Verteilungsfunktion

Kumulative Verteilungsfunktion für die Exponentialverteilung

Kumulative Verteilungsfunktion für die Normalverteilung

Im Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistiken, das Verteilungsfunktion (CDF) eines realen Werts zufällige Variable ${\ displayStyle x}$ , oder nur Verteilungsfunktion von ${\ displayStyle x}$ , bewertet bei ${\ displayStyle x}$ , ist der Wahrscheinlichkeit das ${\ displayStyle x}$ nimmt einen Wert weniger als oder gleich ${\ displayStyle x}$ .^[1]

Jede Wahrscheinlichkeitsverteilung unterstützt auf die realen Zahlen, diskret oder "gemischt" und kontinuierlich, wird durch ein einzigartig identifiziert nach oben kontinuierlich^[2] monotoner Anstieg Verteilungsfunktion ${\ displayStyle f: \ mathbb {r} \ rightarrow [0,1]}$ befriedigend ${\ displayStyle \ lim _ {x \ rightarrow -\ infty} f (x) = 0}$ und ${\ displayStyle \ lim _ {x \ rightarrow \ infty} f (x) = 1}$ .

Im Falle eines Skalars kontinuierliche Verteilung, es gibt den Bereich unter dem Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion Von Minus unendlich bis ${\ displayStyle x}$ . Kumulative Verteilungsfunktionen werden auch verwendet, um die Verteilung von Multivariate Zufallsvariablen.

Definition

Die kumulative Verteilungsfunktion eines realen Werts zufällige Variable ${\ displayStyle x}$ ist die Funktion gegeben durch^[3]^{: p. 77}

{\ displayStyle f_ {x} (x) = \ operatorname {p} (x \ leq x)}

(Gl. 1)

wo die rechte Seite die repräsentiert Wahrscheinlichkeit dass die zufällige Variable ${\ displayStyle x}$ nimmt einen Wert weniger als oder gleich zu ${\ displayStyle x}$ .

Die Wahrscheinlichkeit, dass ${\ displayStyle x}$ Lügen in der halbbezogenen Liege Intervall ${\ displayStyle (a, b]}$ , wo ${\ displayStyle a <b}$ , ist deshalb^[3]^{: p. 84}

{\ displayStyle \ operatorname {p} (a <x \ leq b) = f_ {x} (b) -f_ {x} (a)}

(Gl. 2)

In der obigen Definition ist das "weniger oder gleich" Zeichen "≤" eine Konvention, keine allgemein verwendete (z. B. ungarische Literatur verwendet "<"), aber die Unterscheidung ist für diskrete Verteilungen wichtig. Die ordnungsgemäße Verwendung von Tabellen der Binomial- und Poisson -Verteilungen hängt von dieser Konvention ab. Darüber hinaus mögen wichtige Formeln Paul LévyInversionsformel für die charakteristische Funktion verlassen sich auch auf die "weniger oder gleiche" Formulierung.

Wenn Sie mehrere zufällige Variablen behandeln ${\ displayStyle x, y, \ ldots}$ usw. Die entsprechenden Buchstaben werden als Index verwendet, während das Index normalerweise weggelassen wird. Es ist konventionell, ein Kapital zu verwenden ${\ displayStyle f}$ für eine kumulative Verteilungsfunktion im Gegensatz zum Unterfall ${\ displayStyle f}$ benutzt für Wahrscheinlichkeitsdichtefunktionen und Wahrscheinlichkeitsmassenfunktionen. Dies gilt bei der Erörterung allgemeiner Verteilungen: Einige spezifische Verteilungen haben ihre eigene konventionelle Notation, zum Beispiel die Normalverteilung Verwendet ${\ displayStyle \ phi}$ und ${\ displayStyle \ phi}$ Anstatt von ${\ displayStyle f}$ und ${\ displayStyle f}$ , beziehungsweise.

Die Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion einer kontinuierlichen Zufallsvariablen kann aus der kumulativen Verteilungsfunktion durch Differenzierung bestimmt werden^[4] Verwendung der Grundsatz des Kalküls; d.h. gegeben ${\ displayStyle f (x)}$ Anwesend

{\ displayStyle f (x) = {\ frac {df (x)} {dx}}}

Solange das Derivat existiert.

