Dimensionsanalyse

Im Ingenieurwesen und Wissenschaft, Dimensionsanalyse ist die Analyse der Beziehungen zwischen verschiedenen physikalische Quantitäten durch Identifizierung ihrer Grundmengen (wie zum Beispiel Länge, Masse, Zeit, und elektrischer Strom) und Maßeinheiten (wie Meilen gegen Kilometer oder Pfund gegen Kilogramm) und die Verfolgung dieser Dimensionen als Berechnungen oder Vergleiche verfolgen. Das Umwandlung von Einheiten von einer dimensionalen Einheit zur anderen ist oft einfacher innerhalb der metrisch oder Si System als in anderen, aufgrund der regulären 10-Basis in allen Einheiten. Dimensionale Analyse oder genauer gesagt die Faktor-Label-Methode, auch bekannt als die Einheiten-Faktor-Methode, ist eine weit verbreitete Technik für solche Conversions unter Verwendung der Regeln von Algebra.^[1]^[2]^[3]

Kommensurabel Physikalische Größen sind von gleicher Art und haben die gleiche Dimension und können direkt miteinander verglichen werden, selbst wenn sie ursprünglich in unterschiedlichen Maßeinheiten exprimiert werden, z. Yards und Meter, Pfund (Masse) und Kilogramm, Sekunden und Jahre. Inkommensurabel Physikalische Größen sind unterschiedlich und haben unterschiedliche Dimensionen und können nicht direkt miteinander verglichen werden, unabhängig davon, in welchen Einheiten sie ursprünglich exprimiert werden, z. Meter und Kilogramm, Sekunden und Kilogramm, Meter und Sekunden. Beispielsweise ist es bedeutungslos, zu fragen, ob ein Kilogramm größer als eine Stunde ist.

Körperlich bedeutungsvoll Gleichung, oder Ungleichheit, muss haben die gleichen Abmessungen auf der linken und rechten Seite, eine Eigenschaft, die als bekannt ist wie dimensionale Homogenität. Die Überprüfung auf dimensionale Homogenität ist eine häufige Anwendung der dimensionalen Analyse, die als Plausibilitätsprüfung dient abgeleitet Gleichungen und Berechnungen. Es dient auch als Leitfaden und Einschränkung bei der Ableitung von Gleichungen, die ein physisches System ohne eine strengere Ableitung beschreiben können.

Das Konzept von physische Dimensionund von dimensionaler Analyse wurde durch eingeführt von Joseph Fourier 1822.^[4]

Betonnummern und Basiseinheiten

Viele Parameter und Messungen in den physischen Wissenschaften und Ingenieurwesen werden als a ausgedrückt Betonnummer- Eine numerische Menge und eine entsprechende dimensionale Einheit. Oft wird eine Menge in Bezug auf mehrere andere Größen ausgedrückt; Zum Beispiel ist die Geschwindigkeit eine Kombination aus Länge und Zeit, z. 60 Kilometer pro Stunde oder 1,4 Kilometer pro Sekunde. Zusammengesetzte Beziehungen mit "pro" werden mit ausgedrückt Aufteilung, z.B. 60 km/1 h. Andere Beziehungen können beinhalten Multiplikation (oft mit a gezeigt zentrierter Punkt oder Nebeneinander), Kräfte (wie m² für Quadratmeter) oder Kombinationen davon.

Eine Menge von Basiseinheiten Für ein Messsystem ist ein herkömmlich ausgewählter Satz von Einheiten, von denen keiner als Kombination der anderen ausgedrückt werden kann und in dem alle verbleibenden Einheiten des Systems ausgedrückt werden können.^[5] Zum Beispiel Einheiten für Länge und die Zeit werden normalerweise als Basiseinheiten ausgewählt. Einheiten für Volumenkann jedoch in die Grundeinheiten der Länge einbezogen werden (m³), so werden sie als abgeleitete oder zusammengesetzte Einheiten betrachtet.

Manchmal verdunkeln die Namen von Einheiten die Tatsache, dass sie abgeleitete Einheiten sind. Zum Beispiel a Newton (N) ist eine Einheit von Macht, mit Einheiten der Massenzeiten (kg) Zeiteinheiten der Beschleunigung (M · S^–2). Der Newton ist definiert als 1 n = 1 kg während^–2.

Prozentsätze, Derivate und Integrale

Prozentsätze sind dimensionslose Größen, da sie Verhältnisse von zwei Größen mit den gleichen Abmessungen sind. Mit anderen Worten, das% Zeichen kann seitdem als "Hundertstel" gelesen werden 1% = 1/100.

Das Einnehmen eines Derivats in Bezug auf eine Menge fügt die Dimension der Variablen hinzu, die sich im Nenner im Nenner unterscheidet. Daher:

Position (x) hat die Dimension l (Länge);
Ableitung der Position in Bezug auf die Zeit (dx/dt, Geschwindigkeit) hat Dimension t^–1L - Länge von der Position, Zeit aufgrund des Gradienten;
das zweite Derivat (d²x/dt² = d(dx/dt) / dt, Beschleunigung) hat Dimension t^–2L.

Ebenso fügt die Einnahme eines Integrals die Dimension der Variablen hinzu, die in Bezug auf den Zähler integriert wird.

Macht hat die Dimension T^–2LM (Masse multipliziert mit Beschleunigung);
das Integral der Kraft in Bezug auf die Entfernung (s) Das Objekt ist gereist ( ${\ displaystyle \ textstyle \ int f \ ds}$ , Arbeit) hat Dimension T^–2L²M.

In der Wirtschaft unterscheidet man zwischen Aktien und Flüsse: Eine Aktie hat Einheiten von "Einheiten" (z. B. Widgets oder Dollar), während ein Fluss ein Derivat einer Aktie ist und Einheiten von "Einheiten/Zeit" (z. B. Dollar/Jahr) hat.

In einigen Kontexten werden dimensionale Größen als dimensionslose Mengen oder Prozentsätze ausgedrückt, indem einige Dimensionen weggelassen werden. Zum Beispiel, Verschuldungsquoten werden im Allgemeinen als Prozentsätze ausgedrückt: Gesamtverschuldung ausstehende (Dimension der Währung) geteilt durch das jährliche BIP (Dimension der Währung) - aber man kann argumentieren, dass beim Vergleich einer Aktie mit einem Fluss das jährliche BIP Abmessungen von Währung/Zeit (Dollar/Dollar/sollte Jahr, zum Beispiel) und damit Schulden-BIP sollten Einheiten von Jahren haben, was darauf hinweist Die Schulden sind ansonsten unverändert.

Umrechnungsfaktor

In der dimensionalen Analyse wird ein Verhältnis, das eine Maßeinheit in eine andere umwandelt, ohne die Menge zu ändern Umrechnungsfaktor. Zum Beispiel sind KPA und Bar beide Druckeinheiten und 100 kPa = 1 bar. Die Algebra -Regeln ermöglichen es beiden Seiten einer Gleichung durch denselben Ausdruck, daher entspricht dies zu 100 kPa / 1 bar = 1. Da jede Menge mit 1 multipliziert werden kann, ohne ihn zu ändern, ist der Ausdruck "100 kPa / 1 bar"Kann verwendet werden, um von Balken in KPA zu konvertieren, indem Sie es mit der zu konvertierten Menge, einschließlich Einheiten, multiplizieren. Zum Beispiel. 5 bar × 100 kPa / 1 bar = 500 kPa Weil 5 × 100 /1 = 500und Bar/Bar storniert also, also 5 bar = 500 kPa.

Dimensionale Homogenität

Die grundlegendste Regel der dimensionalen Analyse ist die dimensionale Homogenität.^[6]

Nur anneigende Mengen (physikalische Größen mit der gleichen Dimension) können sein verglichen, gleichgesetzt, hinzugefügt, oder abgezogen.

Die Dimensionen bilden jedoch eine Abelsche Gruppe unter Multiplikation, also:

Man kann nehmen Verhältnisse von inkommensurabel Mengen (Mengen mit unterschiedlichen Abmessungen) und multiplizieren oder teilen Sie.

Zum Beispiel macht es keinen Sinn zu fragen, ob 1 Stunde mehr, das gleiche oder weniger als 1 Kilometer ist, da diese unterschiedliche Abmessungen haben oder 1 Stunde bis 1 Kilometer hinzufügen. Es ist jedoch vollkommen sinnvoll zu fragen, ob 1 Meile mehr, dasselbe oder weniger als 1 Kilometer die gleiche Dimension der physikalischen Menge ist, obwohl die Einheiten unterschiedlich sind. Wenn andererseits ein Objekt in 2 Stunden 100 km reist, kann man diese teilen und zu dem Schluss kommen, dass die Durchschnittsgeschwindigkeit des Objekts 50 km/h betrug.

Die Regel impliziert, dass in einem physikalisch bedeutsamen Ausdruck Es können nur Mengen derselben Dimension zugegeben, subtrahiert oder verglichen werden. Zum Beispiel wenn m_Mann, m_Ratte und L_Mann Bezeichnen Sie jeweils die Masse eines Menschen, die Masse einer Ratte und die Länge dieses Mannes, die dimensional homogene Ausdruck m_Mann + m_Ratte ist bedeutungsvoll, aber der heterogene Ausdruck m_Mann + L_Mann ist bedeutungslos. Jedoch, m_Mann/L²_Mann ist gut. Somit kann eine dimensionale Analyse als verwendet werden Gesundheitsüberprüfung der physikalischen Gleichungen: Die beiden Seiten einer Gleichung müssen angewendet werden oder die gleichen Abmessungen haben.

Dies hat die Implikation, dass die meisten mathematischen Funktionen, insbesondere die, die Transzendentale Funktionen, muss eine dimensionslose Menge haben, eine reine Zahl, wie die Streit und muss als Ergebnis eine dimensionslose Zahl zurückgeben. Dies ist klar, da viele transzendentale Funktionen als unendlich ausgedrückt werden können Power -Serie mit dimensionlos Koeffizienten.

oder }+a_ {3} x^{3}+\ cdots}

Alle Kräfte von x Muss die gleiche Dimension haben, damit die Begriffe verfolgt werden. Doch wenn x ist nicht dimensionlos, dann die verschiedenen Kräfte von x wird unterschiedliche, in Verbindung mit der Abmessung haben. Jedoch, Leistungsfunktionen einschließlich Wurzelfunktionen Kann ein dimensionales Argument haben und wird ein Ergebnis mit Dimension zurückgeben, das die gleiche Kraft ist, die für die Argumentmessung angewendet wird. Dies liegt daran, dass Leistungsfunktionen und Wurzelfunktionen lose nur ein Ausdruck der Multiplikation von Mengen sind.

Selbst wenn zwei physikalische Mengen identische Dimensionen haben, kann es dennoch bedeutungslos vergleichen oder hinzugefügt werden. Zum Beispiel obwohl, obwohl Drehmoment und Energie teilen die Dimension T^–2L²MSie sind grundsätzlich unterschiedliche physische Mengen.

