Abteilung (Mathematik)

20/4 = 5, hier mit Äpfeln dargestellt. Dies wird verbal gesagt, "zwanzig geteilt durch vier entspricht fünf."

Aufteilung ist eine der vier grundlegenden Operationen von Arithmetik, wie Zahlen kombiniert werden, um neue Zahlen zu erzielen. Die anderen Operationen sind Zusatz, Subtraktion, und Multiplikation.

Auf einer Elementarebene die Teilung von zwei natürliche Zahlen ist unter anderem mögliche InterpretationenDer Prozess der Berechnung der Anzahl der Zeiten, die eine Zahl in einer anderen enthalten, ist.^{[1]: 7} Diese Häufigkeit muss nicht ein sein ganze Zahl. Wenn beispielsweise 20 Äpfel gleichmäßig zwischen 4 Personen unterteilt sind, erhält jeder 5 Äpfel (siehe Bild).

Das Aufteilung mit Rest oder Euklidische Division von zwei natürliche Zahlen Bietet eine Ganzzahl Quotient, was ist die Häufigkeit, mit der die zweite Zahl vollständig in der ersten Zahl enthalten ist, und a RestDies ist der Teil der ersten Zahl, der verbleibt, wenn im Verlauf des Quotienten kein weiterer Teil der Größe der zweiten Zahl zugewiesen werden kann. Wenn beispielsweise 21 Äpfel zwischen 4 Personen aufgeteilt sind, erhält jeder wieder 5 Äpfel und 1 Apple bleibt.

Damit die Teilung immer eine Zahl und nicht einen Quotienten plus einen Rest ergibt, müssen die natürlichen Zahlen auf erweitert werden Rationale Zahlen oder reale Nummern. In diesen vergrößerten Zahlensysteme, Division ist der inverse Betrieb zur Multiplikation, dh a = c / b meint a × b = c, so lange wie b ist nicht Null. Wenn b = 0dann ist das a Durch Null teilen, was nicht definiert ist.^{[a][4]: 246} In dem Beispiel von 21 APPPLE würde jeder 5 Apfel und ein Viertel eines Apfels erhalten, wodurch alle übrig gebliebenen Verbrückungen vermieden werden.

Beide Formen der Division erscheinen in verschiedenen algebraische Strukturen, unterschiedliche Methoden zur Definition der mathematischen Struktur. Diejenigen, in denen eine euklidische Division (mit Rest) definiert ist Euklidische Domänen und einschließen Polynomringe in Eins unbestimmt (die Multiplikation und Addition über einzeln Variablöser Formeln definieren). Diejenigen, in denen eine Teilung (mit einem einzigen Ergebnis) von allen Elementen ungleich Null definiert wird Felder und Divisionsringe. In einem Ring Die Elemente, mit denen die Teilung immer möglich ist Einheiten (Zum Beispiel 1 und –1 im Ring der Ganzzahlen). Eine weitere Verallgemeinerung der Teilung auf algebraische Strukturen ist die Quotientsgruppe, in dem das Ergebnis der "Division" eher eine Gruppe als eine Zahl ist.

Einführung

Die einfachste Art der Teilung der Teilung ist in Bezug auf Quote und Partition: aus der Quotenperspektive, 20 / 5 bedeutet die Anzahl der 5s, die hinzugefügt werden müssen, um 20 zu erhalten. In Bezug auf die Partition, 20 / 5 bedeutet die Größe jeder von 5 Teilen, in die ein Satz der Größe 20 geteilt wird. Zum Beispiel teilen sich 20 Äpfel in fünf Gruppen von vier Äpfeln, was bedeutet, dass dies bedeutet Zwanzig geteilt durch fünf entspricht vier. Dies wird als bezeichnet als als 20/5 = 4, oder 20/5 = 4.^[2] Was geteilt wird, heißt die Dividende, was geteilt durch die Divisorund das Ergebnis heißt das Quotient. In dem Beispiel 20 ist die Dividende, 5 der Divisor und 4 der Quotient.

