Expander -Diagramm

Im Graphentheorie, ein Expander -Diagramm ist ein spärliche Grafik Das hat stark Konnektivität Eigenschaften, quantifiziert mit Scheitel, Kante oder spektral Erweiterung. Expander -Konstruktionen haben Forschung in reiner und angewandter Mathematik mit mehreren Anwendungen an erstellt Komplexitätstheorie, Design von robust Computernetzwerkeund die Theorie von Fehlerkorrigierende Codes.[1]

Definitionen

Intuitiv ist ein Expander -Diagramm eine endliche, ungerichtete Multigraph in der jede Teilmenge der Eckpunkte, die nicht "zu groß" ist, eine "große" hat Grenze. Unterschiedliche Formalisierungen dieser Begriffe führen zu unterschiedlichen Vorstellungen von Expandern: Kantenhänger, Scheitelpunktexpassungen, und Spektraler Erweiterungen, Wie unten definiert.

Eine getrennte Grafik ist kein Expander, da die Grenze von a verbundene Komponente ist leer. Jedes verbundene Diagramm ist ein Expander; Verschiedene verbundene Graphen weisen jedoch unterschiedliche Expansionsparameter auf. Das Komplette Graph hat die beste Erweiterungseigenschaft, hat aber größtmögliche Abschluss. Informell ist eine Grafik ein guter Expander, wenn es niedrig ist Grad und hohe Expansionsparameter.

Kantenausdehnung

Das Kantenausdehnung (Auch isoperimetrische Nummer oder Cheeeger konstant) h(G) einer Grafik G an n Scheitelpunkte sind definiert als

wo

was auch als geschrieben werden kann als S = E(S, S) mit S: = V(G) \ S die Ergänzung von S und

die Kanten zwischen den Untergruppen von Scheitelpunkten A,BV(G).

In der Gleichung liegt das Minimum über alle nicht leeren Sätze S höchstens n2 Eckpunkte und S ist der Randgrenze von S, d.h. der Satz von Kanten mit genau einem Endpunkt in S.[2]

Intuitiv,

ist die minimale Anzahl von Kanten, die geschnitten werden müssen, um das Diagramm in zwei Teile zu teilen. Die Kantenausdehnung normalisiert dieses Konzept, indem sie sich mit der geringsten Anzahl von Scheitelpunkten zwischen den beiden Teilen teilen. Betrachten Sie das folgende Beispiel, um zu sehen, wie die Normalisierung den Wert drastisch verändern kann. Nehmen Sie zwei vollständige Diagramme mit der gleichen Anzahl von Scheitelpunkten n und hinzufügen n Kanten zwischen den beiden Grafiken, indem sie ihre Eckpunkte eins zu eins anschließen. Der minimale Schnitt wird sein n Aber die Kantenerweiterung wird 1 sein.

Beachten Sie das in min |S|Die Optimierung kann gleichzeitig überdauern 0 ≤ |S| ≤ n2 oder über jede nicht leere Untergruppe, seitdem E(S, S) = E(S, S). Gleiches gilt nicht für h(G) wegen der Normalisierung durch |S|. Wenn wir schreiben wollen h(G) Mit einer Optimierung über alle nicht leeren Untergruppen können wir sie als umschreiben

Scheitelpunktexpansion

Das Scheitelpunkt isoperimetrische Zahl haus(G) (Auch Scheitelpunktexpansion oder Vergrößerung) einer Grafik G ist definiert als

wo aus(S) ist der Äußere grenze von S, d.h. der Satz von Scheitelpunkten in V(G) \ S mit mindestens einem Nachbarn in S.[3] In einer Variante dieser Definition (genannt Einzigartige Nachbarweiterung) aus(S) wird durch den Satz von Scheitelpunkten in ersetzt V mit exakt Ein Nachbar in S.[4]

Das Scheitelpunkt isoperimetrische Zahl hin(G) einer Grafik G ist definiert als

wo ist der innere Grenze von S, d.h. der Satz von Scheitelpunkten in S mit mindestens einem Nachbarn in V(G) \ S.[3]

Spektralerweiterung

Wann G ist d-regulär, a lineare Algebraik Definition der Expansion ist basierend auf dem möglich Eigenwerte des Adjazenzmatrix A = A(G) von G, wo Aij ist die Anzahl der Kanten zwischen Scheitelpunkten i und j.[5] Da A ist symmetrisch, das Spektralsatz impliziert, dass A hat n Realed-Eigenwerte λ1 ≥ λ2 ≥… ≥ λn. Es ist bekannt, dass all diese Eigenwerte sich befinden [ -d, d] und insbesondere ist bekannt, dass das bekannt ist λn = -d dann und nur dann, wenn G ist zweigliedrig.

