Euklideaner Vektor

Im Mathematik, Physik und Ingenieurwesen, a Euklideaner Vektor oder einfach a Vektor (manchmal als a genannt Geometrischer Vektor^[1] oder räumlicher Vektor^[2]) ist ein geometrisches Objekt, das hat Größe (oder Länge) und Richtung. Vektoren können zu anderen Vektoren nach hinzugefügt werden Vektoralgebra. Ein euklidenanischer Vektor wird häufig durch a dargestellt Richtungsleitungssegment, oder grafisch als Pfeil, der eine verbindet Anfangspunkt A mit einer Terminalpunkt B,^[3] und bezeichnet von ${\ displayStyle {\ OverRightarrow {ab}}}$ .

Ein Vektor ist das, was benötigt wird, um den Punkt zu "tragen" A auf den Punkt B; das lateinische Wort Vektor bedeutet "Träger".^[4] Es wurde erstmals von Astronomen des 18. Jahrhunderts verwendet, die die Planetenrevolution um die Sonne untersuchten.^[5] Die Größe des Vektors ist der Abstand zwischen den beiden Punkten, und die Richtung bezieht sich auf die Richtung von Verschiebung aus A zu B. Viele Algebraische Operationen an reale Nummern wie zum Beispiel Zusatz, Subtraktion, Multiplikation, und Negation haben enge Analoga für Vektoren,^[6] Operationen, die den vertrauten algebraischen Gesetzen von befolgen Amtativität, Assoziativität, und Verbreitung. Diese Operationen und die damit verbundenen Gesetze qualifizieren sich Euklidisch Vektoren als Beispiel für das allgemeinere Konzept der Vektoren, die einfach als Elemente von a definiert sind Vektorraum.

Vektoren spielen eine wichtige Rolle in Physik: das Geschwindigkeit und Beschleunigung eines beweglichen Objekts und der Kräfte Das Handeln darauf kann alle mit Vektoren beschrieben werden.^[7] Viele andere physikalische Mengen können nützlich als Vektoren betrachtet werden. Obwohl die meisten von ihnen keine Entfernungen darstellen (außer zum Beispiel, außer zum Beispiel, Position oder Verschiebung) ihre Größe und Richtung können immer noch durch die Länge und Richtung eines Pfeils dargestellt werden. Die mathematische Darstellung eines physischen Vektors hängt von der ab Koordinatensystem verwendet, um es zu beschreiben. Andere vektorähnliche Objekte, die physikalische Größen beschreiben und sich unter Änderungen des Koordinatensystems ähnlich verwandeln Pseudovektoren und Tensoren.^[8]

Geschichte

Das Konzept des Vektors ist, wie wir es heute kennen, das Ergebnis einer allmählichen Entwicklung über einen Zeitraum von mehr als 200 Jahren. Etwa ein Dutzend Menschen leisteten erhebliche Beiträge zu seiner Entwicklung.^[9]

Im Jahr 1835, Giusto Bellavitis Die Grundidee abstrahiert, als er das Konzept von feststellte Ausrüstung. Er arbeitete in einem euklidischen Flugzeug und machte ein Paar von einem Paar von Paaren parallel Liniensegmente derselben Länge und Ausrichtung. Im Wesentlichen erkannte er eine Äquivalenzbeziehung auf den Punktpaaren (zweibaus) in der Ebene und somit den ersten Raum der Vektoren in der Ebene errichtet.^{[9]: 52–4}

Der Begriff Vektor wurde vorgestellt von William Rowan Hamilton im Rahmen einer Quaternion, was eine Summe ist q = s + v von a Reelle Zahl s (auch genannt Skalar) und eine dreidimensionale Vektor. Wie Bellavitis betrachtete Hamilton Vektoren als repräsentativ für Klassen von ausrüstungsübergreifenden Segmenten. Wie komplexe Zahlen benutze ein imaginäre Einheit zu ergänzen echte Linie, Hamilton betrachtete den Vektor v zu sein imaginärer Teil einer Quaternion:^[10]

Der algebraisch imaginäre Teil, der geometrisch durch eine gerade Linie oder einen Radiusvektor konstruiert wird, der im Allgemeinen für jedes entschlossene Quaternion eine bestimmte Länge und eine bestimmte Richtung im Raum hat, kann als Vektorteil oder einfach der Vektor der als Vektor bezeichnet werden Quaternion.

Mehrere andere Mathematiker entwickelten in der Mitte des neunzehnten Jahrhunderts vektorähnliche Systeme, einschließlich Augustin Cauchy, Hermann Grassmann, August Möbius, Comte de Saint-Venant, und Matthew O'Brien. Grassmanns Arbeit von 1840 von 1840 Theorie der Ebbe und Flut (Theorie des Ebbe und Flow) war das erste System der räumlichen Analyse, das dem heutigen System ähnelt, und hatte Ideen, die dem Kreuzprodukt, Skalarprodukt und Vektordifferenzierung entsprechen. Grassmanns Arbeit wurde bis in die 1870er Jahre weitgehend vernachlässigt.^[9]

Peter Guthrie Tait trug den Quaternionstandard nach Hamilton. Sein 1867 Elementarabhandlung von Quaternions umfasste eine umfassende Behandlung der Nabla oder Del Operator ∇.

Im Jahr 1878, Elemente der Dynamik wurde veröffentlicht von William Kingdon Clifford. Clifford vereinfachte die Quaternion -Studie, indem sie das isolierte Skalarprodukt und Kreuzprodukt von zwei Vektoren aus dem kompletten Quaternionsprodukt. Dieser Ansatz stellte die Vektorberechnungen für Ingenieure zur Verfügung - und andere in drei Dimensionen und skeptisch gegenüber dem vierten.

Josiah Willard Gibbs, wer war Quaternionen durchgesetzt durch James Clerk Maxwell's Abhandlung über Strom und Magnetismus, trennte ihren Vektorteil für eine unabhängige Behandlung. Die erste Hälfte von Gibbs Elemente der Vektoranalyse, veröffentlicht 1881, präsentiert das im Wesentlichen das moderne System der Vektoranalyse.^[9][6] Im Jahr 1901, Edwin Bidwell Wilson veröffentlicht Vektoranalyse, angepasst aus Gibbs Vorträgen, die jede Erwähnung von Quaternionen bei der Entwicklung von Vektorrechnung verbannten.

