Entscheidungsproblem

A Entscheidungsproblem hat nur zwei mögliche Ausgänge (Jawohl oder nein) auf jeder Eingabe.

Im Computerbarkeitstheorie und Computerkomplexitätstheorie, a Entscheidungsproblem ist ein Problem, das als ja-nein Frage der Eingabewerte. Ein Beispiel für ein Entscheidungsproblem ist die Entscheidung, ob eine bestimmte natürliche Zahl ist Prime. Ein weiteres ist das Problem "Angesichts zwei Zahlen x und y, tut x gleichmäßig teilen y? ". Die Antwort lautet entweder 'Ja' oder 'Nein', abhängig von den Werten von x und y. Eine Methode zur Lösung eines Entscheidungsproblems, angegeben in Form eines Algorithmus, heißt a Entscheidungsverfahren für dieses Problem. Ein Entscheidungsverfahren für das Entscheidungsproblem "unter zwei Zahlen x und y, tut x gleichmäßig teilen y? "Würde die Schritte geben, um zu bestimmen, ob x gleichmäßig teilt y. Ein solcher Algorithmus ist Lange Division. Wenn der Rest Null ist, ist die Antwort "Ja", sonst ist er "Nein". Ein Entscheidungsproblem, das durch einen Algorithmus gelöst werden kann entschlossen.

Entscheidungsprobleme treten typischerweise in mathematischen Fragen von auf Dekidabilitätdas heißt die Frage nach der Existenz eines Effektive Methode die Existenz eines Objekts oder seiner Mitgliedschaft in einem Satz bestimmen; Einige der wichtigsten Probleme in der Mathematik sind unentscheidbar.

Das Gebiet der rechnerischen Komplexität kategorisiert entschlossen Entscheidungsprobleme dadurch, wie schwierig sie sind, zu lösen. "Schwierig" in diesem Sinne wird in Bezug auf die beschrieben Rechenressourcen benötigt vom effizientesten Algorithmus für ein bestimmtes Problem. Das Feld von Rekursionstheoriein der Zwischenzeit kategorisiert unentscheidbar Entscheidungsprobleme von Turing -Abschluss, was ein Maß für die Nichtverkäuflichkeit ist, die jeder Lösung inhärent ist.

Definition

A Entscheidungsproblem ist eine Ja-or-Nein-Frage auf einem Infinite Set von Eingängen. Es ist traditionell, das Entscheidungsproblem als die Anzahl der möglichen Eingaben zusammen mit den Eingängen zu definieren, für die die Antwort ist Jawohl.^[1]

Diese Eingaben können natürliche Zahlen sein, können aber auch Werte einer anderen Art wie binär sein Saiten oder Strings über einen anderen Alphabet. Die Teilmenge der Zeichenfolgen, für die das Problem "Ja" zurückgibt, ist a formelle Spracheund oft werden Entscheidungsprobleme als formale Sprachen definiert.

Verwenden einer Codierung wie z. Gödel -Nummerierung, jede Zeichenfolge kann als natürliche Zahl codiert werden, über die ein Entscheidungsproblem als Untergruppe der natürlichen Zahlen definiert werden kann. Daher besteht der Algorithmus eines Entscheidungsproblems darin, die zu berechnen charakteristische Funktion einer Untergruppe der natürlichen Zahlen.

Beispiele

Ein klassisches Beispiel für ein entschlossenes Entscheidungsproblem ist die Reihe von Primzahlen. Es ist möglich, effektiv zu entscheiden, ob eine bestimmte natürliche Zahl an der Hauptsache ist, indem alle möglichen nicht trivialen Faktoren getestet werden. Obwohl viel effizientere Methoden von Primalitätstest Es ist bekannt, dass die Existenz einer wirksamen Methode ausreicht, um eine Dekidabilität festzustellen.

Dekidabilität

Ein Entscheidungsproblem ist entschlossen oder effektiv lösbar Wenn der Satz von Eingängen (oder natürlichen Zahlen), für die die Antwort ist, ist a rekursive Set. Ein Problem ist teilweise entziderbar, halbkassbar, lösbar, oder nachweisbar Wenn der Satz von Eingängen (oder natürlichen Zahlen), für die die Antwort ist, ist a rekursiv aufzählbarer Satz. Probleme, die nicht enttäuscht sind, sind unentscheidbar. Für diejenigen ist es nicht möglich, einen effizienten oder anderweitigen Algorithmus zu erstellen, der sie löst.

Das Problem stoppen ist ein wichtiges, unentschlossenes Entscheidungsproblem; Weitere Beispiele finden Sie unter Liste der unentscheidbaren Probleme.

Vollständige Probleme

Entscheidungsprobleme können nach bestellt werden Manche-One-One-Reduzierbarkeit und im Zusammenhang mit realisierbaren Reduktionen wie z. Polynomzeitreduzierungen. Ein Entscheidungsproblem P wird gesagt, dass Komplett für eine Reihe von Entscheidungsproblemen S wenn P ist ein Mitglied von S und jedes Problem in S kann auf reduziert werden auf P. Vollständige Entscheidungsprobleme werden in verwendet Computerkomplexitätstheorie charakterisieren Komplexitätsklassen von Entscheidungsproblemen. Zum Beispiel die Boolesche Zufriedenheitsproblem ist vollständig für die Klasse Np von Entscheidungsproblemen unter Polynom-Zeit-Reduzierbarkeit.