Der CDF von a kontinuierliche Zufallsvariable ${\ displayStyle x}$ kann als Integral seiner Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion ausgedrückt werden ${\ displayStyle f_ {x}}$ folgendermaßen:^[3]^{: p. 86}

oder

Im Falle einer zufälligen Variablen ${\ displayStyle x}$ die Verteilung mit einer diskreten Komponente zu einem Wert hat ${\ displayStyle B}$ Anwesend

oder

Wenn ${\ displayStyle f_ {x}}$ ist kontinuierlich bei ${\ displayStyle B}$ Dies entspricht Null und es gibt keine diskrete Komponente bei ${\ displayStyle B}$ .

Eigenschaften

Von oben nach unten die kumulative Verteilungsfunktion einer diskreten Wahrscheinlichkeitsverteilung, kontinuierliche Wahrscheinlichkeitsverteilung und eine Verteilung, die sowohl einen kontinuierlichen Teil als auch einen diskreten Teil aufweist.

Jede kumulative Verteilungsfunktion ${\ displayStyle f_ {x}}$ ist nicht dekretierend^[3]^{: p. 78} und rechtskontinuierlich,^[3]^{: p. 79} was es zu einem macht Càdlàg Funktion. Außerdem,

oder

Jede Funktion mit diesen vier Eigenschaften ist ein CDF, d. H. Für jede solche Funktion a zufällige Variable Kann so definiert werden, dass die Funktion die kumulative Verteilungsfunktion dieser zufälligen Variablen ist.

Wenn ${\ displayStyle x}$ ist rein diskrete Zufallsvariabledann erreicht es Werte ${\ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, \ ldots}$ mit Wahrscheinlichkeit ${\ displayStyle p_ {i} = p (x_ {i})}$ und der CDF von ${\ displayStyle x}$ wird sein diskontinuierlich an den Punkten ${\ displaystyle x_ {i}}$ :

oder sum _ {x_ {i} \ leq x} p (x_ {i}).}

Wenn die CDF ${\ displayStyle f_ {x}}$ einer real geschätzten Zufallsvariable ${\ displayStyle x}$ ist kontinuierlich, dann ${\ displayStyle x}$ ist ein kontinuierliche Zufallsvariable; Wenn weiterhin ${\ displayStyle f_ {x}}$ ist absolut kontinuierlichdann gibt es a Lebesgue-integrierbar Funktion ${\ displayStyle f_ {x} (x)}$ so dass

oder \, dx}

Für alle realen Zahlen

{\ displayStyle a}

und

{\ displayStyle B}

. Die Funktion

{\ displayStyle f_ {x}}

ist gleich dem Derivat von

{\ displayStyle f_ {x}}

fast überallund es heißt das Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion der Verteilung von

{\ displayStyle x}

.

Beispiele

Als Beispiel annehmen ${\ displayStyle x}$ ist gleichmäßig verteilt auf dem Einheitsintervall ${\ displayStyle [0,1]}$ .

Dann der CDF von ${\ displayStyle x}$ wird gegeben von

oder

Angenommen, stattdessen ${\ displayStyle x}$ Nimmt nur die diskreten Werte 0 und 1 mit gleicher Wahrscheinlichkeit.

Dann der CDF von ${\ displayStyle x}$ wird gegeben von

oder }}

Vermuten ${\ displayStyle x}$ ist exponentiell verteilt. Dann der CDF von ${\ displayStyle x}$ wird gegeben von

oder

Hier λ > 0 ist der Parameter der Verteilung, der häufig als Ratenparameter bezeichnet wird.

Vermuten ${\ displayStyle x}$ ist normal verteilt. Dann der CDF von ${\ displayStyle x}$ wird gegeben von

oder (-{\ frac {(t- \ mu) ^{2}} {2 \ sigma ^{2}} \ rechts) \, dt.}

Hier der Parameter ${\ displayStyle \ mu}$ ist der Mittelwert oder die Erwartung der Verteilung; und ${\ displayStyle \ sigma}$ ist seine Standardabweichung.

