Ensemble (mathematische Physik)

Im Physik, speziell Statistische Mechanik, ein Ensemble (Auch Statistisches Ensemble) ist eine Idealisierung, die aus einer großen Anzahl virtueller Kopien (manchmal unendlich viele) von a besteht SystemAuf einmal betrachtet, von denen jeder einen möglichen Zustand darstellt, in dem sich das reale System befindet. Mit anderen Worten, ein statistisches Ensemble ist eine Reihe von Partikeln, die in statistischen Mechanik verwendet werden, um ein einzelnes System zu beschreiben.^[1] Das Konzept eines Ensembles wurde von eingeführt von J. Willard Gibbs im Jahr 1902.^[2]

A Thermodynamisches Ensemble ist eine spezifische Vielfalt statistischer Ensemble, die unter anderem im statistischen Gleichgewicht (unten definiert) sich befindet und zur Ableitung der Eigenschaften von verwendet wird Thermodynamische Systeme Aus den Gesetzen der klassischen oder der Quantenmechanik.^[3][4]

Physische Überlegungen

Das Ensemble formalisiert die Vorstellung, dass ein Experimentator, der ein Experiment immer wieder unter denselben makroskopischen Bedingungen wiederholt, aber die mikroskopischen Details nicht kontrollieren kann, erwarten kann, eine Reihe unterschiedlicher Ergebnisse zu beobachten.

Die fiktive Größe von Ensembles in der Thermodynamik, der statistischen Mechanik und der Quantenstatistische Mechanik kann sehr groß sein, einschließlich aller möglichen Mikroskopischer Zustand Das System könnte in Übereinstimmung mit seiner beobachteten sein makroskopisch Eigenschaften. Für viele wichtige physikalische Fälle ist es möglich, Mittelwerte direkt über das gesamte thermodynamische Ensemble zu berechnen, um explizite Formeln für viele der thermodynamischen Größen von Interesse zu erhalten, häufig in Bezug auf die angemessenen Partitionsfunktion.

Das Konzept eines Gleichgewichts oder eines stationären Ensembles ist für viele Anwendungen statistischer Ensembles von entscheidender Bedeutung. Obwohl sich ein mechanisches System im Laufe der Zeit sicherlich entwickelt, muss sich das Ensemble nicht unbedingt weiterentwickeln. Tatsächlich wird sich das Ensemble nicht weiterentwickeln, wenn es alle vergangenen und zukünftigen Phasen des Systems enthält. Ein solches statistisches Ensemble, das sich im Laufe der Zeit nicht ändert, wird aufgerufen stationär und kann sagen, dass es in sein kann Statistisches Gleichgewicht.^[2]

Terminologie

• Das Wort "Ensemble" wird auch für eine kleinere Anzahl von Möglichkeiten verwendet probiert aus den vollen so möglichen Zuständen. Zum Beispiel eine Sammlung von Wanderer in einem Markov -Kette Monte Carlo Die Iteration wird in einigen Literatur als Ensemble bezeichnet.
• Der Begriff "Ensemble" wird häufig in der Physik und in der physik beeinflussten Literatur verwendet. Im Wahrscheinlichkeitstheorie, der Begriff Wahrscheinlichkeitsraum ist häufiger.

Haupttypen

Visuelle Darstellung von fünf statistischen Ensembles (von links nach rechts): Mikrokanonisches Ensemble, kanonisches Ensemble, Grand Canonical Ensemble, Isobaric-isothermisches Ensemble, Isoenthalpic-isbaric Ensemble

Die Untersuchung der Thermodynamik befasst sich mit Systemen, die der menschlichen Wahrnehmung als "statisch" scheinen (trotz der Bewegung ihrer inneren Teile) und die einfach durch eine Reihe makroskopisch beobachtbarer Variablen beschrieben werden können. Diese Systeme können durch statistische Ensembles beschrieben werden, die von einigen beobachtbaren Parametern abhängen und sich im statistischen Gleichgewicht befinden. Gibbs stellte fest, dass verschiedene makroskopische Einschränkungen zu verschiedenen Arten von Ensembles mit bestimmten statistischen Eigenschaften führen. Drei wichtige thermodynamische Ensembles wurden von Gibbs definiert:^[2]

