Zählbar

"Zählbar" leitet hier weiter. Für das sprachliche Konzept siehe Graf Nomen. Für das statistische Konzept siehe Daten zählen. Für das Unternehmen siehe Zählbar (App).
Nicht zu verwechseln mit (rekursiv) Aufzählbare Sätze.

Im Mathematik, a einstellen ist zählbar Wenn es das gleiche hat Kardinalität (das Nummer von Elementen des Satzes) als einige Teilmenge des Satzes von natürliche Zahlen N = {0, 1, 2, 3, ...}.[a] Äquivalent ein Satz S ist zählbar Wenn es eine gibt Injektivfunktion f: S → N aus S zu N; es bedeutet einfach, dass jedes Element in S entspricht einem anderen Element in N.

Ein zählbarer Satz ist entweder a endliche Menge oder ein Zähler Unendlich unendlich einstellen. Unabhängig davon Nummer.

Georg Cantor stellte das Konzept von zählbaren Sätzen und kontrastierenden Mengen ein, die mit denen zählbar sind, die es sind unzähliger. Heutzutage bilden zählbare Sets die Grundlage eines Mathematikzweigs, der genannt wird Diskrete Mathematik.

Ein Hinweis zur Terminologie

Obwohl die Begriffe "zählbar" und "zählich unendlich" wie hier definiert sind, ist die Terminologie nicht universell.[1] Ein alternativer Stil verwendet zählbar um zu meinen, was hier zählbar unendlich bezeichnet wird, und höchstens zählbar zu bedeutet, was hier genannt wird.[2][3] Um Unklarheiten zu vermeiden, kann man sich auf die Begriffe "höchstens zählbar" und "zählich unendlich" beschränken, allerdings in Bezug auf Vorsicht Dies ist das Schlimmste in beiden Welten. Dem Leser wird empfohlen, die verwendete Definition zu überprüfen, wenn der Begriff "zählbar" in der Literatur begegnet wird.

Die Begriffe Aufzählbar[4] und renumerable[5][6] kann auch verwendet werden, z. bezieht sich auf zählbare bzw. zählich unendlich, jeweils,[7] Da die Definitionen jedoch variieren, wird dem Leser erneut empfohlen, die verwendete Definition zu überprüfen.[8]

Definition

Die prägnanteste Definition ist in Bezug auf Kardinalität. Ein Satz S ist zählbar Wenn seine Kardinalität | S | ist kleiner als oder gleich zu (Aleph-Null) die Kardinalität des Satzes von natürliche Zahlen N. Ein Satz S ist Zähler unendlich wenn . Ein Satz ist unzähliger Wenn es nicht zählbar ist, d. H. Seine Kardinalität ist größer als ; Der Leser wird bezeichnet Unzähliger Set zur weiteren Diskussion.[9]

Für jeden Satz SDie folgenden Aussagen sind gleichwertig:

In ähnlicher Weise sind die folgenden Aussagen gleichwertig:

  • S ist zählbar unendlich.
  • Es gibt ein Injektiv und surjektiv (und daher Bijektiv) Zuordnung zwischen S und N.
  • S hat ein Eins-zu-eins-Korrespondenz mit N.[14]
  • Die Elemente von S kann in einer unendlichen Reihenfolge angeordnet werden , wo unterscheidet sich von zum und jedes Element von S ist aufgelistet.[15][16]

Geschichte

Im Jahr 1874 in Sein erster Set Theory -Artikel, Cantor bewies, dass der Satz von reale Nummern ist unzähliger und zeigt daher, dass nicht alle unendlichen Sets zählbar sind.[17] 1878 verwendete er eins-zu-Eins-Korrespondenzen, um Kardinalitäten zu definieren und zu vergleichen.[18] 1883 erweiterte er die natürlichen Zahlen mit seinem Unendlichen Ordinaleund verwendete Sätze von Ordnern, um eine Unendlichkeit von Sätzen mit unterschiedlichen unendlichen Kardinalitäten zu erzeugen.[19]

