Differential (Mathematik)

Im Mathematik, Differential bezieht sich auf mehrere verwandte Begriffe^[1] abgeleitet aus den frühen Tagen von Infinitesimalrechnung, leg einen strengen Stand, wie z. infinitesimal Unterschiede und die Derivate von Funktionen.^[2]

Der Begriff wird in verschiedenen Zweigen der Mathematik verwendet, wie z. Infinitesimalrechnung, Differentialgeometrie, Algebraische Geometrie und Algebraische Topologie.

Einführung

Der Begriff Differential wird nicht -streng in verwendet Infinitesimalrechnung sich auf eine beziehen infinitesimal ("unendlich klein") Veränderung in einigen variierende Menge. Zum Beispiel wenn x ist ein Variable, dann eine Änderung des Wertes von x wird oft δ bezeichnetx (ausgesprochen Delta x). Das Differential dx repräsentiert eine unendlich kleine Änderung der Variablen x. Die Idee einer unendlich kleinen oder unendlich langsamen Veränderung ist intuitiv äußerst nützlich, und es gibt eine Reihe von Möglichkeiten, den Begriff mathematisch präzise zu machen.

Unter Verwendung von Kalkül können die unendlich kleinen Änderungen verschiedener Variablen mathematisch miteinander miteinander in Verbindung gebracht werden Derivate. Wenn y ist eine Funktion von xdann das Differential Dy von y bezieht sich auf dx durch die Formel

wo ${\ displayStyle {\ frac {dy} {dx}} \,}$bezeichnet die Derivat von y in Gedenken an x. Diese Formel fasst die intuitive Idee zusammen, dass die Ableitung von y in Gedenken an x ist die Grenze des Verhältnisses der Unterschiede Δy/Δx als δx wird infinitesimal.

Es gibt mehrere Ansätze, um den Begriff der Differentials mathematisch präzise zu machen.

1. Unterschiede als lineare Karten. Dieser Ansatz zugrunde der Definition der Derivat und die Außenableitung in Differentialgeometrie.^[3]
2. Differentiale als Äquivalenzklassen von Funktionen von Funktionen
3. Unterschiede als Nilpotent Elemente von kommutative Ringe. Dieser Ansatz ist in der algebraischen Geometrie beliebt.^[4]
4. Differentiale in glatten Modellen der festgelegten Theorie. Dieser Ansatz ist als bekannt als synthetische Differentialgeometrie oder glatte Infinitesimalanalyse und ist eng mit dem algebraischen geometrischen Ansatz verwandt, außer dass Ideen von Topos -Theorie sind gewöhnt an ausblenden Die Mechanismen, durch die nilpotente Infinitesimals eingeführt werden.^[5]
5. Unterschiede als Infinitesimals in Hyperreale Nummer Systeme, die Erweiterungen der realen Zahlen sind, die invertierbare Infinitesimals und unendlich große Zahlen enthalten. Dies ist der Ansatz von Nicht standardmäßige Analyse Pionierarbeit von Abraham Robinson.^[6]

Diese Ansätze unterscheiden sich stark voneinander, aber sie haben gemeinsam die Idee des Seins quantitative, d.h., nicht nur, dass ein Differential unendlich klein ist, sondern wie klein ist es.

Grundvorstellungen

• Im Infinitesimalrechnung, das Differential repräsentiert eine Änderung der Linearisierung von a Funktion.
  • Das total differential ist seine Verallgemeinerung für Funktionen mehrerer Variablen.
• In traditionellen Berechnungsansätzen, die Differentiale (z.B. dx, Dy, dtusw.) werden als interpretiert als Infinitesimals. Es gibt verschiedene Methoden zur strengen Definition von Infinitesimals, aber es reicht aus zu sagen, dass eine infinitesimale Zahl unter absolutem Wert kleiner ist als jede positive reelle Zahl, genau wie eine unendlich große Zahl größer ist als jede reale Zahl.
• Das Differential ist ein anderer Name für die Jacobian Matrix von Teilableitungen einer Funktion von Rⁿ zu R^m (besonders wenn dies Matrix wird als als angesehen lineare Karte).
• Allgemeiner die Differential oder vorstoßen bezieht sich auf die Ableitung einer Karte zwischen glatte Verteiler und die von ihm definierten Vorgänge. Das Differential wird auch verwendet, um das doppelte Konzept von zu definieren zurückziehen.
• Stochastischer Kalkül Bietet einen Vorstellung von stochastisches Differential und ein zugehöriger Kalkül für stochastische Prozesse.
• Das Integrator in einem Stieltjes Integral wird als Differential einer Funktion dargestellt. Formal verhält sich das Unterschied, das unter dem Integral erscheint Integration durch Substitution und Integration in Teilstücken Formeln für Stieltjes -Integral entsprechen jeweils der Kettenregel und Produktregel für das Differential.