Vermuten ${\ displayStyle x}$ ist Binomial verteilt. Dann der CDF von ${\ displayStyle x}$ wird gegeben von

oder -p)^{n-i}}

Hier ${\ displayStyle p}$ ist die Erfolgswahrscheinlichkeit und die Funktion bezeichnet die diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilung der Anzahl der Erfolge in einer Abfolge von ${\ displayStyle n}$ unabhängige Experimente und ${\ displayStyle \ lfloor k \ rfloor}$ ist der "Boden" unter ${\ displayStyle K}$ , d.h. die größte Ganzzahl weniger als oder gleich ${\ displayStyle K}$ .

Abgeleitete Funktionen

Komplementäre kumulative Verteilungsfunktion (Schwanzverteilung)

Manchmal ist es nützlich, die entgegengesetzte Frage zu studieren und zu fragen, wie oft die zufällige Variable ist Oben eine bestimmte Ebene. Dies nennt man die Komplementäre kumulative Verteilungsfunktion (CCDF) oder einfach die Schwanzverteilung oder Überschreitungund ist definiert als

{\ displaystyle {\ bar {f}} _ {x} (x) = \ operatorname {p} (x> x) = 1-f_ {x} (x).}

Dies hat Anwendungen in statistisch Hypothesentestzum Beispiel, weil die einseitigen p-Wert ist die Wahrscheinlichkeit, eine Teststatistik zu beobachten wenigstens so extrem wie die beobachtete. So, vorausgesetzt, dass die Teststatistik, T, hat eine kontinuierliche Verteilung, die einseitige p-Wert wird einfach durch das CCDF gegeben: für einen beobachteten Wert ${\ displayStyle t}$ der Teststatistik

oder

Im Überlebensanalyse, ${\ displayStyle {\ bar {f}} _ {x} (x)}$ wird genannt Überlebensfunktion und bezeichnet ${\ displayStyle s (x)}$ während der Begriff Zuverlässigkeitsfunktion ist häufig in Ingenieurwesen.

Z-Tisch:

Eine der beliebtesten Anwendungen der kumulativen Verteilungsfunktion ist Standard -Normaltabelle, auch die genannt Normaltabelle Einheit oder Z Tabelle,^[5] ist der Wert der kumulativen Verteilungsfunktion der Normalverteilung. Es ist sehr nützlich, Z-Tisch nicht nur für Wahrscheinlichkeiten unterhalb eines Wertes zu verwenden, bei dem die ursprüngliche Anwendung der kumulativen Verteilungsfunktion, sondern auch über und/oder zwischen Werten für die Standardnormalverteilung und auf jede Normalverteilung erweitert wurde.

Eigenschaften

Für eine nicht negative kontinuierliche Zufallsvariable mit einer Erwartung, Markovs Ungleichheit besagt, dass^[6] $oder$
Wie ${\ displayStyle x \ to \ Infty, {\ bar {f}} _ {x} (x) \ bis 0}$ , Und tatsächlich ${\ displayStyle {\ bar {f}} _ {x} (x) = o (1/x)}$ unter der Vorraussetzung, dass ${\ displayStyle \ operatorname {e} (x)}$ ist endlich.
Nachweisen:
Assuming ${\ displayStyle x}$ hat eine Dichtefunktion ${\ displayStyle f_ {x}}$ für jeden ${\ displayStyle c> 0}$ $oder x) \, dx+c \ int _ {c}^{\ infty} f_ {x} (x) \, dx}$ Dann beim Erkennen $oder$ und Begriffe neu anordnen, $oder , dx \ bis 0 {\ text {as}} c \ to \ Infty}$ Wie behauptet.
Für eine zufällige Variable mit einer Erwartung, $oder {0} f_ {x} (x) \, dx}$ und für eine nicht negative Zufallsvariable beträgt der zweite Term 0.
Wenn die zufällige Variable nur nicht negative Ganzzahlwerte annehmen kann, entspricht dies zu $oder$

Gefaltete kumulative Verteilung

Beispiel der gefalteten kumulativen Verteilung für a Normalverteilung Funktion mit an erwarteter Wert von 0 und a Standardabweichung von 1.

