Extrapolation
Im Mathematik, Extrapolation ist eine Art von Art von Einschätzung, über den ursprünglichen Beobachtungsbereich hinaus den Wert einer Variablen auf der Grundlage ihrer Beziehung zu einer anderen Variablen. Das ist vergleichbar mit Interpolation, was Schätzungen zwischen bekannten Beobachtungen erzeugt, aber die Extrapolation ist größer. Unsicherheit und ein höheres Risiko, bedeutungslose Ergebnisse zu erzielen. Die Extrapolation kann auch eine Erweiterung einer Methode bedeuten, sofern ähnliche Methoden anwendbar sind. Die Extrapolation kann auch für den Menschen gelten Erfahrung Um bekannte Erfahrung in einem Gebiet zu projizieren, zu erweitern oder zu erweitern, nicht bekannt oder zuvor erlebt, um zu einem (normalerweise vermuteten) Wissen über das Unbekannte zu gelangen[1] (z. B. ein Fahrer extrapoliert die Straßenbedingungen außerhalb seiner Sichtweite während der Fahrt). Die Extrapolationsmethode kann in der angewendet werden Innenrekonstruktion Problem.

Methoden
Auf eine solide Wahl, auf die die Extrapolationsmethode angewendet werden soll a priori Wissen des Prozesses, der die vorhandenen Datenpunkte erstellt hat. Einige Experten haben die Verwendung von Kausalkräften bei der Bewertung von Extrapolationsmethoden vorgeschlagen.[2] Wichtige Fragen sind beispielsweise, wenn die Daten als kontinuierlich, glatt, möglicherweise periodisch usw. angenommen werden können.
Linear
Lineare Extrapolation bedeutet, am Ende der bekannten Daten eine Tangentenlinie zu erstellen und sie über diese Grenze hinaus zu erweitern. Die lineare Extrapolation liefert nur gute Ergebnisse, wenn die Grafik einer annähernd linearen Funktion erweitert wird oder nicht zu weit über die bekannten Daten hinausgeht.
Wenn die beiden Datenpunkte den Punkt am nächsten kommen extrapoliert werden sind und , lineare Extrapolation gibt die Funktion:
(was identisch ist mit lineare Interpolation wenn ). Es ist möglich, mehr als zwei Punkte einzubeziehen und die Steigung des linearen Interpolans zu gemittelt, von Regression-ähnliche Techniken, zu den ausgewählten Datenpunkten, die für einbezogen werden. Dies ist ähnlich wie lineare Vorhersage.
Polynom

Eine Polynomkurve kann durch die gesamten bekannten Daten oder gegen Ende (zwei Punkte für die lineare Extrapolation, drei Punkte für die quadratische Extrapolation usw.) erstellt werden. Die resultierende Kurve kann dann über das Ende der bekannten Daten hinaus erweitert werden. Die polynomiale Extrapolation erfolgt typischerweise mittels LaGrange Interpolation oder mit Newtons Methode von endliche Unterschiede a Newton -Serie Das passt zu den Daten. Das resultierende Polynom kann verwendet werden, um die Daten zu extrapolieren.
Polynome Extrapolation mit hoher Ordnung muss mit gebührender Sorgfalt verwendet werden. Für den Beispieldatensatz und das Problem in der obigen Abbildung liefert alles über die Reihenfolge 1 (lineare Extrapolation) möglicherweise unbrauchbare Werte. Eine Fehlerschätzung des extrapolierten Werts wächst mit dem Grad der Polynomextrapolation. Dies hängt mit Ranges Phänomen.
Konisch
A Kegelabschnitt kann mit fünf Punkten gegen Ende der bekannten Daten erstellt werden. Wenn der erstellte Kegelabschnitt ein ist Ellipse oder Kreis, wenn es extrapoliert ist, wird es zurückschlugen und sich selbst wieder anschließen. Ein extrapolierter Parabel oder Hyperbel Wird sich nicht wieder anschließen, sondern kann sich im Verhältnis zur X-Achse zurückkreuzen. Diese Art der Extrapolation kann mit einer Schablone der Kegelabschnitte (auf Papier) oder einem Computer erfolgen.