Geschichte und Verwendung

Infinitesimal Mengen spielten eine bedeutende Rolle bei der Entwicklung von Kalkül. Archimedes benutzte sie, obwohl er nicht glaubte, dass Argumente mit Infinitesimals streng waren.^[7] Isaac Newton bezeichnete sie als Flussmittel. Es war jedoch Gottfried Leibniz wer prägte den Begriff Differentiale für unendliche Mengen und führte die Notation für sie ein, die heute noch verwendet wird.

Im Leibnizs Notation, wenn x ist dann eine variable Menge dx bezeichnet eine infinitesimale Veränderung der Variablen x. Also wenn y ist eine Funktion von x, dann ist die Derivat von y in Gedenken an x wird oft bezeichnet Dy/dx, was sonst bezeichnet würde (in der Notation von Newton oder Lagrange) ẏ oder y′. Die Verwendung von Differentialen in dieser Form zog viel Kritik an, zum Beispiel in der berühmten Broschüre Der Analyst von Bischof Berkeley. Trotzdem ist die Notation populär geblieben y bei x ist es sofortige Änderungsrate (das Neigung der Grafik Tangente), die durch die Einnahme des Grenze des Verhältnisses Δy/Δx der Veränderung in y um die Änderung in xwie die Änderung in x wird willkürlich klein. Differentiale sind auch kompatibel mit Dimensionsanalyse, wo ein Differential wie z. dx hat die gleichen Dimensionen wie die Variable x.

Der Kalkül entwickelte sich im 17. Jahrhundert n. Chr. Zu einem ausgeprägten Mathematikzweig, obwohl die Antike zurückkamen. Die Präsentationen von z. B. Newton, Leibniz, wurden durch nicht rigorous Definitionen von Begriffen wie Differential gekennzeichnet, fließend und "unendlich klein". Während viele der Argumente in Bischof Berkeley1734 Der Analyst sind theologische Natur, moderne Mathematiker erkennen die Gültigkeit seines Arguments gegen "an" die Geister der abgestellten Mengen"; Die modernen Ansätze haben jedoch nicht die gleichen technischen Probleme. Trotz des Mangels an Strenge wurden im 17. und 18. Jahrhundert immensen Fortschritte erzielt. Im 19. Jahrhundert entwickelten Cauchy und andere allmählich die Epsilon, Delta Ansatz zu Kontinuität, Grenzen und Derivaten, die eine solide konzeptionelle Grundlage für Kalkül geben.

Im 20. Jahrhundert schienen mehrere neue Konzepte in z. B. multivariabler Kalkül, Differentialgeometrie, die Absicht der alten Begriffe zu verkörpern, insbesondere die Absicht Differential; Sowohl differentiell als auch unendlichsimal werden mit neuen, strengeren Bedeutungen verwendet.

Unterschiede werden auch in der Notation verwendet Integrale Da ein Integral als unendliche Summe von infinitesimalen Mengen angesehen werden kann: Der Bereich unter einem Diagramm wird erhalten, indem der Diagramm in unendlich dünne Streifen unterteilt und ihre Bereiche summiert. In einem Ausdruck wie z.

das integrale Zeichen (das modifiziert ist lange s) bezeichnet die unendliche Summe, f(x) bezeichnet die "Höhe" eines dünnen Streifens und das Differential dx bezeichnet seine unendlich dünne Breite.

