Euler charakteristisch

Im Mathematik, und genauer gesagt in Algebraische Topologie und Polyedrische Kombinatorik, das Euler charakteristisch (oder Euler -Nummer, oder Euler -poincaré charakteristisch) ist ein Topologische Invariante, eine Zahl, die a beschreibt topologischer RaumForm oder Struktur unabhängig von der Art und Weise, wie sie gebogen ist. Es wird allgemein durch bezeichnet durch ${\ displayStyle \ chi}$ (Griechischer Buchstabe Chi).

Das Euler -Merkmal wurde ursprünglich definiert für Polyeder und verwendet, um verschiedene Theoreme über sie zu beweisen, einschließlich der Klassifizierung der Platonische Feststoffe. Es wurde 1537 für platonische Feststoffe in einem unveröffentlichten Manuskript von angegeben Francesco Maurolico.^[1] Leonhard Euler, für den das Konzept genannt wird, hat es für konvexe Polyeder im Allgemeinen eingeführt, aber nicht streng beweisen, dass es eine Invariante ist. In der modernen Mathematik ergibt sich das Euler -Merkmal aus Homologie und abstrakter, mehr, Homologische Algebra.

Polyeder

Scheitelpunkt, Kante und Gesicht eines Würfels

Das Euler charakteristisch ${\ displayStyle \ chi}$ wurde nach der Formel klassisch definiert für die Oberflächen von Polyedera

${\ displaystyle \ chi = v-e+f}$

wo V, E, und F sind jeweils die Anzahl von Eckpunkte (Ecken), Kanten und Gesichter im gegebenen Polyeder. Irgendein Konvexes PolyederDie Oberfläche hat Euler -charakteristisch

${\ displayStyle v-e+f = 2.}$

Diese Gleichung, angegeben von Leonhard Euler 1758,^[2] ist bekannt als Eulers Polyeder -Formel.^[3] Es entspricht dem Euler, der von der charakteristisch ist Kugel (d. H. χ = 2) und gilt identisch mit sphärische Polyeder. Eine Illustration der Formel auf allen platonischen Polyeder ist unten angegeben.

Name	Bild	Eckpunkte V	Kanten E	Gesichter F	Euler -Charakteristik: V − E + F
Tetraeder		4	6	4	2
Hexaheder oder Würfel		8	12	6	2
Oktaeder		6	12	8	2
Dodecaeder		20	30	12	2
ICOSASADRON		12	30	20	2

Die Oberflächen der nicht konvexen Polyeder können verschiedene Euler -Eigenschaften aufweisen:

Name	Bild	Eckpunkte V	Kanten E	Gesichter F	Euler -Charakteristik: V − E + F
Tetrahemihexaheder		6	12	7	1
Octahemioctaeder		12	24	12	0
CUBOHEMIOCTADRON		12	24	10	–2
Kleine Sterndodekaeder		12	30	12	–6
Großer Stellated Dodecaeder		20	30	12	2

Für normale Polyeder,, Arthur Cayley leitete eine modifizierte Form der Eulers Formel mit der ab Dichte D, Scheitelpunktfigur Dichte d_vund Gesichtsdichte ${\ displayStyle d_ {f}}$:

${\ displayStyle d_ {v} v-e+d_ {f} f = 2d.}$

Diese Version gilt sowohl für konvexe Polyeder (wo die Dichten alle 1) als auch die Nichtkonvex Kepler-Poinot Polyeder.

Projektive Polyeder Alle haben Euler charakteristisch 1 wie die Real Projective Ebene, während die Oberflächen von Toroidal Polyeder Alle haben Euler charakteristisch 0, wie die Torus.

Ebenendiagramme

Die Euler -Eigenschaft kann für verbunden definiert werden Ebenendiagramme aus demselben ${\ displayStyle v-e+f}$ Formel wie für polyedrische Oberflächen, wo F ist die Anzahl der Gesichter im Diagramm, einschließlich der Außenfläche.

Das Euler -charakteristische Euler -charakteristisch für jede Ebene angeschlossene Grafik G ist 2. Dies ist leicht durch Induktion auf der Anzahl der durch g bestimmten Gesichter zu beweisen, beginnend mit einem Baum als Basisfall. Für Bäume, ${\ displayStyle e = v-1}$ und ${\ displayStyle f = 1}$. Wenn G C -Komponenten (getrennte Graphen) hat, zeigt das gleiche Argument durch Induktion in F dies ${\ displayStyle v-e+f-c = 1}$. Eines der wenigen Graphentheoriepapiere von Cauchy beweist auch dieses Ergebnis.

