleme.

Diese Gleichungssätze sind die Elementgleichungen. Sie sind linear Wenn die zugrunde liegende PDE linear ist und umgekehrt. Algebraische Gleichungssätze, die in den stationären Problemen auftreten Numerische lineare Algebra Methoden während gewöhnliche Differentialgleichung Sätze, die in den transienten Problemen auftreten Eulers Methode oder der RUNGE-KUTTA-Methode.

In Schritt (2) oben wird ein globales Gleichungssystem aus den Elementgleichungen durch eine Transformation von Koordinaten aus den lokalen Knoten der Subdomänen zu den globalen Knoten der Domäne generiert. Diese räumliche Transformation umfasst angemessen Orientierungsanpassungen wie in Bezug auf die Referenz angewendet Koordinatensystem. Der Prozess wird häufig von der FEM -Software verwendet Koordinate Daten aus den Subdomänen generiert.

Die praktische Anwendung von FEM ist bekannt als als Finite -Elemente -Analyse (FEA). Fea wie angewendet in Ingenieurwesen ist ein Computerwerkzeug für die Ausführung Engineering -Analyse. Es enthält die Verwendung von Netzgeneration Techniken zur Aufteilung a Komplexes Problem in kleine Elemente sowie die Verwendung von Software, die mit einem FEM -Algorithmus codiert werden. Bei der Anwendung von FEA ist das komplexe Problem normalerweise ein physikalisches System mit dem zugrunde liegenden Physik so wie die Euler -Bernoulli -Strahlgleichung, das Wärmegleichung, oder der Navier-Stokes-Gleichungen exprimiert entweder in PDE oder integrale Gleichungen, während die geteilten kleinen Elemente des komplexen Problems unterschiedliche Bereiche im physischen System darstellen.

FEA kann zur Analyse von Problemen über komplizierte Domänen (wie Autos und Ölpipelines) verwendet werden, wenn sich die Domäne ändert (wie während einer Festkörperreaktion mit einer sich bewegenden Grenze), wenn die gewünschte Genauigkeit über die gesamte Domäne variiert oder wann die Lösung Mangelte Glätte. FEA -Simulationen bieten eine wertvolle Ressource, da sie mehrere Instanzen der Schöpfung und Prüfung von harten Prototypen für verschiedene Situationen mit hoher Wiedergabetreue entfernen. Zum Beispiel ist es in einer Frontal -Crash -Simulation möglich, die Vorhersagegenauigkeit in "wichtigen" Bereichen wie der Vorderseite des Autos zu erhöhen und sie in der Rückseite zu verringern (somit die Kosten der Simulation verringern). Ein anderes Beispiel wäre in Numerische Wettervorhersage, wo es wichtiger ist, genaue Vorhersagen über die Entwicklung hoch nichtlinearer Phänomene zu haben (wie z. tropische Wirbelstürme in der Atmosphäre, oder Wirbel im Ozean) anstatt relativ ruhige Gebiete.

Eine klare, detaillierte und praktische Präsentation dieses Ansatzes kann in gefunden werden Die Finite -Elemente -Methode für Ingenieure.^[3]

Geschichte

Während es schwierig ist, ein Datum der Erfindung der Finite -Elemente -Methode zu zitieren, entstand die Methode aus der Notwendigkeit, Komplex zu lösen Elastizität und Strukturanalyse Probleme in bürgerlich und Luftfahrttechnik. Seine Entwicklung kann auf die Arbeit zurückgeführt werden A. Hennikoff^[4] und R. Courant^[5] In den frühen 1940er Jahren. Ein weiterer Pionier war Ioannis argyris. In der UdSSR ist die Einführung der praktischen Anwendung der Methode normalerweise mit dem Namen Leonard Oganeyan verbunden.^[6] Es wurde auch in China unabhängig voneinander wiederentdeckt Feng Kang In den späteren 1950er und frühen 1960er Jahren, basierend auf den Berechnungen von Dammkonstruktionen, wo es das genannt wurde Endliche Differenzmethode basierend auf dem Variationsprinzip. Obwohl die von diesen Pionieren verwendeten Ansätze unterschiedlich sind, teilen sie ein wesentliches Merkmal: Gittergewebe Diskretisierung einer kontinuierlichen Domäne in einen Satz diskreter Unterdomänen, normalerweise als Elemente bezeichnet.

Hennikoffs Arbeit diskretisiert die Domäne durch Verwendung von a Gitter Analogie, während Courants Ansatz die Domäne in endliche dreieckige Subregionen unterteilt, um sie zu lösen zweite Bestellung elliptische partielle Differentialgleichungen das ergibt sich aus dem Problem von Drehung von a Zylinder. Courants Beitrag war evolutionär und stützte sich auf eine große Gruppe früherer Ergebnisse für PDEs, die von entwickelt wurden Rayleigh, Ritz, und Galerkin.

Die Finite -Elemente -Methode erhielt seinen wirklichen Impuls in den 1960er und 1970er Jahren durch die Entwicklungen von J. H. Argyris mit Mitarbeitern bei der Universität Stuttgart, R. W. Clough mit Mitarbeitern bei UC Berkeley, O. C. Zienkiewicz mit Mitarbeitern Ernest Hinton, Bruce Irons^[7] und andere bei Swansea University, Philippe G. Ciarlet an der Universität von Paris 6 und Richard Gallagher mit Mitarbeitern bei Cornell Universität. Weitere Impulse wurden in diesen Jahren von verfügbaren Open -Source -Finite -Elemente -Programmen bereitgestellt. Die NASA hat die Originalversion von gesponsert Nastranund UC Berkeley machte das Finite -Elemente -Programm SAP IV^[8] weit verbreitet. In Norwegen det Norske Veritas (jetzt DNV GL) aufgetreten Sesam 1969 zur Verwendung in der Analyse von Schiffen.^[9] Eine strenge mathematische Grundlage für die Finite -Elemente -Methode wurde 1973 mit der Veröffentlichung von bereitgestellt Erwindert und Fix.^[10] Die Methode wurde seitdem für die verallgemeinert Numerische Modellierung von physikalischen Systemen in einer Vielzahl von Ingenieurwesen Disziplinen, z. B., Elektromagnetismus, Wärmeübertragung, und Flüssigkeitsdynamik.^[11]^[12]

Technische Diskussion

Die Struktur von Finite -Elemente -Methoden

Eine endliche Elementmethode wird durch a gekennzeichnet Variationsformulierung, eine Diskretisierungsstrategie, eine oder mehrere Lösungsalgorithmen und Nachbearbeitungsverfahren.

