Dualität (Mathematik)

Im Mathematik, a Dualität übersetzt Konzepte, Theoreme oder Mathematische Strukturen in andere Konzepte, Theoreme oder Strukturen in a eins zu eins Mode, oft (aber nicht immer) durch eine Involution Operation: Wenn das Dual von A ist Bdann das dual von B ist A. Solche Involutionen haben manchmal manchmal Fixpunkteso dass das dual von A ist A selbst. Zum Beispiel, Desargues 'Theorem ist Selbstdoppelte in diesem Sinne unter dem Standard Dualität in projektive Geometrie.

In mathematischen Kontexten, Dualität hat zahlreiche Bedeutungen.[1] Es wurde als "ein sehr allgegenwärtiges und wichtiges Konzept in (modernen) Mathematik" beschrieben "[2] und "ein wichtiges allgemeines Thema, das in fast allen Bereichen der Mathematik Manifestationen hat".[3]

Viele mathematische Dualität zwischen Objekten zweier Typen entsprechen Paarungen, bilineare Funktionen von einem Objekt eines Typs und einem anderen Objekt des zweiten Typs bis zu einer Familie von Skalaren. Zum Beispiel, Lineare Algebra -Dualität entspricht auf diese Weise bilinearen Karten von Paaren von Vektorräumen bis zu Scalaren, die Dualität zwischen Verteilungen und die zugehörigen Testfunktionen entspricht der Paarung, in der man eine Verteilung gegen eine Testfunktion integriert, und Poincaré Dualität entspricht ähnlich wie Kreuzungsnummer, betrachtet als eine Paarung zwischen Submaniflolds eines gegebenen Verteilers.[4]

Von einem Kategoriestheorie Standpunkt, Dualität kann auch als als gesehen werden Functorzumindest im Bereich der Vektorräume. Dieser Funkor zuweist jedem Raum seinen doppelten Raum und die zurückziehen Die Konstruktion wird jedem Pfeil zugewiesen f: VW Es ist dual f: WV.

Einführungsbeispiele

In den Worten von Michael AtiyahAnwesend

Dualität in der Mathematik ist kein Theorem, sondern ein "Prinzip".[5]

Die folgende Liste von Beispielen zeigt die gemeinsamen Merkmale vieler Dualität, zeigt aber auch, dass die genaue Bedeutung von Dualität von Fall zu Fall variieren kann.

Ergänzung einer Untergruppe

Eine einfache, vielleicht einfachste Dualität ergibt sich aus der Betrachtung Untergruppen eines festen Satzes S. Zu jeder Teilmenge AS, das ergänzen Ac[6] besteht aus all diesen Elementen in S das sind nicht in A. Es ist wieder eine Teilmenge von S. Das Erreichen des Komplements hat die folgenden Eigenschaften:

  • Wenn Sie es zweimal anwenden, gibt es den ursprünglichen Satz zurück, d. H., (Ac)c = A. Dies wird bezeichnet, indem der Betrieb der Ergänzung eins ist Involution.
  • Eine Aufnahme von Sätzen AB wird in eine Aufnahme in die Gegenteil Richtung BcAc.
  • Zwei Untergruppen gegeben A und B von S, A ist in Bc dann und nur dann, wenn B ist in Ac.

Diese Dualität erscheint in Topologie als Dualität zwischen offen und geschlossene Untergruppen von einem festen topologischen Raum X: Eine Teilmenge U von X ist geschlossen, wenn es nur dann ergänzt wird X ist offen. Aus diesem Grund sind viele Theoreme über geschlossene Sets für Theoreme über offene Sets doppelt. Beispielsweise ist jede Vereinigung offener Sets geöffnet, sodass jeder Schnittpunkt der geschlossenen Sets geschlossen ist. Das Innere eines Satzes ist das größte offene Set, das darin enthalten ist, und die Schließung des Satzes ist das kleinste geschlossene Set, das es enthält. Wegen der Dualität die Ergänzung des Innenraums eines beliebigen Satzes U entspricht der Schließung der Ergänzung von U.

Doppelkegel

Ein Satz C (blau) und sein Doppelkegel C* (rot).

Eine Dualität in Geometrie wird von der bereitgestellt Doppelkegel Konstruktion. Ein Satz gegeben von Punkten im Flugzeug (oder allgemeiner zeigt in ), Der Dualkegel ist definiert als der Satz bestehend aus diesen Punkten befriedigend

für alle Punkte in , wie im Diagramm dargestellt. Anders als bei der oben genannten Sets gilt es im Allgemeinen nicht, dass die Anwendung der Doppelkegelkonstruktion zweimal das Originalsatz zurückgibt . Stattdessen, ist der kleinste Kegel[7] enthält was größer sein kann als . Daher ist diese Dualität schwächer als die oben genannte, darin
  • Wenn Sie den Operation zweimal anwenden, gibt es ein möglicherweise größeres Set zurück: für alle , ist in . (Für einige , nämlich die Zapfen, die beiden sind tatsächlich gleich.)

