Diskrete Berechnung

Diskrete Berechnung oder der Berechnung diskreter Funktionen, ist der mathematisch Studium von inkrementell Verändere, genauso wie Geometrie ist das Studium der Form und Algebra ist das Studium der Verallgemeinerungen von Rechenoperationen. Das Wort Infinitesimalrechnung ist ein Latein Wort, Bedeutung ursprünglich "kleiner Kieselstock"; Als solche Kiesels wurden zur Berechnung verwendet, die Bedeutung des Wortes hat sich entwickelt und bedeutet heute normalerweise eine Berechnung Methode. In der Zwischenzeit, Infinitesimalrechnung, ursprünglich genannt Infinitesimale Kalkül oder "der Kalkül von Infinitesimals", ist das Studium von kontinuierlich Rückgeld.

Discrete Calculus hat zwei Einstiegspunkte, Differentialkalkül und integrale Kalkül. Differentielle Kalkül betrifft die inkrementellen Änderungsraten und die Steigungen der Stück-Weisen-linearen Kurven. Integraler Kalkül betrifft die Akkumulation von Mengen und Bereichen unter stetigen konstanten Kurven. Diese beiden Standpunkte sind durch den grundlegenden Theorem des diskreten Kalküls miteinander verbunden.

Das Studium der Veränderungskonzepte beginnt mit ihrer diskreten Form. Die Entwicklung hängt von einem Parameter ab, dem Inkrement ${\ displayStyle \ Delta x}$ der unabhängigen Variablen. Wenn wir dies wählen, können wir das Inkrement immer kleiner machen und die kontinuierlichen Gegenstücke dieser Konzepte als feststellen Grenzen. Informell die Grenze des diskreten Kalküls als ${\ displayStyle \ Delta x \ bis 0}$ ist infinitesimale Kalkül. Obwohl es als diskrete Berechnung dient, liegt der Hauptwert des diskreten Kalküls in Anwendungen.

Zwei anfängliche Konstruktionen

Diskrete Differentialrechnung ist die Untersuchung der Definition, Eigenschaften und Anwendungen der Differenz Quotient einer Funktion. Der Prozess des Findens des Differenzquotienten wird genannt Unterscheidung. Bei einer an mehreren Punkten der realen Linie definierten Funktion ist der Differenzquotient an diesem Punkt eine Möglichkeit, das kleine Verhalten der Funktion (d. H. vom Punkt zum nächsten) zu codieren. Indem Sie den Unterschiedsquotienten einer Funktion an jedem Paar aufeinanderfolgender Punkte in seiner Domäne finden, ist es möglich, eine neue Funktion zu erzeugen, die als die genannt wird Differenzquotientenfunktion oder nur das Differenz Quotient der ursprünglichen Funktion. In formaler Begriffe ist der Differenzquotient a linearer Bediener Dies nimmt eine Funktion als Eingabe und erzeugt eine zweite Funktion als Ausgabe. Dies ist abstrakter als viele der in Elementaralgebra untersuchten Prozesse, bei denen Funktionen normalerweise eine Zahl eingeben und eine andere Zahl ausgeben. Wenn beispielsweise die Verdoppelungsfunktion der Eingabe drei gegeben ist, gibt sie sechs aus, und wenn die Quadratfunktion dem Eingang drei gegeben ist, gibt sie neun aus. Das Derivat kann jedoch die Quadratfunktion als Eingabe annehmen. Dies bedeutet, dass das Derivat alle Informationen der Quadratfunktion nimmt - wie diese zwei an vier gesendet werden, drei an neun gesendet werden, vier an sechzehn und so weiter - und diese Informationen verwendet, um eine weitere Funktion zu erstellen. Die Funktion, die durch die Differenzierung der Quadratfunktion erzeugt wird, ist etwas nahe der Verdoppelungsfunktion.

Angenommen, die Funktionen werden an Punkten definiert, die durch ein Inkrement getrennt sind ${\ displayStyle \ delta x = h> 0}$ :

{\ displaystyle a, a+h, a+2h, \ ldots, a+nh, \ ldots}

Die "Verdopplungsfunktion" kann durch gekennzeichnet sein durch ${\ displayStyle g (x) = 2x}$ und die "Quadratfunktion" von ${\ displayStyle f (x) = x^{2}}$ . Der "Differenzquotient" ist die Änderungsrate der Funktion gegenüber einem der Intervalle ${\ displayStyle [x, x+h]}$ definiert durch die Formel:

{\ displaystyle {\ frac {f (x+h) -f (x)} {h}}.}

Es nimmt die Funktion an ${\ displayStyle f}$ Als Eingabe, das sind alle Informationen - wie diese zwei an vier gesendet werden, drei werden an neun gesendet, vier werden an sechzehn gesendet und so weiter - und verwendet diese Informationen, um eine weitere Funktion auszugeben, die Funktion ${\ displayStyle g (x) = 2x+h}$ , wie sich herausstellen wird. Aus Bequemlichkeit kann die neue Funktion an den Mittelpunkten der oben genannten Intervalle definiert werden:

{\ displayStyle A+H/2, A+H+H/2, A+2H+H/2, ..., A+NH+H/2, ...}

Da ist die Änderungsrate das für das gesamte Intervall ${\ displayStyle [x, x+h]}$ , jeder Punkt darin kann als solchen Referenz oder, noch besser, das gesamte Intervall verwendet werden, was den Differenzquotienten a macht ${\ displayStyle 1}$ -Cochak.

Die häufigste Notation für den Differenzquotienten ist:

oder

Wenn die Eingabe der Funktion die Zeit darstellt, stellt der Differenzquotient eine Änderung in Bezug auf die Zeit dar. Zum Beispiel wenn ${\ displayStyle f}$ ist eine Funktion, die eine Zeit als Eingabe braucht und zu diesem Zeitpunkt die Position eines Balls als Ausgang angibt, dann den Differenzquotienten von ${\ displayStyle f}$ ist, wie sich die Position in der Zeit ändert, das heißt, sie ist die Geschwindigkeit des Balls.

