Diskrete Mathematik

Grafiken So sind dies zu den von diskreten Mathematik untersuchten Objekten für ihre interessanten Mathematische Eigenschaften, ihre Nützlichkeit als Modelle realer Probleme und ihre Bedeutung für die Entwicklung von Computer Algorithmen.

Diskrete Mathematik ist das Studium von Mathematische Strukturen das kann als "diskret" angesehen werden (auf eine Weise analog zu Diskrete Variablen, ein ... haben Bijection mit dem Satz von natürliche Zahlen) und nicht "kontinuierlich" (analog zu kontinuierliche Funktionen). Zu den in diskreten Mathematik untersuchten Objekten gehören Ganzzahlen, Grafiken, und Aussagen in Logik.^[1][2][3][4] Im Gegensatz dazu schließt diskrete Mathematik Themen in "kontinuierlicher Mathematik" aus, wie z. reale Nummern, Infinitesimalrechnung oder Euklidische Geometrie. Diskrete Objekte können oft sein aufgezählt durch Ganzzahlen; Formaler wurde diskrete Mathematik als Zweig der Mathematik gekennzeichnet, die es zu tun hat Zählbare Sets^[5] (endliche Sätze oder Sätze mit demselben Kardinalität als natürliche Zahlen). Es gibt jedoch keine genaue Definition des Begriffs "diskrete Mathematik".^[6]

Die in diskreten Mathematik untersuchten Objekte kann endlich oder unendlich sein. Der Begriff Finite Mathematik wird manchmal auf Teile des Bereichs der diskreten Mathematik angewendet, die sich mit endlichen Sätzen befassen, insbesondere der für das Unternehmen relevanten Bereiche.

Die Forschung in der diskreten Mathematik stieg in der zweiten Hälfte des 20. Jahrhunderts teilweise aufgrund der Entwicklung von Digitale Computer die in "diskreten" Schritten arbeiten und Daten in "diskreten" Bits speichern. Konzepte und Notationen aus diskreten Mathematik sind nützlich, um Objekte und Probleme in Zweigen von zu untersuchen und zu beschreiben Informatik, wie zum Beispiel Computeralgorithmen, Programmiersprachen, Kryptographie, automatisierter Theorem beweisen, und Software-Entwicklung. Umgekehrt sind Computerimplementierungen von erheblichem Antrag auf Ideen von diskreten Mathematik auf reale Probleme.

Obwohl die wichtigsten Studienobjekte in diskreter Mathematik diskrete Objekte sind, sind analytisch Es werden häufig auch Methoden aus "kontinuierlicher" Mathematik angewendet.

In den Lehrplänen der Universität erschien "Discrete Mathematics" in den 1980er Jahren, zunächst als Informatik -Support -Kurs; Sein Inhalt war zu dieser Zeit etwas zufällig. Der Lehrplan hat sich danach in Verbindung mit Bemühungen entwickelt ACM und Maa in einen Kurs, der sich im Grunde entwickeln soll Mathematische Reife in Studenten im ersten Jahr; Daher ist es heutzutage auch eine Voraussetzung für Mathematik -Majors an einigen Universitäten.^[7][8] Es sind auch einige diskrete Mathematik-Lehrbücher auf High-School-Ebene aufgetreten.^[9] Auf dieser Ebene wird diskrete Mathematik manchmal als vorbereitender Kurs angesehen, nicht anders als Vorkalkulus insofern.^[10]

Das Fulkerson -Preis wird für ausstehende Papiere in diskreter Mathematik ausgezeichnet.

Große Herausforderungen, Vergangenheit und Gegenwart

Viel Forschung in Graphentheorie wurde motiviert durch Versuche zu beweisen, dass alle Karten wie diese sein können farbig Verwendung Nur vier Farben so dass keine Bereiche der gleichen Farbe eine Kante haben. Kenneth Appel und Wolfgang Haken bewies dies 1976.^[11]

Die Geschichte diskreter Mathematik hat eine Reihe herausfordernder Probleme mit sich, die sich auf die Aufmerksamkeit in Bereichen des Feldes konzentriert haben. In der Graphentheorie wurde viel Forschung durch Versuche motiviert, das zu beweisen Vier Farbsatz, erstmals 1852 angegeben, aber erst 1976 nachgewiesen (von Kenneth Appel und Wolfgang Haken unter Verwendung erheblicher Computerhilfe).^[11]

Im Logik, das Zweites Problem an David Hilbert's Liste der offenen Probleme Präsentiert im Jahr 1900 war zu beweisen, dass die Axiome von Arithmetik sind konsistent. Gödels zweiter Unvollständigkeitstheorem, beweisen 1931, zeigten, dass dies nicht möglich war - zumindest nicht innerhalb der Arithmetik selbst. Hilberts zehnte Problem Es war zu bestimmen, ob ein bestimmtes Polynom Diophantinengleichung Mit ganzzahligen Koeffizienten hat eine ganzzahlige Lösung. 1970,, Yuri Matiyasevich bewies das konnte nicht getan werden.

