Beschreibende Geometrie

Beispiel für vier verschiedene 2D -Darstellungen desselben 3D -Objekts

Das gleiche Objekt, das aus sechs Seiten gezogen wurde

Beschreibende Geometrie ist der Zweig von Geometrie Dies ermöglicht die Darstellung von dreidimensionalen Objekten in zwei Dimensionen unter Verwendung eines bestimmten Satzes von Verfahren. Die resultierenden Techniken sind wichtig für Ingenieurwesen, die Architektur, Entwurf und in Kunst.^[1] Die theoretische Grundlage für die beschreibende Geometrie wird von bereitgestellt Planare geometrische Projektionen. Die früheste bekannte Veröffentlichung zur Technik war "unterwegs der Messung mit dem Zirckel und Richtscheyt", veröffentlicht in Linien, Nürnberg: 1525, von Albrecht Dürer. Italienischer Architekt Guarino Guarini war auch ein Pionier der projektiven und beschreibenden Geometrie, wie aus seiner hervorgehtPlacita Philosophica (1665), Euklides adauctus (1671) und Architettura Civile (1686 - nicht bis 1737 veröffentlicht), die Arbeit von der Arbeit von vorwegzunehmen Gaspard Monge (1746–1818), der normalerweise die Erfindung der beschreibenden Geometrie zugeschrieben wird.^[2][3] Gaspard Monge gilt normalerweise als "Vater der beschreibenden Geometrie" aufgrund seiner Entwicklungen bei der geometrischen Problemlösung. Seine ersten Entdeckungen waren 1765, als er als Zeichner für militärische Befestigungen arbeitete, obwohl seine Ergebnisse später veröffentlicht wurden.^[4]

Monge Protokolle ermöglichen es, dass ein imaginäres Objekt so gezogen wird, dass es in drei Dimensionen modelliert werden kann. Alle geometrischen Aspekte des imaginären Objekts werden in echtem Größe/Umfang und Form berücksichtigt und können wie aus jeder Position im Weltraum abgebildet werden. Alle Bilder werden auf einer zweidimensionalen Oberfläche dargestellt.

Die deskriptive Geometrie verwendet die bildschaffende Technik der imaginären, parallelen Projektoren, die aus einem imaginären Objekt stammen und eine imaginäre Projektionsebene im rechten Winkel überschneiden. Die kumulativen Schnittpunkte erzeugen das gewünschte Bild.

Protokolle

• Projekt zwei Bilder eines Objekts in sich gegenseitig senkrechte, willkürliche Richtungen. Jede Bildansicht berücksichtigt drei Raumabmessungen, zwei Dimensionen, die als vollwertige, gegenseitig perpendikuläre Achsen und eine als unsichtbare (Punktansicht) Achse in den Bildraum (Tiefe) angezeigt werden. Jedes der beiden benachbarten Bildansichten hat eine vollständige Ansicht einer der drei Dimensionen des Raums.
• Eine dieser Bilder kann als Anfangspunkt für eine dritte projizierte Sicht dienen. Die dritte Ansicht kann eine vierte Projektion und auf Ad infinitum beginnen. Diese sequentiellen Projektionen repräsentieren jeweils eine umständliche, 90 ° im Raum, um das Objekt aus einer anderen Richtung anzuzeigen.
• Jede neue Projektion verwendet eine Dimension in vollem Maßstab, die in der vorherigen Ansicht als Punkt-View-Dimension angezeigt wird. Um die vollständige Ansicht dieser Dimension zu erreichen und sie innerhalb der neuen Ansicht zu berücksichtigen, muss man die vorherige Ansicht ignorieren und mit der zweiten vorherigen Ansicht fortfahren, in der diese Dimension in vollem Maßstab erscheint.
• Jede neue Ansicht kann erstellt werden, indem sie in eine unendliche Anzahl von Richtungen projiziert werden, die senkrecht zur vorherigen Projektionsrichtung. (Stellen Sie sich die vielen Richtungen der Speichen eines Wagenrads vor, das jeweils senkrecht zur Richtung der Achse ist.) Das Ergebnis ist ein Umfang von einem Objekt in 90 ° -Wendungen und betrachtet das Objekt von jedem Schritt. Jede neue Ansicht wird als zusätzliche Ansicht zu einer hinzugefügt orthographische Projektion Layoutanzeige und wird in einem "Entfalten des Glasboxmodells" angezeigt.