Die beiden anderen Eigenschaften übertragen ohne Veränderung:

  • Es ist immer noch wahr, dass eine Einbeziehung wird in eine Einbeziehung in die entgegengesetzte Richtung gedreht ().
  • Zwei Untergruppen gegeben und des Flugzeugs, ist in dann und nur dann, wenn ist in .

Doppelvektorraum

Ein sehr wichtiges Beispiel für eine Dualität entsteht in Lineare Algebra durch Verbesserung zu jedem Vektorraum V es ist Doppelvektorraum V*. Seine Elemente sind die lineare Funktionale , wo K ist der aufstellen worüber V ist definiert. Die drei Eigenschaften des Doppelkegels übertragen auf diese Art von Dualität, indem sie Teilmengen von ersetzen durch Vektorraum und Einschlüsse solcher Teilmengen durch lineare Karten. Das ist:

  • Wenn Sie den Betrieb der zweimaligen Einnahme des Doppelvektorraums anwenden V**. Es gibt immer eine Karte VV**. Für einige V, nämlich genau die Finite-dimensionale VektorräumeDiese Karte ist eine Isomorphismus.
  • Eine lineare Karte VW führt zu einer Karte in die entgegengesetzte Richtung (W*V*).
  • Gegeben zwei Vektorräume V und W, die Karten von V zu W* entsprechen den Karten von W zu V*.

Ein besonderes Merkmal dieser Dualität ist das V und V* sind isomorph für bestimmte Objekte, nämlich endlich-dimensionale Vektorräume. Dies ist jedoch in gewissem Sinne ein glücklicher Zufall, dass ein solcher Isomorphismus eine bestimmte Wahl erfordert, zum Beispiel die Wahl von a Basis von V. Dies gilt auch für den Fall, wenn V ist ein Hilbert Raum, über das Riesz Repräsentation Theorem.

Galois -Theorie

In allen zuvor diskutierten Dualitäten ist das Dual eines Objekts von der gleichen Art wie das Objekt selbst. Zum Beispiel ist der Dual eines Vektorraums wieder ein Vektorraum. Viele Dualitätsaussagen sind nicht von dieser Art. Stattdessen zeigen solche Dualitäten eine enge Beziehung zwischen Objekten scheinbar anderer Natur. Ein Beispiel für eine so allgemeinere Dualität stammt aus Galois -Theorie. Für ein festes Galois -Erweiterung K / F, man kann das assoziieren Galois -Gruppe Mädchen (K/E) zu jedem Zwischenfeld E (d. h., FEK). Diese Gruppe ist eine Untergruppe der Galois -Gruppe G = Gal (K/F). Umgekehrt zu einer solchen Untergruppe HG Es gibt das feste Feld KH bestehend aus Elementen, die durch die Elemente in festgelegt sind H.

Im Vergleich zu den oben genannten hat diese Dualität die folgenden Funktionen:

  • Eine Erweiterung FF von Zwischenfeldern führt zu einer Aufnahme von Galois -Gruppen in die entgegengesetzte Richtung: Mädchen (K/F') ⊆ Gal (Galer (K/F).
  • Vereinigung Mädchen (K/E) zu E und KH zu H sind gegenseitig umgekehrt. Dies ist der Inhalt der Grundsatz der Galois -Theorie.

Auftragsdoppelungen

Hasse -Diagramm der Machtmenge von {1,2,3,4}, teilweise bestellt von . Das dual poset, d. H. Bestellung durch , wird erhalten, indem das Diagramm umsetzt. Die grünen Knoten bilden eine Oberer Satz und ein niedrigerer Satz im Original bzw. in der doppelten Ordnung.

Angenommen Poset P = (X, ≤) (Kurz gesagt, ein teilweise bestelltes Satz; d. H. Ein Satz, der einen Vorstellung von Ordnung hat, in dem jedoch zwei Elemente nicht unbedingt in Bezug auf einander in Ordnung gebracht werden können), die Dual Poset Pd = (X, ≥) umfasst den gleichen Boden, aber die Gegentliche Beziehung. Zu den bekannten Beispielen für zwei Teilaufträge gehören

  • die Untergruppen und die Superset -Beziehungen und Auf einer Sammlung von Sätzen wie den Teilmengen eines festen Satzes S. Dies führt zu dem ersten Beispiel einer erwähnten Dualität Oben.
  • das teilt und mehrere von Beziehungen zum Ganzzahlen.
  • das Nachkommen von und Vorfahr Beziehungen zum Menschen.

A Dualität Transformation ist ein involutiver Antiutomorphismus f von a teilweise bestelltes Set Sdas heißt, eine Auftragsumkehr Involution f: SS.[8][9] In mehreren wichtigen Fällen bestimmen diese einfachen Eigenschaften die Transformation einzigartig zu einigen einfachen Symmetrien. Zum Beispiel wenn f1, f2 sind zwei Dualitätstransationen dann ihre dann ihre Komposition ist ein Automorphismus bestellen von S; Somit unterscheiden sich zwei Dualitätstransformationen nur durch einen Auftragsautomorphismus. Zum Beispiel alle Bestellautomorphismen von a Leistungssatz S = 2R werden durch Permutationen von induziert R.