Beispiele für die Variationsformulierung sind die Galerkin -Methode, die diskontinuierliche Galerkin -Methode, gemischte Methoden usw.

Eine Diskretisierungsstrategie wird als eindeutig definierter Satz von Verfahren verstanden, die (a) die Erstellung von Finite -Elemente -Maschen, (b) die Definition der Basisfunktion für Referenzelemente (auch als Formfunktionen bezeichnet) und (c) die Zuordnung von Referenzen abdecken Elemente auf die Elemente des Netzes. Beispiele für Diskretisierungsstrategien sind die H-Version, P-Version, HP-Version, x-fem, Isogeometrische Analyseusw. Jede Diskretisierungsstrategie hat bestimmte Vor- und Nachteile. Ein vernünftiges Kriterium bei der Auswahl einer Diskretisierungsstrategie besteht darin, eine nahezu optimale Leistung für den größten Satz mathematischer Modelle in einer bestimmten Modellklasse zu erzielen.

Verschiedene numerische Lösungsalgorithmen können in zwei breite Kategorien eingeteilt werden. Direkte und iterative Löser. Diese Algorithmen sollen die Sparsität von Matrizen ausnutzen, die von der Auswahl der Variationsformulierung und Diskretisierungsstrategie abhängen.

Nachbearbeitungsverfahren sind für die Extraktion der interessierenden Daten aus einer Finite -Elemente -Lösung ausgelegt. Um die Anforderungen der Lösungsüberprüfung zu erfüllen A posteriori Fehlerschätzung in Bezug auf die Interessenmengen. Wenn die Annäherungsfehler größer sind als akzeptabel, muss die Diskretisierung entweder durch einen automatisierten adaptiven Prozess oder durch die Aktion des Analysten geändert werden. Es gibt einige sehr effiziente Postprozessoren, die die Verwirklichung von Superconvergence.

Illustrative Probleme P1 und P2

Die folgenden zwei Probleme zeigen die Finite -Elemente -Methode.

P1 ist ein eindimensionales Problem

oder 1) = 0, \ end {cases}}}

wo ${\ displayStyle f}$ wird gegeben, ${\ displayStyle u}$ ist eine unbekannte Funktion von ${\ displayStyle x}$ , und ${\ displayStyle u ''}$ ist das zweite Derivat von ${\ displayStyle u}$ in Gedenken an ${\ displayStyle x}$ .

P2 ist ein zweidimensionales Problem (Dirichlet -Problem))

oder } \ Omega, \\ u = 0 & {\ mbox {on}} \ partial \ Omega, \ end {cases}}}

wo ${\ displayStyle \ Omega}$ ist eine vernetzte offene Region in der ${\ displayStyle (x, y)}$ Ebene, deren Grenze ${\ displayStyle \ partial \ Omega}$ ist schön (z. B. a glatter Verteiler oder ein Polygon), und ${\ displayStyle u_ {xx}}$ und ${\ displayStyle u_ {yy}}$ bezeichnen die zweiten Derivate in Bezug auf ${\ displayStyle x}$ und ${\ displayStyle y}$ , beziehungsweise.

Das Problem P1 kann direkt durch Computer gelöst werden Antiderivate. Diese Methode zur Lösung der Grenzwertproblem (BVP) funktioniert nur, wenn es eine räumliche Dimension gibt und nicht auf höherdimensionale Probleme oder Probleme wie verallgemeinert wird ${\ displayStyle u+u '' = f}$ . Aus diesem Grund werden wir die Finite -Elemente -Methode für P1 entwickeln und seine Verallgemeinerung auf P2 skizzieren.

Unsere Erklärung wird in zwei Schritten fortgesetzt, die zwei wesentliche Schritte widerspiegeln, die man ausführen muss, um ein Grenzwertproblem (BVP) mit der FEM zu lösen.

Im ersten Schritt setzt man das ursprüngliche BVP in seiner schwachen Form auf. Für diesen Schritt ist normalerweise wenig bis gar keine Berechnung erforderlich. Die Transformation erfolgt von Hand auf Papier.
Der zweite Schritt ist die Diskretisierung, bei der die schwache Form in einem endlich-dimensionalen Raum diskretisiert wird.

Nach diesem zweiten Schritt haben wir konkrete Formeln für ein großes, aber endlich-dimensionales lineares Problem, dessen Lösung das ursprüngliche BVP ungefähr lösen wird. Dieses endlichdimensionale Problem wird dann auf a implementiert Computer.

Schwache Formulierung

Der erste Schritt besteht darin, P1 und P2 in ihr Äquivalent umzuwandeln Schwache Formulierungen.