Abgesehen von den orthografischen, sechs Standard -Hauptansichten (vorne; rechte Seite; linke Seite; oben; unten; hinten) bemüht sich die beschreibende Geometrie um vier grundlegende Lösungsansichten: die wahre Länge einer Linie (d. H. In voller Größe, nicht verkündet), der Punktansicht (Endansicht) einer Linie, der wahren Form einer Ebene (d. H. In voller Größe zu skalieren oder nicht verkündet) und die Kantenansicht einer Ebene (d. H. Ansicht einer Ebene mit der Sichtlinie senkrecht zur Sichtlinie, die mit der Sichtlinie zur Erzeugung der wahren Form einer Ebene verbunden ist). Diese dienen häufig dazu, die Projektionsrichtung für die nachfolgende Ansicht zu bestimmen. Nach dem 90 ° -Verrichtungsvorgang projiziert er in eine beliebige Richtung aus der Sicht einer Linie wahre Länge Aussicht; In einer Richtung, die parallel zu einer echten Länge -Zeilenansicht projiziert, ergibt sich die Punktansicht und projiziert die Punktansicht einer Linie in einer Ebene in einer Ebene der Kantenansicht des Flugzeugs. Wenn Sie in eine Richtung senkrecht zur Kantenansicht einer Ebene projizieren, erhalten Sie die wahre Form (zur Skalierung). Diese verschiedenen Ansichten können zur Lösung von technischen Problemen durch Solid-Geometrie-Prinzipien aufgefordert werden

Heuristik

Das Studium der deskriptiven Geometrie ist heuristischer Wert. Es fördert die Visualisierungs- und räumliche analytische Fähigkeiten sowie die intuitive Fähigkeit, die Betrachtungsrichtung für die am besten präsentierte Präsentation eines geometrischen Problems für die Lösung zu erkennen. Repräsentative Beispiele:

Die beste Richtung zu sehen

• Zwei verzerrte Linien (Rohre, vielleicht) im Allgemeinen Positionen, um den Ort ihres kürzesten Steckers (gemeinsame senkrechte) zu bestimmen
• Zwei Schießerleitungen (Rohre) in allgemeinen Positionen, so dass ihr kürzester Anschluss in vollem Maßstab zu sehen ist
• Zwei Schießerleitungen im Allgemeinen Positionen wie der kürzeste Stecker parallel zu einer bestimmten Ebene sind in vollem Maßstab zu sehen (z. B. um die Position und die Dimension des kürzesten Steckers in einem konstanten Abstand von einer strahlenden Oberfläche zu bestimmen)
• Eine Ebeneoberfläche, sodass ein loch gebohrter senkrechter Senkrecht in voller Ebene zu sehen ist, als würde man durch das Loch schauen (z. B. um Aufklärungen mit anderen gebohrten Löchern zu testen)
• Eine Ebene gleichbleibig von zwei Schießerleitungen in allgemeinen Positionen (z. B. um den sicheren Strahlungsabstand zu bestätigen?)
• Der kürzeste Abstand von einem Punkt zu einer Ebene (z. B. um die wirtschaftlichste Position für die Verbreitung zu lokalisieren)
• Die Schnittlinie zwischen zwei Oberflächen, einschließlich gekrümmter Oberflächen (z. B. für die wirtschaftlichste Größe von Abschnitten?)
• Die wahre Größe des Winkels zwischen zwei Ebenen

Ein Standard zur Präsentation von Computermodellansichten analog zu orthografischen und sequentiellen Projektionen wurde noch nicht angewendet. Ein Kandidat für solche wird in den folgenden Abbildungen dargestellt. Die Bilder in den Abbildungen wurden unter Verwendung von dreidimensionalen, technischen Computergrafiken erstellt.

Die dreidimensionale Computermodellierung erzeugt sozusagen einen virtuellen Raum "hinter der Röhre" und kann eine Ansicht eines Modells aus jeder Richtung innerhalb dieses virtuellen Raums erzeugen. Dies geschieht ohne die Notwendigkeit benachbarter orthografischer Ansichten und kann daher das umständliche, trittliche Protokoll der deskriptiven Geometrie veraltet zu machen. Da die deskriptive Geometrie jedoch die Wissenschaft der legitimen oder zulässigen Bildgebung von drei ist oder mehr Dimensionaler Raum in einer flachen Ebene ist eine unverzichtbare Studie, um die Möglichkeiten der Computermodellierung zu verbessern.

Beispiele

Finden Sie den kürzesten Stecker zwischen zwei gegebenen Vergleichslinien PR und SU

Beispiel für die Verwendung der deskriptiven Geometrie, um den kürzesten Stecker zwischen zwei Schießerleitungen zu finden. Die roten, gelben und grünen Highlights zeigen Entfernungen, die für Projektionen von Punkt P. gleich sind

Angesichts der x-, y- und z-Koordinaten von P, R, S und U werden die Projektionen 1 und 2 auf den X-Y- bzw. X-Z-Flugzeugen skaliert.