Während das Diagramm einer kumulativen Verteilung oft eine s-ähnliche Form hat, ist eine alternative Abbildung die gefaltete kumulative Verteilung oder Berg Grundstück, was die obere Hälfte des Diagramms faltet,^[7]^[8] So unter Verwendung von zwei Skalen, eine für den Höhenmesser und eine für den Downslope. Diese Form der Illustration betont die Median, Dispersion (speziell die mittlere absolute Abweichung vom Median^[9]) und Schiefe der Verteilung oder der empirischen Ergebnisse.

Inverse Verteilungsfunktion (Quantilfunktion)

Wenn die CDF F ist dann streng zunehmend und kontinuierlich ${\ displayStyle f^{-1} (p), p \ in [0,1],},},}$ ist die eindeutige reelle Zahl ${\ displayStyle x}$ so dass ${\ displayStyle f (x) = p}$ . In einem solchen Fall definiert dies die Inverse Verteilungsfunktion oder Quantilfunktion.

Einige Verteilungen haben keine einzigartige Umkehrung (z. B. für den Fall, wo ${\ displayStyle f_ {x} (x) = 0}$ für alle ${\ displayStyle a <x <b}$ , verursachen ${\ displayStyle f_ {x}}$ konstant sein). Dieses Problem kann durch Definition gelöst werden, denn ${\ displayStyle p \ in [0,1]}$ , das Verallgemeinerte umgekehrte Verteilungsfunktion:

oder

Beispiel 1: Der Median ist ${\ displayStyle f^{-1} (0,5)}$ .
Beispiel 2: Setzen Sie ${\ displayStyle \ tau = f^{-1} (0,95)}$ . Dann rufen wir an ${\ displayStyle \ tau}$ das 95. Perzentil.

Einige nützliche Eigenschaften des inversen CDF (die auch in der Definition der verallgemeinerten inversen Verteilungsfunktion erhalten bleiben) sind:

${\ displayStyle f^{-1}}$ ist nicht dargestellt
${\ displayStyle f^{-1} (f (x)) \ leq x}$
${\ displayStyle f (f^{-1} (p)) \ Geq P}$
${\ displayStyle f^{-1} (p) \ leq x}$ dann und nur dann, wenn ${\ displayStyle p \ leq f (x)}$
Wenn ${\ displayStyle y}$ hat ein ${\ displayStyle u [0,1]}$ Verteilung dann ${\ displayStyle f^{-1} (y)}$ ist verteilt als ${\ displayStyle f}$ . Dies wird in verwendet Zufällige Zahlengenerierung Verwendung der Inverse Transform -Probenahme-Methode.
Wenn ${\ displayStyle \ {x _ {\ alpha} \}}$ ist eine Sammlung von Independent ${\ displayStyle f}$ -Verteilte zufällige Variablen, die auf demselben Stichprobenraum definiert sind, gibt es zufällige Variablen ${\ displayStyle y _ {\ alpha}}$ so dass ${\ displayStyle y _ {\ alpha}}$ ist verteilt als ${\ displayStyle u [0,1]}$ und ${\ displayStyle f^{-1} (y _ {\ alpha}) = x _ {\ alpha}}$ mit Wahrscheinlichkeit 1 für alle ${\ displayStyle \ alpha}$ .

Die Umkehrung des CDF kann verwendet werden, um die für die einheitlichen Verteilung erhaltenen Ergebnisse in andere Verteilungen zu übersetzen.

Empirische Verteilungsfunktion

Das Empirische Verteilungsfunktion ist eine Schätzung der kumulativen Verteilungsfunktion, die die Punkte in der Stichprobe generierte. Es konvergiert mit der Wahrscheinlichkeit 1 zu dieser zugrunde liegenden Verteilung. Es gibt eine Reihe von Ergebnissen, um die Konvergenzrate der empirischen Verteilungsfunktion zur zugrunde liegenden kumulativen Verteilungsfunktion zu quantifizieren.