Funktionsprobleme

Entscheidungsprobleme stehen eng mit dem zusammen mit Funktionsprobleme, was Antworten haben kann, die komplexer sind als ein einfaches "Ja" oder "Nein". Ein entsprechendes Funktionsproblem lautet "Angegebene zwei Zahlen x und y, was ist x geteilt durch y? ".

A Funktionsproblem besteht aus einem Teilfunktion f; Das informelle "Problem" besteht darin, die Werte von zu berechnen f auf den Eingängen, für die es definiert ist.

Jedes Funktionsproblem kann in ein Entscheidungsproblem verwandelt werden. Das Entscheidungsproblem ist nur die Grafik der zugehörigen Funktion. (Die Grafik einer Funktion f ist der Satz von Paaren (x,y) so dass f(x) = y.) Wenn dieses Entscheidungsproblem effektiv lösbar wäre, wäre auch das Funktionsproblem. Diese Reduktion respektiert jedoch keine rechnerische Komplexität. Zum Beispiel ist es möglich, dass das Diagramm einer Funktion in der Polynomzeit entscheidbar ist (in diesem Fall wird die Laufzeit als Funktion des Paares berechnet (x,y)) Wenn die Funktion nicht berechnet wird in Polynomzeit (In diesem Fall wird die Laufzeit als Funktion von berechnet x allein). Die Funktion f(x) = 2^x hat diese Eigenschaft.

Jedes Entscheidungsproblem kann in das Funktionsproblem der Berechnung der Berechnung umgewandelt werden charakteristische Funktion des Satzes, der dem Entscheidungsproblem verbunden ist. Wenn diese Funktion berechnet ist, ist das zugehörige Entscheidungsproblem entzündbar. Diese Reduktion ist jedoch liberaler als die Standardreduktion, die in der Computerkomplexität verwendet wird (manchmal als Polynom-Zeit-Reduktion bezeichnet); Zum Beispiel die Komplexität der charakteristischen Funktionen eines NP-Complete Problem und seines CO-NP-Complete ergänzen ist genau das gleiche, obwohl die zugrunde liegenden Entscheidungsprobleme in einigen typischen Berechnungsmodellen nicht gleichwertig angesehen werden.

Optimierungsprobleme

Im Gegensatz zu Entscheidungsproblemen, für die nur eine korrekte Antwort für jede Eingabe vorliegt, sind Optimierungsprobleme mit der Suche nach dem Beste Antwort auf eine bestimmte Eingabe. Optimierungsprobleme treten natürlich in vielen Anwendungen auf, wie die Problem mit reisenden Verkäufern und viele Fragen in Lineares Programmieren.

Es gibt Standardtechniken zur Umwandlung von Funktions- und Optimierungsproblemen in Entscheidungsprobleme. Zum Beispiel besteht das Optimierungsproblem im Problem des reisenden Verkäufers darin, eine Tour mit minimalem Gewicht zu erstellen. Das damit verbundene Entscheidungsproblem ist: für jeden N, um zu entscheiden, ob die Grafik eine Tour mit weniger Gewicht hat als N. Durch die wiederholte Beantwortung des Entscheidungsproblems ist es möglich, das minimale Gewicht einer Tour zu finden.

Da sich die Theorie der Entscheidungsprobleme sehr gut entwickelt hat, hat sich die Forschung in der Komplexitätstheorie typischerweise auf Entscheidungsprobleme konzentriert. Optimierungsprobleme selbst sind nach wie vor von Interesse an der Computerabilitätstheorie sowie in Bereichen wie z. Unternehmensforschung.

Siehe auch

• Alle (Komplexität)
• Rechenproblem
• Dekidabilität (Logik) - für das Problem der Entscheidung, ob eine Formel eine Folge von a ist Logische Theorie.
• Suchproblem
• Zählproblem (Komplexität)
• Wortproblem (Mathematik)

Verweise

• Kozen, D. C. (2012). Automaten und Berechnbarkeit. Springer. ISBN 9781461218449.
• Hartley, Rogers, JR (1987). Die Theorie der rekursiven Funktionen und der effektiven Berechnung. MIT Press. ISBN 9780262680523.
• SIPser, M. (2020). Introduction to the Theory of Computation. Cengage -Lernen. ISBN 9780357670583.
• Soare, Robert I. (1987). Rekursiv aufzählbare Sätze und Grad. Springer. ISBN 0-387-15299-7.
• Kroening, Daniel; Strichman, Ofer (23. Mai 2008). Entscheidungsverfahren. Springer. ISBN 978-3-540-74104-6.
• Bradley, Aaron; Manna, Zohar (3. September 2007). Der Berechnungskalkül. Springer. ISBN 978-3-540-74112-1.