Einführung

A einstellen ist eine Sammlung von Elementeund kann in vielerlei Hinsicht beschrieben werden. Ein Weg besteht einfach darin, alle Elemente aufzulisten; Zum Beispiel kann der aus den Ganzzahlen 3, 4 und 5 bestehende Satz {3, 4, 5} bezeichnet werden, das als Kaderform bezeichnet wird.[20] Dies ist jedoch nur für kleine Sätze wirksam; Für größere Sätze wäre dies zeitaufwändig und fehleranfällig. Anstatt jedes einzelne Element aufzulisten, wird manchmal eine Ellipsis ("...") verwendet, um viele Elemente zwischen dem Startelement und dem Endelement in einem Satz darzustellen, wenn der Schriftsteller glaubt, dass der Leser leicht erraten kann, was ... repräsentiert ; Zum Beispiel bezeichnet {1, 2, 3, ..., 100} vermutlich den Satz von Ganzzahlen von 1 bis 100. Auch in diesem Fall ist es jedoch immer noch möglich um alle Elemente aufzulisten, da die Anzahl der Elemente im Set endlich ist.

Einige Sets sind unendlich; Diese Sets haben mehr als n Elemente wo n ist eine ganze Zahl, die angegeben werden kann. (Egal wie groß die angegebene Ganzzahl n IS, wie z. n = 9×1032, unendliche Sets haben mehr als n Elemente.) Zum Beispiel die Menge der natürlichen Zahlen, die von {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...} bezeichnet werden.[a] Hat unendlich viele Elemente, und wir können keine natürliche Zahl verwenden, um seine Größe zu geben. Trotzdem stellt sich heraus Kardinalität, der technische Begriff für die Anzahl der Elemente in einem Satz) und nicht alle unendlichen Sets haben die gleiche Kardinalität.

Bijektive Mapping von Ganzzahl zu sogar Zahlen

Um zu verstehen, was dies bedeutet, untersuchen wir zunächst, was es ist nicht bedeuten. Zum Beispiel gibt es unendlich viele ungerade ganze Ganzzahlen, unendlich viele sogar ganze ganze Zahlen und (daher) unendlich viele ganze ganze Zahlen. Es stellt sich jedoch heraus, dass die Anzahl der gleichmäßigen Ganzzahlen, die der Anzahl der ungeraden Ganzzahlen entspricht, auch die Anzahl der Ganzzahlen insgesamt entspricht. Dies liegt daran, dass wir Dinge so ordnen können, dass es für jede ganze Zahl eine ausgeprägte gleichmäßige Ganzzahl gibt:

oder allgemeiner, (Siehe Bild). Was wir hier getan haben, ist, die Ganzzahlen und die sogar Ganzzahlen in a zu arrangieren Eins-zu-eins-Korrespondenz (oder Bijection), die ein Funktion Diese Karten zwischen zwei Mengen, so dass jedes Element jedes Satzes einem einzelnen Element im anderen Satz entspricht.

Allerdings haben nicht alle unendlichen Sets die gleiche Kardinalität. Zum Beispiel, Georg Cantor (Wer dieses Konzept einführte) zeigte, dass die realen Zahlen nicht in die eins-zu-Eins-Korrespondenz mit den natürlichen Zahlen (nicht negative Ganzzahlen) eingesetzt werden können, und daher, dass die Realzahlen eine größere Kardinalität haben als die Menge der natürlichen Zahlen .

Formelle Übersicht

Per Definition ein Satz S ist zählbar Wenn es eine gibt Injektivfunktion f: S → N aus S zum natürliche Zahlen N = {0, 1, 2, 3, ...}. Es bedeutet einfach, dass jedes Element in S hat die Korrespondenz zu einem anderen Element in N.

Es mag natürlich erscheinen, die Sets in verschiedene Klassen zu unterteilen: Stellen Sie alle Sätze mit einem Element zusammen; Alle Sätze, die zwei Elemente zusammen enthalten; ...; Stellen Sie schließlich alle unendlichen Sets zusammen und betrachten sie als die gleiche Größe. Diese Ansicht ist jedoch unter der natürlichen Definition der Größe nicht haltbar.

