Elastizität (Physik)

Im Physik und Materialwissenschaften, Elastizität ist die Fähigkeit von a Karosserie einem verzerrenden Einfluss zu widerstehen und zu seiner ursprünglichen Größe und Form zurückzukehren, wenn dieser Einfluss oder Macht ist entfernt. Feste Objekte werden verformen wenn angemessen Ladungen werden auf sie angewendet; Wenn das Material elastisch ist, kehrt das Objekt nach der Entfernung zu seiner anfänglichen Form und Größe zurück. Dies steht im Gegensatz zu Plastizität, in dem das Objekt dies nicht tut und stattdessen in seinem deformierten Zustand bleibt.

Die physikalischen Gründe für elastisches Verhalten können für verschiedene Materialien sehr unterschiedlich sein. Im Metalle, das Atomgitter Änderungen Größe und Form, wenn Kräfte angewendet werden (Energie wird dem System hinzugefügt). Wenn Kräfte entfernt werden, geht das Gitter auf den ursprünglichen Zustand der niedrigeren Energie zurück. Zum Gummi und andere PolymereDie Elastizität wird durch das Dehnen von Polymerketten verursacht, wenn Kräfte angewendet werden.

Hookes Gesetz erklärt, dass die für die Verformung elastische Objekte erforderliche Kraft sein sollte direkt proportional In den Abstand der Verformung, unabhängig davon, wie groß diese Entfernung wird. Dies ist bekannt als als Perfekte Elastizität, in dem ein bestimmtes Objekt in seine ursprüngliche Form zurückkehrt, egal wie stark es deformiert ist. Das ist ein Ideales Konzept nur; Die meisten Materialien, die in der Praxis Elastizität besitzen, bleiben nur bis zu sehr kleinen Deformationen rein elastisch, wonach eine plastische (dauerhafte) Deformation auftritt.

Im IngenieurwesenDie Elastizität eines Materials wird durch die quantifiziert Elastizitätsmodul so wie die Elastizitätsmodul, Massenmodul oder Schermodul die die Menge an messen betonen benötigt, um eine Einheit von zu erreichen Beanspruchung; Ein höherer Modul zeigt an, dass das Material schwerer zu verformen ist. Das SI-Einheit von diesem Modul ist das Pascal (PA). Die Materialien Elastizitätsgrenze oder Ertragsfestigkeit ist das Maximum betonen Dies kann vor dem Einsetzen der plastischen Verformung auftreten. Seine Si -Einheit ist auch das Pascal (PA).

Überblick

Wenn ein elastisches Material aufgrund einer externen Kraft deformiert wird, erfährt es einen internen Widerstand gegen die Verformung und stellt sie in ihren ursprünglichen Zustand wieder her, wenn die externe Kraft nicht mehr angewendet wird. Es gibt verschiedene Elastizitätsmodul, wie zum Beispiel Elastizitätsmodul, das Schermodul, und die Massenmodulalle von diesen sind Maßnahmen der inhärenten elastischen Eigenschaften eines Materials als Widerstand gegen Verformung unter einer angelegten Belastung. Die verschiedenen Modul gelten für verschiedene Arten von Verformungen. Zum Beispiel gilt der Young's Modul für die Erweiterung/Komprimierung eines Körpers, während der Schermodul für seine gilt scheren.^[1] Young's Modul und Schermodul sind nur für Feststoffe, während die Massenmodul ist für Feststoffe, Flüssigkeiten und Gase.