Überblick

Im Physik und Ingenieurwesen, ein Vektor wird typischerweise als geometrische Einheit angesehen, die durch a gekennzeichnet ist Größe und eine Richtung. Es ist formell als gerichtete definiert Liniensegment, oder Pfeil in a Euklidischer Raum.^[11] Im reine Mathematik, ein Vektor wird allgemeiner als jedes Element von a definiert Vektorraum. In diesem Zusammenhang sind Vektoren abstrakte Einheiten, die durch eine Größe und eine Richtung gekennzeichnet werden können oder nicht. Diese verallgemeinerte Definition impliziert, dass die oben genannten geometrischen Einheiten eine besondere Art von Vektoren sind, da sie Elemente einer besonderen Art von Vektorraum genannt werden Euklidischer Raum.

In diesem Artikel geht es um Vektoren, die streng als Pfeile im euklidischen Raum definiert sind. Wenn es notwendig wird, diese speziellen Vektoren von Vektoren zu unterscheiden, wie sie in reiner Mathematik definiert sind, werden sie manchmal als als bezeichnet geometrisch, räumlich, oder Euklidisch Vektoren.

Als Pfeil besitzt ein euklideanischer Vektor eine bestimmte Anfangspunkt und Terminalpunkt. Ein Vektor mit fester Anfangs- und Klemmepunkt wird a genannt gebundener Vektor.^[12] Wenn nur die Größe und Richtung der Vektormaterialien, dann ist der besondere Anfangspunkt keine Bedeutung, und der Vektor wird als a genannt freier Vektor. So zwei Pfeile ${\ displaystyle {\ stackrel {\, \ longrightarrow} {ab}}}$ und ${\ displaystyle {\ stackrel {\, \ longrightarrow} {a'b '}}}$ im Raum repräsentieren den gleichen freien Vektor, wenn sie die gleiche Größe und Richtung haben: Das heißt, sie sind es ausrüstet Wenn das Viereck Abb'a '' ist ein Parallelogramm. Wenn der euklidische Raum mit einer Wahl von ausgestattet ist Ursprungund dann entspricht ein freier Vektor dem gebundenen Vektor der gleichen Größe und Richtung, deren Anfangspunkt der Ursprung ist.

Der Begriff Vektor hat auch Verallgemeinerungen auf höhere Dimensionen und formalere Ansätze mit viel breiteren Anwendungen.

Weitere Informationen

In klassisch Euklidische Geometrie (d. h., synthetische Geometrie) wurden Vektoren eingeführt (im 19. Jahrhundert) als Äquivalenzklassen unter Ausrüstung, von bestellte Paare von Punkten; zwei Paare (A, B) und (C, D) Ausrüstungsfest sein, wenn die Punkte A, B, D, Cin dieser Reihenfolge bilden Sie a Parallelogramm. Eine solche Äquivalenzklasse heißt a Vektorgenauer gesagt ein euklideischer Vektor.^[13] Die Äquivalenzklasse von (A, B) wird oft bezeichnet ${\ displayStyle {\ Overrightarrow {ab}}.}$

Ein euklideanischer Vektor ist somit eine Äquivalenzklasse von gerichteten Segmenten mit der gleichen Größe (z. B. die Länge der Länge der Liniensegment (A, B)) und gleiche Richtung (z. B. die Richtung von A zu B).^[14] In der Physik werden euklidische Vektoren verwendet, um physikalische Größen darzustellen, die sowohl Größe als auch Richtung haben, sich jedoch nicht an einem bestimmten Ort befinden, im Gegensatz zu einer bestimmten Stelle Skalare, die keine Richtung haben.^[7] Zum Beispiel, Geschwindigkeit, Kräfte und Beschleunigung werden durch Vektoren dargestellt.

In der modernen Geometrie werden euklidische Räume häufig definiert Lineare Algebra. Genauer gesagt ein euklidischer Raum E wird definiert als ein Satz, an den ein assoziiert ist und ein innerer Produktraum der endlichen Dimension über die Realität ${\ displayStyle {\ OverRightarrow {e}},},}$ und ein Gruppenaktion des Additivgruppe von ${\ displayStyle {\ OverRightarrow {e}},},}$ welches ist frei und transitiv (Sehen Offine Space für Einzelheiten dieser Konstruktion). Die Elemente von ${\ displayStyle {\ OverRightarrow {e}}}$ werden genannt Übersetzungen.

Es wurde nachgewiesen, dass die beiden Definitionen von euklidischen Räumen gleichwertig sind und dass die Äquivalenzklassen unter Equivalenz mit Übersetzungen identifiziert werden können.

Manchmal werden euklidische Vektoren ohne Bezugnahme auf einen euklidischen Raum betrachtet. In diesem Fall ist ein euklideanischer Vektor ein Element eines normierten Vektorraums mit endlicher Dimension über die Realität oder typischerweise ein Element von ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n}}$ ausgestattet mit dem Skalarprodukt. Dies ist sinnvoll, da die Ergänzung in einem solchen Vektorraum frei und transitiv auf dem Vektorraum selbst wirkt. Das ist, ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n}}$ ist ein euklidischer Raum mit sich selbst als zugehöriger Vektorraum und das Punktprodukt als inneres Produkt.

Der euklidische Raum ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n}}$ wird oft als als das Euklidischer Raum der Dimension n. Dies wird durch die Tatsache motiviert, dass jeder euklidische Dimensionsraum n ist isomorph zum euklidischen Raum ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n}.}$ Genauer gesagt kann man angesichts eines solchen euklidischen Raums einen beliebigen Punkt auswählen O als an Ursprung. Durch Gram -Schmidt -Prozess, man kann auch eine finden Orthonormale Basis des zugehörigen Vektorraums (eine Basis, so dass das innere Produkt von zwei Basisvektoren 0 beträgt, wenn sie unterschiedlich sind und 1, wenn sie gleich sind). Dies definiert Kartesischen Koordinaten von irgendeinem Punkt P des Raums als Koordinaten auf dieser Grundlage des Vektors ${\ displayStyle {\ OverRightarrow {op}}.}$ Diese Entscheidungen definieren einen Isomorphismus des gegebenen euklidischen Raums auf ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n},},}$ durch Abbildung eines Punktes auf die n-tupel seiner kartesischen Koordinaten und jedem Vektor zu seinem Koordinatenvektor.

