Differentialgleichung

Visualisierung der Wärmeübertragung in einem Pumpengehäuse, das durch Lösen der Erzeugung erzeugt wird Wärmegleichung. Hitze wird intern im Gehäuse erzeugt und an der Grenze abgekühlt, sorgte für a Gleichgewichtszustand Temperaturverteilung.

In Mathematik, a Differentialgleichung ist ein Gleichung Das bezieht sich auf einen oder mehrere Unbekannte Funktionen und ihre Derivate.^[1] In Anwendungen repräsentieren die Funktionen im Allgemeinen physikalische Größen, die Derivate repräsentieren ihre Änderungsraten und die Differentialgleichung definiert eine Beziehung zwischen beiden. Solche Beziehungen sind häufig; Daher spielen Differentialgleichungen in vielen Disziplinen eine herausragende Rolle, einschließlich Ingenieurwesen, Physik, Wirtschaft, und Biologie.

Hauptsächlich die Untersuchung der Differentialgleichungen besteht aus der Untersuchung ihrer Lösungen (der Funktionen, die jede Gleichung erfüllen) und die Eigenschaften ihrer Lösungen. Nur die einfachsten Differentialgleichungen sind durch explizite Formeln lösbar; Viele Eigenschaften von Lösungen einer bestimmten Differentialgleichung können jedoch ohne Berechnung genau bestimmt werden.

Oft wenn a Expression geschlossene Form Für die Lösungen ist nicht verfügbar. Lösungen können numerisch mit Computern angenähert werden. Das Theorie der dynamischen Systeme legt den Schwerpunkt auf qualitative Analyse von Systemen, die durch Differentialgleichungen beschrieben werden, während viele Numerische Methoden wurden entwickelt, um Lösungen mit einem bestimmten Genauigkeitsgrad zu bestimmen.

Geschichte

Differentialgleichungen wurden zuerst mit dem entstanden Erfindung des Kalküls durch Newton und Leibniz. In Kapitel 2 seiner Arbeit von 1671 Methodus fluxionum et Serierum Infinitarum,^[2] Isaac Newton listete drei Arten von Differentialgleichungen auf:

$oder [5pt] & x_ {1} {\ frac {\ partial y} {\ partial x_ {1}}}+x_ {2} {\ frac {\ partial y} {\ partial x_ {2}}} = y \ end {ausgerichtet}}}$

In all diesen Fällen, y ist eine unbekannte Funktion von x (Oder von x₁ und x₂), und f ist eine bestimmte Funktion.

Er löst diese und andere Beispiele mit unendlichen Serien und diskutiert die Nichteinheit von Lösungen.

Jacob Bernoulli schlug die vor Bernoulli -Differentialgleichung 1695.^[3] Das ist ein gewöhnliche Differentialgleichung der Form

${\ displayStyle y '+p (x) y = q (x) y^{n} \,}$

für das im folgenden Jahr Leibniz Lösungen erhielt, indem sie sie vereinfachen.^[4]

Historisch gesehen das Problem einer vibrierenden Saite wie dem von a Musikinstrument wurde von studiert von Jean Le Rond d'Alembert, Leonhard Euler, Daniel Bernoulli, und Joseph-Louis Lagrange.^[5][6][7][8] 1746 entdeckte D'Alembert die eindimensionale Wellengleichungund innerhalb von zehn Jahren entdeckte Euler die dreidimensionale Wellengleichung.^[9]

Das Euler -Lagrange -Gleichung wurde in den 1750er Jahren von Euler und Lagrange im Zusammenhang mit ihren Studien der Tautochrone Problem. Dies ist das Problem, eine Kurve zu bestimmen, an der ein gewichtetes Partikel in fester Zeit, unabhängig vom Ausgangspunkt, auf einen festen Punkt fällt. Lagrange löste dieses Problem 1755 und schickte die Lösung an Euler. Beide entwickelten die Methode von LaGrange und wandten sie auf Mechanik, was zur Formulierung von führte Lagrange -Mechanik.