Um Größen mit denselben Abmessungen zu vergleichen, hinzuzufügen oder zu subtrahieren, aber in verschiedenen Einheiten ausgedrückt, dient das Standardverfahren zunächst, um sie alle in dieselben Einheiten umzuwandeln. Verwenden Sie beispielsweise 32 Meter mit 35 Yards, um 1 Yard = 0,9144 m zu verwenden, um 35 Yards in 32,004 m zu konvertieren.

Ein verwandtes Prinzip ist, dass jedes physische Gesetz, das die reale Welt genau beschreibt, unabhängig von den Einheiten sein muss, die zur Messung der physikalischen Variablen verwendet werden.^[7] Zum Beispiel, Newtons Bewegungsgesetze Muss wahr sein, ob die Entfernung in Meilen oder Kilometern gemessen wird. Dieses Prinzip führt zu der Form, dass Konversionsfaktoren zwischen Einheiten, die dieselbe Dimension messen: Multiplikation durch eine einfache Konstante. Es sorgt auch für die Äquivalenz; Wenn beispielsweise zwei Gebäude in Fuß die gleiche Höhe haben, müssen sie in Metern die gleiche Höhe haben.

Die Faktor-Label-Methode zum Konvertieren von Einheiten

Die Faktor-Label-Methode ist die sequentielle Anwendung von Konvertierungsfaktoren, die als Fraktionen ausgedrückt und so angeordnet sind, dass jede dimensionale Einheit sowohl im Zähler als auch im Nenner einer der Fraktionen aufnimmt, bis nur der gewünschte Satz von dimensionalen Einheiten erhalten wird. Zum Beispiel 10 Meilen pro Stunde kann zu konvertiert werden zu Meter pro Sekunde Unter Verwendung einer Abfolge von Konvertierungsfaktoren wie unten gezeigt:

oder }} {1 \ {\ abbrechen {\ text {mile}}}} \ times {\ frac {1 \ {\ abbrechen {\ text {stündlich}}}} {3600 {\ text {Second}}}} = 4.4704 \ {\ frac {\ text {meter}} {\ text {Second}}}.}.}.

Jeder Konvertierungsfaktor wird auf der Grundlage der Beziehung zwischen einer der ursprünglichen Einheiten und einer der gewünschten Einheiten (oder einer Zwischeneinheit) ausgewählt, bevor sie neu angeordnet werden, um einen Faktor zu erstellen, der die ursprüngliche Einheit absagt. Zum Beispiel als "Mile" ist der Zähler in der ursprünglichen Fraktion und ${\ displayStyle 1 \ {\ text {mile}} = 1609.344 \ {\ text {meter}}}$ , "Mile" muss der Nenner im Umwandlungsfaktor sein. Dividierung beide Seiten der Gleichung durch 1 Meilener Ausbeuten zu teilen $oder {Meile}}}}}$ , was, wenn vereinfacht $oder$ . Multiplizieren Sie eine Menge (physikalische Menge oder nicht) mit der dimensionslosen 1 ändert diese Menge nicht. Sobald dieser und der Conversion -Faktor für Sekunden pro Stunde mit dem ursprünglichen Bruch multipliziert wurden, um die Einheiten abzubrechen Meile und Stunde, 10 Meilen pro Stunde konvertiert auf 4,4704 Meter pro Sekunde.

Als komplexeres Beispiel die Konzentration von Stickoxide (d. h., ${\ displaystyle \ color {blau} {\ ce {no}} _ {x}}$ ) in dem Rauchgas von einer Industrie Ofen kann in a konvertiert werden Massendurchsatz in Gramm pro Stunde ausgedrückt (d. H. G/h) von ${\ displayStyle {\ ce {no}} _ {x}}$ Verwenden Sie die folgenden Informationen wie unten gezeigt:

NEIN_x Konzentration: = 10 Teile pro Million nach Volumen = 10 ppmv = 10 Volumes/10⁶ Bände
NEIN_x Molmasse: = 46 kg/kmol = 46 g/mol
Durchflussrate von Rauchgas: = 20 Kubikmeter pro Minute = 20 m³/Mindest; Das Rauchgas verlässt den Ofen bei 0 ° C und 101,325 kPa absoluter Druck.; Das Molvolumen eines Gases bei 0 ° C Temperatur und 101,325 kPa beträgt 22,414 m³/Kmol.

{\frac {1000\ {\ce {g\ NO}}_{x}}{1{\cancel {{\ce {kg\ NO}}_{x}}}}}\times {\ FRAC {46 \ {\ abbrechen {{\ ce {kg \ no} _ {x}}}} {1 \ {\ abbrechen {{\ ce {kmol \ nein} _ {x}}}}}}} \ Times \ no} _ {x}}}}}} \ adimes \ times \ no} _ oder oder }} _ {x}}}}} \ times {\ frac {10 \ {\ abbrechen {{\ ce {m}}^{3} \ {\ ce {no}} _ {x}}} {10 10 10 ^{6} \ {\ abbrechen {{\ ce {m}}^{3} \ {\ ce {gas}}}}} \ times {\ frac {20 \ {\ abbrechen {\ {{m {m} }^{3} \ {\ ce {gas}}}} {1 \ {\ abbrechen {\ ce {minute}}}} \ times {\ frac {60 \ {\ abbrechen {\ {minute {Minute}}} }} {1 \ {\ ce {hour}}}} = 24.63 \ {\ frac {{\ ce {g \ no} _ {x} {\ ce {hour}}}}}}}}}}}}}

Nachdem dimensionale Einheiten, die sowohl in den Zahlen als auch in den Nennern der Fraktionen in der obigen Gleichung erscheinen_x Konzentration von 10 ppm_v Konvertiert in die Massenflussrate von 24,63 Gramm pro Stunde.

Überprüfen von Gleichungen, die Dimensionen beinhalten

Die Faktor-Label-Methode kann auch für jede mathematische Gleichung verwendet werden, um zu überprüfen, ob die dimensionalen Einheiten auf der linken Seite der Gleichung mit den dimensionalen Einheiten auf der rechten Seite der Gleichung übereinstimmen oder nicht. Die gleichen Einheiten auf beiden Seiten einer Gleichung zu haben, stellt nicht sicher, dass die Gleichung korrekt ist, aber auf den beiden Seiten (wenn es sich um Basiseinheiten ausdrückt) einer Gleichung auf den beiden Seiten (wenn es ausdrückt wird) impliziert, dass die Gleichung falsch ist.

Überprüfen Sie zum Beispiel die Universelles Gasrecht Gleichung von Pv = nrt, Wenn:

der Druck P ist in Pascals (PA)
die Lautstärke V ist in Kubikmeter (m)³)
die Menge an Substanz n ist in Maulwürfen (mol)
das Universal Gasgesetz Konstante R IS 8.3145 PA·M³/(Mol ·K)
die Temperatur T ist in Kelvins (k)

oder }}}{{\cancel {{\ce {mol}}}}\ {\cancel {{\ce {K}}}}}}\times {\frac {\cancel {{\ce {K}}} } {1}}}

Wie zu sehen ist, haben beide Seiten der Gleichung die gleichen dimensionalen Einheiten, wenn die im Zähler und Nenner der rechten Seite der rechten Seite der rechten Seite der rechten Seite der rechten Seite der Rechten auftretenden Einheiten der Gleichung auftreten. Die dimensionale Analyse kann als Instrument zur Konstruktion von Gleichungen verwendet werden, die nicht assoziierte physikalisch-chemische Eigenschaften in Beziehung setzen. Die Gleichungen können bisher unbekannte oder übersehene Eigenschaften der Materie in Form von linksübergreifenden Dimensionen-dimensionalen Einstellern-, denen dann physikalische Bedeutung zugeordnet werden kann. Es ist wichtig darauf hinzuweisen, dass eine solche "mathematische Manipulation" weder ohne vorherigen Präzedenzfall noch ohne beträchtliche wissenschaftliche Bedeutung ist. In der Tat das Planck konstant, eine grundlegende Konstante des Universums, wurde als rein mathematische Abstraktion oder Darstellung „entdeckt“, die auf dem basiert Rayleigh -Jeans -Gesetz zur Verhinderung der ultravioletten Katastrophe. Es wurde zugewiesen und seiner quanten physikalischen Bedeutung entweder in Tandem- oder post -mathematischer dimensionaler Anpassung aufgestiegen - nicht früher.

Einschränkungen

Die Faktor-Label-Methode kann nur Einheitsmengen konvertieren, für die sich die Einheiten in einer linearen Beziehung haben, die sich bei 0 überschneidet.Verhältnisskala In Stevens 'Typologie) passen die meisten Einheiten zu diesem Paradigma. Ein Beispiel, für das es nicht verwendet werden kann, ist die Konvertierung zwischen Grad Celsius und Kelvins (oder Grad Fahrenheit). Zwischen Grad Celsius und Kelvins gibt es eher einen konstanten Unterschied als ein konstantes Verhältnis, während zwischen Grad Celsius und Grad Fahrenheit weder eine konstante Differenz noch ein konstantes Verhältnis bestehen. Es gibt jedoch eine Affine -Transformation ( ${\ displaystyle x \ mapstox+b}$ , eher als ein lineare Transformation ${\ displaystyle x \ mapstox}}$ ) zwischen ihnen.

Beispielsweise beträgt der Gefrierpunkt des Wassers 0 ° C und 32 ° F und eine Änderung von 5 ° C entspricht einer Änderung von 9 ° F. Um also von Fahrenheit in Einheiten von Celsius umzuwandeln, subtrahiert man 32 ° F (der Versatz vom Referenzpunkt), teilt sich durch 9 ° F ab und multipliziert sich mit 5 ° C (Skalen durch das Verhältnis der Einheiten) und fügt hinzu 0 ° C (der Versatz vom Referenzpunkt). Die Umkehrung dieser ergibt die Formel, um eine Menge in Einheiten von Celsius aus Fahrenheiteinheiten zu erhalten; Man hätte mit der Äquivalenz zwischen 100 ° C und 212 ° F beginnen können, obwohl dies am Ende dieselbe Formel ergeben würde.

Um den numerischen Mengenwert einer Temperatur zu konvertieren T[F] in Grad Fahrenheit zu einem numerischen Mengenwert T[C] In Grad Celsius kann diese Formel verwendet werden:

T[C] = (T[F] - 32) × 5/9.

Umwandeln T[C] in Grad Celsius zu T[F] In Grad Fahrenheit kann diese Formel verwendet werden:

T[F] = ((T[C] × 9/5) + 32.

Anwendungen

Die dimensionale Analyse wird am häufigsten in Physik und Chemie - und in der Mathematik davon - verwendet, findet jedoch auch einige Anwendungen außerhalb dieser Felder.