Beispiele in einer Dimension

Seit dem Konzept des Physikers von Macht hat eine Richtung und eine Größe, es kann als Vektor gesehen werden. Betrachten Sie als Beispiel eine Rechtskraft F von 15 Newtons. Wenn das Positive Achse ist dann auch nach rechts gerichtet, dann F wird durch den Vektor 15 N dargestellt, und wenn positive Punkte nach links dürfen, dann der Vektor für F ist –15 N. In beiden Fällen beträgt die Größe des Vektors 15 N. Ebenso die Vektordarstellung einer Verschiebung δs von 4 Meter wäre je nach Richtung 4 m oder –4 m, und seine Größe wäre unabhängig von 4 m.

In Physik und Ingenieurwesen

Vektoren sind in den physischen Wissenschaften von grundlegender Bedeutung. Sie können verwendet werden, um jede Menge darzustellen, die eine Größenordnung hat, eine Richtung hat und die sich an die Regeln der Vektoraddition hält. Ein Beispiel ist Geschwindigkeit, deren Größe ist Geschwindigkeit. Zum Beispiel die Geschwindigkeit 5 Meter pro Sekunde nach oben könnte durch den Vektor (0, 5) dargestellt werden (in 2 Dimensionen mit dem Positiv y-Axis as 'up'). Eine andere Menge, die durch einen Vektor dargestellt wird, ist Macht, da es eine Größe und Richtung hat und die Regeln der Vektorabstimmung befolgt.^[7] Vektoren beschreiben auch viele andere physikalische Größen, wie z. B. lineare Verschiebung, Verschiebung, lineare Beschleunigung, Winkelbeschleunigung, linear Momentum, und Winkelimpuls. Andere physikalische Vektoren wie die elektrisch und Magnetfeld, werden an jedem Punkt eines physischen Raums als ein System von Vektoren dargestellt; das ist ein Vektorfeld. Beispiele für Größen, die Größe und Richtung aufweisen, aber die Regeln der Vektorabzug nicht befolgen, sind Winkelverschiebung und elektrischer Strom. Folglich sind dies keine Vektoren.

Im kartesischen Raum

In dem Kartesisches KoordinatensystemEin gebundener Vektor kann dargestellt werden, indem die Koordinaten seines anfänglichen und terminalen Punktes identifiziert werden. Zum Beispiel die Punkte A = (1, 0, 0) und B = (0, 1, 0) im Raum den gebundenen Vektor bestimmen ${\ displayStyle {\ OverRightarrow {ab}}}$ Aus dem Punkt zeigen x = 1 auf der x-Axis bis zum Punkt y = 1 auf der y-Achse.

In kartesischen Koordinaten kann ein freier Vektor in diesem Sinne in diesem Sinne die Koordinaten des Ursprungs in diesem Sinne betrachtet werden O = (0, 0, 0). Es wird dann durch die Koordinaten des Endpunkts des gebundenen Vektors bestimmt. Somit ist der freie Vektor, der durch (1, 0, 0) dargestellt wird x-Achse.

Diese Koordinatenpräsentation freier Vektoren ermöglicht es, dass ihre algebraischen Merkmale bequem numerisch ausgedrückt werden. Zum Beispiel ist die Summe der beiden (freien) Vektoren (1, 2, 3) und (–2, 0, 4) der (freie) Vektor

Euklidische und affinische Vektoren

In den geometrischen und physikalischen Umgebungen ist es manchmal möglich, sich auf natürliche Weise zu verbinden, a Länge oder Größe und eine Richtung zu Vektoren. Darüber hinaus ist der Begriff der Richtung streng mit dem Begriff eines assoziiert Winkel zwischen zwei Vektoren. Wenn die Skalarprodukt von zwei Vektoren ist definiert-ein skalares Wert von zwei Vektoren-, dann ist es auch möglich, eine Länge zu definieren; Das Punktprodukt liefert eine bequeme algebraische Charakterisierung beider Winkel (eine Funktion des Punktprodukts zwischen zwei Vektoren ungleich Null) und Länge (die Quadratwurzel des Punktprodukts eines Vektors für sich selbst). In drei Dimensionen ist es weiter möglich, die zu definieren Kreuzprodukt, was eine algebraische Charakterisierung der liefert Bereich und Orientierung im Raum der Parallelogramm definiert durch zwei Vektoren (verwendet als Seiten des Parallelogramms). In jeder Dimension (und insbesondere höhere Dimensionen) ist es möglich, die zu definieren Außenprodukt, was unter anderem eine algebraische Charakterisierung des Bereichs und die Ausrichtung im Raum des n-Dimensional Parallelotop definiert von n Vektoren.

In einem Pseudo-EUCLIDEN-RaumDie quadratische Länge eines Vektors kann positiv, negativ oder Null sein. Ein wichtiges Beispiel ist Minkowski -Raum (was für unser Verständnis von wichtig ist Spezielle Relativität).

Es ist jedoch nicht immer möglich oder wünschenswert, die Länge eines Vektors zu definieren. Diese allgemeinere Art des räumlichen Vektors ist Gegenstand von Vektorräume (für freie Vektoren) und affine Räume (für gebundene Vektoren, wie sie jeweils durch ein geordnetes Paar "Punkte" dargestellt werden). Ein physisches Beispiel kommt von Thermodynamik, wo viele interessierende Mengen als Vektoren in einem Raum ohne Vorstellung von Länge oder Winkel betrachtet werden können.^[15]

Verallgemeinerungen

In der Physik sowie in der Mathematik wird ein Vektor häufig mit a identifiziert Tupel von Komponenten oder Liste von Zahlen, die als Skalarkoeffizienten für einen Satz von fungieren Basisvektoren. Wenn die Basis beispielsweise durch Rotation oder Dehnung transformiert wird, verwandeln sich die Komponenten eines Vektors in Bezug auf diese Grundlage auch in einem entgegengesetzten Sinne. Der Vektor selbst hat sich nicht geändert, aber die Grundlage hat sich, sodass sich die Komponenten des Vektors ändern müssen, um dies auszugleichen. Der Vektor heißt Kovariante oder kontravariant, abhängig davon, wie die Transformation der Komponenten des Vektors mit der Transformation der Basis zusammenhängt. Im Allgemeinen sind kontravariante Vektoren "reguläre Vektoren" mit Entfernungseinheiten (wie einer Verschiebung) oder Entfernungszeiten einer anderen Einheit (wie Geschwindigkeit oder Beschleunigung); kovariante Vektoren hingegen haben Einheiten mit Einsaugen wie z. Gradient. Wenn Sie Einheiten (ein Sonderfall einer Basisänderung) von Meter zu Millimetern ändern, wird ein Skalierungsfaktor von 1/1000 eine Verschiebung von 1 m - eine kontravariante Änderung des numerischen Werts. Im Gegensatz dazu ein Gradient von 1K/m wird zu 0,001 k/mm - eine kovariante Wertänderung (für mehr siehe Kovarianz und Verträge der Vektoren). Tensoren sind eine andere Art von Menge, die sich auf diese Weise verhalten; Ein Vektor ist eine Art von Art von Tensor.