Über Stereografische Projektion Die Ebene kartiert an die 2-Phere, so dass eine verbundene Graphen mit einer polygonalen Zersetzung der Kugel, die Euler-Merkmale aufweist. 2. Dieser Standpunkt ist in Cauchys Beweis für Eulers Formel impliziert, die unten angegeben sind.

Beweis für Eulers Formel

Erste Schritte des Beweises im Fall eines Würfels

Es gibt viele Beweise für Eulers Formel. Einer wurde gegeben durch Cauchy 1811 wie folgt. Es gilt für ein konvexes Polyeder und allgemeiner für jedes Polyeder, dessen Grenze topologisch einer Kugel entspricht und deren Gesichter topologisch gleichwertig mit Festplatten entspricht.

Entfernen Sie ein Gesicht der polyedrischen Oberfläche. Durch Ziehen der Kanten des fehlenden Gesichts voneinander, verformen Sie den Rest in ein planares Diagramm von Punkten und Kurven, so dass der Umfang des fehlenden Gesichts äußerlich platziert wird, um den erhaltenen Diagramm zu umgeben, wie durch das dargestellt Erste der drei Grafiken für den Sonderfall des Würfels. (Die Annahme, dass die polyedrische Oberfläche am Anfang für die Kugel homeomorph ist.) Nach dieser Verformung sind die regulären Gesichter im Allgemeinen nicht mehr regelmäßig. Die Anzahl der Scheitelpunkte und Kanten ist gleich geblieben, aber die Anzahl der Gesichter wurde um 1 verringert V − E + F = 1 für dieses deformierte planare Objekt.

Wenn es ein Gesicht mit mehr als drei Seiten gibt, zeichnen Sie eine Diagonale - dh eine Kurve durch das Gesicht, das zwei noch nicht verbundene Scheitelpunkte verbindet. Dies fügt eine Kante und ein Gesicht hinzu und ändert die Anzahl der Scheitelpunkte nicht, sodass sie die Menge nicht ändert V − E + F. (Die Annahme, dass alle Gesichter Scheiben sind, wird hier benötigt, um über die zu zeigen Jordan Curve Theorem dass dieser Vorgang die Anzahl der Gesichter um eins erhöht.) Fügen Sie weiterhin Kanten auf diese Weise hinzu, bis alle Gesichter dreieckig sind.

Wenden Sie wiederholt eine der folgenden zwei Transformationen an und behalten Sie die Invariante bei, dass die Außengrenze immer a ist Einfacher Zyklus:

1. Entfernen Sie ein Dreieck mit nur einer Kante neben dem Äußeren, wie im zweiten Diagramm dargestellt. Dies verringert die Anzahl der Kanten und Gesichter um jeweils und ändert die Anzahl der Eckpunkte nicht, sodass sie erhalten V − E + F.
2. Entfernen Sie ein Dreieck mit zwei Kanten, die vom Äußeren des Netzwerks geteilt werden, wie im dritten Diagramm dargestellt. Jede Dreieckentfernung entfernt einen Scheitelpunkt, zwei Kanten und ein Gesicht, sodass sie konserviert wird V − E + F.

Diese Transformationen reduzieren schließlich das planare Diagramm auf ein einzelnes Dreieck. (Ohne die einfache Zyklusinvariante kann das Entfernen eines Dreiecks die verbleibenden Dreiecke trennen und den Rest des Arguments ungültig machen. Eine gültige Entfernungsreihenfolge ist ein elementares Beispiel für a Beschuss.))

Zu diesem Zeitpunkt hat das einsame Dreieck V = 3, E = 3 und F = 1, so dass das V − E + F = 1. Da jede der beiden obigen Transformationsschritte diese Menge bewahrt haben, haben wir gezeigt V − E + F = 1 für das deformierte planare Objekt demonstriert so V − E + F = 2 für das Polyeder. Dies beweist den Satz.

