Zylinder

Ein kreisförmiger Höhepunkt der Höhe h und Durchmesser d

A Zylinder (aus griechisch: κύλινδρος, romanisiert:kulindros, zündete.'Roller', 'Tumbler'[1]) war traditionell a Dreidimensionales Feststoff, einer der grundlegendsten von kurvilinear geometrische Formen. Geometrisch, es wurde als als betrachtet Prisma mit einer Kreis als Basis.

Diese traditionelle Ansicht wird immer noch in elementaren Behandlungen der Geometrie verwendet, aber der fortgeschrittene mathematische Standpunkt hat sich in die verschoben unendlich kurvilinear auftauchen Und so wird ein Zylinder jetzt in verschiedenen modernen Geometriezweigen definiert und Topologie.

Die Verschiebung der grundlegenden Bedeutung (fest gegen Oberfläche) hat zu einer gewissen Unklarheit mit der Terminologie geschaffen. Es wird allgemein hofft, dass der Kontext die Bedeutung klar macht. Beide Sichtweisen werden typischerweise dargestellt und unterschieden Feste Zylinder und Zylindrische OberflächenAber in der Literatur könnte sich der schmucklose Begriff Zylinder auf beide oder auf ein noch spezialisierteres Objekt beziehen, die Rechts kreisförmiger Zylinder.

Typen

Die Definitionen und Ergebnisse in diesem Abschnitt stammen aus dem Text von 1913 Ebene und feste Geometrie von George Wentworth und David Eugene Smith (Wentworth & Smith 1913).

A Zylindrische Oberfläche ist ein auftauchen bestehend aus allen Punkten auf allen Linien, die sind parallel zu einer bestimmten Linie und die durch eine feste Durchführung Flugzeugkurve in einem Flugzeug nicht parallel zur angegebenen Linie. Jede Linie in dieser Familie paralleler Linien wird als als als bezeichnet Element der zylindrischen Oberfläche. Von einem Kinematik Sichtweise mit einer Ebenenkurve, die als die genannt Directrix, eine zylindrische Oberfläche ist die Oberfläche, die durch eine Linie ausgezeichnet wird, die als die genannt wird Generatrix, nicht in der Ebene des Directrix, parallel zu sich selbst und immer durch das Directrix. Jede bestimmte Position des Generatrix ist ein Element der zylindrischen Oberfläche.

Ein rechts und ein schräger kreisförmiger Zylinder

A fest begrenzt durch eine zylindrische Oberfläche und zwei Parallelebenen wird als (solide) bezeichnet Zylinder. Die durch ein Element der zylindrischen Oberfläche zwischen den beiden parallelen Ebenen bestimmten Liniensegmente werden als eine genannt Element des Zylinders. Alle Elemente eines Zylinders haben gleiche Längen. Die von der zylindrische Oberfläche in einem der parallelen Ebenen begrenzte Region wird als a genannt Base des Zylinders. Die beiden Basen eines Zylinders sind kongruent Zahlen. Wenn die Elemente des Zylinders senkrecht zu den Ebenen der Basen sind, ist der Zylinder a Rechtszylindersonst wird es als als genannt Schrägzylinder. Wenn die Basen sind Scheiben (Regionen, deren Grenze a ist Kreis) Der Zylinder wird a genannt runder Zylinder. In einigen Elementarbehandlungen bedeutet ein Zylinder immer einen kreisförmigen Zylinder.[2]

Das Höhe (oder Höhe) eines Zylinders ist das aufrecht Abstand zwischen seinen Basen.

Der Zylinder, der durch rotierendes a erhalten wurde Liniensegment über eine feste Linie, zu der es parallel ist, ist a Zylinder der Revolution. Ein Zylinder der Revolution ist ein rechter kreisförmiger Zylinder. Die Höhe eines Revolutionszylinders ist die Länge des Erzeugungsleitungssegments. Die Linie, über die das Segment gedreht wird Achse des Zylinders und es fließt durch die Zentren der beiden Basen.

Ein rechter kreisförmiger Zylinder mit Radius r und Größe h

Rechte kreisförmige Zylinder

Der nackte Begriff Zylinder häufig bezieht sich auf einen festen Zylinder mit kreisförmigen Enden senkrecht zur Achse, dh ein rechter kreisförmiger Zylinder, wie in der Abbildung gezeigt. Die zylindrische Oberfläche ohne die Enden wird als als bezeichnet offener Zylinder. Die Formeln für die Oberfläche und die Volumen Von einem rechten kreisförmigen Zylinder wurden aus der frühen Antike bekannt.