Multivariater Fall

Definition für zwei zufällige Variablen

Wenn Sie gleichzeitig mit mehr als einer zufälligen Variablen umgehen gemeinsame kumulative Verteilungsfunktion kann auch definiert werden. Zum Beispiel für ein Paar zufällige Variablen ${\ displayStyle x, y}$ , die gemeinsame CDF ${\ displayStyle f_ {xy}}$ wird gegeben von^[3]^{: p. 89}

{\ displayStyle f_ {x, y} (x, y) = \ operatorname {p} (x \ leq x, y \ leq y)}

(Gl. 3)

wo die rechte Seite die repräsentiert Wahrscheinlichkeit dass die zufällige Variable ${\ displayStyle x}$ nimmt einen Wert weniger als oder gleich zu ${\ displayStyle x}$ und das ${\ displayStyle y}$ nimmt einen Wert weniger als oder gleich zu ${\ displayStyle y}$ .

Beispiel für die gemeinsame kumulative Verteilungsfunktion:

Für zwei kontinuierliche Variablen X und Y:

{\ displaystyle \ pr (a <x <b {\ text {und}} c <y <d) = \ int _ {a}^{b} \ int _ {c}^{d} f (x, y ) \, dy \, dx;}

Für zwei diskrete Zufallsvariablen ist es vorteilhaft, eine Wahrscheinlichkeitstabelle zu generieren und die kumulative Wahrscheinlichkeit für jeden potenziellen Bereich von zu behandeln X und Yund hier ist das Beispiel:^[10]

Bestimmen Sie angesichts der Gelenkwahrscheinlichkeitsmassenfunktion in tabellarischer Form die Funktion des gemeinsamen kumulativen Verteilungsfunktion.

	Y = 2	Y = 4	Y = 6	Y = 8
X = 1	0	0,1	0	0,1
X = 3	0	0	0,2	0
X = 5	0,3	0	0	0,15
X = 7	0	0	0,15	0

Lösung: Verwenden der angegebenen Tabelle der Wahrscheinlichkeiten für jeden potenziellen Bereich von X und YDie gemeinsame kumulative Verteilungsfunktion kann in tabellarischer Form konstruiert werden:

	Y < 2	2 ≤ Y < 4	4 ≤ Y < 6	6 ≤ Y < 8	Y ≥ 8
X < 1	0	0	0	0	0
1 ≤ X < 3	0	0	0,1	0,1	0,2
3 ≤ X < 5	0	0	0,1	0,3	0,4
5 ≤ X < 7	0	0,3	0,4	0,6	0,85
X ≥ 7	0	0,3	0,4	0,75	1

Definition für mehr als zwei zufällige Variablen

Zum ${\ displayStyle n}$ zufällige Variablen ${\ displaystyle x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}$ , die gemeinsame CDF ${\ displayStyle f_ {x_ {1}, \ ldots, x_ {n}}}$ wird gegeben von

{\ displaystyle f_ {x_ {1}, \ ldots, x_ {n}} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n}) = \ operatorname {p} (x_ {1} \ leq x_ {1},, \ ldots, x_ {n} \ leq x_ {n})}

(Gl. 4)

Interpretieren der ${\ displayStyle n}$ zufällige Variablen als zufälliger Vektor ${\ displaystyle \ mathbf {x} = (x_ {1}, \ ldots, x_ {n})^{t}}$ ergibt eine kürzere Notation:

oder }

Eigenschaften

Jeder multivariate CDF ist:

Monotonisch nicht abgeschreckt für jede seiner Variablen,
Rechtskontinuierlich in jeder seiner Variablen,
$oder$
$oder }) = 1 {\ text {und}} \ lim _ {x_ {i} \ rightarrow -\ infty} f_ {x_ {1} \ ldots x_ {n}} (x_ {1}, \ ldots, x_ {n }) = 0, {\ text {für alle}} i.}$

Jede Funktion, die die oben genannten vier Eigenschaften erfüllt, ist im Gegensatz zum Einzeldimensionsfall keine multivariate CDF. Zum Beispiel lassen ${\ displayStyle f (x, y) = 0}$ zum ${\ displayStyle x <0}$ oder ${\ displayStyle x+y <1}$ oder ${\ displayStyle y <0}$ und lass ${\ displayStyle f (x, y) = 1}$ Andernfalls. Es ist leicht zu erkennen, dass die oben genannten Bedingungen erfüllt sind und doch ${\ displayStyle f}$ ist kein CDF, da dann, wenn es so wäre, dann $oder$ wie unten erläutert.