Um dies zu erläutern, brauchen wir das Konzept von a Bijection. Obwohl eine "Bijection" ein fortgeschritteneres Konzept als eine Zahl erscheinen mag, definiert die übliche Entwicklung der Mathematik in Bezug auf die festgelegte Theorie Funktionen vor den Zahlen, da sie auf viel einfacheren Sätzen basieren. Hier kommt das Konzept einer Bijection ins Spiel: Definieren Sie die Korrespondenz

a ↔ 1, b ↔ 2, c ↔ 3

Da jedes Element von {a, b, c} wird mit gepaart mit Genau eins Element von {1, 2, 3}, und Umgekehrt definiert dies eine Bijektion.

Wir verallgemeinern diese Situation jetzt; wir definieren Diese zwei Sätze haben die gleiche Größe, wenn und nur dann, wenn zwischen ihnen eine Bijektion besteht. Für alle endlichen Sätze gibt dies die übliche Definition von "dieselbe Größe".

Berücksichtigen Sie die Sätze A = {1, 2, 3, ...}, der Satz von positiven Ganzzahlen, und B = {2, 4, 6, ...}, die Menge der sogar positiven Ganzzahlen. Wir behaupten, dass diese Sets nach unserer Definition die gleiche Größe haben und das daher B ist zählbar unendlich. Erinnern Sie sich daran, dass wir, um dies zu beweisen, eine Bijektion zwischen ihnen zeigen müssen. Dies kann mit der Zuordnung erreicht werden n ↔ 2n, so dass

1 ↔ 2, 2 ↔ 4, 3 ↔ 6, 4 ↔ 8, ....

Wie im früheren Beispiel wurde jedes Element von A mit genau einem Element von B gepaart und umgekehrt. Daher haben sie die gleiche Größe. Dies ist ein Beispiel für einen Satz der gleichen Größe wie eines davon Richtige Untergruppen, was für endliche Sets unmöglich ist.

Ebenso der Satz von allen bestellte Paare natürlicher Zahlen (die kartesisches Produkt von zwei Sätzen natürlicher Zahlen, N × N) ist zäher unendlich unendlich, wie es durch einen Pfad wie den auf dem Bild beobachtet werden kann:

Das Kantorpaarungsfunktion weist jedem Paar natürliche Zahlen eine natürliche Zahl zu

Das resultierende Kartierung Erfahren wie folgt:

0 ↔ (0, 0), 1 ↔ (1, 0), 2 ↔ (0, 1), 3 ↔ (2, 0), 4 ↔ (1, 1), 5 ↔ (0, 2), 6 ↔ (3, 0), ....

Diese Zuordnung deckt alle diese geordneten Paare ab.

Diese Form der dreieckigen Kartierung rekursiv verallgemeinert auf n-Tupel von natürlichen Zahlen, d. h. ((a1, a2, a3, ..., an) wo ai und n sind natürliche Zahlen, indem die ersten beiden Elemente von a wiederholt abgebildet werden n-tupel zu einer natürlichen Zahl. Zum Beispiel kann (0, 2, 3) als ((0, 2), 3) geschrieben werden. Dann (0, 2) Karten bis 5 SO ((0, 2), 3) Karten zu (5, 3), dann (5, 3) auf 39. Da ein anderes 2-Tupel, das ist ein Paar wie z. (a, b), Karten zu einer anderen natürlichen Zahl, reicht ein Unterschied zwischen zwei N-Tupeln durch ein einzelnes Element aus, um sicherzustellen, dass die N-Tupel unterschiedlichen natürlichen Zahlen zugeordnet werden. Also eine Injektion aus dem Satz von n-Tupel auf die natürliche Zahlenmenge N wird bewiesen. Für den Satz von N-Tupel, die vom kartesischen Produkt von endlich vielen verschiedenen Sätzen hergestellt wurden, hat jedes Element in jedem Tupel die Korrespondenz zu einer natürlichen Zahl .