Im Reinen Mathematik, ein Vektor ist ein Element von a Vektorraum über etwas aufstellen und wird oft als als dargestellt Koordinatenvektor. Die in diesem Artikel beschriebenen Vektoren sind ein ganz besonderer Fall dieser allgemeinen Definition, da sie in Bezug auf den Umgebungsraum kontravarisch sind. Kontravarianz erfasst die physische Intuition hinter der Idee, dass ein Vektor "Größe und Richtung" hat.

Darstellungen

Vektoren sind normalerweise in bezeichnet in Kleinbuchstaben fett wie in ${\ displaystyle \ mathbf {u}}$, ${\ displaystyle \ mathbf {v}}$ und ${\ displaystyle \ mathbf {w}}$oder in Kleinbuchstaben, wie in a. (Großbuchstaben Buchstaben werden normalerweise zur Darstellung verwendet Matrizen.) Andere Konventionen umfassen ${\ displaystyle {\ vec {a}}}$ oder abesonders in der Handschrift. Alternativ verwenden einige a Tilde (~) oder eine wellige Unterstreichung unter dem Symbol, z. ${\ displaystyle {\ unterstrich {^{\ sim}} {a}}}$, was eine Konvention zum Angeben von fettem Face -Typ ist. Wenn der Vektor einen gerichteten darstellt Distanz oder Verschiebung Von einem Punkt A bis zu einem Punkt B (siehe Abbildung) kann es auch als bezeichnet werden als ${\ displaystyle {\ stackrel {\ longrightarrow} {ab}}}$ oder Ab. Im Deutsch Literatur, es war besonders häufig, Vektoren mit kleinen darzustellen Fraktur Briefe wie ${\ displaystyle {\ mathfrak {a}}}$.

Vektoren werden normalerweise in Diagrammen oder anderen Diagrammen als Pfeile dargestellt (gerichtet Liniensegmente), wie in der Abbildung dargestellt. Hier der Punkt A wird genannt Ursprung, Schwanz, Base, oder Anfangspunktund der Punkt B wird genannt Kopf, Tipp, Endpunkt, Terminalpunkt oder Endpunkt. Die Länge des Pfeils ist proportional zum Vektor Größe, während die Richtung, in der die Pfeilpunkte die Richtung des Vektors angeben.

Auf einem zweidimensionalen Diagramm, einem Vektor aufrecht zum Flugzeug des Diagramms ist manchmal erwünscht. Diese Vektoren werden üblicherweise als kleine Kreise dargestellt. Ein Kreis mit einem Punkt in seiner Mitte (Unicode U+2299 ⊙) zeigt einen Vektor an, der aus der Vorderseite des Diagramms zum Betrachter zeigt. Ein Kreis mit einem in IT eingeschriebenen Kreuz (Unicode U+2297 ⊗) zeigt einen Vektor an, der in und hinter das Diagramm zeigt. Diese können als Betrachtung der Spitze eines betrachtet werden Pfeil Gehen Sie auf und sehen Sie die Flüge eines Pfeils von hinten.

Um mit Vektoren zu berechnen, kann die grafische Darstellung zu umständlich sein. Vektoren in einem n-Dimensionaler euklidischer Raum kann als dargestellt werden als Vektoren koordinieren in einem Kartesisches Koordinatensystem. Der Endpunkt eines Vektors kann mit einer geordneten Liste von identifiziert werden n reale Nummern (n-Tupel). Diese Zahlen sind die Koordinaten des Endpunkts des Vektors in Bezug auf eine gegebene Kartesisches Koordinatensystem, und werden typischerweise das genannt Skalare Komponenten (oder Skalarprojektionen) des Vektors auf den Achsen des Koordinatensystems.

Als Beispiel in zwei Dimensionen (siehe Abbildung), der Vektor aus dem Ursprung O = (0, 0) auf den Punkt A = (2, 3) ist einfach als geschrieben als

Die Vorstellung, dass der Schwanz des Vektors mit dem Ursprung zusammenfällt, ist implizit und leicht zu verstehen. Die explizitere Notation ${\ displayStyle {\ OverRightarrow {oa}}}$ wird normalerweise nicht notwendig (und wird in der Tat selten verwendet).

Im dreidimensional Euklidischer Raum (oder R³), Vektoren werden mit dreifachen Skalarkomponenten identifiziert:

auch geschrieben,

Dies kann auf verallgemeinert werden n-dimensional Euklidischer Raum (oder Rⁿ).

Diese Zahlen sind oft in a angeordnet Spaltenvektor oder Reihenvektorbesonders beim Umgang mit Matrizen, folgendermaßen:

Eine andere Möglichkeit, einen Vektor in der Darstellung eines Vektors in n-Dimensionen sollen die vorstellen Standardbasis Vektoren. Zum Beispiel gibt es in drei Dimensionen drei davon:

Diese haben die intuitive Interpretation als Vektoren der Einheitslänge, die auf die zeigen x-,, y-, und z-Axis von a Kartesisches Koordinatensystem, beziehungsweise. In Bezug auf diese jeder Vektor a in R³ kann in der Form ausgedrückt werden:

oder

wo a₁, a₂, a₃ werden als die genannt Vektorkomponenten (oder Vektorprojektionen) von a auf der Basis Vektoren oder gleichwertig auf den entsprechenden kartesischen Achsen x, y, und z (siehe Abbildung), während a₁, a₂, a₃ sind die jeweils Skalare Komponenten (oder Skalarprojektionen).

In einführenden Physik -Lehrbüchern werden häufig Standard -Basisvektoren bezeichnet ${\ displaystyle \ mathbf {i}, \ mathbf {j}, \ mathbf {k}}$ stattdessen (oder $oder$, in dem die Hutsymbol ^ Zeigt normalerweise an Einheitsvektoren). In diesem Fall werden die Skalar- und Vektorkomponenten jeweils bezeichnet a_x, a_y, a_z, und a_x, a_y, a_z (Beachten Sie den Unterschied in Fettdruck). Daher,

Die Notation e_i ist kompatibel mit dem Indexnotation und die Summierungskonvent häufig in Mathematik, Physik und Ingenieurwesen auf höherer Ebene verwendet.

