Fakultät

In diesem Artikel geht es um Produkte von aufeinanderfolgenden Ganzzahlen. Für statistische Experimente über alle Wertekombinationen siehe faktorielles Experiment. Für die Datenrepräsentation durch unabhängige Komponenten siehe faktorielles Code.
Ausgewählte Fakultäten; Werte in der wissenschaftlichen Notation sind abgerundet
0 1
1 1
2 2
3 6
4 24
5 120
6 720
7 5040
8 40320
9 362880
10 3628800
11 39916800
12 479001600
13 6227020800
14 87178291200
15 1307674368000
16 20922789888000
17 355687428096000
18 6402373705728000
19 121645100408832000
20 2432902008176640000
25 1,551121004×1025
50 3.041409320×1064
70 1.197857167×10100
100 9.332621544×10157
450 1.733368733×101000
1000 4.023872601×102567
3249 6.412337688×1010000
10000 2.846259681×1035659
25206 1.205703438×10100000
100000 2.824229408×10456573
205023 2.503898932×101000004
1000000 8.263931688×105565708
10100 1010101.9981097754820

Im Mathematik, das Fakultät eines nicht negativen ganze Zahl , bezeichnet durch , ist der Produkt von allen positiven Ganzzahlen weniger oder gleich zu . Das Fakultät von entspricht auch dem Produkt von Mit der nächsten kleineren Fakultät:

Zum Beispiel,
Der Wert von 0! ist 1, laut der Übereinkommen für eine leeres Produkt.[1]

Faktorien wurden in mehreren alten Kulturen entdeckt, insbesondere in Indische Mathematik in den kanonischen Werken von Jain -Literaturund von jüdischen Mystikern im talmudischen Buch Sefer Yetzirah. Der faktorielle Vorgang wird in vielen Bereichen der Mathematik angetroffen, insbesondere in Kombinatorik, wo seine grundlegendste Verwendung das mögliche Unterschied zählt Sequenzen - das Permutationen - von verschiedene Objekte: dort sind . Im Mathematische Analyse, Faktorien werden in verwendet Power -Serie für die Exponentialfunktion und andere Funktionen, und sie haben auch Anwendungen in Algebra, Zahlentheorie, Wahrscheinlichkeitstheorie, und Informatik.

Ein Großteil der Mathematik der faktoriellen Funktion wurde ab dem späten 18. und frühen 19. Jahrhundert entwickelt.Stirlings Annäherung bietet eine genaue Annäherung an das Faktor der großen Zahlen und zeigt, dass es schneller wächst als exponentielles Wachstum. Legendres Formel beschreibt die Exponenten der Primzahlen in a Primfaktorisierung der Faktorien und können verwendet werden, um die hinteren Nullen der Faktorien zu zählen. Daniel Bernoulli und Leonhard Euler interpoliert die faktorielle Funktion zu einer kontinuierlichen Funktion von komplexe Zahlenaußer bei den negativen Ganzzahlen der (Offset) Gamma -Funktion.

Viele andere bemerkenswerte Funktionen und Zahlensequenzen sind eng mit den Faktorien zusammenhängen, einschließlich der Binomialkoeffizienten, Doppelfaktor, fallende Fakultäten, Primorial, und Subfaktorials. Implementierungen der faktoriellen Funktion werden üblicherweise als Beispiel für unterschiedliche Weise verwendet Computerprogrammierung Stile und sind in enthalten Wissenschaftliche Taschenrechner und Scientific Computing -Software -Bibliotheken. Obwohl die direkte Berechnung großer Faktorien mithilfe der Produktformel oder der Rezidiv nicht effizient ist, sind schnellere Algorithmen bekannt, die zu einem konstanten Faktor der Zeit für Fast übereinstimmt Multiplikationsalgorithmen für Zahlen mit der gleichen Anzahl von Ziffern.