Wenn eine Funktion ist linear (Das heißt, wenn die Punkte der Graph der Funktion liegen auf einer geraden Linie), dann kann die Funktion geschrieben werden ${\ displayStyle y = mx+b}$ , wo ${\ displayStyle x}$ ist die unabhängige Variable, ${\ displayStyle y}$ ist die abhängige Variable, ${\ displayStyle B}$ ist der ${\ displayStyle y}$ -Intercept und:

oder = {\ frac {\ delta y} {\ delta x}}.}

Neigung:

{\ displayStyle m = {\ frac {\ delta y} {\ delta x}} = \ tan (\ theta)}

Dies gibt einen genauen Wert für die Neigung einer geraden Linie.

Wenn die Funktion jedoch nicht linear ist, dann die Änderung in ${\ displayStyle y}$ geteilt durch die Änderung in ${\ displayStyle x}$ variiert. Der Differenzquotient gibt dem Begriff der Ausgabeänderung in Bezug auf die Änderung der Eingabe eine genaue Bedeutung. Konkret sein, lassen ${\ displayStyle f}$ eine Funktion sein und einen Punkt reparieren ${\ displayStyle x}$ im Bereich von ${\ displayStyle f}$ . ${\ displayStyle (x, f (x))}$ ist ein Punkt in der Grafik der Funktion. Wenn ${\ displayStyle H}$ ist das Inkrement von ${\ displayStyle x}$ , dann ${\ displayStyle x+h}$ ist der nächste Wert von ${\ displayStyle x}$ . Deswegen, ${\ displayStyle (x+h, f (x+h))}$ ist das Inkrement von ${\ displayStyle (x, f (x))}$ . Die Steigung der Linie zwischen diesen beiden Punkten ist

oder }}.}

So ${\ displayStyle m}$ ist der Hang der Grenze zwischen ${\ displayStyle (x, f (x))}$ und ${\ displayStyle (x+h, f (x+h))}$ .

Hier ist ein bestimmtes Beispiel: Der Unterschiedsquotient der Quadratfunktion. Lassen ${\ displayStyle f (x) = x^{2}}$ Sei die Quadratfunktion. Dann:

oder \\ & = {x^{2}+2HX+H^{2} -x^{2} \ Over {H}} \\ & = {2HX+H^{2} \ over {h} \\ & = 2x+h. \ End {ausgerichtet}}}

Der Differenzquotient des Differenzquotienten wird als die genannt Zweiter Unterschiedsquotient und es ist definiert bei

{\ displayStyle a+h, a+2h, a+3h, \ ldots, a+nh, \ ldots}

usw.

Diskrete Integralrechnung ist die Untersuchung der Definitionen, Eigenschaften und Anwendungen der Riemann Summen. Der Prozess des Findens des Wertes einer Summe wird genannt Integration. In der technischen Sprache untersucht Integral Calculus eine bestimmte linearer Bediener.

Das Riemann Sum Eingibt eine Funktion und gibt eine Funktion aus, die die algebraische Summe von Bereichen zwischen dem Teil des Graphen der Eingabe und der Eingabe ergibt X-Achse.

Ein motivierendes Beispiel sind die in einer bestimmten Zeit zurückgelegten Entfernungen.

{\ displaystyle {\ text {distanz}} = {\ text {speed}} \ cdot {\ text {time}}}

Wenn die Geschwindigkeit konstant ist, ist nur eine Multiplikation erforderlich, aber wenn sich die Geschwindigkeit ändert und dann die Summe (a Riemann Sum) der in jedem Intervall zurückgelegten Strecke.

Konstante Geschwindigkeit

Die Riemann -Summe misst die Gesamtfläche der Balken, definiert von

{\ displayStyle f}

, zwischen zwei Punkten (hier

{\ displayStyle a}

und

{\ displayStyle B}

).

Wenn die Geschwindigkeit konstant ist, kann die Gesamtstrecke über das gegebene Zeitintervall durch Multiplizieren von Geschwindigkeit und Zeit berechnet werden. Zum Beispiel führt das Reisen einer stetigen 50 Meilen pro Stunde 3 Stunden zu einer Gesamtentfernung von 150 Meilen. In dem Diagramm links bilden diese beiden Werte, wenn konstante Geschwindigkeit und Zeit drapiert sind, ein Rechteck mit Höhe, die der Geschwindigkeit und der Breite gleich der verstrichenen Zeit entspricht. Daher berechnet das Produkt von Geschwindigkeit und Zeit auch die rechteckige Fläche unter der (konstanten) Geschwindigkeitskurve. Diese Verbindung zwischen dem Bereich unter einer Kurve und einer zurückgelegten Entfernung kann auf erweitert werden irgendein Unregelmäßig geformte Region mit einer inkrementell unterschiedlichen Geschwindigkeit über einen bestimmten Zeitraum. Wenn die Balken im Diagramm rechts die Geschwindigkeit darstellen, die von einem Intervall zum nächsten variiert, ist die zurückgelegte Strecke (zwischen den Zeiten, die von dargestellt werden von ${\ displayStyle a}$ und ${\ displayStyle B}$ ) ist der Bereich der schattierten Region ${\ displayStyle S}$ .

Also das Intervall zwischen ${\ displayStyle a}$ und ${\ displayStyle B}$ ist in eine Anzahl gleicher Segmente unterteilt, die Länge jedes Segments, das durch das Symbol dargestellt wird ${\ displayStyle \ Delta x}$ . Für jedes kleine Segment haben wir einen Wert der Funktion ${\ displayStyle f (x)}$ . Nennen Sie diesen Wert ${\ displayStyle v}$ . Dann der Bereich des Rechtecks mit der Basis ${\ displayStyle \ Delta x}$ und Größe ${\ displayStyle v}$ gibt die Entfernung (Zeit ${\ displayStyle \ Delta x}$ multipliziert mit Geschwindigkeit ${\ displayStyle v}$ ) in diesem Segment gereist. Mit jedem Segment verknüpft ist der Wert der obigen Funktion, ${\ displayStyle f (x) = v}$ . Die Summe all dieser Rechtecke gibt den Bereich zwischen der Achse und der Stück-Weise konstanter Kurve, was die Gesamtstrecke ist.

