Querschnitt (Geometrie)

Eine Querschnittsansicht eines Kompressionsdichts

Im Geometrie und Wissenschaft, a Kreuzung ist das nicht leere Überschneidung eines soliden Körpers in dreidimensionaler Raum mit einer Flugzeug, oder das Analog in höhere-dimensional Räume. Das Schneiden eines Objekts in Scheiben erzeugt viele parallele Querschnitte. Die Grenze eines Querschnitts im dreidimensionalen Raum, der parallel zu zwei der der Äxtedas heißt, parallel zur Ebene, die durch diese Achsen bestimmt wird, wird manchmal als als bezeichnet Konturlinie; Zum Beispiel, wenn ein Flugzeug durch Berge von a durchschneidet MAP mit angehobener Relief Parallel zum Boden ist das Ergebnis eine Konturlinie im zweidimensionalen Raum, das Punkte auf der Oberfläche der Berge gleicher ist Elevation.

Im technische Zeichnung ein Querschnitt, der a ist Projektion Von einem Objekt auf eine Ebene, die es schneidet, ist ein gemeinsames Werkzeug, das die interne Anordnung eines dreidimensionalen Objekts in zwei Dimensionen darstellt. Es ist traditionell gekreuzigt Mit dem Stil des Querveranstalters häufig die verwendeten Materialtypen angibt.

Mit Berechnete axiale TomographieComputer können Querschnitte aus konstruieren Röntgen Daten.

Definition

Wenn eine Ebene einen Feststoff (ein dreidimensionales Objekt) schneidet, wird der in der Ebene gemeinsame Region und der Feststoff a genannt Kreuzung des Festkörpers.^[1] Eine Ebene, die einen Querschnitt des Feststoffs enthält Schneidebene.

Die Form des Querschnitts eines Feststoffs kann von der Ausrichtung der Schneidebene am Feststoff abhängen. Zum Beispiel, während alle Querschnitte eines Balls Scheiben sind,^[2] Die Querschnitte eines Würfels hängen davon ab, wie die Schneidebene mit dem Würfel zusammenhängt. Wenn die Schneidebene senkrecht zu einer Linie ist, die sich den Zentren von zwei gegenüberliegenden Gesichtern des Würfels verbindet, ist der Querschnitt ein Quadrat. Wenn die Schneidebene jedoch senkrecht zu einer Diagonale des Würfels ist, der sich gegenüberliegenden Scheitelpunkten verbindet, ist das Kreuz Abschnitt kann entweder ein Punkt, ein Dreieck oder ein Sechseck sein.

Flugzeugabschnitte

Ein verwandtes Konzept ist das von a Flugzeugabschnitt, was die Kurve des Schnittpunkts einer Ebene mit a ist auftauchen.^[3] Ein Ebeneabschnitt ist daher die Grenze eines Querschnitts eines Feststoffs in einer Schneidebene.

Wenn eine Oberfläche in einem dreidimensionalen Raum durch eine Funktion von zwei Variablen definiert wird, d. H.,, z = f(x, y), Die Ebenenabschnitte durch Schneiden von Ebenen, die parallel zu einer Koordinatenebene sind (eine Ebene, die durch zwei Koordinatenachsen bestimmt wird), werden aufgerufen Levelkurven oder Isolinierungen.^[4] Insbesondere das Schneiden von Ebenen mit Gleichungen der Form z = k (Flugzeuge parallel zur xy-plane) produzieren Ebenenabschnitte, die oft genannt werden Umriss in Anwendungsbereichen.

Mathematische Beispiele für Querschnitte und Ebenenabschnitte

Farbige Regionen sind Querschnitte des festen Kegels. Ihre Grenzen (in Schwarz) sind die benannten Ebenenabschnitte.

Ein Querschnitt von a Polyeder ist ein Polygon.

Das Kegelabschnitte – Kreise, Ellipsen, Parabel, und Hyperbel - sind Ebenenabschnitte von a Kegel mit den Schneidebenen in verschiedenen Winkeln, wie im Diagramm links zu sehen ist.

