Konvexes Set

Illustration eines konvexen Sets, das etwas wie ein deformierter Kreis aussieht. Das in Schwarz oben illustrierte Liniensegment, die die Punkte X und Y verbinden, liegt vollständig innerhalb des Satzes, der grün dargestellt wird. Da dies für potenzielle Stellen von zwei beliebigen Punkten innerhalb des obigen Satzes zutrifft, ist der Satz konvex.

Illustration eines nicht konvexen Satzes. Illustriert durch das obige Zeilensegment, in dem es von der schwarzen Farbe zur roten Farbe ändert. Beispielsweise ist dies nicht konvex.

Im Geometrie, eine Untergruppe von a Euklidischer Raumoder allgemeiner ein Offine Space über dem Real, ist konvex Wenn bei zwei beliebigen Punkten in der Teilmenge die Teilmenge das Ganze enthält Liniensegment das schließt sich ihnen an. Äquivalent, a konvexes Set oder ein konvexe Region ist eine Untergruppe, die jeden schneidet Linie in eine Single Liniensegment (möglicherweise leer).^[1]^[2] Zum Beispiel ein solider Würfel ist ein konvexes Set, aber alles, was hohl ist oder einen Einzug hat, zum Beispiel a Halbmond Form, ist nicht konvex.

Das Grenze eines konvexen Satzes ist immer a konvexe Kurve. Der Schnittpunkt aller konvexen Sätze, die eine bestimmte Teilmenge enthalten $A$ des euklidischen Raums wird der genannt konvexer Rumpf von $A$ . Es ist das kleinste konvexe Set, das enthält $A$ .

A Konvexe Funktion ist ein reale Funktion definiert auf an Intervall mit der Eigenschaft, dass es es ist Epigraph (die Punkte von Punkten auf oder über dem Graph der Funktion) ist ein konvexer Satz. Konvexe Minimierung ist ein Unterfeld von Optimierung Dies untersucht das Problem, konvexe Funktionen über konvexe Sets zu minimieren. Der Zweig der Mathematik, der sich der Untersuchung von Eigenschaften konvexer Sets und konvexer Funktionen widmet, heißt Konvexe Analyse.

Der Begriff eines konvexen Satzes kann wie nachstehend beschrieben verallgemeinert werden.

Definitionen

A Funktion ist konvex, wenn und nur wenn es ist Epigraph, die Region (in Grün) über ihrer Graph (in blau) ist ein konvexes Set.

Lassen $S$ sei a Vektorraum oder an Offine Space über dem reale Nummernoder allgemeiner über einige Bestellter Feld. Dies schließt euklidische Räume ein, die affine Räume sind. EIN Teilmenge $C$ von $S$ ist konvex Wenn, für alle $x$ und $y$ in $C$ , das Liniensegment Verbinden $x$ und $y$ ist enthalten in $C$ . Dies bedeutet, dass die Effine -Kombination $(1 - t) x + ty$ gehört $C$ , für alle $x$ und $y$ in $C$ , und $t$ in dem Intervall $[0, 1]$ . Dies impliziert, dass Konvexität (die Eigenschaft, konvex zu sein) unterliegt Affine -Transformationen. Dies impliziert auch, dass ein konvexer in a real oder Komplex Topologischer Vektorraum ist Pfad verbunden, daher in Verbindung gebracht.

Ein Satz $C$ ist streng konvex Wenn jeder Punkt auf dem Leitungssegment eine Verbindung herstellt $x$ und $y$ Anders als die Endpunkte befinden sich in der Topologisches Innenraum von $C$ . Eine geschlossene konvexe Untergruppe ist nur dann konvex Grenzpunkte ist ein Extrempunkt.^[3]

Ein Satz $C$ ist absolut konvex Wenn es konvex ist und ausgewogen.