Das Bedürfnis zu Unterbrechung Deutsche Codes in Zweiter Weltkrieg führte zu Fortschritten in Kryptographie und Theoretische Informatik, mit dem Erster programmierbarer digitaler elektronischer Computer bei England entwickelt werden Bletchley Park mit der Anleitung von Alan Turing und seine wegweisende Arbeit auf berechnungsbare Zahlen.^[12] Das Kalter Krieg bedeutete, dass die Kryptographie wichtig blieb, mit grundlegenden Fortschritten wie z. Kryptographie der Öffentlichkeit in den folgenden Jahrzehnten entwickelt. Das Telekommunikation Die Industrie hat auch Fortschritte in der diskreten Mathematik motiviert, insbesondere in der Graphentheorie und Informationstheorie. Formelle Überprüfung von Aussagen in der Logik war erforderlich für Software-Entwicklung von Sicherheitskritische Systemeund Fortschritte in automatisierter Theorem beweisen wurden von diesem Bedarf angetrieben.

Computergeometrie war ein wichtiger Teil der Computergrafik in modern eingebaut Videospiele und computergestütztes Design Werkzeug.

Mehrere Bereiche diskreter Mathematik, insbesondere theoretische Informatik, Graphentheorie, und Kombinatoriksind wichtig, um die Herausforderung anzugehen Bioinformatik Probleme im Zusammenhang mit dem Verständnis der Baum des Lebens.^[13]

Derzeit ist eines der bekanntesten offenen Probleme in der theoretischen Informatik die P = NP -Problem, die die Beziehung zwischen dem beinhaltet Komplexitätsklassen P und Np. Das Clay Mathematics Institute hat 1 Million US -Dollar angeboten USD Preis für den ersten korrekten Beweis sowie Preise für Sechs weitere mathematische Probleme.^[14]

Themen in der diskreten Mathematik

Theoretische Informatik

Komplexität untersucht die Zeit von Algorithmenso wie das Sortierroutine.

Computergeometrie Wendet Computer an Algorithmen zu Darstellungen von geometrisch Objekte.

Theoretische Informatik umfasst Bereiche diskreter Mathematik, die für das Computer relevant sind. Es zieht sich stark auf Graphentheorie und Mathematische Logik. In der theoretischen Informatik ist die Untersuchung von Algorithmen und Datenstrukturen enthalten. Berechnbarkeit Untersucht, was grundsätzlich berechnet werden kann, und hat enge Verbindungen zur Logik, während die Komplexität die Zeit, den Raum und andere Ressourcen untersucht, die durch Berechnungen aufgenommen werden. Automatenheorie und formelle Sprache Die Theorie hängt eng mit der Berechnbarkeit zusammen. Petri Nets und Prozessalgebren werden verwendet, um Computersysteme zu modellieren, und Methoden aus diskreten Mathematik werden zur Analyse verwendet VLSI elektronische Schaltkreise. Computergeometrie wendet Algorithmen auf geometrische Probleme und Darstellungen von an geometrisch Objekte während Computerbildanalyse wendet sie auf Darstellungen von Bildern an. Die theoretische Informatik umfasst auch die Untersuchung verschiedener kontinuierlicher Computerthemen.

Informationstheorie

Das ASCII Codes für das Wort "Wikipedia", das hier in gegeben ist binär, geben Sie eine Möglichkeit, das Wort in darzustellen Informationstheoriesowie für die Informationsverarbeitung Algorithmen.

Informationstheorie beinhaltet die Quantifizierung von Information. Eng verwandt ist Codierungstheorie Dies wird verwendet, um effiziente und zuverlässige Datenübertragungs- und Speichermethoden zu entwerfen. Die Informationstheorie enthält auch kontinuierliche Themen wie: Analoge Signale, Analog -Codierung, Analoge Verschlüsselung.

