Euklidischer Raum

Euklidischer Raum ist der grundlegende Raum von Geometrie, beabsichtigt zu repräsentieren physikalischer Raum. Ursprünglich das heißt in Euklids Elemente, es war der dreidimensionaler Raum von Euklidische Geometrie, aber in modern Mathematik Es gibt euklidische Räume einer positiven Ganzzahl Abmessungen,^[1] einschließlich des dreidimensionalen Raums und der Euklidische Ebene (Dimension zwei). Der Qualifikationsspiel "euklidische" wird verwendet, um euklidische Räume von anderen Räumen zu unterscheiden, die später in Betracht gezogen wurden Physik und moderne Mathematik.

Alt Griechische Geometer führte den euklidischen Raum für die Modellierung des physischen Raums ein. Ihre Arbeit wurde von der gesammelt Altgriechisch Mathematiker Euklid in seinem Elemente,^[2] mit der großen Innovation von Beweis Alle Eigenschaften des Raums als Theoreme, indem aus einigen grundlegenden Immobilien angefangen, genannt Postulate, was entweder als offensichtlich angesehen wurde (zum Beispiel gibt es genau einen gerade Linie zwei Punkte durchlaufen) oder schien unmöglich zu beweisen (Parallele Postulat).

Nach der Einführung am Ende des 19. Jahrhunderts von Nichteuklidische GeometrienDie alten Postulate wurden neu formalisiert, um euklidische Räume durch zu definieren Axiomatische Theorie. Eine weitere Definition von euklidischen Räumen mittels von Vektorräume und Lineare Algebra Es wurde gezeigt, dass es der axiomatischen Definition entspricht. Es ist diese Definition, die häufiger in der modernen Mathematik verwendet und in diesem Artikel detailliert beschrieben wird.^[3] In allen Definitionen bestehen euklidische Räume aus Punkten, die nur durch die Eigenschaften definiert sind, die sie zur Bildung eines euklidischen Raums haben müssen.

Es gibt im Wesentlichen nur einen euklidischen Raum jeder Dimension; Das heißt, alle euklidischen Räume einer bestimmten Dimension sind isomorph. Daher ist es in vielen Fällen möglich, mit einem bestimmten euklidischen Raum zu arbeiten, der im Allgemeinen der ist real n-Platz ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n},},}$ ausgestattet mit dem Skalarprodukt. Ein Isomorphismus aus einem euklidischen Raum bis ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n}}$ Mitarbeiter mit jedem Punkt a n-tupel von reale Nummern die diesen Punkt im euklidischen Raum lokalisieren und die genannt werden Kartesischen Koordinaten von diesem Punkt.

Definition

Geschichte der Definition

Der euklidische Raum wurde durch eingeführt Antike Griechen Als Abstraktion unseres physischen Raums. Ihre großartige Innovation, die in erscheint in Euklids Elemente war zu bauen und beweisen Alle Geometrie aus einigen sehr grundlegenden Eigenschaften, die aus der physischen Welt abstrahiert werden und aufgrund des Mangels an grundlegenden Werkzeugen nicht mathematisch nachgewiesen werden können. Diese Eigenschaften werden genannt Postulate, oder Axiome in der modernen Sprache. Diese Art der Definition des euklidischen Raums wird noch unter dem Namen von verwendet synthetische Geometrie.

1637, René Descartes eingeführt Kartesischen Koordinaten und zeigten, dass dies ermöglicht, geometrische Probleme auf algebraische Berechnungen mit Zahlen zu reduzieren. Diese Verringerung der Geometrie um Algebra war eine wesentliche Änderung des Standpunkts, wie bis dahin die reale Nummern wurden in Bezug auf Längen und Entfernungen definiert.

Die euklidische Geometrie wurde erst im 19. Jahrhundert in Räumen der Dimension mehr als drei angewendet. Ludwig Schläfli Verallgemeinerte euklidische Geometrie zu Dimensionsräumen nsowohl synthetische als auch algebraische Methoden und entdeckte alle regulären Polytope (höherdimensionale Analoga der Platonische Feststoffe) das existieren in euklidischen Räumen jeder Dimension.^[4]

Trotz des breiten Einsatzes des Ansatzes von Descartes, der genannt wurde analytische GeometrieDie Definition des euklidischen Raums blieb bis zum Ende des 19. Jahrhunderts unverändert. Die Einführung von Abstract Vektorräume erlaubte ihre Verwendung bei der Definition euklidischer Räume mit einer rein algebraischen Definition. Es wurde gezeigt, dass diese neue Definition der klassischen Definition in Bezug auf geometrische Axiome entspricht. Es ist diese algebraische Definition, die jetzt am häufigsten zur Einführung von euklidischen Räumen verwendet wird.

Motivation der modernen Definition

Eine Möglichkeit, an das euklidische Flugzeug zu denken, ist als a einstellen von Punkte bestimmte Beziehungen erfüllen, in Bezug auf Entfernung und Winkel ausdrucksvoll. Zum Beispiel gibt es zwei grundlegende Operationen (bezeichnet als als Bewegungen) im Flugzeug. Einer ist Übersetzung, was bedeutet eine Verschiebung der Ebene, so dass jeder Punkt in die gleiche Richtung und in derselben Entfernung verschoben wird. Der Andere ist Drehung Um einen festen Punkt in der Ebene, in dem alle Punkte in der Ebene diesen festen Punkt durch denselben Winkel umdrehen. Einer der grundlegenden Grundsätze der euklidischen Geometrie ist, dass zwei Figuren (normalerweise als als als angesehen als als Untergruppen) der Ebene sollte als äquivalent angesehen werden (kongruent) Wenn einer durch eine Abfolge von Übersetzungen, Rotationen und in die andere transformiert werden kann Reflexionen (sehen unter).

