Exponentielles Wachstum

Die Grafik zeigt, wie exponentielles Wachstum (grün) sowohl lineares (rotes) als auch kubisches (blaues) Wachstum übertrifft.

Kubikwachstum

Lineares Wachstum

Exponentielles Wachstum ist ein Prozess, der die Menge im Laufe der Zeit erhöht. Es tritt auf, wenn der augenblickliche Änderungsrate (Das heißt, das Derivat) einer Menge in Bezug auf die Zeit ist proportional zur Menge selbst. Beschrieben als a Funktion, eine Menge, die sich exponentiellem Wachstum unterzieht, ist ein Exponentialfunktion der Zeit, dh die Variable, die die Zeit darstellt quadratisches Wachstum).

Wenn die Konstante der Verhältnismäßigkeit negativ ist, nimmt die Menge im Laufe der Zeit ab und soll unterzogen werden exponentiellen Abfall stattdessen. Im Falle eines diskreten Domain von Definition mit gleichen Intervallen wird es auch genannt geometrisches Wachstum oder Geometrischer Zerfall Da die Funktionswerte bilden a Geometrischer Fortschritt.

Die Formel für das exponentielle Wachstum einer Variablen $x$ zur Wachstumsrate $r$ als Zeit $t$ In diskreten Intervallen (dh zu ganzzahligen Zeiten 0, 1, 2, 3, ...), ist IS, ist

{\ displaystyle x_ {t} = x_ {0} (1+r)^{t}}

wo $x 0$ ist der Wert von $x$ zum Zeitpunkt 0. das Wachstum von a bakteriell Kolonie wird oft verwendet, um es zu veranschaulichen. Ein Bakterium teilt sich in zwei, von denen sich jeweils vier, dann acht, 16, 32 und so weiter aufteilt. Die Menge an Erhöhung steigt immer wieder, da sie proportional zur ständig steigenden Anzahl von Bakterien ist. Wachstum wie dieses wird bei realer Aktivität oder Phänomen Zinseszinsund die Verbreitung von Virale Videos. In realen Fällen hält das anfängliche exponentielle Wachstum häufig nicht ewig, sondern verlangsamt sich schließlich aufgrund der oberen Grenzen, die durch externe Faktoren verursacht werden und sich in sie verwandeln Logistisches Wachstum.

Begriffe wie "exponentielles Wachstum" werden manchmal fälschlicherweise als "schnelles Wachstum" interpretiert. In der Tat kann etwas, das exponentiell wächst, zunächst langsam wachsen.^[1]^[2]

Beispiele

Bakterien zeigen ein exponentielles Wachstum unter optimalen Bedingungen.

Biologie

Die Anzahl der Mikroorganismen in einem Kultur Erhöht sich exponentiell, bis ein essentieller Nährstoff erschöpft ist, sodass kein Nährstoff mehr für mehr Organismen wächst. Typischerweise der erste Organismus Spaltungen in zwei Tochterorganismen, die sich dann jeweils auf vier aufgeteilt haben, die sich auf acht aufgeteilt haben, und so weiter. Da das exponentielle Wachstum eine konstante Wachstumsrate anzeigt, wird häufig angenommen, dass exponentiell wachsende Zellen im stationären Zustand sind. Zellen können jedoch exponentiell mit konstanter Geschwindigkeit wachsen und gleichzeitig ihren Stoffwechsel und ihre Genexpression umgestalten.^[3]
Ein Virus (zum Beispiel COVID-19, oder Pocken) verbreitet sich normalerweise zunächst exponentiell, wenn kein künstlicher Immunisierung ist verfügbar. Jede infizierte Person kann mehrere neue Personen infizieren.

