Diskrete Zeit und kontinuierliche Zeit

Im Mathematische Dynamik, Diskrete Zeit und kontinuierliche Zeit sind zwei alternative Frameworks, in denen Variablen Das entwickelt sich im Laufe der Zeit modelliert.

Diskrete Zeit

Diskrete Zeit Ansichten Werte von Variablen, die in unterschiedlichen, getrennten "Zeitpunkten" oder gleichbedeutend mit der gesamten Zeit ungleich Null ("Zeitperiode") auftreten-dh die Zeit wird als als angesehen Diskrete Variable. Somit springt eine Nicht-Zeit-Variable von einem Wert zum anderen, wenn sich die Zeit von einem Zeitraum zum nächsten bewegt. Diese Zeitansicht entspricht einer digitalen Uhr, die für eine Weile eine feste Lesung von 10:37 enthält und dann zu einer neuen festen Lesung von 10:38 usw. springt. In diesem Rahmen wird jede Variable von Interesse an jedem einmal gemessen Zeitraum. Die Anzahl der Messungen zwischen zwei Zeiträumen ist endlich. Messungen werden typischerweise bei sequentiellem durchgeführt ganze Zahl Werte der Variablen "Zeit".

A diskretes Signal oder diskretes Signal ist ein Zeitfolgen bestehend aus a Reihenfolge von Mengen.

Im Gegensatz zu einem kontinuierlichen Zeitsignal ist ein diskretes Signal keine Funktion eines kontinuierlichen Arguments. Es kann jedoch möglicherweise erhalten worden sein von Probenahme aus einem kontinuierlichen Signal. Wenn ein diskretes Signal erhalten wird, indem eine Sequenz zu gleichmäßig verteilten Zeiten abgetastet wird, hat es eine zugeordnete Abtastrate.

Diskrete Zeitsignale können mehrere Ursprünge haben, können jedoch normalerweise in eine von zwei Gruppen eingeteilt werden:^[1]

• Durch Erwerb von Werten von a Analogsignal bei konstanter oder variabler Geschwindigkeit. Dieser Prozess wird genannt Probenahme.^[2]
• Durch Beobachtung eines von Natur aus diskreten Zeitprozesses, wie z. B. den wöchentlichen Spitzenwert eines bestimmten wirtschaftlichen Indikators.

Kontinuierliche Zeit

Im Gegensatz, kontinuierliche Zeit Ansichten Variablen als einen bestimmten Wert für potenziell nur eine unendlich kurze Zeit. Zwischen zwei beliebigen Zeitpunkten gibt es eine unendlich Anzahl anderer Zeitpunkte. Die variable "Zeit" reicht über die gesamte reelle Zahlenzeileoder abhängig vom Kontext über eine Teilmenge davon wie die nicht negativen Realis. Somit wird die Zeit als als angesehen kontinuierliche Variable.

A kontinuierliches Signal oder ein kontinuierlicher Zeitsignal ist eine variierende Anzahl (a Signal) deren Domäne, die oft Zeit ist, ist a Kontinuum (z. B. a in Verbindung gebracht Intervall der Real). Das heißt, die Domäne der Funktion ist eine unzähliger Set. Die Funktion selbst muss nicht sein kontinuierlich. Gegenüber, a diskrete Zeit Signal hat a zählbar Domäne wie die natürliche Zahlen.

Ein Signal der kontinuierlichen Amplitude und der Zeit wird als kontinuierlicher Zeitsignal oder als als bezeichnet Analogsignal. Dies ein Signal) wird zu jedem Zeitpunkt einen gewissen Wert haben. Die im Verhältnis zu den physikalischen Größen wie Temperatur, Druck, Schall usw. abgeleiteten elektrischen Signalen sind im Allgemeinen kontinuierliche Signale. Andere Beispiele für kontinuierliche Signale sind Sinuswellen, Kosinuswelle, dreieckige Welle usw.