Geschichte

Das Konzept der Faktorien ist in vielen Kulturen unabhängig voneinander aufgetreten:

  • Im Indische Mathematik, eines der frühesten bekannten Beschreibungen von Faktorien stammt aus dem Anuyogadvāra-sūtra,[2] eines der kanonischen Werke von Jain -Literatur, denen Daten von 300 v. Chr. Bis 400 n. Chr. Zugewiesen wurden.[3] Es trennt die sortierte und umgekehrte Reihenfolge einer Reihe von Elementen aus den anderen ("gemischten" Aufträgen und bewertet die Anzahl gemischter Bestellungen, indem zwei von der üblichen Produktformel für das Faktor gesetzt werden. Die Produktregel für Permutationen wurde auch bis zum Jain-Mönch des 6. Jahrhunderts beschrieben Jinabhadra.[2] Hindu -Wissenschaftler verwenden seit mindestens 1150 faktorielle Formeln, wann Bhāskara II erwähnte Faktorien in seiner Arbeit Līlāvatīim Zusammenhang mit einem Problem, wie viele Möglichkeiten Vishnu konnte seine vier charakteristischen Objekte halten (a Muschelschale, Diskus, Morgenstern, und Lotus Blume) in seinen vier Händen und ein ähnliches Problem für einen zehnhändigen Gott.[4]
  • In der Mathematik des Nahen Ostens, dem hebräischen Mystischen Schöpfungsbuch, Sefer Yetzirah, von dem Talmudische Zeit (200 bis 500 n. Chr.) Listet die Faktorien bis zu 7 auf! als Teil einer Untersuchung der Anzahl der Wörter, die aus dem gebildet werden können Hebräisch Alphabet.[5][6] Faktorien wurden auch aus ähnlichen Gründen der arabischen Grammatiker aus dem 8. Jahrhundert untersucht Al-Khalil ibn Ahmad al-Farahidi.[5] Arabischer Mathematiker Ibn al-Haytham (auch bekannt als Alhazen, c. 965 - c. 1040) war der erste, der formuliert wurde Wilsons Theorem Verbinden der Fakultäten mit dem Primzahlen.[7]
  • In Europa, obwohl Griechische Mathematik enthielt einige Kombinatorik und Plato Bekannt 5040 (ein Fakultät) als Bevölkerung einer idealen Gemeinschaft, teilweise aufgrund ihrer Trennbarkeitseigenschaften,[8] Es gibt keine direkten Beweise für das alte griechische Studium der Faktorien. Stattdessen stammte die ersten Arbeiten zu Faktorien in Europa von jüdischen Gelehrten wie Shabbethai DonnoloErläuterung der Sefer Yetzirah -Passage.[9] 1677 britischer Autor Fabian Stedman beschrieben die Anwendung von Faktorien auf Wechseln Sie das Klingeln, eine musikalische Kunst, die das Klingeln mehrerer abgestimmter Glocken beinhaltet.[10][11]

Ab dem späten 15. Jahrhundert wurden Faktorien zum Thema der Studie westlicher Mathematiker. In einer Abhandlung mit 1494 italienischer Mathematiker 1494 Luca Pacioli Berechnete Faktorien bis zu 11! In Verbindung mit einem Problem der Esstisch -Arrangements.[12] Christopher Clavius Erörterte Faktorien in einem Kommentar von 1603 zur Arbeit von Johannes de Sacroboscound in den 1640er Jahren französisches Polymath Marin Mersenne Veröffentlichte große (aber nicht ganz korrekte) Tische von Faktorien, bis zu 64! Basierend auf der Arbeit von Clavius.[13] Das Power -Serie für die Exponentialfunktionmit den Reziprokalen der Faktorien für seine Koeffizienten wurde erstmals 1676 von formuliert Isaac Newton in einem Brief an Gottfried Wilhelm Leibniz.[14] Andere wichtige Werke der frühen europäischen Mathematik zu Fakultäten sind eine umfassende Berichterstattung in einer Abhandlung von 1685 von 1685 von John Wallis, eine Untersuchung ihrer ungefähren Werte für große Werte von durch Abraham de Moivre 1721 ein Brief von 1729 von 1729 von James Stirling zu de Moivre, der angab, was bekannt wurde als Stirlings Annäherungund gleichzeitig arbeiten Daniel Bernoulli und Leonhard Euler Formulierung der kontinuierlichen Erweiterung der faktoriellen Funktion an die Gamma -Funktion.[15] Adrien-Marie Legendre inbegriffen Legendres Formel, beschreiben die Exponenten in der Faktorisierung von Faktorien in erstklassige Kräftein einem 1808 -Text auf Zahlentheorie.[16]

