Gleichung

Die erste Verwendung eines gleichen Zeichens, das zu 14 entsprichtx + 15 = 71 in der modernen Notation. Aus Der Whetstone der Witte durch Robert Recorde von Wales (1557).[1]

Im Mathematik, ein Gleichung ist ein Formel das drückt die aus Gleichberechtigung von zwei Ausdrücke, indem sie sie mit dem verbinden Gleiches Zeichen =.[2][3] Das Wort Gleichung und sein Verwandte in anderen Sprachen können subtil unterschiedliche Bedeutungen haben; Zum Beispiel in Französisch ein Gleichung ist definiert als eine oder mehrere Variablen, während in Englisch, irgendein gut geformte Formel bestehend aus zwei mit einem gleichen Zeichen zusammenhängenden Ausdrücken ist eine Gleichung.[4]

Lösung eine Gleichung Das Enthält von Variablen besteht darin, zu bestimmen, welche Werte der Variablen die Gleichheit wahr machen. Die Variablen, für die die Gleichung gelöst werden muss Unbekannteund die Werte der Unbekannten, die die Gleichheit erfüllen Lösungen der Gleichung. Es gibt zwei Arten von Gleichungen: Identitäten und bedingte Gleichungen. Eine Identität gilt für alle Werte der Variablen. Eine bedingte Gleichung gilt nur für bestimmte Werte der Variablen.[5][6]

Eine Gleichung ist als zwei geschrieben Ausdrücke, verbunden durch eine Gleiches Zeichen ("=").[2] Die Ausdrücke auf den beiden Seiten des gleichen Zeichens werden als "linke Seite" und "rechte Seite" der Gleichung bezeichnet. Sehr oft wird angenommen, dass die rechte Seite einer Gleichung Null ist. Angenommen, dies verringert die Allgemeinheit nicht, da dies durch Subtrahieren der rechten Seite von beiden Seiten realisiert werden kann.

Die häufigste Art von Gleichung ist a Polynomgleichung (allgemein auch als ein bezeichnet algebraische Gleichung), in denen die beiden Seiten sind Polynome. Die Seiten einer Polynomgleichung enthalten eine oder mehrere Bedingungen. Zum Beispiel die Gleichung

hat linke Seite , was vier Begriffe und rechte Seite hat , bestehend aus nur einer Begriff. Die Namen der Variablen weisen darauf hin x und y sind Unbekannte und das A, B, und C sind Parameteraber dies wird normalerweise durch den Kontext festgelegt (in einigen Kontexten, y Kann ein Parameter sein, oder A, B, und C kann gewöhnliche Variablen sein).

Eine Gleichung ist analog zu einer Skala, in die Gewichte platziert werden. Wenn gleiche Gewichte von etwas (z. B. Getreide) in die beiden Pfannen gegeben werden, führen die beiden Gewichte dazu, dass sich die Skala im Gleichgewicht befindet und gilt als gleich. Wenn eine Menge Getreide aus einer Pfanne des Gleichgewichts entfernt wird, muss eine gleiche Menge Getreide aus der anderen Pfanne entfernt werden, um die Waage im Gleichgewicht zu halten. Im Allgemeinen bleibt eine Gleichung im Gleichgewicht, wenn dieselbe Operation auf beiden Seiten durchgeführt wird.

Im Kartesische GeometrieGleichungen werden verwendet, um zu beschreiben Geometrische Figuren. Als die Gleichungen, die berücksichtigt werden, wie z. implizite Gleichungen oder Parametrische Gleichungen, haben unendlich viele Lösungen, das Ziel ist jetzt anders: Anstatt den Lösungen explizit zu geben oder sie zu zählen, was unmöglich ist, verwendet man Gleichungen zum Untersuchung der Eigenschaften von Zahlen. Dies ist die Startidee von Algebraische Geometrie, ein wichtiger Bereich der Mathematik.