Die Elastizität von Materialien wird durch a beschrieben Spannungs-Dehnungskurve, was die Beziehung zwischen zeigt betonen (der durchschnittliche restaurative interne Macht pro Bereich der Einheit) und Beanspruchung (die relative Verformung).^[2] Die Kurve ist im Allgemeinen nichtlinear, kann aber (durch Verwendung von a Taylor -Serie) für ausreichend kleine Deformationen als linear angenähert werden (in denen Terms höherer Ordnung vernachlässigbar sind). Wenn das Material ist isotropDie linearisierte Verhältnis von Stress -Dehnungsstapfen wird genannt Hookes GesetzEs wird häufig angenommen, dass sie für die meisten Metalle oder kristallinen Materialien bis zur elastischen Grenze angewendet werden, während nichtlineare Elastizität erforderlich ist, um große Deformationen von gummiartigen Materialien selbst im Elastizitätsbereich zu modellieren. Für noch höhere Belastungen zeigen Materialien die Ausstellung Plastisches VerhaltenDas heißt, sie verformen irreversibel und kehren nicht mehr zu ihrer ursprünglichen Form zurück, nachdem Stress nicht mehr angewendet wurde.^[3] Für gummiähnliche Materialien wie z. ElastomereDie Steigung der Stress -Dehnungs -Kurve nimmt mit Stress zu, was bedeutet, dass Gummi zunehmend schwieriger zu dehnen wird, während für die meisten Metalle der Gradient bei sehr hohen Belastungen abnimmt, was bedeutet, dass sie zunehmend leichter zu dehnen sind.^[4] Elastizität wird nicht nur durch Festkörper gezeigt; Nicht-Newton-Flüssigkeiten, wie zum Beispiel Viskoelastische Flüssigkeiten, wird auch unter bestimmten Bedingungen Elastizität aufweisen, die durch die quantifiziert wurden Deborah Nummer. Als Reaktion auf einen kleinen, schnell angelegten und entfernten Dehnung können diese Flüssigkeiten verformen und dann zu ihrer ursprünglichen Form zurückkehren. Unter größeren Stämmen oder Stämmen, die über längere Zeiträume angewendet werden, können diese Flüssigkeiten beginnen, wie a zu fließen viskoös Flüssigkeit.

Da die Elastizität eines Materials in Bezug auf eine Stress -Dehnungs -Beziehung beschrieben wird, ist es wichtig, dass die Begriffe betonen und Beanspruchung ohne Mehrdeutigkeit definiert werden. Typischerweise werden zwei Arten von Beziehung berücksichtigt. Der erste Typ befasst sich mit Materialien, die nur für kleine Stämme elastisch sind. Der zweite befasst sich mit Materialien, die nicht auf kleine Stämme beschränkt sind. Die zweite Art von Beziehung ist eindeutig allgemeiner in dem Sinne, dass sie den ersten Typ als Sonderfall enthalten muss.

Für kleine Stämme ist das Maß an Spannung, das verwendet wird, die Cauchy Stress während das verwendete Maß für die Dehnung die ist Infinitesimaler Stamm Tensor; Das resultierende (vorhergesagte) Materialverhalten wird bezeichnet lineare Elastizitätwas (für (für isotrop Medien) wird als verallgemeinert bezeichnet Hookes Gesetz. Cauchy Elastic Materials und Hypoelastische Materialien sind Modelle, die das Hookesche Gesetz erweitern, um die Möglichkeit großer Rotationen, großen Verzerrungen und intrinsisch oder induziert zu ermöglichen Anisotropie.

Für allgemeinere Situationen eine Reihe von einer Reihe von Spannungsmaßnahmen kann verwendet werden, und es ist im Allgemeinen erwünscht (aber nicht erforderlich), dass die elastische Spannungs -Streit -Beziehung in Bezug auf a formuliert wird endliche Belastung Messung, die Arbeit an das ausgewählte Spannungsmaß, d. H. Das zeitliche Integral des inneren Produkts des Spannungsmaßes mit der Geschwindigkeit des Dehnungsmaßes, konjugiert adiabatic process Das bleibt unterhalb der elastischen Grenze.

Einheiten

Internationales System

Die SI -Einheit für Elastizität und der elastische Modul ist der Pascal (PA). Dies ist das gleiche Gerät wie zur Quantifizierung der Kraft pro Flächeneinheit oder Druck. In der Mechanik entspricht dies zu betonen. Das Pascal und damit die Elastizität haben die Abmessungen L^-1· M · T.^–2.

Für die am häufigsten verwendeten technischen Materialien befindet sich der Elastizitätsmodul auf der Skala von Gigapascals (GPA, 10⁹ Pa).