Zersetzung oder Auflösung

Wie erklärt Oben, ein Vektor wird oft durch eine Reihe von Vektorkomponenten beschrieben, die addieren Um den gegebenen Vektor zu bilden. Typischerweise sind diese Komponenten die Projektionen des Vektors auf einem Satz von gegenseitig senkrechten Referenzachsen (Basisvektoren). Der Vektor soll sein zersetzt oder in Bezug auf das Set.

Die Zersetzung oder Auflösung^[16] eines Vektors in Komponenten ist nicht einzigartig, da er von der Wahl der Achsen abhängt, auf die der Vektor projiziert wird.

Darüber hinaus die Verwendung kartesischer Einheitenvektoren wie z. $oder$ Als ein Basis in der ein Vektor nicht vorgeschrieben ist. Vektoren können auch als willkürliche Basis ausgedrückt werden, einschließlich der Einheitsvektoren von a Zylindrisches Koordinatensystem ($oder$) oder Kugelkoordinatensystem ($oder$). Die beiden letztgenannten Auswahlmöglichkeiten sind bequemer, um Probleme zu lösen, die eine zylindrische bzw. sphärische Symmetrie besitzen.

Die Wahl einer Basis wirkt sich nicht auf die Eigenschaften eines Vektors oder seines Verhaltens unter Transformationen aus.

Ein Vektor kann auch in Bezug auf "nicht fixierte" Basisvektoren, die ihre verändern Orientierung als Funktion von Zeit oder Raum. Zum Beispiel kann ein Vektor im dreidimensionalen Raum mit Respekt auf zwei Achsen zersetzt werden normal, und Tangente zu einer Oberfläche (siehe Abbildung). Außerdem die radial und Tangentialkomponenten eines Vektors beziehen sich auf die Radius von Drehung eines Objekts. Ersteres ist parallel zum Radius und letzteres ist senkrecht dazu.^[17]

In diesen Fällen kann jeder der Komponenten wiederum in Bezug auf ein festes Koordinatensystem oder Basissatz zerlegt werden (z. B. a global Koordinatensystem oder Trägheitsreferenzrahmen).

Grundeigenschaften

Der folgende Abschnitt verwendet die Kartesisches Koordinatensystem mit Basisvektoren

und nimmt an, dass alle Vektoren den Ursprung als gemeinsamer Basispunkt haben. Ein Vektor a wird geschrieben als

Gleichberechtigung

Zwei Vektoren sollen gleich sind, wenn sie die gleiche Größe und Richtung haben. Äquivalent sind sie gleich, wenn ihre Koordinaten gleich sind. Also zwei Vektoren

und sind gleich, wenn

Gegenüberliegende, parallele und antiparallele Vektoren

Zwei Vektoren sind entgegengesetzt, wenn sie die gleiche Größe, aber die entgegengesetzte Richtung haben. Also zwei Vektoren

und sind entgegengesetzt, wennZwei Vektoren sind parallel, wenn sie dieselbe Richtung haben, aber nicht unbedingt die gleiche Größe oder Antiparallel, wenn sie entgegengesetzte Richtung haben, aber nicht unbedingt die gleiche Größe.

Addition und Subtraktion

Nehmen Sie jetzt das an a und b sind nicht unbedingt gleiche Vektoren, sondern dass sie unterschiedliche Größen und Richtungen haben. Die Summe von a und b ist

Die Zugabe kann grafisch dargestellt werden, indem der Schwanz des Pfeils platziert wird b an der Spitze des Pfeils aund dann einen Pfeil aus dem Schwanz von a zum Kopf von b. Der gezogene Neupfeil repräsentiert den Vektor a + b, wie unten dargestellt:^[7]

Diese Additionsmethode wird manchmal als die genannt Parallelogrammregel Weil a und b bilden die Seiten von a Parallelogramm und a + b ist einer der Diagonalen. Wenn a und b sind gebundene Vektoren, die den gleichen Basispunkt haben, dieser Punkt wird auch der Basispunkt von sein a + b. Man kann das geometrisch überprüfen a + b = b + a und (a + b) + c = a + (b + c).

Der Unterschied von a und b ist

Die Subtraktion von zwei Vektoren kann geometrisch wie folgt veranschaulicht werden: Subtrahieren b aus aplatzieren die Schwänze von a und b am selben Punkt und dann einen Pfeil aus dem Kopf von b zum Kopf von a. Dieser Neupfeil repräsentiert den Vektor (-b) + a, mit (-b) das Gegenteil von sein b, Zeichnung sehen. Und (-b) + a = a − b.

Skalarmultiplikation

Ein Vektor kann auch multipliziert werden oder wiederskaliert, durch eine reelle Zahl r. Im Zusammenhang mit Konventionelle VektoralgebraDiese realen Zahlen werden oft genannt Skalare (aus Skala), um sie von Vektoren zu unterscheiden. Der Betrieb eines Vektors mit einem Skalar wird genannt Skalarmultiplikation. Der resultierende Vektor ist

Intuitiv mit einem Skalar multiplizieren r streckt einen Vektor um einen Faktor von aus r. Geometrisch kann dies visualisiert werden (zumindest in dem Fall, wenn r ist eine Ganzzahl) als Platzierung r Kopien des Vektors in einer Linie, in der der Endpunkt eines Vektors der Anfangspunkt des nächsten Vektors ist.

Wenn r ist negativ, dann ändert der Vektor die Richtung: Er fließt um einen Winkel von 180 ° um. Zwei Beispiele (r = -1 und r = 2) sind unten angegeben:

Skalare Multiplikation ist verteilt Über Vektoraddition im folgenden Sinne: r(a + b) = ra + rb Für alle Vektoren a und b und alle Skalare r. Man kann das auch zeigen a − b = a + (–1)b.

Länge

Das Länge oder Größe oder Norm des Vektors a wird mit ‖ bezeichneta‖ Oder weniger häufig, |a|, was nicht mit dem verwechselt werden darf absoluter Wert (ein Skalar "Norm").

Die Länge des Vektors a kann mit dem berechnet werden Euklidische NormAnwesend

Welches ist eine Folge der Satz des Pythagoras Seit den Basisvektoren e₁, e₂, e₃ sind orthogonale Einheitenvektoren.