Im Gegensatz zu den anderen grundlegenden Operationen gibt es manchmal a Rest Das wird nicht gleichmäßig in die Dividende eingehen; zum Beispiel, 10 / 3 hinterlässt einen Rest von 1, da 10 kein Vielfaches von 3. ist Bruchteil, Also 10 / 3 ist gleich 3+1/3 oder 3.33 ..., aber im Kontext von ganze Zahl Teilung, wobei Zahlen keinen fraktionalen Teil haben, wird der Rest getrennt gehalten (oder außergewöhnlich verworfen oder gerundet).^[5] Wenn der Rest als Bruch gehalten wird, führt er zu a Rationale Zahl. Die Menge aller rationalen Zahlen wird erstellt, indem die Ganzzahlen mit allen möglichen Ergebnissen von Zahlen von ganzen Zahlen erweitert werden.

Im Gegensatz zur Multiplikation und Addition ist die Division nicht kommutativ, bedeutet, dass a / b ist nicht immer gleich zu b / a.^[6] Teilung ist im Allgemeinen auch nicht assoziativDies bedeutet, dass die Reihenfolge der Teilung das Ergebnis ändern kann, wenn sie mehrmals geteilt wird.^[7] Zum Beispiel, (24/6) / 2 = 2, aber 24 / (6/2) = 8 (Wenn die Verwendung von Klammern angibt, dass die Operationen innerhalb von Klammern vor den Operationen außerhalb von Klammern ausgeführt werden).

Teilung wird traditionell als als angesehen als links-assoziativ. Das heißt, wenn es mehrere Abteilungen in einer Reihe gibt, verläuft die Berechnung der Berechnung von links nach rechts:^[8][9]

${\ displayStyle a/b/c = (a/b)/c = a/(b \ times c) \; \ neq \; a/(b/c) = (a \ mal c)/b.}$

Division ist Rechtsdistributive Über Zugabe und Subtraktion, in dem Sinne, dass

$oder PM {\ Frac {B} {C}}.}$

Dies ist dasselbe für Multiplikation, wie ${\ displayStyle (a+b) \ mal c = a \ mal c+b \ mal c}$. Die Teilung ist jedoch nicht linke Distributive, wie

$oder BC}}.}$ Zum Beispiel ${\ displaystyle {\ frac {12} {2+4}} = {\ frac {12} {6}} = 2,}$ aber ${\ displaystyle {\ frac {12} {2}}+{\ frac {12} {4}} = 6+3 = 9.}$

Dies ist anders als der Fall bei der Multiplikation, das sowohl linke als auch rechte Distributive ist, und damit verteilt.

Notation

Plus und Minus. Ein Obelus Wird als Variante des Minus -Anzeichens in einem Auszug aus einer offiziellen norwegischen Handelsaussage namens «næringsoppgave 1» für das Steuerjahr 2010 verwendet.

Die Teilung wird oft in Algebra und Wissenschaft gezeigt, indem sie die platzieren Dividende über dem Divisor mit einer horizontalen Linie, auch a genannt Fraktionsleiste, zwischen ihnen. Zum Beispiel, "a geteilt durch b"kann geschrieben als:

${\ displaystyle {\ frac {a} {b}}}$

das kann auch laut vorgelesen werden als "Teilen) a durch b" oder "a Über b". Eine Möglichkeit, Division in einer Zeile auszudrücken, besteht darin, die zu schreiben Dividende (oder Zähler), dann a Schrägstrich, dann ist die Divisor (oder Nenner), wie folgt:

${\ displayStyle a/b}$

Dies ist die übliche Möglichkeit, die Spaltung in den meisten Computer anzugeben Programmiersprachen, da es leicht als einfache Abfolge von tippt werden kann ASCII Figuren. (Es ist auch die einzige Notation, für die Quotientenobjekte in Zusammenfassung Algebra.) Etwas Mathematische Software, wie zum Beispiel Matlab und Gnu octaveErmöglicht die Operanden in umgekehrter Reihenfolge mit der Verwendung des Backslash als Divisionsbetreiber:

${\ displayStyle b \ Backslash a}$

Eine typografische Variation auf halbem Weg zwischen diesen beiden Formen verwendet a Solidus (Fraktionsstrich), erhöht aber die Dividende und senkt den Divisor:

${\ displaystyle {}^{a} \!/{} _ {b}}$

Jede dieser Formen kann verwendet werden, um a anzuzeigen Fraktion. Ein Bruch ist ein Teilungsausdruck, bei dem sowohl Dividende als auch Divisor sind Ganzzahlen (typischerweise als die genannt Zähler und Nenner), und es gibt keine Implikation, dass die Teilung weiter bewertet werden muss. Eine zweite Möglichkeit, Abteilung zu zeigen, besteht darin, die zu verwenden Divisionszeichen (÷, auch bekannt als Obelus Obwohl der Begriff zusätzliche Bedeutungen hat), auf diese Weise häufig in Arithmetik:

${\ displayStyle a \ div b}$

Diese Form ist nur in der Elementararithmetik selten. ISO 80000-2-9.6 Staaten es sollte nicht verwendet werden. Dieses Divisionszeichen wird auch allein verwendet, um die Abteilungsoperation selbst zu repräsentieren, wie zum Beispiel als Etikett für einen Schlüssel von a Taschenrechner. Der Obelus wurde vom Schweizer Mathematiker eingeführt Johann Rahn 1659 in Teutsche Algebra.^{[10]: 211} Das ÷ -Symbol wird verwendet, um die Subtraktion in einigen europäischen Ländern anzuzeigen, sodass seine Verwendung missverstanden werden kann.

In einigen nichtEnglisch-Sprechende Länder, ein Dickdarm wird verwendet, um die Teilung zu bezeichnen:^[11]

${\ displayStyle A: B}$

Diese Notation wurde von vorgestellt von Gottfried Wilhelm Leibniz in seinem 1684 Acta Eruditorum.^{[10]: 295} Leibniz mochte nicht separate Symbole für Verhältnis und Teilung. Im englischen Einsatz jedoch die Doppelpunkt ist beschränkt darauf, das verwandte Konzept von auszudrücken Verhältnisse.

Seit dem 19. Jahrhundert haben US -Lehrbücher verwendet ${\ displayStyle b) a}$ oder ${\ displaystyle b {\ overline {) a}}}$ zu bezeichnen a geteilt durch b, besonders wenn ich diskutiere Lange Division. Die Geschichte dieser Notation ist nicht ganz klar, weil sie sich im Laufe der Zeit entwickelt hat.^[12]

Computer

Manuelle Methoden

Die Teilung wird häufig durch den Begriff eingeführt, einen Satz von Objekten, beispielsweise einen Haufen Lollien, in eine Reihe gleicher Teile zu "teilen". Die Verteilung der Objekte mehrere gleichzeitig in jeder Teilenrunde für jeden Teil führt zur Idee von 'Chunking' - Eine Form der Teilung, in der man wiederholt Multiples des Divisors von der Dividende selbst subtrahiert.

Durch das Subtrahieren von mehr Vielfachen als der Teilrest können auch flexiblere Methoden wie die bidirektionale Variante des Chunkings entwickelt werden.

Systematischer und effizienter können zwei Ganzzahlen mit Bleistift und Papier mit der Methode von geteilt werden kurze Division, wenn der Divisor klein ist oder Lange Division, wenn der Divisor größer ist. Wenn die Dividende a hat fraktional Teil (ausgedrückt als Dezimalbruch), so kann man das Verfahren über den Ort überschreiten, der bis nach gewünscht ist. Wenn der Divisor einen fraktionalen Teil hat, kann man das Problem wiederholen, indem die Dezimalzahl in beiden Zahlen nach rechts bewegt wird, bis der Divisor keinen Bruchteil hat, was das Problem erleichtert (z. B. 10/2,5 = 100/25 = 4 ).