Die Notation Für Faktorien wurde der französische Mathematiker vorgestellt Christian Kramp im Jahr 1808.[17] Viele andere Notationen wurden ebenfalls verwendet. Eine weitere spätere Notation, in der das Argument der Fakultät von der linken und unteren Seiten einer Box halb verschleppt wurde, war für einige Zeit in Großbritannien und Amerika beliebt, fiel jedoch nicht mehr in Gebrauch, vielleicht weil es schwierig ist, zu wechseln.[17] Das Wort "Fakultät" (ursprünglich französisch: Faktorielle) wurde erstmals im Jahr 1800 von verwendet von Louis François Antoine Arbogast,[18] in der ersten Arbeit an Faà di Brunos Formel,[19] aber auf ein allgemeineres Konzept von Produkten von bezieht Arithmetische Fortschritte. Die "Faktoren", auf die sich dieser Name bezieht, sind die Bedingungen der Produktformel für das Faktor.[20]

Definition

Die faktorielle Funktion einer positiven Ganzzahl wird vom Produkt definiert[1]

Dies kann prägnanter geschrieben werden in Produktnotation wie[1]

Wenn diese Produktformel geändert wird, um alle außer dem letzten Begriff zu erhalten, würde sie ein Produkt derselben Form für ein kleineres Fakultät definieren. Dies führt zu a Rezidivbeziehung, nach dem jeder Wert der faktoriellen Funktion erhalten werden kann, indem der vorherige Wert multipliziert wird durch :[21]

Zum Beispiel, .

Faktor für Null

Das Fakultät von ist , oder in Symbolen, . Es gibt mehrere Motivationen für diese Definition:

  • Zum , Die Definition von Als Produkt beinhaltet das Produkt von gar nicht mehr, und so ist dies ein Beispiel für die breitere Konvention, die die leeres Produkt, ein Produkt ohne Faktoren, entspricht der multiplikativen Identität.[22]
  • Es gibt genau eine Permutation von Null -Objekten: Mit nichts zudurchschnittlich ist die einzige Neuordnung, nichts zu tun.[21]
  • Diese Konvention macht viele Identitäten in Kombinatorik Gültig für alle gültigen Auswahlmöglichkeiten ihrer Parameter. Zum Beispiel die Anzahl der Möglichkeiten, alle auszuwählen Elemente aus einem Satz von ist a Binomialkoeffizient Identität, die nur gültig wäre mit .[23]
  • Mit , Die Rezidivbeziehung für das Fakultät bleibt gültig bei . Daher mit dieser Konvention a rekursiv Die Berechnung des Faktororials muss nur den Wert für Null als a haben BasisfallVereinfachung der Berechnung und Vermeidung der Notwendigkeit zusätzlicher Sonderfälle.[24]
  • Einstellung ermöglicht den kompakten Ausdruck vieler Formeln, wie die Exponentialfunktion, Als ein Power -Serie: [14]
  • Diese Wahl entspricht der Gamma -Funktion , und die Gamma -Funktion muss diesen Wert haben, um a zu sein kontinuierliche Funktion.[25]

Anwendungen

Die frühesten Verwendungen der faktoriellen Funktion beinhalten das Zählen Permutationen: es gibt Verschiedene Arten des Arrangierens unterschiedliche Objekte in eine Sequenz.[26] Faktorien erscheinen in vielen Formeln in vielerer Form in Kombinatorik, um verschiedene Bestellungen von Objekten zu berücksichtigen. Zum Beispiel die Binomialkoeffizienten zähle die -Element Kombinationen (Untergruppen von Elemente) von einem Set mit Elemente, und kann mit der Formel aus den Faktorien berechnet werden[27]

Das Stirling Zahlen der ersten Art Summe zu den Faktorien und zählen Sie die Permutationen von in Teilmengen mit der gleichen Anzahl von Zyklen gruppiert.[28] Eine weitere kombinatorische Anwendung ist die Zählung Störungen, Permutationen, die kein Element in seiner ursprünglichen Position belassen; die Anzahl der Störungen von Artikel ist die Nächste Ganzzahl zu .[29]

Im Algebra, die Faktorien ergeben sich durch die Binomialsatz, die Binomialkoeffizienten verwendet, um die Befugnisse von Summen zu erweitern.[30] Sie treten auch in den Koeffizienten auf Newtons Identität zum Symmetrische Polynome.[31] Ihre Verwendung bei der Zählung von Permutationen kann auch algebraisch angepasst werden: Die Faktorien sind die Aufträge von endlich Symmetrische Gruppen.[32] Im Infinitesimalrechnung, Faktorien auftreten in Faà di Brunos Formel Für die Verkettung höherer Derivate.[19] Im Mathematische Analyse, Faktorien erscheinen häufig in den Nennern von Power -Serievor allem in der Serie für die Exponentialfunktion,[14]

und in den Koeffizienten anderer Taylor -Serie (insbesondere die der der der trigonometrisch und Hyperbolische Funktionen), wo sie Faktoren von stornieren komm von der TH Derivat von .[33] Diese Verwendung von Faktororials in Power Series verbindet sich zurück mit Analytische Kombinatorik durch die Exponentialerzeugungsfunktionwas für a Kombinatorische Klasse mit Elemente von Größe ist definiert als die Power -Serie[34]