Nehmen wir an ${\ displayStyle \ delta x = h> 0}$ :

{\ displayStyle a+h/2, a+h+h/2, a+2h+h/2, \ ldots, a+nh-h/2, \ ldots}

Dann die Riemann -Summe von ${\ displayStyle a}$ zu ${\ displayStyle b = a+nh}$ in Sigma Notation ist:

{\ displayStyle \ sum _ {i = 1}^{n} f (a+ih) \, \ delta x.}

Da diese Berechnung für jeden durchgeführt wird ${\ displayStyle n}$ Die neue Funktion ist an den Punkten definiert:

{\ displaystyle a, a+h, a+2h, \ ldots, a+nh, \ ldots}

Das Grundsatz des Kalküls Staaten, dass Differenzierung und Integration umgekehrte Operationen sind. Genauer gesagt bezieht es die Differenzquotienten auf die Riemann -Summen. Es kann auch als genaue Aussage darüber interpretiert werden, dass die Differenzierung die Umkehrung der Integration ist.

Der grundlegende Theorem des Kalküls: wenn eine Funktion ${\ displayStyle f}$ wird auf einer Partition des Intervalls definiert ${\ displayStyle [a, b]}$ , ${\ displayStyle b = a+nh}$ , und wenn ${\ displayStyle f}$ ist eine Funktion, deren Differenzquotient ist ${\ displayStyle f}$ , dann haben wir:

{\ displaystyle \ sum _ {i = 0}^{n-1} f (a+ih+h/2) \, \ delta x = f (b) -f (a).}

Darüber hinaus für jeden ${\ textstyle m = 0,1,2, \ ldots, n-1}$ , wir haben:

oder h/2).}

Dies ist auch eine Prototyplösung von a Differenzgleichung. Differenzgleichungen beziehen eine unbekannte Funktion mit ihrem Differenz- oder Differenzquotienten und sind in den Wissenschaften allgegenwärtig.

Geschichte

Die frühe Geschichte des diskreten Kalküls ist die Geschichte des Kalküls. Grunde Ideen wie die Differenzquotienten und die Riemann Summen erscheinen implizit oder explizit in Definitionen und Beweisen. Nachdem die Grenze genommen wurde, sind sie jedoch nie wieder zu sehen. Allerdings die Kirchhoffs Spannungsgesetz (1847) können in Bezug auf das eindimensionale diskrete Außenivat ausgedrückt werden.

Während des diskreten Kalküls des 20. Jahrhunderts bleibt mit infinitesimalem Kalkül, insbesondere unterschiedliche Formen Algebraische Topologie als beide entwickeln. Die Hauptbeiträge stammen von folgenden Personen:^[1]

Henri Poincaré: Triangulationen (Barycentric Subdivision, Doppelte Triangulation), Poincare Lemma, der erste Beweis des Generals Stokes Theorem, und vieles mehr
L. E. J. Brouwer: Einfacher Approximationssatz
Élie Cartan, Georges de Rham: Der Begriff der Differentialform, die Außenableitung als koordinatenunabhängig linearer Bediener, Genauigkeit/Schließigkeit von Formen
Emmy Noether, Heinz Hopf, Leopold Vietoris, Walther Mayer: Module von Ketten, das Grenzbetreiber, Kettenkomplexe
J. W. Alexander, Solomon lefschetz, Lev Pontryagin, Andrey Kolmogorov, Norman Steenrod, Eduard čech: der frühe Cochak Vorstellungen
Hermann Weyl: Die Kirchhoff -Gesetze, die in Bezug auf die Grenze und die Coboundary -Betreiber angegeben sind
W. V. D. Hodge: das Hodge Star Operator, das Hodge -Zersetzung
Samuel Eilenberg, Saunders Mac Lane, Norman Steenrod, J.H.C. Whitehead: Die strenge Entwicklung von Homologie und Kohomologie Theorie einschließlich Ketten- und Cochain -Komplexe, die, die Cup -Produkt
Hassler Whitney: Cochains als Integrand

Die jüngste Entwicklung diskreter Kalkül, beginnend mit Whitney, wurde von den Bedürfnissen von angetrieben Angewandte Modellierung.^[2]^[3]^[4]

Anwendungen

Diskreter Berechnung wird zur direkten oder indirekten Modellierung als Diskretisierung von Infinitesimal verwendet Infinitesimalrechnung in jedem Zweig der physischen Wissenschaften, Versicherungsmathematik, Informatik, Statistiken, Ingenieurwesen, Wirtschaft, Wirtschaft, Medizin, Medizin, Demographieund in anderen Bereichen, wo immer ein Problem sein kann mathematisch modelliert. Es ermöglicht eine, von (nicht konstanten) Änderungsraten zur Gesamtänderung zu übergehen oder umgekehrt, und oft bei der Untersuchung eines Problems, das wir kennen und versuchen, das andere zu finden.

Physik nutzt besondere Berechnung; alle diskreten Konzepte in klassische Mechanik und Elektromagnetismus werden durch diskrete Kalkül verwandt. Die Masse eines Objekts bekannter Dichte, das schrittweise variiert, die Trägheitsmoment solcher Objekte sowie die Gesamtenergie eines Objekts in einem diskreten konservativen Bereich können durch die Verwendung diskreter Kalkül gefunden werden. Ein Beispiel für die Verwendung von diskreten Berechnungen in der Mechanik ist Newtons zweites Bewegungsgesetz: Historisch angegeben, es verwendet ausdrücklich den Begriff "Bewegungsänderung", der das Differenzquotient impliziert Die Änderung des Impulses eines Körpers entspricht der resultierenden Kraft, die auf den Körper wirkt und in die gleiche Richtung ist. Heute als Kraft = Masse × Beschleunigung ausgedrückt, ruft es diskrete Kalkül auf, wenn die Änderung inkrementell ist, da die Beschleunigung der Differenzquotient der Geschwindigkeit in Bezug auf die Zeit oder den zweiten Differenzquotienten der räumlichen Position ist. Ausgehend von dem Wissen, wie sich ein Objekt beschleunigt, verwenden wir die Riemann -Summen, um seinen Weg abzuleiten.