Satz-Das kartesisches Produkt von endlich viele zählbare Sets sind zählbar.[21][b]

Der Satz von allen Ganzzahlen Z und das Set von allen Rationale Zahlen Q kann intuitiv viel größer erscheinen als N. Aber das Aussehen kann täuschen. Wenn ein Paar als das behandelt wird Zähler und Nenner von a gemeiner Bruch (ein Bruch in Form von a/b wo a und b ≠ 0 sind Ganzzahlen), dann können wir für jede positive Fraktion eine eigenständige natürliche Zahl finden, die ihm entspricht. Diese Darstellung umfasst auch die natürlichen Zahlen, da jede natürliche Zahl auch ein Bruchteil ist N/1. Wir können also zu dem Schluss kommen, dass es genau so viele positive rationale Zahlen gibt, wie es positive Ganzzahlen gibt. Dies gilt auch für alle rationalen Zahlen, wie unten zu sehen ist.

Satz-Z (der Satz aller ganzen Ganzzahlen) und Q (Die Menge aller rationalen Zahlen) sind zählbar.[c]

In ähnlicher Weise der Satz von Algebraische Zahlen ist zählbar.[23][d]

Manchmal ist mehr als eine Zuordnung nützlich: Ein Satz A, der als zählbar angezeigt werden soll natürliche Zahlen. Zum Beispiel die positive Menge von positiv Rationale Zahlen kann leicht eins zu eins auf den Satz natürlicher Zahlenpaare (2-Tupel) zugeordnet sein, weil p/q Karten an (p, q). Da der Satz der natürlichen Zahlpaare eins zu eins zugeordnet ist (tatsächlich eins zu eins Korrespondenz oder Bijektion), wie oben gezeigt, wird die positive rationale Zahl als zählbar erwiesen.

Satz-Endlich Union von zählbaren Sätzen ist zählbar.[24][25][e]

Mit der Voraussicht, zu wissen, dass es unzählige Sets gibt, können wir uns fragen, ob dieses letzte Ergebnis weiter gedrückt werden kann oder nicht. Die Antwort lautet "Ja" und "Nein", wir können sie erweitern, aber wir müssen ein neues Axiom annehmen, um dies zu tun.

Satz-(Annahme des Axiom zählbarer Wahl) Die Vereinigung zäher zählbarer Sets ist zählbar.[f]

Zum Beispiel bei zählbaren Sätzen beispielsweise a, b, c, ...

Aufzählung für zählbare Anzahl von zählbaren Sätzen

Unter Verwendung einer Variante der dreieckigen Aufzählung, die wir oben gesehen haben:

  • a0 Karten bis 0
  • a1 Karten bis 1
  • b0 Karten bis 2
  • a2 Karten bis 3
  • b1 Karten bis 4
  • c0 Karten bis 5
  • a3 Karten bis 6
  • b2 Karten bis 7
  • c1 Karten bis 8
  • d0 Karten bis 9
  • a4 Karten bis 10
  • ...

Dies funktioniert nur, wenn die Sets a, b, c, ... sind disjunkt. Wenn nicht, ist die Gewerkschaft noch kleiner und ist daher auch von einem vorherigen Satz zählbar.

Wir brauchen die Axiom zählbarer Wahl indexieren alle Die Sätze a, b, c, ... gleichzeitig.

Satz-Der Satz aller endlichen Länge Sequenzen von natürlichen Zahlen ist zählbar.

Dieser Satz ist die Vereinigung der Länge-1-Sequenzen, der Länge-2-Sequenzen, der Länge-3-Sequenzen, von denen jeweils ein zählbarer Satz (Finite-kartesischer Produkt) ist. Wir sprechen also von einer zählbaren Vereinigung zählbarer Sets, die vom vorherigen Satz zählbar ist.

Satz-Die Menge aller endlichen Untergruppen der natürlichen Zahlen ist zählbar.