1822, Fourier veröffentlichte seine Arbeiten an Wärmefluss in Théorie Analytique de la Chaleur (Die Analysetheorie der Wärme),^[10] in dem er seine Argumentation stützte Newtons Kühlgesetz, dass der Wärmefluss zwischen zwei benachbarten Molekülen proportional zur extrem kleinen Differenz ihrer Temperaturen ist. In diesem Buch enthalten war Fouriers Vorschlag von ihm Wärmegleichung zur leitenden Verbreitung von Wärme. Diese partielle Differentialgleichung wird jetzt jedem Schüler der mathematischen Physik beigebracht.

Beispiel

Im klassische MechanikDie Bewegung eines Körpers wird durch seine Position und Geschwindigkeit beschrieben, wenn der Zeitwert variiert. Newtons Gesetze Lassen Sie diese Variablen dynamisch exprimieren (angesichts der Position, Geschwindigkeit, Beschleunigung und verschiedenen Kräften, die auf den Körper wirken) als Differentialgleichung für die unbekannte Position des Körpers als Funktion der Zeit.

In einigen Fällen ist diese Differentialgleichung (genannt Bewegungsgleichung) kann explizit gelöst werden.

Ein Beispiel für die Modellierung eines realen Problems unter Verwendung von Differentialgleichungen ist die Bestimmung der Geschwindigkeit eines Balls, der durch die Luft fällt, unter Berücksichtigung von nur Schwerkraft und Luftwiderstand. Die Beschleunigung des Balls in Richtung Boden ist die Beschleunigung aufgrund der Schwerkraft abzüglich der Verzögerung aufgrund von Luftwiderstand. Die Schwerkraft wird als konstant angesehen, und Luftwiderstand kann als proportional zur Geschwindigkeit des Balls modelliert werden. Dies bedeutet, dass die Beschleunigung des Balls, die ein Derivat seiner Geschwindigkeit ist, von der Geschwindigkeit abhängt (und die Geschwindigkeit von der Zeit abhängt). Das Finden der Geschwindigkeit als Funktion der Zeit beinhaltet die Lösung einer Differentialgleichung und die Überprüfung ihrer Gültigkeit.

Typen

Differentialgleichungen können in verschiedene Typen unterteilt werden. Abgesehen von der Beschreibung der Eigenschaften der Gleichung selbst können diese Klassen von Differentialgleichungen dazu beitragen, die Wahl des Ansatzes für eine Lösung zu informieren. Zu den häufig verwendeten Unterschieden gehören, ob die Gleichung gewöhnlich oder teilweise, linear oder nichtlinear und homogen oder heterogen ist. Diese Liste ist alles andere als erschöpfend; Es gibt viele andere Eigenschaften und Unterklassen von Differentialgleichungen, die in bestimmten Kontexten sehr nützlich sein können.

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Ein gewöhnliche Differentialgleichung (ODE) ist eine Gleichung, die ein Unbekanntes enthält Funktion einer realen oder komplexen Variablen x, seine Derivate und einige gegebene Funktionen von x. Die unbekannte Funktion wird im Allgemeinen durch a dargestellt Variable (oft bezeichnet y), was daher, beruht an x. Daher x wird oft das genannt unabhängige Variable der Gleichung. Der Begriff "gewöhnliche"wird im Gegensatz zum Begriff verwendet partielle Differentialgleichung, was in Bezug auf mehr als Eine unabhängige Variable.

Lineare Differentialgleichungen sind die Differentialgleichungen, die sind linear in der unbekannten Funktion und ihren Derivaten. Ihre Theorie ist gut entwickelt, und in vielen Fällen kann man ihre Lösungen in Bezug auf Integrale.

Die meisten Oden, die in angetroffen werden Physik sind linear. Daher die meisten Spezialfunktionen kann als Lösungen linearer Differentialgleichungen definiert werden (siehe Holonomische Funktion).

Im Allgemeinen können die Lösungen einer Differentialgleichung nicht durch a ausgedrückt werden Expression geschlossene Form, Numerische Methoden werden üblicherweise zur Lösung von Differentialgleichungen auf einem Computer verwendet.