Physik

Avalanche -Zusammenbruch innerhalb eines Dielektrikum Material. Eine kostenlose Elektron wird durch eine extern angewandte extern beschleunigt elektrisches Feld dass es zusätzliche Elektronen freigibt, wenn es zusammen kollidiert Atome oder Moleküle der dielektrischen Medien. Diese sekundär Elektronen werden auch beschleunigt, wodurch eine größere Anzahl freier Elektronen erzeugt wird. Das resultierende exponentielle Wachstum von Elektronen und Ionen kann schnell zu vollständiger führen dielektrischer Zusammenbruch des Materials.
Kernkettenreaktion (das Konzept dahinter Kernreaktoren und Atomwaffen). Jeder Uran Kern das unterzogen Fission produziert mehrere Neutronen, jeder davon kann sein absorbiert durch benachbarte Uranatome, was dazu führt, dass sie sich wiederum spalten. Wenn die Wahrscheinlichkeit von Neutronenabsorption übersteigt die Wahrscheinlichkeit einer Neutronen -Flucht (a) Funktion des Form und Masse des Urans) nimmt die Produktionsrate von Neutronen und induzierten Uranfitionen in einer unkontrollierten Reaktion exponentiell zu. "Aufgrund der exponentiellen Erhöhungsrate werden zu jedem Zeitpunkt in der Kettenreaktion 99% der Energie in den letzten 4,6 Generationen freigesetzt. Es ist eine vernünftige Annäherung, die ersten 53 Generationen als Latenzzeit vorüber zu betrachten Die tatsächliche Explosion, die nur 3–4 Generationen dauert. "^[4]
Positives Feedback innerhalb des linearen Bereichs von elektrisch oder elektroakustisch Verstärkung kann zum exponentiellen Wachstum des amplifizierten Signals führen, obwohl jedoch Resonanz Effekte können einige Komponentenfrequenzen des Signals gegenüber anderen bevorzugen.

Wirtschaft

Wirtschaftswachstum wird prozentual ausdrückt, was ein exponentielles Wachstum impliziert.

Finanzen

Zinseszins Bei einem konstanten Zinssatz liefert das exponentielle Wachstum des Kapitals.^[5] Siehe auch Regel von 72.
Pyramidenschemata oder Ponzi -Schemata Zeigen Sie auch diese Art von Wachstum, was zu hohen Gewinnen für einige anfängliche Anleger und Verluste bei einer großen Anzahl von Investoren führt.

Informatik

Verarbeitungsleistung von Computern. Siehe auch Moores Gesetz und Technologische Singularität. (Unter exponentiellem Wachstum gibt es keine Singularitäten. Die Singularität ist hier eine Metapher, die eine unvorstellbare Zukunft vermitteln soll. Der Zusammenhang dieses hypothetischen Konzepts mit exponentiell Ray Kurzweil.))
Im Computerkomplexitätstheorie, Computeralgorithmen der exponentiellen Komplexität erfordern eine exponentiell erhöhte Menge an Ressourcen (z. B. Zeit, Computerspeicher) für nur eine konstante Erhöhung der Problemgröße. Also für einen Algorithmus der Zeitkomplexität $2 x$ , wenn ein Problem der Größe $x = 10$ erfordert 10 Sekunden und ein Problem der Größe $x = 11$ erfordert 20 Sekunden, dann ein Problem der Größe $x = 12$ wird 40 Sekunden benötigen. Diese Art von Algorithmus wird bei sehr kleinen Problemgrößen typischerweise unbrauchbar, häufig zwischen 30 und 100 Elementen (die meisten Computeralgorithmen müssen in der Lage sein, viel größere Probleme zu lösen, bis zu Zehntausenden oder sogar Millionen von Gegenständen in angemessenen Zeiten, etwas, das würde mit einem exponentiellen Algorithmus physisch unmöglich sein. Auch die Auswirkungen von Moores Gesetz Helfen Sie der Situation nicht viel, denn die Verdoppelung der Prozessorgeschwindigkeit ermöglicht es Ihnen lediglich, die Problemgröße um eine Konstante zu erhöhen. Z.B. Wenn ein langsamer Prozessor Probleme der Größe lösen kann $x$ rechtzeitig $t$ , dann konnte ein Prozessor doppelt so schnell Probleme mit der Größe lösen $x + konstant$ in der gleichen Zeit $t$ . Exponentiell komplexe Algorithmen sind am häufigsten unpraktisch, und die Suche nach effizienteren Algorithmen ist heute eines der zentralen Ziele der Informatik heute.