Im ZahlentheorieDie wichtigste Eigenschaft von Faktorien ist die Trennbarkeit von von allen positiven Ganzzahlen auf zu , genauer beschrieben für Hauptfaktoren von Legendres Formel. Daraus folgt, dass willkürlich groß Primzahlen kann als Hauptfaktoren der Zahlen gefunden werden, was zu einem Beweis von führt Euklids Satz dass die Anzahl der Primzahlen unendlich ist.[35] Wann ist selbst primär, es wird a genannt faktorielle Prime;[36] in Bezug auf Brocards Problem, auch posiert von Srinivasa Ramanujan, betrifft die Existenz von Quadratzahl der Form .[37] Im Gegensatz dazu die Zahlen Muss alle zusammengesetzt sein und beweisen die Existenz willkürlich großer Hauptlücken.[38] Ein Elementar Beweis von Bertrands Postulat über die Existenz eines Primes in jedem Intervall der bilden , eines der ersten Ergebnisse von Paul Erdős, basierte auf den Spaltbarkeitseigenschaften von Faktorien.[39][40] Das faktorielles Zahlensystem ist ein gemischter Radix Notation für Zahlen, in denen die Ortswerte jeder Ziffer Faktorien sind.[41]

Faktorien werden ausgiebig in verwendet Wahrscheinlichkeitstheoriezum Beispiel in der Poisson-Verteilung[42] und in den Wahrscheinlichkeiten von zufällige Permutationen.[43] Im Informatik, über das Erscheinen in der Analyse von Brute-Force-Suche Überdauerte,[44] Faktorien entstehen in der Untergrenze von über die Anzahl der Vergleiche, die erforderlich sind Vergleichsart eine Menge von Artikel,[45] und bei der Analyse von Ketten Hash -Tische, wobei die Verteilung der Schlüssel pro Zelle durch eine Poisson -Verteilung genau angenähert werden kann.[46] Darüber hinaus erscheinen Faktorien auf natürliche Weise in Formeln aus Quanten und Statistische Physik, wo man oft alle möglichen Permutationen einer Reihe von Partikeln betrachtet. Im Statistische Mechanik, Berechnungen von Entropie wie zum Beispiel Boltzmanns Entropieformel oder der Sackur -Tetrode -Gleichung muss die Anzahl von korrigieren Mikrostate Durch Teilen durch die Faktorien der Zahlen jeder Art von Teilen ununterscheidbarer Teilchen um das zu vermeiden Gibbs Paradox. Die Quantenphysik liefert den Grund dafür, warum diese Korrekturen erforderlich sind.[47]

Eigenschaften

Wachstum und Näherung

Vergleich des Fakultäts, Stirlings Annäherung und die einfachere Annäherung , Auf einer doppelt logarithmischen Skala
Relativer Fehler In einer verkürzten Stirling -Serie gegen Anzahl der Begriffe
Hauptartikel: Stirlings Annäherung

Als eine Funktion von , Das Fakultät hat schneller als exponentielles Wachstum, wächst aber langsamer als a Doppelte exponentielle Funktion.[48] Seine Wachstumsrate ist ähnlich zu , aber langsamer durch einen exponentiellen Faktor. Eine Möglichkeit, sich diesem Ergebnis zu nähern Natürlicher Logarithmus des Fakultäts, das seine Produktformel in eine Summe verwandelt und dann die Summe nach einem Integral schätzt:

Das Ergebnis exponentieren (und das vernachlässigbare Ignorieren Begriff) nähert sich wie .[49] Sorgfältiger die Summe sowohl oben als auch unten durch ein Integral mit dem verwenden Trapezregelzeigt, dass diese Schätzung einen Korrekturterm proportional benötigt zu . Die Konstante der Verhältnismäßigkeit für diese Korrektur ist aus der gefunden Wallis -Produkt, was ausdrückt als einschränkendes Verhältnis von Faktorien und Kräften von zwei. Das Ergebnis dieser Korrekturen ist Stirlings Annäherung:[50]
Hier die Symbol bedeutet das, als In unendlich Grenze. Die Formel von Stirling liefert den ersten Begriff in einem Asymptotische Serie Das wird noch genauer, wenn es zu einer größeren Anzahl von Begriffen geführt wird:[51]
Eine alternative Version verwendet nur ungerade Exponenten in den Korrekturbegriffen:[51]
Viele andere Variationen dieser Formeln wurden ebenfalls entwickelt, von Srinivasa Ramanujan, Bill Gosper, und andere.[51]