Um eine echte Ansicht zu erhalten (Länge in der Projektion ist gleich der Länge im 3D -Raum) einer der Linien: SU wird in diesem Beispiel die Projektion 3 mit Scharnierlinie H gezeichnet_2,3 parallel zu s₂U₂. Um eine Endansicht von SU zu erhalten, wird die Projektion 4 mit Scharnierlinie H gezeichnet_3,4 senkrecht zu s₃U₃. Die senkrechte Entfernung d gibt den kürzesten Abstand zwischen PR und Su.

Um Punkte Q und T auf diese Linien zu erhalten, die diese kürzeste Entfernung geben, wird die Projektion 5 mit Scharnierlinie H gezeichnet_4,5 parallel zu p₄R₄beide p machen p₅R₅ und s₅U₅ Wahre Ansichten (jede Projektion einer Endansicht ist eine wahre Ansicht). Projizieren des Schnittpunkts dieser Linien, q, q₅ und T₅ Zurück zur Projektion 1 (Magenta -Linien und -bezeichnungen) ermöglicht es ihren Koordinaten, die Achsen X, Y und Z abzulesen.

Allgemeine Lösungen

Allgemeine Lösungen sind eine Klasse von Lösungen innerhalb der beschreibenden Geometrie, die alle möglichen Lösungen für ein Problem enthalten. Die allgemeine Lösung wird durch ein einzelnes dreidimensionales Objekt dargestellt, normalerweise ein Kegel, deren Richtungen der Elemente die gewünschte Betrachtungsrichtung (Projektion) für eine unendliche Anzahl von Lösungsansichten sind.

Zum Beispiel: Um die allgemeine Lösung so zu finden, dass zwei, ungleiche Länge, verzerrte Linien in allgemeinen Positionen (z. B. Raketen im Flug?) Erscheinen:

• Gleiche Länge
• Gleiche Länge und Parallele
• Gleiche Länge und senkrechte (z. B. für ideale Targeting von mindestens einem))
• Gleich wie Längen eines bestimmten Verhältnisses
• Andere.

In den Beispielen ist die allgemeine Lösung für jede gewünschte charakteristische Lösung ein Kegel, dessen Element eine von unendlichen Anzahl von Lösungsansichten erzeugt. Wenn zwei oder mehr Merkmale von den oben aufgeführten (und für die eine Lösung existiert), die in Richtung eines der beiden Elemente von Kreuzungen (ein Element, wenn Zapfen Tangente sind), zwischen den beiden Zapfen erzeugt werden, erzeugt die gewünschten Kreuzungen (ein Element, wenn Zapfen sind Lösungsansicht. Wenn die Zapfen nicht schneiden, existiert keine Lösung. Die folgenden Beispiele sind kommentiert, um die beschreibenden geometrischen Prinzipien der Lösungen anzuzeigen. Tl = wahre Länge; Ev = Kantenansicht.

Feigen. 1-3 unten zeigt (1) deskriptive Geometrie, allgemeine Lösungen und (2) gleichzeitig einen potenziellen Standard für die Präsentation solcher Lösungen in orthografischen, mehrview-, Layoutformaten.

Der potenzielle Standard verwendet zwei benachbarte, Standard-, orthografische Ansichten (hier, vorne und oben) mit einer Standard "Faltlinie" zwischen. Da es keine nachfolgenden Notwendigkeit gibt, 90 ° um das Objekt in Standardsequenzen umzusetzen, um zu einer Lösungsansicht zu gelangen (es ist möglich, direkt zur Lösungsansicht zu gelangen), wird dieses kürzere Protokoll berücksichtigt für im Layout. Wenn das einstufige Protokoll das zweistufige Protokoll ersetzt, werden "Doppelfaltung" -Leitungen verwendet. Mit anderen Worten, wenn man die doppelten Linien überschreitet, macht er keine umständliche 90 ° -Wendung, sondern eine nicht verordnete Wendung direkt zur Lösungsansicht. Da die meisten technischen Computergrafikpakete automatisch die sechs Hauptansichten des Glass -Box -Modells sowie eine isometrische Ansicht generieren, werden diese Ansichten manchmal aus heuristischer Neugierde hinzugefügt.

Abbildung 1: Deskriptive Geometrie - Schräglinien, die senkrecht erscheinen

Abbildung 2: Deskriptive Geometrie - Die Schräglinien erscheinen gleich Länge

Abbildung 3: Deskriptive Geometrie - Die Schräglinien erscheinen im angegebenen Längenverhältnis

Siehe auch

Verweise