Internetphänomene

Internetinhalte, wie z. Internetmemes oder Videos, kann exponentiell ausbreiten, oft gesagt "viral werden"Als Analogie zur Verbreitung von Viren.^[6] Mit Medien wie z. soziale NetzwerkeEine Person kann den gleichen Inhalt gleichzeitig an viele Menschen weiterleiten, die es dann an noch mehr Menschen verbreiten, und so weiter, was zu einer schnellen Verbreitung führt.^[7] Zum Beispiel das Video Gangnam Style wurde hochgeladen zu Youtube Am 15. Juli 2012 erreichte am ersten Tag Hunderttausende von Zuschauern, Millionen am 20. Tag und wurden in weniger als zwei Monaten von Hunderten von Millionen in weniger als zwei Monaten kumulativ betrachtet.^[6]^[8]

Grundformel

exponentielles Wachstum:

oder

exponentielles Wachstum:

oder

Eine Menge $x$ hängt exponentiell pünktlich ab $t$ wenn

{\ displayStyle x (t) = a \ cdot b^{t/\ tau}}

wo die Konstante

a

ist der Anfangswert von

x

,

{\ displayStyle x (0) = a \ ,,}

die Konstante

b

ist ein positiver Wachstumsfaktor und

τ

ist der Zeitkonstante- Die Zeit für erforderlich für

x

um einen Faktor von zu erhöhen

b

:

oder \ frac {\ tau} {\ tau}} = x (t) \ cdot b \ ,.}

Wenn $τ > 0$ und $b > 1$ , dann $x$ hat exponentielles Wachstum. Wenn $τ < 0$ und $b > 1$ , oder $τ > 0$ und $0 << b < 1$ , dann $x$ hat exponentiellen Abfall.

Beispiel: Wenn sich eine Art von Bakterien alle zehn Minuten verdoppelt, beginnend mit nur einem Bakterium, wie viele Bakterien wäre nach einer Stunde vorhanden? Die Frage impliziert $a = 1$ , $b = 2$ und $τ = 10 min$ .

{\ displaystyle x (t) = a \ cdot b^{t/\ tau} = 1 \ cdot 2^{t/(10 {\ text {min}})}}

oder 6} = 64.}

Nach einer Stunde oder sechs zehnminütigen Intervallen würde es vierundsechzig Bakterien geben.

Viele Paare $(b, τ)$ von a dimensionlos Nicht negative Zahl $b$ und eine Menge Zeit $τ$ (a physikalische Größe die als Produkt einer Reihe von Einheiten und einer Zeiteinheit ausgedrückt werden können) die gleiche Wachstumsrate mit $τ$ proportional zu $Protokoll b$ . Für alle festen $b$ nicht gleich 1 (z. e oder 2) die Wachstumsrate wird durch die Zeit ungleich Null angegeben $τ$ . Für jede Zeit ungleich Null $τ$ Die Wachstumsrate wird durch die dimensionslose positive Zahl angegeben $b$ .

Somit kann das Gesetz des exponentiellen Wachstums in unterschiedlichen, aber mathematisch äquivalenten Formen geschrieben werden, indem ein anderer verwendet wird Base. Die häufigsten Formen sind die folgenden:

oder {0} \ cdot \ links (1+{\ frac {r} {100}} \ rechts)^{t/p},},},}

wo

x 0

drückt die Anfangsmenge aus

x (0)

.

Parameter (negativ im Fall eines exponentiellen Zerfalls):

Das Wachstumskonstante $k$ ist der Frequenz (Anzahl der Zeiten pro Zeiteinheit) des Wachstums um einen Faktor $e$ ; im Finanzwesen wird es auch als logarithmische Rückkehr bezeichnet, kontinuierlich verschärfte Rückkehr, oder Interessenkraft.
Das E-Faltungszeit τ ist die Zeit, die es braucht, um um einen Faktor zu wachsen e.
Das Verdopplungszeit T ist die Zeit, die es braucht, um sich zu verdoppeln.
Der prozentuale Anstieg $r$ (eine dimensionslose Zahl) in einem Zeitraum $p$ .