Formaler beziehen wir uns auf eine n-Scheitel, d-reguläre Grafik mit

als an (n, d, λ)-Graph. Die gebundene von einem gegeben (n, d, λ)-Graph auf λi zum i ≠ 1 ist nützlich viele Kontexte, einschließlich der Expander Lemma mischen.

Da G ist regelmäßig, die einheitliche Verteilung mit ui = 1n für alle i = 1,…, n ist der Stationäre Verteilung von G. Das heißt, wir haben AU = Du, und u ist ein Eigenvektor von A mit Eigenwert λ1 = d, wo d ist der Grad der Eckpunkte von G. Das Spektrallücke von G ist definiert, um zu sein d - λ2und misst die spektrale Expansion der Grafik G.[6]

Wenn wir setzen

da ist dies der größte Eigenwert, der einem Eigenvektor -orthogonal zu entspricht u, es kann mit dem gleichwertig definiert werden Rayleigh Quotient:

wo

ist der 2-Norm des Vektors .

Die normalisierten Versionen dieser Definitionen werden ebenfalls weit verbreitet und bequemer, um einige Ergebnisse anzugeben. Hier betrachtet man die Matrix 1/dA, was das ist Markov -Übergangsmatrix der Grafik G. Seine Eigenwerte liegen zwischen –1 und 1. für nicht unbedingt reguläre Diagramme können das Spektrum eines Diagramms ähnlich unter Verwendung der Eigenwerte der Eigenwerte definiert werden Laplace -Matrix. Für gerichtete Grafiken berücksichtigt man das Singularwerte der Adjazenzmatrix A, die gleich den Wurzeln der Eigenwerte der symmetrischen Matrix sind ATA.

Beziehungen zwischen verschiedenen Expansionseigenschaften

Die oben definierten Expansionsparameter hängen miteinander zusammen. Insbesondere für jeden d-reguläre Grafik GAnwesend

Infolgedessen sind für konstante Graddiagramme die Scheitelpunkt- und Kantenerweiterung qualitativ gleich.

Cheeeger -Ungleichheiten

Wann G ist d-regulär, was bedeutet, dass jeder Scheitelpunkt von Grad ist dEs gibt eine Beziehung zwischen der isoperimetrischen Konstante h(G) und die Lücke d - λ2 im Spektrum des Adjazenzbetreibers von G. Nach der Standard -Spektralgraphentheorie des trivialen Eigenwerts des Adjazenzoperators von a d-reguläre Grafik ist λ1 = d und der erste nicht triviale Eigenwert ist λ2. Wenn G ist dann verbunden, dann λ2 < d. Eine Ungleichheit aufgrund von Dodziuk[7] und unabhängig Alon und Milman[8] besagt, dass[9]

Tatsächlich ist diese Ungleichheit eng. Die untere Grenze wird für die erreicht Hypercube Qn, wo h(G) = 1 und d - λ = 2, während die Obergrenze für einen Zyklus erreicht wird, wo H(Cn) = Θ (1//n) und d - λ = θ (1/n2).[1] Diese Ungleichheit hängt eng mit dem zusammen Cheeeger gebunden zum Markov -Ketten und kann als diskrete Version von gesehen werden Die Ungleichheit von Cheeger in Riemannian Geometrie.

Ähnliche Verbindungen zwischen vertex isoperimetrischen Zahlen und der spektralen Lücke wurden ebenfalls untersucht:[10]

Asymptotisch gesehen die Mengen h2d, haus, und hin2 sind alle oben durch die spektrale Lücke begrenzt O(d - λ2).

Konstruktionen

Es gibt drei allgemeine Strategien, um explizit Familien von Expander -Grafiken zu konstruieren.[11] Die erste Strategie ist algebraisch und gruppentheoretisch, die zweite Strategie ist analytisch und verwendet Additive Kombinatorikund die dritte Strategie ist kombinatorisch und verwendet die Zickzack und verwandte Grafikprodukte. Noga Alon zeigten, dass bestimmte Diagramme aus konstruierten Finite Geometrien sind die spärlichsten Beispiele für hochweitere Graphen.[12]

Margulis -Gabber -Galil

Algebraisch Konstruktionen basierend auf Cayley -Grafiken sind für verschiedene Varianten von Expander -Diagrammen bekannt. Die folgende Konstruktion ist auf Margulis zurückzuführen und wurde von Gabber und Galil analysiert.[13] Für jede natürliche Zahl n, man berücksichtigt die Grafik Gn mit dem Scheitelpunktsatz , wo : Für jeden Scheitelpunkt , seine acht benachbarten Eckpunkte sind

Dann gilt: Folgendes:

Satz. Für alle n, der Graph Gn hat zweitgrößter Eigenwert .

