Skalarprodukt
Im Mathematik, das Skalarprodukt oder Skalarprodukt[Anmerkung 1] ist ein algebraischer Betrieb Das erfordert zwei Zahlensequenzen mit gleicher Länge (normalerweise Vektoren koordinieren) und gibt eine einzige Zahl zurück. Im Euklidische Geometrie, das Punktprodukt der Kartesischen Koordinaten von zwei Vektoren wird weit verbreitet. Es wird oft das genannt Innenprodukt (oder selten Projektionsprodukt) des euklidischen Raums, obwohl es nicht das einzige innere Produkt ist, das auf dem euklidischen Raum definiert werden kann (siehe Innerer Produktraum für mehr).
Algebraisch ist das Punktprodukt die Summe der Produkte der entsprechenden Einträge der beiden Zahlensequenzen. Geometrisch ist es das Produkt der Euklidische Größen der beiden Vektoren und der Kosinus des Winkels zwischen ihnen. Diese Definitionen sind bei Verwendung kartesischer Koordinaten gleichwertig. In modern Geometrie, Euklidische Räume werden oft durch Verwendung definiert Vektorräume. In diesem Fall wird das Punktprodukt zur Definition der Längen verwendet (die Länge eines Vektors ist das Quadratwurzel des Punktprodukts des Vektors für sich selbst) und Winkel (der Cosinus des Winkels zwischen zwei Vektoren ist die Quotient von ihrem Punktprodukt durch das Produkt ihrer Längen).
Der Name "Punktprodukt" wird von der abgeleitet zentrierter Punkt "·"Das wird oft verwendet, um diesen Vorgang zu bezeichnen.[1] Der alternative Name "Skalarprodukt" betont, dass das Ergebnis a ist Skalar, eher als ein Vektor, wie es für die der Fall ist Vektorprodukt im dreidimensionalen Raum.
Definition
Das Punktprodukt kann algebraisch oder geometrisch definiert werden. Die geometrische Definition basiert auf den Vorstellungen von Winkel und Abstand (Größe der Vektoren). Die Äquivalenz dieser beiden Definitionen hängt davon ab, a zu haben Kartesisches Koordinatensystem Für den euklidischen Raum.
In modernen Präsentationen von Euklidische GeometrieDie Raumstellen werden in Bezug auf ihre definiert Kartesischen Koordinaten, und Euklidischer Raum selbst wird üblicherweise mit dem identifiziert Echter Koordinatenraum Rn. In einer solchen Präsentation werden die Vorstellungen von Länge und Winkeln mittels des Punktprodukts definiert. Die Länge eines Vektors ist definiert als die Quadratwurzel des Punktprodukts des Vektors für sich selbst und der Kosinus des (nicht orientierten) Winkels zwischen zwei Vektoren der Länge ist ein DOT -Produkt. Die Äquivalenz der beiden Definitionen des Punktprodukts ist also Teil der Äquivalenz der klassischen und modernen Formulierungen der euklidischen Geometrie.
Algebraische Definition
Das Punktprodukt von zwei Vektoren a = [a1, a2, ..., an] und b = [b1, b2, ..., bn] ist definiert als:[2]
wo σ bezeichnet Summe und n ist der Abmessungen des Vektorraum. Zum Beispiel in dreidimensionaler Raum, das Punktprodukt von Vektoren [1, 3, –5] und [4, –2, –1] ist:
Ebenso das Punktprodukt des Vektors [1, 3, –5] mit sich selbst ist:
Wenn Vektoren mit identifiziert werden mit ReihenmatrizenDas Punktprodukt kann auch als geschrieben werden Matrixprodukt
wo bezeichnet die Transponieren von .
Auf diese Weise das obige Beispiel ausdrücken, eine 1 × 3 -Matrix (Reihenvektor) wird mit einer 3 × 1 -Matrix multipliziert (Spaltenvektor) Um eine 1 × 1 -Matrix zu erhalten, die mit ihrem eindeutigen Eintrag identifiziert wird:
- .