Die schwache Form von P1

Wenn ${\ displayStyle u}$ Löst P1 dann für jede glatte Funktion ${\ displayStyle v}$ Das erfüllt die Verschiebungsgrenzbedingungen, d.h. ${\ displayStyle v = 0}$ bei ${\ displayStyle x = 0}$ und ${\ displayStyle x = 1}$ , wir haben

(1) ${\ displaystyle \ int _ {0}^{1} f (x) v (x) \, dx = \ int _ {0}^{1} u '' (x) v (x) \, dx.}$

Umgekehrt, wenn ${\ displayStyle u}$ mit ${\ displayStyle u (0) = u (1) = 0}$ erfüllt (1) für jede glatte Funktion ${\ displayStyle v (x)}$ Dann kann man das zeigen, dass dies ${\ displayStyle u}$ wird p1 lösen. Der Beweis ist für zweimal kontinuierlich differenzierbarer ${\ displayStyle u}$ (Mittelwert Theorem), kann aber in a bewiesen werden Verteilung Sinn auch.

Wir definieren einen neuen Operator oder eine neue Karte ${\ displayStyle \ phi (u, v)}$ durch die Nutzung Integration in Teilstücken auf der rechten Seite von (1):

(2) $oder ) \, dx \\ & = u '(x) v (x) | _ {0}^{1}-\ int _ {0}^{1} u' (x) v '(x) \, dx \\ & = -\ int _ {0}^{1} u '(x) v' (x) \, dx \ äquiv -\ phi (u, v), \ end {ausgerichtet}}}}$

wo wir die Annahme genutzt haben ${\ displayStyle v (0) = v (1) = 0}$ .

Die schwache Form von P2

Wenn wir durch Teile mit einer Form von integriert werden Green Identitätenwir sehen das, wenn ${\ displayStyle u}$ Löst P2, dann können wir definieren ${\ displayStyle \ phi (u, v)}$ für jeden ${\ displayStyle v}$ durch

oder

wo ${\ displayStyle \ nabla}$ bezeichnet die Gradient und ${\ displayStyle \ cdot}$ bezeichnet die Skalarprodukt in der zweidimensionalen Ebene. Einmal mehr ${\ displayStyle \, \! \ phi}$ kann in ein inneres Produkt auf einem geeigneten Raum verwandelt werden ${\ displayStyle H_ {0}^{1} (\ Omega)}$ von einst differenzierbaren Funktionen von ${\ displayStyle \ Omega}$ das sind null auf ${\ displayStyle \ partial \ Omega}$ . Das haben wir auch angenommen ${\ displayStyle v \ in H_ {0}^{1} (\ Omega)}$ (sehen Sobolev Räume). Existenz und Einzigartigkeit der Lösung können ebenfalls gezeigt werden.

Ein Beweisriss der Existenz und Einzigartigkeit der Lösung

Wir können lose an denken ${\ displayStyle H_ {0}^{1} (0,1)}$ zu sein absolut kontinuierlich Funktionen von ${\ displayStyle (0,1)}$ das sind ${\ displayStyle 0}$ bei ${\ displayStyle x = 0}$ und ${\ displayStyle x = 1}$ (sehen Sobolev Räume). Solche Funktionen sind (schwach) einmal differenzierbar und es stellt sich heraus, dass der symmetrische bilineare Karte ${\ displayStyle \! \, \ phi}$ dann definiert ein Innenprodukt das dreht sich ${\ displayStyle H_ {0}^{1} (0,1)}$ in ein Hilbert Raum (Ein detaillierter Beweis ist nicht trivial). Andererseits die linke Seite ${\ displayStyle \ int _ {0}^{1} f (x) v (x) dx}$ ist auch ein inneres Produkt, diesmal auf der LP -Raum ${\ displayStyle l^{2} (0,1)}$ . Eine Anwendung der Riesz Repräsentation Theorem Für Hilbert Spaces zeigt, dass es ein einzigartiges gibt ${\ displayStyle u}$ Lösen (2) und daher p1. Diese Lösung ist A-Priori nur ein Mitglied von ${\ displayStyle H_ {0}^{1} (0,1)}$ , aber benutze elliptisch Regelmäßigkeit wird reibungslos, wenn ${\ displayStyle f}$ ist.

Diskretisierung

Eine Funktion in

{\ displayStyle H_ {0}^{1},},}

mit Nullwerten an den Endpunkten (blau) und einer stückweise linearen Approximation (rot)

P1 und P2 können diskretisiert werden, was zu einem gemeinsamen Unterproblem führt (3). Die Grundidee besteht darin, das unendlich-dimensionale lineare Problem zu ersetzen:

Finden

{\ displayStyle u \ in H_ {0}^{1}}

so dass

{\ displaystyle \ forall v \ in h_ {0}^{1}, \;-\ phi (u, v) = \ int fv}

mit einer endlichdimensionalen Version:

(3) finden

{\ displayStyle u \ in v}

so dass

{\ displayStyle \ forall v \ in v, \;-\ phi (u, v) = \ int fv}

wo ${\ displayStyle v}$ ist ein endlich-dimensionales Unterraum von ${\ displayStyle H_ {0}^{1}}$ . Es gibt viele mögliche Möglichkeiten für ${\ displayStyle v}$ (Eine Möglichkeit führt zu dem Spektralmethode). Für die Finite -Elemente -Methode, die wir jedoch einnehmen ${\ displayStyle v}$ ein Raum stückweise Polynomfunktionen sein.