Partielle Differentialgleichungen

A partielle Differentialgleichung (PDE) ist eine Differentialgleichung, die unbekannt ist Multivariable Funktionen und ihre Teilableitungen. (Dies steht im Gegensatz zu gewöhnliche Differentialgleichungen, die sich mit Funktionen einer einzelnen Variablen und ihrer Derivate befassen.) PDEs werden verwendet, um Probleme mit Funktionen mehrerer Variablen zu formulieren, und werden entweder in geschlossener Form gelöst oder zum Erstellen einer relevanten Erstellung verwendet Computermodell.

PDEs können verwendet werden, um eine Vielzahl von Phänomenen in der Natur zu beschreiben, wie sie Klang, Wärme, Elektrostatik, Elektrodynamik, Flüssigkeitsströmung, Elastizität, oder Quantenmechanik. Diese scheinbar unterschiedlichen physikalischen Phänomene können in Bezug auf PDEs ähnlich formalisiert werden. So wie gewöhnliche Differentialgleichungen oft eindimensional modellieren Dynamische Systeme, partielle Differentialgleichungen modellieren oft Mehrdimensionale Systeme. Stochastische partielle Differentialgleichungen Verallgemeinerte partielle Differentialgleichungen für die Modellierung Zufälligkeit.

Nichtlineare Differentialgleichungen

A Nichtlineare Differentialgleichung ist eine Differentialgleichung, die nicht a ist lineare Gleichung in der unbekannten Funktion und ihren Derivaten (die Linearität oder Nichtlinearität in den Argumenten der Funktion werden hier nicht berücksichtigt). Es gibt nur sehr wenige Methoden, um nichtlineare Differentialgleichungen genau zu lösen. Diejenigen, die bekannt sind Symmetrien. Nichtlineare Differentialgleichungen können ein sehr kompliziertes Verhalten gegenüber verlängerten Zeitintervallen aufweisen, charakteristisch von Chaos. Sogar die grundlegenden Fragen der Existenz, der Einzigartigkeit und der Erweiterbarkeit von Lösungen für nichtlineare Differentialgleichungen und die Wohltätigkeit von anfänglichen und Grenzwertproblemen für nichtlineare PDEs sind harte Probleme und ihre Lösung in besonderen Fällen wird als signifikanter Fortschritt in der Mathematik angesehen Theorie (vgl. Navier -Stokes Existenz und Glätte). Wenn die Differentialgleichung jedoch eine korrekt formulierte Darstellung eines aussagekräftigen physikalischen Prozesses ist, erwartet man, dass sie eine Lösung hat.^[11]

Lineare Differentialgleichungen erscheinen häufig als Annäherungen zu nichtlinearen Gleichungen. Diese Näherungen sind nur unter eingeschränkten Bedingungen gültig. Beispielsweise ist die harmonische Oszillatorgleichung eine Annäherung an die nichtlineare Pendelgleichung, die für Schwingungen mit geringer Amplitude gültig ist (siehe unten).

Gleichungsreihenfolge

Differentialgleichungen werden nach ihrer Ordnung beschrieben, bestimmt durch den Begriff mit dem höchste Derivate. Eine Gleichung, die nur erste Derivate enthält, ist a Differentialgleichung erster Ordnung, eine Gleichung, die die enthält Zweites Derivat ist ein Differentialgleichung zweiter Ordnung, usw.^[12][13] Differentialgleichungen, die natürliche Phänomene beschreiben Dünnfilmgleichung, das ist eine partielle Differentialgleichung in der vierten Ordnung.

Beispiele

In der ersten Gruppe von Beispielen u ist eine unbekannte Funktion von x, und c und ω sind Konstanten, die bekannt sein sollen. Zwei breite Klassifikationen sowohl der gewöhnlichen als auch der partiellen Differentialgleichungen bestehen darin, zwischen Unterscheidung zwischen linear und nichtlinear Differentialgleichungen und dazwischen homogen Differentialgleichung und heterogen Einsen.