Algebra Untersucht zwei Hauptfamilien von Gleichungen: Polynomgleichungen und unter ihnen den Sonderfall von lineare Gleichungen. Wenn es nur eine Variable gibt, haben Polynomgleichungen die Form P(x) = 0, wo P ist ein Polynomund lineare Gleichungen haben die Form Axt+b= 0, wo a und b sind Parameter. Um Gleichungen aus der Familie zu lösen, verwendet man algorithmische oder geometrische Techniken, die stammen Lineare Algebra oder Mathematische Analyse. Algebra studiert auch Diophantinengleichungen wo die Koeffizienten und Lösungen sind Ganzzahlen. Die verwendeten Techniken sind unterschiedlich und kommen von Zahlentheorie. Diese Gleichungen sind im Allgemeinen schwierig; Man sucht oft nur, nur um die Existenz oder das Fehlen einer Lösung zu finden und, wenn sie existieren, die Anzahl der Lösungen zu zählen.

Differentialgleichung sind Gleichungen, die eine oder mehrere Funktionen und deren Derivate umfassen. Sie sind gelöst Indem Sie einen Ausdruck für die Funktion finden, die keine Derivate beinhaltet. Differentialgleichungen werden verwendet, um Prozesse zu modellieren, die die Änderungsraten der Variablen beinhalten, und werden in Bereichen wie Physik, Chemie, Biologie und Wirtschaftswissenschaften verwendet.

Das "="Symbol, das in jeder Gleichung erscheint, wurde 1557 von 1557 erfunden Robert Recorde, der der Meinung war, dass nichts gleicher sein könnte als parallele geraden Linien mit der gleichen Länge.[1]

Einführung

Analoge Illustration

Illustration einer einfachen Gleichung; x, y, z sind reelle Zahlen, analog zu Gewichten.

Eine Gleichung ist analog zu a Waageskala, Balance, oder Wippe.

Jede Seite der Gleichung entspricht einer Seite des Gleichgewichts. Auf jeder Seite können verschiedene Größen platziert werden: Wenn die Gewichte auf den beiden Seiten gleich sind, ist die Skalierungsbilanz und in Analogie die Gleichheit, die das Gleichgewicht darstellt Ungleichheit dargestellt durch an Ungleichung).

In der Illustration, x, y und z sind alle unterschiedliche Mengen (in diesem Fall reale Nummern) als kreisförmige Gewichte dargestellt und jeder von x, y, und z hat ein anderes Gewicht. Die Addition entspricht dem Hinzufügen von Gewicht, während die Subtraktion dem Entfernen von Gewicht aus dem entspricht, was bereits vorhanden ist. Wenn die Gleichheit gilt, ist das Gesamtgewicht auf jeder Seite gleich.

Parameter und Unbekannte

Gleichungen enthalten oft andere Begriffe als die Unbekannten. Diese anderen Begriffe, von denen angenommen wird bekannt, werden normalerweise genannt Konstanten, Koeffizienten oder Parameter.

Ein Beispiel für eine Gleichung mit x und y als Unbekannte und der Parameter R ist

Wann R wird ausgewählt, um den Wert von 2 zu haben (R = 2) Diese Gleichung würde in erkannt Kartesischen Koordinaten als Gleichung für den Radiuskreis von 2 um den Ursprung. Daher die Gleichung mit R Nicht spezifiziert ist die allgemeine Gleichung für den Kreis.

Normalerweise werden die Unbekannten durch Buchstaben am Ende des Alphabets bezeichnet, x, y, z, w, ..., während Koeffizienten (Parameter) zu Beginn durch Buchstaben bezeichnet werden, a, b, c, d, .... Zum Beispiel der General quadratische Gleichung ist normalerweise geschrieben Axt2+BX+c= 0.

Der Prozess des Findens der Lösungen oder im Falle von Parametern, die die Unbekannten in Bezug auf die Parameter ausdrücken, wird aufgerufen Lösung der Gleichung. Solche Ausdrücke der Lösungen in Bezug auf die Parameter werden ebenfalls genannt Lösungen.

A Gleichungssystem ist ein Satz von Simultangleichungennormalerweise in mehreren Unbekannten, nach denen die gemeinsamen Lösungen gesucht werden. Also a Lösung für das System ist ein Satz von Werten für jedes der Unbekannten, die zusammen eine Lösung für jede Gleichung im System bilden. Zum Beispiel das System

hat die einzigartige Lösung x= -1, y= 1.

Identitäten

Ein Identität ist eine Gleichung, die für alle möglichen Werte der Variablen (en) zutrifft. Viele Identitäten sind in Algebra und Kalkül bekannt. Bei der Lösung einer Gleichung wird häufig eine Identität verwendet, um eine Gleichung zu vereinfachen, was sie leichter lösbar macht.