Um all diese mathematisch präzise zu machen, muss die Theorie klar definieren, was ein euklidischer Raum ist, und die damit verbundenen Vorstellungen von Entfernung, Winkel, Übersetzung und Rotation. Auch wenn es verwendet wird in physisch Theorien, euklidischer Raum ist ein Abstraktion von tatsächlichen physikalischen Orten abgelöst, spezifisch Referenzrahmen, Messinstrumente und so weiter. Eine rein mathematische Definition des euklidischen Raums ignoriert auch Fragen von Längeeinheiten und andere Abmessungen: Die Entfernung in einem "mathematischen" Raum ist a Nummer, nicht etwas, das in Zoll oder Metern ausgedrückt wird.

Die Standardmethode, um einen euklidischen Raum mathematisch zu definieren, wie im Rest dieses Artikels durchgeführt, besteht darin, einen euklidischen Raum als eine Reihe von Punkten zu definieren, auf denen Akte a Echter Vektorraum, das Raum der Übersetzungen die mit einem ausgestattet ist Innenprodukt.^[1] Die Aktion von Übersetzungen macht den Raum zu einem Offine Spaceund dies ermöglicht das Definieren von Linien, Flugzeugen, Unterteilen, Dimension und Parallelität. Das innere Produkt ermöglicht die Definition von Distanz und Winkeln.

Der Satz ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n}}$ von n-Tupel realer Zahlen mit dem ausgestattet Skalarprodukt ist ein euklidischer Dimensionsraum n. Umgekehrt die Wahl eines Punktes namens der Ursprung und ein Orthonormale Basis des Übersetzungsraums entsprechen der Definition einer Isomorphismus zwischen einem euklidischen Dimensionsraum n und ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n}}$ als euklidischer Raum betrachtet.

Daraus folgt, dass alles, was über einen euklidischen Raum gesagt werden kann ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n}.}$ Daher rufen viele Autoren, insbesondere auf elementarer Ebene, an ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n}}$ das Standard euklidischer Raum von Dimension n,^[5] oder einfach das Euklidischer Raum der Dimension n.

Ein Grund für die Einführung einer solchen abstrakten Definition von euklidischen Räumen und für die Arbeit mit ihr anstelle von ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n}}$ ist, dass es oft vorzuziehen ist, in einem zu arbeiten koordinatefrei und Herkunftsfrei Art (dh ohne die Auswahl einer bevorzugten Basis und einer bevorzugten Herkunft). Ein weiterer Grund ist, dass es in der physischen Welt weder Herkunft noch eine Grundlage gibt.

Technische Definition

A Euklideaner Vektorraum ist ein endlich-dimensionales innerer Produktraum über dem reale Nummern.

A Euklidischer Raum ist ein Offine Space über dem Real so dass der zugehörige Vektorraum ein euklideanischer Vektorraum ist. Euklidische Räume werden manchmal genannt Euklidische affine Räume um sie von euklideischen Vektorräumen zu unterscheiden.^[6]

Wenn E ist ein euklidischer Raum, sein zugehöriger Vektorraum wird häufig bezeichnet ${\ displayStyle {\ Overrightarrow {e}}.}$ Das Abmessungen eines euklidischen Raums ist das Abmessungen seines zugehörigen Vektorraums.

Die Elemente von E werden genannt Punkte und werden allgemein durch Großbuchstaben bezeichnet. Die Elemente von ${\ displayStyle {\ OverRightarrow {e}}}$ werden genannt Euklidische Vektoren oder freie Vektoren. Sie werden auch genannt Übersetzungen, obwohl richtig gespielt, a Übersetzung ist der Geometrische Transformation resultiert der Aktion eines euklidischen Vektors auf dem euklidischen Raum.

Die Wirkung einer Übersetzung v auf einen Punkt P Bietet einen Punkt, der bezeichnet wird P + v. Diese Aktion erfüllt

(Der Zweite + Auf der linken Seite befindet sich eine Vektor-Addition; alle anderen + bezeichnen eine Aktion eines Vektors auf einem Punkt. Diese Notation ist nicht mehrdeutig, da die Unterscheidung zwischen den beiden Bedeutungen von +Es genügt, um die Natur seines linken Arguments zu betrachten.)

Die Tatsache, dass die Aktion frei und transitiv ist (P, Q) Es gibt genau einen Vektor v so dass P + v = Q. Dieser Vektor v ist bezeichnet Q − P oder ${\ displayStyle {\ OverRightarrow {PQ}}.}$

Wie bereits erläutert, entstehen einige der grundlegenden Eigenschaften von euklidischen Räumen der Struktur des affinen Raums. Sie werden in beschrieben § affine Struktur und seine Unterabschnitte. Die aus dem inneren Produkt resultierenden Eigenschaften werden in erläutert § Metrische Struktur und seine Unterabschnitte.

Prototypische Beispiele

Für jeden Vektorraum wirkt die Zugabe frei und transitiv auf dem Vektorraum selbst. Somit kann ein euklidischer Vektorraum als euklidischer Raum angesehen werden, der selbst als zugeordneter Vektorraum hat.