Der konvexe Untergruppen von $R$ (Die Menge der realen Zahlen) sind die Intervalle und die Punkte von $R$ . Einige Beispiele für konvexe Teilmengen der Euklidische Ebene sind solide Regelmäßige Polygone, feste Dreiecke und Kreuzungen von soliden Dreiecken. Einige Beispiele für konvexe Teilmengen von a Euklidischer dreidimensionaler Raum sind die Archimedäe Feststoffe und die Platonische Feststoffe. Das Kepler-Poinot Polyeder sind Beispiele für nicht konvexe Sets.

Nicht konvexer Satz

Ein Set, das nicht konvex ist Nicht konvexer Satz. EIN Polygon das ist nicht a konvexes Polygon wird manchmal als a genannt konkaves Polygon,^[4] und einige Quellen verwenden den Begriff allgemeiner konkaves Set um einen nicht konvexen Satz zu bedeuten,^[5] Aber die meisten Behörden verbieten diese Verwendung.^[6]^[7]

Das ergänzen eines konvexen Satzes wie der Epigraph von a konkave Funktion, wird manchmal genannt Reverse Convex Setbesonders im Kontext von Mathematische Optimierung.^[8]

Eigenschaften

Gegeben $r$ Punkte $u 1, ..., u r$ in einem konvexen Satz $S$ , und $r$ Nichtnegative Zahlen $λ 1, ..., λ r$ so dass $λ 1 + ... + λ r = 1$ , das Effine -Kombination

{\ displayStyle \ sum _ {k = 1}^{r} \ lambda _ {k} u_ {k}}

gehört

S

. Da die Definition eines konvexen Satzes der Fall ist

r = 2

Diese Eigenschaft charakterisiert konvexe Sets.

Eine solche affine Kombination heißt a Konvexe Kombination von $u 1, ..., u r$ .

Kreuzungen und Gewerkschaften

Die Sammlung konvexer Teilmengen eines Vektorraums, eines affinen Raums oder a Euklidischer Raum hat die folgenden Eigenschaften:^[9]^[10]

Das leeres Set Und der gesamte Raum ist konvex.
Der Schnittpunkt einer Sammlung konvexer Sets ist konvex.
Das Union einer Sequenz konvexer Sets ist konvex, wenn sie a bilden Nicht dekretierende Kette für die Aufnahme. Für diese Eigenschaft ist die Einschränkung der Ketten wichtig, da die Vereinigung von zwei konvexen Sätzen braucht nicht konvex sein.

Geschlossene konvexe Sets

Abgeschlossen Konvexe Sets sind konvexe Sets, die alle enthalten Punkte begrenzen. Sie können als Schnittpunkte von charakterisiert werden abgeschlossen Halbräume (Punkte im Raum, die auf und auf einer Seite von a liegen Hyperebene).

Nach dem, was gerade gesagt wurde, ist klar, dass solche Kreuzungen konvex sind und auch geschlossen werden. Um das Gegenteil zu beweisen, d. H. Jede geschlossene konvexe Menge, kann als solche Schnittstelle dargestellt werden, braucht man die Unterstützung des Hyperebenensatzes in der Form, die für einen gegebenen geschlossenen konvexen Satz $C$ und Punkt $P$ Draußen gibt es einen geschlossenen Halbraum $H$ das beinhaltet $C$ und nicht $P$ . Der unterstützende Hyperplane -Theorem ist ein Sonderfall der Hahn -Banach -Theorem von Funktionsanalyse.

Konvexe Sets und Rechtecke

Lassen $C$ sei a konvexer Körper in der Ebene (ein konvexes Set, dessen Innenraum nicht leer ist). Wir können ein Rechteck einschreiben r in $C$ so dass a homothetisch Kopieren R von r ist umschrieben $C$ . Das positive Homoth -Verhältnis beträgt höchstens 2 und:^[11]

oder

Blaschke-Santaló-Diagramme

Der Satz ${\ displayStyle {\ mathcal {k}}^{2}}$ Von allen planaren konvexen Körpern kann in Bezug auf den konvexen Körper parametrisiert werden Durchmesser D, sein inradius r (der größte Kreis im konvexen Körper) und sein Zirkumradius R (der kleinste Kreis, der den konvexen Körper enthält). Tatsächlich kann dieser Satz durch den Satz von Ungleichheiten beschrieben werden^[12]^[13]