In Algebra ist ein Beispiel für eine Identität das Unterschied von zwei Quadraten:

Welches gilt für alle x und y.

Trigonometrie ist ein Bereich, in dem es viele Identitäten gibt; Diese sind nützlich bei der Manipulation oder Lösung Trigonometrische Gleichungen. Zwei von vielen, die die betreffen Sinus und Kosinus Funktionen sind:

und

die beides gilt für alle Werte von θ.

Zum Beispiel um den Wert von zu lösen θ Das erfüllt die Gleichung:

wo θ ist auf 0 und 45 Grad begrenzt, man kann die obige Identität für das Produkt verwenden, um zu geben:

Ergeben Sie die folgende Lösung für θ:

Da die Sinusfunktion a ist periodische FunktionEs gibt unendlich viele Lösungen, wenn es keine Einschränkungen gibt θ. In diesem Beispiel einschränken θ Um zwischen 0 und 45 Grad zu liegen, würde die Lösung nur auf eine Zahl einschränken.

Eigenschaften

Zwei Gleichungen oder zwei Gleichungssysteme sind Äquivalent, wenn sie die gleichen Lösungen haben. Die folgenden Operationen verwandeln eine Gleichung oder ein Gleichungssystem in eine äquivalente - vorausgesetzt, dass die Operationen für die Ausdrücke von Bedeutung sind, auf die sie angewendet werden:

  • Hinzufügen oder Subtrahieren die gleiche Menge wie beide Seiten einer Gleichung. Dies zeigt, dass jede Gleichung einer Gleichung entspricht, in der die rechte Seite Null ist.
  • Multiplizieren oder dividieren Beide Seiten einer Gleichung durch eine Menge ungleich Null.
  • Anwenden an Identität eine Seite der Gleichung zu transformieren. Zum Beispiel, expandieren ein Produkt oder Factoring eine Summe.
  • Für ein System: Hinzufügen zu beiden Seiten einer Gleichung die entsprechende Seite einer anderen Gleichung, multipliziert mit derselben Menge.

Wenn einige Funktion wird auf beide Seiten einer Gleichung angewendet, die resultierende Gleichung hat die Lösungen der anfänglichen Gleichung zwischen ihren Lösungen, kann jedoch weitere Lösungen aufweisen, die genannt werden Fremdlösungen. Zum Beispiel die Gleichung hat die Lösung Anheben beide Seiten auf den Exponenten von 2 (dh die Anwendung der Funktion bedeutet zu beiden Seiten der Gleichung) ändert die Gleichung zu , was nicht nur die vorherige Lösung hat, sondern auch die fremde Lösung einführt, Darüber hinaus, wenn die Funktion bei einigen Werten nicht definiert ist (z. B. 1//x, was nicht definiert ist für x = 0), Lösungen, die an diesen Werten vorhanden sind, können verloren gehen. Daher muss bei der Anwendung einer solchen Transformation auf eine Gleichung Vorsicht geboten werden.

Die obigen Transformationen sind die Grundlage für die meisten elementaren Methoden für Gleichungslösungsowie einige weniger elementare wie Gaußsche Eliminierung.

Algebra

Polynomgleichungen

Das Lösungen –1 und 2 der Polynomgleichung x2x + 2 = 0 sind die Punkte, an denen die Graph des quadratische Funktion y = x2x + 2 schneidet die x-Achse.

Im Allgemeinen eine algebraische Gleichung oder Polynomgleichung ist eine Gleichung der Form

, oder
[a]

wo P und Q sind Polynome mit Koeffizienten in einigen aufstellen (z.B., Rationale Zahlen, reale Nummern, komplexe Zahlen). Eine algebraische Gleichung ist univariate Wenn es nur einen betrifft Variable. Andererseits kann eine Polynomgleichung mehrere Variablen beinhalten, in diesem Fall heißt es multivariate (Mehrere Variablen, x, y, z usw.).

Zum Beispiel,

ist eine univariate algebraische (polynomiale) Gleichung mit ganzzahligen Koeffizienten und

ist eine multivariate Polynomgleichung über die rationalen Zahlen.