Die Elemente einer endlichen Teilmenge können in eine endliche Sequenz gerichtet werden. Es gibt nur zähe endliche Sequenzen, daher gibt es auch nur zähe endliche Untergruppen.

Satz-Lassen S und T Sets sein.

  1. Wenn die Funktion f: S → T ist injektiv und T ist dann zählbar S ist zählbar.
  2. Wenn die Funktion g: S → T ist surjektiv und S ist dann zählbar T ist zählbar.

Diese folgen aus den Definitionen des zählbaren Satzes als injektive / surjektive Funktionen.[g]

Cantors Theorem behauptet, dass wenn A ist ein Set und P(A) ist es Leistungssatz, d.h. die Menge aller Teilmengen von Aund dann gibt es keine surjektive Funktion von A zu P(A). In dem Artikel wird ein Beweis vorgelegt Cantors Theorem. Als unmittelbare Folge dieses und des obigen Grundsatzes haben wir:

Vorschlag-Der Satz P(N) ist nicht zählbar; d.h. es ist unzähliger.

Für eine Ausarbeitung dieses Ergebnisses siehe Cantors diagonales Argument.

Der Satz von reale Nummern ist unzählbar,[h] Und so ist das Set aller Unendlichen Sequenzen natürlicher Zahlen.

Das minimale Modell der festgelegten Theorie ist zählbar

Wenn es ein Set gibt, das ein Standardmodell ist (siehe inneres Modell) der ZFC -Set -Theorie gibt es dann ein minimales Standardmodell (sehen Konstruktbares Universum). Das Löwenheim -Skolem -Theorem Kann verwendet werden, um zu zeigen, dass dieses minimale Modell zählbar ist. Die Tatsache, dass der Begriff der "Unzureichbarkeit" auch in diesem Modell sinnvoll ist, und insbesondere, dass dieses Modell M Enthält Elemente, die sind:

  • Untergruppen von M, daher zählbar,
  • aber aus der Sicht von unzähligen M,

wurde in den frühen Tagen der festgelegten Theorie als paradox angesehen, siehe Skolems Paradoxon für mehr.

Das minimale Standardmodell enthält alle alle Algebraische Zahlen und alle effektiv berechnet Transzendentale Zahlensowie viele andere Arten von Zahlen.

Gesamtbestellungen

Zählbare Sets können sein total bestellt In verschiedenen Arten zum Beispiel:

  • Wohlbefinden (siehe auch Ordinalzahl):
    • Die übliche Reihenfolge natürlicher Zahlen (0, 1, 2, 3, 4, 5, ...)
    • Die Ganzzahlen in der Reihenfolge (0, 1, 2, 3, ...; –1, –2, –3, ...)
  • Sonstiges (nicht Gut Bestellungen):
    • Die übliche Reihenfolge der Ganzzahlen (..., –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, ...)
    • Die übliche Reihenfolge der rationalen Zahlen (kann nicht ausdrücklich als bestellte Liste geschrieben werden!)

In beiden Beispielen für Brunnen hier hat jede Untergruppe a kleinstes Element; und in beiden Beispielen von Nicht-Well-Bestellungen,, etwas Untergruppen haben keine kleinstes Element. Dies ist die Schlüsseldefinition, die bestimmt, ob eine Gesamtreihenfolge auch eine gute Reihenfolge ist.

Siehe auch

Anmerkungen

  1. ^ a b Da gibt es eine offensichtliche Bijection zwischen N und N* = {1, 2, 3, ...} Es macht keinen Unterschied, ob man 0 eine natürliche Zahl betrachtet oder nicht. In jedem Fall folgt dieser Artikel ISO 31-11 und die Standardkonvention in Mathematische Logik, was 0 als natürliche Zahl dauert.
  2. ^ Nachweisen: Beobachten Sie das N × N ist als Folge der Definition zählbar, weil die Funktion f: N × N → N gegeben durch f(m, n) = 2m3n ist injektiv.[22] Daraus folgt, dass das kartesische Produkt von zwei zählbaren Sets zählbar ist, denn wenn wenn A und B Es gibt zwei zählbare Sets, die Überprüfungen gibt f: N → A und g: N → B. So
    f × g: N × N → A × B