• Mikrokanonisches Ensemble (oder NVE Ensemble) - ein statistisches Ensemble, in dem die Gesamtenergie des Systems und die Anzahl der Partikel im System jeweils an bestimmte Werte festgelegt sind; Jedes der Mitglieder des Ensembles muss die gleiche Gesamtenergie- und Partikelzahl aufweisen. Das System muss vollständig isoliert bleiben (nicht in der Lage in der Lage, Energie oder Partikel mit seiner Umgebung auszutauschen), um im statistischen Gleichgewicht zu bleiben.^[2]
• Kanonisches Ensemble (oder NVT -Ensemble) - Ein statistisches Ensemble, in dem die Energie nicht genau bekannt ist, sondern die Anzahl der Partikel fixiert ist. Anstelle der Energie die Temperatur angegeben. Das kanonische Ensemble ist geeignet, um ein geschlossenes System zu beschreiben, das schwach ist oder in der thermischer Kontakt mit einem Hitzebad. Um sich im statistischen Gleichgewicht zu befinden, muss das System vollständig geschlossen bleiben (können nicht in der Lage sein, Partikel mit seiner Umgebung auszutauschen) und kann in schwachem thermischen Kontakt mit anderen Systemen kommen, die von Ensembles mit derselben Temperatur beschrieben werden.^[2]
• Grand Canonical Ensemble (oder μVT Ensemble) - Ein statistisches Ensemble, in dem weder die Energie noch die Partikelzahl festgelegt sind. An ihrer Stelle die Temperatur und Chemisches Potential sind angegeben. Das große kanonische Ensemble ist geeignet, um ein offenes System zu beschreiben: einen schwachen Kontakt mit einem Reservoir (thermischer Kontakt, chemischer Kontakt, Strahlungskontakt, elektrischer Kontakt usw.). Das Ensemble bleibt im statistischen Gleichgewicht, wenn das System in schwachem Kontakt mit anderen Systemen kommt, die von Ensembles mit der gleichen Temperatur und dem gleichen chemischen Potential beschrieben werden.^[2]

Die Berechnungen, die mit jedem dieser Ensembles durchgeführt werden können, werden in ihren jeweiligen Artikeln weiter untersucht. Andere thermodynamische Ensembles können ebenfalls definiert werden, was unterschiedlichen physikalischen Anforderungen entspricht, für die analoge Formeln häufig in ähnlicher Weise abgeleitet werden können. Zum Beispiel dürfen im Reaktionssemble die Partikelzahlschwankungen nur nach dem auftreten Stöchiometrie des chemische Reaktionen die im System vorhanden sind.^[5]

Darstellungen

Der genaue mathematische Ausdruck für ein statistisches Ensemble hat eine unterschiedliche Form, abhängig von der Art der in Betracht gezogenen Mechanik (Quanten- oder Klassiker). Im klassischen Fall ist das Ensemble eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Mikrostatten. In der Quantenmechanik, dieser Begriff, aufgrund von Neumannist eine Möglichkeit, eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über die Ergebnisse der einzelnen Ergebnisse zuzuweisen Komplette Set von Pendelpendelbindungsstücken. In der klassischen Mechanik wird das Ensemble stattdessen als Wahrscheinlichkeitsverteilung in geschrieben Phasenraum; Die Mikrostatten sind das Ergebnis des Teilungsphasenraums in gleichgroße Einheiten, obwohl die Größe dieser Einheiten etwas willkürlich ausgewählt werden kann.

Anforderungen für Darstellungen

Abgesehen von der Frage, wie statistische Ensembles erzeugt werden operationallyWir sollten in der Lage sein, die folgenden zwei Operationen auf Ensembles auszuführen A, B des gleichen Systems:

• Testen Sie, ob A, B sind statistisch äquivalent.
• Wenn p ist eine reelle Zahl so, dass 0 <<< p < 1, then produce a new ensemble by probabilistic sampling from A mit Wahrscheinlichkeit p und von B mit Wahrscheinlichkeit 1 - p.