Ein rechter kreisförmiger Zylinder kann auch als das angesehen werden solide der Revolution Erzeugt durch Drehen eines Rechtecks ​​um eine seiner Seiten. Diese Zylinder werden in einer Integrationstechnik (der "Festplattenmethode") zum Erhalten von Volumina von Festkörpern der Revolution verwendet.[3]

Eigenschaften

Zylinderabschnitte

Zylinderabschnitt

Ein zylindischer Abschnitt ist der Schnittpunkt der Oberfläche eines Zylinders mit a Flugzeug. Sie sind im Allgemeinen Kurven und sind besondere Arten von Flugzeugabschnitte. Der zylindische Abschnitt einer Ebene, die zwei Elemente eines Zylinders enthält, ist a Parallelogramm.[4] Ein solcher zylindischer Abschnitt eines rechten Zylinders ist a Rechteck.[4]

Ein zylindischer Abschnitt, in dem sich die sich überschneidende Ebene überschneidet und senkrecht zu allen Elementen des Zylinders ist und a Rechtsabschnitt.[5] Wenn ein rechter Abschnitt eines Zylinders ein Kreis ist, ist der Zylinder ein kreisförmiger Zylinder. In mehr Allgemeinheit, wenn ein richtiger Abschnitt eines Zylinders a ist Kegelabschnitt (Parabola, Ellipse, Hyperbola) Dann soll der feste Zylinder parabolisch, elliptisch und hyperbolisch sein.

Zylindrische Abschnitte eines rechten kreisförmigen Zylinders

Für einen rechten kreisförmigen Zylinder gibt es verschiedene Möglichkeiten, wie Flugzeuge einen Zylinder treffen können. Erstens Flugzeuge, die eine Basis höchstens einen Punkt schneiden. Eine Ebene ist tangential am Zylinder, wenn sie den Zylinder in einem einzelnen Element trifft. Die rechten Abschnitte sind Kreise und alle anderen Ebenen schneiden die zylindrische Oberfläche in einem Ellipse.[6] Wenn eine Ebene in genau zwei Punkten eine Basis des Zylinders schneidet, ist das Liniensegment, das diese Punkte verbindet, Teil des zylindischen Abschnitts. Wenn eine solche Ebene zwei Elemente enthält, hat sie ein Rechteck als zylindrischer Abschnitt, ansonsten sind die Seiten des zylindischen Abschnitts Teile einer Ellipse. Wenn eine Ebene mehr als zwei Punkte einer Basis enthält, enthält sie die gesamte Basis und der zylindische Abschnitt ist ein Kreis.

Im Falle eines rechten kreisförmigen Zylinders mit einem zylindischen Abschnitt, der eine Ellipse ist, die Exzentrizität e des zylindischen Abschnitts und Semi-Major-Achse a des zylindischen Abschnitts hängen vom Radius des Zylinders ab r und der Winkel α zwischen der Sekantenebene und der Zylinderachse folgendermaßen:

Volumen

Wenn die Basis eines kreisförmigen Zylinders a hat Radius r Und der Zylinder hat Größe h, dann ist es Volumen wird gegeben von

V = πr2h.

Diese Formel gilt, ob der Zylinder ein rechter Zylinder ist oder nicht.[7]

Diese Formel kann durch Verwendung festgelegt werden Cavalieris Prinzip.

Ein fester elliptischer Zylinder mit den halbachse a und b Für die Basis -Ellipse und Höhe h

In mehr Allgemeinheit ist das Volumen eines beliebigen Zylinders nach demselben Prinzip das Produkt der Fläche einer Basis und der Höhe. Zum Beispiel ein elliptischer Zylinder mit einer Basis hat Semi-Major-Achse a, Semi-Minor-Achse b und Größe h hat ein Volumen V = Ah, wo A ist der Bereich der Basiselipse (= πab). Dieses Ergebnis für rechte elliptische Zylinder kann auch durch Integration erhalten werden, wobei die Achse des Zylinders als positiv angesehen wird x-Axis und A(x) = A Die Fläche jedes elliptischen Querschnitts, also:

Verwendung Zylindrische KoordinatenDas Volumen eines rechten kreisförmigen Zylinders kann durch Integration über berechnet werden

Oberfläche

Radius haben r und Höhe (Höhe) h, das Oberfläche eines rechten kreisförmigen Zylinders, der so ausgerichtet ist, dass seine Achse vertikal ist, besteht aus drei Teilen:

  • Der Bereich der oberen Basis: πr2
  • der Bereich der unteren Basis: πr2
  • der Bereich der Seite: rh

Der Bereich der oberen und unteren Basen ist der gleiche und wird als die genannt Grundfläche, B. Der Bereich der Seite ist als der bekannt Seitenbereich, L.

