Entropischer Wert bei Risiko

Im Finanzmathematik und Stochastische Optimierung, das Konzept von Risikomaß wird verwendet, um das Risiko zu quantifizieren, das an einer zufälligen Ergebnis oder einer Risikoposition beteiligt ist. Bisher wurden viele Risikomaßnahmen vorgeschlagen, jeweils bestimmte Merkmale. Das entropischer Wert bei Risiko (Evar) ist ein Kohärente Risikomaß eingeführt von Ahmadi-Javid,^[1][2] Welches ist eine Obergrenze für die Wert von Risiko (Var) und die bedingter Wert von Risiko (Cvar), erhalten von der erhalten Tschernoff -Ungleichheit. Der EVAR kann auch durch die Verwendung des Konzepts von dargestellt werden relative Entropie. Aufgrund seiner Verbindung mit dem VAR und der relativen Entropie wird dieses Risikomaß als "entropischer Wert bei Risiko" bezeichnet. Der EVAR wurde entwickelt, um einige rechnerische Ineffizienzen anzugehen^{[Klarstellung erforderlich]} des CVAR. Inspiration von der doppelten Darstellung des EVAR, Ahmadi-Javid^[1][2] entwickelte eine breite Klasse von Kohärente Risikomaßnahmen, genannt G-entrostische Risikomaßnahmen. Sowohl die CVAR als auch die EVAR sind Mitglieder dieser Klasse.

Definition

Lassen ${\ displayStyle (\ Omega, {\ mathcal {f}}, p)}$ sei a Wahrscheinlichkeitsraum mit ${\ displayStyle \ Omega}$ ein Satz aller einfachen Ereignisse, ${\ displaystyle {\ mathcal {f}}}$ a ${\ displayStyle \ sigma}$-Algebra von Teilmengen von ${\ displayStyle \ Omega}$ und ${\ displayStyle p}$ a Wahrscheinlichkeitsmaß an ${\ displaystyle {\ mathcal {f}}}$. Lassen ${\ displayStyle x}$ sei a zufällige Variable und ${\ displayStyle \ mathbf {l} _ {m^{+}}}$ sei der Satz von allen Borel messbar Funktionen ${\ displayStyle x: \ omega \ to \ mathbb {r}}$ Deren Momentgenerierende Funktion ${\ displayStyle m_ {x} (z)}$ existiert für alle ${\ displayStyle z \ geq 0}$. Der entropische Wert von Risiko (EVAR) von ${\ displaystyle x \ in \ mathbf {l} _ {m^{+}}}$ mit Konfidenzniveau ${\ displayStyle 1- \ alpha}$ wird wie folgt definiert:

$oder {X} (z)} {\ alpha}} \ rechts) \ rechts \}.}$

(1)

Im Finanzen die zufällige Variable ${\ displaystyle x \ in \ mathbf {l} _ {m^{+}},},},}$ In der obigen Gleichung wird das Modell verwendet, um die zu modellieren Verluste eines Portfolios.

Betrachten Sie die Ungleichheit der Tschernoff

$oder$

(2)

Lösung der Gleichung ${\ displayStyle e^{-za} m_ {x} (z) = \ alpha}$ zum ${\ displayStyle a,}$ führt in

$oder$

Durch Berücksichtigung der Gleichung (1), wir sehen das

$oder$

Das zeigt die Beziehung zwischen EVAR und der Ungleichheit des Tschernoffs. Es ist erwähnenswert ${\ displayStyle a_ {x} (1, z)}$ ist der Entropische Risikomaßnahme oder Exponentielle Prämie, was ein Konzept ist, das in Finanzen und Versicherungen verwendet wird.

Lassen ${\ displaystyle \ mathbf {l} _ {m}}$ Seien Sie der Satz aller Borel messbaren Funktionen ${\ displayStyle x: \ omega \ to \ mathbb {r}}$ deren Momentgenerierende Funktion ${\ displayStyle m_ {x} (z)}$ existiert für alle ${\ displayStyle z}$. Das Doppelte Darstellung (oder robuste Darstellung) des EVAR ist wie folgt:

$oder$

(3)

wo ${\ displayStyle x \ in \ mathbf {l} _ {m},},},}$ und ${\ displayStyle \ im}$ ist eine Reihe von Wahrscheinlichkeitsmaßnahmen auf ${\ displayStyle (\ Omega, {\ mathcal {f}})}$ mit ${\ displaystyle \ im = \ {q \ ll p: d_ {kl} (q || p) \ leq -\ ln \ alpha \}}$. Beachten Sie, dass

$oder$

ist der relative Entropie von ${\ displayStyle q}$ in Gedenken an ${\ displayStyle p,}$ auch als das genannt Kullback -Leibler -Divergenz. Die doppelte Darstellung des EVAR zeigt den Grund für die Benennung.