Jeder Querschnitt, der durch das Zentrum eines verläuft Ellipsoid bildet einen elliptischen Bereich, während die entsprechenden Ebenenabschnitte Ellipsen auf seiner Oberfläche sind. Diese degenerierten zu Scheiben bzw. Kreisen, wenn es sich um die Schneidebenen handelt aufrecht zu einer Symmetrieachse. In mehr Allgemeinheit die Ebenenabschnitte von a Quadrik sind konische Abschnitte.^[5]

Querschnitt eines festen Zylinders

Ein Querschnitt eines festen rechten kreisförmigen Zylinders, der sich zwischen zwei Basen erstreckt, ist a Scheibe Wenn der Querschnitt parallel zur Basis des Zylinders oder eine elliptische Region (siehe Diagramm rechts) ist, wenn er weder parallel noch senkrecht zur Basis ist. Wenn die Schneidebene senkrecht zur Basis ist, besteht sie aus a Rechteck (nicht gezeigt), es sei denn, es ist gerecht Tangente zum Zylinder, in diesem Fall ist es eine einzige Liniensegment.

Der Begriff Zylinder kann auch die laterale Oberfläche eines festen Zylinders bedeuten (siehe Zylinder (Geometrie)). Wenn in diesem Sinne ein Zylinder verwendet wird, würde der obige Absatz wie folgt laut^[6] ist ein Kreis Wenn die Schneidebene senkrecht zur Symmetrieachse des Zylinders oder eine Ellipse ist, wenn sie weder parallel noch senkrecht zu dieser Achse ist. Wenn die Schneidebene parallel zur Achse ist, besteht der Ebenenabschnitt aus einem Paar paralleler Liniensegmente, es sei denn, die Schneidebene ist tangential zum Zylinder. In diesem Fall handelt es sich bei dem Ebenenabschnitt um ein einzelnes Liniensegment.

Eine Grafik von z = x² + xy + y². Für das teilweise Derivat bei (1, 1, 3) das geht y konstant, die entsprechend Tangente Linie ist parallel zur xz-Flugzeug.

Ein Ebeneabschnitt des obigen Diagramms, der die Levelkurve in der Ebene zeigt xz-plane at y= 1

Ein Ebeneabschnitt kann verwendet werden, um die Visualisierung der partielle Ableitung einer Funktion in Bezug auf eines seiner Argumente, wie gezeigt. Vermuten z = f(x, y). Bei der Einnahme des teilweisen Ableitung von f(x, y) in Gedenken an x, man kann einen Ebenenabschnitt der Funktion nehmen f bei einem festen Wert von y die Ebene der Levelkurve von zu zeichnen z ausschließlich gegen x; dann das partielle Derivat in Bezug auf x ist die Steigung des resultierenden zweidimensionalen Graphen.

In verwandten Themen

Ein Ebenenabschnitt von a Wahrscheinlichkeitsdichtefunktion zweier Zufallsvariablen in dem die Schneidebene bei einem festen Wert einer der Variablen ist a Bedingende Dichtefunktion der anderen Variablen (Bedingung auf den festen Wert, der den Ebenenabschnitt definiert). Wenn stattdessen der Ebenenabschnitt für einen festen Wert der Dichte genommen wird, ist das Ergebnis ein Iso-Dichtekontur. Für die NormalverteilungDiese Konturen sind Ellipsen.

Im Wirtschaft, a Produktionsfunktion f(x, y) Gibt den Ausgang an, der durch verschiedene Mengen erzeugt werden kann x und y von Inputs, typischerweise Arbeit und physisches Kapital. Die Produktionsfunktion eines Unternehmens oder einer Gesellschaft kann im dreidimensionalen Raum geplant werden. Wenn ein Flugzeugabschnitt parallel zur xy-plane, das Ergebnis ist ein isoquant Zeigen Sie die verschiedenen Kombinationen von Arbeits- und Kapitalnutzung, die zum Ausgangsniveau führen würden, der durch die Höhe des Flugzeugabschnitts angegeben ist. Alternativ, wenn ein Ebenenabschnitt der Produktionsfunktion auf fester Ebene von übernommen wird y- das ist parallel zur xz-plane-Dann ist das Ergebnis ein zweidimensionales Diagramm, das zeigt x einer Eingabe kombiniert mit dem festen Wert der anderen Eingabe y.

Auch in Wirtschaftswissenschaften, a Kardinal- oder Ordnungsnutzungsfunktion u(w, v) gibt den Grad der Zufriedenheit eines Verbrauchers, der durch den Verzehr von Mengen erhalten wird w und v von zwei Waren. Wenn ein Ebenenabschnitt der Versorgungsfunktion in einer bestimmten Höhe (Nutzungsniveau) eingenommen wird, ist das zweidimensionale Ergebnis ein Indifferenzkurve Zeigen verschiedener alternativer Kombinationen konsumierter Mengen w und v Von den beiden Waren geben alle das angegebene Nutzen.