Das Binärer Logarithmus des Fakultäts, das zur Analyse verwendet wird Vergleichssortierung, kann unter Verwendung von Stirlings Annäherung sehr genau geschätzt werden. In der folgenden Formel die Begriff ruft an Big O Notation.[45]

Trennbarkeit und Ziffern

Hauptartikel: Legendres Formel

Die Produktformel für das Faktor impliziert das ist teilbar von allen Primzahlen das sind bei die meisten , und nach keinen größeren Primzahlen.[52] Genauere Informationen über seine Spaltbarkeit werden von gegeben Legendres Formel, was den Exponenten jeder Primzahl verleiht in der Primfaktorisierung von wie[53][54]

Hier bezeichnet die Summe der Base- Ziffern von , und der Exponent dieser Formel kann auch in fortgeschrittener Mathematik als die interpretiert werden p-Adische Bewertung der Fakultät.[54] Anwendung der Legendre -Formel auf die Produktformel für Binomialkoeffizienten produziert Kummers Theorem, ein ähnliches Ergebnis beim Exponenten jeder Primzahl bei der Faktorisierung eines Binomialkoeffizienten.[55]

Der Sonderfall der Formel von Legendre für gibt die Anzahl von Nachlaufnullen in der Dezimalrepräsentation der Faktorien.[56] Nach dieser Formel kann die Anzahl der Nullen durch Subtrahieren der Basis-5-Ziffern von erhalten werden aus und das Ergebnis durch vier aufteilt.[57] Die Formel von Legendre impliziert, dass der Exponent des Primes ist immer größer als der Exponent für , Jeder Faktor von fünf kann also mit einem Faktor von zwei gepaart werden, um eines dieser nachfolgenden Nullen zu erzeugen.[56] Die führenden Ziffern der Faktorien werden nach verteilt Benfords Gesetz.[58] Jede Sequenz von Ziffern in jeder Basis ist die Abfolge der Anfangsstellen einer faktoriellen Zahl in dieser Basis.[59]

Ein weiteres Ergebnis zur Spaltbarkeit von Faktorien, Wilsons Theorem, besagt, dass ist teilbar durch dann und nur dann, wenn ist ein Primzahl.[52] Für jeden gegebenen ganze Zahl , das Kempner -Funktion von wird vom kleinsten gegeben für welche teilt .[60] Für fast alle Zahlen (alle außer einer Teilmenge von Ausnahmen mit Asymptotische Dichte Null), es fällt mit dem größten Primfaktor zusammen von .[61]

Das Produkt von zwei Fakultäten, , immer gleichmäßig teilt .[62] Es gibt unendlich viele Faktorien, die dem Produkt anderer Faktorien entsprechen: wenn ist dann selbst ein Produkt von Faktorien entspricht dem gleichen Produkt multipliziert mit einem weiteren Faktor, . Die einzigen bekannten Beispiele für Faktorien, die Produkte anderer Faktorien sind, aber nicht von dieser "trivialen" Form sind , , und .[63] Es würde aus dem folgen ABC Vermutung dass es nur endlich viele nicht triviale Beispiele gibt.[64]

Das größter gemeinsamer Teiler der Werte von a primitives Polynom Grad über die Ganzzahlen gleichmäßig teilt sich gleichmäßig .[62]

Kontinuierliche Interpolation und Nichttegerverallgemeinerung

Die Gamma-Funktion (verändert eine Einheit, die zu den Faktorien entspricht) interpoliert kontinuierlich das Faktororial in Nichttegerwerte
Absolutwerte der komplexen Gamma-Funktion, die Pole bei nicht positiven Ganzzahlen zeigen
Hauptartikel: Gamma -Funktion

Es gibt unendlich viele Möglichkeiten, die Faktorien auf a zu erweitern kontinuierliche Funktion.[65] Die am häufigsten verwendete von diesen[66] verwendet die Gamma -Funktion, was für positive reelle Zahlen definiert werden kann als die Integral-