Maxwells Theorie von Elektromagnetismus und Einstein's Theorie von generelle Relativität wurden in der Sprache des diskreten Kalküls ausgedrückt.

Chemie verwendet Kalkül bei der Bestimmung der Reaktionsraten und des radioaktiven Zerfalls (exponentiellen Abfall).

In der Biologie beginnt die Populationsdynamik mit Reproduktions- und Sterblichkeitsraten, um Bevölkerungsänderungen zu modellieren (Bevölkerungsmodellierung).

In Engineering, Differenzgleichungen werden verwendet, um einen Verlauf eines Raumfahrzeugs in Umgebungen mit der Schwerkraft zu zeichnen, um zu modellieren Wärmeübertragung, Diffusion, und Wellenausbreitung.

Das diskrete Analogon von Green's Theorem wird in einem Instrument angewendet, das als a bekannt ist Planimeter, mit der verwendet wird, um die Fläche einer flachen Oberfläche auf einer Zeichnung zu berechnen. Zum Beispiel kann es verwendet werden, um die Menge an Flächen zu berechnen, die von einem unregelmäßig geformten Blütenbett oder einem Schwimmbad aufgenommen wird, wenn das Layout eines Grundstücks entworfen wird. Es kann verwendet werden, um die Summen von rechteckigen Domänen in Bildern effizient zu berechnen, schnell Merkmale zu extrahieren und Objekt zu erfassen. Ein weiterer Algorithmus, der verwendet werden könnte, ist der Summierter Bereichstabelle.

Im Bereich der Medizin kann Kalkül verwendet werden, um den optimalen Verzweigungswinkel eines Blutgefäßes zu finden, um den Fluss zu maximieren. Aus den Verfallgesetzen für die Beseitigung eines bestimmten Arzneimittels aus dem Körper wird es verwendet, um die Dosierungsgesetze abzuleiten. In der Kernmedizin wird es verwendet, um Modelle des Strahlungstransports in gezielten Tumortherapien aufzubauen.

In der Ökonomie ermöglicht Kalkül die Bestimmung des maximalen Gewinns durch Berechnung beider Grenzkosten und Grenzerlösesowie Modellierung von Märkten.^[5]

Diskrete Kalkül kann in Verbindung mit anderen mathematischen Disziplinen verwendet werden. Zum Beispiel kann es in verwendet werden Wahrscheinlichkeitstheorie Um die Wahrscheinlichkeit einer diskreten Zufallsvariablen aus einer angenommenen Dichtefunktion zu bestimmen.

Unterschiede und Summenberechnungen

Angenommen eine Funktion (a ${\ displayStyle 0}$ -Cochain) ${\ displayStyle f}$ wird an Punkten definiert, die durch ein Inkrement getrennt sind ${\ displayStyle \ delta x = h> 0}$ :

{\ displaystyle a, a+h, a+2h, \ ldots, a+nh, \ ldots}

Das Unterschied (oder der Außenableitung, oder der Coboundary -Operator) der Funktion ist gegeben durch:

{\ displaystyle {\ big (} \ delta f {\ big)} {\ big (} [x, x+h] {\ big)} = f (x+h) -f (x).}

Es ist in jedem der obigen Intervalle definiert; es ist ein ${\ displayStyle 1}$ -Cochain.

Angenommen a ${\ displayStyle 1}$ -Cochain ${\ displayStyle g}$ wird in jedem der oben genannten Intervalle definiert. Dann ist es Summe ist eine Funktion (a ${\ displayStyle 0}$ -Cochain) definiert an jedem der Punkte von:

oder ]{\groß )}.}

Dies sind ihre Eigenschaften:

Konstante Regel: Wenn ${\ displayStyle c}$ ist ein Konstante, dann

{\ displayStyle \ Delta c = 0}

Linearität: wenn ${\ displayStyle a}$ und ${\ displayStyle B}$ sind Konstanten,

oder

Produktregel:

{\ displayStyle \ delta (fg) = f \, \ delta g+g \, \ delta f+\ delta f \, \ delta g}

Grundsatz des Kalküls I:

{\ displayStyle \ links (\ sum \ delta f \ rechts) \! (a+nh) = f (a+nh) -f (a)}

Grundsatz des Kalküls II:

{\ displaystyle \ delta \! \ links (\ sum g \ rechts) = g}

Die Definitionen werden an angewendet Grafiken folgendermaßen. Wenn eine Funktion (a ${\ displayStyle 0}$ -Cochain) ${\ displayStyle f}$ wird an den Knoten eines Diagramms definiert:

{\ displaystyle a, b, c, \ ldots}

dann ist es Außenableitung (oder das Differential) ist die Differenz, d. H. Die folgende Funktion, die an den Kanten des Graphen definiert ist ( ${\ displayStyle 1}$ -Cochain):

{\ displayStyle \ links (df \ rechts) \! {\ big (} [a, b] {\ big)} = f (b) -f (a).}

Wenn ${\ displayStyle g}$ ist ein ${\ displayStyle 1}$ -Cochain, dann es Integral- über eine Sequenz von Kanten ${\ displayStyle \ sigma}$ der Grafik ist die Summe seiner Werte über alle Kanten von ${\ displayStyle \ sigma}$ ("Pfadintegral"):

{\ displayStyle \ int _ {\ sigma} g = \ sum _ {\ sigma} g {\ big (} [a, b] {\ big)}.}

Dies sind die Eigenschaften:

Konstante Regel: Wenn ${\ displayStyle c}$ ist ein Konstante, dann

{\ displayStyle dc = 0}

Linearität: wenn ${\ displayStyle a}$ und ${\ displayStyle B}$ sind Konstanten,

oder \ int _ {\ sigma} g}

Produktregel:

{\ displayStyle d (fg) = f \, dg+g \, df+df \, dg}

Grundsatz des Kalküls I.: wenn ein ${\ displayStyle 1}$ -Kette ${\ displayStyle \ sigma}$ besteht aus den Kanten ${\ displayStyle [a_ {0}, a_ {1}], [a_ {1}, a_ {2}], ..., [a_ {n-1}, a_ {n}]}$ dann für jeden ${\ displayStyle 0}$ -Cochain ${\ displayStyle f}$