• Heterogener linearer konstanter Koeffizienten erster Ordnung Ordinäre Differentialgleichung:

${\ displaystyle {\ frac {du} {dx}} = cu+x^{2}.}.}.$

• Homogene lineare gewöhnliche Differentialgleichung zweiter Ordnung:

$oder$

• Homogener linearer konstanter Koeffizienten zweiter Ordnung gewöhnliche Differentialgleichung, die die beschreibt, die die beschreiben harmonischer Oszillator:

$oder$

• Heterogene nichtlineare gewöhnliche Differentialgleichung erster Ordnung:

${\ displaystyle {\ frac {du} {dx}} = u^{2} +4.}$

• Nichtlineare zweite Ordnung (aufgrund der Sinusfunktion) gewöhnliche Differentialgleichung, die die Bewegung von a beschreibt Pendel von Länge L:

${\ displaystyle l {\ frac {d^{2} u} {dx^{2}}}+g \ sin u = 0.}$

In der nächsten Gruppe von Beispielen die unbekannte Funktion u hängt von zwei Variablen ab x und t oder x und y.

• Homogene lineare partielle Differentialgleichung erster Ordnung:

$oder$

• Homogene partielle Differentialgleichung des elliptischen Typs der linearen konstanten Koeffizienten zweiter Ordnung, die Laplace -Gleichung:

$oder .}$

• Homogene nichtlineare partielle Differentialgleichung dritter Ordnung:

$oder ^{3}}}.}$

Existenz von Lösungen

Das Lösen von Differentialgleichungen ist nicht wie das Lösen algebraische Gleichungen. Ihre Lösungen sind nicht nur oft unklar, sondern auch, ob Lösungen einzigartig sind oder überhaupt existieren, auch bemerkenswerte Themen von Interesse.

Für Erste -Ordnung -Anfangswertprobleme der Ersten Ordnung, die Peano Existenz Theorem gibt eine Reihe von Umständen, unter denen eine Lösung existiert. In jedem Punkt ${\ displayStyle (a, b)}$ Definieren Sie in der XY-Ebene einen rechteckigen Bereich ${\ displayStyle z}$, so dass ${\ displayStyle z = [l, m] \ mal [n, p]}$ und ${\ displayStyle (a, b)}$ ist im Inneren von ${\ displayStyle z}$. Wenn wir eine Differentialgleichung erhalten ${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = g (x, y)}$ und die Bedingung, die ${\ displayStyle y = b}$ Wenn ${\ displayStyle x = a}$Dann gibt es lokal eine Lösung für dieses Problem, wenn ${\ displayStyle g (x, y)}$ und ${\ displaystyle {\ frac {\ partial g} {\ partial x}}}$ sind beide kontinuierlich auf ${\ displayStyle z}$. Diese Lösung existiert in einem Intervall mit seinem Zentrum bei ${\ displayStyle a}$. Die Lösung ist möglicherweise nicht einzigartig. (Sehen Gewöhnliche Differentialgleichung für andere Ergebnisse.)

Dies hilft uns jedoch nur bei erster Ordnung Anfangswertprobleme. Angenommen, wir hatten ein lineares Anfangswertproblem der n -ten Ordnung:

$oder +f_ {0} (x) y = g (x)}$

so dass

${\ displayStyle y (x_ {0}) = y_ {0}, y '(x_ {0}) = y' _ {0}, y '' (x_ {0}) = y '' _ {0},, \ ldots}$

Für jeden ungleich Null ${\ displayStyle f_ {n} (x)}$, wenn ${\ displaystyle \ {f_ {0}, f_ {1}, \ ldots \}}$ und ${\ displayStyle g}$ sind in einem Intervall kontinuierlich, der enthält ${\ displayStyle x_ {0}}$, ${\ displayStyle y}$ ist einzigartig und existiert.^[14]