{\ displayStyle 2r \ leq d \ leq 2r}

{\ displayStyle r \ leq {\ frac {\ sqrt {3}} {3}} d}

{\ displayStyle r+r \ leq d}

oder

und kann als Bild der Funktion visualisiert werden g das ordnet einen konvexen Körper dem ab

R 2

Punkt gegeben durch ((r/R, D/2R). Das Bild dieser Funktion ist ein (r, D, R) Blachke-Santaló-Diagramm.^[13]

Blaschke-Santaló (r, D, R) Diagramm für planare konvexe Körper.

{\ displaystyle \ mathbb {l}}

bezeichnet das Liniensegment,

{\ displaystyle \ mathbb {i} _ {\ frac {\ pi} {3}}}

das gleichseitige Dreieck,

{\ displaystyle \ mathbb {rt}}

das Reuleaux -Dreieck und

{\ displaystyle \ mathbb {b} _ {2}}

der Einheitskreis.

Alternativ der Satz ${\ displayStyle {\ mathcal {k}}^{2}}$ kann auch durch seine Breite (der kleinste Abstand zwischen zwei verschiedenen parallelen Trägerhyperplanen), Umfang und Fläche parametrisiert werden.^[12]^[13]

Andere Eigenschaften

Lassen X ein topologischer Vektorraum sein und ${\ displayStyle c \ subseteq x}$ konvex sein.

${\ displayStyle \ operatorname {cl} c}$ und ${\ displayStyle \ operatorname {int} c}$ sind beide konvex (d. H. Der Verschluss und das Innere der konvexen Sets sind konvex).
Wenn ${\ displayStyle a \ in \ operatorname {int} c}$ und ${\ displaystyle b \ in \ operatorname {cl} c}$ dann ${\ displayStyle [a, b [\, \ subseteq \ operatorname {int} c}$ (wo ${\ displayStyle [a, b [\,: = \ links \ {(1-r) a+rb: 0 \ leq r <1 \ rechts \}}$ ).
Wenn ${\ displayStyle \ operatorname {int} c \ neq \ leereSet}$ $\operatorname {Int} C\neq \emptyset$ dann:
- $oder$ , und
- $oder$ , wo ${\ displayStyle c^{i}}$ ist der Algebraischer Innenraum von C.

Konvexe Rümpfe und Minkowski -Summen

Konvexe Rümpfe

Jede Untergruppe $A$ des Vektorraums ist in einem kleinsten konvexen Satz enthalten (genannt konvexer Rumpf von $A$ ), nämlich der Schnittpunkt aller konvexen Sätze, die enthalten $A$ . Der konvexe Hull-Operator Conv () hat die charakteristischen Eigenschaften von a Rumpfbetreiber:

umfangreich: $S \subseteq conv (S)$ ,
nicht dekretierend: $S \subseteq T$ impliziert, dass $Conv (S) \subseteq conv (T)$ , und
idempotent: $Conv (conv (S)) = Conv (S)$ .

Der konvexe Hull-Betrieb wird für den Satz konvexer Sets zur Form a benötigt Gitter, in dem die "beitreten" Betrieb ist der konvexe Rumpf der Vereinigung zweier konvexer Sets

{\ displayStyle \ operatorname {Conv} (s) \ vee \ operatorname {conv} (t) = \ operatorname {conv} (s \ cup t) = \ operatorname {conv} {\ bigl (} \ operatorname {conv} ( S) \ Cup \ Operatorname {überrev} (t) {\ bigr)}.}

Der Schnittpunkt einer Sammlung konvexer Sets ist selbst konvex, sodass die konvexen Teilmengen eines (realen oder komplexen) Vektorraums ein vollständig Gitter.