Geometrische Definition


Im Euklidischer Raum, a Euklideaner Vektor ist ein geometrisches Objekt, das sowohl eine Größe als auch eine Richtung besitzt. Ein Vektor kann als Pfeil dargestellt werden. Seine Größe ist seine Länge und seine Richtung ist die Richtung, in die der Pfeil zeigt. Die Größe eines Vektors a wird bezeichnet durch . Das Punktprodukt zweier euklideanischer Vektoren a und b wird definiert von[3][4][1]
wo θ ist der Winkel zwischen a und b.
Insbesondere wenn die Vektoren a und b sind senkrecht (d. H. Ihr Winkel ist π / 2 oder 90 °), dann das impliziert das
Im anderen extrem, wenn sie kodirektional sind, ist der Winkel zwischen ihnen mit Null mit und
Dies impliziert, dass das Punktprodukt eines Vektors a mit sich selbst ist
was gibt
die Formel für die Euklidische Länge des Vektors.
Skalarprojektion und erste Eigenschaften

Das Skalarprojektion (oder skalare Komponente) eines euklideischen Vektors a in Richtung eines euklideischen Vektors b wird gegeben von
wo θ ist der Winkel zwischen a und b.
In Bezug auf die geometrische Definition des Punktprodukts kann dies neu geschrieben werden
wo ist der Einheitsvektor in der Richtung von b.

Das Punktprodukt wird somit geometrisch durch charakterisiert[5]
Das auf diese Weise definierte Punktprodukt ist unter Skalierung in jeder Variablen homogen, was bedeutet, dass für jeden Skalar αAnwesend
Es erfüllt auch a Verteilungsrecht, bedeutet, dass
Diese Eigenschaften können zusammengefasst werden, indem das DOT -Produkt a ist bilineare Form. Darüber hinaus ist diese bilineare Form positiv definitiv, was bedeutet, dass ist niemals negativ und ist Null, wenn und nur wenn - Der Null -Vektor.
Das Punktprodukt entspricht somit der Multiplizierung der Norm (Länge) von b durch die Norm der Projektion von a Über b.
Äquivalenz der Definitionen
Wenn e1, ..., en sind die Standardbasisvektoren in Rndann können wir schreiben
Die Vektoren ei sind an Orthonormale Basis, was bedeutet, dass sie Einheitenlänge haben und rechtwinklig zueinander sind. Daher haben diese Vektoren eine Einheitslänge
und da sie rechte Winkel miteinander bilden, wenn i ≠ jAnwesend
So können wir im Allgemeinen das sagen:
Wo δ ij ist der Kronecker Delta.

Auch nach der geometrischen Definition für jeden Vektor ei und ein Vektor a, wir stellen fest
wo ai ist die Komponente des Vektors a in der Richtung von ei. Der letzte Schritt in der Gleichheit ist aus der Abbildung zu sehen.
Anwendung der Verteilung der geometrischen Version des Punktprodukts gibt nun
genau die algebraische Definition des Punktprodukts. Das geometrische Punktprodukt entspricht also dem algebraischen Punktprodukt.
Eigenschaften
Das Punktprodukt erfüllt die folgenden Eigenschaften, wenn a, b, und c sind real Vektoren und r ist ein Skalar.[2][3]
- Kommutativ:
- was aus der Definition folgt (θ ist der Winkel zwischen a und b):[6]
- Verteilt Über Vektorabzug:
- Bilinear:
- Skalarmultiplikation:
- Nicht assoziativ weil das Punktprodukt zwischen einem Skalar (a ≤ b) und ein Vektor (c) ist nicht definiert, was bedeutet, dass die an der assoziativen Eigenschaft beteiligten Ausdrücke ((a ≤ b) ≤ c oder a ≤ (B ≤ c) sind beide schlecht definiert.[7] Beachten Sie jedoch, dass die zuvor erwähnte skalare Multiplikationseigenschaft manchmal als "assoziatives Gesetz für Skalar- und DOT -Produkt" bezeichnet wird[8] oder man kann sagen, dass "das DOT -Produkt in Bezug auf die skalare Multiplikation assoziativ ist", weil c (a ⋅ b) = ((c a) ≤ b = a ≤ (c b).[9]
- Senkrecht:
- Zwei Vektoren ungleich Null a und b sind senkrecht dann und nur dann, wenn a ⋅ b = 0.