Ansätze

Naiver Ansatz

Einige Texte für primäre und Studenten verwenden den alten naiven Ansatz und die Nomenklatur, anstatt strenge Axiome, Definitionen und grundlegende Ergebnisse zu geben. Dieser Ansatz zu Infinitesimalrechnung Verwendet den Begriff Differential sich auf eine "beziehen"infinitesimal"(" unendlich klein ") Veränderung in einigen variierende Menge. Zum Beispiel wenn x ist ein Variable, dann eine Änderung des Wertes von x wird oft δ bezeichnetx (ausgesprochen Delta x). Das Differential dx repräsentiert eine unendlich kleine Änderung der Variablen x. Die Idee einer unendlich kleinen oder unendlich langsamen Veränderung ist intuitiv äußerst nützlich, außer wenn sie Schüler verwirrt, die die Inkonsistenzen bemerken. Es gibt eine Reihe von Möglichkeiten, um den Begriff mathematisch präzise zu machen.

Unter Verwendung von Kalkül können die unendlich kleinen Änderungen verschiedener Variablen mathematisch miteinander miteinander in Verbindung gebracht werden Derivate. Wenn y ist eine Funktion von xdann das Differential Dy von y bezieht sich auf dx durch die Formel

wo ${\ displayStyle {\ frac {dy} {dx}} \,}$bezeichnet die Derivat von y in Gedenken an x. Diese Formel fasst die intuitive Idee zusammen, dass die Ableitung von y in Gedenken an x ist das Verhältnis von Unterschieden ${\ displaystyle \ delta y/\ delta x}$ Wenn ${\ displayStyle \ Delta x}$ ist infinitesimal. In einem strengeren Ansatz ist es die Grenze des Verhältnisses von Unterschieden ${\ displaystyle \ delta y/\ delta x}$ wie ${\ displayStyle \ Delta x}$ nähert sich 0.

Es gibt mehrere Ansätze, um den Begriff der Differentials mathematisch präzise zu machen.

1. Unterschiede als lineare Karten. Dieser Ansatz zugrunde der Definition der Derivat und die Außenableitung in Differentialgeometrie.^[8]
2. Unterschiede als Nilpotent Elemente von kommutative Ringe. Dieser Ansatz ist in der algebraischen Geometrie beliebt.^[4]
3. Differentiale in glatten Modellen der festgelegten Theorie. Dieser Ansatz ist als bekannt als synthetische Differentialgeometrie oder glatte Infinitesimalanalyse und ist eng mit dem algebraischen geometrischen Ansatz verwandt, außer dass Ideen von Topos -Theorie sind gewöhnt an ausblenden Die Mechanismen, durch die nilpotente Infinitesimals eingeführt werden.^[9]
4. Unterschiede als Infinitesimals in Hyperreale Nummer Systeme, die Erweiterungen der realen Zahlen sind, die invertierbare Infinitesimals und unendlich große Zahlen enthalten. Dies ist der Ansatz von Nicht standardmäßige Analyse Pionierarbeit von Abraham Robinson.^[6]

Diese Ansätze unterscheiden sich stark voneinander, aber sie haben gemeinsam die Idee des Seins quantitative, d.h., nicht nur, dass ein Differential unendlich klein ist, sondern wie klein ist es.

Unterschiede als lineare Karten

Es gibt einen einfachen Weg, um genaue Unterschiede zu verstehen, die zunächst in der realen Linie verwendet werden lineare Karten. Es kann auf verwendet werden ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$, ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n}}$, a Hilbert Raum, a Banach -Raumoder allgemeiner a Topologischer Vektorraum. Der Fall der realen Linie ist am einfachsten zu erklären. Diese Art von Differential ist auch als als bekannt Kovariante Vektor oder Cotangent Vector, abhängig vom Kontext.