Weitere Beweise finden Sie unter Einundzwanzig Beweise für Eulers Formel durch David Eppstein.^[4] Mehrere Beweise, einschließlich ihrer Mängel und Einschränkungen, werden als Beispiele in verwendet Beweise und Widerlegungen durch Imre Lakatos.^[5]

Topologische Definition

Die oben diskutierten polyedrischen Oberflächen sind in der modernen Sprache zweidimensionale endliche CW-Komplexe. (Wenn nur dreieckige Gesichter verwendet werden, sind sie zweidimensionales Finite Einfachere Komplexe.) Im Allgemeinen für jeden endlichen CW-Komplex die Euler charakteristisch kann als die abwechselnde Summe definiert werden

${\ displaystyle \ chi = k_ {0} -k_ {1}+k_ {2} -k_ {3}+\ cdots,}$

wo k_n bezeichnet die Anzahl der Dimensionszellen n im Komplex.

Ebenso für a Einfacher Komplex, das Euler charakteristisch entspricht der abwechselnden Summe

${\ displaystyle \ chi = k_ {0} -k_ {1}+k_ {2} -k_ {3}+\ cdots,}$

wo k_n bezeichnet die Anzahl von n-implexe im Komplex.

Betti -Nummer Alternative

Allgemeiner noch, für jeden topologischer Raumwir können das definieren nth Betti -Nummer b_n als die Rang des n-Th Singular Homology Gruppe. Das Euler charakteristisch kann dann definiert werden als die abwechselnde Summe

${\ displaystyle \ chi = b_ {0} -b_ {1}+b_ {2} -b_ {3}+\ cdots.}$

Diese Menge ist gut definiert, wenn die Betti-Zahlen alle endlich sind und wenn sie über einen bestimmten Index hinaus Null sindn₀. Für einfache Komplexe ist dies nicht die gleiche Definition wie im vorherigen Absatz, aber eine Homology -Berechnung zeigt, dass die beiden Definitionen den gleichen Wert für den gleichen Wert geben ${\ displayStyle \ chi}$.

Eigenschaften

Das Euler -Merkmal verhält sich in Bezug auf viele grundlegende Operationen auf topologischen Räumen wie folgt gut.

Homotopie -Invarianz

Homologie ist eine topologische Invariante und darüber hinaus a Homotopy Invariante: Zwei topologische Räume, die sind Homotopieäquivalent haben isomorph Homologiegruppen. Daraus folgt, dass das Euler -Merkmal auch eine homotopische Invariante ist.

Zum Beispiel alle vertraglich Raum (dh eine Homotopie enthält eine triviale Homologie, was bedeutet, dass die 0. Betti -Zahl 1 und die anderen 0 beträgt. Daher ist das Euler -Merkmal 1. dieser Fall enthält Euklidischer Raum ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n}}$ von jeder Dimension sowie der festen Einheitskugel in jedem euklidischen Raum-dem eindimensionalen Intervall, der zweidimensionalen Festplatte, der dreidimensionalen Kugel usw.

Für ein anderes Beispiel ist jedes konvexe Polyeder für das dreidimensionale Homeomorph Ballso ist seine Oberfläche homöomorph (daher Homotopie-Äquivalent) zum zweidimensionalen Kugel, was Euler -charakteristisch hat 2. Dies erklärt, warum konvexe Polyeder Euler -Eigenschaften 2 haben 2.

Einschluss -Exklusionsprinzip

Wenn M und N sind zwei beliebige topologische Räume, dann der Euler -charakteristisch von ihrem Union Union ist die Summe ihrer Euler -Eigenschaften, da die Homologie unter Disjoint Union additiv ist:

${\ displayStyle \ chi (m \ sqcup n) = \ chi (m)+\ chi (n).}.}$

Allgemeiner, wenn M und N sind Unterbereiche eines größeren Raums XUnd dann auch ihre Vereinigung und Kreuzung. In einigen Fällen folgt die Euler -charakteristische Version einer Version der Einschluss -Exklusionsprinzip:

${\ displaystyle \ chi (m \ cup n) = \ chi (m)+\ chi (n)-\ chi (m \ cap n).}$

Dies gilt in den folgenden Fällen:

• wenn M und N sind ein entzückendes Paar. Insbesondere wenn die Innenräume von M und N In der Gewerkschaft decken immer noch die Gewerkschaft ab.^[6]
• wenn X ist ein lokal kompakter Raumund man verwendet Euler -Eigenschaften mit kompakt Unterstützung, keine Annahmen auf M oder N wird gebraucht.
• wenn X ist ein geschichtetes Raum Alle von deren Schichten sind gleichdimensional, das Einschluss-Ausschließungsprinzip gilt wenn M und N sind Gewerkschaften von Schichten. Dies gilt insbesondere, wenn M und N sind Subvarietien von a Komplex Algebraische Sorte.^[7]

Im Allgemeinen ist das Einschluss -Exklusionsprinzip falsch. EIN Gegenbeispiel wird durch Nehmen gegeben X zu sein echte Linie, M a Teilmenge bestehend aus einem Punkt und N das ergänzen von M.