Für Problem P1

Wir nehmen das Intervall ${\ displayStyle (0,1)}$ , wählen ${\ displayStyle n}$ Werte von ${\ displayStyle x}$ mit ${\ displayStyle 0 = x_ {0} <x_ {1} <\ cdots <x_ {n} <x_ {n+1} = 1}$ Und wir definieren ${\ displayStyle v}$ durch:

{\ displayStyle v = \ {v: [0,1] \ rightarrow \ mathbb {r} \; ]} {\ mbox {ist linear für}} k = 0, \ dots, n {\ mbox {und}} v (0) = v (1) = 0 \}}

wo wir definieren ${\ displayStyle x_ {0} = 0}$ und ${\ displayStyle x_ {n+1} = 1}$ . Beobachten, dass Funktionen in ${\ displayStyle v}$ sind nicht differenzierbar gemäß der elementaren Definition von Kalkül. In der Tat, wenn ${\ displayStyle v \ in v}$ dann ist das Derivat in der Regel nicht definiert ${\ displayStyle x = x_ {k}}$ , ${\ displayStyle k = 1, \ ldots, n}$ . Das Derivat existiert jedoch bei jedem anderen Wert von ${\ displayStyle x}$ und man kann dieses Derivat für den Zweck von verwenden Integration in Teilstücken.

Eine stückweise lineare Funktion in zwei Dimensionen

Für Problem P2

Wir brauchen ${\ displayStyle v}$ eine Reihe von Funktionen von sein ${\ displayStyle \ Omega}$ . In der Figur rechts haben wir a veranschaulicht Triangulation von einem 15 -seitigen polygonal Region ${\ displayStyle \ Omega}$ im Flugzeug (unten) und a stückweise lineare Funktion (oben in Farbe) dieses Polygons, das auf jedem Dreieck der Triangulation linear ist; der Raum ${\ displayStyle v}$ würde aus Funktionen bestehen, die auf jedem Dreieck der gewählten Triangulation linear sind.

Man hofft, dass die Lösung des diskreten Problems (3) in gewissem Sinne mit der Lösung des ursprünglichen Grenzwertproblems P2 in gewisser Weise die Lösung des diskreten Problems (3) in gewisser Weise feiner und feiner wird. Um diese Netzfeinheit zu messen, wird die Triangulation durch einen realen Parameter indiziert ${\ displayStyle h> 0}$ Welches braucht sehr klein. Dieser Parameter wird mit der Größe des größten oder durchschnittlichen Dreiecks in der Triangulation zusammenhängen. Während wir die Triangulation verfeinern, fungiert der Raum der stückweise linearen Funktionen ${\ displayStyle v}$ muss sich auch ändern mit ${\ displayStyle H}$ . Aus diesem Grund liest man oft ${\ displayStyle v_ {h}}$ Anstatt von ${\ displayStyle v}$ in der Literatur. Da wir eine solche Analyse nicht durchführen, werden wir diese Notation nicht verwenden.

Eine Basis wählen

Interpolation von a Bessel -Funktion

16 skalierte und veränderte dreieckige Basisfunktionen (Farben), die zur Rekonstruktion einer Bessel -Funktion von Zeroeth Order verwendet werden J₀ (Schwarz).

Die lineare Kombination der Basisfunktionen (gelb) reproduziert J₀ (schwarz) zu jeder gewünschten Genauigkeit.

Um die Diskretisierung zu vervollständigen, müssen wir a auswählen Basis von ${\ displayStyle v}$ . Im eindimensionalen Fall für jeden Kontrollpunkt ${\ displayStyle x_ {k}}$ Wir werden die stückweise lineare Funktion wählen ${\ displayStyle v_ {k}}$ in ${\ displayStyle v}$ deren Wert ist ${\ displayStyle 1}$ bei ${\ displayStyle x_ {k}}$ und bei jedem Null ${\ displaystyle x_ {j}, \; j \ neq k}$ , d.h.

oder x \ in [x_ {k-1}, x_ {k}], \\ {x_ {k+1} \,-x \ over x_ {k+1} \,-x_ {k}} & {\ mbox {if}} x \ in [x_ {k}, x_ {k+1}], \\ 0 & {\ mbox {sonst}}, \ end {cases}}}

zum ${\ displayStyle k = 1, \ dots, n}$ ; Diese Grundlage ist verändert und skaliert Zeltfunktion. Für den zweidimensionalen Fall wählen wir erneut eine Basisfunktion ${\ displayStyle v_ {k}}$ pro Scheitelpunkt ${\ displayStyle x_ {k}}$ der Triangulation der planaren Region ${\ displayStyle \ Omega}$ . Die Funktion ${\ displayStyle v_ {k}}$ ist die einzigartige Funktion von ${\ displayStyle v}$ deren Wert ist ${\ displayStyle 1}$ bei ${\ displayStyle x_ {k}}$ und bei jedem Null ${\ displaystyle x_ {j}, \; j \ neq k}$ .

Abhängig vom Autor bezieht sich das Wort "Element" in der "Finite -Elemente -Methode" entweder auf die Dreiecke in der Domäne, die stückweise lineare Basisfunktion oder beides. Zum Beispiel kann ein Autor, der an gekrümmten Domänen interessiert ist, die Dreiecke durch gekrümmte Primitive ersetzen und die Elemente daher als krummlinig beschreiben. Andererseits ersetzen einige Autoren "stückweise linear" durch "stückweise quadratische" oder sogar "stückweise Polynom". Der Autor könnte dann "Element höherer Ordnung" anstelle von "höherem Grad Polynom" sagen. Die Finite-Elemente-Methode ist nicht auf Dreiecke (oder Tetraedern in 3-D- oder höheren Ordnung in mehrdimensionalen Räumen) beschränkt, kann jedoch auf viereckigen Subdomänen definiert werden (Hexaheder, Prismen oder Pyramiden in 3-D usw.) . Formen höherer Ordnung (krummlinige Elemente) können mit polynomialen und sogar nicht polynomialen Formen (z. B. Ellipse oder Kreis) definiert werden.

Beispiele für Methoden, die stückweise polynomiale Basisfunktionen mit höherem Grad verwenden, sind dieHP-FEM und Spectral Fem.