Ramanujan -Grafiken

Durch eine Theorem von Alon und Boppana, alles ausreichend groß d-reguläre Graphen erfüllen , wo λ2 ist der zweitgrößte Eigenwert im absoluten Wert.[14] In der direkten Folge wissen wir das für jeden festen Fix d und Es gibt nur endlich viele (n, d, λ)-Graphen. Ramanujan -Grafiken sind d-reguläre Graphen, für die diese Grenze eng ist, befriedigend [15]

Daher haben Ramanujan -Diagramme einen asymptotisch kleinstmöglichen Wert von λ2. Dies macht sie hervorragende spektrale Expandierer

Lubotzky, Phillips und Sarnak (1988), Margulis (1988) und Morgenstern (1994) zeigen, wie Ramanujan -Diagramme explizit konstruiert werden können.[16]

Im Jahr 1985 hat Alon das am meisten vermutet d-reguläre Graphen auf n Scheitelpunkte für ausreichend groß nsind fast ramanujan.[17] Das heißt, für φ > 0, sie befriedigen

.

Im Jahr 2003 bewies Joel Friedman beide die Vermutung und spezifizierte, was mit "die meisten gemeint sind d-reguläre Graphen ", indem Sie das zeigen zufällig d-reguläre Graphen haben für jeden φ > 0 mit Wahrscheinlichkeit 1 – O(nτ), wo[18][19]


Zick-Zack-Produkt

Reingold, Vadhan, und Wigderson stellte das Zick-Zack-Produkt 2003 ein.[20] Ungefähr gesagt erzeugt das Zick-Zack-Produkt zweier Expander-Diagramme ein Diagramm mit nur geringfügig schlechterer Expansion. Daher kann ein Zick-Zack-Produkt auch verwendet werden, um Familien von Expander-Graphen zu errichten. Wenn G ist ein (n, m, λ1)-Graph und H ist ein (m, d, λ1)-Graph, dann das Zick-Zack-Produkt GH ist ein (nm, d2, φ1, λ2))-Graph wo φ hat die folgenden Eigenschaften.

  1. Wenn λ1 < 1 und λ2 < 1, dann φ1, λ2) <1;
  2. φ1, λ2) ≤ λ1 + λ2.

Speziell,[20]

Beachten Sie, dass Eigenschaft (1) impliziert, dass das Zick-Zack-Produkt zweier Expander-Diagramme auch ein Expander-Diagramm ist, daher kann Zick-Zack-Produkte induktiv verwendet werden, um eine Familie von Expander-Diagrammen zu erstellen.

Intuitiv kann der Bau des Zick-Zack-Produkts auf die folgende Weise gedacht werden. Jeder Scheitelpunkt von G ist auf eine "Wolke" ausgeblasen m Eckpunkte, die jeweils einer anderen Kante zugeordnet sind, die mit dem Scheitelpunkt verbunden ist. Jeder Scheitelpunkt ist jetzt als als bezeichnet als als (v, k) wo v bezieht sich auf einen ursprünglichen Scheitelpunkt von G und k bezieht sich auf kDie Kante von v. Zwei Eckpunkte, (v, k) und (w,l) sind miteinander verbunden, wenn es möglich ist, von zu bekommen (v, k) zu (w, l) durch die folgende Abfolge von Bewegungen.

  1. Zick - Bewegen Sie sich von (v, k) zu (v, k ' )mit einer Kante von H.
  2. Springen Sie über Wolken mit Edge k ' in G zu erreichen (w, L ' ).
  3. Zag - Bewegen Sie sich von (w, L ' ) zu (w, l) mit einer Kante von H.[20]

Randomisierte Konstruktionen

Es gibt viele Ergebnisse, die die Existenz von Graphen mit guten Expansionseigenschaften durch probabilistische Argumente zeigen. Tatsächlich wurde die Existenz von Expandern zunächst von Pinsker bewiesen[21] wer zeigte das für einen zufällig ausgewählten n Scheitelpunkt links d regulär Bipartitale Grafik, |N(S)| ≥ (d - 2) |S| Für alle Teilmengen von Scheitelpunkten |S| ≤ cdn mit hoher Wahrscheinlichkeit, wo cd ist je nach Konstante d das ist O(d-4). Alon und Roichman [22] zeigte das für jede Gruppe G von Ordnung n Und jeder 1> ε > 0, es gibt einige c(ε)> 0 so dass die Cayley -Grafik auf G mit c(ε) Protokoll2 n Generatoren ist ein ε Expander, d. H. Der zweite Eigenwert weniger als 1 – ε , mit hoher Wahrscheinlichkeit.