{\ displayStyle \ int _ {\ sigma} df = f (a_ {n})-f (a_ {0})}

Grundsatz des Kalküls II: Wenn die Grafik a ist Baum, ${\ displayStyle g}$ ist ein ${\ displayStyle 1}$ -Cochain und eine Funktion ( ${\ displayStyle 0}$ -Cochain) wird auf den Knoten der Grafik von definiert von

{\ displayStyle f (x) = \ int _ {\ sigma} g}

wo ein

{\ displayStyle 1}

-Kette

{\ displayStyle \ sigma}

besteht aus

{\ displayStyle [a_ {0}, a_ {1}], [a_ {1}, a_ {2}], ..., [a_ {n-1}, x]}

für einige fest

{\ displayStyle a_ {0}}

, dann

{\ displayStyle df = g}

Siehe Referenzen.^[6]^[7]^[8]^[9]^[3]^[10]

Ketten von Vereinfachungen und Würfeln

Ein einfacher Komplex.

A Einfacher Komplex ${\ displayStyle S}$ ist ein Satz von Einfaches Das erfüllt die folgenden Bedingungen:

1. Alles Gesicht von einem Simplex von

{\ displayStyle S}

ist auch in

{\ displayStyle S}

.

2. die Nicht-leer Überschneidung von zwei einfachen Einfachheiten

{\ displaystyle \ sigma _ {1}, \ sigma _ {2} \ in s}

ist ein Gesicht von beidem

{\ displayStyle \ sigma _ {1}}

und

{\ displayStyle \ sigma _ {2}}

.

Die Grenze einer Grenze eines 2-Simplexes (links) und der Grenze eines 1-Ketten (rechts) werden genommen. Beide sind 0, sind Summen, in denen sowohl der positive als auch das negative eines 0-Simplexes einmal auftreten. Die Grenze einer Grenze beträgt immer 0. Ein nicht trivialer Zyklus ist etwas, das sich wie die Grenze eines Simplexes schließt, da seine Grenze auf 0 beträgt, aber tatsächlich nicht die Grenze eines Simplex oder Kette ist.

Per Definition ein Orientierung von a k-Simplex wird durch eine Bestellung der Eckpunkte gegeben, die als geschrieben wurde ${\ displayStyle (v_ {0}, ..., v_ {k})}$ mit der Regel, dass zwei Ordnung die gleiche Orientierung definieren, wenn sie sich nur dann unterscheiden Sogar Permutation. Somit hat jeder Simplex genau zwei Orientierungen, und das Schalten der Reihenfolge zweier Scheitelpunkte ändert eine Ausrichtung auf die entgegengesetzte Ausrichtung. Die Auswahl einer Orientierung eines 1-Simplexes ist beispielsweise die Auswahl einer der beiden möglichen Richtungen und die Auswahl einer Ausrichtung eines 2-Simplex-Richtliniens der Auswahl des "gegen den Uhrzeigersinn" bedeuten.

Lassen ${\ displayStyle S}$ ein einfacher Komplex sein. EIN Einfach k-Kette ist eine endliche formelle Summe

{\ displaystyle \ sum _ {i = 1}^{n} c_ {i} \ sigma _ {i}, \,}

wo jeweils c_i ist eine Ganzzahl und σ_i ist ein orientiert k-Simplex. In dieser Definition erklären wir, dass jeder orientierte Simplex gleich dem Negativ des Simplex mit der entgegengesetzten Ausrichtung ist. Zum Beispiel,

{\ displayStyle (v_ {0}, v_ {1}) =-(v_ {1}, v_ {0}).}

Das Vektorraum von k-Chains on ${\ displayStyle S}$ ist geschrieben ${\ displayStyle c_ {k}}$ . Es hat eine Grundlage in eins zu eins Korrespondenz mit dem Satz von k-Implices in ${\ displayStyle S}$ . Um eine ausdrückliche Basis zu definieren, muss man eine Orientierung jedes Simplexes wählen. Eine Standardmethode, um dies zu tun, besteht darin, eine Bestellung aller Scheitelpunkte auszuwählen und jedem Simplex die Ausrichtung zu geben, die der induzierten Reihenfolge seiner Eckpunkte entspricht.

Lassen ${\ displayStyle \ sigma = (v_ {0}, ..., v_ {k})}$ orientiert sein k-Implex, als Grundelement von angesehen ${\ displayStyle c_ {k}}$ . Das Grenzbetreiber

{\ displaystyle \ partial _ {k}: c_ {k} \ rightarrow c_ {k-1}}

ist der linearer Bediener definiert von:

oder }}}, \ dots, v_ {k}),},}

wo der orientierte simplex

oder

ist der ${\ displayStyle i}$ Das Gesicht von ${\ displayStyle \ sigma}$ , erhalten durch Löschen seiner ${\ displayStyle i}$ TH Scheitelpunkt.

Im ${\ displayStyle c_ {k}}$ , Elemente der Untergruppe

{\ displayStyle z_ {k} = \ ker \ partial _ {k}}

werden als bezeichnet als Fahrräderund die Untergruppe

{\ displayStyle b_ {k} = \ operatorname {im} \ partial _ {k+1}}

soll aus bestehen aus Grenzen.

Eine direkte Berechnung zeigt das ${\ displaystyle \ partial ^{2} = 0}$ . In geometrischer Hinsicht besagt dies, dass die Grenze von irgendetwas keine Grenze hat. Äquivalent die Vektorräume ${\ displayStyle (c_ {k}, \ partial _ {k})}$ Form a Kettenkomplex. Eine weitere äquivalente Aussage ist das ${\ displayStyle b_ {k}}$ ist in ${\ displayStyle z_ {k}}$ .