Verwandte konzepte

• A Verzögerung der Differentialgleichung (DDE) ist eine Gleichung für eine Funktion einer einzelnen Variablen, die normalerweise genannt wird Zeit, in dem die Ableitung der Funktion zu einem bestimmten Zeitpunkt in Bezug auf die Werte der Funktion zu früheren Zeiten angegeben wird.
• Ein Integro-Differenzgleichung (IDE) ist eine Gleichung, die Aspekte einer Differentialgleichung und einer kombiniert integrale Gleichung.
• A Stochastische Differentialgleichung (SDE) ist eine Gleichung, in der die unbekannte Menge a ist stochastischer Prozess und die Gleichung beinhaltet einige bekannte stochastische Prozesse, zum Beispiel die Wiener -Prozess Bei Diffusionsgleichungen.
• A stochastische partielle Differentialgleichung (SPDE) ist eine Gleichung, die SDEs auf Raumzeit-Rauschprozesse mit Anwendungen in verallgemeinert hat Quantenfeldtheorie und Statistische Mechanik.
• Eine ultrametrische pseudo-differenzielle Gleichung ist eine Gleichung, die enthält P-adische Zahlen in einem ultrametrischen Nichtarchimedan Platz. Mathematische Modelle, die ultrametrische Pseudo-Differential-Gleichungen beinhalten Pseudo-Differentialoperatoren Anstatt von Differentialoperatoren.
• A Differentielle algebraische Gleichung (DAE) ist eine Differentialgleichung, die differentielle und algebraische Begriffe umfasst, die in implizite Form angegeben sind.

Verbindung zu Differenzgleichungen

Die Theorie der Differentialgleichungen ist eng mit der Theorie von verwandt Differenzgleichungen, in denen die Koordinaten nur diskrete Werte annehmen, und die Beziehung beinhaltet Werte der unbekannten Funktion oder Funktionen und Werte in der nahe gelegenen Koordinaten. Viele Methoden zur Berechnung numerischer Lösungen von Differentialgleichungen oder zur Untersuchung der Eigenschaften von Differentialgleichungen beinhalten die Näherung der Lösung einer Differentialgleichung durch die Lösung einer entsprechenden Differenzgleichung.

Anwendungen

Die Untersuchung von Differentialgleichungen ist ein breites Feld in rein und angewandte Mathematik, Physik, und Ingenieurwesen. Alle diese Disziplinen befassen sich mit den Eigenschaften von Differentialgleichungen verschiedener Typen. Reine Mathematik konzentriert sich auf die Existenz und Einzigartigkeit von Lösungen, während die angewandte Mathematik die strenge Rechtfertigung der Methoden für die Annäherung von Lösungen betont. Differentialgleichungen spielen eine wichtige Rolle bei der Modellierung praktisch jeder physische, technische oder biologische Prozess, von der Himmelsbewegung über Brückendesign bis hin zu Wechselwirkungen zwischen Neuronen. Differentialgleichungen wie diejenigen, die zur Lösung realer Probleme verwendet werden geschlossene Form Lösungen. Stattdessen können Lösungen verwendet werden Numerische Methoden.

Viele grundlegende Gesetze von Physik und Chemie kann als Differentialgleichungen formuliert werden. Im Biologie und Wirtschaft, Differentialgleichungen werden verwendet Modell Das Verhalten komplexer Systeme. Die mathematische Theorie der Differentialgleichungen entwickelte sich zuerst zusammen mit den Wissenschaften, in denen die Gleichungen entstanden waren und wo die Ergebnisse die Anwendung fanden. Verschiedene Probleme, die manchmal auf ganz unterschiedlichen wissenschaftlichen Bereichen stammen, können jedoch zu identischen Differentialgleichungen führen. Wann immer dies geschieht, kann die mathematische Theorie hinter den Gleichungen als ein einheitliches Prinzip hinter verschiedenen Phänomenen angesehen werden. Betrachten Sie als Beispiel die Ausbreitung von Licht und Schall in der Atmosphäre und von Wellen auf der Oberfläche eines Teiches. Alle von ihnen können durch dieselbe zweite Ordnung beschrieben werden partielle Differentialgleichung, das Wellengleichung, was es uns ermöglicht, Licht und Klang als Formen von Wellen zu betrachten, ähnlich wie bekannte Wellen im Wasser. Wärmeleitung, deren Theorie von entwickelt wurde durch Joseph Fourier, wird durch eine weitere partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung geregelt, die Wärmegleichung. Es stellt sich heraus, dass viele Diffusion Prozesse, obwohl sie scheinbar anders sind, werden jedoch durch dieselbe Gleichung beschrieben; das Schwarz -schüchte Die Gleichung in der Finanzierung hängt beispielsweise mit der Wärmegleichung zusammen.