Mathematik

Eine einfache Anwendung der dimensionalen Analyse auf die Mathematik ist die Berechnung der Form der Volumen von an n-Ball (der feste Ball in n Abmessungen) oder die Fläche seiner Oberfläche, die n-Kugel: sein n-Dimensionale Figur, die Volumenskala als ${\ displaystyle x^{n},},}$ Während der Oberfläche sein Sein ${\ displayStyle (n-1)}$ -Dimensional, skaliert als ${\ displayStyle x^{n-1}.}$ So das Volumen der n-ball in Bezug auf den Radius ist ${\ displayStyle c_ {n} r^{n},}$ für einige Konstante ${\ displayStyle c_ {n}.}$ Die Bestimmung der Konstante erfordert mehr Mathematik, aber das Formular kann allein durch dimensionale Analyse abgeleitet und überprüft werden.

Finanzen, Wirtschaftlichkeit und Buchhaltung

In Finanzen, Wirtschaft und Buchhaltung wird die dimensionale Analyse am häufigsten in Bezug auf die bezeichnet Unterscheidung zwischen Aktien und Flüssen. Allgemeiner wird eine dimensionale Analyse zur Interpretation verschiedener Interpretation verwendet Finanzielle Verhältnisse, Ökonomieverhältnisse und Rechnungslegungsverhältnisse.

Zum Beispiel die P/E -Verhältnis hat Zeitdimensionen (Einheiten von Jahren) und kann als "Jahre des Gewinns, um den gezahlten Preis zu verdienen" interpretiert werden.
In Wirtschaft, Verschuldungsquote hat auch Einheiten von Jahren (Schulden haben Währungseinheiten, das BIP hat Einheiten mit Währung/Jahr).
Geldgeschwindigkeit hat Einheiten von 1/Jahren (BIP/Geldangebot hat Einheiten mit Währung/Jahr über Währung): Wie oft zirkuliert eine Einheit von Währung pro Jahr.
Jährliche kontinuierlich zusammengesetzte Zinssätze und einfache Zinssätze werden häufig als Prozentsatz (Adimensionsmenge) ausgedrückt, während die Zeit als Adimensionsmenge ausgedrückt wird, die aus der Anzahl der Jahre besteht. Wenn die Zeit jedoch das Jahr als Maßeinheit beinhaltet, beträgt die Dimension der Rate 1/Jahr. Natürlich gibt es nichts Besonderes (abgesehen von der üblichen Konvention), das Jahr als Zeiteinheit zu nutzen: Jede andere Zeiteinheit kann verwendet werden. Wenn Rate und Zeit ihre Messeinheiten enthalten, ist die Verwendung verschiedener Einheiten für jeden nicht problematisch. Im Gegensatz dazu müssen Rate und Zeit auf einen gemeinsamen Zeitraum verweisen, wenn sie feltig sind. (Beachten Sie, dass effektive Zinssätze nur als feindliche Mengen definiert werden können.)
In der Finanzanalyse, Bindungsdauer kann definiert werden als (dv/dR)/v, wobei V der Wert einer Bindung (oder Portfolio) ist, R ist der kontinuierlich verschärfte Zinssatz und DV/DR ist ein Derivat. Ab dem vorherigen Punkt beträgt die Dimension von R 1/Zeit. Daher ist die Dimension der Dauer Zeit (normalerweise in Jahren ausgedrückt), da DR im "Nenner" des Derivats ist.

Strömungsmechanik

Im StrömungsmechanikDie dimensionale Analyse wird durchgeführt, um dimensionlos zu erhalten PI -Begriffe oder Gruppen. Nach den Prinzipien der dimensionalen Analyse kann jeder Prototyp durch eine Reihe dieser Begriffe oder Gruppen beschrieben werden, die das Verhalten des Systems beschreiben. Mit geeigneten PI -Begriffen oder -Gruppen ist es möglich, einen ähnlichen Satz von PI -Begriffen für ein Modell mit den gleichen dimensionalen Beziehungen zu entwickeln.^[8] Mit anderen Worten, PI -Begriffe bieten eine Abkürzung für die Entwicklung eines Modells, das einen bestimmten Prototyp darstellt. Zu den häufigen dimensionslosen Gruppen in der Flüssigkeitsmechanik gehören:

Reynolds Nummer (Re), im Allgemeinen wichtig bei allen Arten von Flüssigkeitsproblemen: ${\ displayStyle \ mathrm {re} = {\ frac {\ rho \, ud} {\ mu}}.}$
Froude -Nummer (FR), Modellierungsfluss mit einer freien Oberfläche: $oder$
Euler -Nummer (EU), verwendet in Problemen, bei denen Druck von Interesse ist: ${\ displayStyle \ mathrm {eu} = {\ frac {\ delta p} {\ rho u^{2}}.}$
Mach Nummer (MA), wichtig in Hochgeschwindigkeitsströmen, bei denen sich die Geschwindigkeit nähert oder die lokale Schallgeschwindigkeit überschreitet: ${\ displayStyle \ mathrm {ma} = {\ frac {u} {c}},},},},},},},}$ wo $c$ ist die lokale Schallgeschwindigkeit.

Geschichte

Die Ursprünge der dimensionalen Analyse wurden von Historikern bestritten.^[9]^[10]

Die erste schriftliche Anwendung der dimensionalen Analyse wurde einem Artikel von gutgeschrieben François Daviet Bei der Turin Akademie der Wissenschaft. Daviet hatte den Meister Lagrange als Lehrer. Seine grundlegenden Werke sind in Acta der Akademie vom 1799 enthalten.^[10]

Dies führte zu der Schlussfolgerung, dass aussagekräftige Gesetze homogene Gleichungen in ihren verschiedenen Messeinheiten sein müssen, ein Ergebnis, das später später in der formalisiert wurde Buckingham π Theorem.Simeon Poisson auch das gleiche Problem der Parallelogrammgesetz von Daviet, in seiner Abhandlung von 1811 und 1833 (Band I, S. 39).^[11] In der zweiten Ausgabe von 1833 stellt Poisson den Begriff ausdrücklich vor Abmessungen statt der Daviet Homogenität.

1822 der wichtige napoleonische Wissenschaftler Joseph Fourier machte die ersten anerkannten wichtigen Beiträge^[12] basierend auf der Idee, dass physische Gesetze mögen F = ma sollte unabhängig von den Einheiten sein, die zur Messung der physikalischen Variablen eingesetzt werden.

James Clerk Maxwell spielte eine wichtige Rolle bei der Feststellung der modernen Verwendung der dimensionalen Analyse, indem Masse, Länge und Zeit als grundlegende Einheiten unterschieden werden, während sie sich auf andere abgeleitete Einheiten beziehen.^[13] Obwohl Maxwell Länge, Zeit und Masse als "drei grundlegende Einheiten" definierte, stellte er auch fest, dass die Gravitationsmasse von Länge und Zeit abgeleitet werden kann, indem eine Form von angenommen wurde Newtons Gesetz der universellen Gravitation in welcher Gravitationskonstante G wird als Einheit angenommen, wodurch definiert wird M = t^–2L³.^[14] Durch Annahme einer Form von Coulomb-Gesetz in welchem Coulomb ist konstant k_e wird als Einheit angenommen, Maxwell stellte dann fest, dass die Abmessungen einer elektrostatischen Ladungseinheit waren Q = t^–1L^3/2M^1/2,^[15] was, nachdem er seine ersetzt hat M = t^–2L³ Gleichung für die Masse, führt zu Ladungen mit den gleichen Abmessungen wie Masse, nämlich. Q = t^–2L³.

Die dimensionale Analyse wird auch verwendet, um Beziehungen zwischen den physikalischen Größen abzuleiten, die an einem bestimmten Phänomen beteiligt sind, das man verstehen und charakterisieren möchte. Es wurde zum ersten Mal verwendet (Pesic 2005) auf diese Weise im Jahr 1872 von Lord Rayleigh, wer versuchte zu verstehen, warum der Himmel blau ist. Rayleigh veröffentlichte die Technik zum ersten Mal in seinem Buch von 1877 Die Theorie des Klangs.^[16]

Die ursprüngliche Bedeutung des Wortes Abmessungen, in Fouriers Theorie de la Chaleurwar der numerische Wert der Exponenten der Basiseinheiten. Zum Beispiel wurde die Beschleunigung in Bezug auf die Längeeinheit und die Dimension –2 in Bezug auf die Zeiteinheit 1 angesehen.^[17] Dies wurde von Maxwell leicht verändert, der sagte, die Dimensionen der Beschleunigung seien t^–2L, anstatt nur die Exponenten.^[18]

Mathematische Formulierung

Das Buckingham π Theorem beschreibt, wie jede körperlich bedeutungsvolle Gleichung mit n Variablen können äquivalent als Gleichung von neu geschrieben werden n − m dimensionslose Parameter, wo m ist der Rang der Dimension Matrix. Darüber hinaus und vor allem liefert es eine Methode zum Berechnen dieser dimensionslosen Parameter aus den angegebenen Variablen.

Eine dimensionale Gleichung kann die Abmessungen reduzieren oder durch Eliminierung durchführen lassen Nichtdimensionalisierung, was mit der dimensionalen Analyse beginnt und die Skalierungsmengen durch beinhaltet charakteristische Einheiten eines Systems oder natürliche Einheiten von Natur. Dies gibt Einblicke in die grundlegenden Eigenschaften des Systems, wie in den folgenden Beispielen dargestellt.

Definition

Die Dimension von a physikalische Größe kann als Produkt der grundlegenden physikalischen Dimensionen wie Länge, Masse und Zeit ausgedrückt werden, die jeweils zu a angehoben werden rational Energie. Das Abmessungen einer physikalischen Menge ist grundlegender als manche Skala oder Einheit Wird verwendet, um die Menge dieser physikalischen Menge auszudrücken.^[19] Zum Beispiel, Masse ist eine Dimension, während das Kilogramm eine bestimmte Maßstabeinheit ist, um eine Massemenge auszudrücken. Ausser für natürliche EinheitenDie Auswahl des Maßstabs ist kulturell und willkürlich.

Es gibt viele mögliche Auswahlmöglichkeiten für grundlegende physikalische Dimensionen. Das SI Standard Empfiehlt die Verwendung der folgenden Abmessungen und entsprechenden Symbole: Zeit (T), Länge (L),, Masse (M), elektrischer Strom (ICH), Absolute Temperatur (Θ), Menge der Substanz (N) und Lichtintensität (J). Die Symbole sind durch Konvention normalerweise geschrieben in römisch serifenlos Schrift.^[20] Mathematisch die Dimension der Menge Q wird gegeben von

oder ^{d} {\ mathsf {\ theta}}^{e} {\ mathsf {n}}^{f} {\ mathsf {j}}^{g}}

wo a, b, c, d, e, f, g sind die dimensionalen Exponenten. Andere physikalische Größen könnten als Basismengen definiert werden, solange sie a bilden linear unabhängig Basis - Zum Beispiel könnte man die Dimension (i) von ersetzen elektrischer Strom der Si -Basis mit einer Dimension (q) von elektrische Ladungda q = ti.