Eigenschaften

• Der EVAR ist eine kohärente Risikomaßnahme.

• Die Momentgenerierfunktion ${\ displayStyle m_ {x} (z)}$ kann durch den EVAR dargestellt werden: für alle ${\ displaystyle x \ in \ mathbf {l} _ {m^{+}}}$ und ${\ displayStyle z> 0}$

$oder }.}$

(4)

• Zum ${\ displayStyle x, y \ in \ mathbf {l} _ {m}}$, $oder$ für alle ${\ displaystyle \ alpha \ in] 0,1]}$ dann und nur dann, wenn ${\ displayStyle f_ {x} (b) = f_ {y} (b)}$ für alle ${\ displaystyle b \ in \ mathbb {r}}$.

• Das entropische Risikomaß mit Parameter ${\ displayStyle \ theta,}$ kann durch das EVAR dargestellt werden: für alle ${\ displaystyle x \ in \ mathbf {l} _ {m^{+}}}$ und ${\ displayStyle \ theta> 0}$

${\displaystyle \theta ^{-1}\ln M_{X}(\theta )=a_{X}(1,\theta )=\sup _{0<\alpha \leq 1}\{{\text{ EVAR}} _ {1- \ alpha} (x)+\ theta ^{-1} \ ln \ alpha \}.}$

(5)

• Das EVAR mit Konfidenzniveau ${\ displayStyle 1- \ alpha}$ ist die dichtste Obergrenze, die aus der Tschernoff -Ungleichheit für VaR und CVAR mit Konfidenzniveau erhalten werden kann ${\ displayStyle 1- \ alpha}$;

$oder$

(6)

• Die folgende Ungleichheit gilt für den EVAR:

$oder$

(7)

wo ${\ displayStyle {\ text {e}} (x)}$ ist der erwarteter Wert von ${\ displayStyle x}$ und ${\ displayStyle {\ text {EssSUP}} (x)}$ ist der Essentielles Supremum von ${\ displayStyle x}$, d.h. $oder$. Also halten Sie ${\ displaystyle {\ text {evar}} _ {0} (x) = {\ text {e}} (x)}$ und $oder$.

Beispiele

Vergleich des VaR, CVAR und EVAR für die Standardnormalverteilung

Vergleich des VaR, CVAR und EVAR für die gleichmäßige Verteilung über das Intervall (0,1)

Zum ${\ displayStyle x \ sim n (\ mu, \ sigma ^{2}),},},},},},},},},},},},},},},}$

${\ displaystyle {\ text {evar}} _ {1- \ alpha} (x) = \ mu +\ sigma {\ sqrt {-2 \ ln \ alpha}}.$

(8)

Zum ${\ displayStyle x \ sim u (a, b),}$

$oder -1} b} -e^{t^{-1} a}} {b-a}} \ rechts) -t \ ln \ alpha \ right \ rbrace.}$

(9)

Die Abbildungen 1 und 2 zeigen den Vergleich von VaR, CVAR und EVAR für ${\ displayStyle n (0,1)}$ und ${\ displayStyle u (0,1)}$.

Optimierung

Lassen ${\ displayStyle \ rho}$ eine Risikomaßnahme sein. Betrachten Sie das Optimierungsproblem

$oder$

(10)

wo $oder$ ist ein ${\ displayStyle n}$-Dimensionaler realer Entscheidungsvektor, ${\ displayStyle {\ Boldsymbol {\ psi}}}$ ist ein ${\ displayStyle m}$-Dimensional Real zufälliger Vektor mit einem bekannten Wahrscheinlichkeitsverteilung und die Funktion ${\ displayStyle g ({\ Boldsymbol oder$ ist eine messbare Borelfunktion für alle Werte ${\ displayStyle {\ Boldsymbol {W}} \ in {\ Boldsymbol {W}}.}$ Wenn ${\ displayStyle \ rho = {\ text {evar}},},}$ dann das Optimierungsproblem (10) verwandelt sich in:

$oder {\ psi}})} (t^{-1})-t \ ln \ alpha \ right \}.}.$

(11)

Lassen ${\ displayStyle {\ Boldsymbol {S}} _ {\ Boldsymbol {\ psi}}}$ die Unterstützung des zufälligen Vektors sein ${\ displayStyle {\ Boldsymbol {\ psi}}.}$ Wenn ${\ displayStyle g (., {\ Boldsymbol {s}})}$ ist konvex für alle $oder$, dann die objektive Funktion des Problems (11) ist auch konvex. Wenn ${\ displayStyle g ({\ Boldsymbol {W}}, {\ Boldsymbol {\ psi}})}$ hat die Form