Erweiterte Implementierungen (adaptive Finite -Elemente -Methoden) verwenden eine Methode, um die Qualität der Ergebnisse (basierend auf der Fehlerschätzungstheorie) zu bewerten und das Netz während der Lösung zu ändern, die darauf abzielt, eine ungefähre Lösung innerhalb einiger Grenzen aus der genauen Lösung des Kontinuumsproblems zu erreichen . Mesh Adaptivity kann verschiedene Techniken verwenden, die beliebtesten sind:

bewegliche Knoten (R-Adaptivität)
Verfeinerungselemente (und nicht raffinierte) Elemente (H-Adaptivität)
Änderung der Reihenfolge der Basisfunktionen (P-Adaptivität)
Kombinationen der oben genannten (HP-Adaptivität).

Kleine Unterstützung der Basis

Lösen des zweidimensionalen Problems

{\ displayStyle u_ {xx}+u_ {yy} =-4}

in der Scheibe auf Ursprung und Radius 1 mit null Randbedingungen.
(a) Die Triangulation.

(b) die spärliche Matrix L des diskretisierten linearen Systems

(c) die berechnete Lösung,

{\ displayStyle u (x, y) = 1-x^{2} -y^{2}.}

Der Hauptvorteil dieser Wahl der Grundlage ist, dass die inneren Produkte

oder

und

{\ displayStyle \ phi (v_ {j}, v_ {k}) = \ int _ {0}^{1} v_ {j} 'v_ {k}' \, dx}

wird für fast alle Null sein ${\ displayStyle j, k}$ . (Die Matrix enthält ${\ displayStyle \ Langle v_ {j}, v_ {k} \ rangle}$ in dem ${\ displayStyle (j, k)}$ Die Lage ist als die bekannt Gramische Matrix.) In dem einen dimensionalen Fall die Unterstützung von ${\ displayStyle v_ {k}}$ ist das Intervall ${\ displayStyle [x_ {k-1}, x_ {k+1}]}$ . Daher die Integranden von ${\ displayStyle \ Langle v_ {j}, v_ {k} \ rangle}$ und ${\ displayStyle \ phi (v_ {j}, v_ {k})}$ sind wenn immer identisch Null ${\ displayStyle | J-K |> 1}$ .

In ähnlicher Weise im planaren Fall, wenn ${\ displayStyle x_ {j}}$ und ${\ displayStyle x_ {k}}$ Teilen Sie keinen Rand der Triangulation, dann die Integrale

{\ displayStyle \ int _ {\ omega} v_ {j} v_ {k} \, ds}

und

{\ displaystyle \ int _ {\ omega} \ nabla v_ {j} \ cdot \ nabla v_ {k} \, ds}

sind beide Null.

Matrixform des Problems

Wenn wir schreiben ${\ displayStyle u (x) = \ sum _ {k = 1}^{n} u_ {k} v_ {k} (x)}$ und ${\ displayStyle f (x) = \ sum _ {k = 1}^{n} f_ {k} v_ {k} (x)}$ dann Problem (3), nehmen ${\ displayStyle v (x) = v_ {j} (x)}$ zum ${\ displayStyle j = 1, \ dots, n}$ , wird

{\ displayStyle -\ sum _ {k = 1}^{n} u_ {k} \ phi (v_ {k}, v_ {j}) = \ sum _ {k = 1} \ int v_ {k} v_ {j} dx}

zum

{\ displayStyle j = 1, \ dots, n.}

(4)

Wenn wir bezeichnen durch ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ und ${\ displaystyle \ mathbf {f}}$ die Säulenvektoren ${\ displayStyle (u_ {1}, \ dots, u_ {n})^{t}}$ und ${\ displayStyle (f_ {1}, \ dots, f_ {n})^{t}}$ und wenn wir es lassen

{\ displayStyle l = (l_ {ij})}

und

{\ displayStyle m = (m_ {ij})}

Sei Matrizen, deren Einträge sind

{\ displayStyle l_ {ij} = \ phi (v_ {i}, v_ {j})}

und

{\ displayStyle m_ {ij} = \ int v_ {i} v_ {j} dx}

Dann können wir (4) als umformeln

{\ displayStyle -l \ mathbf {u} = m \ mathbf {f}.}

(5)

Es ist nicht notwendig zu annehmen ${\ displayStyle f (x) = \ sum _ {k = 1}^{n} f_ {k} v_ {k} (x)}$ . Für eine allgemeine Funktion ${\ displayStyle f (x)}$ , Problem (3) mit ${\ displayStyle v (x) = v_ {j} (x)}$ zum ${\ displayStyle j = 1, \ dots, n}$ wird tatsächlich einfacher, da keine Matrix ${\ displayStyle m}$ wird genutzt,

{\ displayStyle -l \ mathbf {u} = \ mathbf {b}}

, (6)

wo ${\ displaystyle \ mathbf {b} = (b_ {1}, \ dots, b_ {n})^{t}}$ und ${\ displayStyle b_ {j} = \ int fv_ {j} dx}$ zum ${\ displayStyle j = 1, \ dots, n}$ .

Wie wir bereits diskutiert haben, die meisten Einträge von ${\ displayStyle l}$ und ${\ displayStyle m}$ sind Null, weil die Basis funktioniert ${\ displayStyle v_ {k}}$ kleine Unterstützung haben. Wir müssen jetzt ein lineares System im Unbekannten lösen ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$ wo die meisten Einträge der Matrix ${\ displayStyle l}$ , was wir invertieren müssen, sind Null.