Als Beispiele die Dimension der physikalischen Menge Geschwindigkeit v ist

{\ displayStyle \ operatorname {dim} v = {\ frac {\ text {length}} {\ text {time}}} = {\ frac {\ mathsf {l} {\ mathsf {t}} {{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{{) mathsf {t}}^{-1} {\ mathsf {l}}}}} {\ mathsf {l}}}

und die Dimension der physikalischen Menge Macht F ist

{\ displayStyle \ operatorname {dim} f = {\ text {mass} \ times {\ text {Acceleration}} = {\ text {mass} \ times {\ frac {\ text {Länge} {{\ \ text {time}}^{2}}} = {\ frac {{\ mathsf {l}} {\ mathsf {m}} {{\ mathsf {t} {2 {2}} {\ mathsf {t {t {t {t {t {t {t {t {t {t {t {t {t {t {t {t {t {t {t {t {t {t {t) }}^{-2} {\ mathsf {l}} {\ mathsf {m}}}}}}

Die Einheit, die ausgewählt wurde, um eine physikalische Menge und ihre Dimension auszudrücken, sind verwandt, aber nicht identische Konzepte. Die Einheiten einer physikalischen Menge sind durch Konvention definiert und mit einigen Standards verbunden; z. B. kann die Länge Einheiten von Metern, Füßen, Zoll, Meilen oder Mikrometern haben; Aber jede Länge hat immer eine Dimension von L, egal welche Längeneinheiten ausgewählt werden, um sie auszudrücken. Zwei verschiedene Einheiten der gleichen physikalischen Menge haben Umrechnungsfaktoren das bezieht sie. Zum Beispiel 1 in = 2,54 cm; In diesem Fall ist 2,54 cm/in der Umwandlungsfaktor, der selbst dimensionslos ist. Daher ändert sich die Multiplikation mit diesem Konvertierungsfaktor nicht die Dimensionen einer physikalischen Menge.

Es gibt auch Physiker, die Zweifel an der Existenz von inkompatiblen grundlegenden Dimensionen der physikalischen Menge gewonnen haben.^[21] Dies macht zwar die Nützlichkeit der dimensionalen Analyse nicht ungültig.

Mathematische Eigenschaften

Die Dimensionen, die aus einer bestimmten Sammlung grundlegender physikalischer Dimensionen wie T, L und M gebildet werden können, bilden eine Abelsche Gruppe: Das Identität ist als 1 geschrieben; L⁰ = 1und die Umkehrung von l beträgt 1/l oder l^–1. L erhoben sich auf jede rationale Macht p ist ein Mitglied der Gruppe mit einer Umkehrung von l^−p oder 1/l^p. Der Betrieb der Gruppe ist eine Multiplikation, die die üblichen Regeln für den Umgang mit Exponenten (Lⁿ × l^m = L^n+m).

Diese Gruppe kann als a beschrieben werden Vektorraum über die rationalen Zahlen mit dem dimensionalen Symbol TⁱL^jM^k entsprechend dem Vektor (i, j, k). Wenn physikalische gemessene Größen (seien gemessene oder im Gegensatz zu minderungsmodifiziert) multipliziert oder durch ein anderes geteilt, werden ihre dimensionalen Einheiten ebenfalls multipliziert oder geteilt; Dies entspricht der Zugabe oder Subtraktion im Vektorraum. Wenn messbare Größen zu einer rationalen Kraft erhöht werden, wird dieselben mit den an diesen Mengen verbundenen dimensionalen Symbolen erfolgen. Dies entspricht Skalarmultiplikation im Vektorraum.

Eine Grundlage für einen solchen Vektorraum der dimensionalen Symbole wird als Satz von bezeichnet Grundmengenund alle anderen Vektoren werden abgeleitete Einheiten bezeichnet. Wie in jedem Vektorraum kann man unterschiedlich wählen Basen, die verschiedene Einheitensysteme liefert (z. B.,, wählen ob das Ladungsgerät aus dem Gerät für Strom abgeleitet wird oder umgekehrt).

Die Gruppenidentität, die Dimension dimensionsloser Größen, entspricht dem Ursprung in diesem Vektorraum.

Der Satz von Einheiten der an einem Problem beteiligten physikalischen Größen entspricht einer Reihe von Vektoren (oder einer Matrix). Das Nichtigkeit beschreibt eine Zahl (z. B.,, m) von Möglichkeiten, wie diese Vektoren kombiniert werden können, um einen Nullvektor zu erzeugen. Diese entsprechen der Erzeugung (aus den Messungen) einer Anzahl von dimensionslosen Größen, {π₁, ..., π_m}. (Tatsächlich umfassen diese Wege den Null -Unterraum eines anderen anderen Raums, der Messwerte.) Jede mögliche Art der Multiplizierung (und Exponentierung) zusammen die gemessenen Größen, um etwas mit den gleichen Einheiten wie einige abgeleitete Menge zu produzieren X kann in der allgemeinen Form ausgedrückt werden

{\ displaystyle x = \ prod _ {i = 1}^{m} (\ pi _ {i})^{k_ {i} \ ,.}

Folglich jeder möglich angemessen Gleichung für die Physik des Systems kann in der Form neu geschrieben werden

{\ displayStyle f (\ pi _ {1}, \ pi _ {2}, ..., \ pi _ {m}) = 0 \ ,.}

Wenn Sie diese Einschränkung kennen, können Sie ein leistungsstarkes Werkzeug sein, um neue Einblicke in das System zu erhalten.

Mechanik

Die Dimension physikalischer Größen von Interesse an Mechanik kann in Bezug auf die Basisabmessungen T, L und M ausgedrückt werden-diese bilden einen dreidimensionalen Vektorraum. Dies ist nicht die einzige gültige Auswahl der Basisdimensionen, aber die am häufigsten verwendete. Zum Beispiel kann man Kraft, Länge und Masse als Basisabmessungen (wie einige getan haben) mit den zugehörigen Abmessungen F, L, M wählen; Dies entspricht einer anderen Basis, und man kann zwischen diesen Darstellungen durch a konvertieren Basisänderung. Die Auswahl der Basisabmessungen ist somit eine Konvention mit dem Vorteil eines erhöhten Nutzens und Vertrauts. Die Wahl der Basisdimensionen ist nicht ganz willkürlich, da sie a bilden müssen Basis: Sie müssen Spanne der Raum und sein linear unabhängig.

Zum Beispiel bilden f, l, m eine Reihe grundlegender Dimensionen, da sie eine Grundlage bilden, die T, L, M: Ersteres entspricht, kann als [f = lm/t) ausgedrückt werden²], L, m, während letztere als [t = (lm/f) ausgedrückt werden kann^1/2], L, M.

Andererseits, Länge, Geschwindigkeit und Zeit (T, l, v) Bilden Sie aus zwei Gründen keinen Satz von Basisabmessungen aus Mechanik:

Es gibt keine Möglichkeit, Masse - oder irgendetwas daraus abgeleitet, wie z. B. Kraft - zu erhalten, ohne eine andere Basisdimension einzuführen (also nicht überspannen Sie den Raum).
Geschwindigkeit, die in Bezug auf Länge und Zeit ausdrucksvoll ist (V = l/t), ist überflüssig (der Satz ist nicht linear unabhängig).

Andere Bereiche der Physik und Chemie

Abhängig vom Bereich der Physik kann es vorteilhaft sein, den einen oder anderen erweiterten Satz von dimensionalen Symbolen auszuwählen. Bei der Elektromagnetismus beispielsweise kann es nützlich sein, Dimensionen von T, L, M und Q zu verwenden, wobei Q die Dimension von darstellt elektrische Ladung. Im ThermodynamikDer Basissatz von Abmessungen wird häufig um eine Dimension für die Temperatur θ erweitert. In der Chemie die Menge der Substanz (die Anzahl der Moleküle geteilt durch die Avogadro konstant, ≈ 6.02×10²³Mol^–1) ist auch als Basisdimension definiert, N. in der Wechselwirkung von Relativistisches Plasma mit starken Laserimpulsen, eine dimensionslose Relativistische Ähnlichkeitsparameter, verbunden mit den Symmetrieeigenschaften der kollisionslosen Vlasov -Gleichung, wird zusätzlich zum elektromagnetischen Vektorpotential aus dem Plasma-, Elektron- und kritischen Dichten konstruiert. Die Auswahl der Dimensionen oder sogar der Anzahl der Dimensionen, die in verschiedenen Physikfeldern verwendet werden sollen, ist in gewissem Maße willkürlich, aber die Konsistenz bei der Verwendung und einfachen Kommunikation ist häufig und notwendig.

Polynome und transzendentale Funktionen

Skalar Argumente an Transzendentale Funktionen wie zum Beispiel exponentiell, trigonometrisch und logarithmisch Funktionen oder zu Inhomogene Polynome, muss sein dimensionslose Mengen. (Hinweis: Diese Anforderung ist in der nachstehend beschriebenen Siano -Orientierungsanalyse etwas entspannt, in dem das Quadrat bestimmter Dimensionsgrößen ohne Dimension ist.)

Während die meisten mathematischen Identitäten über dimensionslose Zahlen unkompliziert auf dimensionale Größen übertragen werden, muss mit Logarithmen von Verhältnissen darauf geachtet werden: dem Identitätsprotokoll (Identitätsprotokoll (a/b) = loga - logb, wo der Logarithmus in jeder Basis aufgenommen wird, für dimensionslose Zahlen gilt a und b, aber es tut nicht Halten Sie wenn a und b sind dimensional, denn in diesem Fall ist die linke Seite gut definiert, aber die rechte Seite nicht.

In ähnlicher Weise kann man bewerten Monome (xⁿ) von dimensionalen Größen kann man Polynome von gemischtem Grad nicht mit dimensionslosen Koeffizienten auf dimensionalen Größen bewerten: für x², der Ausdruck (3 m)²= 9 m² macht Sinn (als Gebiet), während für x²+x, der Ausdruck (3 m)²+3 m = 9 m²+3 m macht keinen Sinn.

Polynome von gemischtem Grad können jedoch sinnvoll sein, wenn die Koeffizienten angemessen ausgewählt werden, die nicht dimensionsfrei sind. Zum Beispiel,

{\ displayStyle {\ frac {1} {2}} \ cdot \ links (-9.8 \ {\ frac {\ text {mess}} {{\ text {Second}}^{2}} \ rechts) \ CDOT) t^{2}+\ links (500 \ {\ frac {\ text {meter}} {\ text {Second}} \ rechts) \ cdot t.}

Dies ist die Höhe, zu der ein Objekt rechtzeitig steigtt Wenn die Beschleunigung von Schwere ist 9,8 Meter pro Sekunde pro Sekunde und die anfängliche Aufwärtsgeschwindigkeit beträgt 500 Meter pro Sekunde. Es ist nicht notwendig für t in sein Sekunden. Zum Beispiel annehmen t= 0,01 Minuten. Dann wäre die erste Amtszeit

{\ displaystyle {\ begin {ausgerichtet} & {\ frac {1} {2}} \ cdot \ links (-9.8 \ {\ frac {\ text {meter}} {{\ text {Second} {2} {2} }} \ rechts) \ cdot (0.01 {\ text {minute}})^{2} \\ [10pt] = {} & {\ frac {1} {2}} \ cdot -9.8 \ cdot \ links (0.01) ^{2} \ rechts) \ links ({\ frac {\ text {minute} {\ text {Second}}} \ rechts)^{2} \ cdot {\ text {meter}} \\ [10PT] = = oder ausgerichtet}}}

Einbeziehung von Einheiten

Der Wert einer dimensionalen physikalischen Menge Z ist als Produkt von a geschrieben Einheit [Z] innerhalb der Dimension und einem dimensionslosen numerischen Faktor, n.^[22]

{\ displayStyle z = n \ mal [z] = n [z]}

Wenn gleichdimensionierte Größen hinzugefügt oder subtrahiert oder verglichen werden, ist es bequem, sie in konsistenten Einheiten auszudrücken, damit die numerischen Werte dieser Größen direkt hinzugefügt oder subtrahiert werden können. Im Konzept gibt es jedoch kein Problem damit, Mengen derselben Dimension hinzuzufügen, die in verschiedenen Einheiten ausgedrückt werden. Zum Beispiel ist 1 Meter zu 1 Fuß hinzugefügt Umrechnungsfaktor, was ein Verhältnis von gleichdimensionierten Größen ist und gleich der dimensionslosen Einheit ist, ist erforderlich:

{\ displayStyle 1 \ {\ mbox {ft}} = 0,3048 \ {\ text {m}} \}

ist identisch mit

{\ displaystyle 1 = {\ frac {0.3048 \ {\ text {m}}} {1 \ {\ text {ft}}}}. \}.

