Dimensionslose Menge

A dimensionslose Menge (auch bekannt als a nackt, rein, oder Skalarmenge ebenso gut wie Dimensionsmenge eins)^[1] ist ein Anzahl zu welchem ​​nein physische Dimension wird zugewiesen, mit einem entsprechenden Si Maßeinheit von eines (oder 1),^[2][3] was nicht explizit gezeigt wird. Dimensionslose Mengen werden in vielen Bereichen häufig verwendet, wie z. Mathematik, Physik, Chemie, Ingenieurwesen, und Wirtschaft. Dimensionslose Größen unterscheiden Zeit (gemessen in Sekunden). Dimensionslose Einheiten sind dimensionslose Werte, die als dienen als Maßeinheiten zum Ausdruck anderer Mengen, wie z. Radians (rad) oder Steradier (sr) für Ebenenwinkel und Feste Winkel, beziehungsweise.^[2] Zum Beispiel, optische Ausdehnung ist definiert als von Steradiern multiplizierte Messeinheiten.^[4]

Geschichte

Mengen mit einer Dimension, dimensionslose Mengen, treten regelmäßig in den Wissenschaften auf und werden im Bereich von formell behandelt Dimensionsanalyse. Im neunzehnten Jahrhundert französischer Mathematiker Joseph Fourier und schottischer Physiker James Clerk Maxwell leitete bedeutende Entwicklungen in den modernen Konzepten von Abmessungen und Einheit. Spätere Arbeit von britischen Physikern Osborne Reynolds und Lord Rayleigh trug zum Verständnis der dimensionslosen Zahlen in der Physik bei. Aufbau auf Rayleighs Methode zur dimensionalen Analyse, Edgar Buckingham bewiesen das π Satz (unabhängig vom französischen Mathematiker Joseph Bertrand'S frühere Arbeit), um die Art dieser Mengen zu formalisieren.^[5]

Zahlreiche dimensionslose Zahlen, hauptsächlich Verhältnisse, wurden Anfang des 20. Jahrhunderts geprägt, insbesondere in den Gebieten von Strömungsmechanik und Wärmeübertragung. Messung Verhältnisse in der (abgeleiteten) Einheit db (Dezibel) findet heutzutage weit verbreitete Verwendung.

Es gab regelmäßige Vorschläge, um das SI -System zu "flicken", um die Verwirrung in Bezug auf physikalische Dimensionen zu verringern. Zum Beispiel ein 2017 OP-ed in Natur^[6] argumentierte für die Formalisierung der Radian als physische Einheit. Die Idee wurde widerlegt^[7] Mit der Begründung, dass eine solche Änderung Inkonsistenzen für beide etablierten dimensionslosen Gruppen wie die erhöhen würde Strouhal -Nummerund für mathematisch unterschiedliche Entitäten, die zufällig die gleichen Einheiten haben wie Drehmoment (a Vektorprodukt) gegen Energie (a Skalarprodukt). In einem anderen Fall in den frühen 2000er Jahren die Internationales Komitee für Gewichte und Maßnahmen diskutierte die Benennung der Einheit von 1 als die "Uno", Aber die Idee, nur einen neuen SI -Namen für 1 vorzustellen, wurde fallen gelassen.^[8][9][10]

Ganzzahlen

Ganzzahlzahlen kann verwendet werden, um diskrete dimensionslose Größen darzustellen. Genauer, Zählen von Zahlen kann verwendet werden, um auszudrücken zählbare Mengen,^[11][12] so wie die Anzahl der Partikel und Einwohnerzahl. In der Mathematik wird die "Anzahl der Elemente" in einem Satz bezeichnet Kardinalität. Zählbare Substantive ist ein verwandtes Linguistikkonzept. Zählen von Zahlen wie Anzahl von Bits, kann mit Frequenzeinheiten zusammengesetzt werden (inverse Sekunde) Einheiten der Zählrate abzuleiten, wie z. Bits pro Sekunde.Daten zählen ist ein verwandtes Konzept in Statistiken.