Die Mengen $k$ , $τ$ , und $T$ und für eine gegebene $p$ Auch $r$ , haben Sie eine Eins-zu-Eins-Verbindung, die durch die folgende Gleichung angegeben ist (die abgeleitet werden kann, indem der natürliche Logarithmus des oben genannten genommen wird):

{\ displayStyle k = {\ frac {1} {\ tau}} = {\ frac {\ ln 2} {t} {{\ frac {\ ln \ links (1+{\ frac {r {r {r {100} } \ rechts)} {p}}}

wo

k = 0

entspricht

r = 0

und zu

τ

und

T

unendlich sein.

Wenn $p$ ist die Zeiteinheit der Quotient $t / p$ ist einfach die Anzahl der Zeiteinheiten. Verwenden der Notation $t$ für die (dimensionlose) Anzahl von Zeiteinheiten und nicht die Zeit selbst, $t / p$ kann durch ersetzt werden durch $t$ , aber für die Gleichmäßigkeit wurde dies hier vermieden. In diesem Fall die Aufteilung von $p$ In der letzten Formel ist auch keine numerische Teilung, sondern konvertiert eine dimensionslose Zahl in die richtige Menge einschließlich Einheit.

Eine beliebte approximierte Methode zur Berechnung der Verdoppelungszeit aus der Wachstumsrate ist die Regel von 70, das ist, ${\ displayStyle t \ simenq 70/r}$ .

Grafiken, in denen Verdoppelungszeiten und ein halbes Leben exponentieller Wachstum (fetthaltige Linien) und Zerfall (schwache Linien) und deren 70/ verglichen werdent und 72/t Annäherungen. Schweben Sie in der SVG -Version über ein Diagramm, um sie und deren Komplement hervorzuheben.

Umformulierung als logarithmisch lineares Wachstum

Wenn eine Variable $x$ zeigt ein exponentielles Wachstum nach ${\ displayStyle x (t) = x_ {0} (1+r)^{t}}$ , dann das Protokoll (zu jeder Basis) von $x$ wächst linear im Laufe der Zeit, wie es durch die Einnahme gesehen werden kann Logarithmen von beiden Seiten der exponentiellen Wachstumsgleichung:

{\ displayStyle \ log x (t) = \ log x_ {0}+t \ cdot \ log (1+r).}.}.}.

Dies ermöglicht eine exponentiell wachsende Variable mit a logarithmisch lineares Modell. Wenn man beispielsweise die Wachstumsrate von intertemporalen Daten auf empirisch schätzen möchte $x$ , man kann linear zurück $Protokoll x$ an $t$ .

Differentialgleichung

Das Exponentialfunktion ${\ displayStyle x (t) = x_ {0} e^{kt}}$ erfüllt das Lineare Differentialgleichung:

{\ displaystyle {\ frac {dx} {dt}} = kx}

sagen, dass die Änderung pro Zeitpunkt der Zeit von

x

zum Zeitpunkt

t

ist proportional zum Wert von

x (t)

, und

x (t)

hat die Ursprünglicher Wert

{\ displayStyle x (0) = x_ {0}}

.

Die Differentialgleichung wird durch direkte Integration gelöst:

oder _ {x_ {0}}^{x (t)} {\ frac {dx} {x}} & = k \ int _ {0}^{t} \, dt \\ [5pt] \ ln {\ frac {x (t)} {x_ {0}}} & = kt. \ end {aligned}}}

so dass

{\ displayStyle x (t) = x_ {0} e^{kt}.}

In der obigen Differentialgleichung, wenn $k < 0$ dann erlebt die Menge exponentiellen Abfall.

Für ein nichtlinear Variation dieses Wachstumsmodells siehe Logistische Funktion.