Der Faktor ${\ displayStyle 0.3048 \ {\ frac {\ text {m}} {\ mbox {ft}}}}$ ist identisch mit der dimensionslosen 1, so dass sich multipliziert mit diesem Konvertierungsfaktor nichts. Wenn Sie dann zwei Mengen ähnlicher Dimension hinzufügen, jedoch in verschiedenen Einheiten exprimiert werden, wird der entsprechende Konvertierungsfaktor, der im Wesentlichen die dimensionslose 1 ist, die Größen in identische Einheiten umwandeln, damit ihre numerischen Werte hinzugefügt oder subtrahiert werden können.

Nur auf diese Weise ist es sinnvoll, über das Hinzufügen von gleichdimensionierten Mengen unterschiedlicher Einheiten zu sprechen.

Position gegen Verschiebung

Einige Diskussionen über die dimensionale Analyse beschreiben implizit alle Größen als mathematische Vektoren. (In Mathematik -Skalaren werden als Sonderfall von Vektoren angesehen; Vektoren können zu anderen Vektoren hinzugefügt oder von Skalaren geteilt oder geteilt werden. Wenn ein Vektor zur Definition einer Position verwendet wird, wird ein impliziter Punkt von angenommen Referenz: an Ursprung. Dies ist zwar nützlich und oft perfekt ausreichend, so dass viele wichtige Fehler erfasst werden können, aber es kann bestimmte Aspekte der Physik nicht modellieren. Ein strengerer Ansatz erfordert die Unterscheidung zwischen Position und Verschiebung (oder moment in der Zeit und der Dauer oder absolute Temperatur gegenüber der Temperaturänderung).

Betrachten Sie Punkte auf einer Linie, jeweils eine Position in Bezug auf einen bestimmten Ursprung und Entfernungen unter ihnen. Positionen und Verschiebungen haben alle Längeneinheiten, aber ihre Bedeutung ist nicht austauschbar:

Das Hinzufügen von zwei Verschiebungen sollte eine neue Verschiebung ergeben (zehn Schritte zu Fuß, dann haben Sie zwanzig Schritte mit dreißig Schritten nach vorne).
Das Hinzufügen einer Verschiebung zu einer Position sollte eine neue Position ergeben (einen Block von einer Kreuzung über die Straße hinunter zu der nächsten Kreuzung).
Subtrahieren zwei Positionen sollten eine Verschiebung ergeben,
aber man kann nicht Fügen Sie zwei Positionen hinzu.

Dies zeigt die subtile Unterscheidung zwischen Befriedigung Mengen (die von einem modelliert Offine Spacewie Position) und Vektor Mengen (die von a modelliert Vektorraumwie Verschiebung).

Vektormengen können einander zugesetzt werden, was eine neue Vektormenge erbringt, und eine Vektormenge kann zu einer geeigneten affine Menge hinzugefügt werden (ein Vektorraum Handlungen auf ein affine Raum), der eine neue affine Menge ergibt.
Affine -Mengen können nicht hinzugefügt werden, sondern können subtrahiert werden, die nachgeben relativ Mengen, die Vektoren sind, und diese relative Unterschiede kann dann zueinander oder zu einer affine Menge hinzugefügt werden.

Richtig, Positionen haben Dimension von Befriedigung Länge, während Verschiebungen Dimension von haben Vektor Länge. Um einer eine Nummer zuweisen Befriedigung Einheit muss man nicht nur eine Messeinheit auswählen, sondern auch a Bezugspunkt, während um a eine Nummer zuweisen Vektor Die Einheit erfordert nur eine Messeinheit.

Somit werden einige physikalische Größen besser durch vektorielle Größen modelliert, während andere dazu neigen, eine affine Repräsentation zu erfordern, und die Unterscheidung spiegelt sich in ihrer dimensionalen Analyse wider.

Diese Unterscheidung ist besonders wichtig bei Temperatur, für den der numerische Wert von Absoluter Nullpunkt ist nicht der Ursprung 0 in einigen Skalen. Für absolute Null,

–273,15 ° C ≘ 0 K = 0 ° R ≘ –459,67 ° F,

wo das Symbol ≘ bedeutet entsprichtObwohl diese Werte auf den jeweiligen Temperaturskalen entsprechen, repräsentieren sie unterschiedliche Größen auf die gleiche Weise, wie die Abstände von unterschiedlichen Ausgangspunkten bis zum gleichen Endpunkt unterschiedliche Größen sind und im Allgemeinen nicht gleichgesetzt werden können.

Für Temperaturunterschiede,

1 k = 1 ° C ≠ 1 ° F (–17 ° C) = 1 ° R.

(Hier bezieht sich ° R auf die Rankine -Skala, nicht der Réaumur -Skala). Die Einheitsumwandlung für Temperaturunterschiede ist einfach eine Frage der Multiplikation mit 1 ° F / 1 K (obwohl das Verhältnis kein konstanter Wert ist). Da jedoch einige dieser Skalen Ursprünge haben, die nicht dem absoluten Null entsprechen, erfordert die Umwandlung von einer Temperaturskala in eine andere. Infolgedessen kann eine einfache dimensionale Analyse zu Fehlern führen, wenn es mehrdeutig ist, ob 1 K die absolute Temperatur von –272,15 ° C oder die Temperaturdifferenz von 1 ° C bedeutet.

Ausrichtung und Referenzrahmen

Ähnlich wie bei einem Bezugspunkt ist das Problem der Orientierung: Eine Verschiebung in 2 oder 3 Dimensionen ist nicht nur eine Länge, sondern eine Länge zusammen mit einem Richtung. (Dieses Problem entsteht nicht in 1 Dimension, oder es entspricht der Unterscheidung zwischen positiv und negativ.) Um zwei dimensionale Größen in einem mehrdimensionalen Raum zu vergleichen oder zu kombinieren, muss man auch eine Orientierung benötigen: Sie müssen verglichen werden zu einem Bezugsrahmen.

Dies führt zu dem Erweiterungen Im Folgenden diskutiert, nämlich Huntley's Cripted Dimensions und Sianos Orientierungsanalyse.

Beispiele

Ein einfaches Beispiel: Zeitraum eines harmonischen Oszillators

Was ist die Zeit von Schwingung $T$ einer Masse $m$ an eine ideale lineare Feder mit Federkonstante befestigt $k$ in Schwere der Stärke aufgehängt $g$ ? Dieser Zeitraum ist die Lösung für $T$ von einer dimensionslosen Gleichung in den Variablen $T$ , $m$ , $k$ , und $g$ . Die vier Mengen haben die folgenden Abmessungen: $T$ [T]; $m$ [M]; $k$ [M/t²]; und $g$ [L/t²]. Aus diesen können wir nur ein dimensionsloses Produkt der Kräfte unserer gewählten Variablen bilden, ${\ displayStyle g_ {1}}$ = ${\ displayStyle t^{2} k/m}$ [T² · M/t² / M = 1]und putten ${\ displayStyle g_ {1} = c}$ für eine dimensionslose Konstante $C$ gibt die dimensionslose Gleichung an. Das dimensionslose Produkt von Variablenmächten wird manchmal als dimensionslose Gruppe von Variablen bezeichnet. Hier bedeutet der Begriff "Gruppe" eher "Sammlung" als mathematisch Gruppe. Sie werden oft genannt Dimensionslose Zahlen auch.

Beachten Sie, dass die Variable $g$ tritt in der Gruppe nicht auf. Es ist leicht zu erkennen, dass es unmöglich ist, ein dimensionsloses Produkt von Kräften zu bilden, das sich kombiniert $g$ mit $k$ , $m$ , und $T$ , Weil $g$ ist die einzige Menge, die die Dimension L betrifft. Dies impliziert, dass in diesem Problem die $g$ ist irrelevant. Die dimensionale Analyse kann manchmal starke Aussagen über die liefern Irrelevanz von einigen Mengen in einem Problem oder der Notwendigkeit zusätzlicher Parameter. Wenn wir genug Variablen ausgewählt haben, um das Problem richtig zu beschreiben $g$ : Es ist dasselbe auf Erde oder Mond. Die Gleichung, die die Existenz eines Produktprodukts für unser Problem demonstriert, kann ganz gleichwertig geschrieben werden: ${\ displayStyle t = \ kappa {\ sqrt {\ tfrac {m} {k}}}}$ , für eine dimensionslose Konstante $κ$ (gleicht ${\ displayStyle {\ sqrt {c}}}$ aus der ursprünglichen dimensionslosen Gleichung).

Bei einem Fall, in dem die dimensionale Analyse eine Variable ablehnt ( $g$ , hier)) dass man intuitiv erwartet, in eine physische Beschreibung der Situation zu gehören, eine andere Möglichkeit besteht darin Anzahl. Das ist hier jedoch nicht der Fall.

Wenn die dimensionale Analyse nur eine dimensionslose Gruppe liefert, gibt es hier keine unbekannten Funktionen, und die Lösung soll "vollständig" sein - obwohl sie immer noch unbekannte dimensionslose Konstanten wie z. $κ$ .