Verbundene Summe

Für zwei verbundene geschlossene N-Manifolds ${\ displayStyle m, n}$ Man kann einen neuen verbundenen Verteiler erhalten ${\ displayStyle m \ #n}$ über die verbundene Summe Betrieb. Das Euler -Merkmal hängt von der Formel zusammen ^[8]

${\ displaystyle \ chi (m \ #n) = \ chi (m)+\ chi (n)-\ chi (s^{n}).}$

Produkteigenschaft

Auch der Euler -charakteristisch von jedem Produktraum M × N ist

${\ displaystyle \ chi (m \ mal n) = \ chi (m) \ cdot \ chi (n).}.}$

Diese Additions- und Multiplikationseigenschaften werden ebenfalls genossen Kardinalität von Sets. Auf diese Weise kann das Euler -Merkmal als Verallgemeinerung der Kardinalität angesehen werden. sehen [1].

Räume abdecken

Ebenso für a k-Sheeted Raum bedecken ${\ displayStyle {\ tilde {m}} \ bis m,}$ hat man

${\ displayStyle \ chi ({\ tilde {m}}) = k \ cdot \ chi (m).}$

Allgemeiner für a Verzierter AbdeckungsraumDas Euler -charakteristische von der Abdeckung kann aus dem obigen mit einem Korrekturfaktor für die Auseinandersetzungspunkte berechnet werden, der die ergibt Riemann -Hurwitz -Formel.

Fibrationseigenschaft

Die Produkteigenschaft gilt viel allgemeiner, denn Fibrationen mit bestimmten Bedingungen.

Wenn ${\ displayStyle p \ colon e \ bis B}$ ist eine Fibration mit Ballaststoffen F, mit der Basis B Pfad verbundenund die Fibration ist über einem Feld orientierbar K, k, k. Dann charakteristisch der Euler mit Koeffizienten im Feld K erfüllt die Produkteigenschaft:^[9]

${\ displaystyle \ chi (e) = \ chi (f) \ cdot \ chi (b).}$

Dies beinhaltet Produkträume und Abdeckungsräume als Sonderfälle und kann von der nachgewiesen werden Serre spektrale Sequenz über die Homologie einer Fibration.

Für Faserbündel kann dies auch in Bezug auf a verstanden werden Übertragungskarte ${\ displayStyle \ tau \ colon H _ {*} (b) \ to h _ {*} (e)}$ - Beachten Sie, dass dies ein Heben ist und "in die falsche Weise" geht - deren Zusammensetzung mit der Projektionskarte ${\ displayStyle p _ {*} \ colon H _ {*} (e) \ to h _ {*} (b)}$ ist multiplikation von der Euler -Klasse der Faser:^[10]

${\ displayStyle p _ {*} \ circ \ tau = \ chi (f) \ cdot 1.}$

Beispiele

Oberflächen

Die Euler -Eigenschaft kann für allgemeine Oberflächen leicht berechnet werden, indem eine Polygonisierung der Oberfläche findet (dh eine Beschreibung als a CW-Komplex) und verwenden die obigen Definitionen.

Name	Bild	χ
Intervall		01
Kreis		00
Scheibe		01
Kugel		02
Torus (Produkt von zwei Kreise)		00
Doppelte Torus		–2
Dreifacher Torus		–4
Real Projective Flugzeug		01
Möbiusband		00
Klein Flasche		00
Zwei Kugeln (nicht verbunden) (Union Union von zwei Kugeln)		2 + 2 = 4
Drei Kugeln (nicht verbunden) (Union Union von drei Kugeln)		2 + 2 + 2 = 6
${\ displayStyle n}$ Kugeln (nicht verbunden) (Union Union von n Kugeln)	. . .	2 + ... + 2 = 2n

Fußball

Es ist üblich zu konstruieren Fußbälle Durch das Zusammenfügen von Pentagonal und sechseckellalen Stücken mit drei Teilen an jedem Scheitelpunkt (siehe zum Beispiel die Adidas Telstar). Wenn P Pentagone und H Sechsescke werden verwendet, dann gibt es F = P + H Gesichter, V = (5 P + 6 H) / 3 Scheitelpunkte und E = (5 P + 6 H) / 2 Kanten. Das Euler -Merkmal ist also

${\ displayStyle v-e+f = {\ frac {5p+6H} {3}}-{\ frac {5p+6H} {2}}+p+h = {\ frac {p} {6}}. }$

Weil die Sphäre Euler charakteristisch 2 hat, folgt daraus das P = 12. Das heißt, ein auf diese Weise konstruierter Fußball hat immer 12 Pentagone. Im Prinzip ist die Anzahl der Sechsecke nicht eingeschränkt. Dieses Ergebnis gilt für Fullerenes und Goldberg Polyeder.