Verhältnisse, Proportionen und Winkel

Dimensionslose Mengen werden oft als erhalten als Verhältnisse von Mengen Das sind nicht dimensionlos, aber deren Dimensionen in der mathematischen Operation abbrechen.^[13] Beispiele sind die Berechnung Hänge oder Einheitsumrechnungsfaktoren. Ein komplexeres Beispiel für ein solches Verhältnis ist technische Belastung, ein Maß für die physikalische Verformung, die als Änderung der Länge definiert wird, geteilt durch die Anfangslänge. Da haben beide Größen die Dimension Länge, ihr Verhältnis ist dimensionlos. Ein weiterer Satz von Beispielen ist Massenbrüche oder Maulwurfsbrüche oft geschrieben mit Teile-per Notation wie ppm (= 10^–6), ppb (= 10^–9) und ppt (= 10^–12) oder vielleicht verwirrend als Verhältnis von zwei identischen Einheiten (kg/kg oder Mol/mol). Zum Beispiel, Alkohol nach Volumen, was die Konzentration von charakterisiert Ethanol in einem (n alkoholisches Getränk, könnte als geschrieben werden ml / 100 ml.

Andere häufige Proportionen sind Prozentsätze %(= 0,01),,‰(= 0,001) und Winkeleinheiten wie z. Radian, Grad (° =π/180) und Grad (=π/200). Im Statistiken das Variationskoeffizient ist das Verhältnis der Standardabweichung zum bedeuten und wird verwendet, um die zu messen Dispersion in dem Daten.

Es wurde argumentiert, dass als Verhältnis definierte Mengen definiert Q = A/B Die gleichen Abmessungen in Zähler und Nenner sind eigentlich nur nur unitlose Mengen und haben immer noch physikalische Dimension als definiert als schwach Q = dim A × dim B^–1.^[14] Zum Beispiel, Feuchtigkeitsgehalt kann als ein Volumenverhältnis (volumetrische Feuchtigkeit, m) definiert werden³· M^–3, Dimension l³⋅l^–3) oder als Verhältnis von Massen (gravimetrische Feuchtigkeit, Einheiten kgoge kgg^–1, Dimension m · m^–1); Beide wären unitlose Mengen, aber unterschiedlicher Dimension.

Buckingham π Satz

Der Buckingham π Theorem zeigt an, dass die Gültigkeit der Physikgesetze nicht von einem bestimmten Einheitssystem abhängt. Eine Aussage dieses Satzes ist, dass jedes physische Gesetz als ausgedrückt werden kann Identität nur dimensionslose Kombinationen (Verhältnisse oder Produkte) der durch das Gesetz verbundenen Variablen (z. B., Druck und Volumen sind durch Boyles Gesetz - Sie sind umgekehrt proportional). Wenn sich die Werte der dimensionslosen Kombinationen mit den Einheitensystemen änderten, wäre die Gleichung keine Identität, und Buckinghams Theorem würde nicht gelten.

Eine weitere Folge des Satzes ist, dass die funktional Abhängigkeit zwischen einer bestimmten Zahl (z. B., n) von Variablen kann durch die Zahl reduziert werden (z. B., k) von unabhängig Maße in diesen Variablen auftreten, um einen Satz von zu geben p = n − k unabhängig, dimensionlos Mengen. Für die Zwecke des Experimentators verschiedene Systeme, die die gleiche Beschreibung durch dimensionslose teilen Anzahl sind äquivalent.