Ein komplexeres Beispiel: Energie eines vibrierenden Drahtes

Betrachten Sie den Fall eines vibrierenden Drahtes von Länge ℓ (L) vibrieren mit einem Amplitude A (L). Der Draht hat a lineare Dichte ρ (M/l) und ist unter Spannung s (Lm/t²), und wir wollen die Energie kennenlernen E (L²M/t²) im Draht. Lassen π₁ und π₂ zwei dimensionslose Produkte von sein Kräfte der ausgewählten Variablen, gegeben durch

{\ displaystyle {\ begin {ausgerichtet} \ pi _ {1} & = {\ frac {e} {as}} \\\ pi _ {2} & = {\ frac {\ ell} {a}}. \ Ende {ausgerichtet}}}

Die lineare Dichte des Drahtes ist nicht beteiligt. Die beiden gefundenen Gruppen können in eine äquivalente Form als Gleichung kombiniert werden

oder

wo F ist eine unbekannte Funktion oder gleichwertig als

{\ displayStyle e = asf \ links ({\ frac {\ ell} {a}} \ rechts),},}

wo f ist eine andere unbekannte Funktion. Hier impliziert die unbekannte Funktion, dass unsere Lösung jetzt unvollständig ist, aber die dimensionale Analyse hat uns etwas gegeben, das möglicherweise nicht offensichtlich war: Die Energie ist proportional zur ersten Kraft der Spannung. Abgesehen von weiteren analytischen Analysen könnten wir zu Experimenten fortfahren, um die Form für die unbekannte Funktion zu ermitteln f. Unsere Experimente sind jedoch einfacher als in Abwesenheit einer dimensionalen Analyse. Wir würden keine ausführen, um zu überprüfen, ob die Energie proportional zur Spannung ist. Oder vielleicht könnten wir vermuten, dass die Energie proportional ist zu ℓund so schließen Sie das E = ℓs. Die Kraft der dimensionalen Analyse als Hilfe zum Experimentieren und Bildungshypothesen wird offensichtlich.

Die Kraft der dimensionalen Analyse wird wirklich deutlich, wenn sie auf Situationen angewendet wird, im Gegensatz zu den oben genannten, die komplizierter sind, sind die beteiligten Variablen nicht erkennbar und die zugrunde liegenden Gleichungen hoffnungslos komplex. Betrachten Sie zum Beispiel einen kleinen Kiesel, der auf dem Bett eines Flusses sitzt. Wenn der Fluss schnell genug fließt, erhöht er tatsächlich den Kiesel und lässt ihn zusammen mit dem Wasser fließen. Bei welcher kritischen Geschwindigkeit wird dies auftreten? Die sortierten Variablen zu sortieren ist nicht so einfach wie zuvor. Die dimensionale Analyse kann jedoch eine starke Hilfe beim Verständnis solcher Probleme sein und ist normalerweise das allererste Instrument, das auf komplexe Probleme angewendet wird, bei denen die zugrunde liegenden Gleichungen und Einschränkungen schlecht bekannt sind. In solchen Fällen kann die Antwort von einem abhängen dimensionslose Zahl so wie die Reynolds Nummer, die durch dimensionale Analyse interpretiert werden können.

Ein drittes Beispiel: Nachfrage versus Kapazität für eine rotierende Scheibe

Dimensionsanalyse und numerische Experimente für eine rotierende Scheibe

Betrachten Sie den Fall einer dünnen, festen, parallelseitigen rotierenden Scheibe der axialen Dicke t (L) und Radius R (L). Die Scheibe hat eine Dichte ρ (M/l³) dreht sich bei einer Winkelgeschwindigkeit ω (T^–1) und dies führt zu einem Stress S (T^–2L^–1M) im Material. Es gibt eine theoretische lineare elastische Lösung, die durch lahmes Problem zu diesem Problem gegeben ist, wenn die Scheibe relativ zu ihrem Radius dünn ist, die Gesichter der Scheibe frei zu bewegen können, und die konstitutiven Beziehungen der Ebenenspannung können als gültig angenommen werden. Wenn die Scheibe relativ zum Radius dicker wird, bricht die Ebenespannungslösung zusammen. Wenn die Scheibe auf ihren freien Gesichtern axial zurückgehalten wird, tritt ein Zustand der Ebene der Ebene auf. Wenn dies jedoch nicht der Fall ist, kann der Stresszustand nur bestimmt werden, obwohl die dreidimensionale Elastizität berücksichtigt wird und für diesen Fall keine theoretische Lösung bekannt ist. Ein Ingenieur könnte daher daran interessiert sein, eine Beziehung zwischen den fünf Variablen aufzubauen. Die dimensionale Analyse für diesen Fall führt zu den folgenden (5-3 = 2) nichtdimensionalen Gruppen:

Nachfrage/Kapazität = ρr²ω²/S

Dicke/Radius oder Seitenverhältnis = t/R

Durch die Verwendung numerischer Experimente mit zum Beispiel die Finite -Elemente -MethodeDie Art der Beziehung zwischen den beiden nichtdimensionalen Gruppen kann wie in der Abbildung gezeigt erhalten werden. Da dieses Problem nur zwei nicht dimensionale Gruppen umfasst, wird das vollständige Bild in einem einzigen Diagramm bereitgestellt und kann als Design-/Bewertungsdiagramm für rotierende Discs verwendet werden^[23]

Erweiterungen

Huntley -Erweiterung: Regiedimension und Menge an Materie

Huntley (Huntley 1967) hat darauf hingewiesen, dass eine dimensionale Analyse stärker werden kann, indem neue unabhängige Dimensionen in den betrachteten Mengen entdeckt werden, wodurch der Rang erhöht wird ${\ displayStyle m}$ der dimensionalen Matrix. Er führte zwei Ansätze dazu ein:

Die Größen der Komponenten eines Vektors sind als dimensional unabhängig angesehen zu werden. Zum Beispiel können wir nicht eine undifferenzierte Längenabmessung l haben l_x Dimension in der X-Richtung darstellen und so weiter. Diese Anforderung beruht letztendlich aus der Anforderung, dass jede Komponente einer physikalisch aussagekräftigen Gleichung (Skalar, Vektor oder Tensor) dimensional konsistent sein muss.
Die Masse als Maß für die Menge an Materie ist als dimensional unabhängig von der Masse als Trägheitsmaßnahme angesehen zu werden.

Nehmen wir als Beispiel für die Nützlichkeit des ersten Ansatzes an, wir möchten die berechnen Entfernung eine Kanonenkugel fährt reist Wenn mit einer vertikalen Geschwindigkeitskomponente abgefeuert ${\ displayStyle v _ {\ mathrm {y}}}$ und eine horizontale Geschwindigkeitskomponente ${\ displayStyle v _ {\ mathrm {x}}}$ Angenommen, es wird auf eine flache Oberfläche abgefeuert. Unter der Annahme, dass keine gerichteten Längen verwendet werden, sind die Interessenmengen dann ${\ displayStyle v _ {\ mathrm {x}}}$ , ${\ displayStyle v _ {\ mathrm {y}}}$ beide dimensioniert als t^–1L, $R$ , die Strecke zurückgelegt, mit Dimension l und $g$ die Abwärtsbeschleunigung der Schwerkraft mit Dimension t^–2L.

Mit diesen vier Größen können wir zu dem Schluss kommen, dass die Gleichung für den Bereich $R$ kann geschrieben werden:

oder

Oder dimensional

{\ displaystyle {\ mathsf {l}} = \ links ({\ frac {\ mathsf {l}} {\ mathsf {t}} \ rechts)^{a+b} \ links ({\ frac {\ mathsf) {L}} {{\ mathsf {t}}^{2}}} \ rechts)^{c} \,}

von dem wir das ableiten können ${\ displayStyle a+b+c = 1}$ und ${\ displayStyle a+b+2c = 0}$ , was einen Exponenten unbestimmt lässt. Dies ist zu erwarten, da wir zwei grundlegende Dimensionen T und L und vier Parameter mit einer Gleichung haben.

Wenn wir jedoch gerichtete Längenabmessungen verwenden, dann ${\ displayStyle v _ {\ mathrm {x}}}$ wird als t dimensioniert^–1L_$x$, ${\ displayStyle v _ {\ mathrm {y}}}$ als t^–1L_$y$, $R$ als l_$x$ und $g$ als t^–2L_$y$. Die dimensionale Gleichung wird:

oder \ rechts)^{a} \ links ({\ frac {{\ mathsf {l}} _ {\ mathhrm {y}} {\ mathsf {t}} \ rechts)^{b} \ links ({\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ {\ \ {\ \ \ \ \ \ {\ \ {\ \ \ \ {\ \ {\ \ \ {\ \ \ {\ \ \ {\ \ {\ \ \ \ \ {{\ \ {{{\ maths. Frac {{\ mathsf {l}} _ {\ maths {y}}} {{\ mathsf {t}}^{2}} \ rechts)^{c}}

und wir können vollständig als lösen als ${\ displayStyle a = 1}$ , ${\ displayStyle b = 1}$ und ${\ displayStyle c = -1}$ . Die Erhöhung der deduktiven Kraft, die durch die Verwendung von gerichteten Längenabmessungen gewonnen wird, ist offensichtlich.

In seinem zweiten Ansatz ist Huntley der Ansicht, dass es manchmal nützlich ist (z. B. in Fluidmechanik und Thermodynamik), zwischen Masse als Messung für Trägheit (Trägheitsmasse) und Masse als Maß für die Menge der Materie zu unterscheiden. Die Menge an Materie wird durch Huntley als eine Menge (a) proportional zur Trägheitsmasse definiert, aber (b) nicht intiale Eigenschaften impliziert. Der Definition werden keine weiteren Einschränkungen hinzugefügt.

Betrachten Sie zum Beispiel die Ableitung von POISEUILLE VERSUCHE. Wir möchten den Massenfluss einer viskosen Flüssigkeit durch ein kreisförmiges Rohr finden. Ohne Unterscheidungen zwischen Trägheitsmasse und erheblicher Masse zu treffen, können wir als relevante Variablen wählen

${\ displayStyle {\ dot {m}}}$ die Massenflussrate mit Dimension t^–1M
${\ displayStyle p _ {\ text {x}}}$ Der Druckgradient entlang des Rohrs mit Abmessung t^–2L^–2M
$ρ$ die Dichte mit Dimension l^–3M
$η$ die dynamische Flüssigkeitsviskosität mit Dimension t^–1L^–1M
$r$ Der Radius des Rohrs mit Dimension l

Es gibt drei grundlegende Variablen, sodass die oben genannten fünf Gleichungen zwei dimensionslose Variablen ergeben ${\ displaystyle \ pi _ {1} = {\ dot {m}}/\ eta r}$ und $oder$ und wir können die dimensionale Gleichung als ausdrücken als

oder oder

wo $C$ und $a$ sind unbestimmte Konstanten. Wenn wir eine Unterscheidung zwischen Trägheitsmasse mit Dimension unterscheiden ${\ displayStyle m _ {\ text {i}}}$ und Menge an Materie mit Dimension ${\ displayStyle m _ {\ text {m}}}$ und dann verwendet die Massenflussrate und -dichte die Materiemenge als Massenparameter, während der Druckgradient und der Viskositätskoeffizient inertiale Masse verwenden. Wir haben jetzt vier grundlegende Parameter und eine dimensionslose Konstante, damit die dimensionale Gleichung geschrieben werden kann:

oder

wo jetzt nur $C$ ist eine unbestimmte Konstante (gefunden als gleich ${\ displayStyle \ pi /8}$ nach Methoden außerhalb der dimensionalen Analyse). Diese Gleichung kann gelöst werden, damit die Massendurchflussrate ergeben kann POISEUILLE VERSUCHE.