Ein offener Zylinder Enthält weder obere noch untere Elemente und hat daher eine Oberfläche (lateraler Bereich)

L = 2πrh.

Die Oberfläche des festen rechten kreisförmigen Zylinders besteht aus der Summe aller drei Komponenten: oben, unten und Seite. Seine Oberfläche ist daher,

A = L + 2B = 2πrh + 2πr2 = 2πr(h + r) = πd(r + h),

wo d = 2r ist der Durchmesser des kreisförmigen Oberteils oder unten.

Für ein gegebenes Volumen hat der rechte kreisförmige Zylinder mit der kleinsten Oberfläche h = 2r. Äquivalent, für eine bestimmte Oberfläche hat der rechte kreisförmige Zylinder mit dem größten Volumen h = 2rDas heißt, der Zylinder passt genau in einen Würfel der Seitenlänge = Höhe (= Durchmesser des Basiskreises).[8]

Der seitliche Bereich, L, eines kreisförmigen Zylinders, der kein rechter Zylinder sein muss, wird allgemeiner gegeben durch:

L = e × p,

wo e ist die Länge eines Elements und p ist der Umfang eines rechten Abschnitts des Zylinders.[9] Dies erzeugt die vorherige Formel für den lateralen Bereich, wenn der Zylinder ein rechter kreisförmiger Zylinder ist.

Hohlzylinder

Rechts kreisförmiger Hohlzylinder (zylindrische Schale)

A rechter kreisförmiger Hohlzylinder (oder Zylindrische Hülle) ist ein dreidimensional Ringular Basen senkrecht zur gemeinsamen Achse der Zylinder wie im Diagramm.

Lass die Höhe sein h, interner Radius r, und Außenradius R. Das Volumen ist gegeben durch

.

Somit entspricht das Volumen einer zylindrischen Hülle 2π(durchschnittlicher Radius) (Höhe) (Dicke).[10]

Die Oberfläche, einschließlich des oberen und unten

.

Zylindrische Schalen werden in einer gemeinsamen Integrationstechnik verwendet, um Volumina von Festkörpern der Revolution zu finden.[11]

Auf der Kugel und dem Zylinder

Eine Kugel hat 2/3 das Volumen und die Oberfläche ihres umschreibenden Zylinders einschließlich seiner Basen

In der Abhandlung mit diesem Namen, geschrieben c. 225 v. Chr., Archimedes erhielt das Ergebnis, auf das er am stolzesten war, nämlich die Formeln für das Volumen und die Oberfläche von a Kugel Indem Sie die Beziehung zwischen einer Sphäre und ihrer ausnutzen umschrieben rechter kreisförmiger Zylinder der gleichen Höhe und Durchmesser. Die Kugel hat ein Volumen Zwei Drittel das des umschriebenen Zylinders und einer Oberfläche Zwei Drittel das des Zylinders (einschließlich der Basen). Da die Werte für den Zylinder bereits bekannt waren, erhielt er erstmals die entsprechenden Werte für die Kugel. Das Volumen eines Radiusbereichs r ist 4/3πr3 = 2/3 (2πr3). Die Oberfläche dieser Kugel ist 4πr2 = 2/3 (6πr2). Eine geformte Kugel und ein Zylinder wurden auf Wunsch auf das Grab von Archimedes gelegt.

Zylindrische Oberflächen

In einigen Bereichen der Geometrie und Topologie der Begriff Zylinder bezieht sich auf das, was genannt wurde Zylindrische Oberfläche. Ein Zylinder ist definiert als eine Oberfläche, die aus allen Punkten auf allen Linien besteht, die parallel zu einer bestimmten Linie sind und die durch eine feste Ebenekurve in einer Ebene passieren, die nicht parallel zur angegebenen Linie ist.[12] Solche Zylinder wurden manchmal als bezeichnet als Verallgemeinerte Zylinder. Durch jeden Punkt eines verallgemeinerten Zylinders passt dort eine einzigartige Linie, die im Zylinder enthalten ist.[13] Daher kann diese Definition umformuliert werden, um zu sagen, dass ein Zylinder jeder ist Oberfläche überspannt von einer Ein-Parameter-Familie paralleler Linien.