Differentiale als lineare Karten auf r

Vermuten ${\ displayStyle f (x)}$ ist eine realbewertete Funktion auf ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$. Wir können die Variable neu interpretieren ${\ displayStyle x}$ in ${\ displayStyle f (x)}$ als eine Funktion und nicht als Zahl, nämlich die Identitätskarte Auf der realen Linie, die eine reelle Zahl benötigt ${\ displayStyle p}$ zu sich selbst: ${\ displayStyle x (p) = p}$. Dann ${\ displayStyle f (x)}$ ist die Komposit von ${\ displayStyle f}$ mit ${\ displayStyle x}$, deren Wert bei ${\ displayStyle p}$ ist ${\ displayStyle f (x (p)) = f (p)}$. Das Differential ${\ displayStyle \ operatorname {d} f}$ (Welches natürlich abhängt ${\ displayStyle f}$) ist dann eine Funktion, deren Wert bei ${\ displayStyle p}$ (Normalerweise bezeichnet ${\ displayStyle df_ {p}}$) ist keine Zahl, sondern eine lineare Karte von ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ zu ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$. Seit einer linearen Karte von ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ zu ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ wird durch a gegeben ${\ displayStyle 1 \ Times 1}$ MatrixEs ist im Wesentlichen dasselbe wie eine Zahl, aber die Änderung in der Sichtweise ermöglicht es uns, darüber nachzudenken ${\ displayStyle df_ {p}}$ als Infinitesimal und vergleichen es mit dem Standardinfinitesimal ${\ displayStyle dx_ {p}}$, was wieder nur die Identitätskarte von ist ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ zu ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ (a ${\ displayStyle 1 \ Times 1}$ Matrix mit Eintrag ${\ displayStyle 1}$). Die Identitätskarte hat die Eigenschaft, die wenn ${\ displayStyle \ varepsilon}$ ist dann sehr klein ${\ displayStyle dx_ {p} (\ varepsilon)}$ ist sehr klein, was es uns ermöglicht, es als Infinitesimal zu betrachten. Das Differential ${\ displayStyle df_ {p}}$ hat die gleiche Eigenschaft, weil es nur ein Vielfaches von ist ${\ displayStyle dx_ {p}}$, und dieses Vielfache ist das Ableitungen ${\ displayStyle f '(p)}$ per Definition. Wir erhalten das deshalb das ${\ displayStyle df_ {p} = f '(p) \, dx_ {p}}$, und daher ${\ displayStyle df = f '\, dx}$. So erholen wir die Idee, dass ${\ displayStyle f '}$ ist das Verhältnis der Unterschiede ${\ displayStyle df}$ und ${\ displayStyle dx}$.

Dies wäre nur ein Trick, wenn nicht die Tatsache, dass:

1. es erfasst die Idee des Derivats von ${\ displayStyle f}$ bei ${\ displayStyle p}$ als die Beste lineare Annäherung zu ${\ displayStyle f}$ bei ${\ displayStyle p}$;
2. Es hat viele Verallgemeinerungen.

Differentiale als lineare Karten auf rⁿ

Wenn ${\ displayStyle f}$ ist eine Funktion von ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n}}$ zu ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$dann sagen wir das ${\ displayStyle f}$ ist differenzierbar^[10] bei ${\ displayStyle p \ in \ mathbb {r} ^{n}}$ Wenn es eine lineare Karte gibt ${\ displayStyle df_ {p}}$ aus ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n}}$ zu ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ so dass für jeden ${\ displayStyle \ varepsilon> 0}$, da ist ein Nachbarschaft ${\ displayStyle n}$ von ${\ displayStyle p}$ so dass für ${\ displayStyle x \ in n}$Anwesend

Wir können jetzt den gleichen Trick wie im eindimensionalen Fall verwenden und an den Ausdruck denken ${\ displayStyle f (x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n})}$ als zusammengesetzter von ${\ displayStyle f}$ mit den Standardkoordinaten ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}}$ an ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n}}$ (so dass ${\ displayStyle x_ {j} (p)}$ ist der ${\ displayStyle j}$-TH -Komponente von ${\ displayStyle p \ in \ mathbb {r} ^{n}}$). Dann die Differentiale $oder }$ an einem Punkt ${\ displayStyle p}$ Form a Basis für die Vektorraum von linearen Karten von ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n}}$ zu ${\ displaystyle \ mathbb {r}}$ und deshalb, wenn ${\ displayStyle f}$ ist differenzierbar bei ${\ displayStyle p}$, wir können schreiben ${\ displayStyle \ operatorname {d} f_ {p}}$ Als ein lineare Kombination dieser Basiselemente:

Die Koeffizienten ${\ displayStyle d_ {j} f (p)}$ sind (per Definition) die Teilableitungen von ${\ displayStyle f}$ bei ${\ displayStyle p}$ in Gedenken an ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots, x_ {n}}$. Daher wenn ${\ displayStyle f}$ ist bei allen differenzierbar ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n}}$, wir können besser schreiben, genauer gesagt:

Im eindimensionalen Fall wird dies

wie vorher.