- Nein Stornierung:
- Im Gegensatz zur Multiplikation der normalen Zahlen, wo if ist ab = AC, dann b immer gleich c wenn nicht a ist Null, das DOT -Produkt befolgt dem nicht dem Stornierungsgesetz:
- Wenn a ⋅ b = a ⋅ c und a ≠ 0Dann können wir schreiben: a ≤ (b − c) = 0 bis zum Verteilungsrecht; Das obige Ergebnis besagt, dass dies nur bedeutet, dass dies nur bedeutet a ist senkrecht zu (b − c), was es immer noch erlaubt (b − c) ≠ 0und erlaubt deshalb b ≠ c.
- Produktregel:
- Wenn a und b sind (vektorwertig) differenzierbare Funktionendann das Derivat (Bezeichnet durch eine Prime ′) von a ⋅ b wird durch die Regel gegeben (a ⋅ b)′ = a′ ⋅ b + a ⋅ b′.
Antrag auf das Gesetz des Cosinus

Mit zwei Vektoren a und b durch Winkel getrennt θ (Siehe Bild rechts) sie bilden ein Dreieck mit einer dritten Seite c = a − b. Das Punktprodukt davon mit sich selbst ist:
Welches ist das Gesetz des Cosinus.
Dreifachprodukt
Es gibt zwei ternäre Operationen mit Punktprodukten einbeziehen und Kreuzprodukt.
Das Skalar -Triple -Produkt von drei Vektoren ist definiert als
Sein Wert ist der bestimmend der Matrix, deren Spalten die sind Kartesischen Koordinaten der drei Vektoren. Es ist das signierte Volumen des parallelepiped definiert von den drei Vektoren und ist isomorph für den dreidimensionalen Sonderfall der Außenprodukt von drei Vektoren.
Das Vektor Triple Product wird definiert von[2][3]
Diese Identität, auch bekannt als LaGranges Formel, kann erinnert werden Als "ACB minus ABC" berücksichtigen Sie, welche Vektoren zusammen verteilt sind. Diese Formel enthält Anwendungen bei der Vereinfachung der Vektorberechnungen in Physik.
Physik
Im Physik, Vektorgröße ist a Skalar im physischen Sinne (d. H. a physikalische Größe unabhängig vom Koordinatensystem), ausgedrückt als die Produkt von a numerischer Wert und ein Physische Einheit, nicht nur eine Nummer. Das DOT -Produkt ist auch in diesem Sinne ein Skalar, das durch die Formel unabhängig vom Koordinatensystem gegeben ist. Zum Beispiel:[10][11]
- Mechanische Arbeit ist das Punktprodukt von Macht und Verschiebung Vektoren,
- Leistung ist das Punktprodukt von Macht und Geschwindigkeit.