Minkowski -Addition

Minkowski -Addition von Sätzen. Das Summe der Quadrate Q.₁= [0,1]² und Q₂= [1,2]² ist das Quadrat q₁+Q₂= [1,3]².

In einem echten Vektorraum die Minkowski -Summe von zwei (nicht leeren) Sätzen,, $S 1$ und $S 2$ , ist definiert als die einstellen $S 1 + S 2$ gebildet durch Zugabe von Vektoren Element in Bezug auf die Summensätze

oder

Allgemeiner die Minkowski -Summe einer endlichen Familie von (nicht leeren) Sätzen

S n

ist der Satz, der durch elementzielle Zugabe von Vektoren gebildet wird

oder

Für die Hinzufügung von Minkowski die Zero Set ${0}$ nur das enthält Null -Vektor $0$ hat besondere Bedeutung: Für jede nicht leere Untergruppe eines Vektorraums

{\ displayStyle s+\ {0 \} = s;}

in der algebraischen Terminologie,,

{0}

ist der Identitätselement von minkowski-Addition (zur Sammlung nicht leerer Sets).^[14]

Konvexe Molkenki -Summen

Die Hinzufügung von Minkowski verhält sich in Bezug auf den Betrieb der Einnahme konvexer Rümpfe gut, wie der folgende Satz zeigt:

Lassen $S 1, S 2$ Untergruppen eines echten Vektorraums sein, die konvexer Rumpf ihrer minkowski -Summe ist die Minkowski -Summe ihrer konvexen Rümpfe

oder

Dieses Ergebnis gilt allgemeiner für jede endliche Sammlung nicht leerer Sets:

oder .}

In der mathematischen Terminologie die Operationen von Minkowski -Summierung und Formierung konvexe Rümpfe sind Pendeln Operationen.^[15]^[16]

Minkowski -Summen konvexer Sets

Die Minkowski -Summe von zwei kompakten konvexen Sets ist kompakt. Die Summe eines kompakten konvexen Satzes und eines geschlossenen konvexen Satzes ist geschlossen.^[17]

Der folgende berühmte Theorem, der 1966 von Dieudonné beweist, ergibt einen ausreichenden Zustand für die Differenz von zwei geschlossenen konvexen Teilmengen.^[18] Es verwendet das Konzept von a Rezessionskegel einer nicht leeren konvexen Teilmenge S, definiert als:

oder

wo dieses Set a ist konvexer Kegel enthält

{\ displayStyle 0 \ in x}

und befriedigend

{\ displayStyle s+\ operatorname {rec} s = s}

. Beachten Sie, dass wenn S ist geschlossen und dann konvex

{\ displayStyle \ operatorname {rec} s}

ist geschlossen und für alle

{\ displayStyle s_ {0} \ in s}

Anwesend

{\ displaystyle \ operatorname {rec} s = \ bigcap _ {t> 0} t (S-S_ {0}).}

Satz (Dieudonné). Lassen A und B nicht leere, geschlossene und konvexe Teilmengen von a lokal konvexer topologischer Vektorraum so dass ${\ displaystyle \ operatorname {rec} a \ cap \ operatorname {rec} b}$ ist ein linearer Unterraum. Wenn A oder B ist lokal kompakt dann A-B ist geschlossen.

Verallgemeinerungen und Erweiterungen für Konvexität

Der Begriff der Konvexität im euklidischen Raum kann verallgemeinert werden, indem die Definition in einigen oder anderen Aspekten geändert wird. Der gebräuchliche Name "Generalisierte Konvexität" wird verwendet, da die resultierenden Objekte bestimmte Eigenschaften von konvexen Mengen behalten.

Sternkonvexe (sternförmige) Sets

Lassen $C$ Seien Sie ein Set in einem realen oder komplexen Vektorraum. $C$ ist Stern konvex (sternförmig) Wenn es eine gibt $x 0$ in $C$ so dass das Liniensegment von $x 0$ zu jedem Punkt $y$ in $C$ ist in $C$ . Daher ist ein nicht leeres konvexes Set immer sternkonvex, aber ein sternkonvexes Set ist nicht immer konvex.