Andere Wachstumsraten

Auf lange Sicht überholt das exponentielle Wachstum jeglicher Art lineares Wachstum jeglicher Art (das ist die Grundlage der Malthusianische Katastrophe) sowie alle alle Polynom Wachstum, das heißt für alle $α$ :

oder

Es gibt eine ganze Hierarchie der denkbaren Wachstumsraten, die langsamer als exponentiell und schneller als linear sind (auf lange Sicht). Sehen Grad eines Polynoms, der aus den Funktionswerten berechnet wurde.

Wachstumsraten können auch schneller als exponentiell sein. Im extremsten Fall heißt es, wenn das Wachstum ohne begrenzte Zeit zunimmt, so heißt es hyperbolisches Wachstum. Zwischen exponentiellem und hyperbolischem Wachstum liegen mehr Klassen des Wachstumsverhaltens, wie die Hyperoperationen beginnend bei Tetation, und ${\ displayStyle a (n, n)}$ die Diagonale der Ackermann -Funktion.

Logistisches Wachstum

Das j-förmige exponentielle Wachstum (links, blau) und das S-förmige logistische Wachstum (rechts, rot).

In Wirklichkeit wird das anfängliche exponentielle Wachstum oft nicht für immer aufrechterhalten. Nach einiger Zeit wird es durch externe oder Umweltfaktoren verlangsamt. Beispielsweise kann das Bevölkerungswachstum aufgrund von Ressourcenbeschränkungen eine Obergrenze erreichen.^[9] 1845 der belgische Mathematiker Pierre François Verhulst Vorgeschlagen vorschlug ein mathematisches Wachstumsmodell wie dieses, genannt ""Logistisches Wachstum".^[10]

Einschränkungen von Modellen

Exponentielle Wachstumsmodelle physikalischer Phänomene gelten nur in begrenzten Regionen, da das unbegrenzte Wachstum nicht physisch realistisch ist. Obwohl das Wachstum anfangs exponentiell sein kann, werden die modellierten Phänomene schließlich in eine Region eintreten, in der zuvor ignoriert wurde Negative Rückmeldung Faktoren werden signifikant (führen zu a Logistisches Wachstum Modell) oder andere zugrunde liegende Annahmen des exponentiellen Wachstumsmodells, wie Kontinuität oder momentanes Feedback, brechen zusammen.

Exponentielle Wachstumsverzerrung

Studien zeigen, dass Menschen Schwierigkeiten haben, das exponentielle Wachstum zu verstehen. Exponentielle Wachstumsverzerrung ist die Tendenz, zusammengesetzte Wachstumsprozesse zu unterschätzen. Diese Voreingenommenheit kann auch finanzielle Auswirkungen haben.^[11]

Im Folgenden finden Sie einige Geschichten, die diese Tendenz betonen.

Reis auf einem Schachbrett

Nach einer alten Legende präsentierte Vizier Sissa Ben Dahir einen indischen König Sharim mit einem schönen handgefertigten Schachbrett. Der König fragte, was er als Gegenleistung für sein Geschenk wünsche, und der Höfling überraschte den König, indem er nach einem Reiskorn auf dem ersten Platz, zwei Körner auf dem zweiten, vier Körner am dritten usw. fragte. Der König stimmte bereitwillig zu und fragte für den Reis zu bringen. Alles lief zuerst gut, aber die Anforderung an $2 n -1$ Körner auf der $n$ Der Platz forderte über eine Million Körner auf dem 21. Platz, mehr als eine Million Million (a.k.a. Billion) auf dem 41. und es gab einfach nicht genug Reis auf der ganzen Welt für die letzten Quadrate. (Aus Swirski, 2006)^[12]

Das zweite Hälfte des Schachbretts ist die Zeit, in der ein exponentiell wachsender Einfluss erhebliche wirtschaftliche Auswirkungen auf die Geschäftsstrategie eines Unternehmens hat.