Verallgemeinerungen
Komplexe Vektoren
Für Vektoren mit Komplex Einträge unter Verwendung der angegebenen Definition des Punktprodukts würden zu ganz unterschiedlichen Eigenschaften führen. Zum Beispiel könnte das Punktprodukt eines Vektors mit sich selbst Null sein, ohne dass der Vektor der Nullvektor ist (z. B. würde dies mit dem Vektor a = [1 i] passieren). Dies hätte wiederum Konsequenzen für Vorstellungen wie Länge und Winkel. Eigenschaften wie die positiv-definitische Norm können auf Kosten des Aufgebens der symmetrischen und bilinearen Eigenschaften des Punktprodukts durch die alternative Definition geborgen werden[12][2]
wo ist der Komplexes Konjugat von . Wenn Vektoren durch dargestellt werden durch SäulenvektorenDas Punktprodukt kann als ausgedrückt werden Matrixprodukt mit a konjugierte Transponierung, bezeichnet mit dem Superscript h:
Bei Vektoren mit realen Komponenten ist diese Definition dieselbe wie im realen Fall. Das DOT-Produkt eines jeden Vektors mit sich selbst ist eine nicht negative reelle Zahl und außer dem Nullvektor ungleich Null. Das komplexe Punktprodukt ist jedoch Sesquilinear eher als bilinear, wie es ist Konjugat linear und nicht linear in a. Das Punktprodukt ist nicht symmetrisch, da
Der Winkel zwischen zwei komplexen Vektoren wird dann gegeben
Das komplexe Punktprodukt führt zu den Vorstellungen von Hermitische Formen und allgemein innere Produkträume, die häufig in Mathematik verwendet werden und Physik.
Das Selbstpunktprodukt eines komplexen Vektors mit der konjugierten Transponierung eines Zeilenvektors ist auch als die bekannt Norm quadriert, , nach dem Euklidische Norm; Es ist eine Vektorverallgemeinerung der Absolutes Quadrat eines komplexen Skalars (siehe auch: quadratische euklidische Entfernung).
Innenprodukt
Das innere Produkt verallgemeinert das DOT -Produkt auf abstrakte Vektorräume über ein aufstellen von Skalare, entweder das Feld von reale Nummern oder das Feld von komplexe Zahlen . Es wird normalerweise mit Verwendung bezeichnet Winkelhalterungen durch .
Das innere Produkt zweier Vektoren über dem Gebiet komplexer Zahlen ist im Allgemeinen eine komplexe Zahl und ist Sesquilinear statt bilinear. Ein innerer Produktraum ist a Normed Vektorraumund das innere Produkt eines Vektors mit sich selbst ist real und positiv definiert.
Funktionen
Das Punktprodukt ist für Vektoren definiert, die eine begrenzte Anzahl von Einträge. Somit können diese Vektoren als als Diskrete Funktionen: eine Länge-n Vektor u ist also eine Funktion mit Domain {k ∈ N ∣ 1 ≤ k ≤ n}, und ui ist eine Notation für das Bild von i durch die Funktion/den Vektor u.
Dieser Begriff kann auf verallgemeinert werden kontinuierliche Funktionen: So wie das innere Produkt auf Vektoren eine Summe über entsprechende Komponenten verwendet, wird das innere Produkt für Funktionen als ein Integral über einige definiert Intervall a ≤ x ≤ b (auch bezeichnet [a, b]):[2]
Weiter verallgemeinert zu Komplexe Funktionen ψ(x) und χ(x)Analogie mit dem komplexen inneren Produkt oben gibt[2]
Gewichtsfunktion
Innere Produkte können a haben Gewichtsfunktion (d. H. Eine Funktion, die jeden Begriff des inneren Produkts mit einem Wert gewichtet). Explizit das innere Produkt von Funktionen und in Bezug auf die Gewichtsfunktion ist
Dyadika und Matrizen
Ein Doppelprodukt für Matrizen ist der FROBENIUS INNER PRODUKT, was analog zum Punktprodukt für Vektoren ist. Es ist definiert als die Summe der Produkte der entsprechenden Komponenten von zwei Matrizen A und B der gleichen Größe:
- (Für echte Matrizen)
Schreiben einer Matrix als dyadischWir können ein anderes Doppel-Punkt-Produkt definieren (siehe Dyadika § Produkt von dyadisch und dyadisch,) Es ist jedoch kein inneres Produkt.
Tensoren
Das innere Produkt zwischen a Tensor von Ordnung n und ein Tensor der Ordnung m ist ein Tensor der Ordnung n + m - 2, sehen Tensorkontraktion für Details.