Das Signal wird über eine Domäne definiert, die möglicherweise endlich ist oder nicht, und es gibt eine funktionale Zuordnung von der Domäne zum Wert des Signals. Die Kontinuität der Zeitvariable im Zusammenhang mit dem Gesetz der Dichte von Dichte von reale Nummernbedeutet, dass der Signalwert zu jedem beliebigen Zeitpunkt gefunden werden kann.

Ein typisches Beispiel für ein unendliches Dauersignal ist:

${\ displayStyle f (t) = \ sin (t), \ quad t \ in \ mathbb {r}}$

Ein eindeutiges Gegenstück über das obige Signal könnte sein:

${\ displayStyle f (t) = \ sin (t), \ quad t \ in [-\ pi, \ pi]}$ und ${\ displayStyle f (t) = 0}$ Andernfalls.

Der Wert eines endlichen (oder unendlichen) Dauersignals kann endlich sein oder nicht. Zum Beispiel,

${\ displayStyle f (t) = {\ frac {1} {t}}, \ quad t \ in [0,1]}$ und ${\ displayStyle f (t) = 0}$ Andernfalls,

ist ein endliches Dauersignal, aber es braucht einen unendlichen Wert für ${\ displayStyle t = 0 \,}$.

In vielen Disziplinen ist die Konvention, dass ein kontinuierliches Signal immer einen endlichen Wert haben muss, was bei physischen Signalen sinnvoller ist.

Für einige Zwecke sind unendliche Singularitäten akzeptabel, solange das Signal in jedem endlichen Intervall integriert werden kann (z. B. die, die ${\ displayStyle t^{-1}}$ Signal ist in unendlich nicht integrierbar, aber ${\ displayStyle t^{-2}}$ ist).

Jedes analoge Signal ist von Natur aus kontinuierlich. Diskrete Signale, benutzt in digitale Signalverarbeitung, kann durch erhalten werden durch Probenahme und Quantisierung von kontinuierlichen Signalen.

Kontinuierliches Signal kann auch über eine andere unabhängige Variable als die Zeit definiert werden. Eine weitere sehr häufige unabhängige Variable ist Raum und ist besonders nützlich in Bildverarbeitung, wo zwei Raumabmessungen verwendet werden.

Relevante Kontexte

Diskrete Zeit wird häufig verwendet, wenn empirisch Messungen sind beteiligt, da es normalerweise nur möglich ist, Variablen nacheinander zu messen. Zum Beispiel während Wirtschaftstätigkeit Tatsächlich tritt tatsächlich kontinuierlich auf, da es keinen Moment gibt, in dem die Wirtschaft völlig in einer Pause ist, es ist nur möglich, die wirtschaftliche Aktivität diskret zu messen. Aus diesem Grund veröffentlichte zum Beispiel Daten zum Beispiel zu Bruttoinlandsprodukt wird eine Sequenz von zeigen vierteljährlich Werte.

Wenn man versucht, solche Variablen in Bezug auf andere Variablen und/oder ihre eigenen vorherigen Werte empirisch zu erklären, verwendet man Zeitfolgen oder Regression Methoden, bei denen Variablen mit einem Index indiziert sind, das den Zeitraum angibt, in dem die Beobachtung aufgetreten ist. Zum Beispiel, y_t könnte sich auf den Wert von beziehen Einkommen im nicht näher bezeichneten Zeitraum beobachtet t, y₃ zum Wert des Einkommens, der im dritten Zeitraum beobachtet wird, usw.

Wenn ein Forscher versucht, eine Theorie zu entwickeln, um zu erklären, was in diskreter Zeit beobachtet wird, wird die Theorie selbst häufig in diskreter Zeit ausgedrückt, um die Entwicklung eines Zeitreihen- oder Regressionsmodells zu erleichtern.