Logik

Logik ist das Studium der Grundsätze des gültigen Denkens und Inferenzsowie von Konsistenz, Solidität, und Vollständigkeit. Zum Beispiel in den meisten Logiksystemen (aber nicht in intuitionistische Logik) Peirces Gesetz ((((P→Q) →P) →P) ist ein Satz. Für die klassische Logik kann es leicht mit a überprüft werden Wahrheitstabelle. Das Studium der mathematischer Beweis ist besonders wichtig in der Logik und hat Anwendungen zu automatisierter Theorem beweisen und formelle Überprüfung von Software.

Logische Formeln sind diskrete Strukturen wie sind Beweise, die endlich bilden Bäume^[15] oder allgemeiner, Regie acyclische Graphen Strukturen^[16][17] (mit jedem Inferenzschritt Kombinieren Sie einen oder mehrere Prämisse Zweige, um eine einzige Schlussfolgerung zu ziehen). Das Wahrheitswerte von logischen Formeln bilden normalerweise einen endlichen Satz, der im Allgemeinen auf zwei Werte beschränkt ist: Stimmt und FALSCH, aber Logik kann auch kontinuierlich bewertet werden, z. B.,, Fuzzy Logic. Konzepte wie unendliche Beweisbäume oder unendliche Ableitungsbäume wurden ebenfalls untersucht.^[18] z.B. Infinitarische Logik.

Mengenlehre

Die festgelegte Theorie ist der Zweig der Mathematik, der untersucht Sets, die Sammlungen von Objekten sind, wie {blau, weiß, rot} oder der (unendliche) Satz von allen Primzahlen. Teilweise bestellte Sets und setzt mit anderen Beziehungen Bewerbungen in mehreren Bereichen haben.

In diskreten Mathematik, Zählbare Sets (einschließlich Finite -Sets) sind der Schwerpunkt. Der Beginn der festgelegten Theorie als Zweig der Mathematik ist normalerweise durch gekennzeichnet durch Georg Cantor's Arbeit zwischen verschiedenen Arten von unterscheiden Infinite Setmotiviert durch die Untersuchung trigonometrischer Serien und die Weiterentwicklung der Theorie der unendlichen Sets liegt außerhalb des Rahmens der diskreten Mathematik. In der Tat zeitgenössische Arbeit in Beschreibende festgelegte Theorie führt zu einer umfassenden Verwendung traditioneller kontinuierlicher Mathematik.

Kombinatorik

Kombinatorik untersucht die Art und Weise, wie diskrete Strukturen kombiniert oder angeordnet werden können.Aufzählende Kombinatorik Konzentriert sich auf das Zählen der Anzahl bestimmter kombinatorischer Objekte - z. das Zwölfsweg Bietet einen einheitlichen Rahmen für das Zählen Permutationen, Kombinationen und Partitionen.Analytische Kombinatorik betrifft die Aufzählung (d. H. Die Anzahl der Anzahl) von kombinatorischen Strukturen unter Verwendung von Tools von Komplexe Analyse und Wahrscheinlichkeitstheorie. Im Gegensatz zu auflisteten Kombinatorik, die explizite kombinatorische Formeln verwendet und Funktionen erzeugen Um die Ergebnisse zu beschreiben, zielt die analytische Kombinatorik darauf ab, zu erhalten Asymptotische Formeln.Topological combinatorics betrifft die Verwendung von Techniken aus Topologie und Algebraische Topologie/Kombinatorische Topologie in Kombinatorik. Die Designtheorie ist eine Studie von Kombinatorische Designs, die Sammlungen von Teilmengen mit bestimmten Überschneidung Eigenschaften.Partitionstheorie Untersucht verschiedene Aufzählung und asymptotische Probleme im Zusammenhang mit Ganzzahl -Partitionenund ist eng verwandt mit Q-Serie, Spezialfunktionen und orthogonale Polynome. Ursprünglich ein Teil von Zahlentheorie und AnalyseDie Partitionstheorie wird jetzt als Teil der Kombinatorik oder eines unabhängigen Feldes angesehen.Ordnungstheorie ist das Studium von teilweise bestellte Setssowohl endlich als auch unendlich.

Graphentheorie

Graphentheorie hat enge Links zu Gruppentheorie. Dies verkürzter Tetraeder Grafik bezieht sich auf die Wechselgruppe A₄.