Dies ist gleich der Quadratwurzel der Skalarprodukt, unten diskutiert, des Vektors mit sich selbst:

Einheitsvektor

A Einheitsvektor ist jeder Vektor mit einer Länge von einem; Normalerweise werden Einheitsvektoren einfach verwendet, um die Richtung anzuzeigen. Ein Vektor der willkürlichen Länge kann durch seine Länge geteilt werden, um einen Einheitsvektor zu erstellen.^[14] Dies ist bekannt als als Normalisierung ein Vektor. Ein Einheitsvektor wird oft mit einem Hut wie in angezeigt â.

Einen Vektor normalisieren a = (a₁, a₂, a₃)skalieren Sie den Vektor durch den gegenseitigen Wechsel seiner Länge ‖a‖. Das ist:

Null -Vektor

Das Null -Vektor ist der Vektor mit Länge Null. Der Vektor ist in Koordinaten ausgeschrieben, und ist der Vektor (0, 0, 0), und es wird allgemein bezeichnet ${\ displayStyle {\ vec {0}}}$, 0oder einfach 0. Im Gegensatz zu jedem anderen Vektor hat es eine willkürliche oder unbestimmte Richtung und kann nicht normalisiert werden (dh gibt es keinen Einheitsvektor, der ein Vielfaches des Nullvektors ist). Die Summe des Nullvektors mit jedem Vektor a ist a (das ist, 0 + a = a).

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt von zwei Vektoren a und b (manchmal genannt das Innenproduktoder, da sein Ergebnis ein Skalar ist, die Skalarprodukt) wird bezeichnet durch a∙b, und ist definiert als:

wo θ ist das Maß der Winkel zwischen a und b (sehen Trigonometrische Funktion für eine Erklärung des Cosinus). Geometrisch bedeutet das, dass das a und b werden mit einem gemeinsamen Startpunkt gezeichnet und dann die Länge von a wird mit der Länge der Komponente von multipliziert b das zeigt in die gleiche Richtung wie a.

Das Punktprodukt kann auch als die Summe der Produkte der Komponenten jedes Vektors als definiert werden

Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt (auch als die genannt Vektorprodukt oder Außenprodukt) ist nur in drei oder nur sinnvoll Sieben Maße. Das Kreuzprodukt unterscheidet sich hauptsächlich vom Punktprodukt, da das Ergebnis des Kreuzprodukts von zwei Vektoren ein Vektor ist. Das Kreuzprodukt, bezeichnet a×b, ist ein Vektor senkrecht zu beiden a und b und ist definiert als

wo θ ist das Maß für den Winkel zwischen a und b, und n ist ein Einheitsvektor aufrecht zu beiden a und b das vervollständigt a Rechtshändig System. Die Einschränkung der Rechtshändigkeit ist notwendig, weil es existiert zwei Einheitsvektoren, die senkrecht zu beiden sind a und b, nämlich, n und ( -n).

Das Kreuzprodukt a×b ist so definiert, dass a, b, und a×b wird auch zu einem rechtshändigen System (obwohl a und b sind nicht unbedingt senkrecht). Dies ist das Rechtsregel.

Die Länge von a×b kann als der Bereich des Parallelogramms miteinander interpretiert werden a und b als Seiten.

Das Kreuzprodukt kann geschrieben werden als

Für willkürliche Auswahlmöglichkeiten der räumlichen Ausrichtung (dh die Ermöglichung von linkshändigen und rechtshändigen Koordinatensystemen) ist das Kreuzprodukt zweier Vektoren ein Pseudovektor anstelle eines Vektors (siehe unten).

Skalar -Triple -Produkt

Das Skalar -Triple -Produkt (auch als die genannt Boxprodukt oder gemischtes dreifaches Produkt) ist nicht wirklich ein neuer Betreiber, sondern eine Möglichkeit, die beiden anderen Multiplikationsbetreiber auf drei Vektoren anzuwenden. Das Skalar -Triple -Produkt wird manchmal mit ((a b c) und definiert als:

Es hat drei primäre Verwendungszwecke. Erstens ist der absolute Wert des Box -Produkts das Volumen der parallelepiped Das hat Kanten, die von den drei Vektoren definiert werden. Zweitens ist das Skalar -Triple -Produkt nur dann Null, wenn die drei Vektoren sind linear abhängig, was leicht beweist werden kann, wenn man bedenkt, dass die drei Vektoren, damit sie kein Volumen erstellen können, alle in derselben Ebene liegen müssen. Drittens ist das Boxprodukt nur dann positiv, wenn die drei Vektoren a, b und c sind Rechtshänder.

In Komponenten (in Bezug auf eine rechtshändige orthonormale Basis) Wenn die drei Vektoren als Zeilen (oder Spalten, aber in derselben Reihenfolge) betrachtet werden, ist das Skalar -Triple -Produkt einfach das bestimmend der 3-mal-3 Matrix Die drei Vektoren als Reihen haben

Das Skalar-Triple-Produkt ist in allen drei Einträgen linear und im folgenden Sinne antisymmetrisch:

Konvertierung zwischen mehreren kartesischen Basen

Alle bisherigen Beispiele haben sich mit Vektoren befasst, die in Bezug auf dieselbe Grundlage ausgedrückt wurden, nämlich die e Basis {e₁, e₂, e₃}. Ein Vektor kann jedoch in Bezug auf eine beliebige Anzahl verschiedener Grundlagen ausgedrückt werden, die nicht unbedingt miteinander ausgerichtet sind und immer noch der gleiche Vektor bleiben. In dem e Basis ein Vektor a wird per Definition als ausgedrückt als

Die skalaren Komponenten in der e Basis sind per Definition,

In einer anderen orthonormalen Basis n = {{n₁, n₂, n₃} Das ist nicht unbedingt miteinander ausgerichtet e, der Vektor a wird ausgedrückt als

und die skalaren Komponenten in der n Basis sind per Definition,

Die Werte von p, q, r, und u, v, w Beziehen Sie sich auf die Einheitsvektoren so, dass die resultierende Vektorsumme genau der gleiche physische Vektor ist a in beiden Fällen. Es ist üblich, Vektoren zu begegnen, die in verschiedenen Basen bekannt sind (z. B. eine Basis, die an der Erde festgelegt ist und eine zweite Basis an einem sich bewegenden Fahrzeug festgelegt ist). In einem solchen Fall ist es erforderlich, eine Methode zur Konvertierung zwischen Basen zu entwickeln, damit die grundlegenden Vektoroperationen wie Addition und Subtraktion durchgeführt werden können. Eine Möglichkeit zum Ausdruck u, v, w bezüglich p, q, r ist Spaltenmatrizen zusammen mit a Richtung Cosinus Matrix enthält die Informationen, die die beiden Basen beziehen. Ein solcher Ausdruck kann durch Substitution der oben genannten Gleichungen zur Bildung gebildet werden