    ist eine Überwachung des zählbaren Satzes N × N zum Set A × B und die Folgerung impliziert A × B ist zählbar. Dieses Ergebnis verallgemeinert das kartesische Produkt einer endlichen Sammlung von zählbaren Sätzen und dem Beweis folgt von Induktion über die Anzahl der Sätze in der Sammlung.
  3. ^ Nachweisen: Die Ganzzahlen Z sind zählbar, weil die Funktion f: Z → N gegeben durch f(n) = 2n wenn n ist nicht negativ und f(n) = 3−n wenn n ist negativ, ist eine Injektivfunktion. Die rationalen Zahlen Q sind zählbar, weil die Funktion g: Z × N → Q gegeben durch g(m, n) = m/(n + 1) ist eine Überwachung des zählbaren Satzes Z × N zu den Rationalen Q.
  4. ^ Nachweisen: Per Definition ist jede algebraische Zahl (einschließlich komplexer Zahlen) eine Wurzel eines Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten. Eine algebraische Zahl , Lassen ein Polynom mit ganzzahligen Koeffizienten so sein, dass ist der kDie Wurzel des Polynoms, wobei die Wurzeln nach absolutem Wert von klein bis big sortiert und dann nach Argument von klein bis big sortiert werden. Wir können eine Injektion (d. H. Eins-zu-Eins) -Funktion definieren f: A → Q gegeben durch , während ist der n-Th Prime.
  5. ^ Nachweisen: Wenn Ai ist ein zählbarer Satz für jeden i in I= {1, ..., n}, dann für jeden n Es gibt eine surjektive Funktion gi: N → Ai und daher die Funktion
    gegeben durch G(i, m) = gi(m) ist eine Übersicht. Seit I × N ist zählbar, die Gewerkschaft ist zählbar.
  6. ^ Nachweisen: Wie im endlichen Fall, aber I=N und wir benutzen das Axiom zählbarer Wahl für jeden auswählen i in N eine Übersicht gi aus der nicht leeren Sammlung von Überprüfungen von N zu Ai.
  7. ^ Nachweisen: Für (1) beobachten Sie das, wenn T ist zählbar, es gibt eine Injektivfunktion h: T → N. Dann wenn f: S → T ist die Komposition injiziert h o f: S → N ist injiziert, also S ist zählbar. Für (2) beobachten Sie das, wenn S ist entweder zählbar S ist leer oder es gibt eine surjektive Funktion h: N → S. Dann wenn g: S → T ist entweder surjektiv S und T sind beide leer oder die Komposition g o h: N → T ist surjektiv. In beiden Fällen T ist zählbar.
  8. ^ Sehen Cantors erster unzähliger Beweis, und auch Finite Intersection -Eigenschaft#Anwendungen für einen topologischen Beweis.