Die Anzahl der Differentialgleichungen, die in verschiedenen wissenschaftlichen Bereichen einen Namen erhalten haben, ist ein Zeuge der Bedeutung des Themas. Sehen Liste der benannten Differentialgleichungen.

Software

Etwas CAS Software kann Differentialgleichungen lösen. Diese CAS Software und ihre Befehle sind erwähnenswert:

• Ahorn:^[15] DSOLVE
• Mathematica:^[16] DSOLVE []
• Sagemath:^[17] Desolve ()
• Xcas:^[18] Desolve (y '= k*y, y)

Siehe auch

Verweise

Weitere Lektüre

• Abbott, P.; Neill, H. (2003). Bring dir Kalkül bei. S. 266–277.
• Blanchard, P.; Devaney, R. L.; Hall, G. R. (2006). Differentialgleichung. Thompson.
• Boyce, W.; Diprima, R.; Meade, D. (2017). Elementare Differentialgleichungen und Grenzwertprobleme. Wiley.
• Coddington, E. A.; Levinson, N. (1955). Theorie der gewöhnlichen Differentialgleichungen. McGraw-Hill.
• Ince, E. L. (1956). Gewöhnliche Differentialgleichungen. Dover.
• Johnson, W. (1913). Eine Abhandlung über gewöhnliche und partielle Differentialgleichungen. John Wiley und Söhne. Im Historische Mathematiksammlung der Universität von Michigan
• Polyanin, A. D.; Zaitsev, V. F. (2003). Handbuch der genauen Lösungen für gewöhnliche Differentialgleichungen (2. Aufl.). Boca Raton: Chapman & Hall/CRC Press. ISBN 1-58488-297-2.
• Porter, R. I. (1978). "Xix Differentialgleichungen". Weitere elementare Analyse.
• Teschl, Gerald (2012). Gewöhnliche Differentialgleichungen und dynamische Systeme. Vorsehung: American Mathematical Society. ISBN 978-0-8218-8328-0.
• Daniel Zwillinger (12. Mai 2014). Handbuch mit Differentialgleichungen. Elsevier Science. ISBN 978-1-4832-6396-0.

Externe Links

• Medien im Zusammenhang mit Differentialgleichungen bei Wikimedia Commons
• Vorträge über Differentialgleichungen MIT Öffnen Sie Kurswarenvideos
• Online -Notizen / Differentialgleichungen Paul Dawkins, Lamar University
• Differentialgleichung, S.O.S. Mathematik
• Einführung in die Modellierung über Differentialgleichungen Einführung in die Modellierung durch Differentialgleichungen mit kritischen Bemerkungen.
• Mathematischer Assistent im Web Symbolisches ODE -Tool mit verwendet Maxima
• Genaue Lösungen gewöhnlicher Differentialgleichungen
• Sammlung von ODE- und DAE -Modellen von physikalischen Systemen MATLAB -Modelle
• Anmerkungen zu diffy qs: Differentialgleichungen für Ingenieure Ein einführendes Lehrbuch über Differentialgleichungen von Jiri LeBl von UIUC
• Video -Playlist der Khan Academy auf Differentialgleichungen Themen, die in einem Kurs im ersten Jahr in Differentialgleichungen behandelt wurden.
• Mathdiscuss Video -Playlist über Differentialgleichungen