Ein Zylinder mit einem rechten Abschnitt, der ein ist Ellipse, Parabel, oder Hyperbel wird als ein genannt Elliptischer Zylinder, Parabolzylinder und Hyperbolischer Zylinder, beziehungsweise. Diese sind entartet Quadrische Oberflächen.[14]

Parabolzylinder

Wenn die Hauptachsen eines Quadrikes mit dem Referenzrahmen (immer für eine Quadrik) ausgerichtet sind, ist eine allgemeine Gleichung des Quadrikes in drei Dimensionen gegeben

mit den Koeffizienten sein reale Nummern Und nicht alle von A, B und C Da ist 0. Wenn mindestens eine Variable in der Gleichung nicht erscheint, ist die Quadrik degeneriert. Wenn eine Variable fehlt, können wir von einer angemessenen annehmen Rotation der Achsen dass die Variable z Es erscheint nicht und die allgemeine Gleichung dieser Art von degenerierter Quadrik kann geschrieben werden[15]

wo

Elliptischer Zylinder

Wenn Ab > 0 Dies ist die Gleichung von a Elliptischer Zylinder.[15] Eine weitere Vereinfachung kann durch erhalten werden durch Übersetzung von Achsen und Skalare Multiplikation. Wenn hat das gleiche Zeichen wie die Koeffizienten A und Bund dann kann die Gleichung eines elliptischen Zylinders umgeschrieben werden Kartesischen Koordinaten wie:

Diese Gleichung eines elliptischen Zylinders ist eine Verallgemeinerung der Gleichung der gewöhnlichen, runder Zylinder (a = b). Elliptische Zylinder sind auch als bekannt als Zylinder, aber dieser Name ist mehrdeutig, da er sich auch auf die beziehen kann Plücker Conoid.

Wenn hat ein anderes Zeichen als die Koeffizienten, wir erhalten die imaginäre elliptische Zylinder:

die keine wirklichen Punkte auf sich haben. ( gibt einen einzelnen wirklichen Punkt.)

Hyperbolischer Zylinder

Wenn A und B unterschiedliche Zeichen haben und wir erhalten die Hyperbolische Zylinder, deren Gleichungen als:

Parabolzylinder

Endlich, wenn Ab = 0 davon ausgehen, Ohne Verlust der Allgemeinheit, das B = 0 und A = 1 to obtain the Parabolzylinder mit Gleichungen, die geschrieben werden können wie:[16]

Im projektive Geometrie, ein Zylinder ist einfach ein Kegel, dessen Apex ist in unendlich, was visuell einem Zylinder in der Perspektive entspricht, der ein Kegel zum Himmel zu sein scheint.

Projektive Geometrie

Im projektive Geometrie, ein Zylinder ist einfach ein Kegel Deren Apex (Scheitelpunkt) liegt auf der Flugzeug im Unendlichen. Wenn der Kegel ein quadratischer Kegel ist, kann die Ebene im Unendlichen (die durch den Scheitelpunkt fließt) den Kegel an zwei realen Linien, einer einzelnen realen Linie (tatsächlich ein zufälliges Paar von Linien) oder nur am Scheitelpunkt. Diese Fälle führen zu hyperbolischen, parabolischen oder elliptischen Zylindern.[17]

Dieses Konzept ist nützlich, wenn Sie in Betracht ziehen entartete Konics, zu denen auch die zylindrischen Conics gehören kann.

Prismen

Tycho Brahe Planetarium Bauen, Kopenhagen, ist ein Beispiel für einen verkürzten Zylinder

A fester kreisförmiger Zylinder kann als der begrenzende Fall von a gesehen werden n-Gonal Prisma wo n Ansätze Unendlichkeit. Die Verbindung ist sehr stark und viele ältere Texte behandeln gleichzeitig Prismen und Zylinder. Formeln für Oberfläche und Volumen werden aus den entsprechenden Formeln für Prismen abgeleitet, indem eingeschriebene und umschriebene Prismen verwendet und dann die Anzahl der Seiten des Prismas ohne gebundene Erhöhungen erhöht werden.[18] Ein Grund für die frühe Betonung (und manchmal auch ausschließliche Behandlung) in kreisförmigen Zylindern ist, dass eine kreisförmige Basis die einzige Art der geometrischen Figur ist, für die diese Technik nur mit elementaren Überlegungen verwendet wird (keine Anziehungskraft an Kalkül oder fortgeschrittenere Mathematik). Die Terminologie über Prismen und Zylinder ist identisch. So zum Beispiel seit a abgeschnittenes Prisma ist ein Prisma, dessen Basen nicht in parallelen Ebenen liegen, ein fester Zylinder, dessen Basen nicht in parallelen Ebenen liegen würden verkürzter Zylinder.