Ein typischer Fall des euklideischen Vektorraums ist ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n}}$ als Vektorraum betrachtet, der mit dem ausgestattet ist Skalarprodukt als an Innenprodukt. Die Bedeutung dieses besonderen Beispiels für den euklidischen Raum liegt in der Tatsache, dass jeder euklidische Raum ist isomorph dazu. Genauer gesagt angesichts eines euklidischen Raums E von Dimension n, die Wahl eines Punktes, genannt Ursprung und ein Orthonormale Basis von ${\ displayStyle {\ OverRightarrow {e}}}$ definiert einen Isomorphismus von euklidischen Räumen von E zu ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n}.}$

Wie jeder euklidische Raum der Dimension n ist isomorph dafür, der euklidische Raum ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n}}$ wird manchmal das genannt Standard euklidischer Raum von Dimension n.^[5]

Effine -Struktur

Einige grundlegende Eigenschaften von euklidischen Räumen hängen nur davon ab, dass ein euklidischer Raum ein ist Offine Space. Sie heißen affine Eigenschaften und enthalten die Konzepte von Linien, Unterräumen und Parallelität, die in den nächsten Unterabschnitten detailliert sind.

Unterräume

Lassen E ein euklidischer Raum sein und ${\ displayStyle {\ OverRightarrow {e}}}$ sein zugehöriger Vektorraum.

A eben, Euklidischer Unterraum oder Effine Subspace von E ist eine Untergruppe F von E so dass

ist ein linearer Unterraum von ${\ displayStyle {\ Overrightarrow {e}}.}$ Ein euklidischer Unterraum F ist ein euklidischer Raum mit ${\ displayStyle {\ OverRightarrow {f}}}$ als zugehöriger Vektorraum. Dieser lineare Unterraum ${\ displayStyle {\ OverRightarrow {f}}}$ wird genannt Richtung von F.

Wenn P ist ein Punkt von F dann

Umgekehrt, wenn P ist ein Punkt von E und V ist ein linearer Unterraum von ${\ displayStyle {\ OverRightarrow {e}},},}$ dann

ist ein euklidischer Richtungsunterraum V.

Ein euklidenanischer Vektorraum (dh ein euklidischer Raum, so dass ${\ displayStyle e = {\ overRightarrow {e}}}$) hat zwei Arten von Subräumen: seine euklidischen Unterschiede und seine linearen Unterbereiche. Lineare Subräume sind euklidische Subräume und ein euklidischer Unterraum ist ein linearer Unterraum, wenn er den Nullvektor enthält.

Linien und Segmente

In einem euklidischen Raum, a Linie ist ein euklidischer Unterraum der Dimension eins. Da ein Vektorraum der Dimension von jedem Vektor ungleich Null überspannt wird, ist eine Linie ein Satz der Form

wo P und Q sind zwei unterschiedliche Punkte.

Es folgt dem Es gibt genau eine Zeile, die zwei verschiedene Punkte durchgeht (enthält). Dies impliziert, dass sich zwei unterschiedliche Linien höchstens um einen Punkt schneiden.

Eine symmetrischere Darstellung der durchlaufenen Linie P und Q ist

wo O ist ein willkürlicher Punkt (nicht in der Linie erforderlich).

In einem euklidenanischen Vektorraum wird der Nullvektor normalerweise ausgewählt O; Dies ermöglicht die Vereinfachung der vorhergehenden Formel in

Eine Standardkonvention ermöglicht die Verwendung dieser Formel in jedem euklidischen Raum, siehe Affine Space § affine Kombinationen und Barycenter.

Das Liniensegment, oder einfach Segmentsich den Punkten anschließen P und Q ist die Untergruppe der Punkte so, dass 0 ≤ ≤ 1 in den vorhergehenden Formeln. Es ist bezeichnet Pq oder QP; das ist

Parallelität

Zwei Unterteile S und T der gleichen Dimension in einem euklidischen Raum sind parallel Wenn sie die gleiche Richtung haben.^[a] Äquivalent sind sie parallel, wenn es eine Übersetzung gibt v Vektor, der einen dem anderen ordnet:

Einen Punkt gegeben P und ein Unterraum SEs gibt genau einen Unterraum, der enthält P und ist parallel zu S, welches ist ${\ displayStyle p+{\ overRightarrow {s}}.}$ Für den Fall wo S ist eine Linie (Unterfläche von Dimension eins), diese Eigenschaft ist Playfair's Axiom.

Daraus folgt, dass sich in einer euklidischen Ebene zwei Zeilen entweder in einem Punkt treffen oder parallel sind.

Das Konzept der parallelen Teilräume wurde auf Unterräume unterschiedlicher Dimensionen ausgedehnt: Zwei Teilräume sind parallel, wenn die Richtung einer von ihnen in Richtung der anderen in Richtung des anderen enthalten ist.

Metrische Struktur

Der Vektorraum ${\ displayStyle {\ OverRightarrow {e}}}$ mit einem euklidischen Raum verbunden E ist ein innerer Produktraum. Dies impliziert a Symmetrische bilineare Form

das ist positiv definitiv (das ist ${\ displayStyle \ Langle x, x \ rangle}$ ist immer positiv für x ≠ 0).

Das innere Produkt eines euklidischen Raums wird oft genannt Skalarprodukt und bezeichnet x ⋅ y. Dies ist besonders der Fall, wenn a Kartesisches Koordinatensystem wurde ausgewählt, da in diesem Fall das innere Produkt zweier Vektoren das ist Skalarprodukt ihrer Vektoren koordinieren. Aus diesem Grund und aus historischen Gründen wird die Punktnotation häufiger verwendet als die Halterungsnotation für das innere Produkt der euklidischen Räume. Dieser Artikel wird dieser Verwendung folgen. das ist ${\ displayStyle \ Langle x, y \ rangle}$ wird bezeichnet x ⋅ y im Rest dieses Artikels.