Orthogonale Konvexität

Ein Beispiel für generalisierte Konvexität ist orthogonale Konvexität.^[19]

Ein Satz $S$ Im euklidischen Raum wird genannt orthogonal konvex oder ortho-konvex, wenn ein Segment parallel zu einer der Koordinatenachsen, die zwei Punkte von verbinden $S$ Liegt total drinnen $S$ . Es ist leicht zu beweisen, dass eine Schnittstelle einer Sammlung von Orthoconvex -Sets Orthoconvex ist. Einige andere Eigenschaften konvexer Sets sind ebenfalls gültig.

Nichteuklidische Geometrie

Die Definition eines konvexen Satzes und eines konvexen Rumpfes erstreckt sich auf natürliche Weise auf Geometrien, die nicht euklidisch sind, indem er a definiert wird geodeilich konvexer Satz Einer sein, der die enthält Geodäsik zwei beliebige Punkte im Set beitreten.

Topologie bestellen

Konvexität kann für a erweitert werden Total bestelltes Set $X$ ausgestattet mit dem Topologie bestellen.^[20]

Lassen $Y \subseteq X$ . Der Unterraum $Y$ ist ein konvexer Satz, wenn für jedes Punktpaar $a, b$ in $Y$ so dass $a \leq b$ , das Intervall $[a, b] = {x \in X | a \leq x \leq b}$ ist in $Y$ . Das ist, $Y$ ist konvex, wenn und nur wenn für alle $a, b$ in $Y$ , $a \leq b$ impliziert $[a, b] \subseteq Y$ .

Ein konvexes Set ist nicht Allgemein angeschlossen: Ein Gegenbeispiel wird durch den Unterraum {1,2,3} in angegeben $Z$ , was sowohl konvex als auch nicht verbunden ist.

Konvexitätsräume

Der Begriff der Konvexität kann auf andere Objekte verallgemeinert werden, wenn bestimmte Eigenschaften der Konvexität als ausgewählt werden Axiome.

Ein Satz gegeben $X$ , a Konvexität Über $X$ ist eine Sammlung von Teilmengen von $X$ Erfüllen Sie die folgenden Axiome:^[9]^[10]^[21]

Das leere Set und $X$ sind in
Die Schnittstelle einer Sammlung aus ist in .
Die Vereinigung von a Kette (in Bezug auf die Einschlussrelation) von Elementen von ist in .

Die Elemente von werden konvexe Sets und das Paar bezeichnet $(X,)$ wird als a genannt Konvexitätsraum. Für die gewöhnliche Konvexität halten die ersten beiden Axiome und der dritte trivial.

Für eine alternative Definition der abstrakten Konvexität, die eher geeignet ist Diskrete Geometrie, siehe das konvexe Geometrien verknüpft mit Antimatroide.

Siehe auch

Verweise

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Externe Links

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[1] Morris, Carla C.; Stark, Robert M. (24. August 2015). Finite Mathematik: Modelle und Anwendungen. John Wiley & Sons. p. 121. ISBN 9781119015383. Abgerufen 5. April 2017.

[2] Kjeldsen, Tinne Hoff. "Geschichte der Konvexität und mathematischer Programmierung" (PDF). Verfahren des Internationalen Kongresses der Mathematiker (ICM 2010): 3233–3257. doi:10.1142/9789814324359_0187. Archiviert von das Original (PDF) Am 2017-08-11. Abgerufen 5. April 2017.

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[7] Corbae, Dekan; Stinchcombe, Maxwell B.; Zeman, Juraj (2009). Eine Einführung in die mathematische Analyse für Wirtschaftstheorie und Ökonometrie. Princeton University Press. p. 347. ISBN 9781400833085. Es gibt kein konkaves Set.

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[:0-12] Santaló, L. (1961). "Sobre Los Sistemas Completos de Desigualdades entre tres elementos de una figura konvexa planas". Mathematicae NOTAE. 17: 82–104.