Graphentheorie, die Studie von Grafiken und Netzwerke, wird oft als Teil der Kombinatorik angesehen, ist aber groß genug geworden, mit eigenen Problemen groß genug, um als eigenes Thema als eigenes Thema angesehen zu werden.^[19] Grafiken sind eines der Hauptstudienobjekte in der diskreten Mathematik. Sie gehören zu den allgegenwärtigsten Modellen sowohl natürlicher als auch menschlicher Strukturen. Sie können viele Arten von Beziehungen und Prozessdynamik in physischen, biologischen und sozialen Systemen modellieren. In Informatik können sie Netzwerke der Kommunikation, Datenorganisation, Computergeräte, Berechnungsfluss usw. darstellen. In der Mathematik sind sie in der Geometrie und bestimmten Teilen von nützlich Topologie, z.B. Knotentheorie. Algebraische Graphentheorie hat enge Verbindungen zur Gruppentheorie und Topologische Graphentheorie hat enge Links zu Topologie. Es gibt auch kontinuierliche Grafiken; Zum größten Teil fällt die Forschung in der Graphentheorie jedoch in den Bereich der diskreten Mathematik.

Zahlentheorie

Das Ulam -Spirale von Zahlen, mit schwarzen Pixeln, die zeigen Primzahlen. Dieses Diagramm deutet auf Muster in der Verteilung von Primzahlen.

Die Zahlentheorie befasst sich insbesondere mit den Eigenschaften von Zahlen im Allgemeinen Ganzzahlen. Es hat Anwendungen zu Kryptographie und Kryptanalyseinsbesondere in Bezug auf Modulararithmetik, Diophantinengleichungen, lineare und quadratische Kongruenzen, Primzahlen und Primalitätstest. Andere diskrete Aspekte der Zahlentheorie umfassen Geometrie der Zahlen. Im analytische ZahlentheorieEs werden auch Techniken aus kontinuierlicher Mathematik verwendet. Themen, die über diskrete Objekte hinausgehen Transzendentale Zahlen, Diophantinische Näherung, P-adische Analyse und Funktionsfelder.

Algebraische Strukturen

Algebraische Strukturen treten sowohl als diskrete Beispiele als auch als kontinuierliche Beispiele auf. Diskrete Algebren umfassen: boolsche Algebra benutzt in Logik -Tore und Programmierung; Relationale Algebra benutzt in Datenbanken; diskrete und endliche Versionen von Gruppen, Ringe und Felder sind wichtig in Algebraische Codierungstheorie; diskret Semigroups und Monoide erscheinen in der Theorie von formelle Sprachen.

Diskrete Analoga der kontinuierlichen Mathematik

Es gibt viele Konzepte und Theorien in kontinuierlicher Mathematik, die diskrete Versionen haben, wie z. diskrete Berechnung, Diskrete Fourier -Transformationen, Diskrete Geometrie, Diskrete Logarithmen, Diskrete Differentialgeometrie, diskreter Außenberechnung, Diskrete Morse -Theorie, Diskrete Optimierung, Diskrete Wahrscheinlichkeitstheorie, Diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung, Differenzgleichungen, Diskrete dynamische Systeme, und Diskrete Vektormaßnahmen.

Berechnung von endlichen Unterschieden, diskrete Analyse und diskreter Berechnung

Im diskrete Berechnung und die Berechnung endlicher Unterschiede, a Funktion definiert in einem Intervall der Ganzzahlen wird normalerweise als a genannt Reihenfolge. Eine Sequenz könnte eine endliche Sequenz von einer Datenquelle oder eine unendliche Sequenz von a sein diskretes dynamisches System. Eine solche diskrete Funktion könnte explizit durch eine Liste definiert werden (wenn ihre Domäne endlich ist) oder durch eine Formel für ihren allgemeinen Begriff, oder sie könnte implizit von a angegeben werden Rezidivbeziehung oder Differenzgleichung. Differenzgleichungen sind ähnlich wie Differentialgleichung, aber ersetzen Unterscheidung durch den Unterschied zwischen benachbarten Begriffen; Sie können verwendet werden, um Differentialgleichungen zu approximieren oder (häufiger) für sich allein zu studieren. Viele Fragen und Methoden zu Differentialgleichungen haben Gegenstücke für Differenzgleichungen. Zum Beispiel wo es gibt Integrale Transformationen in Harmonische Analyse Um kontinuierliche Funktionen oder analoge Signale zu untersuchen, gibt es Diskrete Transformationen für diskrete Funktionen oder digitale Signale. Ebenso gut wie Diskrete metrische RäumeEs gibt allgemeiner Diskrete topologische Räume, Finite metrische Räume, Finite topologische Räume.

Das Zeitskala -Kalkül ist eine Vereinigung der Theorie von Differenzgleichungen mit dem von Differentialgleichung, mit Anwendungen für Felder, die eine gleichzeitige Modellierung diskreter und kontinuierlicher Daten erfordern. Eine andere Möglichkeit, eine solche Situation zu modellieren, ist der Begriff von Hybrid dynamische Systeme.