Huntley 'Erkennung der Materie als unabhängige Menge Dimension ist offensichtlich erfolgreich in den Problemen, in denen sie anwendbar ist, aber seine Definition von Materie ist offen für Interpretationen, da es keine Spezifität über die beiden Anforderungen hinausgeht (a) und (b) er dafür postuliert. Für eine bestimmte Substanz die Si -Dimension Menge der Substanz, mit Einheit MaulwurfErfüllt Huntley's zwei Anforderungen als Maß für die Menge an Materie und könnte als eine Menge von Materie in jedem Problem der dimensionalen Analyse verwendet werden, bei dem das Konzept von Huntley anwendbar ist.

Huntleys Konzept der gerichteten Längenabmessungen hat jedoch einige schwerwiegende Einschränkungen:

Es geht nicht gut mit Vektorgleichungen, die die betreffen Kreuzprodukt,
Es handelt sich auch nicht gut um die Verwendung von gut Winkel als physische Variablen.

Es ist auch oft ziemlich schwierig, das L, L zuzuweisen_$x$, L_$y$, L_$z$, Symbole für die physischen Variablen, die am Interessesproblem beteiligt sind. Er ruft ein Verfahren auf, das die "Symmetrie" des physischen Problems beinhaltet. Dies ist oft sehr schwer zuverlässig zu bewerben: Es ist unklar, welche Teile des Problems der Begriff der "Symmetrie" aufgerufen wird. Ist es die Symmetrie des physischen Körpers, auf die Kräfte wirken, oder zu den Punkten, Linien oder Bereichen, in denen Kräfte angewendet werden? Was ist, wenn mehr als ein Körper mit verschiedenen Symmetrien beteiligt ist?

Betrachten Sie die kugelförmige Blase, die an einem zylindrischen Rohr befestigt ist, in dem man die Luftströmungsrate als Funktion der Druckdifferenz in den beiden Teilen wünscht. Wie sind die huntley erweiterten Abmessungen der Viskosität der Luft in den verbundenen Teilen? Wie sind die erweiterten Abmessungen des Drucks der beiden Teile? Sind sie gleich oder anders? Diese Schwierigkeiten sind für die begrenzte Anwendung der gerichteten Länge von Huntley auf echte Probleme verantwortlich.

Sianos Erweiterung: Orientierungsanalyse

Winkel werden unter Konvention als dimensionslose Mengen angesehen. Betrachten Sie beispielsweise das Projektilproblem erneut, bei dem eine Punktmasse aus dem Ursprung gestartet wird $(x, y) = (0, 0)$ mit Geschwindigkeit $v$ und Winkel $θ$ über x-Axis, mit der Schwerkraft, die entlang des Negativs gerichtet ist y-Achse. Es ist erwünscht, den Bereich zu finden $R$ , an diesem Punkt kehrt die Masse zur x-Achse. Die konventionelle Analyse liefert die dimensionslose Variable $π = R g / v 2$ bietet aber keinen Einblick in die Beziehung zwischen $R$ und $θ$ .

Siano (1985-i, 1985-II) hat vorgeschlagen, dass die gerichteten Dimensionen von Huntley durch Verwendung ersetzt werden Orientierungssymbole $1 x 1 y 1 z$ Vektoranweisungen und ein orientierungsloses Symbol 1 zu bezeichnen 1₀. So, Huntley's l_$x$ wird L1_$x$ mit l an Angabe der Dimension der Länge und $1 x$ Angabe der Orientierung. Siano zeigt weiter, dass die Orientierungssymbole eine eigene Algebra haben. Zusammen mit der Anforderung, dass $1 i -1 = 1 i$ Die folgende Multiplikationstabelle für die Ausrichtungssymbole Ergebnisse:

	${\ displaystyle \ mathbf {1_ {0}}}$	${\ displaystyle \ mathbf {1 _ {\ text {x}}}}$	${\ displaystyle \ mathbf {1 _ {\ text {y}}}}$	${\ displaystyle \ mathbf {1 _ {\ text {z}}}}$
${\ displaystyle \ mathbf {1_ {0}}}$	${\ displayStyle 1_ {0}}$	${\ displayStyle 1 _ {\ text {x}}}$	${\ displayStyle 1 _ {\ text {y}}}$	${\ displayStyle 1 _ {\ text {z}}}$
${\ displaystyle \ mathbf {1 _ {\ text {x}}}}$	${\ displayStyle 1 _ {\ text {x}}}$	${\ displayStyle 1_ {0}}$	${\ displayStyle 1 _ {\ text {z}}}$	${\ displayStyle 1 _ {\ text {y}}}$
${\ displaystyle \ mathbf {1 _ {\ text {y}}}}$	${\ displayStyle 1 _ {\ text {y}}}$	${\ displayStyle 1 _ {\ text {z}}}$	${\ displayStyle 1_ {0}}$	${\ displayStyle 1 _ {\ text {x}}}$
${\ displaystyle \ mathbf {1 _ {\ text {z}}}}$	${\ displayStyle 1 _ {\ text {z}}}$	${\ displayStyle 1 _ {\ text {y}}}$	${\ displayStyle 1 _ {\ text {x}}}$	${\ displayStyle 1_ {0}}$

Beachten Sie, dass die Orientierungssymbole eine Gruppe bilden (die Klein vier Gruppen oder "VierGruppe"). In diesem System haben Skalare immer die gleiche Ausrichtung wie das Identitätselement, unabhängig von der "Symmetrie des Problems". Physikalische Größen, die Vektoren haben, die die erwartete Orientierung haben: eine Kraft oder eine Geschwindigkeit in der Z-Richtung hat die Orientierung von $1 z$ . Betrachten Sie für Winkel einen Winkel $θ$ Das liegt in der Z-Ebene. Bilden ein rechtes Dreieck in der Z-Ebene mit $θ$ einer der akuten Winkel sein. Die Seite des rechten Dreiecks neben dem Winkel hat dann eine Ausrichtung $1 x$ Und die Seite gegenüber hat eine Orientierung $1 y$ . Da (Verwendung $~$ Orientierungsäquivalenz anzugeben) $bräunen(θ) = θ +... ~ 1 y /1 x$ Wir schließen daraus, dass ein Winkel in der XY-Ebene eine Orientierung haben muss $1 y /1 x = 1 z$ , was nicht unangemessen ist. Analoges Denken zwingt die Schlussfolgerung, dass $Sünde(θ)$ hat Orientierung $1 z$ während $cos (θ)$ hat Orientierung 1₀. Diese sind unterschiedlich, also schließt man (korrekt) zum Beispiel, dass es keine Lösungen von physikalischen Gleichungen gibt, die aus der Form sind $a cos (θ) + b Sünde(θ)$ , wo $a$ und $b$ sind echte Skalare. Beachten Sie, dass ein Ausdruck wie z. ${\ displayStyle \ sin (\ theta +\ pi /2) = \ cos (\ theta)}$ ist nicht dimensional inkonsistent, da es sich um einen Sonderfall der Summe der Winkelformel handelt und ordnungsgemäß geschrieben werden sollte:

{\ displaystyle \ sin \ links (a \, 1 _ {\ text {z}}+b \, 1 _ {\ text {z} \ rechts) }) \ cos (b \, 1 _ {\ text {z}} \ rechts)+\ sin \ links (b \, 1 _ {\ text {z}}) \ cos (a \, 1 _ {\ text {z} }\Rechts),}

was für ${\ displayStyle a = \ theta}$ und ${\ displayStyle b = \ pi /2}$ ergibt ${\ displayStyle \ sin (\ theta \, 1 _ {\ text {z}}+[\ pi /2] \, 1 _ {\ text {z}}) = 1 _ {\ text {z} \ cos (\ theta \, 1 _ {\ text {z}})}$ . Siano unterscheidet zwischen geometrischen Winkeln, die eine Orientierung im dreidimensionalen Raum aufweisen, und Phasenwinkel, die mit zeitbasierten Oszillationen verbunden sind, die keine räumliche Ausrichtung aufweisen, d. H. Die Orientierung eines Phasenwinkels ist ${\ displayStyle 1_ {0}}$ .

Die Zuordnung von Orientierungssymbolen zu physikalischen Größen und die Anforderung, dass physikalische Gleichungen orientierend homogen sind, können tatsächlich auf eine Weise verwendet werden, die der dimensionalen Analyse ähnlich ist, um ein wenig mehr Informationen über akzeptable Lösungen für körperliche Probleme abzuleiten. In diesem Ansatz stellt man die dimensionale Gleichung ein und löst sie so weit wie möglich. Wenn die niedrigste Leistung einer physikalischen Variablen fraktional ist, werden beide Seiten der Lösung so angehoben, dass alle Kräfte integriert sind. Dies bringt es in "normale Form". Die Orientierungsgleichung wird dann gelöst, um eine restriktivere Bedingung für die unbekannten Kräfte der Orientierungssymbole zu ergeben, die zu einer Lösung kommen, die vollständiger ist als die, die allein dimensionale Analyse ergibt. Oft lautet die zusätzlichen Informationen, dass eine der Befugnisse einer bestimmten Variablen gleich oder ungerade ist.

Zum Beispiel für das Projektilproblem, Verwenden von Orientierungssymbolen, $θ$ , in der XY-Ebene zu sein, hat somit Dimension $1 z$ und die Reichweite des Projektils $R$ wird von der Form sein:

R=g^{a}\,v^{b}\,\theta ^{c}{\text{ which means }}{\mathsf {L}}\,1_{\mathrm {x} } \ sim \ links ({\ frac {{\ mathsf {l}} \, 1 _ {\ text {y}} {{\ mathsf {t}}^{2}} \ rechts) ({\ frac {\ mathsf {l}} {\ mathsf {t}}} \ right)^{b} \, 1 _ {\ mathsf {z}}^{c}. \,

Die dimensionale Homogenität ergibt nun korrekt korrekt $a = -1$ und $b = 2$ und die Orientierungshomogenität erfordert das ${\ displaystyle 1_ {x}/(1_ {y}^{a} 1_ {z}^{c}) = 1_ {z}^{c+1} = 1}$ . Mit anderen Worten, das $c$ Muss eine seltsame Ganzzahl sein. In der Tat wird die erforderliche Funktion von Theta sein $Sünde(θ) cos ((θ)$ Das ist eine Serie, die aus merkwürdigen Kräften von besteht $θ$ .

Es ist zu sehen, dass die Taylor -Serie von $Sünde(θ)$ und $cos (θ)$ sind mit der obigen Multiplikationstabelle orientiert homogen $cos (θ) + sin (θ)$ und $exp (θ)$ sind nicht und werden (richtig) als nicht als nicht physisch eingestuft.

Die Orientierungsanalyse von Siano ist mit der konventionellen Konzeption von Winkelmengen als dimensionlos vereinbar, und innerhalb der Orientierungsanalyse die Radian kann immer noch als dimensionslose Einheit angesehen werden. Die Orientierungsanalyse einer Mengengleichung wird getrennt von der gewöhnlichen dimensionalen Analyse durchgeführt, wodurch Informationen geliefert werden, die die dimensionale Analyse ergänzen.