Ein Konzept, das für eine Teilreihenfolge definiert ist P entspricht a Doppelter Konzept auf dem Dual -Poset Pd. Zum Beispiel a Minimalelement von P wird ein ... sein Maximales Element von Pd: Minimalität und Maximalität sind doppelte Konzepte in der Ordnung der Theorie. Andere Paare von zwei Konzepten sind Ober- und Untergrenze, niedrigere Sets und Obere Sets, und Ideale und Filter.

In der Topologie, Offene Sets und geschlossene Sets sind zwei Konzepte: Die Ergänzung eines offenen Satzes ist geschlossen und umgekehrt. Im Matroid Theorie, die Setsfamilie ergänzt die unabhängigen Sätze einer bestimmten Matroid selbst, die eine andere Matroid bildet, genannt die Dual Matroid.

Dimensions-Umkehrung

Die Merkmale des Würfels und seines doppelten Oktaeders entsprechen eins-zu-eins mit umgekehrten Abmessungen.

Es gibt viele unterschiedliche, aber miteinander verbundene Dualität, bei denen geometrische oder topologische Objekte anderen Objekten desselben Typs entsprechen, jedoch mit einer Umkehrung der Abmessungen der Merkmale der Objekte. Ein klassisches Beispiel hierfür ist die Dualität der Platonische Feststoffe, in dem der Würfel und das Oktaeder ein duales Paar bilden, das Dodekaeder und das Ikosaeder bilden ein duales Paar, und das Tetraeder ist selbst-Dual. Das Dual Polyeder von einer dieser Polyeder kann als die gebildet werden konvexer Rumpf der Mittelpunkte jedes Gesichts des ursprünglichen Polyeders, also die Eckpunkte der Dual entsprechen eins zu eins mit den Gesichtern des Urs. In ähnlicher Weise entspricht jede Kante des Duals einer Kante des Urs, und jedes Gesicht des Dual entspricht einem Scheitelpunkt des Urs. Diese Korrespondenzen sind Inzidenzversicherung: Wenn sich zwei Teile des ursprünglichen Polyeders berühren, tun dies auch die entsprechenden zwei Teile der Dual Polyeder. Allgemeiner mit dem Konzept von Polar -Gegenbewegung, irgendein Konvexes Polyederoder allgemeiner alle konvexes Polytop, entspricht a Dual Polyeder oder dual Polytope mit einem i-Dimensionales Merkmal eines n-Dimensionales Polytop, das einem entspricht (ni - 1)-Dimensionales Merkmal des dualen Polytops. Die Inzidenzpräparation des Naturs der Dualität spiegelt sich in der Tatsache wider, dass die Gesichtsgitter von den ursprünglichen und dualen Polyeder oder Polytopen sind selbst selbst ordentheoretische Duals. Die Dualität von Polytopen und ordentheoretische Dualität sind beide Involutionen: Das doppelte Polytop des doppelten Polytops eines beliebigen Polytops ist das ursprüngliche Polytop, und die Umkehrung aller Bestellverhältnisse kehrt zweimal zur ursprünglichen Reihenfolge zurück. Die Auswahl eines anderen Polaritätszentrums führt zu geometrisch unterschiedlichen Doppelpolytopen, aber alle haben die gleiche kombinatorische Struktur.

A Planare Graph in Blau und seines Dual -Graph in rot.

Aus jedem dreidimensionalen Polyeder kann man a bilden Planare Graphdie Grafik seiner Eckpunkte und Kanten. Das duale Polyeder hat a Dual -Graph, ein Diagramm mit einem Scheitelpunkt für jedes Gesicht des Polyeders und mit einer Kante für zwei benachbarte Gesichter. Das gleiche Konzept der planaren Graphen-Dualität kann auf Grafiken verallgemeinert werden, die in der Ebene gezogen werden, die jedoch nicht von einem dreidimensionalen Polyeder oder allgemeiner zu stammen, oder allgemeiner zu Graph -Einbettungen Auf Oberflächen der höheren Gattung: Man kann einen doppelten Diagramm zeichnen, indem ein Scheitelpunkt innerhalb jeder Region platziert wird, die durch einen Zyklus von Kanten in der Einbettung begrenzt ist und eine Kante zeichnet, die zwei Regionen verbindet, die eine Grenzkante teilen. Ein wichtiges Beispiel für diesen Typ kommt von Computergeometrie: Die Dualität für ein endliches Set S von Punkten in der Ebene zwischen den Delaunay -Triangulation von S und die Voronoi -Diagramm von S. Wie bei Dual-Polyeder- und Dual-Polytopen ist die Dualität von Graphen auf Oberflächen eine Dimensions-Umkehrinvolution: Jeder Scheitelpunkt in der ursprünglichen eingebetteten Graphen entspricht einem Bereich der Dual-Einbettung, jeder Kante in der Primal wird im Dual überschritten. und jede Region des Urs entspricht einem Scheitelpunkt des Dual. Der doppelte Diagramm hängt davon ab, wie der Urdiagramm eingebettet ist: Verschiedene planare Einbettungen eines einzelnen Diagramms können zu unterschiedlichen Dual -Graphen führen. Matroid -Dualität ist eine algebraische Erweiterung der planaren Graphen -Dualität, in dem Sinne, dass die doppelte Matroid der grafischen Matroid eines planaren Graphen für die grafische Matroid des Dual -Graphen isomorph ist.