[:1-13] Brandenberg, René; González Merino, Bernardo (2017). "Ein vollständiges 3-dimensionales Blaschke-Santaló-Diagramm". Mathematische Ungleichheiten und Anwendungen (2): 301–348. doi:10.7153/mia-20-22. ISSN 1331-4343.

[14] Das leeres Set ist wichtig für die Hinzufügung von Minkowski, da der leere Satz jede andere Teilmenge vernichtet: für jede Teilmenge $S$ Von einem Vektorraum ist seine Summe mit dem leeren Satz leer: ${\ displayStyle s+\ leerseet = \ leerSet}$ .

[15] Satz 3 (Seiten 562–563): Kerin, M.; Šmulian, V. (1940). "Auf regelmäßig konvexen Sets im Raumkonjugat zu einem Banach -Raum". Annalen der Mathematik. Zweite Serie. 41: 556–583. doi:10.2307/1968735. JStor 1968735.

[Schneider-16] Für die Nivilität von Minkowski -Addition und Konvexifikationsiehe Satz 1.1.2 (Seiten 2–3) in Schneider; Diese Referenz erörtert einen Großteil der Literatur über die konvexe Rümpfe von Minkowski Summen In seiner "Kapitel 3 Minkowski Addition" (Seiten 126–196): Schneider, Rolf (1993). Konvexe Körper: Die Brunn -Minkowski -Theorie. Enzyklopädie der Mathematik und ihrer Anwendungen. Vol. 44. Cambridge: Cambridge University Press. S. xiv+490. ISBN 0-521-35220-7. HERR 1216521.

[17] Lemma 5.3: Aliprantis, C.D.; Grenze, K.C. (2006). Unendliche dimensionale Analyse, ein Anhängerhandbuch. Berlin: Springer. ISBN 978-3-540-29587-7.

[Zalinescu_p._7-18] Zălinescu, C. (2002). Konvexe Analyse in allgemeinen Vektorräumen. River Edge, NJ: World Scientific Publishing Co., Inc. p.7. ISBN 981-238-067-1. HERR 1921556.

[19] Rawlins G.J.E. und Wood D, "Ortho-Convexity und seine Verallgemeinerungen", in: Rechenmorphologie, 137-152. Elsevier, 1988.

[20] Munkres, James; Topologie, Prentice Hall; 2. Auflage (28. Dezember 1999). ISBN0-13-181629-2.

[vanDeVel-21] Van de Vel, Marcel L. J. (1993). Theorie der konvexen Strukturen. Mathematische Bibliothek in Nordholland. Amsterdam: North-Holland Publishing Co. S. XVI+540. ISBN 0-444-81505-8. HERR 1234493.

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Konvexe Analyse und Variationsanalyse
Themen (Liste)	Choquet -Theorie Konvexe Geometrie Konvexe Optimierung Dualität Lagrange -Multiplikator Legendre -Transformation Lokal konvexer topologischer Vektorraum Simplex
Karten	Konvexes Konjugat Konkav (Abgeschlossen K- Logarithmisch Richtig Pseudo- Quasi-) Konvexe Funktion Invex function Legendre -Transformation Halbkontinuität Subderivativ
Hauptergebnisse (Liste)	Ekellands Variationsprinzip Fenchel -Moreau -Theorem Fenchel-Young-Ungleichheit Jensens Ungleichheit Hermite -Hadamard -Ungleichheit Krein -Milman -Theorem Mazurs Lemma Shapley–Folkman lemma Robinson-UseScu Simons Urescu
Sets	Konvexer Rumpf (Pseudo-) Konvexes Set Wirksame Domäne Epigraph Hypografie John Ellipsoid Zonotop
Serie	Konvexe Serie verwandt ((CS, LCS) -Sclosed, (CS, BCS) -Complete, (niedriger) idealerweise konvex, (Hx), und (HWx))
Dualität	Duales System Dualitätslücke Starke Dualität Schwache Dualität