Diese Idee verallgemeinert unkompliziert auf Funktionen von ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n}}$ zu ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{m}}$. Darüber hinaus hat es den entscheidenden Vorteil gegenüber anderen Definitionen des Derivats, dass es ist unveränderlich unter Änderungen der Koordinaten. Dies bedeutet, dass die gleiche Idee verwendet werden kann, um die zu definieren Differential von glatte Karten zwischen glatte Verteiler.

Abgesehen davon: Beachten Sie, dass die Existenz aller Teilableitungen von ${\ displayStyle f (x)}$ bei ${\ displayStyle x}$ ist ein notwendige Bedingung für die Existenz eines Differentials bei ${\ displayStyle x}$. Allerdings ist es nicht ein ausreichender Zustand. Für Gegenbeispiele siehe Gateaux -Derivat.

Differentiale als lineare Karten auf einem Vektorraum

Das gleiche Verfahren funktioniert auf einem Vektorraum mit einer genügend zusätzlichen Struktur, um vernünftigerweise über Kontinuität zu sprechen. Der konkrete Fall ist ein Hilbert -Raum, der auch als als bekannt ist Komplett innerer Produktraum, wo das innere Produkt und es zugeordnet sind Norm Definieren Sie ein geeignetes Konzept der Entfernung. Das gleiche Verfahren eignet sich für einen Banach -Raum, der auch als vollständig bezeichnet wird Normed Vektorraum. Für einen allgemeineren topologischen Vektorraum sind jedoch einige Details abstrakter, da es keinen Entfernungskonzept gibt.

Für den wichtigsten Fall einer endlichen Dimension ist jeder innere Produktraum ein Hilbert -Raum, jeder normierte Vektorraum ist ein Banach -Raum und jeder topologische Vektorraum ist vollständig. Infolgedessen können Sie ein Koordinatensystem aus willkürlicher Basis definieren und dieselbe Technik wie für verwenden ${\ displaystyle \ mathbb {r} ^{n}}$.

Unterschiede als Keime von Funktionen

Dieser Ansatz funktioniert an jedem Differenzierbarer Verteiler. Wenn

1. U und V sind offene Sets, die enthalten sind p
2. ${\ displayStyle f \ colon u \ to \ mathbb {r}}$ ist kontinuierlich
3. ${\ displaystyle g \ colon v \ to \ mathbb {r}}$ ist kontinuierlich

dann f ist äquivalent zu g bei p, bezeichnet ${\ displayStyle f \ sim _ {p} g}$, wenn und nur wenn es offen gibt ${\ displayStyle w \ subseteq u \ cap v}$ enthält p so dass ${\ displayStyle f (x) = g (x)}$ für jeden x in W. Der Keim von f bei p, bezeichnet ${\ displayStyle [f] _ {p}}$, ist die Menge aller realen kontinuierlichen Funktionen f bei p; wenn f ist glatt bei p dann ${\ displayStyle [f] _ {p}}$ ist ein glatter Keim. Wenn

1. ${\ displayStyle u_ {1}}$, ${\ displayStyle u_ {2}}$ ${\ displayStyle v_ {1}}$ und ${\ displayStyle v_ {2}}$ sind offene Sets, die enthalten sind p
2. ${\ displaystyle f_ {1} \ colon u_ {1} \ to \ mathbb {r}}$, ${\ displaystyle f_ {2} \ colon u_ {2} \ to \ mathbb {r}}$, ${\ displaystyle g_ {1} \ colon v_ {1} \ to \ mathbb {r}}$ und ${\ displaystyle g_ {2} \ colon v_ {2} \ to \ mathbb {r}}$ sind glatte Funktionen
3. ${\ displayStyle f_ {1} \ sim _ {p} g_ {1}}$
4. ${\ displayStyle f_ {2} \ sim _ {p} g_ {2}}$
5. r ist eine reelle Zahl

dann

1. ${\ displayStyle r*f_ {1} \ sim _ {p} r*g_ {1}}$
2. $oder 1} \ cap v_ {2} \ to \ mathbb {r}}$
3. $oder 1} \ cap v_ {2} \ to \ mathbb {r}}$

Dies zeigt, dass die Keime bei p bilden und Algebra.