Eine Art geometrischer Dualität tritt auch in auf Optimierungstheorie, aber nicht einer, der Dimensionen umkehrt. EIN lineares Programm Kann durch ein System realer Variablen angegeben werden (die Koordinaten für einen Punkt im euklidischen Raum ), ein System linearer Einschränkungen (angeben, dass der Punkt in a liegt halber Platz; Der Schnittpunkt dieser Halbflächen ist ein konvexes Polytop, der praktikable Bereich des Programms) und eine lineare Funktion (was zu optimieren ist). Jedes lineare Programm hat eine Dual Problem mit der gleichen optimalen Lösung, aber die Variablen im doppelten Problem entsprechen Einschränkungen im ursprünglichen Problem und umgekehrt.

Dualität in Logik und fester Theorie

In Logik, Funktionen oder Beziehungen A und B werden als dual angesehen, wenn Ax) = ¬B(x), wo ¬ ist Logische Negation. Die grundlegende Dualität dieser Art ist die Dualität der ∃ und ∀ Quantifizierer in klassischer Logik. Diese sind zwei, weil x.-P(x) und ¬∀x.P(x) sind für alle Prädikate gleichwertig P in klassischer Logik: Wenn es eine gibt x für welche P kann nicht gehalten, dann ist es falsch, dass P hält für alle x (Das Gegenteil gilt jedoch nicht konstruktiv). Aus dieser grundlegenden logischen Dualität folgen Sie mehreren anderen:

  • Eine Formel soll sein erfüllbar in einem bestimmten Modell, wenn es Zuordnungen zu seiner gibt freie Variablen das macht es wahr; es ist gültig wenn jeder Die Zuordnung zu seinen freien Variablen macht es wahr. Erfüllbarkeit und Gültigkeit sind doppelt, da die ungültigen Formeln genau diejenigen sind, deren Negationen zufrieden sind, und die unbefriedigbaren Formeln sind solche, deren Negationen gültig sind. Dies kann als Sonderfall des vorherigen Elements angesehen werden, wobei die Quantifizierer über Interpretationen liegen.
  • In der klassischen Logik die und Die Betreiber sind in diesem Sinne doppelt, weil x ∧ ¬y) und ¬ (xy) sind äquivalent. Dies bedeutet, dass es für jeden Satz klassischer Logik einen äquivalenten Dual -Theorem gibt. De Morgans Gesetze sind Beispiele. Allgemeiner, xi) = ¬ xi. Die linke Seite ist wahr, wenn und nur wenn i.-xiund die rechte Seite, wenn und nur wenn ¬∃i.xi.
  • Im Modale Logik, p bedeutet, dass der Vorschlag p ist "notwendigerweise" wahr und p das p ist "möglicherweise" wahr. Die meisten Interpretationen der modalen Logik weisen diesen beiden Operatoren doppelte Bedeutungen zu. Zum Beispiel in Kripke -Semantik, "p ist möglicherweise wahr "bedeutet" Es gibt einige Welt W so dass p ist wahr in W", während "p ist notwendigerweise wahr "bedeutet" für alle Welten W, p ist wahr in W". Die Dualität von und folgt dann aus der analogen Dualität von und . Andere doppelte modale Operatoren verhalten sich ähnlich. Zum Beispiel, zeitliche Logik Hat die Betreiber, die "irgendwann in der Zukunft wahr sein werden" und "in Zukunft zu jeder Zeit wahr sein", was ähnlich doppelt ist.

Andere analoge Dualitäten folgen aus diesen:

  • Set-theoretische Vereinigung und Kreuzung sind unter dem doppelt Setzen Sie Komplement Operator C. Das ist, ACBC = (AB)Cund allgemeiner, AC
    α
    = ( Aα)C
    . Dies folgt aus der Dualität von und : ein Element x ist ein Mitglied von AC
    α
    dann und nur dann, wenn α.-xAαund ist Mitglied von ( Aα)C dann und nur dann, wenn ¬∃α. xAα.

Doppelobjekte

Eine Gruppe von Dualitäten kann durch Ausschluss für jedes mathematische Objekt beschrieben werden X, die Menge der Morphismen Hom (X, D) in ein festes Objekt D, mit einer Struktur ähnlich der von X. Dies wird manchmal genannt interner Hom. Im Allgemeinen liefert dies eine wahre Dualität nur für bestimmte Auswahlmöglichkeiten von D, in welchem ​​Fall X* = Hom (X, D) wird als die bezeichnet Dual von X. Es gibt immer eine Karte von X zum bidualdas heißt das dual des dual,

Es zuweist einigen zugewiesen xX Die Karte, die mit jeder Karte assoziiert f: XD (d. H. Ein Element in Hom (X, D)) der Wert f(x). Abhängig von der betrachteten Beton -Dualität und auch abhängig vom Objekt XDiese Karte kann ein Isomorphismus sein oder nicht.