Die resultierende Funktion bezieht sich auf die Fakultät einer nicht negativen Ganzzahl durch die Gleichung
Dies kann als Definition des Fakultäts für Nichtteger-Argumente verwendet werden. Bei allen Werten Für beide und werden definiert, die Gamma -Funktion folgt der Funktionsgleichung
Verallgemeinerung der Rezidivbeziehung Für die Faktorien.[65]

Das gleiche Integral konvergiert allgemeiner für jeden komplexe Zahl deren wahrer Teil ist positiv. Es kann auf die Nichtteger-Punkte im Rest der ausgeweitet werden Komplexe Ebene Durch die Lösung von Euler's Reflexionsformel

Diese Formel kann jedoch nicht bei Ganzzahlen verwendet werden, weil für sie für sie die Begriff würde a erzeugen Durch Null teilen. Das Ergebnis dieses Erweiterungsprozesses ist ein analytische Funktion, das Analytische Fortsetzung der integralen Formel für die Gamma -Funktion. Es hat einen Wert ungleich Null in allen komplexen Zahlen, mit Ausnahme der nicht-positiven Ganzzahlen, in denen es hat einfache Stangen. Entsprechend bietet dies eine Definition für das Faktor für alle komplexen Zahlen als die negativen Ganzzahlen.[66] Eine Eigenschaft der Gamma -Funktion, die sie von anderen kontinuierlichen Interpolationen der Faktorien unterscheidet, wird von der gegeben Bohr -Mollerup -Theorem, was besagt, dass die Gamma -Funktion (durch eins ausgeglichen) die einzige ist Protokollkonvex Funktionen auf den positiven reellen Zahlen, die die Faktorien interpolieren und dieselbe funktionale Gleichung befolgen. Ein verwandter Einzigartigkeitstheorem von Helmut Wielandt gibt an, dass die komplexe Gamma -Funktion und ihre skalaren Vielfachen die einzige sind Holomorphe Funktionen auf der positiven komplexen Halbebene, die der funktionellen Gleichung befolgt und für komplexe Zahlen mit realem Teil zwischen 1 und 2 begrenzt bleibt.[67]

Andere komplexe Funktionen, die die faktoriellen Werte interpolieren Hadamards Gamma -Funktion, was ist ein gesamte Funktion über alle komplexen Zahlen, einschließlich der nicht positiven Ganzzahlen.[68][69] In dem p-Adische ZahlenEs ist nicht möglich, die faktorielle Funktion kontinuierlich direkt zu interpolieren p-Adics) konvergieren nach Legendre von Legendre auf Null und zwingen die kontinuierliche Funktion, die sich ihren Werten nahe kommt, überall Null. Stattdessen die p-Adische Gamma -Funktion Bietet eine kontinuierliche Interpolation einer modifizierten Form des Fakultät p.[70]

Das Digamma -Funktion ist der logarithmischer Derivat der Gamma -Funktion. So wie die Gamma -Funktion eine kontinuierliche Interpolation der Faktorien liefert, wird die Digamma -Funktion eine kontinuierliche Interpolation des Harmonische Zahlen, ausgeglichen durch die Euler -Mascheroni -Konstante.[71]

Berechnung

Ti SR-50a, ein Taschenrechner von 1975 mit einem faktoriellen Schlüssel (dritte Reihe, Mitte rechts)

Die faktorielle Funktion ist ein häufiges Merkmal in Wissenschaftliche Taschenrechner.[72] Es ist auch in wissenschaftlichen Programmierbibliotheken wie dem enthalten Python Mathematischer Funktionsmodul[73] und die Steigern Sie die C ++ - Bibliothek.[74] Wenn Effizienz kein Problem darstellt, ist das Computerfaktor trivial: Multiplizieren Sie nur eine variable initialisierte Variable zu von den Ganzzahlen auf zu . Die Einfachheit dieser Berechnung macht sie zu einem gemeinsamen Beispiel für die Verwendung verschiedener Computerprogrammierstile und -methoden.[75]

Die Berechnung von kann in ausgedrückt werden in Pseudocode Verwendung Wiederholung[76] wie

Fakultät definieren (n): f: = 1 für i: = 1, 2, 3, ...,, n: f: = f × i   Rückkehr f

oder verwenden Rekursion[77] basierend auf seiner Wiederauftretensbeziehung als

Fakultät definieren (n):   wenn n = 0 Return 1 Return Return n × Fakultät (n - 1)