Lineare Elastizität

Wie oben erwähnt, für kleine Deformationen die meisten elastischen Materialien wie Federn Zeigen Sie eine lineare Elastizität und können durch eine lineare Beziehung zwischen Spannung und Dehnung beschrieben werden. Diese Beziehung ist als bekannt als als Hookes Gesetz. Eine geometrischabhängige Version der Idee^[5] wurde zuerst von formuliert von Robert Hooke 1675 als Latein Anagramm, "CeiiinosSsttuv". Er veröffentlichte die Antwort 1678: "Ut Tensio, sic vis" Bedeutung "Als Erweiterung, also die Kraft",",^[6][7][8] eine lineare Beziehung, die allgemein als als bezeichnet Hookes Gesetz. Dieses Gesetz kann als eine Beziehung zwischen Zug festgelegt werden Macht F und entsprechende Erweiterung Verschiebung xAnwesend

${\ displayStyle f = kx,}$

wo k ist eine Konstante, bekannt als die Bewertung oder Federkonstante. Es kann auch als eine Beziehung zwischen angegeben werden betonen σ und Beanspruchung ${\ displayStyle \ varepsilon}$:

${\ displayStyle \ sigma = e \ varepsilon,}$

wo E ist als die bekannt Elastizitätsmodul oder Elastizitätsmodul.

Obwohl die allgemeine Verhältnismäßigkeitskonstante zwischen Spannung und Dehnung in drei Dimensionen ein 4. Ordnung ist Tensor genannt Steifheit, Systeme, die ausstellen Symmetriewie ein eindimensionaler Stab kann häufig auf Anwendungen des Hookes-Gesetzes reduziert werden.

Endliche Elastizität

Das elastische Verhalten von Objekten, die endliche Verformungen unterzogen werden, wurde unter Verwendung einer Reihe von Modellen beschrieben, wie z. Cauchy elastic material Modelle, Hypoelastisches Material Modelle und Hyperelastisches Material Modelle. Das Verformungsgradient (F) ist das primäre Verformungsmaß, das in verwendet wird Endliche Stammtheorie.

Cauchy Elastic Materials

Ein Material soll Cauchy-elastic sein, wenn der Cauchy Stress Tensor σ ist eine Funktion des Verformungsgradient F allein:

$oder$

Es ist im Allgemeinen falsch zu sagen, dass Cauchy -Stress eine Funktion von lediglich a DehnungszensorDa ein solches Modell keine entscheidenden Informationen über die Materialrotation hat, die zur Erzeugung korrekter Ergebnisse für ein anisotropes Medium erforderlich ist, das im Vergleich zu der gleichen horizontalen Verlängerung einer vertikalen Erweiterung ausgesetzt und dann einer 90-Grad-Rotation unterzogen wird; Beide Deformationen haben die gleichen räumlichen Dehnungsteoren, müssen jedoch unterschiedliche Werte des Tensors des Spannungsspanns erzeugen.

Obwohl die Spannung in einem Cauchy-Elastikmaterial nur vom Deformationszustand abhängt, kann die Arbeit, die durch Spannungen geleistet wird, vom Verformungsweg abhängen. Daher umfasst die Cauchy-Elastizität nicht konservative "nicht hyperelastische" Modelle (in denen die Verformungsarbeiten sowohl Pfad abhängig als auch konservativ sind ".Hyperelastisches Material"Modelle (für die Spannung aus einer Skalar" Elastic Potential "-Funktion abgeleitet werden kann).

Hypoelastische Materialien

Ein hypoelastisches Material kann streng als eines definiert werden, das mit a modelliert wird konstitutive Gleichung Erfüllen Sie die folgenden zwei Kriterien:^[9]

1. Der Cauchy -Stress ${\ displayStyle {\ Boldsymbol {\ sigma}}}$ zum Zeitpunkt ${\ displayStyle t}$ hängt nur von der Reihenfolge ab, in der die Körperschaft seine früheren Konfigurationen besetzt hat, jedoch nicht von der Zeitrate, mit der diese früheren Konfigurationen durchquert wurden. Als Sonderfall enthält dieses Kriterium a Cauchy elastic material, für die die aktuelle Spannung nur von der aktuellen Konfiguration und nicht von der Geschichte früherer Konfigurationen abhängt.
2. Es gibt eine mit Tensor bewertete Funktion ${\ displayStyle g}$ so dass $oder$ in welchem ${\ displayStyle {\ dot {\ boldSymbol {\ sigma}}}}$ ist die Materialrate des Cauchy -Stress -Tensors und ${\ displayStyle {\ Boldsymbol {l}}}$ ist die räumliche Geschwindigkeitsgradient Tensor.