Solche Matrizen sind als bekannt als spärliche Matrizenund es gibt effiziente Löser für solche Probleme (viel effizienter als die Matrix tatsächlich invertieren). Zusätzlich, ${\ displayStyle l}$ ist symmetrisch und positiv definitiv, also eine Technik wie die Konjugat -Gradientenmethode ist bevorzugt. Für Probleme, die nicht zu groß sind, spärlich LU -Zersetzungen und Cholesky -Zerlegungen funktioniert immer noch gut. Zum Beispiel, MatlabDer Backslash -Operator (der spärliche LU, spärliche Cholesky und andere Faktorisierungsmethoden verwendet) kann für Netze mit hunderttausend Eckpunkten ausreichen.

Die Matrix ${\ displayStyle l}$ wird normalerweise als die bezeichnet Steifigkeitsmatrix, während die Matrix ${\ displayStyle m}$ wird als genannt Massenmatrix.

Allgemeine Form der Finite -Elemente -Methode

Im Allgemeinen wird die Finite -Elemente -Methode durch den folgenden Prozess charakterisiert.

Man wählt ein Raster für ${\ displayStyle \ Omega}$ . In der vorhergehenden Behandlung bestand das Gitter aus Dreiecken, aber man kann auch Quadrate oder krummlinige Polygone verwenden.
Dann wählt man Basisfunktionen. In unserer Diskussion haben wir stückweise lineare Basisfunktionen verwendet, aber es ist auch üblich, stückweise polynomiale Basisfunktionen zu verwenden.

Eine separate Überlegung ist die Glätte der Basisfunktionen. Für zweite Ordnung Elliptische Grenzwertprobleme, stückweise polynomiale Basisfunktion, die lediglich kontinuierlich ausreicht (d. H. Die Derivate sind diskontinuierlich). Für partielle Differentialgleichungen höherer Ordnung muss man glattere Basisfunktionen verwenden. Zum Beispiel für ein Problem viertes Ordnung wie z. ${\ displayStyle u_ {xxxx}+u_ {yyyy} = f}$ , man kann stückweise quadratische Basisfunktionen verwenden, die sind ${\ displayStyle c^{1}}$ .

Eine weitere Überlegung ist das Verhältnis des endlich-dimensionalen Raums ${\ displayStyle v}$ zu seinem unendlich-dimensionalen Gegenstück in den obigen Beispielen ${\ displayStyle H_ {0}^{1}}$ . Eine konforme Elementmethode ist eine, in welchem Raum ${\ displayStyle v}$ ist ein Unterraum des Elementraums für das kontinuierliche Problem. Das obige Beispiel ist eine solche Methode. Wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, erhalten wir eine nicht konforme Elementmethode, von der ein Beispiel der Raum der stückweise linearen Funktionen über dem Netz ist, die an jedem Rand -Mittelpunkt kontinuierlich sind. Da diese Funktionen entlang der Kanten allgemein diskontinuierlich sind, ist dieser endlichdimensionale Raum kein Unterraum des Originals ${\ displayStyle H_ {0}^{1}}$ .

Normalerweise hat man einen Algorithmus, um ein bestimmtes Netz zu nehmen und es zu unterteilen. Wenn die Hauptmethode zur Erhöhung der Präzision darin besteht, das Netz zu unterteilen, hat man eine h-Methode (h ist üblicherweise der Durchmesser des größten Elements im Netz.) Auf diese Weise, wenn man zeigt, dass der Fehler mit einem Gitter ${\ displayStyle H}$ wird oben von oben begrenzt ${\ displayStyle ch^{p}}$ , für einige ${\ displayStyle c <\ Infty}$ und ${\ displayStyle p> 0}$ dann hat man eine Bestellung p Methode. Unter bestimmten Hypothesen (zum Beispiel, wenn die Domäne konvex ist), ein stückweise Polynom der Ordnung ${\ displayStyle d}$ Die Methode hat einen Auftragsfehler ${\ displayStyle p = d+1}$ .

Wenn anstatt zu machen h kleiner, man erhöht den Grad der in der Basis verwendeten Polynome, man hat a p-Methode. Wenn man diese beiden Verfeinerungsarten kombiniert, erhält man eine HP-Methode (HP-FEM). Im HP-FEM können die Polynomgrade von Element zu Element variieren. Methoden mit hoher Ordnung mit großer Uniform p werden als spektrale Finite -Elemente -Methoden bezeichnet (Sfem). Diese sind nicht zu verwechseln Spektralmethoden.

Für vektor -partielle Differentialgleichungen können die Basisfunktionen Werte in übernehmen ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n}}$ .

Verschiedene Arten von Finite -Elemente -Methoden

AEM

Die angewandte Elementmethode oder AEM kombiniert Merkmale von FEM und Diskrete Elementmethode, oder (Dem).

A-fem

Die Vergrößerungs-Finite-Elementmethode wird von Yang und Lui eingeführt, dessen Ziel es war, die schwachen und starken Diskontinuitäten zu modellieren, ohne dass zusätzliche DOFs wie in PUM angegeben werden müssen.

Verallgemeinerte Finite -Elemente -Methode

Die verallgemeinerte Finite -Elemente -Methode (GFEM) verwendet lokale Räume, die aus Funktionen bestehen, nicht unbedingt Polynome, die die verfügbaren Informationen zur unbekannten Lösung widerspiegeln und somit eine gute lokale Näherung gewährleisten. Dann ein Aufteilung der Einheit wird verwendet, um diese Räume zusammen zu „verbinden“, um den approximierenden Unterraum zu bilden. Die Wirksamkeit von GFEM wurde gezeigt, wenn sie auf Probleme mit Domänen mit komplizierten Grenzen, Problemen mit Mikroskalen und Problemen mit Grenzschichten angewendet wurden.^[13]

Methode mit gemischter Finite -Elemente

Die gemischte Finite -Elemente -Methode ist eine Art Finite -Elemente -Methode, bei der zusätzliche unabhängige Variablen als Knotenvariablen während der Diskretisierung eines partiellen Differentialgleichungsproblems eingeführt werden.