Verteilung der Dot-Multiplikation gibt an

Ersetzen jedes Punktprodukts durch einen einzigartigen Skalar gibt

und diese Gleichungen können als Einzelmatrixgleichung ausgedrückt werden

Diese Matrixgleichung bezieht die skalaren Komponenten von a in dem n Basis (u,v, und w) mit denen in der e Basis (p, q, und r). Jedes Matrixelement c_jk ist der Richtung Cosinus bezüglich n_j zu e_k.^[18] Der Begriff Richtung Cosinus bezieht sich auf Kosinus des Winkels zwischen zwei Einheitenvektoren, was ebenfalls gleich ist Skalarprodukt.^[18] Deswegen,

Durch gemeinsame Bezug auf e₁, e₂, e₃ als die e Basis und zu n₁, n₂, n₃ als die n Basis enthält die Matrix, die alle enthält c_jk ist als "bekannt" bekannt "Transformationsmatrix aus e zu n", oder der "Rotationsmatrix aus e zu n"(Weil es sich als" Rotation "eines Vektors von einer Basis zur anderen vorstellen kann) oder der"Richtung Cosinus Matrix aus e zu n"^[18] (Weil es Richtungs -Cosinus enthält). Die Eigenschaften von a Rotationsmatrix sind so, dass es sein umgekehrt entspricht seinem gleich Transponieren. Dies bedeutet, dass die "Rotationsmatrix von e zu n"ist die Transponierung der" Rotationsmatrix von " n zu e".

Die Eigenschaften einer Richtung Cosinus Matrix, C sind:^[19]

• Die Determinante ist Einheit, | C | = 1;
• Die Inverse entspricht der Transponierung;
• Die Zeilen und Säulen sind orthogonale Einheitsvektoren, daher sind ihre Punktprodukte Null.

Der Vorteil dieser Methode besteht darin, dass eine Richtung Cosinus Matrix normalerweise unabhängig mit Verwendung erhalten werden kann Euler -Winkel oder ein Quaternion Um die beiden Vektorbasen in Beziehung zu setzen, können die Basisumwandlungen direkt durchgeführt werden, ohne alle oben beschriebenen Punktprodukte ausarbeiten zu müssen.

Durch die Anwendung mehrerer Matrixmultiplikationen nacheinander kann jeder Vektor in jeder Basis ausgedrückt werden, solange der Satz von Richtungskosinen in Bezug auf die aufeinanderfolgenden Basen bekannt ist.^[18]

Andere Dimensionen

Mit Ausnahme der Kreuz- und Dreifachprodukte verallgemeinern die obigen Formeln auf zwei Abmessungen und höhere Dimensionen. Zum Beispiel verallgemeinert Addition auf zwei Dimensionen als

und in vier Dimensionen als

Das Kreuzprodukt verallgemeinert nicht leicht auf andere Dimensionen, obwohl die eng verwandten Außenprodukt tut, dessen Ergebnis a ist Biverector. In zwei Dimensionen ist dies einfach a Pseudoscalar

A Siebendimensionales Kreuzprodukt ähnelt dem Kreuzprodukt insofern, als sein Ergebnis ein Vektor -orthogonaler Vektor zu den beiden Argumenten ist; Es gibt jedoch keine natürliche Möglichkeit, eines der möglichen solchen Produkte auszuwählen.

Physik

Vektoren haben viele Verwendungszwecke in Physik und anderen Wissenschaften.

Länge und Einheiten

In abstrakten Vektorräumen hängt die Länge des Pfeils von a ab dimensionlos Skala. Wenn es zum Beispiel eine Kraft darstellt, ist die "Skala" von von physische Dimension Länge/Kraft. Somit besteht typischerweise eine Konsistenz in der Skalierung zwischen den Größen derselben Dimension, aber ansonsten können Skalenverhältnisse variieren; Wenn beispielsweise "1 Newton" und "5 m" beide mit einem Pfeil von 2 cm dargestellt werden, sind die Skalen 1 m: 50 n bzw. 1: 250. Die gleiche Länge der Vektoren unterschiedlicher Dimension hat keine besondere Bedeutung, es sei denn, es gibt einige Proportionalitätskonstante inhärent mit dem System, das das Diagramm darstellt. Auch die Länge eines Einheitsvektors (von Dimensionslänge, nicht Länge/Kraft usw.) hat keine Koordinatensystem-invariante Bedeutung.

Vektorwerte Funktionen

Oft entwickelt sich in Bereichen Physik und Mathematik ein Vektor rechtzeitig, was bedeutet, dass er von einem Zeitparameter abhängt t. Zum Beispiel wenn, wenn r repräsentiert dann den Positionsvektor eines Teilchens r(t) gibt ein parametrisch Darstellung der Flugbahn des Partikels. Vektor-bewertete Funktionen können sein differenziert und integriert Durch die Differenzierung oder Integration der Komponenten des Vektors und viele der bekannten Regeln von Infinitesimalrechnung Halten Sie weiterhin für die Derivat und Integral der vektorwertigen Funktionen.

Position, Geschwindigkeit und Beschleunigung

Die Position eines Punktes x = (x₁, x₂, x₃) Im dreidimensionalen Raum kann als a dargestellt werden Positionsvektor Wessen Basispunkt ist der Ursprung

Der Positionsvektor hat Dimensionen von Länge.

Zwei Punkte gegeben x = (x₁, x₂, x₃), y = (y₁, y₂, y₃) ihr Verschiebung ist ein Vektor

die die Position von angeben y relativ zu x. Die Länge dieses Vektors gibt den geraden Abstand von x zu y. Die Verschiebung hat die Längeabmessungen.

Das Geschwindigkeit v eines Punktes oder Teilchens ist ein Vektor, seine Länge ergibt die Geschwindigkeit. Für die konstante Geschwindigkeit die Position zum Zeitpunkt t wird sein

wo x₀ ist die Position zur Zeit t = 0. Geschwindigkeit ist die Zeitderivat von Position. Seine Abmessungen sind Länge/Zeit.

Beschleunigung a eines Punktes ist Vektor, der das ist Zeitderivat der Geschwindigkeit. Seine Abmessungen sind Länge/Zeit².