A kubischer Komplex ist ein einstellen zusammengesetzt aus Punkte, Liniensegmente, Quadrate, Würfel, und ihre n-Dimensionale Gegenstücke. Sie werden analog zu Vereinfachungen verwendet, um Komplexe zu bilden. Ein Elementarintervall ist eine Untergruppe ${\ displayStyle i \ subset \ mathbf {r}}$ der Form

{\ displayStyle i = [\ ell, \ ell +1] \ quad {\ text {oder}} \ quad i = [\ ell, \ ell]}

für einige ${\ displayStyle \ ell \ in \ mathbf {z}}$ . Ein Elementarwürfel ${\ displayStyle q}$ ist das endliche Produkt von Grundintervallen, d.h.

oder

wo ${\ displayStyle i_ {1}, i_ {2}, \ ldots, i_ {d}}$ sind elementare Intervalle. Äquivalent ist ein Elementarwürfel eine Übersetzung eines Einheitswürfels ${\ displayStyle [0,1]^{n}}$ eingebettet in Euklidischer Raum ${\ displaystyle \ mathbf {r} ^{d}}$ (für einige ${\ displaystyle n, d \ in \ mathbf {n} \ cup \ {0 \}}$ mit ${\ displayStyle n \ leq d}$ ). Ein Satz ${\ displaystyle x \ subseteq \ mathbf {r} ^{d}}$ ist ein kubisch Komplex Wenn es als Vereinigung von Elementarwürfeln geschrieben werden kann (oder möglicherweise, ist es homomorph zu einem solchen Satz) und es enthält alle Gesichter aller Würfel. Der Grenzoperator und der Kettenkomplex sind ähnlich wie für vereinfachende Komplexe.

Allgemeiner sind Zellkomplexe.

A Kettenkomplex ${\ displayStyle (c _ {*}, \ partial _ {*})}$ ist eine Sequenz von Vektorräume ${\ displaystyle \ ldots, c_ {0}, c_ {1}, c_ {2}, c_ {3}, c_ {4}, \ ldots}$ verbunden über lineare Operatoren (genannt Grenzbetreiber) ${\ displaystyle \ partial _ {n}: c_ {n} \ to c_ {n-1}}$ , so dass die Zusammensetzung von zwei aufeinanderfolgenden Karten die Nullkarte ist. Die Grenzbetreiber erfüllen ausdrücklich ${\ displaystyle \ partial _ {n} \ circ \ partial _ {n+1} = 0}$ , oder mit unterdrückten Indizes, ${\ displaystyle \ partial ^{2} = 0}$ . Der Komplex kann wie folgt ausgeschrieben werden.

{\displaystyle \cdots {\xleftarrow {\partial _{0}}}C_{0}{\xleftarrow {\partial _{1}}}C_{1}{\xleftarrow {\partial _{2}}}C_ Oder

A Einfachere Karte ist eine Karte zwischen einfachen Komplexen mit der Eigenschaft, dass die Bilder der Eckpunkte eines Simplex immer einen Simplex umfassen (daher haben Scheitelpunkte Scheitelpunkte für Bilder). Eine einfache Karte ${\ displayStyle f}$ aus einem einfachen Komplex ${\ displayStyle S}$ zum anderen ${\ displayStyle t}$ ist eine Funktion aus dem Scheitelpunktsatz von ${\ displayStyle S}$ zu dem Scheitelpunkt set von ${\ displayStyle t}$ so dass das Bild jedes simplex in ${\ displayStyle S}$ (als eine Reihe von Scheitelpunkten angesehen) ist ein Simplex in ${\ displayStyle t}$ . Es erzeugt eine lineare Karte, die als a genannt wird Kettenkarteaus dem Kettenkomplex von ${\ displayStyle S}$ zum Kettenkomplex von ${\ displayStyle t}$ . Explizit wird es angegeben ${\ displayStyle K}$ -schains von

{\ displayStyle f ((v_ {0}, \ ldots, v_ {k})) = (f (v_ {0}), \ ldots, f (v_ {k}))}

wenn ${\ displayStyle f (v_ {0}), ..., f (v_ {k})}$ sind alle unterschiedlich und ansonsten gleich eingestellt zu ${\ displayStyle 0}$ .

A Kettenkarte ${\ displayStyle f}$ zwischen zwei Kettenkomplexen ${\ displayStyle (a _ {*}, d_ {a,*})}$ und ${\ displayStyle (b _ {*}, d_ {b,*})}$ ist eine Sequenz ${\ displayStyle f _ {*}}$ von Homomorphismen ${\ displayStyle f_ {n}: a_ {n} \ rightarrow b_ {n}}$ für jeden ${\ displayStyle n}$ das pendelt mit den Grenzbetreibern in den beiden Kettenkomplexen so ${\ displayStyle d_ {b, n} \ circ f_ {n} = f_ {n-1} \ circ d_ {a, n}}$ . Dies ist im Folgenden ausgeschrieben Kommutatiagramm:

Eine Kettenkarte sendet Zyklen an Zyklen und Grenzen an Grenzen.

Siehe Referenzen.^[11] ^[10] ^[12]

Diskrete Differentialformen: Cochains

Für jeden Vektorraum C_i Im Kettenkomplex betrachten wir seinen Doppeler Raum ${\ displaystyle c_ {i}^{*}: = \ mathhrm {hom} (c_ {i}, {\ bf {r}}),},},},}$ und ${\ displayStyle d^{i} = \ partial _ {i}^{*}}$ ist es Doppeler linearer Operator

{\ displayStyle d^{i-1}: c_ {i-1}^{*} \ to c_ {i}^{*}.}

Dies wirkt sich aus Cochain -Komplex

oder \ partial _ {i-1}^{*}} {\ Leftarrow}} c_ {i-1}^{*} \ Leftarrow \ cdots}

Das Cochain -Komplex ${\ displayStyle (c^{*}, d^{*})}$ ist der Dual Vorstellung zu einem Kettenkomplex. Es besteht aus einer Abfolge von Vektorräumen ${\ displayStyle ..., c_ {0}, c_ {1}, c_ {2}, c_ {3}, c_ {4}, ...}$ durch lineare Operatoren verbunden ${\ displayStyle d^{n}: c^{n} \ to c^{n+1}}$ befriedigend ${\ displayStyle d^{n+1} \ circ d^{n} = 0}$ . Der Cochain -Komplex kann auf ähnliche Weise wie der Kettenkomplex ausgeschrieben werden.