Einige Polynomgleichungen mit Rationale Koeffizienten eine Lösung haben, die eine ist Algebraischer Ausdruckmit einer begrenzten Anzahl von Operationen, die nur diese Koeffizienten betreffen (d. H., kann sein Algebraisch gelöst). Dies kann für alle solchen Gleichungen von getan werden Grad ein, zwei, drei oder vier; aber Gleichungen von Fünf oder mehr können auf diese Weise nicht immer gelöst werden, wie die Abel -Ruffini -Theorem demonstriert.

Eine große Menge an Forschungen wurde gewidmet, um effizient genaue Näherungen der zu berechnen real oder Komplex Lösungen einer univariaten algebraischen Gleichung (siehe Wurzelfund von Polynomen) und der gemeinsamen Lösungen mehrerer multivariater Polynomgleichungen (siehe System der Polynomgleichungen).

Systeme der linearen Gleichungen

Die neun Kapitel über die mathematische Kunst ist ein anonymer chinesisches Buch des 2. Jahrhunderts, in dem eine Auflösungsmethode für lineare Gleichungen vorgeschlagen wird.

A System der linearen Gleichungen (oder lineares System) ist eine Sammlung von lineare Gleichungen Ein oder mehrere einbeziehen Variablen.[b] Zum Beispiel,

ist ein System von drei Gleichungen in den drei Variablen x, y, z. EIN Lösung Zu einem linearen System ist eine Zuordnung von Zahlen zu den Variablen so, dass alle Gleichungen gleichzeitig erfüllt sind. EIN Lösung zu dem obigen System wird gegeben durch gegeben

da es alle drei Gleichungen gültig macht. Das Wort "System"Zeigt an, dass die Gleichungen eher kollektiv als einzeln betrachtet werden sollen.

In der Mathematik ist die Theorie der linearen Systeme ein grundlegender Bestandteil von Lineare Algebra, ein Thema, das in vielen Teilen der modernen Mathematik verwendet wird. Computer Algorithmen Für das Finden der Lösungen sind ein wichtiger Bestandteil von Numerische lineare Algebraund spielen eine herausragende Rolle in Physik, Ingenieurwesen, Chemie, Informatik, und Wirtschaft. EIN System nichtlinearer Gleichungen kann oft sein angenähert durch ein lineares System (siehe Linearisierung), eine hilfreiche Technik beim Erstellen einer mathematisches Modell oder Computersimulation eines relativ komplexen Systems.

Geometrie

Analytische Geometrie

Die blaue und rote Linie ist der Satz aller Punkte (x,y) so dass x+y= 5 und -x+2y= 4, jeweils. Ihr Überschneidung Punkt (2,3) erfüllt beide Gleichungen.
A Kegelabschnitt ist der Schnittpunkt einer Ebene und eines Revolutionskegels.

Im Euklidische GeometrieEs ist möglich, eine Reihe von Koordinaten an jeden Punkt im Raum zu verbinden, beispielsweise durch ein orthogonales Netz. Mit dieser Methode kann man geometrische Figuren nach Gleichungen charakterisieren. Eine Ebene im dreidimensionalen Raum kann als Lösungssatz einer Gleichung der Form ausgedrückt werden , wo und sind echte Zahlen und sind die Unbekannten, die den Koordinaten eines Punktes im System entsprechen, das durch das orthogonale Gitter gegeben wird. Die Werte sind die Koordinaten eines Vektors senkrecht zur durch die Gleichung definierten Ebene. Eine Linie wird als Schnittpunkt zweier Ebenen ausgedrückt, dh als Lösungssatz einer einzelnen linearen Gleichung mit Werten in oder als Lösungssatz von zwei linearen Gleichungen mit Werten in

A Kegelabschnitt ist der Schnittpunkt von a Kegel mit Gleichung und ein Flugzeug. Mit anderen Worten, im Weltraum sind alle Conics als die Lösungssatz einer Gleichung einer Ebene und der Gleichung eines gerade angegebenen Kegels definiert. Dieser Formalismus ermöglicht es einem, die Positionen und Eigenschaften der Fokussierungen eines Kamms zu bestimmen.