Diskrete Geometrie

Diskrete Geometrie und kombinatorische Geometrie handelt von kombinatorischen Eigenschaften von Diskrete Sammlungen von geometrischen Objekten. Ein langjähriges Thema in der diskreten Geometrie ist Fliesen des Flugzeugs.

Im Algebraische GeometrieDas Konzept einer Kurve kann auf diskrete Geometrien ausgedehnt werden Spektren von Polynomringe Über endliche Felder Modelle der affine Räume über dieses Feld und lassen Subvarietien oder Spektren anderer Ringe liefern die Kurven, die in diesem Raum liegen. Obwohl der Raum, in dem die Kurven erscheinen, eine begrenzte Anzahl von Punkten aufweist, sind die Kurven nicht so viele Punkte wie Kurvenanaloga in kontinuierlichen Einstellungen. Zum Beispiel jeder Punkt der Form ${\ displaystyle v (x-c) \ subset \ operatorname {spec} k [x] = \ mathbb {a} ^{1}}$ zum ${\ displayStyle K}$ Ein Feld kann entweder als untersucht werden als ${\ displaystyle \ operatorname {spec} k [x]/(x-c) \ cong \ operatorname {spec} k}$, ein Punkt oder als Spektrum ${\ displayStyle \ operatorname {spec} k [x] _ {(x-c)}}$ des Lokaler Ring bei (X-C), ein Punkt zusammen mit einer Nachbarschaft um sie herum. Algebraische Sorten haben auch einen genau definierten Begriff von Tangentenraum genannt Zariski Tangentenraumauch in endlichen Einstellungen viele Merkmale des Kalküls anwendbar.

Diskrete Modellierung

Im angewandte Mathematik, Diskrete Modellierung ist das diskrete Analogon von kontinuierliche Modellierung. Bei diskreten Modellierung sind diskrete Formeln an geeignet Daten. Eine gemeinsame Methode in dieser Form der Modellierung ist die Verwendung Rezidivbeziehung. Diskretisierung betrifft den Prozess der Übertragung kontinuierlicher Modelle und Gleichungen in diskrete Gegenstücke, häufig, um Berechnungen durch die Verwendung von Näherungen zu erleichtern. Numerische Analyse Bietet ein wichtiges Beispiel.

Siehe auch

• Umriss der diskreten Mathematik
• Cyberchase, eine Show, die Kindern diskrete Mathematik lehrt

Verweise

Weitere Lektüre

• Norman L. Biggs (2002-12-19). Diskrete Mathematik. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850717-8.
• John Dwyer (2010). Eine Einführung in diskrete Mathematik für Business & Computing. ISBN 978-1-907934-00-1.
• Susanna S. Epp (2010-08-04). Diskrete Mathematik mit Anwendungen. Thomson Brooks/Cole. ISBN 978-0-495-39132-6.
• Ronald Graham, Donald E. Knuth, Oren Patashnik, Betonmathematik.
• Ralph P. Grimaldi (2004). Diskrete und kombinatorische Mathematik: Eine angewandte Einführung. Addison Wesley. ISBN 978-0-201-72634-3.
• Donald E. Knuth (2011-03-03). Die Kunst der Computerprogrammierung, Bände 1-4a Boxed Set. Addison-Wesley Professional. ISBN 978-0-321-75104-1.
• Jiří Matoušek; Jaroslav Nešetřil (1998). Diskrete Mathematik. Oxford University Press. ISBN 978-0-19-850208-1.
• Obeurenic, Bojana (2003-01-29). Praxisprobleme in der diskreten Mathematik. Prentice Hall. ISBN 978-0-13-045803-2.
• Kenneth H. Rosen; John G. Michaels (2000). Handbuch der diskreten und kombinatorischen Mathematik. CRC Pressi LLC. ISBN 978-0-8493-0149-0.
• Kenneth H. Rosen (2007). Diskrete Mathematik: und seine Anwendungen. McGraw-Hill College. ISBN 978-0-07-288008-3.
• Andrew Simpson (2002). Diskrete Mathematik mit gutem Beispielsweise. McGraw-Hill Incorporated. ISBN 978-0-07-709840-7.

Externe Links

• Medien im Zusammenhang mit diskreten Mathematik bei Wikimedia Commons
• Diskrete Mathematik im utk.edu mathematics archives, das Links zu Lehrplänen, Tutorials, Programmen usw. bietet.
• Iowa Central: Electrical Technologies -Programm Diskrete Mathematik für Elektrotechnik.