Teilung kann mit einem berechnet werden Abakus.^[13]

Logarithmus -Tabellen kann verwendet werden, um zwei Zahlen zu teilen, indem die Logarithmen der beiden Zahlen subtrahieren und dann die nachschlagen Antilogarithmus des Ergebnisses.

Teilung kann mit a berechnet werden Rechenschieber Durch Ausrichten des Divisors auf der C -Skala mit der Dividende auf der D -Skala. Der Quotient kann auf der D -Skala gefunden werden, wo er auf der C -Skala mit dem linken Index ausgerichtet ist. Der Benutzer ist jedoch dafür verantwortlich, den Dezimalpunkt geistig im Auge zu behalten.

Vom Computer

Modern Taschenrechner und Computers Berechnen Sie die Aufteilung entweder mit Methoden ähnlich wie Long Division oder mit schnelleren Methoden; sehen Divisionalgorithmus.

Im Modulararithmetik (Modulo eine Primzahl) und für reale Nummern, ungleich Null Nummern haben a multiplikativer Inverse. In diesen Fällen eine Aufteilung von x kann durch das multiplikative Umkehrung von als Produkt berechnet werden x. Dieser Ansatz ist häufig mit den schnelleren Methoden der Computerarithmetik verbunden.

Teilung in verschiedenen Kontexten

Euklidische Division

Die euklidische Aufteilung ist die mathematische Formulierung des Ergebnisses des üblichen Prozesses der Aufteilung der Ganzzahlen. Es behauptet, dass zwei ganze Zahlen, a, das Dividende, und b, das Divisor, so dass b ≠ 0, da gibt es einzigartig Ganzzahlen q, das Quotient, und r, der Rest, so dass a = bq + r und 0 ≤ r < |b|, wo |b| bezeichnet die absoluter Wert von b.

Von Ganzzahlen

Ganzzahlen sind es nicht abgeschlossen unter Abteilung. Abgesehen von der Aufteilung von Null, die undefiniert ist, ist der Quotient keine Ganzzahl, es sei denn, die Dividende ist ein ganzzahliges Vielfaches des Divisors. Zum Beispiel kann 26 nicht durch 11 geteilt werden, um eine Ganzzahl zu geben. Ein solcher Fall verwendet einen von fünf Ansätzen:

1. Sagen Sie, dass 26 nicht durch 11 geteilt werden kann; Division wird a Teilfunktion.
2. Geben Sie eine ungefähre Antwort als Schwimmpunktzahl. Dies ist der Ansatz normalerweise in Numerische Berechnung.
3. Geben Sie die Antwort als Fraktion darstellen a Rationale ZahlDas Ergebnis der Teilung von 26 bis 11 ist also ${\ displayStyle {\ tfrac {26} {11}}}$ (oder als gemischte Zahl, Also ${\ displaystyle {\ tfrac {26} {11}} = 2 {\ tfrac {4} {11}}.}$) Normalerweise sollte die resultierende Fraktion vereinfacht werden: Das Ergebnis der Aufteilung von 52 bis 22 ist ebenfalls ${\ displayStyle {\ tfrac {26} {11}}}$. Diese Vereinfachung kann durch Berücksichtigung der Faktor größter gemeinsamer Teiler.
4. Geben Sie die Antwort als Ganzzahl Quotient und ein Rest, Also ${\ displayStyle {\ tfrac {26} {11}} = 2 {\ mbox {Rest}} 4.}$ Um mit dem vorherigen Fall unterscheidet Euklidische Division, weil es die Grundlage der ist Euklidischer Algorithmus.
5. Geben Sie den Ganzzahlquotienten als Antwort so ${\ displayStyle {\ tfrac {26} {11}} = 2.}$ Dies ist das Bodenfunktion angewendet auf Fall 2 oder 3. Es wird manchmal genannt Ganzzahlabteilungund bezeichnet mit "//".