Durch die Verwendung von Gleichungen kann man einen großen Bereich der Mathematik anrufen, um geometrische Fragen zu lösen. Das kartesischen Koordinaten System verwandelt ein geometrisches Problem in ein Analyseproblem, sobald die Figuren in Gleichungen umgewandelt werden. So der Name analytische Geometrie. Diese Sichtweise, umrissen von durch Descartes, bereichert und modifiziert die Art der Geometrie, die von den alten griechischen Mathematikern konzipiert wird.

Derzeit bezeichnet Analytic Geometry einen aktiven Zweig der Mathematik. Obwohl es immer noch Gleichungen verwendet, um Figuren zu charakterisieren, verwendet es auch andere ausgefeilte Techniken wie z. Funktionsanalyse und Lineare Algebra.

Kartesische Gleichungen

A Kartesisches Koordinatensystem ist ein Koordinatensystem Das gibt jeden an Punkt einzigartig in a Flugzeug durch ein Paar von numerisch Koordinaten, die die sind unterzeichnet Entfernungen vom Punkt bis zu zwei festgelegt aufrecht gerichtete Linien, die mit demselben markiert sind Längeneinheit.

Man kann das gleiche Prinzip verwenden, um die Position eines beliebigen Punktes in drei-dimensional Platz Durch die Verwendung von drei kartesischen Koordinaten, die die unterzeichneten Abstände zu drei senkrechten Ebenen (oder entsprechend durch seine senkrechte Projektion auf drei gegenseitig senkrechte Linien) sind.

Kartesisches Koordinatensystem mit einem Kreis von Radius 2, der auf rot gekennzeichnet ist. Die Gleichung eines Kreises ist (xa)2 + (yb)2 = r2 wo a und b sind die Koordinaten des Zentrums (a, b) und r ist der Radius.

Die Erfindung kartesischer Koordinaten im 17. Jahrhundert von René Descartes (Latinisiert Name: Cartesius) revolutionierte die Mathematik, indem er den ersten systematischen Zusammenhang zwischen stellte Euklidische Geometrie und Algebra. Verwenden des kartesischen Koordinatensystems, geometrische Formen (wie z. Kurven) kann beschrieben werden durch Kartesische Gleichungen: Algebraische Gleichungen, an denen die Koordinaten der Punkte beteiligt sind, die auf der Form liegen. Zum Beispiel kann ein Kreis von Radius 2 in einer Ebene, der auf einem bestimmten Punkt zentriert ist, der als Ursprung bezeichnet wird x und y die Gleichung erfüllen x2 + y2 = 4.

Parametrische Gleichungen

A parametrische Gleichung Für ein Kurve drückt die aus Koordinaten der Kurvenpunkte als Funktionen von a Variable, genannt Parameter.[7][8] Zum Beispiel,

sind parametrische Gleichungen für die Einheitskreis, wo t ist der Parameter. Zusammen werden diese Gleichungen als a genannt Parametrische Darstellung der Kurve.

Der Begriff von parametrische Gleichung wurde verallgemeinert auf Oberflächen, Verteiler und Algebraische Sorten von höher Abmessungenmit der Anzahl der Parameter gleich der Dimension des Verteilers oder der Sorte und der Anzahl der Gleichungen gleich der Dimension des Raums, in dem der Verteiler oder die Sorte berücksichtigt wird (für Kurven die Dimension ist eines und eines Parameter wird für die Oberflächendimension verwendet zwei und zwei Parameter usw.).

Zahlentheorie

Diophantinengleichungen

A Diophantinengleichung ist ein Polynomgleichung in zwei oder mehr Unbekannten, für die nur die ganze Zahl Lösungen werden gesucht (eine Ganzzahllösung ist eine Lösung, so dass alle Unbekannten Ganzzahlwerte annehmen). EIN Lineare diophantinische Gleichung ist eine Gleichung zwischen zwei Summen von Monome von Grad Null oder eins. Ein Beispiel für Lineare diophantinische Gleichung ist Axt + durch = c wo a, b, und c sind Konstanten. Ein Exponentielle diophantinische Gleichung ist eine, für die Exponenten der Bedingungen der Gleichung unbekannt sein können.

Diophantinische Probleme Haben Sie weniger Gleichungen als unbekannte Variablen und beinhalten die Suche nach Ganzzahlen, die für alle Gleichungen korrekt funktionieren. In mehr technischer Sprache definieren sie eine algebraische Kurve, Algebraische Oberfläche, oder allgemeiner Objekt und fragen Sie nach dem Gitterpunkte darauf.