Das Euklidische Norm eines Vektors x ist

Das innere Produkt und die Norm ermöglichen das Ausdrücken und Nachweis metrisch und topologisch Eigentum von Euklidische Geometrie. Der nächste Unterabschnitt beschreibt die grundlegendsten. In diesen Unterabschnitten, E bezeichnet einen willkürlichen euklidischen Raum und ${\ displayStyle {\ OverRightarrow {e}}}$ bezeichnet seinen Vektorraum der Übersetzungen.

Entfernung und Länge

Das Distanz (genauer gesagt die Euklidische Entfernung) zwischen zwei Punkten eines euklidischen Raums ist die Norm des Translationsvektors, der einen Punkt dem anderen nachreicht; das ist

Das Länge eines Segments Pq ist die Entfernung d(P, Q) zwischen seinen Endpunkten. Es wird oft bezeichnet ${\ displayStyle | pq |}$.

Die Entfernung ist a metrisch, wie es positiv eindeutig, symmetrisch ist und das erfüllt Dreiecksungleichung

Darüber hinaus ist die Gleichheit wahr, wenn und nur wenn R gehört zum Segment Pq. Diese Ungleichheit bedeutet, dass die Länge eines beliebigen Randes von a Dreieck ist kleiner als die Summe der Längen der anderen Kanten. Dies ist der Ursprung des Begriffs Dreiecksungleichung.

Mit der euklidischen Entfernung ist jeder euklidische Raum a Vollständige metrische Raum.

Orthogonalität

Zwei Vektoren ungleich Null u und v von ${\ displayStyle {\ OverRightarrow {e}}}$ sind aufrecht oder senkrecht Wenn ihr inneres Produkt Null ist:

Zwei lineare Unterbereiche von ${\ displayStyle {\ OverRightarrow {e}}}$ sind orthogonal, wenn jeder Vektor ungleich Null des ersten senkrecht für jeden Vektor ungleich Null des zweiten ist. Dies impliziert, dass der Schnittpunkt des linearen Unterraums auf den Nullvektor reduziert wird.

Zwei Zeilen und allgemeiner zwei euklidische Unterräume sind orthogonal, wenn ihre Richtung orthogonal sind. Zwei orthogonale Linien, die sich kreuzen, werden gesagt aufrecht.

Zwei Segmente Ab und AC Das hat einen gemeinsamen Endpunkt aufrecht oder Form a rechter Winkel Wenn die Vektoren ${\ displayStyle {\ OverRightarrow {ab}}}$ und ${\ displayStyle {\ OverRightarrow {ac}}}$ sind orthogonal.

Wenn Ab und AC bilden einen rechten Winkel, man hat

Dies ist das Satz des Pythagoras. Sein Beweis ist in diesem Zusammenhang einfach, da man dies in Bezug auf das innere Produkt ausdrückt, indem man Bilinearität und Symmetrie des inneren Produkts verwendet:

Winkel

Das (nicht orientiert) Winkel θ zwischen zwei ungleich Null Vektoren x und y in ${\ displayStyle {\ OverRightarrow {e}}}$ ist

wo Arccos ist der Hauptwert des Arccosine Funktion. Durch Cauchy -Schwarz -UngleichheitDas Argument des Arccosins befindet sich im Intervall [–1, 1]. Deswegen θ ist real und 0 ≤ θ ≤ π (oder 0 ≤ θ ≤ 180 Wenn Winkel in Grad gemessen werden).

Winkel sind in einer euklidischen Linie nicht nützlich, da sie nur 0 oder nur sein können π.

In einem (n orientiert Euklidische Ebene, man kann das definieren Ausgerichteter Winkel von zwei Vektoren. Der orientierte Winkel von zwei Vektoren x und y ist dann das Gegenteil des orientierten Winkels von y und x. In diesem Fall kann der Winkel von zwei Vektoren einen beliebigen Wert haben Modulo ein ganzzahliges Vielfachen von 2π. Insbesondere a überstumpfer Winkel π < θ < 2π entspricht dem negativen Winkel −π < θ - 2π < 0.

Der Winkel von zwei Vektoren ändert sich nicht, wenn sie es sind multipliziert durch positive Zahlen. Genauer gesagt, wenn x und y sind zwei Vektoren und λ und μ sind dann echte Zahlen

Wenn A, B, und C sind drei Punkte in einem euklidischen Raum, der Winkel der Segmente Ab und AC ist der Winkel der Vektoren ${\ displayStyle {\ OverRightarrow {ab}}}$ und ${\ displayStyle {\ OverRightarrow {ac}}.}$ Da die Multiplikation von Vektoren mit positiven Zahlen den Winkel nicht verändert, der Winkel von zwei Halbzweige mit Anfangspunkt A kann definiert werden: Es ist der Winkel der Segmente Ab und AC, wo B und C sind willkürliche Punkte, eine auf jeder Halbzeile. Obwohl dies weniger verwendet wird, kann man den Segmentenwinkel oder eine Halblinien, die keine Anfangspunkte haben, in ähnlicher Weise definieren.

Der Winkel von zwei Linien ist wie folgt definiert. Wenn θ ist der Winkel von zwei Segmenten, einer auf jeder Linie, der Winkel von zwei anderen Segmenten, einer in jeder Zeile, ist entweder θ oder π − θ. Einer dieser Winkel ist in der Intervall [0,, π/2]und das andere Wesen in [π/2,, π]. Das Nicht orientierter Winkel von den beiden Linien ist das im Intervall [0,, π/2]. In einer orientierten euklidischen Ebene die Ausgerichteter Winkel von zwei Zeilen gehört zum Intervall [ -π/2,, π/2].