Doppelvektorräume überarbeitet

Der Bau des Doppelvektorraums

In der Einleitung erwähnt ist ein Beispiel für eine solche Dualität. In der Tat die Menge der Morphismen, d. H., lineare Kartenbildet einen eigenen Vektorraum für sich. Die Karte VV** oben erwähnt ist immer injektiv. Es ist surjektiv und daher ein Isomorphismus, wenn und nur wenn der Abmessungen von V ist endlich. Diese Tatsache charakterisiert endlichdimensionale Vektorräume, ohne sich auf eine Basis zu beziehen.

Isomorphismen von V und V und innere Produkträume

Ein Vektorraum V ist isomorph zu V Genau wenn V ist endlichdimensional. In diesem Fall entspricht ein solcher Isomorphismus einem Nicht-Entieren bilineare Form

In diesem Fall V wird als ein genannt innerer Produktraum. Zum Beispiel wenn K ist das Feld von real oder komplexe Zahlen, irgendein positiv definitiv Die bilineare Form führt zu einem solchen Isomorphismus. Im Riemannian Geometrie, V is taken to be the Tangentenraum von a vielfältig und solche positiven bilinearen Formen werden genannt Riemannsche Metriken. Ihr Zweck ist es, Winkel und Entfernungen zu messen. Daher ist Dualität eine grundlegende Grundlage für diesen Zweig der Geometrie. Eine weitere Anwendung innerer Produkträume ist die Hodge Star die eine Korrespondenz zwischen den Elementen der Außenalgebra. Für ein n-Dimensionaler Vektorraum, der Hodge Star -Operator Karten k-Formen zu (nk)-Formen. Dies kann zur Formulierung verwendet werden Maxwells Gleichungen. In dieser Deckung tauscht die Dualität, die dem inneren Produktraum inhärent ist, die Rolle von der Rolle von magnetisch und elektrische Felder.

Dualität in der projektiven Geometrie

Das Komplettes Viereck, eine Konfiguration von vier Punkten und sechs Zeilen in der Projektebene (links) und ihrer Doppelkonfiguration, dem vollständigen Viereck, mit vier Linien und sechs Punkten (rechts).

In einigen Projektive FlugzeugeEs ist möglich zu finden Geometrische Transformationen Diese Zuordnung jeden Punkts der Projektebene auf eine Linie und jede Zeile der Projektebene bis zu einem Punkt auf eine inzidenzversicherende Weise.[10] Für solche Flugzeuge entsteht ein allgemeines Prinzip von Dualität in Projektebenen: Angesichts eines Satzes in einer solchen projektiven Geometrie, die den Austausch der Begriffe "Punkt" und "Linie" überall zu einem neuen, ebenso gültigen Satz führt.[11] Ein einfaches Beispiel ist, dass die Anweisung "Zwei Punkte eine eindeutige Linie bestimmen, die Linie durch diese Punkte verläuft" die duale Anweisung, dass "zwei Zeilen einen eindeutigen Punkt bestimmen, die Schnittpunkt dieser beiden Zeilen ". Weitere Beispiele siehe Dual Theorems.

Eine konzeptionelle Erklärung dieses Phänomens in einigen Ebenen (insbesondere in Feldebenen) wird vom Dual -Vektor -Raum angeboten. In der Tat die Punkte in der projektiven Ebene entsprechen eindimensionale Subvektorräume [12] Während die Linien in der Projektebene den Subvektorräumen entsprechen von Dimension 2. Die Dualität in solchen projektiven Geometrien beruht auf einer eindimensionalen Zuordnung der Unterraum von bestehend aus diesen linearen Karten was befriedigt . Als Folge der Dimensionsformel von Lineare AlgebraDieser Raum ist zweidimensional, d. H. Er entspricht einer Linie in der projektiven Ebene, die zugeordnet ist .

Die (positive definitive) bilineare Form

ergibt eine Identifizierung dieser projektiven Ebene mit dem . Konkret weist die Dualität zu es ist senkrecht . Die explizite Formeln in Dualität in der projektiven Geometrie entstehen durch diese Identifizierung.

Topologische Vektorräume und Hilbert -Räume

Im Bereich von Topologische Vektorräume, eine ähnliche Konstruktion, die den Dual durch die ersetzt Topologisches Dual Vektorraum. Es gibt mehrere Vorstellungen von topologischem Doppelraum, und jeder von ihnen führt zu einem bestimmten Konzept der Dualität. Ein topologischer Vektorraum Das ist kanonisch isomorph für seine biduale wird als a genannt reflexiver Raum:

Beispiele:

  • Wie im endlich-dimensionalen Fall in jedem Hilbert Raum H es ist Innenprodukt ⟨⟨, ⋅⟩ definiert eine Karte
    die ein Bijection aufgrund der Riesz Repräsentation Theorem. Als Folge ist jeder Hilbert -Raum a Reflexive Banach -Raum.
  • Das Doppelnormierter Raum von einem Lp-Platz ist Lq wo 1/p + 1/q = 1 unter der Vorraussetzung, dass 1 ≤ p < ∞, aber das dual von L ist größer als L1. Somit L1 ist nicht reflexiv.
  • Verteilungen sind lineare Funktionen auf geeigneten Funktionsräumen. Sie sind ein wichtiges technisches Mittel in der Theorie von partielle Differentialgleichungen (PDE): Anstatt ein PDE direkt zu lösen, kann es einfacher sein, die PDE im "schwachen Sinn" zu lösen, d. H. Eine Verteilung zu finden, die die PDE erfüllt, und zweitens, dass die Lösung tatsächlich, tatsächlich muss, muss. eine Funktion sein.[13] Alle Standardräume von Verteilungen - , , - sind reflexive lokal konvexe Räume.[14]