Berechnung
Algorithmen
Der unkomplizierte Algorithmus zur Berechnung eines Gleitpunkt-Punkt-Produktprodukts von Vektoren kann leiden Katastrophale Stornierung. Um dies zu vermeiden, Ansätze wie die Kahan -Summierungsalgorithmus werden verwendet.
Bibliotheken
Eine DOT -Produktfunktion ist enthalten in:
- Blas Level 1 Real SDOT, DDOT; komplexer Cdotu, zdotu = x^t * y, cdotc zdotc = x^h * y
- Julia wie
A' * B
- Matlab wie
A' * B
oderconj(transpose(A)) * B
odersum(conj(A) .* B)
- Gnu octave as
sum(conj(X) .* Y, dim)
- Intel Oneapi Math Kernel Library Real p? Dot dot = sub (x) '*sub (y); Komplex p? dotc dotc = konjg (sub (x) ')*sub (y)
Siehe auch
- Cauchy -Schwarz -Ungleichheit
- Kreuzprodukt
- DOT -Produktdarstellung eines Diagramms
- Euklidische Norm, die Quadratwurzel des Selbstpunktprodukts
- Matrix-Multiplikation
- Metrischer Tensor
- Multiplikation von Vektoren
- Außenprodukt
Anmerkungen
- ^ Der Begriff Skalarprodukt bedeutet buchstäblich "Produkt mit a Skalar infolgedessen ". Es wird auch manchmal für andere verwendet Symmetrische bilineare Formenzum Beispiel in a Pseudo-EUCLIDEN-Raum.
Verweise
- ^ a b "Skalarprodukt". www.mathsifun.com. Abgerufen 2020-09-06.
- ^ a b c d e f S. Lipschutz; M. Lipson (2009). Lineare Algebra (Schaums Umrisse) (4. Aufl.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-154352-1.
- ^ a b c M. R. Spiegel; S. Lipschutz; D. Spellman (2009). Vektoranalyse (Schaum -Umrisse) (2. Aufl.). McGraw Hill. ISBN 978-0-07-161545-7.
- ^ A i borisenko; I E Taparov (1968). Vektor- und Tensoranalyse mit Anwendungen. Übersetzt von Richard Silverman. Dover. p. 14.
- ^ Arfken, G. B.; Weber, H. J. (2000). Mathematische Methoden für Physiker (5. Aufl.). Boston, MA: Akademische Presse. S. 14–15. ISBN 978-0-12-059825-0..
- ^ Nykamp, Duane. "Das Punktprodukt". Mathematik Insight. Abgerufen 6. September, 2020.
- ^ Weisstein, Eric W. "Dot -Produkt." Von MathWorld-eine Wolfram-Webressource. http://mathworld.wolfram.com/dotproduct.html
- ^ T. Banchoff; J. Wermer (1983). Lineare Algebra durch Geometrie. Springer Science & Business Media. p. 12. ISBN 978-1-4684-0161-5.
- ^ A. Bedford; Wallace L. Fowler (2008). Engineering Mechanics: Statik (5. Aufl.). Prentice Hall. p. 60. ISBN 978-0-13-612915-8.
- ^ K.F. Riley; M.P. Hobson; S.J. Bence (2010). Mathematische Methoden für Physik und Technik (3. Aufl.). Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-86153-3.
- ^ M. Mansfield; C. O'Sullivan (2011). Physik verstehen (4. Aufl.). John Wiley & Sons. ISBN 978-0-47-0746370.
- ^ Berberian, Sterling K. (2014) [1992], Lineare Algebra, Dover, p. 287, ISBN 978-0-486-78055-9
Externe Links
- "Innenprodukt", Enzyklopädie der Mathematik, EMS Press, 2001 [1994]
- Erklärung des Punktprodukts einschließlich komplexer Vektoren
- "Skalarprodukt" von Bruce Torrence, Wolfram Demonstrationsprojekt, 2007.