Variable - Polynom

Das HP-FEM kombiniert adaptiv, Elemente mit variabler Größe h und Polynomgrad p Um außergewöhnlich schnelle, exponentielle Konvergenzraten zu erreichen.^[14]

HPK-FEM

Das HPK-FEM kombiniert adaptiv, Elemente mit variabler Größe hPolynomgrad der lokalen Näherungen p und globale Differenzierbarkeit der lokalen Näherungen (K-1) um die besten Konvergenzraten zu erreichen.

Xfem

Das Erweiterte Finite -Elemente -Methode (XFEM) ist eine numerische Technik, die auf der Verallgemeinerungs -Finite -Elemente -Methode (GFEM) und der Partition of Unity -Methode (PUM) basiert. Es erweitert die klassische Finite -Elemente -Methode durch Anreicherung des Lösungsraums für Lösungen für Differentialgleichungen mit diskontinuierlichen Funktionen. Erweiterte Finite -Elemente -Methoden bereichern den Annäherungsraum so, dass das mit dem Interesse verbundene Problem natürlich reproduzieren kann: die Diskontinuität, Singularität, Grenzschicht usw. Es wurde gezeigt Der Annäherungsraum kann die Konvergenzraten und die Genauigkeit erheblich verbessern. Darüber hinaus unterdrückt die Behandlung von Problemen mit Diskontinuitäten mit XFEMs die Notwendigkeit, die Diskontinuitätsoberflächen zu passen und zu vermengen, wodurch die Rechenkosten und Projektionsfehler, die mit herkömmlichen Finite-Elemente-Methoden verbunden sind, auf Kosten für die Einschränkung der Diskontinuitäten an die Mesh-Kanten lindern.

Mehrere Forschungscodes implementieren diese Technik in verschiedenen Grad: 1. Getfem ++ 2. xfem ++ 3. OpenXFEM ++

XFEM wurde auch in Codes wie Altair Radios, Aster, Morfeo und Abaqus implementiert. Es wird zunehmend von anderen kommerziellen Finite -Elemente -Software mit einigen Plugins und tatsächlichen Kernimplementierungen (ANSYS, Samcef, Oofelie usw.) übernommen.

Skalierte Grenzfinitenelementmethode (SBFEM)

Die Einführung der skalierten Grenzfinite -Elemente -Methode (SBFEM) stammte von Song und Wolf (1997).^[15] Das SBFEM war einer der profitabelsten Beiträge im Bereich der numerischen Analyse der Probleme mit der Frakturmechanik. Es handelt sich um eine semi-analytische grundlegende Methode, die die Vorteile sowohl der Finite-Elemente-Formulierungen als auch der Diskretisierung des Grenzelements kombiniert. Im Gegensatz zur Grenzelementmethode ist jedoch keine grundlegende Differentiallösung erforderlich.

S-fem

Die S-FEM, geglättete Finite-Elemente-Methoden sind eine bestimmte Klasse numerischer Simulationsalgorithmen zur Simulation physikalischer Phänomene. Es wurde durch Kombination von Meshfree -Methoden mit der Finite -Elemente -Methode entwickelt.

Spektralelementmethode

Spektralelementmethoden kombinieren die geometrische Flexibilität endlicher Elemente und die akute Genauigkeit von Spektralmethoden. Spektralmethoden sind die ungefähre Lösung schwacher Form, die auf lagrangeistischen Interpolantien hoher Ordnung basieren und nur mit bestimmten Quadraturregeln verwendet werden.^[16]

Meshfree -Methoden

Diskontinuierliche Galerkin -Methoden

Finite -Elemente -Grenzbegrenzungsanalyse

Gestreckte Gittermethode

Lubignac -Iteration

Lubignac -Iteration ist eine iterative Methode bei Finite -Elemente -Methoden.

Kristallplastizität Finite -Elemente -Methode (CPFEM)

Die Finite -Elemente -Methode der Kristallplastizität (CPFEM) ist ein fortschrittliches numerisches Werkzeug, das von Franz -Rotern entwickelt wurde. Metalle können als Kristallaggregate angesehen werden und verhalten sich unter Deformation Anisotropie, beispielsweise abnormale Stress und Dehnungslokalisierung. CPFEM basierend auf der Schlupf (Scherdehnungsrate) kann die Versetzung, Kristallorientierung und andere Texturinformationen berechnen, um die Kristallanisotropie während der Routine zu berücksichtigen. Jetzt wurde es in der numerischen Untersuchung der Materialdeformation, der Oberflächenrauheit, der Frakturen usw. angewendet.

Virtuelle Elementmethode (VEM)

Die von Beirão da Veiga et al. (2013)^[17] als Erweiterung von mimetisch endlicher Unterschied (MFD) Methoden sind eine Verallgemeinerung der Standard -Finite -Elemente -Methode für willkürliche Elementgeometrien. Dies ermöglicht die Aufnahme allgemeiner Polygone (oder Polyeder in 3D), die sehr unregelmäßig und nicht konvex sind. Der Name virtuell ergibt sich aus der Tatsache, dass das Wissen über die lokale Formfunktionsbasis nicht erforderlich ist und tatsächlich nie explizit berechnet wird.

Verbindung mit der Gradienten -Diskretisierungsmethode

Einige Arten von Finite -Elemente -Methoden (konforme, nicht konforme, gemischte Finite -Elemente Gradientendiskretisierungsmethode (GDM). Daher halten die Konvergenzeigenschaften des GDM, die für eine Reihe von Problemen (lineare und nichtlineare elliptische Probleme, lineare, nichtlineare und entartete parabolische Probleme) festgelegt werden, für diese speziellen Finite-Elemente-Methoden ebenso gut.