Zitate

  1. ^ Manetti, Marco (19. Juni 2015). Topologie. Springer. p. 26. ISBN 978-3-319-16958-3.
  2. ^ Rudin 1976, Kapitel 2
  3. ^ Tao 2016, p. 181
  4. ^ Kamke 1950, p. 2
  5. ^ a b Lang 1993, §2 von Kapitel I.
  6. ^ Apostol 1969, p. 23, Kapitel 1.14
  7. ^ Thierry, Vialar (4. April 2017). Handbuch der Mathematik. Bod - Bücher auf Anfrage. p. 24. ISBN 978-2-9551990-1-5.
  8. ^ Mukherjee, Subir Kumar (2009). Erster Kurs in der realen Analyse. Akademische Verlage. p. 22. ISBN 978-81-89781-90-3.
  9. ^ Yaqub, Aladdin M. (24. Oktober 2014). Eine Einführung in Metalogic. Broadview Press. ISBN 978-1-4604-0244-3.
  10. ^ Singh, Tej Bahadur (17. Mai 2019). Einführung in die Topologie. Springer. p. 422. ISBN 978-981-13-6954-4.
  11. ^ a b Katzourakis, Nikolaos; Varvaruca, Eugen (2. Januar 2018). Eine illustrative Einführung in die moderne Analyse. CRC Press. ISBN 978-1-351-76532-9.
  12. ^ Halmos 1960, p. 91
  13. ^ Weisstein, Eric W. "Zählbar" ". mathworld.wolfram.com. Abgerufen 2020-09-06.
  14. ^ Kamke 1950, p. 2
  15. ^ Dlab, vlastimil; Williams, Kenneth S. (9. Juni 2020). Einladung zu Algebra: Ein Ressourcenkompendium für Lehrer, fortgeschrittene Studenten und Doktoranden in Mathematik. Welt wissenschaftlich. p. 8. ISBN 978-981-12-1999-3.
  16. ^ Tao 2016, p. 182
  17. ^ Stillwell, John C. (2010), Straßen zu Unendlichkeit: Die Mathematik der Wahrheit und des Beweises, CRC Press, p. 10,, ISBN 9781439865507, Cantors Entdeckung unzähliger Sets im Jahr 1874 war eines der unerwartetsten Ereignisse in der Geschichte der Mathematik. Vor 1874 wurde Infinity von den meisten Menschen nicht einmal als legitimes mathematisches Thema angesehen, sodass die Notwendigkeit, zwischen zählbaren und unzähligen Unendlichkeiten zu unterscheiden, nicht vorgestellt werden konnte.
  18. ^ Cantor 1878, p. 242.
  19. ^ Ferreirós 2007, S. 268, 272–273.
  20. ^ "Was sind Sets und Dienstplanform?". Expii. 2021-05-09. Archiviert vom Original am 2020-09-18.
  21. ^ Halmos 1960, p. 92
  22. ^ Avelsgaard 1990, p. 182
  23. ^ Kamke 1950, S. 3–4
  24. ^ Avelsgaard 1990, p. 180
  25. ^ Fletcher & Patty 1988, p. 187

Verweise

  • Apostol, Tom M. (Juni 1969), Multi-Variable-Kalkül und lineare Algebra mit Anwendungen, Calculus, Vol. 2 (2. Aufl.), New York: John Wiley + Söhne, ISBN 978-0-471-00007-5
  • Avelsgaard, Carol (1990), Grundlagen für fortgeschrittene Mathematik, Scott, Voresman und Gesellschaft, ISBN 0-673-38152-8
  • Cantor, Georg (1878), "Ein Beitrag Zur Mannigfaltigiteilslehre", Journal für Die Reine und Angewandte Mathematik, 1878 (84): 242–248, doi:10.1515/Crelle-1878-18788413
  • Ferreirós, José (2007), Labyrinth des Denkens: Eine Geschichte der festgelegten Theorie und ihre Rolle im mathematischen Denken (2. überarbeitete Ausgabe), Birkhäuser, ISBN 978-3-7643-8349-7
  • Fletcher, Peter; Patty, C. Wayne (1988), Grundlagen höherer Mathematik, Boston: PWS-Kent Publishing Company, ISBN 0-87150-164-3
  • Halmos, Paul R. (1960), Naive Set -Theorie, D. van Nostrand Company, Inc. Nachdruck von Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN0-387-90092-6 (Springer-Verlag-Edition). Nachdruck von Martino Fine Books, 2011. ISBN978-1-61427-131-4 (Taschenbuchausgabe).
  • Kamke, Erich (1950), Theorie der Sätze, Dover -Serie in Mathematik und Physik, New York: Dover, ISBN 978-0486601410
  • Lang, Serge (1993), Reale und funktionale Analyse, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94001-4
  • Rudin, Walter (1976), Prinzipien der mathematischen Analyse, New York: McGraw-Hill, ISBN 0-07-054235-x
  • Tao, Terence (2016). "Unendliche Sets". Analyse i (Dritter Aufl.). Singapur: Springer. S. 181–210. ISBN 978-981-10-1789-6.