Definieren ${\ displaystyle {\ mathcal {i}} _ {p}}$ der Satz aller glatten Keime zu sein, die verschwinden p und${\ displaystyle {\ mathcal {i}} _ {p}^{2}}$ zu sein Produkt von Ideale ${\ displaystyle {\ mathcal {i}} _ {p} {\ mathcal {i} _ {p}}$. Dann ein Differential bei p (Cotangent -Vektor bei p) ist ein Element von $oder$. Das Unterschied einer glatten Funktion f bei p, bezeichnet ${\ displayStyle \ mathrm {d} f_ {p}}$, ist ${\ displayStyle [f-f (p)] _ {p}/{\ mathcal {i}} _ {p}^{2}}$.

Ein ähnlicher Ansatz besteht darin, die Differentialäquivalenz der ersten Ordnung in Bezug auf Derivate in einem willkürlichen Koordinaten -Patch zu definieren. Dann das Unterschied von f bei p ist die Menge aller Funktionen unterschiedlich gleichbedeutend mit ${\ displayStyle f-f (p)}$ bei p.

Algebraische Geometrie

Im Algebraische Geometrie, Unterschiede und andere infinitesimale Begriffe werden sehr explizit behandelt, indem sie akzeptieren, dass die Koordinatenring oder Struktur Sheaf eines Raums kann enthalten Nilpotente Elemente. Das einfachste Beispiel ist der Ring von Doppelzahlen R[ε], wo ε² = 0.

Dies kann durch den Algebro-geometrischen Standpunkt der Ableitung einer Funktion motiviert werden f aus R zu R an einem Punkt p. Beachten Sie zuerst das f- f(p) gehört zur Ideal I_p von Funktionen auf R die verschwinden p. Wenn die Ableitung f verschwindet an p, dann f- f(p) gehört zum Platz I_p² von diesem Ideal. Daher die Ableitung von f bei p kann von der Äquivalenzklasse erfasst werden [f- f(p)] in dem Quotientsraum I_p/I_p², und die 1-Jet von f (was seinen Wert codiert und sein erstes Derivat ist die Äquivalenzklasse von f im Raum aller Funktionen Modulo I_p². Algebraische Geometer betrachten diese Äquivalenzklasse als die Beschränkung von f zu einem verdickt Version des Punktes p deren Koordinatenring nicht ist R (Welches ist der Quotientsraum der Funktionen auf R Modulo I_p) aber R[ε] Welches ist der Quotientsraum der Funktionen auf R Modulo I_p². Ein solcher verdickter Punkt ist ein einfaches Beispiel für a planen.^[4]

Algebraische Geometrie -Vorstellungen

Unterschiede sind auch wichtig in Algebraische Geometrieund es gibt mehrere wichtige Vorstellungen.

• Abelsche Unterschiede in der Regel differentielle Einform auf einem algebraische Kurve oder Riemann Oberfläche.
• Quadratische Unterschiede (Die sich wie "Quadrate" von Abelschen Differentials verhalten) sind auch in der Theorie der Riemann -Oberflächen wichtig.
• Kähler -Unterschiede Stellen Sie einen allgemeinen Vorstellung von Differential in der algebraischen Geometrie vor.

Synthetische Differentialgeometrie

Ein fünfter Ansatz für Infinitesimals ist die Methode von synthetische Differentialgeometrie^[11] oder glatte Infinitesimalanalyse.^[12] Dies hängt eng mit dem algebraisch-geometrischen Ansatz zusammen, außer dass die Infinitesimals implizit und intuitiver sind. Die Hauptidee dieses Ansatzes besteht darin, die zu ersetzen Kategorie von Sets mit einem anderen Kategorie von sanft variierende Sätze die ein topos. In dieser Kategorie kann man die realen Zahlen, reibungslose Funktionen usw. definieren, aber die realen Zahlen automatisch enthalten nilpotente Infinitesimals, daher müssen diese nicht wie beim algebraischen geometrischen Ansatz von Hand eingeführt werden. Jedoch das Logik In dieser neuen Kategorie ist nicht identisch mit der vertrauten Logik der Kategorie der Sets: insbesondere der, die Gesetz der ausgeschlossenen Mitte hält nicht. Dies bedeutet, dass sich set-theoretische mathematische Argumente nur auf eine glatte Infinitesimalanalyse erstrecken konstruktiv (z. B. nicht verwenden Beweis durch Widerspruch). Etwas^[wer?] Betrachten Sie diesen Nachteil als positive Sache, da er dazu gezwungen ist, konstruktive Argumente zu finden, wo immer sie verfügbar sind.