{\ displayStyle \ cdots {\ xrightarrow {d^{-1}}} c^{0} {\ xrightarrow {d^{0}}} C^{1} {\ xrightarrow {d^{1}}}}}}}}} c ^{2} {\ xrightarrow {d^{2}}} c^{3} {\ xrightarrow {d^{3}} c^{4} {\ xrightarrow {d^{4}}} \ cdots}

Der Index ${\ displayStyle n}$ In beiden ${\ displayStyle c_ {n}}$ oder ${\ displayStyle c^{n}}$ wird als die bezeichnet Grad (oder Abmessungen). Der Unterschied zwischen Ketten- und Cochain -Komplexen besteht darin, dass in Kettenkomplexen die Differentials die Dimension verringern, während sie in Cochain -Komplexen die Dimension erhöhen.

Die Elemente der einzelnen Vektorräume eines (CO) -Kettenkomplexes werden genannt Cochains. Die Elemente in der Kernel von ${\ displayStyle d}$ werden genannt Kokyos (oder abgeschlossen Elemente) und die Elemente in der Bild von ${\ displayStyle d}$ werden genannt Coboundaries (oder genau Elemente). Aus der Definition des Differentials sind alle Grenzen Zyklen.

Das Poincaré Lemma stellt fest, dass wenn ${\ displayStyle B}$ ist ein offener Ball in ${\ displayStyle {\ bf {r}}^{n}}$ , alle geschlossen ${\ displayStyle p}$ -bilden ${\ displayStyle \ Omega}$ definiert auf ${\ displayStyle B}$ ist genau für jede Ganzzahl ${\ displayStyle p}$ mit ${\ displayStyle 1 \ leq p \ leq n}$ .

Wenn wir Cochains als bezeichnen diskrete (differentielle) Formen, wir verweisen auf ${\ displayStyle d}$ als die Außenableitung. Wir verwenden auch die Calculus -Notation für die Werte der Formen:

{\ displayStyle \ Omega (s) = \ int _ {s} \ omega.}

Stokes 'Theorem ist eine Aussage über die diskreten Differentialformen auf Verteiler, der den grundlegenden Theorem des diskreten Kalküls für eine Aufteilung eines Intervalls verallgemeinert:

oder -Fa).}

Stokes 'Theorem sagt, dass die Summe einer Form ${\ displayStyle \ Omega}$ über dem Grenze von einigen orientierbar vielfältig ${\ displayStyle \ Omega}$ ist gleich der Summe seiner Außenableitung ${\ displayStyle d \ Omega}$ überall hin ${\ displayStyle \ Omega}$ , d.h.

oder

Es lohnt ${\ displayStyle d = 2}$ Maße. Die wesentliche Idee kann durch das Diagramm links verstanden werden, was zeigt, dass in einer orientierten Flucht eines Verteilers die inneren Pfade in entgegengesetzte Richtungen durchquert werden; Ihre Beiträge zum Path -Integral kündigen sich also einander paarweise. Infolgedessen bleibt nur der Beitrag der Grenze bestehen.

Siehe Referenzen.^[11] ^[10]

Das Keilprodukt von Formularen

In diskreten Berechnungen ist dies eine Konstruktion, die aus Formularen höherer Ordnung erzeugt: zwei angrenzend Cochains Grad ${\ displayStyle p}$ und ${\ displayStyle q}$ um einen zusammengesetzten Cochain des Grades zu bilden ${\ displayStyle p+q}$ .

Zum Kubische Komplexe, das Keilprodukt wird auf jedem Würfel definiert, der als Vektorraum derselben Dimension angesehen wird.

Zum Einfachere KomplexeDas Keilprodukt wird als das implementiert Cup -Produkt: wenn ${\ displayStyle f^{p}}$ ist ein ${\ displayStyle p}$ -Cochain und ${\ displayStyle g^{q}}$ ist ein ${\ displayStyle q}$ -Cochain dann

oder (\ sigma _ {p, p+1, ..., p+q})}

wo ${\ displayStyle \ sigma}$ ist ein ${\ displayStyle (p+q)}$ -Simplex und ${\ displaystyle \ sigma _ {s}, \ s \ subset \ {0,1, ..., p+q \}}$ , ist der simplex überspannt von ${\ displayStyle S}$ in die ${\ displayStyle (p+q)}$ -Simplex, deren Scheitelpunkte durch indiziert werden durch ${\ displayStyle \ {0, ..., p+q \}}$ . So, ${\ displayStyle \ sigma _ {0,1, ..., p}}$ ist der ${\ displayStyle p}$ -Th Vorderseite und ${\ displayStyle \ sigma _ {p, p+1, ..., p+q}}$ ist der ${\ displayStyle q}$ -Th Rückfläche von ${\ displayStyle \ sigma}$ , beziehungsweise.

Das coboundary des Cup -Produkts von Cochains ${\ displayStyle f^{p}}$ und ${\ displayStyle g^{q}}$ wird gegeben von

oder Lächeln d {g^{q}}).}

Das Tassenprodukt von zwei Kokykeln ist wieder ein Kokyklus, und das Produkt eines Coboundars mit einem Kokyklus (in beiden Reihenfolge) ist ein Coboundary.

Der Pokalproduktbetrieb erfüllt die Identität

oder

Mit anderen Worten, die entsprechende Multiplikation ist bewertet-commutativ.

Siehe Referenzen.^[11]

Laplace -Operator

Der Laplace -Operator ${\ displayStyle \ Delta f}$ einer Funktion ${\ displayStyle f}$ an einem Scheitelpunkt ${\ displayStyle p}$ , ist (bis zu einem Faktor) die Rate, mit der der Durchschnittswert von ${\ displayStyle f}$ über ein zelluläres Viertel von ${\ displayStyle p}$ Abweicht von ${\ displayStyle f (p)}$ . Der Laplace -Operator repräsentiert die Flussdichte des Gradientenfluss einer Funktion. Zum Beispiel ist die Nettorate, mit der sich eine in einer Flüssigkeit gelöste Chemikalie von einem bestimmten Punkt in Richtung oder von einem bestimmten Punkt bewegt, proportional zum Laplace -Operator der chemischen Konzentration an diesem Punkt; symbolisch ausgedrückt ist die resultierende Gleichung die Diffusionsgleichung. Aus diesen Gründen wird es in den Wissenschaften ausführlich zur Modellierung verschiedener physikalischer Phänomene verwendet.