Kartesischen Koordinaten

Jeder euklidenische Vektorraum hat einen Orthonormale Basis (Tatsächlich unendlich viele in Dimension höher als eins und zwei in der Dimension eins), dh a Basis ${\ displayStyle (e_ {1}, \ dots, e_ {n})}$ von Einheitsvektoren (${\ displayStyle \ | e_ {i} \ | = 1}$), die paarweise orthogonal sind (${\ displayStyle e_ {i} \ cdot e_ {j} = 0}$ zum i ≠ j). Genauer gesagt, gegebenenfalls Basis ${\ displayStyle (b_ {1}, \ dots, b_ {n}),},},}$ das Gram -Schmidt -Prozess berechnet eine orthonormale Basis so, dass für jeden i, das Lineare Spannweiten von ${\ displayStyle (e_ {1}, \ dots, e_ {i})}$ und ${\ displayStyle (b_ {1}, \ dots, b_ {i})}$ sind gleich.^[7]

Einen euklidischen Raum gegeben E, a Kartesischer Rahmen ist eine Reihe von Daten, die aus einer orthonormalen Grundlage bestehen ${\ displayStyle {\ OverRightarrow {e}},},}$ und ein Punkt von E, genannt Ursprung und oft bezeichnet O. Ein kartesischer Rahmen ${\ displayStyle (o, e_ {1}, \ dots, e_ {n})}$ Ermöglicht das Definieren kartesischer Koordinaten für beide E und ${\ displayStyle {\ OverRightarrow {e}}}$ auf die folgende Weise.

Die kartesischen Koordinaten eines Vektors v sind die Koeffizienten von v auf der Basis ${\ displayStyle e_ {1}, \ dots, e_ {n}.}$ Da die Basis orthonormal ist, die iDer Koeffizient ist das Punktprodukt ${\ displayStyle v \ cdot e_ {i}.}$

Die kartesischen Koordinaten eines Punktes P von E sind die kartesischen Koordinaten des Vektors ${\ displayStyle {\ OverRightarrow {op}}.}$

Andere Koordinaten

Als euklidischer Raum ist ein Offine Space, man kann eine in Betracht ziehen Effine -Rahmen darauf, was mit einem euklidischen Rahmen identisch ist, außer dass die Grundlage nicht orthonormal sein muss. Das definiert Affine -Koordinaten, manchmal genannt Versatzkoordinaten Zu betonen, dass die Basisvektoren nicht paarweise orthogonal sind.

Ein Effine Basis eines euklidischen Dimensionsraums n ist ein Satz von n + 1 Punkte, die nicht in einer Hyperebene enthalten sind. Eine affine Basis definieren Barycentric -Koordinaten Für jeden Punkt.

Viele andere Koordinatensysteme können auf einem euklidischen Raum definiert werden E von Dimension n, auf die folgende Weise. Lassen f sei a Homomorphismus (oder öfter a Diffeomorphismus) von einem dicht Offene Teilmenge von E zu einer offenen Untergruppe von ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n}.}$ Das Koordinaten von einem Punkt x von E sind die Komponenten von f(x). Das Polarkoordinatensystem (Dimension 2) und die sphärisch und zylindrisch Koordinatensysteme (Dimension 3) werden auf diese Weise definiert.

Für Punkte, die außerhalb der Domäne von liegen f, Koordinaten können manchmal als die Grenze der Koordinaten von Nachbarpunkten definiert werden, diese Koordinaten sind jedoch möglicherweise nicht eindeutig definiert und können in der Nachbarschaft des Punktes nicht kontinuierlich sein. Zum Beispiel ist für das kugelförmige Koordinatensystem der Längengrad nicht am Pol definiert und auf dem Anti MeridianDer Längengrad fließt diskontinuierlich von –180 ° bis +180 °.

Diese Art der Definition der Koordinaten erstreckt sich leicht auf andere mathematische Strukturen und insbesondere auf Verteiler.

Isometrien

Ein Isometrie zwischen zwei Metrikräume ist eine Bijektion, die die Entfernung bewahrt,^[b] das ist

Im Falle eines euklideischen Vektorraums bewahrt eine Isometrie, die den Ursprung dem Ursprung ordnet

Da die Norm eines Vektors sein Abstand vom Nullvektor ist. Es bewahrt auch das innere Produkt seit

Eine Isometrie euklideanischer Vektorräume ist a linearer Isomorphismus.^[c][8]

Eine Isometrie ${\ displayStyle f \ colon e \ bis f}$ von euklidischen Räumen definiert eine Isometrie $oder$ der zugehörigen euklideischen Vektorräume. Dies impliziert, dass zwei isometrische euklidische Räume die gleiche Dimension haben. Umgekehrt, wenn E und F sind euklidische Räume, O ∈ E, O′ ∈ F, und $oder$ ist eine Isometrie, dann die Karte ${\ displayStyle f \ colon e \ bis f}$ definiert von

ist eine Isometrie euklidischer Räume.

Aus den vorhergehenden Ergebnissen folgt, dass eine Isometrie von euklidischen Räumen Linien an Linien und im Allgemeinen euklidische Unterräume zu euklidischen Unterbereichen derselben Dimension kartiert und dass die Einschränkung der Isometrie auf diesen Unterbereichen Isometrien dieser Unterschiede ist.