Willkürliche Dimensionen

Vergleich der Euler -Eigenschaften von Hypercubes und Einfaches der Abmessungen 1 bis 4

Euler -Eigenschaften der sechs 4-dimensionale Analoga der regulären Polyeder

Regulär 4-Polytope	V (k0))	E (k1))	F (k2))	C (k3))	${\ displayStyle \ chi}$ = V − E + F − C
5-Zelle	5	10	10	5	0
8-Zelle	16	32	24	8	0
16-Zelle	8	24	32	16	0
24-Zell	24	96	96	24	0
120-Zelle	600	1200	720	120	0
600-Zelle	120	720	1200	600	0

Das n-Dimensionaler Sphäre hat singuläre Homologiegruppen gleich gleich dem

$oder Fälle}}}$

Daher hat Betti Nummer 1 in Dimensionen 0 und nund alle anderen Betti -Zahlen sind 0. Das Euler -Charakter ist dann 1+(–1)ⁿ - Das heißt, entweder 0 oder 2.

Das n-Dimensional Real Projektivraum ist der Quotient der n-Sphere durch die Antipodalkarte. Daraus folgt, dass sein Euler -Merkmal genau die der entsprechenden Kugel ist - entweder 0 oder 1.

Das n-Dimensionaler Torus ist der Produktraum von n Kreise. Das Euler -Merkmal beträgt 0 von der Produkteigenschaft. Allgemeiner jeder kompakte Parallelisierbarer Verteiler, einschließlich aller Kompakte Lügengruppe, hat Euler charakteristisch 0.^[11]

Der Euler charakteristisch von jedem abgeschlossen Der ungerade dimensionale Verteiler beträgt auch 0.^[12] Der Fall für orientierbare Beispiele ist eine Folge von Poincaré Dualität. Diese Eigenschaft gilt allgemeiner für jeden kompakt geschichtetes Raum Alle von deren Schichten haben eine seltsame Dimension. Es gilt auch für geschlossene ungerade nicht orientierbare Verteiler über die Zwei-zu-Eins Orientierbare doppelte Abdeckung.

Beziehungen zu anderen Invarianten

Der Euler charakteristisch für eine geschlossene orientierbar auftauchen kann aus seiner berechnet werden Gattung g (die Anzahl der Anzahl von Tori in einem verbundene Summe Zersetzung der Oberfläche; intuitiv die Anzahl der "Handles") als

${\ displaystyle \ chi = 2-2g.}$

Das Euler-charakteristisch für eine geschlossene nicht orientierbare Oberfläche kann aus seiner nicht orientierbaren Gattung berechnet werden k (die Anzahl der Anzahl von Echte projektive Flugzeuge in einer verbundenen Summe Zerlegung der Oberfläche) als

${\ displayStyle \ chi = 2-k.}$

Bei geschlossenen glatten Verteilern fällt die Euler -Eigenschaft mit dem zusammen mit dem Euler -Nummer, d.h. die Euler -Klasse von seinem Tangentenbündel bewertet auf dem Grundklasse von einem Verteiler. Die Euler -Klasse bezieht sich wiederum auf alle anderen charakteristische Klassen von Vektorbündel.

Für geschlossen Riemannsche VerteilerDas Euler -Merkmal kann auch durch Integration der Krümmung gefunden werden; Siehe das Gauss -Bonnet -Theorem für den zweidimensionalen Fall und der Generalized Gauß -Bonnet -Theorem für den allgemeinen Fall.

Ein diskretes Analogon des Gauss -Bonnet -Theorems ist Descartes ' Satz, dass der "Gesamtfehler" von a Polyeder, gemessen in vollen Kreisen, ist das für das Polyeder charakteristische Euler; sehen Defekt (Geometrie).