Dimensionslose Konzepte

Konstanten

Die dimensionslosen Konstanten, die in den erzielten Ergebnissen entstehen, wie das C im Poiseuille -Gesetzproblem und die ${\ displayStyle \ kappa}$ In den oben diskutierten Frühlingsproblemen stammen aus einer detaillierteren Analyse der zugrunde liegenden Physik und ergeben sich häufig aus der Integration einer Differentialgleichung. Die dimensionale Analyse selbst hat wenig zu sagen über diese Konstanten, aber es ist nützlich zu wissen, dass sie sehr oft eine Größe der Ordnung haben. Diese Beobachtung kann es manchmal ermöglichen, "zu machen"Rückseite des Umschlags"Berechnungen über das interessierende Phänomen und daher in der Lage sein, Experimente effizienter zu entwerfen, um es zu messen oder zu beurteilen, ob es wichtig ist, usw.

Formalismen

Paradoxerweise kann die dimensionale Analyse ein nützliches Instrument sein, auch wenn alle Parameter in der zugrunde liegenden Theorie dimensionlos sind, z. B. Gittermodelle wie die ISING -Modell Kann verwendet werden, um Phasenübergänge und kritische Phänomene zu untersuchen. Solche Modelle können auf rein dimensionslose Weise formuliert werden. Wenn wir uns dem kritischen Punkt näher und näher nähern, ist der Abstand, über den die Variablen im Gittermodell korrelieren (die sogenannte Korrelationslänge, ${\ displayStyle \ xi}$ ) wird immer größer. Die Korrelationslänge ist nun die relevante Längenskala im Zusammenhang mit kritischen Phänomenen, sodass man z. B. aus "dimensionalen Gründen" vermuten kann, dass der nicht analytische Teil der freien Energie pro Gitterstelle sein sollte ${\ displayStyle \ Sim 1/\ xi ^{d}}$ wo ${\ displayStyle d}$ ist die Dimension des Gitters.

Es wurde von einigen Physikern argumentiert, z. B., M. J. Duff,^[21]^[24] dass die Gesetze der Physik von Natur aus dimensionlos sind. Die Tatsache, dass wir inkompatible Dimensionen Länge, Zeit und Masse zugewiesen haben, ist nach dieser Sichtweise nur eine Frage der Konvention, die sich aus der Tatsache entschieden hat, dass es vor dem Aufkommen der modernen Physik keine Möglichkeit gab, die Messe in Beziehung zu setzen. Länge und Zeit zueinander. Die drei unabhängigen dimensionsvollen Konstanten: c, ħ, und G, in den grundlegenden Gleichungen der Physik müssen dann als bloße Umwandlungsfaktoren angesehen werden, um Masse, Zeit und Länge ineinander umzuwandeln.

Genau wie bei kritischen Eigenschaften von Gittermodellen kann man die Ergebnisse der dimensionalen Analyse in der entsprechenden Skalierungsgrenze wiederherstellen. z. B. kann eine dimensionale Analyse in Mechanik durch Rücksinserung der Konstanten abgeleitet werden ħ, c, und G (Aber wir können sie jetzt als dimensionlos betrachten) und fordern, dass eine nichtsinguläre Beziehung zwischen Größen in der Grenze besteht ${\ displayStyle c \ rightarrow \ infty}$ , ${\ displaystyle \ hbar \ rightarrow 0}$ und ${\ displayStyle g \ rightarrow 0}$ . Bei Problemen mit einem Gravitationsfeld sollte die letztere Grenze so eingehen, dass das Feld endlich bleibt.

Dimensionsäquivalenzen

Im Folgenden sind Tabellen häufig vorkommender Ausdrücke in der Physik aufgeführt, die sich auf die Dimensionen von Energie, Impuls und Kraft beziehen.^[25]^[26]^[27]

SI-Einheiten

Energie, E T^–2L²M	Ausdruck	Nomenklatur
Mechanisch	${\ displayStyle fd}$	F = Macht, d = Distanz
	${\ displayStyle s/t \ äquiv pt}$	S = Aktion, t = Zeit, P = Energie
	${\ displayStyle mv^{2} \ äquiv pv \ äquiv p^{2}/m}$	m = Masse, v = Geschwindigkeit, p = Schwung
	${\ displayStyle i \ Omega ^{2} \ äquiv l \ omega \ äquiv l ^{2}/i}$	L = Winkelimpuls, I = Trägheitsmoment, ω = Winkelgeschwindigkeit
Ideale Gase	${\ displayStyle pv \ äquiv nt}$	p = Druck, Volumen, T = Temperatur N = Menge der Substanz
Wellen	${\ displayStyle ait \ äquiv ast}$	A = Bereich von Welle vorne, I = Welle Intensität, t = Zeit, S = Poynting -Vektor
Elektromagnetisch	${\ displayStyle q \ phi}$	q = elektrische Ladung, ϕ = elektrisches Potenzial (Für Änderungen ist dies Stromspannung))
	${\ displaystyle \ varepsilon e^{2} v \ äquiv b^{2} v/\ mu}$	E = elektrisches Feld, B = Magnetfeld, ε = Permittivität, μ = Permeabilität, V = 3d Volumen
	${\ displayStyle pe \ äquiv mb \ äquiv iab}$	p = Elektrischer Dipolmoment, m = magnetischer Moment, A = Fläche (durch eine Stromschleife begrenzt), I = elektrischer Strom in Schleife

Schwung, p T^–1Lm	Ausdruck	Nomenklatur
Mechanisch	${\ displayStyle mv \ äquiv ft}$	m = Masse, v = Geschwindigkeit, F = Kraft, t = Zeit
Mechanisch	${\ displayStyle s/r \ äquiv l/r}$	S = Aktion, L = Winkelimpuls, r = Verschiebung
Thermal	${\ displayStyle m {\ sqrt {\ links \ Langle v^{2} \ rechts \ rangle}}}$	${\ displayStyle {\ sqrt {\ links \ Langle v^{2} \ rechts \ rangle}}}$ = Wurzel mittlerer Quadratgeschwindigkeit, m = Masse (eines Moleküls)
Wellen	${\ displayStyle \ rho vv}$	ρ = Dichte, V = Volumen, v = Phasengeschwindigkeit
Elektromagnetisch	${\ displayStyle qa}$	A = Magnetischer Vektorpotential

Macht, F T^–2Lm	Ausdruck	Nomenklatur
Mechanisch	${\ displayStyle ma \ äquiv p/t}$	m = Masse, a = Beschleunigung
Thermal	${\ displayStyle t \ delta s/\ delta r}$	S = Entropie, T = Temperatur, r = Verschiebung (siehe Entropische Kraft))
Elektromagnetisch	${\ displayStyle Eq \ äquiv bqv}$	E = elektrisches Feld, B = Magnetfeld, v = Geschwindigkeit, q = Ladung

Natürliche Einheiten

Wenn c = ħ = 1, wo c ist der Lichtgeschwindigkeit und ħ ist der Reduzierte Planckkonstanteund eine geeignete feste Energieeinheit wird ausgewählt, dann alle Zeitmengen T, Länge L und Masse M kann (dimensional) als Energiekraft ausgedrückt werden E, weil Länge, Masse und Zeit mit Geschwindigkeit ausgedrückt werden können v, Aktion Sund Energie E:^[27]

oder

obwohl Geschwindigkeit und Aktion dimensionlos sind (v = c = 1 und S = ħ = 1) - Die einzige verbleibende Menge mit Dimension ist Energie. In Bezug auf die Dimensionsmächte:

{\ displayStyle {\ mathsf {e}}^{n} = {\ mathsf {t}}^{p} {\ mathsf {l}}^{q} {\ mathsf {m} {r} = {{{{{{{{{{{{\ mathsf {m} {r} = {{{{{{{{{{{{{{{{{ \ mathsf {e}}^{-p-q+r}}

Dies ist besonders nützlich in der Teilchenphysik und in der Hochenergiephysik. In diesem Fall ist die Energieinheit der Elektronenvolt (EV). Dimensionale Überprüfungen und Schätzungen werden in diesem System sehr einfach.

Wenn jedoch elektrische Gebühren und Ströme beteiligt sind, ist eine weitere Einheit für die elektrische Ladung, normalerweise die Elektronenladung e obwohl andere Entscheidungen möglich sind.

Menge	p, q, r Energieversorgung			n Kraft der Energie
Menge	p	q	r	n
Aktion, S	–1	2	1	0
Geschwindigkeit, v	–1	1	0	0
Masse, M	0	0	1	1
Länge, L	0	1	0	–1
Zeit, t	1	0	0	–1
Schwung, p	–1	1	1	1
Energie, E	–2	2	1	1

Siehe auch

Buckingham π Theorem
Dimensionslose Zahlen in der Flüssigkeitsmechanik
Fermi -Schätzung - Wird verwendet, um die dimensionale Analyse zu lehren
Numerische Wertgleichung
Rayleighs Methode zur dimensionalen Analyse
Ähnlichkeit (Modell) - Eine Anwendung der dimensionalen Analyse
Messsystem

Programmiersprachen

Dimensionale Korrektheit als Teil von Geben Sie die Überprüfung ein wird seit 1977 untersucht.^[28] Implementierungen für ADA^[29] und C ++^[30] wurden 1985 und 1988 beschrieben. Kennedys These von 1996 beschreibt eine Umsetzung in Standard ml,^[31] und später F#.^[32] Es gibt Implementierungen für Haskell,^[33] Ocaml,^[34] und Rost,^[35] Python,^[36] und ein Code -Checker für Forran.^[37]^[38]
Griffioens These von 2019 erweiterte Kennedy's Hindley -Milner -Typ -System Harts Matrizen zu unterstützen.^[39]^[40] McBride und Nordvall-Forsberg zeigen, wie man benutzt abhängige Typen Ausweitung von Typsystemen für Maßeinheiten.^[41]

Anmerkungen

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Externe Links

Liste der Dimensionen für eine Vielzahl physikalischer Mengen
UNICACC LIVE -Webrechnungsrechner durch Einheiten Umwandlung durch dimensionale Analyse
Eine C ++-Implementierung der dimensionalen Kompilierungszeitanalyse in den Boost Open-Source-Bibliotheken
Buckinghams Pi-Theorem
Quantitätssystemrechner für die Konvertierung der Einheiten basierend auf dem dimensionalen Ansatz
Einheiten, Größen und grundlegende Konstanten Projektdimensionalanalysekarten
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Einheiten konvertieren

UNICACC LIVE -Webrechnungsrechner durch Einheiten Umwandlung durch dimensionale Analyse
Mathematikfähigkeiten Review
US -EPA -Tutorial
Eine Diskussion über Einheiten
Kurze Anleitung zu Einheitsumrechnungen
Stornierung der Einheiten Lektion
Kapitel 11: Verhalten von Gasen Chemie: Konzepte und Anwendungen, Denton Independent School District
Umbauten und Formeln der Luftdispersionsmodellierung
www.gnu.org/software/units kostenloses Programm, sehr praktisch

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