Anwendungen und nützliche Eigenschaften

Die ursprüngliche Motivation für Erweiterungen besteht darin, wirtschaftliche, robuste Netzwerke (Telefon oder Computer) zu erstellen: Ein Expander mit begrenzter Valenz ist genau ein asymptotisches, robustes Diagramm mit der Anzahl der Kanten, die linear mit der Größe (Anzahl der Eckpunkte) für alle Teilmengen wachsen.

Expander -Diagramme haben umfangreiche Anwendungen in gefunden Informatikim Entwurf Algorithmen, Fehlerkorrekturcodes, Extraktoren, Pseudorandomgeneratoren, Sortiernetzwerke (Ajtai, Komlós & Szemerédi (1983)) und robust Computernetzwerke. Sie wurden auch in Beweisen vieler wichtiger Ergebnisse verwendet Computerkomplexitätstheorie, wie zum Beispiel Sl=L (Reingold (2008)) und die PCP -Theorem (Dinur (2007)). Im KryptographieExpander -Diagramme werden zum Konstruktion verwendet Hash Funktionen.

In einem 2006 Umfrage zu Expander -Grafiken, Hoory, Linial und Wigderson teilen die Untersuchung von Expander -Diagrammen in vier Kategorien auf: Extremprobleme, typisches Verhalten, explizite Konstruktionen und Algorithmen. Extreme Probleme konzentrieren sich auf die Begrenzung von Expansionsparametern, während typische Verhaltensprobleme charakterisieren, wie die Expansionsparameter über zufällige Diagramme verteilt werden. Explizite Konstruktionen konzentrieren sich auf die Konstruktion von Graphen, die bestimmte Parameter und algorithmische Fragen optimieren, untersuchen die Bewertung und Schätzung von Parametern.

Expander Lemma mischen

Der Expander, der Lemma mischt, erklärt, dass für eine (n, d, λ)-Graph für zwei Teilmengen der Eckpunkte S, TVdie Anzahl der Kanten zwischen den Kanten S und T ist ungefähr das, was Sie zufällig erwarten würden d-reguläre Grafik. Die Annäherung ist besser die kleiner λ ist. Zufällig d-reguläre Grafik sowie in einem ERDőS -Rényi Zufall mit Kantenwahrscheinlichkeit dn, wir erwarten dn • |S| • |T| Kanten zwischen S und T.

Formaler, lassen Sie es E(S, T) bezeichnen die Anzahl der Kanten zwischen den Kanten S und T. Wenn die beiden Sätze nicht disjunkt sind, werden die Kanten an ihrer Kreuzung zweimal gezählt, das heißt,

Dann sagt der Expander, der Lemma mischt, dass die folgende Ungleichheit gilt:

Viele Eigenschaften von (n, d, λ)-Graphen sind Folgen des Expanders, der Lemmas mischt, einschließlich der folgenden.[1]

  • Ein unabhängiger Satz eines Diagramms ist eine Teilmenge von Eckpunkten ohne zwei angrenzende Scheitelpunkte. In einem (n (n, d, λ)-Graph, ein unabhängiger Satz hat höchstens Größe λnd.
  • Das Chromatische Zahl einer Grafik G, χ (G), ist die minimale Anzahl von Farben, die benötigt werden, so dass benachbarte Eckpunkte unterschiedliche Farben haben. Hoffman zeigte das dλ ≤ χ (G),[23] während Alon, Krivelevich und Sudakov das zeigten, wenn d < 2n3, dann[24]

  • Das Durchmesser eines Diagramms ist der maximale Abstand zwischen zwei Scheitelpunkten, wobei der Abstand zwischen zwei Scheitelpunkten als der kürzeste Weg zwischen ihnen definiert ist. Chung zeigte, dass der Durchmesser von a (n, d, λ)-Graph ist höchstens[25]