französische Kurve
französische Kurve Die Extrapolation ist eine Methode, die für jede Verteilung geeignet ist, die die Tendenz hat, exponentiell zu sein, jedoch durch Beschleunigung oder Verlauf von Faktoren.[3] Diese Methode wurde seit 1987 erfolgreich bei der Bereitstellung prognostizierter Prognosen des Wachstums von HIV/AIDS in Großbritannien und der Variante CJD in Großbritannien seit einigen Jahren angewendet. Eine andere Studie hat gezeigt, dass Extrapolation die gleiche Qualität der Prognoseergebnisse wie komplexere Prognosestrategien erzeugen kann.[4]
Geometrische Extrapolation mit Fehlervorhersage
Kann mit 3 Punkten einer Sequenz und dem "Moment" oder "Index" erstellt werden, hat diese Art der Extrapolation eine 100% ige Genauigkeit der Vorhersagen in einem großen Prozentsatz der bekannten Seriendatenbank (OEIS).[5]
Beispiel für die Extrapolation mit Fehlervorhersage:
Sequenz = [1,2,3,5]
f1 (x, y) = (x) / y
D1 = F1 (3,2)
D2 = F1 (5,3)
M = letzte Sequenz (5)
n = letzte $ letzte Sequenz
fnos (M, n, d1, d2) = rund (((n * d1) - m) + (m * d2))
Runde $ ((3*1,66) -5) + (5*1,6) = 8
Qualität
Typischerweise wird die Qualität einer bestimmten Extrapolationsmethode durch die Annahmen über die mit der Methode erstellte Funktion begrenzt. Wenn die Methode annimmt, dass die Daten reibungslos sind, dann ist ein Nichtsglatte Funktion wird schlecht extrapoliert sein.
In Bezug auf komplexe Zeitreihen haben einige Experten entdeckt, dass die Extrapolation genauer ist, wenn sie durch die Zersetzung von Kausalkräften durchgeführt werden.[6]
Selbst für ordnungsgemäße Annahmen über die Funktion kann die Extrapolation stark von der Funktion abweichen. Das klassische Beispiel wird abgeschnitten Power -Serie Darstellungen der Sünde (x) und die damit verbundenen trigonometrische Funktionen. Zum Beispiel nur Daten aus der Nähe des x= 0, wir können schätzen, dass sich die Funktion als Sünde verhält (x) ~x. In der Nachbarschaft von x= 0, dies ist eine hervorragende Schätzung. Weg von x= 0 Die Extrapolation bewegt sich jedoch willkürlich von der weg x-Axis während Sünde (x) bleibt in der Intervall [–1, 1]. D.h. der Fehler steigt ohne gebunden.
Mehr Begriffe in der Power -Serie der Sünde (x) um x= 0 wird eine bessere Übereinstimmung über ein größeres Intervall in der Nähe bringen x= 0, erzeugt aber Extrapolationen, die schließlich von der abweichen x-Axis sogar noch schneller als die lineare Annäherung.
Diese Divergenz ist eine spezifische Eigenschaft von Extrapolationsmethoden und wird nur umgangen, wenn die von der Extrapolationsmethode angenommenen funktionellen Formen (versehentlich oder absichtlich aufgrund zusätzlicher Informationen) die Art der extrapolierten Funktion genau darstellen. Bei bestimmten Problemen können diese zusätzlichen Informationen verfügbar sein, aber im allgemeinen Fall ist es jedoch unmöglich, alle möglichen Funktionsverhalten mit einem geeigneten kleinen Satz potenzieller Verhaltens zu erfüllen.
In der komplexen Ebene
Im Komplexe AnalyseEin Problem der Extrapolation kann in eine umgewandelt werden Interpolation Problem durch die Änderung der Variablen . Dies verwandelt den Teil des Komplexe Ebene im Inneren Einheitskreis mit dem Teil der komplexen Ebene außerhalb des Einheitskreises. Insbesondere die Kompaktifikation auf unendlich zeigen wird dem Ursprung zugeordnet und umgekehrt. Mit dieser Transformation muss jedoch vorsichtig sein, da die ursprüngliche Funktion beispielsweise möglicherweise "Funktionen" hatte Stangen und andere Singularitäten, in unendlich, die nicht aus den Stichprobendaten ersichtlich waren.
Ein weiteres Problem der Extrapolation hängt locker mit dem Problem des Problems zusammen Analytische Fortsetzung, wo (typisch) a Power -Serie Darstellung von a Funktion wird an einem seiner Punkte von erweitert Konvergenz zu produzieren a Power -Serie mit einem größeren Radius der Konvergenz. Tatsächlich wird ein Datensatz aus einem kleinen Bereich verwendet, um eine Funktion auf einen größeren Bereich zu extrapolieren.
Wieder, Analytische Fortsetzung kann durch vereitelt werden Funktion Merkmale, die sich nicht aus den Anfangsdaten erkennen.
Außerdem kann man verwenden Sequenztransformationen wie Padé -Annäherungen und Levin-Typ-Sequenztransformationen als Extrapolationsmethoden, die zu a führen Summe von Power -Serie das sind außerhalb des Originals unterschiedlich Radius der Konvergenz. In diesem Fall erhält man oftRationale Annäherungen.
