Dynamisches Risikomaß

Im Finanzmathematik, a Bedingte Risikomaß ist ein zufällige Variable des finanzielles Risiko (besonders die nachteiliges Risiko) als ob irgendwann in der Zukunft gemessen worden wäre. EIN Risikomaß kann als bedingtes Risikomaß für das Trivial angesehen werden Sigma Algebra.

A Dynamisches Risikomaß ist eine Risikomaßnahme, die sich mit der Frage befasst, wie die Bewertung des Risikos zu unterschiedlichen Zeiten zusammenhängt. Es kann als Abfolge von bedingten Risikomaßnahmen interpretiert werden. ^[1]

Ein anderer Ansatz zur dynamischen Risikomessung wurde von Novak vorgeschlagen.^[2]

Bedingte Risikomaß

Betrachten Sie a Portfolio kehrt zurück zu einem terminalen Zeitpunkt ${\ displayStyle t}$ Als ein zufällige Variable das ist gleichmäßig begrenzt, d.h. $oder$ bezeichnet die Auszahlung eines Portfolios. Eine Zuordnung $oder } \ links ({\ mathcal {f}} _ {t} \ rechts)}}$ ist eine bedingte Risikomaßnahme, wenn es die folgenden Eigenschaften für zufällige Portfoliorenditen enthält $oder$:^[3][4]

Bedingte Geldinvarianz

$oder t}}$^{[Klarstellung erforderlich]}

Monotizität

$oder$^{[Klarstellung erforderlich]}

Normalisierung

${\ displayStyle \ rho _ {t} (0) = 0}$^{[Klarstellung erforderlich]}

Wenn es eine bedingte ist Konvexes Risikomaß Dann wird es auch die Eigenschaft haben:

Bedingte Konvexität

$oder \ rho _ {t} (x)+(1- \ lambda) \ rho _ {t} (y)}$^{[Klarstellung erforderlich]}

Eine bedingte Kohärente Risikomaß ist eine bedingte konvexe Risikomaßnahme, die zusätzlich erfüllt:

Bedingte positive Homogenität

$oder$^{[Klarstellung erforderlich]}

Akzeptanzsatz

Das Akzeptanzsatz zum Zeitpunkt ${\ displayStyle t}$ mit einer bedingten Risikomaßnahme verbunden ist

$oder$.

Wenn Sie zum Zeitpunkt eine Akzeptanz erhalten ${\ displayStyle t}$ Dann ist das entsprechende bedingte Risikomaß

$oder$

wo ${\ displayStyle {\ text {Ess}} \ inf}$ ist der Essentielles Infimum.^[5]

Reguläres Eigentum

Eine bedingte Risikomaßnahme ${\ displayStyle \ rho _ {t}}$ wird gesagt, dass regulär wenn für irgendwelche ${\ displayStyle x \ in l_ {t}^{\ infty}}$ und ${\ displayStyle a \ in {\ mathcal {f}} _ {t}}$ dann ${\ displaystyle \ rho _ {t} (1_ {a} x) = 1_ {a} \ rho _ {t} (x)}$ wo ${\ displayStyle 1_ {a}}$ ist der Indikatorfunktion an ${\ displayStyle a}$. Jede normalisierte bedingte konvexe Risikomaßnahme ist regelmäßig.^[3]

Die finanzielle Interpretation von diesem besagt, dass das bedingte Risiko bei einem zukünftigen Knoten (d. H. ${\ displayStyle \ rho _ {t} (x) [\ Omega]}$) hängt nur von den möglichen Zuständen aus diesem Knoten ab. In einem Binomialmodell Dies wäre mit der Berechnung des Risikos auf der Abzweigung des in Frage gestellten Teilbaums verbunden.

Zeitkonsistent

Ein dynamisches Risikomaß ist Zeit konsistent, wenn und nur wenn $oder ; \ forall x, y \ in l^{0} ({\ mathcal {f}} _ {t})}$.^[6]

Beispiel: Dynamischer Überhitzungspreis

Die Dynamik Überhitzungspreis beinhaltet bedingte Risikomaßnahmen der Form$oder _{t}]}$. Es wird gezeigt, dass dies eine konsistente Risikomaßnahme ist.

Verweise