$oder oder ldots, m,}$

(12)

und ${\ displaystyle \ psi _ {1}, \ ldots, \ psi _ {m}}$ sind unabhängige Zufallsvariablen in ${\ displaystyle \ mathbf {l} _ {m}}$, dann (11) wird

$oder {i = 1}^{m} \ ln m_ {g_ {i} ({\ boldSymbol {w}}) \ psi _ {i}} (t^{-1})-t \ ln \ alpha \ rechts \ rechter rbrace.}$

(13)

Welches ist rechnerisch flehbar. Aber für diesen Fall, wenn man das CVAR in Problem verwendet (10), dann wird das resultierende Problem wie folgt:

$oder \ text {e}} \ links [g_ {0} ({\ boldsymbol {w}})+\ sum _ {i = 1}^{m} g_ {i} ({\ boldensymbol {w}}) \ psi} ({\ biotsymbol {w}}) \ psi} ({\ biotsymbols _ {i} -t \ rechts] _ {+} \ right \ rbrace.}$

(14)

Es kann gezeigt werden, dass durch Erhöhen der Dimension von ${\ displayStyle \ psi}$, Problem (14) ist auch für einfache Fälle rechenintraktiv. Angenommen das zum Beispiel ${\ displaystyle \ psi _ {1}, \ ldots, \ psi _ {m}}$ sind unabhängig Diskrete Zufallsvariablen das dauert ${\ displayStyle K}$ unterschiedliche Werte. Für feste Werte von ${\ displayStyle {\ Boldsymbol {W}}}$ und ${\ displayStyle t,}$ das Komplexität Berechnung der in Problem angegebenen Zielfunktion (13) ist in Ordnung ${\ displayStyle mk}$ Während die Rechenzeit für die objektive Funktion des Problems (14) ist in Ordnung ${\ displayStyle k^{m}}$. Zur Illustration nehmen Sie das an ${\ displayStyle k = 2, m = 100}$ und die Zusammenfassung von zwei Zahlen dauert es ${\ displayStyle 10^{-12}}$ Sekunden. Zur Berechnung der Zielfunktion des Problems (14) Man braucht ungefähr ${\ displayStyle 4 \ Times 10^{10}}$ Jahre, während die Bewertung der objektiven Funktion des Problems (13) nimmt herum ${\ displayStyle 10^{-10}}$ Sekunden. Dies zeigt, dass die Formulierung mit dem EVAR die Formulierung mit dem CVAR übertrifft (siehe ^[2] für mehr Details).

Verallgemeinerung (G-entropische Risikomaßnahmen)

Inspiration von der doppelten Darstellung des EVAR in (3), man kann eine breite Klasse von informationstheoretischen kohärenten Risikomaßnahmen definieren, die in eingeführt werden.^[1][2] Lassen ${\ displayStyle g}$ Sei ein Konvex passende Funktion mit ${\ displayStyle g (1) = 0}$ und ${\ displayStyle \ Beta}$ eine nicht negative Zahl sein. Das ${\ displayStyle g}$-Tropic Risikomaß mit Divergenzniveau ${\ displayStyle \ Beta}$ ist definiert als

$oder$

(15)

wo ${\ displaystyle \ im = \ {q \ ll p: h_ {g} (p, q) \ leq \ beta \}}$ in welchem ${\ displayStyle H_ {g} (p, q)}$ ist der Verallgemeinerte relative Entropie von ${\ displayStyle q}$ in Gedenken an ${\ displayStyle p}$. Eine ursprüngliche Darstellung der Klasse von ${\ displayStyle g}$-Entrope Risikomaßnahmen können wie folgt erhalten werden:

$oder oder rbrace}$

(16)

wo ${\ displayStyle g^{*}}$ ist das Konjugat von ${\ displayStyle g}$. Unter Berücksichtigung von

$oder$

(17)

mit ${\ displayStyle g^{*} (x) = e^{x-1}}$ und ${\ displayStyle \ Beta =-\ ln \ alpha}$Die EVAR -Formel kann abgeleitet werden. Die CVAR ist auch a ${\ displayStyle g}$-entropisches Risikomaß, das erhalten werden kann ((16) indem man es einstellt

${\displaystyle g(x)={\begin{cases}0&0\leq x\leq {\frac {1}{\alpha }}\\+\infty &{\text{otherwise}}\end{cases}} }$

(18)

mit ${\ displaystyle g^{*} (x) = {\ tfrac {1} {\ alpha}} \ max \ {0, x \}}$ und ${\ displayStyle \ Beta = 0}$ (sehen ^[1][3] für mehr Details).