Isometrie mit prototypischen Beispielen

Wenn E ist ein euklidischer Raum, sein zugehöriger Vektorraum ${\ displayStyle {\ OverRightarrow {e}}}$ kann als euklidischer Raum betrachtet werden. Jeder Punkt O ∈ E definiert eine Isometrie euklidischer Räume

welche Karten O zum Nullvektor und hat die Identität als zugehörige lineare Karte. Die inverse Isometrie ist die Karte

Ein euklidischer Rahmen ${\ displayStyle (o, e_ {1}, \ dots, e_ {n})}$ Ermöglicht das Definieren der Karte

Das ist eine Isometrie euklidischer Räume. Die inverse Isometrie ist

Dies bedeutet, dass es bis zu einem Isomorphismus genau einen euklidischen Raum einer bestimmten Dimension gibt.

Dies rechtfertigt, dass viele Autoren sprechen ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n}}$ wie das Euklidischer Raum der Dimension n.

Euklidische Gruppe

Eine Isometrie von einem euklidischen Raum auf sich selbst wird genannt Euklidische Isometrie, Euklidische Transformation oder starre Transformation. Die starren Transformationen eines euklidischen Raums bilden eine Gruppe (unter Komposition), genannt die Euklidische Gruppe und oft bezeichnet E (n) von ISO (n).

Die einfachsten euklidischen Transformationen sind Übersetzungen

Sie befinden sich in einer bijektiven Korrespondenz mit Vektoren. Dies ist ein Grund für den Anruf Raum der Übersetzungen Der Vektorraum, der mit einem euklidischen Raum verbunden ist. Die Übersetzungen bilden a Normale Untergruppe der euklidischen Gruppe.

Eine euklidische Isometrie f eines euklidischen Raums E definiert eine lineare Isometrie ${\ displayStyle {\ OverRightarrow {f}}}$ des zugehörigen Vektorraums (durch Lineare IsometrieEs ist eine Isometrie gemeint, die auch a ist lineare Karte) Auf folgende Weise: Bezeichnung durch Q – P der Vektor ${\ displayStyle {\ OverRightarrow {PQ}}}$, wenn O ist ein willkürlicher Punkt von E, hat man

Es ist einfach zu beweisen, dass dies eine lineare Karte ist, die nicht von der Wahl von abhängt Ö.

Die Karte ${\ displayStyle f \ to {\ overRightarrow {f}}}$ ist ein Gruppe Homomorphismus von der euklidischen Gruppe auf die Gruppe der linearen Isometrien, genannt die orthogonale Gruppe. Der Kern dieses Homomorphismus ist die Übersetzungsgruppe, die zeigt, dass es sich um eine normale Untergruppe der euklidischen Gruppe handelt.

Die Isometrien, die einen bestimmten Punkt reparieren P bilde die Stabilisator -Untergruppe der euklidischen Gruppe in Bezug auf P. Die Einschränkung dieses Stabilisators der obigen Gruppe Homomorphismus ist ein Isomorphismus. Die Isometrien, die einen bestimmten Punkt fixieren, bilden also eine Gruppe isomorph in der orthogonalen Gruppe.

Lassen P Sei ein Punkt, f eine Isometrie und t Die Übersetzung, die kartiert P zu f(P). Die Isometrie ${\ displayStyle g = t^{-1} \ circ f}$ Korrekturen P. So ${\ displayStyle f = t \ circ g,}$ und Die euklidische Gruppe ist die Semidirect -Produkt der Übersetzungsgruppe und der orthogonalen Gruppe.

Das Spezielle orthogonale Gruppe ist die normale Untergruppe der orthogonalen Gruppe, die bewahrt Händigkeit. Es ist eine Untergruppe von Index zwei der orthogonalen Gruppe. Sein umgekehrtes Bild durch die Gruppe Homomorphismus ${\ displayStyle f \ to {\ overRightarrow {f}}}$ ist eine normale Untergruppe von Index zwei der euklidischen Gruppe, die als die genannt wird Spezielle euklidische Gruppe oder der Verdrängungsgruppe. Seine Elemente werden genannt strenge Bewegungen oder Verschiebungen.

Startbewegungen sind die Identität, Übersetzungen, Rotationen (die starren Bewegungen, die mindestens einen Punkt reparieren) und auch Schraubenbewegungen.

Typische Beispiele für starre Transformationen, die keine starre Bewegungen sind Reflexionen, die starre Transformationen sind, die ein Hyperplane reparieren und nicht die Identität sind. Sie sind auch die Transformationen, die darin bestehen, das Zeichen einer Koordinate über einen euklidischen Rahmen zu ändern.

Da die spezielle euklidische Gruppe eine Untergruppe des Index zwei der euklidischen Gruppe ist r, jede starre Transformation, die keine starre Bewegung ist, ist das Produkt von r und eine starre Bewegung. EIN Gleitreflexion ist ein Beispiel für eine starre Transformation, die keine starre Bewegung oder Reflexion darstellt.

Alle in diesem Abschnitt berücksichtigten Gruppen sind Lügengruppen und Algebraische Gruppen.

Topologie

Die euklidische Entfernung macht einen euklidischen Raum a metrischer Raumund so a topologischer Raum. Diese Topologie wird die genannt Euklidische Topologie. Im Falle des ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n},},}$ Diese Topologie ist auch die Produkttopologie.

Das Offene Sets sind die Untergruppen, die eine enthalten offener Ball um jeden ihrer Punkte. Mit anderen Worten, offene Bälle bilden a Basis der Topologie.

Das Topologische Dimension eines euklidischen Raums entspricht seiner Dimension. Dies impliziert, dass euklidische Räume unterschiedlicher Dimensionen nicht sind homomorph. Darüber hinaus der Satz von Invarianz der Domäne behauptet, dass eine Untergruppe eines euklidischen Raums offen ist (für die Subspace -Topologie) Wenn und nur wenn es zu einer offenen Untergruppe eines euklidischen Raums derselben Dimension ist.

