Existenzielle Quantifizierung

Existenzielle Quantifizierung

Typ	Quantor
Aufstellen	Mathematische Logik
Aussage	${\ displayStyle \ existiert xp (x)}$ ist wahr wann ${\ displayStyle p (x)}$ gilt für mindestens einen Wert von ${\ displayStyle x}$.
Symbolische Aussage	${\ displayStyle \ existiert xp (x)}$

Im Prädikatlogik, ein Existenzielle Quantifizierung ist eine Art von Art von Quantor, a Logische Konstante welches ist interpretiert Wie "da existiert", "gibt es mindestens einen" oder "für einige". Es wird normalerweise mit dem bezeichnet logical operator Symbol ∃, das, wenn sie zusammen mit einer Prädikatvariablen verwendet wird, als als als verwendet wird Existenzieller Quantifizierer (""∃x" oder "∃ (x)"). Die existenzielle Quantifizierung unterscheidet sich von Universelle Quantifizierung ("für alle"), was behauptet, dass die Eigenschaft oder die Beziehung gilt für alle Mitglieder der Domäne.^[1][2] Einige Quellen verwenden den Begriff Existentialisierung sich auf die existenzielle Quantifizierung beziehen.^[3]

Grundlagen

Betrachten Sie eine Formel, die besagt, dass einige natürliche Zahl multipliziert von selbst ist 25.

0 · 0 = 25, oder 1 · 1 = 25, oder 2 · 2 = 25, oder 3 · 3 = 25, ...

Dies scheint ein zu sein logische Disjunktion Wegen der wiederholten Verwendung von "oder". Die Ellipsen machen dies jedoch unmöglich, es als Disjunktion in zu integrieren und zu interpretieren formelle Logik. Stattdessen könnte die Aussage formeller als umwandelhafter als

Für eine natürliche Zahl n, n·n = 25.

Dies ist eine einzelne Aussage unter Verwendung der existenziellen Quantifizierung.

Diese Aussage ist präziser als die ursprüngliche, da der Satz "usw." nicht unbedingt alle enthält natürliche Zahlen und alles andere ausschließen. Und da die Domäne nicht explizit angegeben wurde, konnte der Satz nicht formell interpretiert werden. In der quantifizierten Aussage werden die natürlichen Zahlen jedoch explizit erwähnt.

Dieses spezielle Beispiel ist wahr, da 5 eine natürliche Zahl ist und wenn wir 5 für 5 ersetzen nWir produzieren "5 · 5 = 25", was wahr ist. Es spielt keine Rolle, dass "n·n = 25 "gilt nur für eine einzelne natürliche Zahl, 5; sogar die Existenz eines einzelnen Lösung ist genug, um diese existenzielle Quantifizierung als wahr zu beweisen. Dagegen "für einige gerade Zahl n, n·n = 25 "ist falsch, weil es keine gerade Lösungen gibt.

Das Diskursbereich, was die Werte der Variablen angibt n dürfte nehmen, ist daher entscheidend für die Richtigkeit oder Falschheit einer Aussage. Logische Konjunktionen werden verwendet, um den Diskursbereich einzuschränken, um ein bestimmtes Prädikat zu erfüllen. Zum Beispiel:

Für eine positive ungerade Zahl n, n·n = 25

ist logisch äquivalent zu

Für eine natürliche Zahl n, n ist seltsam und n·n = 25.

Hier "und" ist die logische Konjunktion.

Im Symbolische Logik, "∃" (ein gedrehter Brief "E", in einem serifenlos Schriftart) wird verwendet, um die existenzielle Quantifizierung anzuzeigen.^[4] Also wenn P(a, b, c) ist das Prädikat "a·b = c "und ${\ displaystyle \ mathbb {n}}$ ist der einstellen natürlicher Zahlen dann

${\ displayStyle \ existiert {n} {\ in} \ mathbb {n} \, p (n, n, 25)}$

ist die (wahre) Aussage

Für eine natürliche Zahl n, n·n = 25.

In ähnlicher Weise, wenn Q(n) ist das Prädikat "n ist sogar ", dann

${\ displaystyle \ existiert {n} {\ in} \ mathbb {n} \, {\ big (} q (n) \; \! \; n, n, 25) {\ big)}}$

ist die (falsche) Aussage

Für eine natürliche Zahl n, n ist gerade und n·n = 25.

Im MathematikDer Beweis einer "einige" Aussage kann entweder durch a erzielt werden konstruktiver Beweis, das ein Objekt aufweist, das die "einige" Aussagen erfüllt, oder von a nicht konstruktiver Beweis, was zeigt, dass es ein solches Objekt geben muss, ohne jedoch eines zu zeigen.

Eigenschaften

Negation

Eine quantifizierte Aussagefunktion ist eine Aussage; So können wie Aussagen quantifizierte Funktionen negiert werden. Das ${\ displayStyle \ lnot \}$ Symbol wird verwendet, um die Negation zu bezeichnen.

Zum Beispiel wenn P(x) ist das Prädikat "x ist größer als 0 und weniger als 1 "für einen Diskursbereich X Von allen natürlichen Zahlen gibt es die existenzielle Quantifizierung "Es gibt eine natürliche Zahl x Das ist größer als 0 und weniger als 1 "kann symbolisch angegeben werden als:

${\ displayStyle \ existiert {x} {\ in} \ mathbf {x} \, p (x)}$

Dies kann als falsch gezeigt werden. Ehrlich gesagt muss gesagt werden: "Es ist nicht der Fall, dass es eine natürliche Zahl gibt x Das ist größer als 0 und weniger als 1 "oder symbolisch:

${\ displaystyle \ lnot \ \ exists {x} {\ in} \ mathbf {x} \, p (x)}$.