Für weitere Ergebnisse auf ${\ displayStyle g}$-entropische Risikomaßnahmen sehen.^[4]

Disziplinierter konvexer Programmierrahmen

Der disziplinierte konvexe Programmierrahmen von Stichproben EVAR wurde von Cajas vorgeschlagen^[5] und hat die folgende Form:

${\ displayStyle {\ begin {aligned} {\ text {evar} _ {\ alpha} (x) & = \ links \ {{\ begin {array} {ll} {\ Unset {z, \, t, \ , u} {\ text {min}}} & t+z \ ln \ links ({\ frac {1} {\ alpha t}} \ rechts) \\ {\ text {S.T. j = 1}^{t} u_ {j} \\ & (x_ {j} -t, z, u_ {j}) \ in k _ {\ text {exp} \; \ forall \; j = 1,, \ ldots, t \\\ end {Array}} \ rechts. \ end {ausgerichtet}}}$

(19)

wo ${\ displayStyle z}$, ${\ displayStyle t}$ und ${\ displayStyle u}$ sind Variablen; ${\ displayStyle K _ {\ text {exp}}}$ ist ein exponentieller Kegel;^[6] und ${\ displayStyle t}$ ist die Anzahl der Beobachtungen. Wenn wir definieren ${\ displayStyle W}$ als der Vektor der Gewichte für ${\ displayStyle n}$ Vermögenswerte, ${\ displayStyle r}$ die Matrix der Rückgaben und ${\ displayStyle \ mu}$ Der mittlere Vektor der Vermögenswerte, wir können die Minimierung des erwarteten EVAR angesichts eines erwarteten Portfoliosrendits aufstellen ${\ displayStyle {\ bar {\ mu}}}$ folgendermaßen.

$oder {\ alpha t}} \ rechts) \\ & {\ text {S.T. {N} w_ {i} = 1 \\ &&& z \ geq \ sum _ {j = 1}^{t} u_ {j} \\ &&& (-r_ {j} w^{\ tau} -t, z, u_ {j}) \ in k _ {\ text {exp}} \; \ forall \; j = 1, \ ldots, t \\ &&& w_ {i} \ geq 0 \; \; \ forall \; i = 1 1 \ ldots, n \\\ end {ausgerichtet}}}$

(20)

Anwenden des disziplinierten konvexen Programmierrahmens von EVAR auf nicht zusammengestellte kumulative Renditenverteilung, Cajas^[5] schlug die vor entropischer Drawdown in Gefahr(Edar) Optimierungsproblem. Wir können die Minimierung des erwarteten EDAR angesichts einer erwarteten Rendite aufstellen ${\ displayStyle {\ bar {\ mu}}}$ folgendermaßen:

$oder frac {1} {\ alpha t}} \ rechts) \\ & {\ text {S.T. = 1}^{n} w_ {i} = 1 \\ &&& z \ geq \ sum _ {j = 1}^{t} u_ {j} \\ &&& (d_ {j} -r_ {j} w^{ \ tau} -t, z, u_ {j}) \ in k _ {\ text {exp} \; \ forall \; j = 1, \ ldots, t \\ &&& d_ {j} \ geq r_ {j} w ^{\ tau} \; \ forall \; j = 1, \ ldots, t \\ && d_ {j} \ geq d_ {j-1} \; \ forall \; j = 1, \ ldots, t \\ && d_ oder \ ldots, n \\\ end {ausgerichtet}}}$

(21)

wo ${\ displayStyle d}$ ist eine Variable, die die nicht erfundenen kumulativen Renditen des Portfolios darstellt und ${\ displayStyle r}$ ist die Matrix der nicht erfüllten kumulativen Renditen von Vermögenswerten.

Für andere Probleme wie die Risikoparität, die Maximierung des Rendite/des Risikos oder die Einschränkungen für maximale Risikoniveaus für EVAR und EDAR können Sie sehen ^[5] für mehr Details.

Der Vorteil von Modell EVAR und EDAR unter Verwendung eines disziplinierten konvexen Programmierrahmens besteht darin, dass wir Software wie CVXPY verwenden können ^[7] oder Mosek^[8] modellieren diese Portfolio -Optimierungsprobleme. EVAR und EDAR werden in der Python-Paketrisikofolio-Lib implementiert.^[9]

Siehe auch

• Stochastische Optimierung
• Risikomaß
• Kohärente Risikomaß
• Wert von Risiko
• Bedingter Wert von Risiko
• Erwarteter Mangel
• Entropic risk measure
• Kullback -Leibler -Divergenz
• Verallgemeinerte relative Entropie

Verweise