Andere Methoden, die für die Berechnung geeignet sind Memoisierung,[78] Dynamische Programmierung,[79] und Funktionelle Programmierung.[80] Das Rechenkomplexität dieser Algorithmen können unter Verwendung des Einheitskostens analysiert werden Zufallszugriffsmaschine Berechnungsmodell, bei dem jeder arithmetische Betrieb eine konstante Zeit benötigt und jede Zahl eine konstante Menge an Speicherplatz verwendet. In diesem Modell können diese Methoden berechnen rechtzeitig , und die iterative Version verwendet Platz . Sofern nicht optimiert für SchwanzrekursionDie rekursive Version nimmt linearer Raum, um ihre zu speichern Rufen Sie Stack an.[81] Dieses Berechnungsmodell ist jedoch nur geeignet, wenn ist klein genug, um zuzulassen in a passen Maschinenwort.[82] Die Werte 12! und 20! sind die größten Faktorien, in denen jeweils die gespeichert werden können, die 32-Bit[83] und 64-Bit Ganzzahlen.[84] Schwimmender Punkt kann größere Faktorien darstellen, aber ungefähr genau und nicht genau, und überlauft immer noch für Faktorien, die größer als .[83]

Die genaue Berechnung größerer Faktorien beinhaltet willkürliche Präzisionsarithmetik, durch schnelles Wachstum und Ganzzahlüberlauf. Die Zeit der Berechnung kann als Funktion der Anzahl der Ziffern oder Bits im Ergebnis analysiert werden.[84] Durch Stirlings Formel, hat Bits.[85] Das Schönhage -Strassen -Algorithmus kann a produzieren -bisschen Produkt rechtzeitig , und schneller Multiplikationsalgorithmen Zeit nehmen sind bekannt.[86] Das Berechnen des Faktororials umfasst jedoch wiederholte Produkte und nicht mit einer einzigen Multiplikation, sodass diese Zeitgrenzen nicht direkt gelten. In dieser Einstellung Computing Durch Multiplizieren der Zahlen von 1 zu nacheinander ist ineffizient, weil es sich um handelt Multiplikationen, ein konstanter Teil der Zeit Zeit in Anspruch jeweils die Gesamtzeit geben . Ein besserer Ansatz ist die Durchführung der Multiplikationen als Divide-and-Conquer-Algorithmus das multipliziert eine Sequenz von Zahlen, indem es es in zwei Untersequenzen aufteilt Zahlen, multipliziert jede Subsequenz und kombiniert die Ergebnisse mit einer letzten Multiplikation. Dieser Ansatz für das Fakultät braucht die Gesamtzeit : Ein Logarithmus stammt aus der Anzahl der Bits im Faktor, eine Sekunde vom Multiplikationsalgorithmus, und ein Drittel stammt aus der Kluft und Eroberung.[87]

Noch eine bessere Effizienz wird durch Computer erhalten n! Aus seiner Primemagnessfaktorisierung, basierend auf dem Prinzip, dass Exponentiation durch Quadrat ist schneller als die Erweiterung eines Exponenten in ein Produkt.[85][88] Ein Algorithmus dafür von Arnold Schönhage Beginnt mit der Liste der Primes auf zu , zum Beispiel mit dem Sieb von Eratosthenesund verwendet die Formel von Legendre, um den Exponenten für jede Prime zu berechnen. Anschließend berechnet es das Produkt der Hauptkräfte mit diesen Exponenten unter Verwendung eines rekursiven Algorithmus wie folgt:

  • Verwenden Sie die Kluft und erobern Sie, um das Produkt der Primzahlen zu berechnen, deren Exponenten ungerade sind
  • Teilen Sie alle Exponenten um zwei (Abundung auf eine Ganzzahl), berüchtigte das Produkt der Hauptmächte mit diesen kleineren Exponenten rekursiv und quadratischen Sie das Ergebnis
  • Multiplizieren Sie die Ergebnisse der beiden vorherigen Schritte miteinander

Das Produkt aller Primzahlen bis zu ist ein -bitnummer, nach der Primzahl TheoremDie Zeit für den ersten Schritt ist also , mit einem Logarithmus aus der Kluft und Eroberung und einem anderen aus dem Multiplikationsalgorithmus. In den rekursiven Aufrufen des Algorithmus kann der Primzahl -Theorem erneut aufgerufen werden, um zu beweisen, dass die Anzahl der Bits in den entsprechenden Produkten bei jedem Rekursionsebene um einen konstanten Faktor abnimmt. fügt in a hinzu geometrische Reihe zu . Die Zeit für das Quadrat im zweiten Schritt und die Multiplikation im dritten Schritt sind wieder , Weil jeder eine einzige Multiplikation einer Zahl mit ist Bits. Auch bei jeder Rekursion haben die beteiligten Zahlen einen konstanten Bruch zu . Folglich nimmt der gesamte Algorithmus Zeit , proportional zu einer einzelnen Multiplikation mit der gleichen Anzahl von Bits in seinem Ergebnis.[88]