Euklidische Räume sind Komplett und lokal kompakt. Das heißt, eine geschlossene Teilmenge eines euklidischen Raums ist kompakt begrenzt (Das heißt, in einem Ball enthalten). Insbesondere sind geschlossene Kugeln kompakt.

Axiomatische Definitionen

Die Definition von euklidischen Räumen, die in diesem Artikel beschrieben wurden Euklid'S eins. In Wirklichkeit definierte Euklid den Raum nicht formell, weil er als Beschreibung der physischen Welt angesehen wurde, die unabhängig vom menschlichen Geist existiert. Die Notwendigkeit einer formalen Definition erschien erst am Ende des 19. Jahrhunderts mit der Einführung von Nichteuklidische Geometrien.

Es wurden zwei verschiedene Ansätze verwendet. Felix Klein schlug vor, Geometrien durch ihre zu definieren Symmetrien. Die Präsentation von euklidischen Räumen in diesem Artikel wird im Wesentlichen von ihm herausgegeben Erlangen -Programmmit der Betonung der Gruppen von Übersetzungen und Isometrien.

Auf der anderen Seite, David Hilbert vorgeschlagen einen Satz von Axiome, inspiriert von Euclids Postulate. Sie gehören zu synthetische Geometrie, da sie keine Definition von beinhalten reale Nummern. Später G. D. Birkhoff und Alfred Tarski Vorgeschlagene einfachere Sätze von Axiomen, die verwenden reale Nummern (sehen Birkhoffs Axiome und Tarskis Axiome).

Im Geometrische Algebra, Emil Artin hat bewiesen, dass all diese Definitionen eines euklidischen Raums gleichwertig sind.^[9] Es ist ziemlich leicht zu beweisen, dass alle Definitionen von euklidischen Räumen Hilberts Axiome erfüllen und dass diejenigen, die reelle Zahlen (einschließlich der oben angegebenen Definition), gleichwertig sind. Der schwierige Teil von Artins Beweis ist der folgende. In Hilberts Axiomen, Kongruenz ist ein Äquivalenzbeziehung auf Segmenten. Man kann somit das definieren Länge eines Segments als Äquivalenzklasse. Man muss daher beweisen, dass diese Länge Eigenschaften erfüllt, die nichtnegative reelle Zahlen charakterisieren. Artin bewies dies mit Axiomen, die denen von Hilbert entsprechen.

Verwendungszweck

Seit Antike GriechenDer euklidische Raum wird zur Modellierung verwendet Formen in der physischen Welt. Es wird somit in vielen verwendet Wissenschaften wie zum Beispiel Physik, Mechanik, und Astronomie. Es wird auch in allen technischen Bereichen häufig verwendet, die sich mit Formen, Figuren, Ort und Position befassen, wie z. die Architektur, Geodäsie, Topographie, Navigation, industrielles Design, oder technische Zeichnung.

Der Raum der Dimensionen über drei tritt in mehreren modernen Physik -Theorien auf; sehen Höhere Dimension. Sie treten auch in vor Konfigurationsräume von Physische Systeme.

Neben Euklidische Geometrie, Euklidische Räume werden auch in anderen Bereichen der Mathematik häufig verwendet. Tangentenräume von Differenzierbare Verteiler sind euklideale Vektorräume. Allgemeiner a vielfältig ist ein Raum, der lokal durch euklidische Räume angenähert wird. Die meisten Nichteuklidische Geometrien kann durch einen Verteiler modelliert werden, und eingebettet in einem euklidischen Raum mit höherer Dimension. Zum Beispiel eine elliptischer Raum kann durch modelliert werden Ellipsoid. Es ist üblich, in einem euklidischen Raum mathematischen Objekten darzustellen, die sind a priori nicht geometrischer Natur. Ein Beispiel unter vielen ist die übliche Darstellung von Grafiken.

Andere geometrische Räume

Seit der Einführung am Ende des 19. Jahrhunderts von Nichteuklidische GeometrienEs wurden viele Arten von Räumen berücksichtigt, über die man auf die gleiche Weise wie bei euklidischen Räumen geometrische Argumente durchführen kann. Im Allgemeinen teilen sie einige Eigenschaften mit euklidischen Räumen, können aber auch Eigenschaften haben, die als ziemlich seltsam erscheinen könnten. Einige dieser Räume verwenden die euklidische Geometrie für ihre Definition oder können als Unterbereiche eines euklidischen Raums mit höherer Dimension modelliert werden. Wenn ein solcher Raum durch geometrisch definiert wird Axiome, Einbettung Der Raum in einem euklidischen Raum ist eine Standardmethode zum Beweisen Konsistenz seiner Definition oder genauer gesagt, zu beweisen, dass seine Theorie konsistent ist, wenn Euklidische Geometrie ist konsistent (was nicht bewiesen werden kann).

Offine Space

Ein euklidischer Raum ist ein affiner Raum mit a metrisch. Affine -Räume haben viele andere Verwendungen in der Mathematik. Insbesondere wie sie über jeden definiert sind aufstellenSie ermöglichen die Geometrie in anderen Kontexten.

Sobald nichtlineare Fragen berücksichtigt werden, ist es im Allgemeinen nützlich, affine Räume über die zu berücksichtigen komplexe Zahlen Als Erweiterung euklidischer Räume. Zum Beispiel a Kreis und ein Linie Haben Sie immer zwei Schnittpunkte (möglicherweise nicht unterschiedlich) im komplexen affine Raum. Daher die meisten von Algebraische Geometrie ist in komplexen affine Räumen und affinischen Räumen eingebaut Algebraisch geschlossene Felder. Die Formen, die in algebraischen Geometrie in diesen affinen Räumen untersucht werden affine algebraische Sorten.