Wenn nur diese beiden ursprünglichen Kriterien verwendet werden, um die Hypoelastizität zu definieren, dann dann Hyperelastizität würde als Sonderfall aufgenommen, was einige konstitutive Modellierer dazu veranlasst nicht hyperelastisch sein (d. H. Hypoelastizität impliziert, dass Stress nicht von einem Energiepotential abgeleitet ist). Wenn dieses dritte Kriterium angewendet wird, folgt ein hypoelastisches Material möglicherweise nicht konservative adiabatische Belastungswege, die mit demselben beginnen und enden Verformungsgradient Aber tu nicht Starten Sie mit der gleichen internen Energie.

Beachten Sie, dass das zweite Kriterium nur die Funktion erfordert ${\ displayStyle g}$ existiert. Wie in der Hauptdarstellung detailliert Hypoelastisches Material Artikel, spezifische Formulierungen hypoelastischer Modelle verwenden normalerweise sogenannte Zielraten, so dass die ${\ displayStyle g}$ Die Funktion besteht nur implizit und wird normalerweise nur für numerische Stressaktualisierungen, die durch direkte Integration der tatsächlichen (nicht objektiven) Spannungsrate durchgeführt werden, explizit benötigt.

Hyperelastische Materialien

Hyperelastische Materialien (auch grüne elastische Materialien genannt) sind konservative Modelle, die von a abgeleitet werden Dehnungsenergiedichtefunktion (W). Ein Modell ist hyperelastisch, wenn und nur wenn es möglich ist, das auszudrücken Cauchy Stress Tensor als Funktion der Verformungsgradient über eine Beziehung der Form

$oder ^{\ textsf {t}} \ quad {\ text {wobei}} \ quad j: = \ det {\ boldSymbol {f}} \ ,.}$

Diese Formulierung nimmt das Energiepotential (W) als Funktion der Verformungsgradient (${\ displayStyle {\ Boldsymbol {f}}}$). Durch die Zufriedenheit von materielle ObjektivitätDas Energiepotential kann alternativ als Funktion des Cauchy-Green Deformation Tensor (${\ displayStyle {\ BOLDSYMBOL {C}}: = {\ BOLDSYMBLE$) In diesem Fall kann das hyperelastische Modell alternativ als geschrieben werden

$oder oder$

Anwendungen

Die lineare Elastizität wird im Entwurf und der Analyse von Strukturen wie z. Balken, Teller und Muscheln, und Sandwich -Kompositen. Diese Theorie ist auch die Grundlage von viel von Frakturmechanik.

Hyperelastizität wird hauptsächlich zur Bestimmung der Reaktion von verwendet Elastomer-basierte Objekte wie z. Dichtungen und von biologischen Materialien wie z. Weichteile und Zellmembranen.

Faktoren, die die Elastizität beeinflussen

Zum isotrope MaterialienDas Vorhandensein von Frakturen beeinflusst die Jungen und die Schermodule senkrecht zu den Ebenen der Risse, was abnimmt (junger Modul schneller als der Schermodul) als Fraktur Dichte steigt,^[10] Dies zeigt an, dass das Vorhandensein von Rissen den Körper Brittler macht. MikroskopischDas Stress -Dehnungs -Verhältnis von Materialien wird im Allgemeinen von der bestimmt Helmholtz freie Energie, a Thermodynamische Menge. Moleküle sich in der Konfiguration niederlassen, die die freie Energie minimiert, unterliegt den Einschränkungen, die aus ihrer Struktur abgeleitet sind, und je nachdem, ob die Energie oder die Energie Entropie Begriff dominiert die freie Energie, Materialien können im Großen und Ganzen eingestuft werden als energieelastisch und Entropie-elastische. Daher beeinflussen mikroskopische Faktoren, die die freie Energie beeinflussen, wie die Gleichgewicht Abstand zwischen Molekülen kann die Elastizität von Materialien beeinflussen: zum Beispiel in anorganisch Materialien wie der Gleichgewichtsabstand zwischen Molekülen bei 0 k Erhöht die Massenmodul sinkt.^[11] Die Auswirkung der Temperatur auf die Elastizität ist schwer zu isolieren, da es zahlreiche Faktoren gibt, die sie beeinflussen. Zum Beispiel hängt der Schüttungsmodul eines Materials von der Form seiner ab Gitter, sein Verhalten unter Erweiterung, ebenso wie Vibrationen der Moleküle, die alle von der Temperatur abhängen.^[12]

Siehe auch

Verweise

Externe Links

• Die Feynman Vorträge über Physik Vol. Ii ch. 38: Elastizität