Das Codiffeferential

{\ displayStyle \ delta: c^{k} \ to c^{k-1}}

ist ein Bediener definiert auf ${\ displayStyle K}$ -Forms von:

oder d {\ star},},}

wo ${\ displayStyle d}$ ist der Außenableitung oder Differential und ${\ displayStyle \ star}$ ist der Hodge Star Operator.

Das Codififerene ist das Adjoint des Außenableitungs nach Stokes 'Theorem:

{\ displayStyle (\ eta, \ delta \ zeta) = (d \ eta, \ zeta).}.}

Da erfüllt das Differential ${\ displayStyle d^{2} = 0}$ Das Codififerene hat die entsprechende Eigenschaft

oder \ star} = 0.}

Das Laplace -Operator wird definiert durch:

{\ displayStyle \ delta = (\ delta +d)^{2} = \ delta d +d \ delta.}

Siehe Referenzen.^[10]

Verwandt

Siehe auch

Verweise

^ Jean Dieudonné (1988). Eine Geschichte der algebraischen und differentiellen Topologie 1900–1960. Birkhäuser Boston. ISBN 9780817649074.
^ Marie-Flavie Auclair-Fortier, Djemel Ziou, Madjid Allili (2004). Globaler Ansatz der Algebraik -Topologie für rechnerische Computer in: Proc. Spie. 5299, Computational Imaging II.{{}}: Cs1 montiert: Mehrfachnamen: Autorenliste (Link)
^ ^a ^b Grady, Leo J., Polimeni, Jonathan R. (2010). Diskrete Berechnung auf Diagramme.{{}}: Cs1 montiert: Mehrfachnamen: Autorenliste (Link)
^ Mathieu Desbrun, Eva Kanso, Yiying Tong (2008). Diskrete Differentialformen für die Computermodellierung in: Bobenko A.I., Sullivan J. M., Schröder P., Ziegler G.M. (Hrsg.) Diskrete Differentialgeometrie. Oberwolfach Seminare, Vol 38. Birkhäuser Basel.{{}}: Cs1 montiert: Mehrfachnamen: Autorenliste (Link)
^ Paul Wilmott; Sam Howison; Jeff Dewynne (1995). Die Mathematik finanzieller Derivate: Eine Einführung der Schüler. Cambridge University Press. p.137. ISBN 978-0-521-49789-3.
^ M Hanif Chaudhry (2007). Open-Channel-Fluss. Springer. p. 369. ISBN 978-0-387-68648-6.
^ Levy, H.; Lessman, F. (1992). Endliche Differenzgleichungen. Dover. ISBN 0-486-67260-3.
^ Ames, W. F. (1977). Numerische Methoden für partielle Differentialgleichungen, Abschnitt 1.6. Akademische Presse, New York. ISBN0-12-056760-1.
^ Hildebrand, F. B., (1968). Finite-Differenz-Gleichungen und Simulationen, Abschnitt 2.2, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.
^ ^a ^b ^c ^d Peter Saveliev (2016). Topologie illustriert. ISBN 978-1495188756.
^ ^a ^b ^c Glen E. Bredon (1997). Topologie und Geometrie (Graduiertentexte in Mathematik). Springer. ISBN 0387979263.
^ Tomasz Kaczynski; Konstantin Mischaikow; Marian Mrozek (2004). Computertopologie. ISBN 0-387-40853-3.{{}}: Cs1 montiert: Mehrfachnamen: Autorenliste (Link)

[Die-1] Jean Dieudonné (1988). Eine Geschichte der algebraischen und differentiellen Topologie 1900–1960. Birkhäuser Boston. ISBN 9780817649074.

[AZA-2] Marie-Flavie Auclair-Fortier, Djemel Ziou, Madjid Allili (2004). Globaler Ansatz der Algebraik -Topologie für rechnerische Computer in: Proc. Spie. 5299, Computational Imaging II.{{}}: Cs1 montiert: Mehrfachnamen: Autorenliste (Link)

[GP-3] Grady, Leo J., Polimeni, Jonathan R. (2010). Diskrete Berechnung auf Diagramme.{{}}: Cs1 montiert: Mehrfachnamen: Autorenliste (Link)

[DDF-4] Mathieu Desbrun, Eva Kanso, Yiying Tong (2008). Diskrete Differentialformen für die Computermodellierung in: Bobenko A.I., Sullivan J. M., Schröder P., Ziegler G.M. (Hrsg.) Diskrete Differentialgeometrie. Oberwolfach Seminare, Vol 38. Birkhäuser Basel.{{}}: Cs1 montiert: Mehrfachnamen: Autorenliste (Link)

[WilmottHowison1995-5] Paul Wilmott; Sam Howison; Jeff Dewynne (1995). Die Mathematik finanzieller Derivate: Eine Einführung der Schüler. Cambridge University Press. p.137. ISBN 978-0-521-49789-3.

[Chaudhry2007-6] M Hanif Chaudhry (2007). Open-Channel-Fluss. Springer. p. 369. ISBN 978-0-387-68648-6.

[7] Levy, H.; Lessman, F. (1992). Endliche Differenzgleichungen. Dover. ISBN 0-486-67260-3.

[8] Ames, W. F. (1977). Numerische Methoden für partielle Differentialgleichungen, Abschnitt 1.6. Akademische Presse, New York. ISBN0-12-056760-1.

[9] Hildebrand, F. B., (1968). Finite-Differenz-Gleichungen und Simulationen, Abschnitt 2.2, Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey.

[TI-10] Peter Saveliev (2016). Topologie illustriert. ISBN 978-1495188756.

[Bredon-11] Glen E. Bredon (1997). Topologie und Geometrie (Graduiertentexte in Mathematik). Springer. ISBN 0387979263.

[CT-12] Tomasz Kaczynski; Konstantin Mischaikow; Marian Mrozek (2004). Computertopologie. ISBN 0-387-40853-3.{{}}: Cs1 montiert: Mehrfachnamen: Autorenliste (Link)

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