Beispiel

Um die Anwendung der zu demonstrieren π Theorem, betrachten Sie die Energie Verbrauch von a Rührer mit einer bestimmten Form. Die Macht, Pin Abmessungen [m · l²/T³] ist eine Funktion des Dichte, ρ [M/l³], und die Viskosität der Flüssigkeit, die gerührt werden soll, μ [M/(l · t)] sowie die Größe des von seinem gegebenen Rührers Durchmesser, D [L] und die Winkelgeschwindigkeit des Rührers, n [1/t]. Deshalb haben wir insgesamt insgesamt n = 5 Variablen, die unser Beispiel darstellen. Diese n = 5 Variablen sind ausgebaut aus k = 3 grundlegende Dimensionen, Länge: l (Si Einheiten: m), Zeit: t (s) und Masse: m (kg).

Laut dem π-Theorem, die n = 5 Variablen können durch die reduziert werden k = 3 Dimensionen zur Form p = n − k = 5 - 3 = 2 unabhängige dimensionslose Zahlen. Normalerweise werden diese Mengen als ausgewählt als ${\ textstyle \ mathhrm {re} = {\ frac {\ rho nd^{2}} {\ mu}}}$, häufig benannt die Reynolds Nummer das beschreibt das Flüssigkeitsflussregime und ${\ textstyle n _ {\ mathhrm {p}} = {\ frac {p} {\ rho n^{3} d^{5}}}}$, das Leistungsnummer, was die dimensionslose Beschreibung des Rührers ist.

Beachten Sie, dass die zweidimensionslosen Mengen nicht einzigartig sind und davon abhängen, welcher der der n = 5 Variablen werden als die ausgewählt k = 3 unabhängige Basisvariablen, die in beiden dimensionslosen Größen erscheinen. Die Reynolds -Nummer und die Leistungsnummer fallen aus der obigen Analyse, wenn ${\ textstyle \ rho}$, n, und D werden als Basisvariablen ausgewählt. Wenn stattdessen, ${\ textstyle \ mu}$, n, und D werden ausgewählt, die Reynolds -Zahl wird wiederhergestellt, während die zweite dimensionslose Menge wird ${\ textstyle n _ {\ mathhrm {rep}} = {\ frac {p} {\ mu d^{3} n^{2}}}}$. Wir notieren das ${\ textstyle n _ {\ mathhrm {rep}}}$ ist das Produkt der Reynolds -Nummer und der Leistungsnummer.

Dimensionslose physikalische Konstanten

Bestimmte universelle dimensionierte physikalische Konstanten, wie die Lichtgeschwindigkeit in einem Vakuum die Universelle Gravitationskonstante, Plancks Konstante, Coulomb ist konstant, und Boltzmanns Konstante kann falls gegebenenfalls auf 1 normalisiert werden Zeit, Länge, Masse, aufladen, und Temperatur sind auserwählt. Das resultierende Einheitensystem ist als die bekannt natürliche Einheitenspeziell in Bezug auf diese fünf Konstanten, Planck -Einheiten. Allerdings nicht alle physische Konstanten kann auf diese Weise normalisiert werden. Beispielsweise sind die Werte der folgenden Konstanten unabhängig vom Einheitensystem, können nicht definiert werden und können nur experimentell bestimmt werden:^[15]

• α ≈ 1/137, die Feinstrukturkonstante, was die Größe des elektromagnetische Wechselwirkung zwischen Elektronen.
• β (oder μ) ≈ 1836, die Proton zu Elektronenmassenverhältnis. Dieses Verhältnis ist das Menge, die übrig bleibt des Proton geteilt durch die des Elektron. Ein analoge Verhältnis kann für jeden definiert werden Elementarteilchen;
• α_s ≈ 1, eine Konstante, die die charakterisiert starke Atomkraft Kopplungsstärke;
• Das Verhältnis der Masse eines bestimmten Elementarteilchens zum Planck -Masse, ${\ textstyle {\ sqrt {\ hbar c/g}}}$.