Befreien Räume über die Rationale Zahlen und allgemeiner vorbei Algebraische Zahlenfelder eine Verbindung zwischen (algebraische) Geometrie und Zahlentheorie. Zum Beispiel die Fermats letzter Satz kann angegeben werden "a Fermat -Kurve von Grad höher als zwei hat keinen Sinn in der affinen Ebene über die Rationals. "

Geometrie in affine Räumen über a endliche Felder wurde auch weit verbreitet. Zum Beispiel, Elliptische Kurven über endliche Felder werden in großem Umfang verwendet in Kryptographie.

Projektivraum

Ursprünglich wurden projektive Räume durch Hinzufügen eingeführt. "Punkte auf unendlich"Zu euklidischen Räumen und allgemeiner zu affinen Räumen, um die Behauptung zu verwirklichen", zwei Coplanar Die Linien treffen sich in genau einem Punkt ". Projective Space Share mit euklidischen und affinischen Räumen der Eigenschaft des Seins isotropDas heißt, es gibt keine Eigenschaft des Raums, der es ermöglicht, zwischen zwei oder zwei Linien zu unterscheiden. Daher wird üblich Vektorlinien in einem Vektorraum von Dimension eins mehr.

In Bezug auf affine Räume werden projektive Räume über jeden definiert aufstellen, und sind grundlegende Räume von Algebraische Geometrie.

Nichteuklidische Geometrien

Nichteuklidische Geometrie bezieht sich normalerweise auf geometrische Räume, in denen die Parallele Postulat ist falsch. Sie beinhalten Elliptische Geometrie, wo die Summe der Winkel eines Dreiecks mehr als 180 ° beträgt, und Hyperbolische Geometrie, wo diese Summe weniger als 180 ° ist. Ihre Einführung in der zweiten Hälfte des 19. Jahrhunderts und der Beweis, dass ihre Theorie ist konsistent (Wenn die euklidische Geometrie nicht widersprüchlich ist) ist eines der Paradoxien, die sich am Ursprung des Grundkrise in Mathematik des Beginns des 20. Jahrhunderts und motivierte die Systematisierung von Axiomatische Theorien in Mathematik.

Gekrümmte Räume

A vielfältig ist ein Raum, der in der Nachbarschaft jedes Punktes einem euklidischen Raum ähnelt. In technischer Hinsicht ist ein Verteiler a topologischer Raum, so dass jeder Punkt a hat Nachbarschaft das ist homomorph zu einem Offene Teilmenge eines euklidischen Raums. Verteiler können durch einen zunehmenden Grad dieser "Ähnlichkeit" eingestuft werden in Topologische Verteiler, Differenzierbare Verteiler, glatte Verteiler, und Analytikkrümmer. Keine dieser Arten von "Ähnlichkeit" respektiert jedoch auch ungefähr Abstände und Winkel.

Entfernungen und Winkel können auf einem glatten Verteiler definiert werden, indem a bereitgestellt werden sanft variieren Euklidische Metrik auf der Tangentenräume An den Punkten des Verteilers (diese Tangentenräume sind somit euklidealische Vektorräume). Dies führt zu a Riemanner Verteiler. Allgemein, Gerade Linien existieren nicht in einem riemannischen Verteiler, aber ihre Rolle wird von gespielt Geodäsik, die die "kürzesten Wege" zwischen zwei Punkten sind. Dies ermöglicht die Definition von Entfernungen, die entlang der Geodäsik gemessen werden, und Winkel zwischen Geodätikern, die der Winkel ihrer Tangenten im Tangentenraum an ihrer Kreuzung sind. Riemannsche Verteiler verhalten sich also lokal wie ein euklidischer Raum, der verbogen wurde.

Euklidische Räume sind trivial riemannische Verteiler. Ein Beispiel, das dies gut veranschaulicht, ist die Oberfläche von a Kugel. In diesem Fall sind Geodäsik Bögen des Großkreises, die genannt werden Orthodrome im Zusammenhang mit Navigation. Allgemeiner die Räume von Nichteuklidische Geometrien kann als riemannische Verteiler realisiert werden.

Pseudo-EUCLIDEN-Raum

Ein Innenprodukt eines echten Vektorraums ist a positive definitive bilineare Form, und so gekennzeichnet durch a positive bestimmte quadratische Form. EIN Pseudo-EUCLIDEN-Raum ist ein affiner Raum mit einem damit verbundenen realen Vektorraum, der mit einem ausgestattet ist nicht entengter quadratische Form (Das könnte sein unbestimmt).

Ein grundlegendes Beispiel für einen solchen Raum ist das Minkowski -Raum, was das ist Freizeit von Einstein's Spezielle Relativität. Es ist ein vierdimensionaler Raum, in dem die Metrik durch die definiert wird quadratische Form

wo die letzte Koordinate (t) ist zeitlich und die anderen drei (x, y, z) sind räumlich.

Nehmen Schwere berücksichtigen, generelle Relativität verwendet a Pseudo-riemannische Verteiler Das hat Minkowski -Räume als Tangentenräume. Das Krümmung von diesem Verteiler an einem Punkt ist eine Funktion des Wertes der Schwerkraftfeld an dieser Stelle.

Siehe auch

• Hilbert Raum, eine Verallgemeinerung auf unendliche Dimension, verwendet in Funktionsanalyse

Fußnoten

Verweise

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