Das Wort Diophantin bezieht sich auf Hellenistischer Mathematiker des 3. Jahrhunderts, Diophantus von Alexandria, der eine Studie über solche Gleichungen durchgeführt hat und einer der ersten Mathematiker war, die sich einführten Symbolismus hinein Algebra. Die mathematische Studie über diophantinische Probleme, die Diophantus initiiert hat Diophantinische Analyse.

Algebraische und transzendentale Zahlen

Ein Algebraikum ist eine Zahl, die eine Lösung eines ungleich Null ist Polynomgleichung in einer Variablen mit rational Koeffizienten (oder äquivalent - durch Nenner löschen - mit ganze Zahl Koeffizienten). Zahlen wie π das sind nicht algebraisch transzendental. Fast alles real und Komplex Zahlen sind transzendent.

Algebraische Geometrie

Algebraische Geometrie ist ein Zweig von Mathematikklassisches Studium von Lösungen von Polynomgleichungen. Die moderne algebraische Geometrie basiert auf abstrakteren Techniken von Zusammenfassung Algebra, besonders kommutative Algebra, mit der Sprache und den Problemen von Geometrie.

Die grundlegenden Studienobjekte in der algebraischen Geometrie sind Algebraische Sorten, die geometrische Manifestationen von sind Lösungen von Systeme der Polynomgleichungen. Beispiele für die am meisten untersuchten Klassen algebraischer Sorten sind: Ebene algebraische Kurven, die einschließen Linien, Kreise, Parabel, Ellipsen, Hyperbel, Kubikkurven wie Elliptische Kurven und quartische Kurven mögen lemniscates, und Cassini Ovale. Ein Punkt der Ebene gehört zu einer algebraischen Kurve, wenn ihre Koordinaten eine bestimmte Polynomgleichung erfüllen. Grundlegende Fragen beinhalten die Untersuchung der Punkte von besonderem Interesse wie die Singularpunkte, das Beugungspunkte und die Punkte auf unendlich. Fortgeschrittenere Fragen beinhalten die Topologie der Kurve und der Beziehungen zwischen den durch verschiedenen Gleichungen angegebenen Kurven.

Differentialgleichung

A seltsamer Attraktor, was bei der Lösung eines bestimmten entsteht Differentialgleichung

A Differentialgleichung ist ein mathematisch Gleichung, die einige bezieht Funktion mit Derivate. In Anwendungen repräsentieren die Funktionen normalerweise physikalische Größen, die Derivate repräsentieren ihre Änderungsraten und die Gleichung definiert eine Beziehung zwischen beiden. Da solche Beziehungen extrem häufig sind, spielen Differentialgleichungen in vielen Disziplinen eine herausragende Rolle, einschließlich Physik, Ingenieurwesen, Wirtschaft, und Biologie.

Im reine Mathematik, Differentialgleichungen werden aus verschiedenen Perspektiven untersucht, die sich hauptsächlich mit ihren Lösungen befassen - der Reihe von Funktionen, die die Gleichung erfüllen. Nur die einfachsten Differentialgleichungen sind durch explizite Formeln lösbar; Einige Eigenschaften von Lösungen einer bestimmten Differentialgleichung können jedoch bestimmt werden, ohne ihre genaue Form zu finden.

Wenn eine in sich geschlossene Formel für die Lösung nicht verfügbar ist, kann die Lösung mit Computern numerisch angenähert werden. Die Theorie von Dynamische Systeme legt den Schwerpunkt auf qualitative Analyse von Systemen, die durch Differentialgleichungen beschrieben werden, während viele Numerische Methoden wurden entwickelt, um Lösungen mit einem bestimmten Genauigkeitsgrad zu bestimmen.

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Ein gewöhnliche Differentialgleichung oder ODE ist eine Gleichung, die eine Funktion von einem enthält unabhängige Variable und seine Derivate. Der Begriff "gewöhnliche"wird im Gegensatz zum Begriff verwendet partielle Differentialgleichung, was in Bezug auf mehr als Eine unabhängige Variable.