Andere Mengen, die durch Nichtdimensionalisierung erzeugt werden

Physik verwendet oft dimensionlos Mengen Vereinfachen Sie die Charakterisierung von Systemen mit mehreren interagierenden physikalischen Phänomenen. Diese können durch Anwenden der Anwendung gefunden werden Buckingham π Satz oder sonst kann sich aus der Herstellung entstehen partielle Differentialgleichungen uneinheitlos durch den Prozess von Nichtdimensionalisierung. Technik, Wirtschaft und andere Bereiche erweitern diese Ideen häufig in Entwurf und Analyse der relevanten Systeme.

Physik und Ingenieurwesen

• Fresnel -Nummer - Wellenzahl über die Entfernung
• Mach Nummer - Verhältnis der Geschwindigkeit eines Objekts oder Flusses relativ zur Schallgeschwindigkeit in der Flüssigkeit.

• Beta (Plasmaphysik) - Verhältnis des Plasmadrucks zum Magnetdruck, der in der magnetosphärischen Physik sowie in der Fusionsplasmaphysik verwendet wird.
• Damköhler -Zahlen (DA) - In der Chemieingenieurwesen verwendet, um den chemischen Reaktionszeitskala (Reaktionsgeschwindigkeit) mit der in einem System auftretenden Transportphänomene in Beziehung zu setzen.
• Thiele Modul - beschreibt die Beziehung zwischen Diffusion und Reaktionsgeschwindigkeit in porösen Katalysatorpellets ohne Massenübertragungsbeschränkungen.
• Numerische Blende - charakterisiert den Winkelbereich, über den das System Licht akzeptieren oder emittieren kann.
• Sherwood -Nummer - (auch als Massenübertragung bezeichnet Nusselt -Nummer) ist eine dimensionslose Zahl, die im Massentransferbetrieb verwendet wird. Es repräsentiert das Verhältnis des konvektiven Massenübergangs zur Rate des diffusiven Massentransports.
• Schmidt -Nummer - definiert als das Verhältnis der Impulsdiffusivität (kinematische Viskosität) und die Massendiffusionsfähigkeit und wird verwendet, um Flüssigkeitsströme zu charakterisieren, in denen es gleichzeitige Impuls- und Massendiffusionskonvektionsprozesse gibt.
• Reynolds Nummer wird üblicherweise in der Flüssigkeitsmechanik verwendet, um den Durchfluss zu charakterisieren, wobei beide Eigenschaften der Flüssigkeit und des Flusses enthalten sind. Es wird als Verhältnis von Trägheitskräften zu viskosen Kräften interpretiert und kann das Durchflussregime angeben und mit der Reibungsheizung in der Anwendung in Rohre korrelieren.^[16]
• Die Zukoski -Zahl, die normalerweise q*angegeben ist, ist das Verhältnis der Wärmeabgaberate eines Brandes zur Enthalpie der durch das Feuer zirkulierenden Gasströmungsrate. Zufällige und natürliche Brände haben normalerweise ein q* von ~ 1. Flat -Spread -Brände wie Waldbrände haben q*<1. Brände, die aus unter Druck stehenden Gefäßen oder Rohren mit zusätzlichem Dynamik stammen, haben q*>>> 1. ^[17]

Chemie

• Relative Dichte - Dichte im Vergleich zu Wasser
• Relative Atommasse, Standard Atomgewicht
• Gleichgewichtskonstante (was manchmal dimensionlos ist)

Andere Felder

• Transportkosten ist der Effizienz Wenn Sie sich von einem Ort zum anderen bewegen
• Elastizität ist die Messung der proportionalen Veränderung einer wirtschaftlichen Variablen als Reaktion auf eine Änderung eines anderen

Siehe auch

• Willkürliche Einheit
• Dimensionsanalyse
• Normalisierung (Statistik) und standardisierter Moment, die analogen Konzepte in Statistiken
• Größenordnungen (Zahlen)
• Ähnlichkeit (Modell)
• Liste der dimensionslosen Mengen

Verweise

Externe Links

• Medien im Zusammenhang mit dimensionslosen Zahlen bei Wikimedia Commons