Verwandte Sequenzen und Funktionen

Hauptartikel: Liste der faktoriellen und binomialen Themen

Mehrere andere ganzzahlige Sequenzen ähneln den Faktorien oder in Bezug auf die Faktorien:

Wechselfaktor
Das Wechselfaktor ist der absolute Wert der Wechselsumme des ersten Faktorien, . Diese wurden hauptsächlich im Zusammenhang mit ihrer Primalität untersucht; Nur endlich viele von ihnen können primär sein, aber eine vollständige Liste von Primzahlen dieser Form ist nicht bekannt.[89]
Bhargava -Fakultät
Das Bhargava -Faktorien sind eine Familie von Ganzzahlsequenzen, die von definiert durch Manjul Bhargava mit ähnlichen zahlentheoretischen Eigenschaften wie die Faktorien, einschließlich der Faktorien selbst als Sonderfall.[62]
Doppelfaktor
Das Produkt all der seltsamen Ganzzahlen bis zu einem seltsamen positiven ganze Zahl wird genannt Doppelfaktor von , und bezeichnet von .[90] Das ist,
Zum Beispiel, 9 !! = 1 × 3 × 5 × 7 × 9 = 945. Doppelfaktorien werden in verwendet Trigonometrische Integrale,[91] in Ausdrücken für die Gamma -Funktion bei Halbintergiers und die Volumina von Hypersphären,[92] und zum Zählen Binärbäume und Perfekte Matchings.[90][93]
Exponentielle Fakultät
Genauso wie dreieckige Zahlen summieren die Zahlen aus zu , und Faktorien nehmen ihr Produkt an, die Exponentielle Fakultät Exponentate. Die exponentielle Fakultät von , bezeichnet wie , wird rekursiv definiert wie , mit dem Basisfall . Zum Beispiel,
Diese Zahlen wachsen viel schneller als normale Faktorien.[94]
Fallende Fakultät
Die Notationen oder werden manchmal verwendet, um das Produkt der darzustellen Ganzzahlen zählen bis und einschließlich , gleicht . Dies ist auch als als bekannt fallende Fakultät oder Rückwärtsfaktor und die Notation ist ein Pochhammer -Symbol.[95] Fallende Faktorien zählen die Anzahl der verschiedenen Sequenzen von unterschiedliche Gegenstände, die aus einem Universum von gezogen werden können Artikel.[96] Sie treten als Koeffizienten in der vor Höhere Derivate von Polynomen,[97] und in der faktorielle Momente von zufällige Variablen.[98]
Hyperfaktorials
Das Hyperfaktorial von ist das Produkt . Diese Zahlen bilden die Diskriminanten von Hermite Polynome.[99] Sie können kontinuierlich von der interpoliert werden K-Funktion,[100] und gehorchen Analoga zu Stirlings Formel[101] und Wilsons Theorem.[102]
Jordan -Pólya -Zahlen
Das Jordan -Pólya -Zahlen sind die Produkte von Faktorien, die Wiederholungen ermöglichen. Jeder Baum hat ein Symmetriegruppe deren Anzahl von Symmetrien ist eine Jordan -Pólya -Nummer, und jede Jordan -Pólya -Nummer zählt die Symmetrien eines Baumes.[103]
Primorial
Das Primorial ist das Produkt von Primzahlen weniger als oder gleich zu ; Diese Konstruktion gibt ihnen einige ähnliche Trennbarkeitseigenschaften wie Faktorien.[36] Aber im Gegensatz zu Faktorien sind sie Quadratfree.[104] Wie mit dem faktorielle Primzahlen , Forscher haben untersucht Primial Primes .[36]
Subfaktorial
Das Subfaktorial ergibt die Anzahl der Anzahl von Störungen von einem Satz von Objekte. Es wird manchmal bezeichnet und gleich die engste Ganzzahl zu .[29]
Superfaktorial
Das Superfaktorial von ist das Produkt des ersten Faktorien. Die Superfaktorials werden kontinuierlich von der interpoliert Barnes G-Funktion.[105]

Verweise

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