Expander Walk -Probenahme

Das Tschernoff gebunden gibt an, dass bei der Stichprobe viele unabhängige Stichproben aus zufälligen Variablen im Bereich [–1, 1]Mit hoher Wahrscheinlichkeit liegt der Durchschnitt unserer Stichproben nahe der Erwartung der Zufallsvariablen. Der Expander Walk -Probenahme Lemma aufgrund Ajtai, Komlós & Szemerédi (1987) und Gillman (1998)stellt fest, dass dies auch gilt, wenn sie von einem Spaziergang auf einem Expander -Diagramm abtastet. Dies ist besonders nützlich in der Theorie von DerandomisierungDa die Probenahme nach einem Expander Walk viel weniger zufällige Bits verwendet, als unabhängig von der Stichprobe.

AKS -Sortiernetzwerk und ungefähre Halber

Sortiernetzwerke nehmen eine Reihe von Eingängen an und führen eine Reihe paralleler Schritte aus, um die Eingänge zu sortieren. Ein paralleler Schritt besteht darin, eine beliebige Anzahl von disjunkten Vergleiche durchzuführen und potenziell die Paare mit verglichenen Eingaben zu tauschen. Die Tiefe eines Netzwerks erfolgt durch die Anzahl der parallelen Schritte, die es unternimmt. Expander -Diagramme spielen eine wichtige Rolle im ASS -Sorting -Netzwerk, das Tiefe erreicht O(Protokoll n). Dies ist zwar asymptotisch die bekannteste Tiefe für ein Sortiernetzwerk, aber die Vertrauen auf die Expandation macht die Konstante für den praktischen Gebrauch zu groß.

Innerhalb des AKS -Sortierungsnetzwerks werden Expander -Diagramme verwendet, um die begrenzte Tiefe zu konstruieren ε-halver. Ein ε-Halver nimmt eine Länge als Eingabe an n Permutation von (1,…, n) und halbiert die Eingaben in zwei disjunkte Sätze A und B so dass für jede Ganzzahl k n2 maximal εk des k Die kleinsten Eingänge sind in B und höchstens εk des k Die größten Eingaben sind in A. Die Sätze A und B sind an ε-Halbierung.

Folgen Ajtai, Komlós & Szemerédi (1983), eine Tiefe d ε-Halver kann wie folgt konstruiert werden. Nimm ein n Scheitelpunkt, Abschluss d partiteller Expander mit Teilen X und Y von gleicher Größe, so dass jede Teilmenge von Scheitelpunkten der Größe höchstens εn hat zumindest 1 – ε/ε Nachbarn.

Die Eckpunkte des Diagramms können als Register angesehen werden, die Eingaben enthalten, und die Kanten können als Kabel betrachtet werden, die die Eingaben von zwei Registern vergleichen. Platzieren Sie am Anfang willkürlich die Hälfte der Eingaben in X und die Hälfte der Eingaben in Y und zersetzen die Kanten in d Perfekte Matchings. Das Ziel ist es, mit zu enden X ungefähr die kleinere Hälfte der Eingänge enthalten und Y enthält ungefähr die größere Hälfte der Eingänge. Um dies zu erreichen, verarbeiten Sie die jeweils nacheinander abgestimmten Übereinstimmung, indem Sie die Register vergleichen, die an den Kanten dieser Übereinstimmung gepaart sind, und korrigieren alle nichtreihen Eingänge. Insbesondere für jede Kante der Übereinstimmung, wenn sich der größere Eingang in der Register befindet in X und die kleinere Eingabe befindet sich im Register in Ytauschen Sie dann die beiden Eingänge so aus, dass der kleinere in der X und der größere ist in Y. Es ist klar, dass dieser Prozess besteht d Parallele Schritte.

Schließlich d Runden, nehmen Sie A Um die Eingabetaste in Registern in zu sein X und B Um die Eingabetaste in Registern in zu sein Y um ein zu erhalten ε-Halbierung. Um dies zu sehen, beachten Sie, dass wenn ein Register u in X und v in Y sind durch eine Kante verbunden UV Nachdem die Übereinstimmung mit dieser Kante verarbeitet wurde, ist der Eingang in u ist weniger als das von v. Darüber hinaus bleibt diese Eigenschaft während des restlichen Prozesses wahr. Nehmen Sie jetzt für einige an k n2 das mehr als εk der Eingänge (1,…, k) sind in B. Dann nach Erweiterungseigenschaften des Diagramms die Register dieser Eingaben in Y sind zumindest miteinander verbunden 1 – ε/εk Register in X. Insgesamt ist dies mehr als k Register, also muss es einige Register geben A in X mit einem Register verbunden B in Y so dass die endgültige Eingabe von A ist nicht in (1,…, k), während die endgültige Eingabe von B ist. Dies verstößt jedoch gegen die vorherige Eigenschaft, und somit setzt die Ausgabe ein A und B muss ein sein ε-Halbierung.