Lineare Differentialgleichungen, die Lösungen haben, die mit Koeffizienten hinzugefügt und multipliziert werden können, sind gut definiert und verstanden, und genaue Lösungen für geschlossene Form werden erhalten. Im Gegensatz dazu sind Oden, die additive Lösungen fehlen Grundfunktionen In geschlossener Form: Stattdessen sind genaue und analytische Lösungen von ODES in Reihe oder integraler Form. Grafisch und numerisch Methoden, die von Hand oder Computer angewendet werden, können Lösungen von ODEs annähern und möglicherweise nützliche Informationen liefern, die häufig ohne exakte analytische Lösungen ausreichen.

Partielle Differentialgleichungen

A partielle Differentialgleichung (PDE) ist ein Differentialgleichung das enthält unbekannt Multivariable Funktionen und ihre Teilableitungen. (Dies steht im Gegensatz zu gewöhnliche Differentialgleichungen, die sich mit Funktionen einer einzelnen Variablen und ihrer Derivate befassen.) PDEs werden verwendet, um Probleme mit Funktionen mehrerer Variablen zu formulieren, und werden entweder von Hand gelöst oder zum Erstellen eines relevanten Erstellens verwendet Computermodell.

PDEs können verwendet werden, um eine Vielzahl von Phänomenen zu beschreiben, wie sie Klang, Wärme, Elektrostatik, Elektrodynamik, Flüssigkeitsströmung, Elastizität, oder Quantenmechanik. Diese scheinbar unterschiedlichen physikalischen Phänomene können in Bezug auf PDEs ähnlich formalisiert werden. So wie gewöhnliche Differentialgleichungen oft eindimensional modellieren Dynamische Systeme, partielle Differentialgleichungen modellieren oft Mehrdimensionale Systeme. PDEs finden ihre Verallgemeinerung in Stochastische partielle Differentialgleichungen.

Arten von Gleichungen

Gleichungen können nach den Arten von klassifiziert werden Operationen und Mengen beteiligt. Wichtige Typen sind:

Siehe auch

Anmerkungen

  1. ^ Als eine solche Gleichung kann umgeschrieben werden PQ = 0Viele Autoren betrachten diesen Fall nicht explizit.
  2. ^ Das Thema dieses Artikels ist grundlegend in der Mathematik und wird in vielen Lehrbüchern behandelt. Unter ihnen enthalten Lay 2005, Meyer 2001 und Strang 2005 das Material dieses Artikels.

Verweise

  1. ^ a b Rekord, Robert, Der Whetstone der Witte … (London, England: Jhon Kyngstone, 1557), Die dritte Seite des Kapitels "Die Regel der Gleichung, die allgemein als Albertregel bezeichnet wird".
  2. ^ a b "Gleichung - Mathematik offene Referenz". www.mathopenref.com. Abgerufen 2020-09-01.
  3. ^ "Gleichungen und Formeln". www.mathsifun.com. Abgerufen 2020-09-01.
  4. ^ Marcus, Solomon; Watt, Stephen M. "Was ist eine Gleichung?". Abgerufen 2019-02-27.
  5. ^ Lachaud, Gilles. "Équation, mathématique". Encyclopædia universalis (auf Französisch).
  6. ^ "Eine Gleichheitserklärung zwischen zwei Ausdrücken. Gleichungen sind zwei Typen, Identitäten und bedingte Gleichungen (oder normalerweise einfach "Gleichungen") ".Gleichung", in Mathematics Dictionary, Glenn James[DE] ET Robert C. James[DE] (Éd.), Van Nostrand, 1968, 3 ed. 1. Aufl. 1948, p. 131.
  7. ^ Thomas, George B. und Finney, Ross L.,, Kalkül und analytische Geometrie, Addison Wesley Publishing Co., fünfte Ausgabe, 1979, p. 91.
  8. ^ Weisstein, Eric W. "Parametrische Gleichungen." Von MathWorld-eine Wolfram-Webressource. http://mathworld.wolfram.com/parametricequations.html

Externe Links

  • Winplot: Allzweckplotter, der 2D- und 3D -mathematische Gleichungen zeichnen und animieren kann.
  • Gleichungsplotter: Eine Webseite zum Erstellen und Herunterladen von PDF- oder Postscript -Diagramme der Lösungssätze zu Gleichungen und Ungleichungen in zwei Variablen (x und y).