Die Wahrscheinlichkeit, dass ein Punkt zu a gehört Hyperrectangle ist analog zum 1-dimensionalen Fall:^[11]

oder } (a, d) -f_ {x_ {1}, x_ {2}} (b, c) = \ operatorname {p} (a <x_ {1} \ leq b, c <x_ {2} \ leq d ) = \ int ...}

Komplexer Fall

Komplexe zufällige Variable

Die Verallgemeinerung der kumulativen Verteilungsfunktion von real bis Komplexe zufällige Variablen ist nicht offensichtlich, weil Ausdrücke der Form ${\ displayStyle p (z \ leq 1+2i)}}$ ergibt keinen Sinn. Allerdings Ausdrücke der Form ${\ displayStyle p (\ re {(z)} \ leq 1, \ im {(z)} \ leq 3)}$ Sinn ergeben. Daher definieren wir die kumulative Verteilung einer komplexen Zufallsvariablen über die Gelenkverteilung ihrer realen und imaginären Teile:

{\ displayStyle f_ {z} (z) = f _ {\ re {(z)}, \ im {(z)}} (\ re {(z)}, \ im {(z)}) = p (\ Re {(z)} \ leq \ re {(z)}, \ im {(z)} \ leq \ im {(z)}).}

Komplexer Zufallsvektor

Verallgemeinerung von Gl. 4 ergibt

oder Z_ {n})}, \ im {(z_ {n})}} (\ re {(z_ {1})}, \ im {(z_ {1})}, \ ldots, \ re {(z_ {{ n})}, \ im {(z_ {n})}) = \ operatorname {p} (\ re {(z_ {1})} \ leq \ re {(z_ {1})}, \ im {((() Z_ {1})} \ leq \ im {(z_ {1})}, \ ldots, \ re {(z_ {n})} \ leq \ re {(z_ {n})}, \ im {(z_ {n})} \ leq \ im {(z_ {n})})}

als Definition für die CDs eines komplexen Zufallsvektors

{\ displaystyle \ mathbf {z} = (z_ {1}, \ ldots, z_ {n})^{t}}

.

Verwendung in der statistischen Analyse

Das Konzept der kumulativen Verteilungsfunktion tritt auf zwei (ähnliche) Arten explizit in der statistischen Analyse auf. Kumulative Frequenzanalyse ist die Analyse der Häufigkeit des Auftretens von Werten eines Phänomens unter einem Referenzwert. Das Empirische Verteilungsfunktion ist eine formale direkte Schätzung der kumulativen Verteilungsfunktion, für die einfache statistische Eigenschaften abgeleitet werden können und die die Grundlage für verschiedene bilden können Statistische Hypothesentests. Solche Tests können beurteilen, ob es Hinweise darauf gibt, dass eine Stichprobe von Daten aus einer bestimmten Verteilung entstanden ist, oder Hinweise auf zwei Datenproben von Daten, die aus derselben (unbekannten) Bevölkerungsverteilung entstanden sind.

Kolmogorov -Smirnov- und Kuiper -Tests

Das Kolmogorov -Smirnov -Test basiert auf kumulativen Verteilungsfunktionen und kann verwendet werden, um zu testen, ob zwei empirische Verteilungen unterschiedlich sind oder ob sich eine empirische Verteilung von einer idealen Verteilung unterscheidet. Die eng verwandten Kuiper's Test ist nützlich, wenn die Domäne der Verteilung wie am Wochentag zyklisch ist. Zum Beispiel könnte der Kuiper -Test verwendet werden, um festzustellen, ob die Anzahl der Tornados im Jahr variiert oder ob der Verkauf eines Produkts bis zum Tag der Woche oder des Monats am Tag variiert.

Siehe auch

Verweise

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Externe Links

Medien im Zusammenhang mit kumulativen Verteilungsfunktionen bei Wikimedia Commons

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Theorie von Wahrscheinlichkeitsverteilungen
Wahrscheinlichkeitsmassenfunktion (PMF) Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion (PDF) Verteilungsfunktion (CDF) Quantilfunktion
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