Schnell
Die extrapolierten Daten übereinstimmen häufig einer Kernelfunktion. Nachdem die Daten extrapoliert sind, wird die Datengröße n -mal erhöht, hier ist N ungefähr 2–3. Wenn diese Daten einer bekannten Kernelfunktion verwickelt werden müssen, erhöhen sich die numerischen Berechnungen N. log (n) Zeiten sogar mit schneller Fourier -Transformation (FFT). Es gibt einen Algorithmus, der den Beitrag aus dem Teil der extrapolierten Daten analytisch berechnet. Die Berechnungszeit kann im Vergleich zur ursprünglichen Faltungsberechnung weggelassen werden. Daher werden mit diesem Algorithmus die Berechnungen einer Faltung unter Verwendung der extrapolierten Daten nahezu nicht erhöht. Dies wird als schnelle Extrapolation bezeichnet. Die schnelle Extrapolation wurde auf die CT -Bildrekonstruktion angewendet.[7]
Extrapolationsargumente
Extrapolationsargumente sind informelle und nicht quantifizierte Argumente, die behaupten, dass etwas wahrscheinlich über den Wertebereich hinausgeht, für den es als wahr bekannt ist. Zum Beispiel glauben wir an die Realität dessen, was wir durch Lupenbrillen sehen, weil sie mit dem übereinstimmt, was wir mit dem bloßen Auge sehen, sich aber darüber hinaus erstrecken. Wir glauben an das, was wir durch leichte Mikroskope sehen, weil es mit dem übereinstimmt, was wir durch die Vergrößerungsbrille sehen, sich aber darüber hinaus erstrecken. und ähnlich für Elektronenmikroskope. Solche Argumente werden in der Biologie bei der Extrapolation von Tierstudien auf Menschen und von Pilotstudien bis zu einer breiteren Bevölkerung häufig eingesetzt.[8]
Wie rutschiger Hang Argumente, Extrapolationsargumente können in Abhängigkeit von Faktoren stark oder schwach sein, wie weit die Extrapolation über den bekannten Bereich hinausgeht.[9]
Siehe auch
- Vorhersage
- Mindestpolynomextrapolation
- Multigrid -Methode
- Vorhersageintervall
- Regressionsanalyse
- Richardson Extrapolation
- Statische Analyse
- Trendschätzung
- Extrapolation domain analysis
- Tote Abrechnung
- Innenrekonstruktion
- Extremwerttheorie
Anmerkungen
- ^ Extrapolation, Eintritt bei Merriam-Webster
- ^ J. Scott Armstrong; Fred Collepy (1993). "Kausalkräfte: Wissen für die Extrapolation der Zeitreihen strukturieren". Journal of Prognosen. 12 (2): 103–115. Citeseerx 10.1.1.42.40. doi:10.1002/for.3980120205. S2CID 3233162. Abgerufen 2012-01-10.
- ^ Aidscjduk.info Hauptindex
- ^ J. Scott Armstrong (1984). "Prognose durch Extrapolation: Schlussfolgerungen aus fünfundzwanzig Jahren Forschung". Schnittstellen. 14 (6): 52–66. Citeseerx 10.1.1.715.6481. doi:10.1287/ide.14.6.52. S2CID 5805521. Abgerufen 2012-01-10.
- ^ V. NOS (2021). "Geometrische Extrapolation von ganzzahligen Sequenzen".
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(Hilfe) - ^ J. Scott Armstrong; Fred -Kollepie; J. Thomas Yokum (2004). "Zersetzung durch Kausalkräfte: Ein Verfahren zur Vorhersage komplexer Zeitreihen" (PDF).
- ^ Shuangren Zhao; Kang Yang; Xintie Yang (2011). "Rekonstruktion aus verkürzten Projektionen unter Verwendung gemischter Extrapolationen exponentieller und quadratischer Funktionen" (PDF). Journal of X-Ray Science and Technology. 19 (2): 155–72. doi:10.3233/XST-2011-0284. PMID 21606580. Archiviert von das Original (PDF) Am 2017-09-29. Abgerufen 2014-06-03.
- ^ Steel, Daniel (2007). Über die Grenzen hinweg: Extrapolation in Biologie und Sozialwissenschaft. Oxford: Oxford University Press. ISBN 9780195331448.
- ^ Franklin, James (2013). "Argumente, deren Stärke von kontinuierlicher Variation abhängt". Zeitschrift für informelle Logik. 33 (1): 33–56. doi:10.22329/il.v33i1.3610. Abgerufen 29. Juni 2021.
Verweise
- Extrapolationsmethoden. Theorie und Praxis von C. brezinski und M. REDIVO ZAGLIA, North-Holland, 1991.
- Avram Sidi: "Praktische Extrapolationsmethoden: Theorie und Anwendungen", Cambridge University Press, ISBN 0-521-66159-5 (2003).
- Claude Brezinski und Michela Redivo-Zaglia: "Extrapolation und rationale Näherung", Springer Nature, Schweiz, ISBN 9783030584177, (2020).