Ganzzahlen in a Computer Programm erfordert besondere Sorgfalt. Etwas ProgrammiersprachenBehandle Ganzzahl wie in Fall 5 oben, sodass die Antwort eine Ganzzahl ist. Andere Sprachen, wie z. Matlab Und jeder Computeralgebra -System Geben Sie eine rationale Nummer als Antwort zurück, wie in Fall 3 oben. Diese Sprachen bieten auch Funktionen, um die Ergebnisse der anderen Fälle direkt oder aus dem Ergebnis von Fall 3 zu erhalten.

Namen und Symbole, die für die Integer Division verwendet werden, umfassen Div, /, \ und%. Die Definitionen variieren in Bezug auf die Ganzzahlteilung, wenn die Dividende oder der Divisor negativ ist: Rundung kann in Richtung Null (so genannt T-Division) oder in Richtung sein −∞ (F-Division); Seltenere Stile können auftreten - siehe Modulo -Betrieb für die Details.

Spaltbarkeitsregeln kann manchmal verwendet werden, um schnell festzustellen, ob sich eine Ganzzahl genau in einen anderen unterteilt.

Von rationalen Zahlen

Das Ergebnis der Teilen von zwei Rationale Zahlen ist eine weitere rationale Zahl, wenn der Divisor nicht 0 ist. Die Aufteilung von zwei rationalen Zahlen p/q und r/s kann berechnet werden als

$oder$

Alle vier Mengen sind Ganzzahlen und nur p kann 0 sein. Diese Definition stellt sicher, dass die Teilung der inverse Betrieb von ist Multiplikation.

Realer Zahlen

Teilung von zwei reale Nummern führt zu einer weiteren reellen Zahl (wenn der Divisor ungleich Null ist). Es ist so definiert, dass a/b = c dann und nur dann, wenn a = CB und b ≠ 0.

Von komplexen Zahlen

Zwei trennen komplexe Zahlen (Wenn der Divisor ungleich Null ist) führt zu einer anderen komplexen Zahl, die unter Verwendung des Konjugats des Nenners gefunden wird:

$oder \ Over R^{2}+s^{2}} = {pr+qs \ Over R^{2}+s^{2}}+i {qr-ps \ über r^{2}+s^{ 2}}.}$

Dieser Prozess der Multiplizierung und Dividierung durch ${\ displayStyle r-is}$ wird als "Realisierung" bezeichnet oder (von Analogie) Rationalisierung. Alle vier Mengen p, q, r, s sind echte Zahlen und r und s Kann nicht beide 0 sein.

Die in polaren Form ausgedrückte Abteilung für komplexe Zahlen ist einfacher als die obige Definition:

$oder } e^{i (q-s)}.}$

Wieder alle vier Mengen p, q, r, s sind echte Zahlen und r darf nicht 0 sein.

Von Polynomen

Man kann den Abteilungsvorgang für definieren Polynome in einer Variablen über a aufstellen. Dann hat man wie bei Ganzzahlen einen Rest. Sehen Euklidische Aufteilung der Polynomeund für handgeschriebene Berechnung, Polynom lange Division oder Synthetische Abteilung.

Von Matrizen

Man kann einen Teilungsvorgang für Matrizen definieren. Der übliche Weg, dies zu tun, besteht darin, zu definieren A / B = Ab^–1, wo B^–1 bezeichnet die umgekehrt von B, aber es ist weitaus häufiger zu schreiben Ab^–1 Explizit, um Verwirrung zu vermeiden. Ein Elementweise Aufteilung kann auch in Bezug auf die definiert werden Hadamard -Produkt.

Linke und rechte Division

Da Matrix-Multiplikation ist nicht kommutativ, man kann auch a definieren Linksdivision oder so genannt Backslash-Division wie A \ B = A^–1B. Damit dies gut definiert werden kann, B^–1 Ich muss jedoch nicht existieren A^–1 muss existieren. Um Verwirrung zu vermeiden, Teilung im Sinne von definiert von A / B = Ab^–1 wird manchmal genannt Rechte Division oder Slash-Division in diesem Zusammenhang.