Vergleich mit der endlichen Differenzmethode

Das Finite -Differenz -Methode (FDM) ist eine alternative Möglichkeit, PDE -Lösungen zu nähern. Die Unterschiede zwischen FEM und FDM sind:

Das attraktivste Merkmal des FEM ist die Fähigkeit, komplizierte Geometrien (und Grenzen) mit relativ leicht zu handhaben. Während FDM in seiner Grundform darauf beschränkt ist, rechteckige Formen und einfache Änderungen davon zu handhaben, ist der Umgang mit Geometrien in FEM theoretisch einfach.
FDM wird normalerweise nicht für unregelmäßige CAD -Geometrien verwendet, sondern häufiger rechteckiger oder blockförmiger Modelle.^[18]
Das attraktivste Merkmal endlicher Unterschiede ist, dass es sehr einfach zu implementieren ist.
Es gibt verschiedene Möglichkeiten, wie man die FDM als Sonderfall des FEM -Ansatzes betrachten könnte. Z. B. ist FEM erster Ordnung identisch mit FDM für Poissons Gleichung, wenn das Problem ist diskretisiert durch ein reguläres rechteckiges Netz mit jedem Rechteck in zwei Dreiecke unterteilt.
Es gibt Gründe, die mathematische Grundlage des Finite -Elemente -Annäherung zu berücksichtigen, beispielsweise mehr Klang, da die Qualität der Annäherung zwischen Gitterpunkten bei FDM schlecht ist.
Die Qualität einer FEM-Näherung ist oft höher als beim entsprechenden FDM-Ansatz, dies ist jedoch äußerst problemabhängig und es können mehrere gegenteilige Beispiele bereitgestellt werden.

Im Allgemeinen ist FEM die Methode der Wahl in allen Arten der Analyse in der Strukturmechanik (d. H. Lösung von Deformation und Spannungen in festen Körpern oder Dynamik von Strukturen) Computerflüssigkeitsdynamik (CFD) neigen dazu, FDM oder andere Methoden wie zu verwenden Finite Volumenmethode (FVM). CFD-Probleme erfordern normalerweise eine Diskretisierung des Problems in eine große Anzahl von Zellen/Gitterpunkten (Millionen und mehr), weshalb die Kosten der Lösung in jeder Zelle eine einfachere Näherung niedrigerer Ordnung begünstigen. Dies gilt insbesondere für Probleme mit dem externen Fluss wie dem Luftstrom um das Auto oder Flugzeug oder Wettersimulation.

Anwendung

3D -Verschmutzungstransportmodell - Konzentrationsfeld auf Bodenniveau

3D -Verschmutzungstransportmodell - Konzentrationsfeld auf der senkrechten Oberfläche

Eine Vielzahl von Spezialisierungen unter dem Dach der Maschinenbaudisziplin (wie Luftfahrt-, Biomechanik- und Automobilindustrie) verwenden in der Gestaltung und Entwicklung ihrer Produkte üblicherweise integriertes FEM. Mehrere moderne FEM -Pakete umfassen spezifische Komponenten wie thermische, elektromagnetische, flüssige und strukturelle Arbeitsumgebungen. In einer strukturellen Simulation hilft FEM enorm bei der Erzeugung von Steifheit und Festigkeitsvisualisierungen sowie bei der Minimierung von Gewicht, Materialien und Kosten.^[19]

FEM ermöglicht eine detaillierte Visualisierung dessen, wo Strukturen sich biegen oder verdrehen, und zeigt die Verteilung von Spannungen und Verschiebungen an. Die FEM -Software bietet eine breite Palette von Simulationsoptionen, um die Komplexität sowohl der Modellierung als auch der Analyse eines Systems zu steuern. In ähnlicher Weise kann das gewünschte Maß an Genauigkeit und zugehörige Rechenzeitanforderungen gleichzeitig verwaltet werden, um die meisten technischen Anwendungen zu befriedigen. FEM ermöglicht es, ganze Designs zu konstruieren, verfeinert und optimiert, bevor das Design hergestellt wird. Das Netz ist ein integraler Bestandteil des Modells und muss sorgfältig kontrolliert werden, um die besten Ergebnisse zu erzielen. Je höher die Anzahl der Elemente in einem Netz ist, desto genauer die Lösung des diskretisierten Problems. Es gibt jedoch einen Wert, bei dem die Ergebnisse konvergieren und eine weitere Verfeinerung der Mesh nicht die Genauigkeit erhöht.^[20]

Finite -Elemente -Modell eines menschlichen Kniegelenks.^[21]

Dieses leistungsstarke Design -Tool hat sowohl den Standard der technischen Designs als auch die Methodik des Designprozesses in vielen industriellen Anwendungen erheblich verbessert.^[22] Die Einführung von FEM hat die Zeit, Produkte vom Konzept zur Produktionslinie zu übernehmen, erheblich verringert.^[22] In erster Linie wurde durch verbesserte anfängliche Prototypdesigns unter Verwendung von FEM Tests und Entwicklung beschleunigt.^[23] Zusammenfassend umfassen die Vorteile der FEM eine erhöhte Genauigkeit, ein verbessertes Design und bessere Einblicke in kritische Designparameter, virtuelle Prototypen, weniger Hardwareprototypen, einen schnelleren und kostengünstigeren Entwurfszyklus, erhöhte Produktivität und erhöhte Einnahmen.^[22]

In den neunziger Jahren wurde FEM zur Verwendung in der stochastischen Modellierung zur numerischen Lösung von Wahrscheinlichkeitsmodellen vorgeschlagen^[24] und später für die Zuverlässigkeitsbewertung.^[25]

Siehe auch

Verweise

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Weitere Lektüre

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