Unter bestimmten Bedingungen daher, Äquivalenzklassen statistischer Ensembles haben die Struktur eines konvexen Satzes.

Quantenmechanik

Ein statistisches Ensemble in der Quantenmechanik (auch als gemischter Zustand bezeichnet) wird am häufigsten durch a dargestellt Dichtematrix, bezeichnet durch ${\ displayStyle {\ Hat {\ rho}}}$. Die Dichtematrix bietet ein vollständig allgemeines Instrument, das sowohl Quantenunsicherheiten (vorhanden) und klassische Unsicherheiten (aufgrund mangelnder Wissens) auf einheitliche Weise sowohl quantumdurchlässige als auch vorhanden sein kann. Jedes physische Beobachtbare X In Quantenmechanik kann als Operator geschrieben werden, X. Der Erwartungswert dieses Bedieners im statistischen Ensemble ${\ displayStyle \ rho}$ wird durch Folgendes gegeben verfolgen:

${\ displayStyle \ Langle x \ rangle = \ operatorname {tr} ({\ Hat {x}} \ rho).}$

Dies kann zur Bewertung von Durchschnittswerten verwendet werden (Operator X), Abweichungen (mit Bediener X ²), Kovarianzen (mit Bediener X̂ŷ) usw. Die Dichtematrix muss immer eine Spur von 1 haben: ${\ displaystyle \ operatorname {tr} {\ Hat {\ rho}} = 1}$ (Dies ist im Wesentlichen die Bedingung, dass die Wahrscheinlichkeiten zu einem addieren müssen).

Im Allgemeinen entwickelt sich das Ensemble im Laufe der Zeit gemäß den Von Neumann -Gleichung.

Gleichgewichts -Ensembles (diejenigen, die sich im Laufe der Zeit nicht entwickeln, ${\ displayStyle d {\ Hat {\ rho}}/dt = 0}$) kann ausschließlich als Funktion konservierter Variablen geschrieben werden. Zum Beispiel die Mikrokanonisches Ensemble und kanonisches Ensemble sind ausschließlich Funktionen der Gesamtenergie, die vom gesamten Energieoperator gemessen wird Ĥ (Hamiltonian). Das großartige kanonische Ensemble ist zusätzlich eine Funktion der Partikelzahl, gemessen vom Operator der Gesamtpartikelzahlen N. Solche Gleichgewichtssensembles sind a diagonale Matrix In der orthogonalen Basis von Staaten, die gleichzeitig jede konservierte Variable diagonalisieren. Im Bra -Ket -NotationDie Dichtematrix ist

$oder$

bei dem die |ψ_i⟩, indexiert von i, sind die Elemente einer vollständigen und orthogonalen Basis. (Beachten Sie, dass die Dichtematrix in anderen Basen nicht unbedingt diagonal ist.)

Klassische mechanische

Entwicklung eines Ensembles von klassisch Systeme in Phasenraum (oben). Jedes System besteht aus einem massiven Teilchen in einem eindimensionalen Teilchen potenziell gut (rote Kurve, untere Abbildung). Das anfänglich kompakte Ensemble wird im Laufe der Zeit hochgewirbelt.

In der klassischen Mechanik wird ein Ensemble durch eine über das System definierte Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion dargestellt Phasenraum.^[2] Während sich ein einzelnes System nach Hamiltons GleichungenDie Dichtefunktion (das Ensemble) entwickelt sich im Laufe der Zeit nach Liouvilles Gleichung.

In einem Mechanisches System Mit einer definierten Anzahl von Teilen hat der Phasenraum n Verallgemeinerte Koordinaten genannt q₁, ... q_n, und n damit verbundenen Kanonische Impulse genannt p₁, ... p_n. Das Ensemble wird dann durch a dargestellt Funktionswahrscheinlichkeitsdichtefunktion ρ(p₁, ... p_n, q₁, ... q_n).