Bereich und Volumen

Cavalieris Prinzip Staaten, dass Festkörper mit entsprechenden Querschnitten gleicher Bereiche gleiche Volumina aufweisen.

Der Querschnittsbereich (${\ displayStyle a '}$) eines Objekts, wenn er aus einem bestimmten Winkel betrachtet wird, ist die Gesamtfläche der orthografischen Projektion des Objekts aus diesem Winkel. Zum Beispiel ein Zylinder der Höhe h und Radius r hat ${\ displayStyle a '= \ pi r^{2}}$ Wenn er entlang seiner zentralen Achse betrachtet wird, und ${\ displayStyle a '= 2rh}$ wenn aus orthogonaler Richtung betrachtet. Ein Radiusbereich r hat ${\ displayStyle a '= \ pi r^{2}}$ Wenn aus irgendeinem Blickwinkel betrachtet. Genereller, genauer gesagt, ${\ displayStyle a '}$ kann berechnet werden, indem das folgende Oberflächenintegral bewertet wird:

$oder$

wo ${\ displaystyle \ mathbf {\ Hat {r}}}$ Zeigt der Einheitsvektor entlang der Betrachtungsrichtung zum Betrachter? ${\ displayStyle d \ mathbf {a}}$ ist ein Oberflächenelement mit einer nach außen zeigenden Normalität, und das Integral wird nur über die oberste Oberfläche genommen, dem Teil der Oberfläche, das aus der Perspektive des Betrachters "sichtbar" ist. Für ein konvexer Körper, jeder Strahl durch das Objekt aus der Perspektive des Betrachters kreuzt nur zwei Oberflächen. Für solche Objekte kann das Integral über die gesamte Oberfläche übernommen werden (${\ displayStyle a}$) durch die Absolutwert des Integranden Abweichungstheorem auf das konstante Vektorfeld angewendet ${\ displaystyle \ mathbf {\ Hat {r}}}$) und dividieren durch zwei:

$oder$

In höheren Dimensionen

In Analogie mit dem Querschnitt eines Feststoffs, dem Querschnitt von einem n-Dimensionaler Körper in einem n-Dimensionaler Raum ist der nicht leere Schnittpunkt des Körpers mit einer Hyperebene (an (n - 1)-Dimensionaler Unterraum). Dieses Konzept wurde manchmal verwendet, um Aspekte von höherdimensionalen Räumen zu visualisieren.^[7] Zum Beispiel wenn a vierdimensionales Objekt Durch unseren dreidimensionalen Raum würden wir einen dreidimensionalen Querschnitt des vierdimensionalen Objekts sehen. Insbesondere würde ein 4-Ball (Hypersphere), der durch 3-Raum fließt, als 3-Ball auftreten, der sich auf ein Maximum erhöhte und dann während des Übergangs an Größe abnahm. Dieses dynamische Objekt (aus Sicht des 3-Raums) ist eine Folge von Querschnitten des 4-Balls.

Beispiele in der Wissenschaft

Schematische Querschnittsansicht des Inneren der Erde

Querschnitt des Mittelhirns auf der Ebene des überlegenen Kollikulus.

Pinus Taeda Querschnitt zeigt jährliche Ringe, Cheraw, South Carolina.

Im Geologie, die Struktur des Innenraums von a Planet wird oft unter Verwendung eines Diagramms eines Querschnitts des Planeten dargestellt, der durch das Zentrum des Planeten fließt, wie im Querschnitt von Erde rechts.

Querschnitte werden häufig in verwendet Anatomie Um die innere Struktur eines Organs zu veranschaulichen, wie links gezeigt.

Ein Querschnitt von a Baum Kofferraum, wie links gezeigt, enthüllt Wachstumsringe Das kann verwendet werden, um das Alter des Baumes und die zeitlichen Eigenschaften seiner Umgebung zu finden.

Siehe auch

• Beschreibende Geometrie
• Explosierte Ansichtszeichnung
• Grafische Projektion
• Pläne (Zeichnungen)
• Profilanzeige
• Abschnittsauskleidung; Darstellung von Materialien

Anmerkungen

Verweise

• Albert, Abraham Adrian (2016) [1949], Feste analytische Geometrie, Dover, ISBN 978-0-486-81026-3
• Stewart, Ian (2001), Flatterland / wie Flatland, nur noch mehr so, Persus Publishing, ISBN 0-7382-0675-x
• Swokowski, Earl W. (1983), Kalkül mit analytischer Geometrie (Alternate Ed.), Prapple, Weber & Schmidt, ISBN 0-87150-341-7