Wenn es kein Element des Diskurses gibt, für den die Aussage wahr ist, muss sie für alle diese Elemente falsch sein. Das heißt, die Negation von

${\ displayStyle \ existiert {x} {\ in} \ mathbf {x} \, p (x)}$

ist logisch äquivalent zu "für jede natürliche Zahl x, x ist nicht größer als 0 und weniger als 1 "oder:

${\ displaystyle \ forall {x} {\ in} \ mathbf {x} \, \ lnot p (x)}$

Im Allgemeinen die Negation von a AussagefunktionDie existenzielle Quantifizierung ist a Universelle Quantifizierung der Negation dieser Aussagefunktion; symbolisch,

$oder )}$

(Dies ist eine Verallgemeinerung von De Morgans Gesetze Logik zu prädieren.)

Ein häufiger Fehler lautet: "Alle Personen sind nicht verheiratet" (d. H. "Es gibt keine Person, die verheiratet ist"), wenn "nicht alle Personen verheiratet sind" (d. H. "Es gibt eine Person, die nicht verheiratet ist") beabsichtigt ist :

$oder ) \ nicht \ äquiv \ \ lnot \ \ forall {x} {\ in} \ mathbf {x} \, p (x) \ äquiv \ \ exists {x} {\ in} \ mathbf {x} \, \ lnot P (x)}$

Die Verneinung ist auch durch eine Aussage von "für Nein" im Gegensatz zu "für einige" ausdrücklich:

$oder$

Im Gegensatz zum universellen Quantifizierer verteilt sich der existentielle Quantifizierer über logische Disjunktionen:

$oder (x) \ lor \ exists {x} {\ in} \ mathbf {x} \, q (x))}$

Inferenzregeln

A Inferenzregel ist eine Regel, die einen logischen Schritt von der Hypothese zur Schlussfolgerung rechtfertigt. Es gibt mehrere Inferenzregeln, die den existenziellen Quantifizierer verwenden.

Existenzielle Einführung (∃i) kommt zu dem Schluss, dass, wenn bekannt ist, dass die Aussagefunktion für ein bestimmtes Element des Diskurses der Diskurse wahr ist, es wahr sein muss, dass es ein Element gibt, für das die Aussagefunktion wahr ist. Symbolisch,

${\ displayStyle p (a) \ bis \ \ existiert {x} {\ in} \ mathbf {x} \, p (x)}$

Existenzielle Instanziierung, wenn er in einem Fitch-Style-Abzug durchgeführt wird, fährt mit der Eingabe einer neuen Subderivation fort und ersetzt eine existenziell quantifizierte Variable für ein Subjekt-was in keiner aktiven Unterabersivierung erscheint. Wenn in dieser Unterabwicklung eine Schlussfolgerung gezogen werden kann, in der das substituierte Subjekt nicht erscheint, kann man diese Subderivation mit dieser Schlussfolgerung verlassen. Die Argumentation hinter der existenziellen Eliminierung (∃E) lautet wie folgt: Wenn es gegeben ist, dass es ein Element gibt, für das die Satzfunktion wahr ist, und wenn eine Schlussfolgerung gezogen werden kann, indem diesem Element ein willkürlicher Name gegeben wird, ist diese Schlussfolgerung, dass die Schlussfolgerung ist notwendigerweise wahr, solange es den Namen nicht enthält. Symbolisch für einen willkürlichen c und für einen Satz Q in welchem c erscheint nicht:

${\ displayStyle \ existiert {x} {\ in} \ mathbf {x} \, p (x) \ bis \ (p (c) \ bis \ q) \ to \ q)}$

${\ displayStyle p (c) \ bis \ q}$ muss für alle Werte von zutreffen c über die gleiche Domäne X; Andernfalls folgt die Logik nicht: wenn c ist nicht willkürlich und stattdessen ein spezifisches Element der Diskursdomäne und dann angeben P(c) könnte ungerechtfertigt mehr Informationen zu diesem Objekt geben.

Das leere Set

Die Formel ${\ displayStyle \ existiert {x} {\ in} \ leerSet \, p (x)}$ ist immer falsch, egal danach P(x). Das ist weil ${\ displayStyle \ leereSet}$ bezeichnet die leeres Set, und nein x von jeder Beschreibung - geschweige denn eine x Erfüllung eines bestimmten Prädikats P(x) - existieren im leeren Satz. Siehe auch Leere Wahrheit für mehr Informationen.

Als Adjoint

Im Kategoriestheorie und die Theorie von Elementary TopoiDer existenzielle Quantifizierer kann als der verstanden werden Links -Adjoint von a Functor zwischen Leistungssätze, das umgekehrtes Bild Functor einer Funktion zwischen Sätzen; Ebenso das Universeller Quantifizierer ist der Rechts Adjoint.^[5]

Codierung

In Unicode und HTML werden Symbole codiert U+2203 ∃ Es gibt es (& existieren; & existiert; · als mathematisches Symbol) und U+2204 ∄ Da ist NICHT EXISTIEREN (& nexist;, & nexists;, & Notexists;).

Im TexDas Symbol wird mit "\ existiert" produziert.

Siehe auch

• Existenzielle Klausel
• Existenzsatz
• Logik erster Ordnung
• Lindström Quantifizierer
• Liste der Logiksymbole - Für das Unicode -Symbol ∃ ∃
• Quantifizierervarianz
• Einzigartigkeitsquantifizierung

Anmerkungen

Verweise

• Hinman, P. (2005). Grundlagen der mathematischen Logik. A k Peters. ISBN 1-56881-262-0.