Seerose

Französischen Kindern werden ein Rätsel angeboten, was ein Aspekt des exponentiellen Wachstums zu sein scheint: "Die offensichtliche Plötzlichkeit, mit der eine exponentiell wachsende Menge einer festen Grenze nähert". Das Rätsel stellt sich eine Wasserliliepflanze vor, die in einem Teich wächst. Die Pflanze verdoppelt sich jeden Tag und wenn sie in Ruhe gelassen wird, würde sie den Teich in 30 Tagen ersticken und alle anderen Lebewesen im Wasser töten. Tag für Tag ist das Wachstum der Pflanze gering, daher wird beschlossen, dass es erst dann ein Problem sein wird, wenn sie die Hälfte des Teiches abdeckt. Welcher Tag wird das sein? Der 29. Tag, der nur einen Tag ließ, um den Teich zu retten.^[13]^[12]

Siehe auch

Verweise

^ Suri, Manil (4. März 2019). "Meinungen | Hör auf 'exponentiell' zu sagen. Mit freundlichen Grüßen ein Mathematik -Nerd " - via nytimes.com.
^ "10 wissenschaftliche Wörter, die Sie wahrscheinlich falsch verwenden". Wie Dinge funktionieren. 11. Juli 2014.
^ Slavov, Nikolai; Budnik, Bogdan A.; Schwab, David; Airoldi, Edoardo M.; Van Oudenaarden, Alexander (2014). "Die konstante Wachstumsrate kann durch Verringerung des Energieflusses und die Erhöhung der aeroben Glykolyse unterstützt werden". Zellberichte. 7 (3): 705–714. doi:10.1016/j.celrep.2014.03.057. ISSN 2211-1247. PMC 4049626. PMID 24767987.
^ Sublette, Carey. "Einführung in die Physik und das Design der Atomwaffe". Atomwaffenarchiv. Abgerufen 2009-05-26.
^ Crauder, Evans & Noell 2008, S. 314–315.
^ ^a ^b Ariel Cintrón-Arias (2014). "Viral werden". Arxiv:1402.3499 [Physik.Soc-Ph].
^ Karine Nahon; Jeff Hemsley (2013). Viral gehen. Gemeinwesen. p. 16. ISBN 978-0-7456-7129-1.
^ YouTube (2012). "Gangnam Style vs nenn mich vielleicht: Ein Popularitätsvergleich". YouTube -Trends.
^ Crauder, Bruce; Evans, Benny; Noell, Alan (2008). Funktionen und Veränderungen: Ein Modellierungsansatz für die College -Algebra. Houghton Mifflin Harcourt. p. 398. ISBN 978-1-111-78502-4.
^ Bernstein, Ruth (2003). Bevölkerungsökologie: Eine Einführung in Computersimulationen. John Wiley & Sons. p. 37. ISBN 978-0-470-85148-7.
^ Stango, Victor; Zinman, Jonathan (2009). "Exponentielle Wachstumsverzerrung und Haushaltsfinanzierung". Das Journal of Finance. 64 (6): 2807–2849. doi:10.1111/j.1540-6261.2009.01518.x.
^ ^a ^b Porritt, Jonathan (2005). Kapitalismus: Als ob die Welt wichtig ist. London: Earthscan. p. 49. ISBN 1-84407-192-8.
^ Meadows, Donella (2004). Die Grenzen des Wachstums: Das 30-jährige Update. Chelsea Green Publishing. p. 21. ISBN 9781603581554.

Quellen

Wiesen, Donella. Randers, Jorgen. Wiesen, Dennis. Die Grenzen des Wachstums: Das 30-jährige Update. Chelsea Green Publishing, 2004. ISBN9781603581554
Meadows, Donella H., Dennis L. Meadows, Jørgen Randers und William W. Behrens III. (1972) Die Grenzen des Wachstums. New York: Universitätsbücher. ISBN0-87663-165-0
Porritt, J. Kapitalismus, als ob die Welt wichtig ist, Earthscan 2005. ISBN1-84407-192-8
Swirski, Peter. Von Literatur und Wissen: Erkundungen in narrativen Gedankenexperimenten, Evolution und Spieltheorie. New York: Routledge. ISBN0-415-42060-1
Thomson, David G. Blaupause auf eine Milliarde: 7 Essentials, um ein exponentielles Wachstum zu erzielen, Wiley Dezember 2005, ISBN0-471-74747-5
Tsirel, S. V. 2004. Zu den möglichen Gründen für das überdurchschnittliche Wachstum der Erdbevölkerung. Mathematische Modellierung der sozialen und wirtschaftlichen Dynamik / Ed.Von M. G. Dmitriev und A. P. Petrov, S. 367–9.Moskau: Russische staatliche Social University, 2004.