Siehe auch

Anmerkungen

  1. ^ a b c Hoory, Linial & Wigderson (2006)
  2. ^ Definition 2.1 in Hoory, Linial & Wigderson (2006)
  3. ^ a b Bobkov, Houdré & Tetali (2000)
  4. ^ Alon & Capalbo (2002)
  5. ^ vgl. Abschnitt 2.3 in Hoory, Linial & Wigderson (2006)
  6. ^ Diese Definition der spektralen Lücke stammt aus Abschnitt 2.3 in Hoory, Linial & Wigderson (2006)
  7. ^ Dodziuk 1984.
  8. ^ Alon & Spencer 2011.
  9. ^ Satz 2,4 in Hoory, Linial & Wigderson (2006)
  10. ^ Siehe Satz 1 und S.156, L.1 in Bobkov, Houdré & Tetali (2000). Beachten Sie, dass λ2 dort entspricht 2 (d - λ2) des aktuellen Artikels (siehe S.153, L.5)
  11. ^ Siehe z. B., Yehudayoff (2012)
  12. ^ Alon, Noga (1986). "Eigenwerte, geometrische Erweiterungen, Sortieren in Runden und Ramsey -Theorie". Combinatorica. 6 (3): 207–219. Citeseerx 10.1.1.300.5945. doi:10.1007/bf02579382. S2CID 8666466.
  13. ^ Siehe z. B. S. 9 von Goldreich (2011)
  14. ^ Satz 2.7 von Hoory, Linial & Wigderson (2006)
  15. ^ Definition 5.11 von Hoory, Linial & Wigderson (2006)
  16. ^ Satz 5.12 von Hoory, Linial & Wigderson (2006)
  17. ^ Alon, Noga (1986-06-01). "Eigenwerte und Erweiterungen". Combinatorica. 6 (2): 83–96. doi:10.1007/bf02579166. ISSN 1439-6912. S2CID 41083612.
  18. ^ Friedman, Joel (2004-05-05). "Ein Beweis für Alons zweites Eigenwert und damit verbundene Probleme". Arxiv:CS/0405020.
  19. ^ Satz 7.10 von Hoory, Linial & Wigderson (2006)
  20. ^ a b c Reingold, O.; Vadhan, S.; Wigderson, A. (2000). "Entropiewellen, das Zick-Zack-Diagrammprodukt und neue Expositionen und Extraktoren mit konstantem Grad". Proceedings 41. jährliches Symposium für Grundlagen der Informatik. IEEE Comput. SOC: 3–13. doi:10.1109/sfcs.2000.892006. ISBN 0-7695-0850-2. S2CID 420651.
  21. ^ Pinkser, M. (1973). "Über die Komplexität eines Konzentrators". Siam Journal über Computing. SIAM. Citeseerx 10.1.1.393.1430.
  22. ^ Alon, N.; Roichman, Y. (1994). "Zufällige Cayley -Diagramme und Expandierten". Zufällige Strukturen und Algorithmen. Wiley Online -Bibliothek. 5 (2): 271–284. doi:10.1002/RSA.3240050203.
  23. ^ Hoffman, A. J.; Howes, Leonard (1970). "Zu Eigenwerten und Farben von Grafiken, ii". Annalen der New York Academy of Sciences. 175 (1): 238–242. Bibcode:1970nyasa.175..238h. doi:10.1111/j.1749-6632.1970.tb56474.x. ISSN 1749-6632. S2CID 85243045.
  24. ^ Alon, Noga; Krivelevich, Michael; Sudakov, Benny (1999-09-01). "Malvorlagen mit spärlichen Nachbarschaften". Journal of Combinatorial Theory, Serie B. 77 (1): 73–82. doi:10.1006/JCTB.1999.1910. ISSN 0095-8956.
  25. ^ Chung, F. R. K. (1989). "Durchmesser und Eigenwerte". Zeitschrift der American Mathematical Society. 2 (2): 187–196. doi:10.1090/s0894-0347-1989-0965008-x. ISSN 0894-0347.

Verweise

Lehrbücher und Umfragen

Forschungsartikel

Neuere Anwendungen

Externe Links