Weitere duale Objekte

Das Doppelgitter von a Gitter L wird gegeben von[Klarstellung erforderlich]

das wird beim Bau von verwendet Torische Sorten.[15] Das Pontryagin Dual von lokal kompakt Topologische Gruppen G wird gegeben von
kontinuierlich Gruppe Homomorphismen mit Werten im Kreis (mit Multiplikation komplexer Zahlen als Gruppenoperation).

Doppelte Kategorien

Gegenkategorie und Adjoint -Funktoren

In einer anderen Gruppe von Dualitäten werden die Objekte einer Theorie in Objekte einer anderen Theorie übersetzt und die Karten zwischen Objekten in der ersten Theorie werden in der zweiten Theorie in Morphismen übersetzt, jedoch mit umgekehrter Richtung. Die Sprachgebrauch von KategoriestheorieDies entspricht a kontravarianter Functor zwischen zwei Kategorien C und D:

F: CD

was für zwei beliebige Objekte X und Y von C gibt eine Karte

HomC(X, Y) → HomD(F(Y), F(X))

Dieser Functor kann ein sein oder nicht Äquivalenz von Kategorien. Es gibt verschiedene Situationen, in denen ein solcher Functor eine Äquivalenz zwischen den ist Gegen Kategorie Cop von C, und D. Unter Verwendung einer Dualität dieser Art kann jede Aussage in der ersten Theorie in eine "Dual" -Anweisung in der zweiten Theorie übersetzt werden, in der die Richtung aller Pfeile umgekehrt werden muss.[16] Daher jede Dualität zwischen Kategorien C und D ist formell dasselbe wie eine Äquivalenz zwischen C und Dop (Cop und D). In vielen Umständen haben die entgegengesetzten Kategorien jedoch keine inhärente Bedeutung, was die Dualität zu einem zusätzlichen, separaten Konzept macht.[17]

Eine Kategorie, die ihrem Dual entspricht, heißt Selbstdoppelte. Ein Beispiel für Selbstdoppelkategorie ist die Kategorie von Hilbert Räume.[18]

Viele Kategorie-theoretisch Vorstellungen kommen paarweise in dem Sinne, dass sie sich gegenseitig entsprechen, während sie die entgegengesetzte Kategorie betrachten. Zum Beispiel, Kartesische Produkte Y1 × Y2 und Disjunkte Gewerkschaften Y1Y2 von Sets sind in dem Sinne doppelt zueinander, dass

Hom (X, Y1 × Y2) = Hom (X, Y1) × HOM (X, Y2)

und

Hom (Y1Y2, X) = Hom (Y1, X) × HOM (Y2, X)

für jeden Satz X. Dies ist ein besonderer Fall eines allgemeineren Dualitätsphänomens, unter dem Grenzen in einer Kategorie C entsprechen Colimits in der entgegengesetzten Kategorie Cop; Weitere konkrete Beispiele hierfür sind Epimorphismen vs. Monomorphismus, im Speziellen Faktormodule (oder Gruppen usw.) Vs. Submodules, Direkte Produkte vs. Direkte Summen (auch genannt Koprodukte den Aspekt der Dualität hervorheben). Daher können in einigen Fällen Beweise bestimmter Aussagen unter Verwendung eines solchen Dualitätsphänomens halbiert werden. Weitere Begriffe, die von einer solchen kategorialen Dualität in Verbindung stehen, sind Projektiv und Injektivmodule in Homologische Algebra,[19] Fibrationen und Cofibrationen in der Topologie und allgemeiner Modellkategorien.[20]

Zwei Funkern F: CD und G: DC sind Adjoint Wenn für alle Objekte c in C und d in D

HomD(F(c), d) ≅ HomC(c, G(d)),

auf natürliche Weise. Tatsächlich ist die Korrespondenz von Grenzen und Säulen ein Beispiel für Adjoint, da es eine Adjunction gibt

Colim: CIC: Δ

Zwischen dem Colimit -Funkor, der jedem Diagramm in zuweist C nach einer Kategorie indiziert I Sein Colimit und der diagonale Funkor, der jedes Objekt ordnet c von C zu dem konstanten Diagramm, das hat c An allen Orten. Doppelt,

Δ: CCI: lim.