Externe Links

Wachstum in einer endlichen Welt - Nachhaltigkeit und die exponentielle Funktion - Präsentation
Dr. Albert Bartlett: Arithmetik, Bevölkerung und Energie - Streaming Video und Audio 58 min

[1] Suri, Manil (4. März 2019). "Meinungen | Hör auf 'exponentiell' zu sagen. Mit freundlichen Grüßen ein Mathematik -Nerd " - via nytimes.com.

[2] "10 wissenschaftliche Wörter, die Sie wahrscheinlich falsch verwenden". Wie Dinge funktionieren. 11. Juli 2014.

[SlavovBudnik2014-3] Slavov, Nikolai; Budnik, Bogdan A.; Schwab, David; Airoldi, Edoardo M.; Van Oudenaarden, Alexander (2014). "Die konstante Wachstumsrate kann durch Verringerung des Energieflusses und die Erhöhung der aeroben Glykolyse unterstützt werden". Zellberichte. 7 (3): 705–714. doi:10.1016/j.celrep.2014.03.057. ISSN 2211-1247. PMC 4049626. PMID 24767987.

[4] Sublette, Carey. "Einführung in die Physik und das Design der Atomwaffe". Atomwaffenarchiv. Abgerufen 2009-05-26.

[FOOTNOTECrauderEvansNoell2008314–315-5] Crauder, Evans & Noell 2008, S. 314–315.

[aca-6] Ariel Cintrón-Arias (2014). "Viral werden". Arxiv:1402.3499 [Physik.Soc-Ph].

[7] Karine Nahon; Jeff Hemsley (2013). Viral gehen. Gemeinwesen. p. 16. ISBN 978-0-7456-7129-1.

[8] YouTube (2012). "Gangnam Style vs nenn mich vielleicht: Ein Popularitätsvergleich". YouTube -Trends.

[9] Crauder, Bruce; Evans, Benny; Noell, Alan (2008). Funktionen und Veränderungen: Ein Modellierungsansatz für die College -Algebra. Houghton Mifflin Harcourt. p. 398. ISBN 978-1-111-78502-4.

[10] Bernstein, Ruth (2003). Bevölkerungsökologie: Eine Einführung in Computersimulationen. John Wiley & Sons. p. 37. ISBN 978-0-470-85148-7.

[11] Stango, Victor; Zinman, Jonathan (2009). "Exponentielle Wachstumsverzerrung und Haushaltsfinanzierung". Das Journal of Finance. 64 (6): 2807–2849. doi:10.1111/j.1540-6261.2009.01518.x.

[Porritt-2005-12] Porritt, Jonathan (2005). Kapitalismus: Als ob die Welt wichtig ist. London: Earthscan. p. 49. ISBN 1-84407-192-8.

[Meadows-2004-13] Meadows, Donella (2004). Die Grenzen des Wachstums: Das 30-jährige Update. Chelsea Green Publishing. p. 21. ISBN 9781603581554.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

Hyperoperationen
Primär	Nachfolger (0) Addition (1) Multiplikation (2) Exponentiation (3) Tetation (4) Pentation (5)
Umgekehrt für links. Argument	Vorgänger (0) Subtraktion (1) Abteilung (2) Wurzelextraktion (3) Super-Root (4)
Umgekehrt für das richtige Argument	Vorgänger (0) Subtraktion (1) Abteilung (2) Logarithmus (3) Super-Logarithmus (4)
In Verbindung stehende Artikel	Ackermann -Funktion CONWAY Chained Arrow Notation Grzegorczyk Hierarchie Knuths Up-Arrow-Notation Steinhaus -Moser -Notation