Hadwiger's Theorem charakterisiert die Euler -Eigenschaft als die einzigartig (bis zu Skalarmultiplikation) Translation-invariante, endlich additive, nicht notwendigerweise nicht nonnegative festgelegte Funktion definiert auf endliche Gewerkschaften von kompakt konvex spielt in Rⁿ Das ist "homogen von Grad 0".

Verallgemeinerungen

Für jeden kombinatorischen ZellkomplexMan definiert das Euler-Charakteristik als Anzahl der 0-Zellen, abzüglich der Anzahl der 1-Zellen plus der Anzahl der 2-Zellen usw., wenn diese abwechselnde Summe endlich ist. Insbesondere ist das Euler -charakteristische Euler einfach seine Kardinalität und das Euler -charakteristisch von a Graph ist die Anzahl der Eckpunkte abzüglich der Anzahl der Kanten.^[13]

Allgemeiner kann man den Euler -charakteristisch von jedem definieren Kettenkomplex die abwechselnde Summe der Ränge von den Homologiegruppen des Kettenkomplexes unter der Annahme, dass alle diese Ränge endlich sind.^[14]

Eine Version von Euler -Charakteristik verwendet in Algebraische Geometrie ist wie folgt. Für jeden kohärenter Sheaf ${\ displaystyle {\ mathcal {f}}}$ auf einem angemessenen planen X, man definiert sein Euler -Merkmal

$oder$

wo ${\ displayStyle h^{i} (x, {\ mathcal {f}})}$ ist die Dimension der i-Th Sheaf -Kohomologie Gruppe von ${\ displaystyle {\ mathcal {f}}}$. In diesem Fall sind die Dimensionen alle endlich von Grothendiecks Endlichkeitstheorem. Dies ist eine Instanz des Euler, das für einen Kettenkomplex charakteristisch ist, in dem der Kettenkomplex eine endliche Auflösung von ist ${\ displaystyle {\ mathcal {f}}}$ durch acyclische Scheiben.

Eine weitere Verallgemeinerung des Konzepts des Euler -Merkmals auf Verteilern stammt von Orbifolds (sehen Euler charakteristisch für eine Orbifold). Während jeder Verteiler eine ganzzahlige Euler -Eigenschaft hat, kann eine Orbifold eine fraktionelle Euler -Eigenschaft haben. Zum Beispiel hat die Tränen -Orbifold Euler charakteristisch 1+1//p, wo p ist eine Primzahl, die dem Kegelwinkel 2 entsprichtπ/p.

Das Konzept des Euler -charakteristisches von der Reduzierte Homologie von einem begrenzten endlichen Poset ist eine weitere Verallgemeinerung, wichtig in Kombinatorik. Ein Poset ist "begrenzt", wenn er kleinste und größte Elemente hat; Nennen Sie sie 0 und 1. Das Euler -charakteristisch für eine solche Poset ist definiert als die ganze Zahl μ(0,1), wo μ ist der Möbius -Funktion In diesem Poset's Inzidenzalgebra.

Dies kann durch Definition a weiter verallgemeinert werden Q-Werbetreue Euler charakteristisch für bestimmte endliche Kategorien, ein Begriff, der mit den oben genannten Euler -Eigenschaften von Graphen, Orbifolds und Posets kompatibel ist. In dieser Umgebung das Euler -charakteristisch für ein Finitie Gruppe oder Monoid G ist 1/|G| und der Euler charakteristisch für ein endliches charakteristisch Gruppoid ist die Summe von 1/|G_i|, wo wir eine repräsentative Gruppe ausgewählt haben G_i Für jede angeschlossene Komponente des Groupoids.^[15]

Siehe auch

• Euler -Kalkül
• Euler -Klasse
• Liste der nach Leonhard Euler benannten Themen
• Liste der einheitlichen Polyeder

Verweise

Anmerkungen

Literaturverzeichnis

• Richeson, David S.; Eulers Juwel: Die Polyederformel und die Geburt der Topologie. Princeton University Press 2008.

Weitere Lektüre

• Farrg, H. Graham; Von der Geometrie bis zur Topologie, Dover 2001, p. 40.

Externe Links

• Weisstein, Eric W. "Euler charakteristisch". Mathord.
• Weisstein, Eric W. "Polyedrische Formel". Mathord.
• Matveev, S.V. (2001) [1994], "Euler charakteristisch", Enzyklopädie der Mathematik, EMS Press
• Eine animierte Version eines Proofs der Eulers Formel unter Verwendung der sphärischen Geometrie.