Aus einer polyedrischen Sicht kann ein Zylinder auch als als gesehen werden Dual von a Bicone als unendlichseitig bipyramide.

Familie von Uniform n-Gonal Prismen
Prismenname Digonales Prisma (Trigonal)
Dreieckiges Prisma
(Tetragonal)
Square Prisma
Pentagonales Prisma Sechseckalales Prisma Heptagonales Prisma Achteckiges Prisma Enneagonales Prisma Decagagagonales Prisma Hendecagonal prism Dodecagonal Prisma ... Apeirogonales Prisma
Polyederbild Yellow square.gif Triangular prism.png Tetragonal prism.png Pentagonal prism.png Hexagonal prism.png Prism 7.png Octagonal prism.png Prism 9.png Decagonal prism.png Hendecagonal prism.png Dodecagonal prism.png ...
Kugelfliesenbild Tetragonal dihedron.png Spherical triangular prism.png Spherical square prism.png Spherical pentagonal prism.png Spherical hexagonal prism.png Spherical heptagonal prism.png Spherical octagonal prism.png Spherical decagonal prism.png Flugzeugfliesenbild Infinite prism.svg
Scheitelpunktkonfiguration. 2.4.4 3.4.4 4.4.4 5.4.4 6.4.4 7.4.4 8.4.4 9.4.4 10.4.4 11.4.4 12.4.4 ... ∞.4.4
Coxeter -Diagramm CDel node 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 10.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 11.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png CDel node 1.pngCDel 12.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png ... CDel node 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngCDel node 1.png

Siehe auch

Anmerkungen

  1. ^ κύλινδρος Archiviert 2013-07-30 bei der Wayback -Maschine, Henry George Liddell, Robert Scott, Ein griechisch-englisches Lexikonauf Perseus
  2. ^ Jacobs, Harold R. (1974), Geometrie, W. H. Freeman und Co., p. 607, ISBN 0-7167-0456-0
  3. ^ Swokowski 1983, p. 283
  4. ^ a b Wentworth & Smith 1913, p. 354
  5. ^ Wentworth & Smith 1913, p. 357
  6. ^ "MathWorld: Zylinderabschnitt". Archiviert vom Original am 2008-04-23.
  7. ^ Wentworth & Smith 1913, p. 359
  8. ^ Lax, Peter D.; Terrell, Maria Shea (2013), Kalkül mit Anwendungen, Bachelortexte in Mathematik, Springer, p. 178, ISBN 9781461479468, archiviert vom Original am 2018-02-06.
  9. ^ Wentworth & Smith 1913, p. 358
  10. ^ Swokowski 1983, p. 292
  11. ^ Swokowski 1983, p.291
  12. ^ Albert 2016, p. 43
  13. ^ Albert 2016, p. 49
  14. ^ Brannan, David A.; Esplen, Matthew F.; Gray, Jeremy J. (1999), Geometrie, Cambridge University Press, p. 34, ISBN 978-0-521-59787-6
  15. ^ a b Albert 2016, p. 74
  16. ^ Albert 2016, p. 75
  17. ^ Pedoe, Dan (1988) [1970], Geometrie Ein umfassender Kurs, Dover, p. 398, ISBN 0-486-65812-0
  18. ^ Slaught, H.E.; Lennes, N. J. (1919), Solide Geometrie mit Problemen und Anwendungen (PDF) (Überarbeitete Ausgabe), Allyn und Bacon, S. 79–81, archiviert (PDF) vom Original am 2013-03-06

Verweise

  • Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], Feste analytische Geometrie, Dover, ISBN 978-0-486-81026-3
  • Swokowski, Earl W. (1983), Kalkül mit analytischer Geometrie (Alternate Ed.), Prapple, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-341-7
  • Wentworth, George; Smith, David Eugene (1913), Ebene und feste Geometrie, Ginn und Co.

Externe Links