Räume und Funktionen

Gelfand Dualität ist eine Dualität zwischen kommutativ C*-Algebras A und kompakt Hausdorff Räume X ist dasselbe: es zuweist zugewiesen X der Raum der kontinuierlichen Funktionen (die in Unendlichkeit verschwinden) von X zu C, die komplexen Zahlen. Umgekehrt der Raum X kann von rekonstruiert werden von A als die Spektrum von A. Sowohl Gelfand als auch Pontryagin Dualität können auf weitgehend formale, kategorisch-theoretische Weise abgeleitet werden.[21]

In ähnlicher Weise gibt es eine Dualität in Algebraische Geometrie zwischen kommutative Ringe und Effine Schemata: zu jedem kommutativen Ring A Es gibt ein affine Spektrum, Spezifikation A. Umgekehrt bei einem affine Schema SMan bekommt einen Ring zurück, indem man globale Abschnitte der Struktur Sheaf OS. Zusätzlich, Ring -Homomorphismen sind in eins-eins-Korrespondenz mit Morphismen affine Schemata, dadurch gibt es eine Äquivalenz

(Kommutative Ringe)op ≅ (affine Schemata)[22]

Affine -Programme sind die lokalen Bausteine ​​von Pläne. Das vorherige Ergebnis zeigt daher, dass die lokale Schematheorie dieselbe ist wie kommutative Algebra, die Studie von kommutativen Ringen.

Nichtkommutative Geometrie Lassen Sie sich von der Dualität der Gelfand inspirieren und untersucht nichtkommutative C*-Algebras, als wären sie auf einem imaginären Raum Funktionen. Tannaka -Krein Dualität ist ein nichtkommutatives Analogon von Pontryagin Dualität.[23]

Galois -Verbindungen

In einer Reihe von Situationen entstehen die beiden Kategorien, die sich doppelt sind, tatsächlich aus teilweise bestellt Sätze, d. H. Es gibt eine Vorstellung, dass ein Objekt "kleiner" ist als ein anderer. Eine Dualität, die die fraglichen Auftragungen respektiert Galois -Verbindung. Ein Beispiel ist die Standard -Dualität in Galois -Theorie in der Einführung erwähnt: Eine größere Feldweiterung entspricht - unter der Zuordnung, die jeder Erweiterung zuweist LK (Innerhalb einiger fester größerer Feld ω) Die Galois -Gruppe gal (ω / L) - zu einer kleineren Gruppe.[24]

Die Sammlung aller offenen Teilmengen eines topologischen Raums X bildet eine vollständige Heying Algebra. Es gibt eine Dualität, bekannt als als Stein Dualität, Verbinden nüchterne Räume und räumlich Orte.

Pontryagin Dualität

Pontryagin Dualität gibt eine Dualität über die Kategorie von lokal kompakt Abelsche Gruppen: Bei einer solchen Gruppe G, das Charaktergruppe

χ (G) = Hom (G, S1)

gegeben durch kontinuierliche Gruppe Homomorphismen von G zum Kreisgruppe S1 kann mit dem ausgestattet werden Kompakttopologie. Pontryagin Dualität stellt fest, dass die Charaktergruppe wieder lokal kompakt Abelian ist und dass

G ≅ χ (χ (χ (G)).[25]

Darüber hinaus, Diskrete Gruppen entsprechen Kompakte Abelsche Gruppen; Finite -Gruppen entsprechen endliche Gruppen. Einerseits ist Pontryagin ein Sonderfall von Gelfand Dualität. Andererseits ist es der konzeptionelle Grund für Fourier -Analyse, siehe unten.

Analytische Dualität

Im AnalyseProbleme werden häufig gelöst, indem sie an die doppelte Beschreibung von Funktionen und Operatoren übertragen werden.

Fourier-Transformation Wechselt zwischen Funktionen auf einem Vektorraum und seinem Dual:

und umgekehrt
Wenn f ist ein L2-Funktion an R oder RN, sagen wir, dann ist es auch und . Darüber hinaus austauschen die Transformation die Operationen der Multiplikation und Faltung auf der entsprechenden Funktionsräume. Eine konzeptionelle Erklärung der Fourier -Transformation wird von der oben genannten Pontryagin -Dualität erhalten, die auf die lokal kompakten Gruppen angewendet wird R (oder RN usw.): Jeder Charakter von R wird gegeben durch ξ ↦ e–2πixsto. Der doppelte Charakter von Fourier Transformation hat viele andere Manifestationen, zum Beispiel in alternativen Beschreibungen von Quantenmechanik Systeme in Bezug auf Koordinaten- und Impulsdarstellungen.

Homologie und Kohomologie

Theoreme, die zeigen, dass bestimmte Objekte von interessierten Objekten sind Doppelräume (im Sinne einer linearen Algebra) anderer interessierender Objekte werden oft genannt Dualität. Viele dieser Dualitäten werden von a gegeben bilineare Paarung von zwei K-Vektorräume

ABK.

Zum Perfekte PaarungenEs gibt daher einen Isomorphismus von A zum Dual von B.

Poincaré Dualität

Poincaré Dualität eines glatten Kompakts Komplexer Verteiler X wird durch eine Paarung der einzigartigen Kohomologie mit gegeben C-Coefficients (gleichwertig, Sheaf -Kohomologie des konstant Sheaf C))

Hi(X) ⊗ h2ni(X) → C,

wo n ist die (komplexe) Dimension von X.[26] Poincaré Dualität kann auch als eine Beziehung von ausgedrückt werden Singular Homology und De Rham -Kohomologie, durch die Behauptung der Karte

(Integration eines Differentials k-Form über einen 2nk-(real) -Dimensionaler Zyklus) ist eine perfekte Paarung.