Andererseits ist es oft mathematischer flehbar konstruieren Theoretische Modelle in kontinuierlicher Zeit und oft in Bereichen wie Physik Eine genaue Beschreibung erfordert die Verwendung der kontinuierlichen Zeit. In einem kontinuierlichen Zeitkontext der Wert einer Variablen y zu einem nicht näher bezeichneten Zeitpunkt wird als bezeichnet als als y(t) oder, wenn die Bedeutung klar ist, einfach als y.

Arten von Gleichungen

Diskrete Zeit

Diskrete Zeit nutzt von Differenzgleichungenauch als Rezidivbeziehungen bekannt. Ein Beispiel, bekannt als die Logistische Karte oder logistische Gleichung, ist

${\ displaystyle x_ {t+1} = rx_ {t} (1-x_ {t}),},},},}$

in welchem r ist ein Parameter im Bereich von 2 bis 4 inklusive und x ist eine Variable im Bereich von 0 bis 1 inklusive, deren Wert in Periode t nichtlinear betrifft seinen Wert in der nächsten Periode, t+1. Zum Beispiel wenn ${\ displayStyle r = 4}$ und ${\ displayStyle x_ {1} = 1/3}$, dann für t= 1 Wir haben ${\ displayStyle x_ {2} = 4 (1/3) (2/3) = 8/9}$, und für t= 2 wir haben ${\ displaystyle x_ {3} = 4 (8/9) (1/9) = 32/81}$.

Ein weiteres Beispiel modelliert die Einstellung von a Preis P als Reaktion auf ungleich Null übermäßige Nachfrage für ein Produkt als

${\ displaystyle p_ {t+1} = p_ {t}+\ delta \ cdot f (p_ {t}, ...)}$

wo ${\ displayStyle \ Delta}$ ist der Parameter der positiven Einstellungsgeschwindigkeit, der kleiner oder gleich 1 ist, und wo ${\ displayStyle f}$ ist der überschüssige Nachfragefunktion.

Kontinuierliche Zeit

Kontinuierliche Zeit nutzt von Differentialgleichung. Zum Beispiel die Anpassung eines Preises P Als Reaktion auf überschüssige Nachfrage außerhalb Nulls nach einem Produkt kann in kontinuierlicher Zeit als modelliert werden

${\ displaystyle {\ frac {dp} {dt}} = \ lambda \ cdot f (p, ...)}$

wo die linke Seite die ist Erstesivat des Preises in Bezug auf die Zeit (dh die Änderungsänderung des Preises), ${\ displayStyle \ lambda}$ ist der Parameter der Einstellungsgeschwindigkeit, der eine positive endliche Zahl sein kann, und ${\ displayStyle f}$ ist wieder die überschüssige Nachfragefunktion.

Grafische Darstellung

Eine in diskrete Zeit gemessene Variable kann als a aufgetragen werden Stufenfunktion, in denen jeder Zeitraum eine Region auf der horizontale Achse von der gleichen Länge wie in jedem anderen Zeitraum, und die gemessene Variable wird als Höhe aufgetragen, die im gesamten Bereich des Zeitraums konstant bleibt. In dieser grafischen Technik erscheint die Grafik als Folge horizontaler Schritte. Alternativ kann jeder Zeitraum als abgetrennter Zeitpunkt angesehen werden, normalerweise bei einem Ganzzahlwert auf der horizontalen Achse, und die gemessene Variable wird als Höhe über diesem Zeitaxisspunkt dargestellt. In dieser Technik erscheint die Grafik als Punkte von Punkten.

Die Werte einer in kontinuierlichen Zeit gemessenen Variablen werden als a aufgetragen kontinuierliche FunktionDa der Bereich der Zeit als die gesamte reale Achse oder zumindest ein verbundener Teil davon angesehen wird.

Siehe auch

Verweise

• Gershenfeld, Neil A. (1999). Die Natur der mathematischen Modellierung. Cambridge University Press. ISBN 0-521-57095-6.

• Wagner, Thomas Charles Gordon (1959). Analytische Transienten. Wiley.