Kraft, Energie, Arbeit

Macht ist ein Vektor mit Abmessungen von Masse × Länge/Zeit² und Newtons zweites Gesetz ist die skalare Multiplikation

Arbeit ist das Punktprodukt von Macht und Verschiebung

Vektoren, Pseudovektoren und Transformationen

Eine alternative Charakterisierung von euklideischen Vektoren, insbesondere in der Physik Koordinatenumwandlung. EIN kontravarianter Vektor ist erforderlich, um Komponenten zu haben, die unter Änderungen von "entgegengesetzt zur Grundlage transformieren" Basis. Der Vektor selbst ändert sich nicht, wenn die Grundlage transformiert wird. Stattdessen führen die Komponenten des Vektors eine Änderung vor, die die Änderung der Basis abbricht. Mit anderen Worten, wenn die Referenzachsen (und die daraus abgeleitete Basis) in eine Richtung gedreht würden, würde sich die Komponentendarstellung des Vektors auf die entgegengesetzte Weise drehen, um denselben endgültigen Vektor zu erzeugen. In ähnlicher Weise würden die Komponenten des Vektors auf genau kompensierende Weise reduzieren, wenn die Referenzachsen in eine Richtung gestreckt würden. Mathematisch, wenn die Grundlage eine von einem beschriebene Transformation erfährt Invertierbare Matrix M, damit ein Koordinatenvektor x wird in umgewandelt in x'= Mxdann ein kontravarianter Vektor v muss in ähnlicher Weise durch transformiert werden v'= M${\ displayStyle ^{-1}}$v. Diese wichtige Voraussetzung unterscheidet einen kontravarianten Vektor von einem anderen dreifachen physikalisch bedeutsamen Mengen. Zum Beispiel wenn v besteht aus dem x, y, und z-Komponenten von Geschwindigkeit, dann v ist ein kontravarianter Vektor: Wenn die Raumkoordinaten des Raums gedehnt, gedreht oder verdreht sind, verwandeln sich die Komponenten der Geschwindigkeit auf die gleiche Weise. Auf der anderen Seite kann ein Dreifach, das aus Länge, Breite und Höhe einer rechteckigen Box besteht VektorAber dieser Vektor wäre nicht kontravarant, da das Drehen der Box die Länge, die Breite und die Höhe der Box nicht ändert. Beispiele für kontravariante Vektoren sind Verschiebung, Geschwindigkeit, elektrisches Feld, Schwung, Macht, und Beschleunigung.

In der Sprache von Differentialgeometrie, die Anforderung, dass die Komponenten einer Vektortransformation gemäß der gleichen Matrix des Koordinatenübergangs gleich der Definition von a entsprechen kontravarianter Vektor ein ... zu sein Tensor von kontravariant Rang eins. Alternativ wird ein kontravarianter Vektor als a definiert Tangentenvektorund die Regeln für die Transformation eines kontravarianten Vektors folgen aus dem Kettenregel.

Einige Vektoren verwandeln sich wie kontravariante Vektoren, außer dass sie, wenn sie durch einen Spiegel reflektiert werden und Gewinnen Sie ein Minuszeichen. Eine Transformation, die die Rechtshändigkeit auf die Linkshändigkeit umschaltet und umgekehrt wie ein Spiegel, soll das verändert Orientierung Raum. Ein Vektor, der ein Minuszeichen erhält, wenn die Ausrichtung der Raumänderungen genannt wird Pseudovektor oder an Axialvektor. Gewöhnliche Vektoren werden manchmal genannt wahre Vektoren oder Polarvektoren sie von Pseudovektoren zu unterscheiden. Pseudovektoren treten am häufigsten als die auf Kreuzprodukt von zwei gewöhnlichen Vektoren.

Ein Beispiel für einen Pseudovektor ist Winkelgeschwindigkeit. Fahren in a Wagenund freue mich auf jeden der der Räder hat einen Winkelgeschwindigkeitsvektor, der nach links zeigt. Wenn die Welt in einem Spiegel reflektiert wird, der die linke und die rechte Seite des Autos schaltet, ist die Betrachtung Von diesem Winkelgeschwindigkeitsvektor zeigt nach rechts, aber die tatsächlich Winkelgeschwindigkeitsvektor des Rades zeigt immer noch nach links, entsprechend dem Minuszeichen. Andere Beispiele für Pseudovektoren sind Magnetfeld, Drehmomentoder allgemein ein Kreuzprodukt von zwei (wahren) Vektoren.

Diese Unterscheidung zwischen Vektoren und Pseudovektoren wird oft ignoriert, wird jedoch beim Studium wichtig Symmetrie Eigenschaften. Sehen Parität (Physik).

Siehe auch

Anmerkungen

Verweise

Mathematische Behandlungen

• Apostol, Tom (1967). Infinitesimalrechnung. Vol. 1: Ein-variable-Kalkül mit einer Einführung in die lineare Algebra. Wiley. ISBN 978-0-471-00005-1.
• Apostol, Tom (1969). Infinitesimalrechnung. Vol. 2: Multi-Variable-Kalkül und lineare Algebra mit Anwendungen. Wiley. ISBN 978-0-471-00007-5.
• Heinbockel, J. H. (2001), Einführung in den Tensor -Kalkül und die Kontinuumsmechanik, Trafford Publishing, ISBN 1-55369-133-4.
• Itô, Kiyosi (1993), Enzyklopädische Wörterbuch für Mathematik (2. Aufl.), MIT Press, ISBN 978-0-262-59020-4.
• Ivanov, A.B.(2001) [1994], "Vektor", Enzyklopädie der Mathematik, EMS Press.
• Kane, Thomas R.;Levinson, David A. (1996), Dynamik online, Sunnyvale, Kalifornien: Online -Dynamik.
• Lang, Serge (1986). Einführung in die lineare Algebra (2. Aufl.). Springer. ISBN 0-387-96205-0.
• Pedoe, Daniel (1988). Geometrie: Ein umfassender Kurs. Dover. ISBN 0-486-65812-0.

Physische Behandlungen

• Aris, R. (1990). Vektoren, Tensoren und Grundgleichungen der Flüssigkeitsmechanik. Dover. ISBN 978-0-486-66110-0.
• Feynman, Richard;Leighton, R.;Sands, M. (2005)."Kapitel 11". Die Feynman Vorträge zur Physik.Vol.Ich (2. Aufl.).Addison Wesley. ISBN 978-0-8053-9046-9.

Externe Links

• "Vektor", Enzyklopädie der Mathematik, EMS Press, 2001 [1994]
• Online -Vektoridentitäten (PDF)
• Einführung von Vektoren Eine konzeptionelle Einführung (angewandte Mathematik)