Wenn die Anzahl der Teile im System zwischen den Systemen im Ensemble variieren kann (wie in einem großen Ensemble, in dem die Anzahl der Partikel eine zufällige Menge ist), dann handelt es sich um eine Wahrscheinlichkeitsverteilung über einen erweiterten Phasenraum, der weitere Variablen enthält wie Partikelzahlen N₁ (erste Art von Teilchen), N₂ (zweite Art von Teilchen) und so weiter bis zu N_s (die letzte Art von Teilchen; s ist wie viele verschiedene Arten von Partikeln es gibt). Das Ensemble wird dann durch a dargestellt Funktionswahrscheinlichkeitsdichtefunktion ρ(N₁, ... N_s, p₁, ... p_n, q₁, ... q_n). Die Anzahl der Koordinaten n variiert mit der Anzahl der Partikel.

Jede mechanische Menge X kann als Funktion der Systemphase geschrieben werden. Der Erwartungswert einer solchen Menge wird durch ein integrales Integral über den gesamten Phasenraum dieser von gewichteten Menge angegeben ρ:

${\ displayStyle \ Langle x \ rangle = \ sum _ {n_ {1} = 0}^{\ infty} \ ldots \ sum _ {n_ {s} = 0}^{\ infty} \ int \ ldots \ int \ int \ int \ int \ int \ int \ int \ int \ int \ int \ int \ int \ ldots \ sum \ int \ ldots \ s} = 0} rho x \, dp_ {1} \ ldots dq_ {n}.}$

Die Bedingung der Wahrscheinlichkeitsnormalisierung gilt und erfordert

${\ displayStyle \ sum _ {n_ {1} = 0}^{\ infty} \ ldots \ sum _ {n_ {s} = 0}^{\ infty} \ int \ ldots \ int \ rho \, dp_ {1 1 } \ ldots dq_ {n} = 1.}$

Der Phasenraum ist ein kontinuierlicher Raum, der eine unendliche Anzahl unterschiedlicher physikalischer Zustände in einer kleinen Region enthält. Um die Wahrscheinlichkeit zu verbinden Dichte im Phasenraum zu einer Wahrscheinlichkeit Verteilung Bei Mikrostaten ist es notwendig, den Phasenraum irgendwie in Blöcke zu unterteilen, die verteilt sind, die die verschiedenen Zustände des Systems auf faire Weise darstellen. Es stellt sich heraus, dass die korrekte Art und Weise einfach zu gleichen Blöcken des kanonischen Phasenraums führt. Eine Mikrostata der klassischen Mechanik ist ein erweiterter Bereich im Phasenraum kanonischer Koordinaten mit einem bestimmten Volumen.^{[Anmerkung 1]} Insbesondere die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion im Phasenraum, ρ, hängt mit der Wahrscheinlichkeitsverteilung über Mikrostatten zusammen, P um einen Faktor

${\ displaystyle \ rho = {\ frac {1} {h^{n} c}} p,}$

wo

• h ist eine willkürliche, aber vorbestimmte Konstante mit den Einheiten von Energie × Zeitdas Ausmaß der Mikrostata festlegen und die korrekten Abmessungen an die Bereitstellung von Abmessungen anstellen ρ.^{[Anmerkung 2]}
• C ist ein Übercounting -Korrekturfaktor (siehe unten), der im Allgemeinen von der Anzahl der Partikel und ähnlichen Bedenken abhängt.

Seit h Kann willkürlich ausgewählt werden, die fiktive Größe einer Mikrostata ist ebenfalls willkürlich. Trotzdem der Wert von h beeinflusst die Offsets von Größen wie Entropie und chemisch h Beim Vergleich verschiedener Systeme.