Beachten Sie, dass die linke und rechte Spaltung auf diese Weise definiert wird, A / (BC) ist im Allgemeinen nicht dasselbe wie (A / B) / C, weder noch (Ab) \ C das Gleiche wie A \ (B \ C). Das hält das jedoch A / (BC) = ((A / C) / B und (Ab) \ C = B \ (A \ C).

Pseudoinverse

Probleme zu vermeiden, wenn A^–1 und/oder B^–1 Nicht existieren, Division kann auch als Multiplikation von der definiert werden Pseudoinverse. Das ist, A / B = Ab⁺ und A \ B = A⁺B, wo A⁺ und B⁺ bezeichnen die Pseudoinversen von A und B.

Zusammenfassung Algebra

Im Zusammenfassung Algebra, angenommen Magma mit Binäroperation ∗ (was nominell als Multiplikation bezeichnet werden kann), Linksdivision von b durch a (geschrieben a \ b) wird typischerweise als Lösung definiert x zur Gleichung a ∗ x = b, wenn dies existiert und einzigartig ist. Ähnlich, Rechte Division von b durch a (geschrieben b / a) ist die Lösung y zur Gleichung y ∗ a = b. In diesem Sinne muss nicht bestimmte Eigenschaften (wie Commutativität, Assoziativität oder ein Identitätselement) aufgetragen werden.

"Division" im Sinne einer "Stornierung" kann in jedem Magma durch ein Element mit dem durchgeführt werden Stornierungseigenschaft. Beispiele beinhalten Matrix Algebren und Quaternion Algebren. EIN Quasigroup ist eine Struktur, in der die Teilung immer möglich ist, auch ohne Identitätselement und damit inversen. In einem (n Integrale Domäne, wo nicht jedes Element ein inverse muss, Aufteilung durch ein chancellatives Element a kann noch an Elementen der Form durchgeführt werden ab oder ca. durch linke bzw. rechte Stornierung. Wenn ein Ring ist endlich und jedes ungleich Null -Element ist kancellativ, dann durch eine Anwendung der Pigeonhole -Prinzip, jedes ungleicher Element des Rings ist invertierbar und Aufteilung durch jedes ungleich Null -Element ist möglich. Zu erfahren, wann Algebren (Im technischen Sinne) haben Sie einen Abteilungsbetrieb, siehe Seite auf Divisionalgebras. Im Speziellen Bottle Periodizität kann verwendet werden, um zu zeigen, dass jeder real Normierte Division Algebra muss sein isomorph zu entweder die realen Zahlen R, das komplexe Zahlen C, das Quaternionen H, oder der Oktonionen O.

Infinitesimalrechnung

Das Derivat des Quotienten von zwei Funktionen wird von der gegeben Quotientenregel:

$oder$

Durch Null teilen

Aufteilung einer beliebigen Zahl durch Null In den meisten mathematischen Systemen ist undefiniert, da Null multipliziert mit einer endlichen Zahl immer zu einem führt Produkt von null.^[14] Eintritt eines solchen Ausdrucks in die meisten Taschenrechner erstellt eine Fehlermeldung. In bestimmten Mathematikabteilung auf höherer Ebene durch Null ist jedoch durch die möglich Null Ring und Algebren wie Räder.^[15] In diesen Algebren unterscheidet sich die Bedeutung der Teilung von traditionellen Definitionen.

Siehe auch

• 400AD Sunzi Division Algorithmus
• Division um zwei
• Galeere Division
• Umgekehrtes Element
• Operationsreihenfolge
• Dezimal wiederholen

Anmerkungen

Verweise

Externe Links

• Planetmath Division
• Abteilung auf einem japanischen Abakus ausgewählt von Abakus: Geheimnis der Perle
• Chinesische Kurzabteilungstechniken in einer Suan Pan
• Regeln der Spaltbarkeit