Nicht standardmäßige Analyse

Der endgültige Ansatz für Infinitesimals beinhaltet erneut die Verlängerung der realen Zahlen, jedoch auf weniger drastische Weise. In dem Nicht standardmäßige Analyse Ansatz Es gibt keine nilpotenten Infinitesimals, nur invertierbare, die als die angesehen werden können Reziprokale von unendlich großer Anzahl.^[6] Solche Erweiterungen der reellen Zahlen können explizit unter Verwendung von Äquivalenzklassen von Sequenzen von konstruiert werden reale Nummernso, dass zum Beispiel die Sequenz (1, 1/2, 1/3, ..., 1///n, ...) repräsentiert einen Infinitesimal. Das Logik erster Ordnung von diesem neuen Satz von Hyperreale Zahlen ist die gleiche wie die Logik für die üblichen realen Zahlen, aber die Vollständigkeit Axiom (was beinhaltet Logik zweiter Ordnung) hält nicht. Dies reicht jedoch aus, um einen elementaren und ziemlich intuitiven Berechnungsansatz mithilfe von Infinitesimals zu entwickeln, siehe Übertragungsprinzip.

Differentialgeometrie

Der Begriff eines Differentials motiviert mehrere Konzepte in Differentialgeometrie (und Differentialtopologie).

• Das Differential (Pushforward) einer Karte zwischen Verteilern.
• Differentialformen Stellen Sie einen Rahmen für die Multiplikation und Differenzierung von Differentialen zur Verfügung.
• Das Außenableitung ist ein Begriff der Differenzierung von Differentialformen, die die verallgemeinert Differential einer Funktion (was ist a Differential 1-Form).
• Zurückziehen ist insbesondere ein geometrischer Name für die Kettenregel zum Komponieren einer Karte zwischen Verteilern mit einer Differentialform am Zielkrümmer.
• Kovariante Derivate oder Differentiale eine allgemeine Vorstellung für die Differenzierung von liefern Vektorfelder und Tensorfelder auf einem Verteiler oder allgemeiner Abschnitte von a Vektorbündel: sehen Verbindung (Vektor Bundle). Dies führt letztendlich zum allgemeinen Konzept von a Verbindung.

Andere Bedeutungen

Der Begriff Differential wurde auch in homologischer Algebra und algebraischer Topologie übernommen, da das Außenderivat in der Rham -Kohomologie spielt: in a Cochain -Komplex ${\ displayStyle (c _ {\ bullet}, d _ {\ bullet})}$, die Karten (oder Coboundary -Operatoren) d_i werden oft als Differentiale bezeichnet. Zwar werden die Grenzoperatoren in einem Kettenkomplex manchmal aufgerufen Codiffeferen.

Die Eigenschaften des Differentials motivieren auch die algebraischen Vorstellungen von a Ableitung und ein Differentialalgebra.

Siehe auch

• Differentialgleichung
• Differentialform
• Differential einer Funktion

Anmerkungen

Zitate

Verweise

• Apostol, Tom M. (1967), Infinitesimalrechnung (2. Aufl.), Wiley, ISBN 978-0-471-00005-1.
• Glocke, John L. (1998), Einladung zur reibungslosen Infinitesimalanalyse (PDF).
• Boyer, Carl B. (1991), "Archimedes of Syracuse", Eine Geschichte der Mathematik (2. Aufl.), John Wiley & Sons, Inc., ISBN 978-0-471-54397-8.
• Darling, R. W. R. (1994), Differentialformen und Verbindungen, Cambridge, Großbritannien: Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-46800-8.
• Eisenbud, David; Harris, Joe (1998),, Die Geometrie der Schemata, Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-98637-1
• Keisler, H. Jerome (1986), Elementarkalkül: Ein infinitesimaler Ansatz (2. Aufl.).
• Kock, Anders (2006), Synthetische Differentialgeometrie (PDF) (2. Aufl.), Cambridge University Press.
• Lawvere, F.W. (1968), Umriss der synthetischen Differentialgeometrie (PDF) (veröffentlicht 1998).
• Moerdijk, I.;Reyes, G.E.(1991),, Modelle für eine glatte Infinitesimalanalyse, Springer-Verlag.
• Robinson, Abraham (1996), Nicht standardmäßige Analyse, Princeton University Press, ISBN 978-0-691-04490-3.
• Weisstein, Eric W. "Unterschiede". Mathord.