Poincaré Dualität kehrt auch Dimensionen um; es entspricht der Tatsache, dass, wenn ein topologisches vielfältig ist als a Zellkomplexdann repräsentiert der Dual des Komplexes (eine höherdimensionale Verallgemeinerung des planaren Graphen Dual) den gleichen Verteiler. In Poincaré Dualität spiegelt sich dieser Homeomorphismus in einem Isomorphismus des kth Homologie Gruppe und die (n-k) th Kohomologie Gruppe.

Dualität in der algebraischen und arithmetischen Geometrie

Das gleiche Dualitätsmuster gilt für einen glatten projektive Sorte über ein Trennbar geschlossenes Feld, verwenden L-adische Kohomologie mit Q-Coefficients stattdessen.[27] Dies wird weiter auf möglicherweise verallgemeinert Singular Sorten, verwenden Kreuzung Kohomologie Stattdessen nannte eine Dualität Verdier Dualität.[28] Serre Dualität oder Kohärente Dualität ähneln den obigen Aussagen, gilt jedoch für die Kohomologie von zusammenhängende Scheiben stattdessen.[29]

Mit zunehmender Allgemeinheit ist es hilfreich oder notwendig, um diese Theoreme zu verstehen: Die moderne Formulierung dieser Dualitäten kann hilfreich oder notwendig sind abgeleitete Kategorien und sicher Direkte und umgekehrte Bildfunktionen von Scheiben (In Bezug auf die klassische analytische Topologie der Verteiler für Poincaré-Dualität, L-adic Sheaves und die Étale Topologie im zweiten Fall und in Bezug auf kohärente Scheiben für kohärente Dualität).

Eine weitere Gruppe ähnlicher Dualitätsaussagen wird in angetroffen Arithmetik: Étale -Kohomologie von endlich, lokal und Globale Felder (auch bekannt als Galois -KohomologieDa ist die Étale -Kohomologie über ein Feld gleichbedeutend mit Gruppenkohomologie des (absoluten) Galois -Gruppe des Feldes) geben ähnliche Paarungen zu. Die absolute Galois -Gruppe G(Fq) eines endlichen Feldes ist zum Beispiel isomorph zu , das Profinites Abschluss von Z, die Ganzzahlen. Daher die perfekte Paarung (für jeden G-Modul M))

Hn(G, M) × h1–n (G, Hom (M, Q/Z)) → Q/Z[30]

ist eine direkte Folge von Pontryagin Dualität von endlichen Gruppen. Für lokale und globale Bereiche existieren ähnliche Aussagen (Lokale Dualität und global oder Poitou -Tate Dualität).[31]

Siehe auch

Anmerkungen

  1. ^ Atiyah 2007, p. 1
  2. ^ Kostrikin 2001Dieses Zitat ist der erste Satz des endgültigen Abschnitts mit dem Namen Kommentare in diesem einzelnen Dokument
  3. ^ GOWERS 2008, p. 187, col. 1
  4. ^ GOWERS 2008, p. 189, col. 2
  5. ^ Atiyah 2007, p. 1
  6. ^ Die Komplement wird auch als bezeichnet als als S \ A.
  7. ^ Etwas präziser, ist der kleinste abgeschlossen konvex Kegel enthalten .
  8. ^ Artstein-Avidan & Milman 2007
  9. ^ Artstein-Avidan & Milman 2008
  10. ^ Veblen & Young 1965.
  11. ^ (Veblen & Young1965, CH. Ich, Satz 11)
  12. ^ Allgemeiner kann man die Projektebenen über jedes Bereich berücksichtigen, z. B. die komplexen Zahlen oder endliche Felder oder auch Divisionsringe.
  13. ^ Sehen Elliptische Regelmäßigkeit.
  14. ^ Edwards (19658.4.7).
  15. ^ Fulton1993
  16. ^ Mac Lane 1998, CH. Ii.1.
  17. ^ (Lam1999§19c)
  18. ^ Jiří adámek; J. Rosicky (1994). Lokal präsentierbare und zugängliche Kategorien. Cambridge University Press. p. 62. ISBN 978-0-521-42261-1.
  19. ^ Weibel (1994)
  20. ^ Dwyer und Spaliński (1995)
  21. ^ Negrepontis 1971.
  22. ^ Hartshorne1966, CH. Ii.2, esp. Prop. II.2.3
  23. ^ Joyal und Straße (1991)
  24. ^ Siehe (Lang2002, Satz VI.1.1) für endliche Galois -Erweiterungen.
  25. ^ (Loomis1953, p. 151, Abschnitt 37d)
  26. ^ Griffiths & Harris1994, p. 56
  27. ^ Milne1980, CH. Vi.11
  28. ^ Iversen1986, CH. Vii.3, vii.5
  29. ^ Hartshorne1966, CH. Iii.7
  30. ^ Milne (2006Beispiel I.1.10)
  31. ^ Mazur (1973); Milne (2006)

Verweise

Dualität im Allgemeinen

Dualität in der algebraischen Topologie

Spezifische Dualität