Korrektur der Überzugung im Phasenraum

Typischerweise enthält der Phasenraum Duplikate desselben physischen Zustands an mehreren unterschiedlichen Stellen. Dies ist eine Folge der Art und Weise, wie ein physischer Zustand in mathematische Koordinaten codiert wird. Die einfachste Wahl des Koordinatensystems ermöglicht es häufig, dass ein Zustand auf verschiedene Weise codiert wird. Ein Beispiel hierfür ist ein Gas identischer Partikel, dessen Zustand in Bezug auf die individuellen Positionen und Impulse der Partikel geschrieben wird: Wenn zwei Partikel ausgetauscht werden, ist der resultierende Punkt im Phasenraum unterschiedlich und entspricht denn das System. In der statistischen Mechanik (eine Theorie über physikalische Zustände) ist es wichtig zu erkennen, dass der Phasenraum nur eine mathematische Konstruktion ist und die tatsächlichen physischen Zustände bei der Integration über den Phasenraum nicht naiv übertrieben. Überbedeckung kann schwerwiegende Probleme verursachen:

• Die Abhängigkeit abgeleiteter Größen (wie Entropie und chemisches Potential) von der Auswahl des Koordinatensystems, da ein Koordinatensystem möglicherweise mehr oder weniger Überzug als ein anderes zeigt.^{[Notiz 3]}
• Fehlerhafte Schlussfolgerungen, die mit physischer Erfahrung nicht übereinstimmen, wie in der Paradox werden.^[2]
• Grundlage bei der Definition der Definition der Chemisches Potential und die Grand Canonical Ensemble.^[2]

Im Allgemeinen ist es schwierig, ein Koordinatensystem zu finden, das jeden physischen Zustand eindeutig codiert. Infolgedessen ist in der Regel erforderlich, ein Koordinatensystem mit mehreren Kopien jedes Zustands zu verwenden und dann die Überzugung zu erkennen und zu entfernen.

Eine grobe Möglichkeit, die Überzugung zu entfernen, wäre die manuelle Definition eines Subregion des Phasenraums, der jeden physischen Zustand nur einmal enthält und dann alle anderen Teile des Phasenraums ausschließen. In einem Gas kann man zum Beispiel nur die Phasen einschließen, in denen die Partikel ' x Koordinaten sind in aufsteigender Reihenfolge sortiert. Während dies das Problem lösen würde, wäre der resultierende Integral über Phasenraum aufgrund seiner ungewöhnlichen Randform mühsam. (In diesem Fall der Faktor C oben eingeführt würde auf festgelegt C = 1und das Integral würde auf die ausgewählte Subregion des Phasenraums beschränkt.)

Ein einfacherer Weg, um die Überbekämpfung zu korrigieren, besteht darin, den gesamten Phasenraum zu integrieren, aber das Gewicht jeder Phase zu verringern, um die Überzugung genau zu kompensieren. Dies wird durch den Faktor erreicht C oben eingeführt, eine ganze Zahl, die darstellt, wie viele Möglichkeiten ein physischer Zustand im Phasenraum dargestellt werden kann. Sein Wert variiert nicht mit den kontinuierlichen kanonischen Koordinaten,^{[Anmerkung 4]} Daher kann eine Überzugung einfach korrigiert werden, indem sie über den gesamten Bereich der kanonischen Koordinaten integriert und dann das Ergebnis durch den Überzugsfaktor geteilt werden. Jedoch, C variiert stark mit diskreten Variablen wie der Anzahl der Partikel und muss daher vor dem Summieren über Partikelzahlen angewendet werden.

Wie oben erwähnt, gilt das klassische Beispiel für diese Überzugung für ein Flüssigkeitssystem, das verschiedene Arten von Partikeln enthält, bei denen zwei Teilchen derselben Art nicht zu unterscheiden und austauschbar sind. Wenn der Zustand in Bezug auf die individuellen Positionen und Impulse der Partikel geschrieben wird, wird die Überbeziehung des Austauschs identischer Partikel durch Verwendung korrigiert^[2]

${\ displayStyle c = n_ {1}! n_ {2}! \ ldots n_ {s} !.}$

Dies ist als "richtige Boltzmann -Zählung" bekannt.

Ensembles in Statistiken

Die Formulierung statistischer Ensembles, die in der Physik verwendet werden kanonisches Ensemble oder Gibbs messen dient dazu, die Entropie eines Systems zu maximieren, vorbehaltlich einer Reihe von Einschränkungen: Dies ist die Prinzip der maximalen Entropie. Dieses Prinzip wurde nun weithin auf Probleme in angewendet Linguistik, Robotikund dergleichen.

Darüber hinaus basieren statistische Ensembles in der Physik häufig auf a Prinzip der Lokalität: dass alle Wechselwirkungen nur zwischen benachbarten Atomen oder nahe gelegenen Molekülen liegen. So zum Beispiel, Gittermodelle, so wie die ISING -Modell, Modell ferromagnetische Materialien mittels Wechselwirkungen zwischen Spins. Die statistische Formulierung des Lokalitätsprinzips wird nun als Form der Markov Eigenschaft im breiten Sinne; Die nächsten Nachbarn sind jetzt Markov -Decken. Somit führt der allgemeine Begriff eines statistischen Ensembles mit Wechselwirkungen mit dem nächsten Nachbarn zu Markov Random Fields, die wieder breite Anwendbarkeit finden; Zum Beispiel in Hopfield -Netzwerke.

Betriebsinterpretation

In der bisher gegebenen Diskussion haben wir zwar streng als selbstverständlich gehalten, dass der Begriff eines Ensembles a priori gültig ist, wie dies allgemein im physischen Kontext ist. Was nicht gezeigt wurde, ist, dass das Ensemble selbst (Nicht die daraus resultierenden Ergebnisse) ist mathematisch ein genau definiertes Objekt. Zum Beispiel,

• Es ist nicht klar, wo das ist Sehr große Systeme existiert (zum Beispiel ist es a Gas von Partikeln in einem Behälter?)
• Es ist nicht klar, wie man ein Ensemble physisch erzeugt.

In diesem Abschnitt versuchen wir, diese Frage teilweise zu beantworten.

Angenommen, wir haben eine Vorbereitungsverfahren Für ein System in einem Physiklabor: Zum Beispiel kann das Verfahren einen physikalischen Apparat und einige Protokolle zur Manipulation des Apparats beinhalten. Infolge dieses Vorbereitungsverfahrens wird ein System für einen kleinen Zeitraum isoliert produziert und aufrechterhalten. Durch die Wiederholung dieses Verfahrens für Laborvorbereitung erhalten wir eine Abfolge von Systemen X₁, X₂, ....,X_k, was in unserer mathematischen Idealisierung annehmen, ist ein unendlich Abfolge von Systemen. Die Systeme sind insofern ähnlich, als sie alle auf die gleiche Weise produziert wurden. Diese unendliche Sequenz ist ein Ensemble.

In einer Laborumgebung kann jedes dieser vorbereiteten Systeme als Eingabe für verwendet werden eines anschließend Testverfahren. Auch das Testverfahren umfasst einen physikalischen Apparat und einige Protokolle; Infolge des Testverfahrens erhalten wir a Jawohl oder nein Antworten. Bei einem Testverfahren E Auf jedes vorbereitete System angewendet, erhalten wir eine Sequenz von Wertenmessungen (E, X₁), Mess (E, X₂), ...., mess (E, X_k). Jeder dieser Werte ist 0 (oder Nein) oder 1 (ja).

Angenommen, der folgende Zeitdurchschnitt gibt es:

$oder {k})}$

Für quantenmechanische Systeme eine wichtige Annahme in derQuantenlogik Ansatz zur Quantenmechanik ist die Identifizierung von ja Nein Fragen zum Gitter geschlossener Unterbereiche eines Hilbert -Raums. Mit einigen zusätzlichen technischen Annahmen kann man dann schließen, dass die Zustände von Dichtebetreibern gegeben werden S so dass:

${\ displayStyle \ sigma (e) = \ operatorname {tr} (es).}$

Wir sehen, dass dies die Definition von Quantenzuständen im Allgemeinen widerspiegelt: Ein Quantenzustand ist eine Zuordnung von den Observablen auf ihre Erwartungswerte.

Siehe auch

• Dichtematrix
• Ensemble (Fluidmechanik)
• Phasenraum
• Liouville's Theorem (Hamiltonian)
• Ensemble -Durchschnitt (statistische Mechanik)
• Replikation (Statistik)

Anmerkungen

Verweise

Externe Links

• Monte Carlo Applet in statistischen Physikproblemen angewendet.